MATLAB初步

§1 用MATLAB 作函数图像、求极限一. 基本数学运算与函数例1 计算（5×2+1.3-0.8）×10÷25>> (5*2+1.3-0.8)*10/25ans = 4.2000MATLAB 中常用的函数如下：abs(x) （绝对值函数x ）；sqrt(x) ；exp(x) （指数函数xe ）；sin(x)，cos(x)，tan(x)，cot(x) （三角函数）；asin(x)，acos(x)， atan(x)，acot(x) （反三角函数）；log(x) （自然对数ln x ）；log 10(x) （常用对数）．pi 表示π，二.用 MATLAB 作函数的图像格式： fplot(‘f(x)’,lims) ％lims 仅表示一个参数，也可以用字母a 或b 来表示;例1 画出函数2)(x e x f -=在［-2.5， 2.5］上的图像．>> lims=[-2.5,2.5]>> fplot('exp(-x^2)',lims)精简格式： fplot(‘f(x)’,[a,b])例2 画出函数2)(x e x f -=在［-2.5， 2.5］上的图像．>> fplot('exp(-x^2)', [-2.5,2.5])注意：（1）当不需要显示结果时，可以在语句后面直接加“；”（2）在计算过程中，我们定义的变量都保存在工作的空间中，为了避免上次定义的变量影响下次的计算，常常在程序的开始加上“clear ”，用来清除上面定义的一切变量。

例2 画出函数()sin ,[4,4]f x x x ππ=∈-的图像．>> clear;>>Lims=[-4*pi, 4*pi] ％lims 仅表示一个参数，也可以用字母a 或b 来表示;>> fplot('sin(x)', Lims)也可以>> clear;>> fplot('sin(x)', [-4*pi, 4*pi])三. 用MATLAB 求极限命令“limit ”用来求极限，其格式为：（1）limit(f),表示用来求)(lim 0x f x →；（2）limit(f,x,a), 表示用来求)(lim x f ax →；（3）limit(f,x,a ，‘left ’),表示用来求)(lim x f ax -→； （4）limit(f,x,a ，‘right ’),表示用来求)(lim x f ax +→； （５）limit(f,x,inf ，‘left ’),表示用来求)(lim x f x +∞→；（6）limit(f,x,inf ，‘right ’),表示用来求)(lim x f x -∞→；例1求下列函数的极限（1）0arctan lim x x x → （2）x x x cos 111lim 20--+→ （3） lim (1)x x a x→+∞+解（1） >> clear;>> f=sym('atan(x)/x'); >> limit(f) >>ans =1解（2）>> clear;>> f=sym('(sqrt(1+x^2)-1)/(1-cos(x))');>>limit(f)ans =1解（3）>>clear;>>x=sym('x'); ％这里x要定义为符号变量，书本上少了这个>>f=sym('(1+a/x)^x');>>limit(f,x,inf,'left')>>ans =exp(a)或则>>clear;>> syms x ％这里x要定义为符号变量，书本上少了这个>>f=sym('(1+a/x)^x');>>limit(f,x,inf,'left')>>ans =exp(a)注意：（1）sym()的功能是定义符号表达式，以进行符号运算；syms 可以定义变量；§2 MATLAB 在微分学中的应用一、 一阶导数与微分例１ 求下列函数的导数⑴ x x y 3cos cos 3-=； ⑵ x y sin 2=；⑶ )]ln[ln(ln x y =； ⑷ 32222)1(1)1(1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=x x y ． 解（1）>> clear;>> syms x ％定义符号变量，也可以用x=sym(‘x ’); >> diff('(cos(x))^3-cos(3*x)',x) ans =-3*cos(x)^2*sin(x)+3*sin(3*x) 解（2）>> clear;>> syms x ％定义符号变量，也可以用 x=sym(‘x ’); >> diff('2^sin(x)',x) ans =2^sin(x)*cos(x)*log(2) 也可以 >> clear;>> syms x ％定义符号变量，x=sym(‘x ’); >> diff(2^sin(x)) ％这里注意没有‘’号 ans =2^sin(x)*cos(x)*log(2)二、高阶导数与微分例1 求下面函数的二阶导数⑴ x x y ln cos 2=； ⑵ 12-=x e y ．解（1）>> clear; >> syms x>> diff('(cos(x))^2*log(x)',x,2) ％这里注意也可以没有‘’号 ans =2*sin(x)^2*log(x)-4*cos(x)/x*sin(x)-2*cos(x)^2*log(x)-cos(x)^2/x^2 也可以 >> clear; >> syms x>> diff((cos(x))^2*log(x),2) ％这里注意没有‘’号 ans =2*sin(x)^2*log(x)-4*cos(x)/x*sin(x)-2*cos(x)^2*log(x)-cos(x)^2/x^2 解（2）>> clear; >> syms x>> diff(exp(2*x-1),2) ％这里注意没有‘’号 ans = 4*exp(2*x-1)三、 偏导数例1已知zy x u )arctan(-=，求x u ∂∂，y u ∂∂，zu∂∂． >> clear; >> syms x y z >> Diff(atan(x-y)^z,x) >> ans =(x-y)^z*z/(x-y)/(1+((x-y)^z)^2) >> Diff(atan(x-y)^z,y) ans =-(x-y)^z*z/(x-y)/(1+((x-y)^z)^2) >> Diff(atan(x-y)^z,y) ans =(x-y)^z*log(x-y)/(1+((x-y)^z)^2) 注:基本命令),,(n x f diff ——符号表达式f 对其中的变量x 求n 阶（偏）导数例如：1. )1,,'*22^('x x x diff +表示求函数x x y 22+=关于自变量x 的一阶导数。

对一元函数)(x f y =求导数，用))((x f diff 即可。

2. )2,,'*22^('x x x diff +表示求函数x x y 22+=关于自变量x 的二阶导数。

3. （1）)1,,'**2*2^('x y x y x diff +表示求二元函数xy y x z 22+=关于自变量x的一阶偏导数。

（2）)1,,'**2*2^('y y x y x diff +表示求二元函数xy y x z 22+=关于自变量y 的一阶偏导数。

（3）)2,,'**2*2^('x y x y x diff +表示求二元函数xy y x z 22+=关于自变量x 的二阶偏导数。

（4）)1,),1,,'**2*2^('(y x y x y x diff diff +表示求二元函数xy y x z 22+=的二阶混合偏导数。

四、 微分的近似计算１．函数的近似值的计算 例1 求31tan 的近似值． >> clear; >> tan(31*pi/180) ans = 0.6009 ２．计算绝对误差例５ 一根圆柱的直径为cm 43，若在测量过程中它的绝对误差不超过cm 2.0，那么用这个测量所得数据来计算圆柱的横截面积时所引起的绝对误差是多少？§3 利用MATLAB 求函数的极值和最值一、命令格式：1. X=fminbnd(fun,x1,x2) ％ fun 只表示参数，也可以用字母a 表示2. [X,f,flag]=fminbnd(fun,xi,x2)3. X=fminunc(fun,X0)4. [X,f,flag]=fminunc(fun,X0) 其中，X0为多元函数优化的初始值.例1求函数]5,5[1)(23-+-+=在xx ee x x xf 上的最小值。

解 >> clear;>> fun='(x^3+x^2-1)/(exp(x)+exp(-x))'; ％这里注意有‘’号 >> [x,f,flag]=fminbnd(fun,-5,5) ％这里注意没有 ；号 x = -3.3112 f = -0.9594 flag = 1 >> clear;>> fun='(x^3+x^2-1)/(exp(x)+exp(-x))'; ％ fun 只表示参数，也可以用字母a 表示 >> x=fminbnd(fun,-5,5) ％若x=fminbnd(fun,-5,5)，则只返回x 的值 x = -3.3112例2 求函数y x y x f cos sin ),(+=的最小值。

解 >> clear; >> x0=[0,0];>> [x,f]=fminunc('sin(x(1))+cos(x(2))',x0) x =-1.5708 0f =例3 求函数)12424(),(2212221211++++=x x x x x e x x f x的最小值。