基于3D匹配滤波器和伪地震数据算法的多次波自适应相减方法

２０２０年６
月第５５卷　第３期　
＊山东省青岛市市南区宁夏路３
０８号青岛大学电子信息学院，２６６０７１。

Ｅｍａｉｌ：ｔｈｕｌｚｘ＠１６３．ｃｏｍ本文于２０１９年１０月７日收到，最终修改稿于２０２０年３月２３日收到。

本项研究受国家自然科学基金项目“基于卷积神经网络的多次波自适应相减方法”（４１８０４１１０
）、国家重点研发计划项目“超深层弱信号增强、速度建模与保幅偏移技术研究”（２０１６
ＹＦＣ０６０１１０５０１）和中石油重大科技项目“塔里木盆地深层复杂高陡构造与碳酸盐岩储层地震速度建模及成像关键技术研究”（ＺＤ２０１９－１８３－
００３）联合资助。

·处理技术·
文章编号：１０００－７２１０（２０２０）０３－０５３０－
１１基于３Ｄ匹配滤波器和伪地震数据算法的
多次波自适应相减方法
李钟晓＊①　高好天①　陈鑫泽①　李永强②　李振春②
（①青岛大学电子信息学院，
山东青岛２６６０７１；②中国石油大学（华东）地球科学与技术学院，山东青岛２６６５８０）李钟晓，高好天，陈鑫泽，李永强，李振春．基于３Ｄ匹配滤波器和伪地震数据算法的多次波自适应相减方法．石油地球物理勘探，２０２０，５５（３）：５３０－
５４０．摘要　多次波自适应相减是预测减去法压制多次波的关键步骤。

为进一步去除残余多次波，基于常规２Ｄ匹配滤波方法，文中引入３Ｄ匹配滤波器，同时利用多个预测多次波道集以匹配原始数据。

针对３Ｄ匹配滤波器可能造成的一次波损伤现象，利用相同的３Ｄ匹配滤波器同时拟合多个原始数据道集；同时，引入伪地震数据算法求解对一次波施加Ｈｕｂｅｒ范数最小化约束的优化问题，不需满足一次波与多次波正交的假设，能有效分离一次波与多次波。

另外，在整个迭代过程中，伪地震数据算法只需利用Ｃｈｏｌｅｓｋｙ分解算法进行一次矩阵分解，计算效率较高。

模型和实际数据的处理结果表明，与基于一次波能量最小化的３Ｄ匹配滤波器方法和基于伪地震数据算法的２Ｄ匹配滤波器方法相比，所提方法能更好地均衡一次波保护与多次波分离。

关键词　多次波自适应相减　３Ｄ匹配滤波器　伪地震数据算法　Ｈｕｂｅｒ范数
中图分类号：Ｐ６３１ 文献标识码：Ａ ｄｏｉ：１０．１３８１０／ｊ
．ｃｎｋｉ．ｉｓｓｎ．１０００－７２１０．２０２０．０３．００６０　引言
多次波自适应相减是预测减去法压制多次波的
重要步骤［１－５］，主要包含基于匹配滤波器方法［４－
８］、基
于模式方法［
９－
１０］和基于盲信号分离的独立成分分析法［１１－
１２］等。

基于匹配滤波器方法是一种常用的多次
波自适应相减方法。

业界通常采用２Ｄ匹配滤波器实现多次波自适应相减，该方法将预测多次波与原
始数据逐个道集匹配估计一次波［１３］。

然而，当预测
多次波与真实多次波之间存在较大的时间、空间和振幅差异时，２Ｄ匹配滤波器会残留多次波或损伤一
次波［
７－
８，１３］。

本文引入３Ｄ匹配滤波器实现多次波自适应相减，即３Ｄ匹配滤波器可将多个预测多次波道集与原始数据进行匹配。

由于３Ｄ匹配滤波器利用了多个道集的预测多次波信息，与２Ｄ匹配滤波器相比
可以更好地去除残余多次波。

为避免３Ｄ匹配滤波
器可能造成的一次波损伤，文中采用相同３Ｄ匹配滤波器同时拟合多个原始数据道集的方式。

多次波自适应相减可归结为一个滤波器求解的
优化问题［１３－
１４］。

根据对一次波施加的约束不同，可
将多次波自适应相减分为基于一次波能量最小化方
法［１５］和基于一次波稀疏约束方法［
４，７－
８，１４］。

前者需要一次波与多次波正交的假设。

当一次波与多次波相互重叠或强一次波周围存在弱多次波时，该类方法不能有效均衡一次波的保护与多次波的压制。

而基于一次波稀疏约束的方法不需要一次波与多次波正交的假设，能有效避免产生残余多次波或损伤一次波。

通过构建基于一次波Ｈｕｂｅｒ范数最小化约束
的优化问题求解３Ｄ匹配滤波器［１６－
１８］。

对一次波施加Ｈｕｂｅｒ范数最小化约束，
等价于对强一次波施加Ｌ１范数最小化约束和对弱一次波施加Ｌ２范数最小
　第５５卷　第３期李钟晓，等：基于３Ｄ匹配滤波器和伪地震数据算法的多次波自适应相减方法５３１
化约束。

通过将Ｈｕｂｅｒ范数最小化优化问题转化
为Ｌ２范数最小化问题，伪地震数据算法已成功应用
于图像去水印［１９］、地震数据插值［２０］及去噪［２１］等
方面。

为了高效地求解３Ｄ匹配滤波器，本文引入伪
地震数据算法［１９－２１］求解Ｈｕｂｅｒ范数最小化优化问
题。

伪地震数据算法在整个迭代过程中，只需利用
Ｃｈｏｌｅｓｋｙ分解算法［２２］进行一次矩阵分解，计算效率
较高。

文中首先介绍基于３Ｄ匹配滤波器的数学模
型；然后在构建Ｈｕｂｅｒ范数最小化优化问题基础
上，推导伪地震数据算法的迭代步骤；根据模型数
据和实际资料处理效果，给出了认识和结论。

１　基于３Ｄ匹配滤波器的数学模型
基于２Ｄ匹配滤波器的方法［１３－１４］在相互重叠的
２Ｄ数据窗口中实现多次波自适应相减，其数学模型
可表示为［１３－１４］
ｐ＝ｓ－珮Ｍｆ（１）
式中：ｐ表示一次波；ｓ表示原始数据；珮Ｍ表示预测
多次波构建的褶积矩阵；ｆ表示２Ｄ匹配滤波器。

相对于１Ｄ匹配滤波器，２Ｄ匹配滤波器能利用多道
的预测信息实现多次波自适应相减。

然而，当预测
多次波与真实多次波之间存在较大的时间、空间和
振幅差异时，２Ｄ匹配滤波器并不能有效均衡一次波
的保护与多次波的压制［７－８］。

本文引入３Ｄ匹配滤波器，同时利用多个道集
的预测信息实现多次波自适应相减。

基于３Ｄ匹配
滤波器的数学模型可表示为
ｖ＝ｄ－Ｈｘ（２）
其中
ｖ＝［ｐ１ｐ２…ｐｋ］Ｔ（３）
ｄ＝［ｓ１ｓ２…ｓｋ］Ｔ（４）
ｘ＝［ｆ１ｆ２…ｆｒ］Ｔ（５）
Ｈ＝
珮Ｍ
１
珮Ｍ
２
…珮Ｍ
ｒ
珮Ｍ
２
珮Ｍ
３
…珮Ｍ
ｒ＋１
…………
珮Ｍ
ｋ
珮Ｍ
ｋ＋１
…珮Ｍ
ｋ＋ｒ－
熿
燀
燄
燅
１
Ｔ
（６）
式中：ｋ为原始数据的道集个数；ｒ为表征匹配滤波器长度的道集个数；ｖ表示估计的一次波；ｄ表示３Ｄ原始数据；ｘ表示３Ｄ匹配滤波器；Ｈ表示多个道集的预测多次波构建的褶积矩阵。

由于利用了多个道集的预测多次波信息，３Ｄ匹配滤波器能更好地去除残余多次波。

然而，３Ｄ匹配滤波器易导致一次波损伤，特别是在一次波与多次波相互交叉重叠处［１３］。

为此本文利用相同的３Ｄ匹配滤波器同时拟合ｋ个原始数据道集。

基于３Ｄ匹配滤波器的方法是将多个预测多次波道集同时与多个原始数据道集进行匹配，在相互重叠的３Ｄ数据窗口中通过估计３Ｄ匹配滤波器实现多次波自适应相减。

此时ｋ与ｒ的相对大小不做限定。

当ｋ变大时，３Ｄ数据窗口变大，预测多次波需拟合更多原始数据，故一次波能被更好地保护，但可能会造成残余多次波。

可见，基于３Ｄ匹配滤波器的方法能有效均衡一次波的保护与多次波的压制。

２　优化问题
通常，可假设一次波满足能量最小化约束估计匹配滤波器。

相应的优化问题可表达为［１３－１５］
ａｒｇ　ｍｉｎ
ｘ
［‖ｄ－Ｈｘ‖２
２＋λ‖ｘ‖２２
］（７）式中λ为正则化参数。

当一次波与多次波相互重叠或强一次波周围存在弱多次波时，通过求解优化问题（式（７））所估计的３Ｄ匹配滤波器会产生残余多次波或损伤一次波。

为有效均衡一次波的保护与多次波的压制，本文构建如下基于一次波Ｈｕｂｅｒ范数最小化约束的优化问题
ａｒｇ　ｍｉｎ
ｘ
｛∑Ｎ
ｉ＝１
ρ（ｄ－Ｈｘ）
［］
ｉ＋λ‖ｘ‖２２
｝（８）式中Ｎ表示一次波总的采样点个数。

Ｈｕｂｅｒ范数ρ（·）作用在标量上，定义如下［１６－１８］
ρ（ａｉ）＝
ａ２ｉ
ε（２｜ａｉ｜－ε
｛）　｜ａｉ｜≤ε
｜ａｉ｜＞ε
（９）式中：ａｉ＝（ｄ－Ｈｘ）ｉ，表示所估计一次波的采样点；ε为区分Ｌ１范数与Ｌ２范数的阈值。

在本文中，阈值ε可取为ε＝ｓ×ｍａｘ（｜ｄ－Ｈｘ｜），其中ｓ为反复试错后选取的权重参数，用于均衡一次波保护与多次波压制的效果。

对一次波施加Ｈｕｂｅｒ范数最小化约束，等价于对强一次波施加Ｌ１范数最小化约束和对弱一次波施加Ｌ２范数最小化约束。

基于一次波Ｈｕｂｅｒ范数最小化的方法不需要一次波与多次波的正交性假设，能在保护一次波的同时有效减少残余多次波。

　５３２　石油地球物理勘探
２０２０年　
３　伪地震数据算法
对优化问题（式（７
））中的３Ｄ匹配滤波器，求解如下［
１３－
１５］ｘ＝（ＨＴＨ＋λＩ）－１　ＨＴ
ｄ
（１０
）式中Ｉ为单位矩阵。

为求解优化问题（式（８））中的３Ｄ匹配滤波器，本文构建如下的伪地震数据
珘ｄ（ｉ）＝ｄ　ｍ＝０
Ｈｘ（ｉ）＋１２Ψ（ｖ（ｉ）
）　ｍ＞烅烄
烆０（１１
）式中：ｉ表示迭代次数；Ｈ
ｕｂｅｒ模ρ（·）的导数Ψ（
·）定义如下Ψ（
ａ）＝２ａ　｜ａ｜≤ε
２εｓｇ
ｎ（ａ）　｜ａ｜＞｛
ε（１２
）式中
ｓｇ
ｎ（ａ）＝　１
　ａ＞０　０ａ＝０－１　ａ＜烅烄烆０
用来定义变量ａ的正、负号。

然后，用伪地震数据算法求解如下的最优化问题以估计３Ｄ匹配滤波器
ａｒｇ　ｍｉｎｘ
（
ｍ＋
１）（‖珘ｄ（ｉ）－Ｈｘ（ｉ＋１）‖２２＋γ‖ｘ（ｉ＋１）‖２２）（１３
）式中γ为正则化因子。

求解最优化问题（式（１３））等价于求解如下的线性方程
珡Ｈｘ（ｉ＋１）＝ｃ（ｉ）（１４）式中：珡Ｈ＝ＨＴＨ＋γＩ，ｃ（ｉ）＝ＨＴ珘ｄ（ｉ）。

利用Ｃｈｏｌｅｓｋｙ分解算法进行矩阵分解，可高效求解上述线性方程中的３Ｄ匹配滤波器。

因此，可将伪地震数据算法总结如下：
输入：
Ｈ、ｄ、阈值权重参数ｓ、正则化因子γ、最大迭代次数Ｍγ。

计算矩阵珡Ｈ＝ＨＴ　Ｈ＋γＩ，并利用Ｃｈｏｌｅｓｋｙ分解算法
将矩阵珡Ｈ分解为珡Ｈ＝ＬＬＴ
，
其中Ｌ表示下三角矩阵。

对于迭代次数ｉ＝０，１，…，Ｍγ－１：
（１）利用式（１
１）计算伪地震数据珘ｄ（ｉ）；（２
）计算向量ｃ（ｉ）＝ＨＴ珘ｄ（ｉ），并利用简单回代方法求解线性方程ＬＬＴｘ（ｉ＋１）＝ｃ（ｉ）中的３
Ｄ匹配滤波器ｘ（
ｉ＋１）；（３）用式（２）估计一次波ｖ（ｉ＋１）
＝ｄ－Ｈｘ（ｉ＋１）；
（４
）ｉ＝ｉ＋１，若ｉ未达到最大迭代次数Ｍγ，返回步骤（１
）；否则，停止迭代。

输出：一次波估计结果ｖ
（ｉ＋１）。

在伪地震数据算法的每一步迭代中，通过构建
伪地震数据珘ｄ（ｉ），并将原始数据ｄ替换为伪地震数
据珘ｄ（ｉ），可将Ｈｕｂｅｒ范数最小化问题（式（８））转化为Ｌ２范数最小化问题（
式（１３））［１９－
２１］。

伪地震数据算法在整个迭代过程中，只需利用Ｃｈｏｌｅｓｋｙ分解算法进行一次矩阵分解，并在每一步迭代中利用简单回代方法高效地求解３Ｄ匹配滤波器。

另外，伪地震数据算法的收敛性已在文献［１９
］中得到验证。

迭代重加权最小二乘算法［４］
也可用来求解Ｈｕｂｅｒ范数
最小化问题，在保证计算精度的前提下，该算法需在每一步迭代利用Ｃｈｏｌｅｓｋｙ分解算法进行一次矩阵
分解［７］
，计算效率不及伪地震数据算法。

４　应用实例
将本文方法应用于模型数据和实际数据；并将测试结果与基于伪地震数据算法的２Ｄ匹配滤波器方法和基于一次波能量最小化的３Ｄ匹配滤波器方法的测试结果进行对比。

４．１　模型数据
模型数据的每个道集包含４９道，每道包含６００个采样点，道间距为２０ｍ，采样点间距为４ｍｓ。

图１ａ和图１ｂ分别是原始数据和２ＤＳＲＭＥ（Ｓｕｒ－
ｆａｃｅ　Ｒｅｌａｔｅｄ　Ｍｕｌｔｉｐ
ｌｅ　Ｅｌｉｍｉｎａｔｉｏｎ）方法［２３－
２５］预测的多次波。

为验证所提方法保护一次波的有效性，在
原始数据中人为添加了一个倾斜的一次波同相轴，得到图１ｃ；而图１ｄ则为真实一次波。

设定ｍ和ｐ（ｐ＜ｍ）为采样点个数，分别表示２Ｄ数据窗口的时间长度和２Ｄ匹配滤波器的时间
长度；ｎ和ｑ（ｑ＜ｎ）为道数，分别表示２Ｄ数据窗口的空间长度和２Ｄ匹配滤波器的空间长度。

针对本文方法，选择３Ｄ数据窗口ｍ＝２３、ｎ＝４５、ｋ＝３；３Ｄ匹配滤波器长度ｐ＝９、ｑ＝７、ｒ＝３。

因此，用３个预测多次波道集匹配３个原始数据道集，并可同时输出３个道集的一次波估计结果。

另外，选取阈值权重ｓ＝０．０６、正则化因子γ＝０．００１、最大迭代次数Ｍγ＝２
０。

为了定量评价所提方法的性能，计算信噪比为ＲＳ／Ｎ＝１０×ｌｇ‖ｐ０‖２
２
‖ｐ－ｐ０‖２
２
，其中ｐ０为真实一次波，
　第５５卷　第３期李钟晓，等：基于３Ｄ匹配滤波器和伪地震数据算法的多次波自适应相减方法
５
３３ ｐ为估计一次波。

图２为信噪比随迭代次数的变化曲线，可见信噪比曲线在第６次迭代时收敛，相应信噪比为３７．１７。

图１　合成数据的共炮点道集
（ａ）原始地震数据；（ｂ）预测多次波；（ｃ
）对图ａ添加了倾斜一次波；（ｄ）
真实一次波
图２　合成数据信噪比随迭代次数的变化曲线
对应于应用本文方法对图３ａ估计的一次波
从图２可见，当迭代次数小于６时，一次波估计精度会随着迭代次数增加而明显提升；当迭代次数大于６后，一次波估计精度随迭代次数不会有明显提升。

将基于本文方法的最大迭代次数设置为１，可得到基于一次波能量最小化的３Ｄ匹配滤波器方法的多次波自适应相减结果，此时信噪比曲线的取值为３２．８９。

因此，本文方法比基于一次波能量最小化的３Ｄ匹配滤波器方法具有更高的一次波估计精度。

图３ａ显示了用本文方法第６次迭代后的一次波估计结果，图３ｂ是所减去的多次波。

图４ａ显示基于一次波能量最小化的３Ｄ匹配滤波器方法的一次波估计结果，图４ｂ是所减去的多次波。

图４ａ中白色箭头表明，基于一次波能量最小化的３Ｄ匹配滤波器方法在有强一次波同相轴存在的地方，会残留多次波。

图４ｂ中黑色箭头表明，基于一次波能量最小化的３Ｄ匹配滤波器方法会造成一次波损伤。

因此，本文方法比基于一次波能量最小化的３Ｄ匹配滤波器方法能更好地均衡一次波保护与多次波压制。

图３　基于本文方法第６次迭代估计的一次波（ａ
）及去除的多次波（ｂ
）的
共炮点道集图４　基于一次波能量最小化的３Ｄ匹配滤波器方法估
计的一次波（ａ）及去除的多次波（ｂ
）的共炮点道集针对基于伪地震数据算法的２Ｄ匹配滤波器方法，选择数据窗口ｍ＝２３、ｎ＝４
５；滤波器长度ｐ＝９、ｑ＝７。

图５ａ显示了基于伪地震数据算法的２Ｄ匹配滤波器方法的一次波估计结果，图５ｂ是所减去的多次波。

图５ａ中一次波估计所采用的阈值权重ｓ＝０．
０６、正则化因子γ＝０．００１、最大迭代次数Ｍγ＝６，
与图３ａ对应参数的取值相同。

图５ａ中一次波的信噪比为３１．４０，
其中白色箭头指示残留的多次波。

可见基于伪地震数据算法的２Ｄ匹配滤波器方法不能有效均衡一次波保护与多次波分离。

因
　５３４　石油地球物理勘探２０２０年　
此，本文方法比基于伪地震数据算法的２Ｄ匹配滤波器方法能更彻底地分离一次波与多次波，并得到更高的信噪比。

图５　基于伪地震数据算法的２Ｄ匹配滤波器方法估计
的一次波（ａ）及去除的多次波（ｂ
）的共炮点道集为了分析所提方法中可选参数对一次波与多次波分离效果的影响，做了进一步的实验。

选择较大的３Ｄ数据窗口（ｍ＝６０、ｎ＝４７、ｋ＝３），其他参数（３Ｄ滤波器长度、阈值权重、正则化因子）与图３ａ中的对应参数取值相同。

图６ａ给出信噪比随迭代次数的变化曲线，可见在第３次迭代时得到最高信噪比２９．３５。

图７ａ和图７ｂ给出在第３次迭代时一次波估计结果及去除的多次波。

图７ａ中白色箭头表明，当数据窗口变大时，本文方法会产生残余多次波，所得信噪比低于图３ａ。

选择较小数据窗口（
ｍ＝１１、ｎ＝１１、ｋ＝３），其他参数（滤波器长度、阈值权重、正则化因子）取值与图３ａ一次波对应参数相同。

从图６ｂ的信噪比随迭代次数变化曲线易见，约在第５０次时收敛，其信噪比为１９．００。

图７ｃ和图７ｄ给出第５０次迭代时的一次波估计结果及去除的多次波。

图７ｄ中黑色箭头表明，当数据窗口变小时，迭代结果会造成一次波损伤，其信噪比低于图３ａ。

选择较大的３Ｄ匹配滤波器长度（ｐ＝１５、ｑ＝１１、ｒ＝３），其他参数（３Ｄ数据窗口、阈值权重、正则化因子）与图３ａ中一次波对应的参数取值相同，图６ｃ给出信噪比随迭代次数的变化曲线，该曲线在第２０次
迭代时达到收敛，得到最高的信噪比２２．０２。

图８ａ和图８ｂ为在第２０次迭代时的一次波估计和去除的多次波。

图８ｂ中的黑色箭头表明，当匹配滤波器长度变大时，本文方法会造成一次波损伤现象，所得信噪比低于图３ａ。

选择较小的３Ｄ匹配滤波器长度（ｐ＝ｑ＝ｒ＝
３
），其他参数（３Ｄ数据窗口大小、阈值权重、正则化因子）与图３ａ中一次波所对应的参数取值相同，图６ｄ给出信噪比随迭代次数的变化曲线，该曲线在第７次迭代时达到收敛，信噪比为２　８．０　７。

图８ｃ和图８ｄ为在第７次迭代时的一次波估计结果和去除的多次波。

图８ｃ
中的白色箭头表明，
当匹配滤波图６　本文方法选取不同数据窗口和匹配滤波器长度合成数据的信噪比随迭代次数的变化曲线
（ａ）大窗口；（ｂ）小窗口；（ｃ）大匹配滤波器长度；（ｄ
）小匹配滤波器长度
　第５５卷　第３期李钟晓，等：基于３Ｄ匹配滤波器和伪地震数据算法的多次波自适应相减方法
５
３５　
　图７　本文方法不同数据窗口时合成数据的共炮点道集
（ａ）估计的一次波（大窗口）；（ｂ）去除的多次波（大窗口）；（ｃ）估计的一次波（小窗口）；（ｄ
）去除的多次波（小窗口
）图８　本文方法不同匹配滤波器长度时合成数据的共炮点道集
（ａ）估计的一次波（大匹配滤波器）；（ｂ）去除的多次波（大匹配滤波器）；（ｃ）估计的一次波（小匹配滤波器）；（ｄ
）去除的多次波（小匹配滤波器）器长度变小时，所提方法会残留多次波，得到的信噪比低于图３ａ。

选择较大的阈值权重（ｓ＝０．９９），其他参数（３Ｄ数据窗口大小、３Ｄ匹配滤波器长度、正则化因子）与图３ａ中一次波所对应的参数取值相同。

图９ａ给出信噪比随迭代次数的变化曲线，在整个迭代过程中，信噪比大约为３２．８９。

第３步迭代得到的信噪比（３２．８９）与基于一次波能量最小化的３Ｄ匹配滤波器方法得到的信噪比相同。

图１０ａ和图１０ｂ为在第３次迭代时的一次波估计结果和去除的多次波。

图１０ａ中的白色箭头表明，当阈值权重变大时，所提方法会产生残余多次波，图１０ｂ中的黑色箭头表明，当阈值权重变大时，所提方法会造成一次波损伤，得到的信噪比低于图３ａ。

选择较小的阈值权重（ｓ＝０．００００１），其他参数（３Ｄ数据窗口、３Ｄ匹配滤波器长度、正则化因子）与图３ａ中一次波所对应的参数取值相同，图９ｂ给出信噪比随迭代次数的变化曲线，该曲线在第６０次迭代时达到收敛，信噪比为３３．７９。

图１０ｃ和图１０ｄ为在第６０步迭代时的一次波估计结果和去除的多
次波。

图１０ｃ中的白色箭头表明，当阈值权重变小时，所提方法会产生残余多次波，所得信噪比低于图３ａ。

选择较大的正则化因子（γ＝０．１），其他参数（３Ｄ数据窗口大小、３Ｄ匹配滤波器长度、
阈值权重）与图３ａ中一次波所对应的参数取值相同。

图９ｃ给出信噪比随迭代次数的变化曲线，该曲线在第３步迭代时收敛，信噪比为３４．９４。

图１１ａ和图１１ｂ为在３次迭代时的一次波估计结果和去除的多次波。

图１１ａ中的白色箭头表明，当正则化因子变大时，所提方法会残留多次波，得到的信噪比低于图３ａ。

选择较小的正则化因子（γ＝０．００００００１），其他参数（３Ｄ数据窗口大小、３Ｄ匹配滤波器长度、阈值权重）与图３ａ中一次波所对应的参数取值相同。

图９ｄ给出信噪比随迭代次数的变化曲线，该曲线在第７步迭代时收敛，信噪比为３５．９１。

图１１ｃ和图１１ｄ为在７次迭代时的一次波估计结果和去除的多次波。

图１１ｄ中的黑色箭头表明，当正则化因子变小时，所提方法会造成一次波损伤，得到的信噪比低于图３ａ。

　５３６　石油地球物理勘探２０２０年
图９　本文方法选取不同阈值权重和正则化因子时合成数据的信噪比随迭代次数的变化曲线
（ａ）大阈值权重；（ｂ）小阈值权重；（ｃ）大正则化因子；（ｄ
）
小正则化因子图１０　本文方法不同阈值权重时的合成数据的共炮点道集
（ａ）一次波（大阈值权重）；（ｂ）去除的多次波（大阈值权重）；（ｃ）一次波（小阈值权重）；（ｄ
）去除的多次波（小阈值权重
）图１１　本文方法不同正则化因子时的合成数据的共炮点道集
（ａ
）一次波（大正则化因子）；（ｂ）去除的多次波（大正则化因子）；（ｃ）一次波（小正则化因子）；（ｄ）去除的多次波（小正则化因子）４．
２　实际数据选取３６１个采样点（８００～１５２０ｍｓ）、道数为４６０
道的共炮检距道集展示多次波自适应相减的效果。

图１２ａ显示了原始数据，图１２ｂ为２ＤＳＲＭＥ方法预测的多次波。

采用本文所提方法，选取３Ｄ数据窗口ｍ＝７０、
　第５５卷　第３期李钟晓，等：基于３Ｄ匹配滤波器和伪地震数据算法的多次波自适应相减方法５３７
ｎ＝７０、ｋ＝３，３Ｄ匹配滤波器长度ｐ＝３、ｑ＝５、ｒ＝３，阈值权重ｓ＝０．０５，正则化因子γ＝０．００１，迭代次数Ｍγ＝１０。

图１３ａ和图１３ｂ分别为基于本文方法的一次波估计结果和减去的多次波。

将基于本文方法的最大迭代次数设置为１，可以得到基于一次波能量最小化的３Ｄ匹配滤波器方法的多次波自适应相减结果。

图１４ａ和图１４ｂ分别为基于一次波能量最小化的３Ｄ匹配滤波器方法的一次波估计结果和减去的多次波。

图１５ａ为图１２ａ中白色方框内数据的放大显示结果；图１５ｂ为２ＤＳＲＭＥ方法预测多次波的放大显示结果；图１５ｃ为基于本文方法估计一次波的放大显示结果；图１５ｄ为基于一次波能量最小化的３Ｄ匹配滤波器方法估计一次波的放大显示结果。

图１５ｄ中的白色箭头表明，在有强一次波同相轴存在的地方，由于基于一次波能量最小化的３Ｄ匹配滤波器方法的正交性假设不满足，所以会残留多次波。

对比图１５ｃ与图１５ｄ中的白色箭头处可见，基于本文方法比基于一次波能量最小化的３Ｄ匹配滤波器方法能更彻底地去除多次波。

对于基于伪地震数据算法的２Ｄ匹配滤波器方法，选取２Ｄ数据窗口ｍ＝７０、ｎ＝７０，２Ｄ匹配滤
波图１２　共炮检距道集显示的原始实际地震数据（ａ）及２ＤＳＲＭＥ方法预测的多次波（ｂ
）
图１３　本文方法估计的实际数据的一次波（ａ）及去除的多次波（ｂ）
　５３８　石油地球物理勘探２０２０年
图１４　基于一次波能量最小化的３Ｄ匹配滤波器方法估计的实际数据的一次波（ａ）及去除的多次波（ｂ
）图１５　实际数据的共炮检距道集放大显示
（ａ）原始数据；（ｂ）预测多次波；（ｃ）本文方法估计一次波；（ｄ）基于一次波能量最小化的３Ｄ匹配滤波器方法估计的一次波
器长度ｐ＝３、ｑ＝５，阈值权重ｓ＝０．０５，正则化因子γ＝０．
００１，迭代次数Ｍγ＝１０。

图１６ａ和图１６ｂ分别为基于伪地震数据算法的２Ｄ匹配滤波器方法的一
次波估计结果及去除的多次波。

对比图１３ａ与图１６ａ中白色椭圆，可知本文方法能更彻底地去除残余多次波。

　第５５卷　第３期李钟晓，等：基于３Ｄ匹配滤波器和伪地震数据算法的多次波自适应相减方法
５
３９　
　图１６　基于伪地震数据算法的２　
Ｄ匹配滤波器方法估计的一次波（ａ）及去除的多次波（ｂ）的共炮检距道集５　结论
本文提出基于伪地震数据算法的３Ｄ匹配滤波器方法用于多次波自适应相减，即引入３Ｄ匹配滤波器，同时利用多个预测多次波道集匹配原始数据减少残余多次波；为避免３Ｄ匹配滤波器可能造成的一次波损伤现象，采用相同的３Ｄ匹配滤波器同时拟合多个原始数据道集；另外，对估计一次波施加Ｈｕｂｅｒ范数最小化约束，
等价于对强一次波施加Ｌ１范数最小化约束和对弱一次波施加Ｌ２范数最小
化约束。

因此，所提方法不需满足一次波与多次波正交的假设。

同时，所提方法引入伪地震数据算法将Ｈｕｂｅｒ范数最小化优化问题转化为Ｌ２范数最小化问题。

在整个迭代过程中，伪地震数据算法只需利用Ｃｈｏｌｅｓｋｙ分解算法进行一次矩阵分解，计算效率比较高。

模型和实际数据的处理结果表明，本文方法比基于伪地震数据算法的２Ｄ匹配滤波器方法和基于一次波能量最小化的３Ｄ匹配滤波器方法，能更好地均衡一次波的保护与多次波的压制。

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（本文编辑：朱汉东）
作者简
介
李钟晓　博士，１９８７年生；２００９年
获中国石油大学（华东）地球物理学专
业理学学士学位；随即在清华大学硕
博连读，于２０１４年获该校模式识别与
智能系统专业工学博士学位；一直致
力于地震信号处理研究；现在青岛大
学电子信息学院从事相关领域的教研。