最新兰州城区教师(农村教师进城)选调考试数学试题解析版

城区高中教师选调（农村教师进城）数学真题解析版
1．函数f(x)＝lnx －x －a 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．(－∞，－1) C ．[－1，＋∞) D ．(－1，＋∞)
2．已知函数()()2
44,1,
{ln 43,1,x x f x g x x x x x -≤==-+>，则函数()()y f x g x =-的零点个数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．关于x 的不等式2(2)10x a x a 的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（ ） A ．(3,4] B ．(4,5]
C ．[)
(]4,33,4--
D ．[3,2)(4,5]--⋃
4．已知函数2()2cos 2f x x x =，在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，内角
A 满足()1f A =-，若a =ABC 的面积的最大值为（ ）
A ．
B
C
D ．5．已知(1,2)P 是函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>图象的一个最高点，,B C 是与P 相邻的两个最低点.设BPC θ∠=，若3
tan 2
4
θ
=
，则()f x 的图象对称中心可以是（ ） A ．(0,0)
B ．(1,0)
C ．3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭
6．如图，函数sin f x A x ωϕ=+（）（）（其中00||2
A ωϕπ
≤＞，＞，
）与坐标轴的三个交点
P Q R 、、满足204
P PQR M π
∠=(，)，，为QR 的中点，PM =A 的值为（ ）
A ．
16
33
B 8
33
C ．8
D ．16
7．若函数()ln f x x =与函数2()2(0)g x x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1
(ln
,)2e
+∞ B ．(1,)-+∞ C ．(1,)+∞ D ．(ln 2,)-+∞
8．已知函数()f x 是定义在[100,100]-的偶函数，且(2)(2)f x f x +=-.当[0,2]x ∈时，
()(2)x f x x e =-，若方程2[()]()10f x mf x -+=有300个不同的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）
A ．15,2e e ⎛
⎫--- ⎪⎝⎭
B ．15,2e e ⎡
⎤---⎢⎥⎣
⎦
C ．(,2)-∞-
D ．1,2e e ⎛⎫
--- ⎪⎝⎭
9．已知函数1(0)
()(0)
x
e x
f x x x -⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若存在0x R ∈ 使得00()(1)1f x m x --≤成立，则实数m
的取值范围为( ) A ．(0,)+∞
B ．[1,0)(0,)-+∞
C ．(,1][1,)-∞-+∞
D ．(,-∞-∞1](0,+)
10．已知首项与公比相等的等比数列{}n a 中，满足22
4m n a a a =（m ，*n N ∈），则
21
m n
+的最小值为（ ） A ．1
B ．
32
C ．2
D ．
92
11．若曲线21y x =-y x b =+始终有交点，则b 的取值范围是_______．
12．已知,αβ均为锐角，且()()cos 3cos αβαβ-=+，则()tan αβ+的最小值是________. 13．以下判断正确的序号是__________．
（1）集合{}1,2,,M zi i =为虚数单位，{}{}3,4,4N M N =⋂=，则复数4z i =-；
（2）()4
1310x x dx -+-=⎰；
（3）已知函数()3
f x x x =+，对任意的[]()()2,2,20m f mx f x ∈--+<恒成立，则x 的取值
范围为22,3⎛⎫- ⎪⎝
⎭； （4）设()1cos f x x =，定义()1n f x +为()n f x 的导数，即()()1,n n f x f x n N +'=∈若ABC ∆的内角
A 满足()()()12201813f A f A f A ++
+=，则8
sin 29
A =．
14．已知函数()212ln f x x x e e ⎛⎫
=≤≤ ⎪⎝⎭
，()1g x mx =+，若()f x 与()g x 的图象上存在关于直
线1y =对称的点，则实数m 的取值范围是_____________. 15．已知平面内两点(8,6),(2,2)A B -. （1）求线段AB 的垂直平分线2l 方程.
（2）直线1l 过点(2,3)P -，且A
B 、两点到直线1l 的距离相等，求直线1l 的方程； 16．命题“在Rt AB
C ∆中,若90C ∠=︒,A ∠、B 、C ∠所对应的边长分别为a b c 、、,则
222+=a b c ”,类比此性质,若在立体几何中,请给出对应四面体性质的猜想,并证明之.
17．已知3(,),(log ,1)p q x x αβ==-，函数(),f x αβ=⋅且(3)3,(9)10f f ==. （1）求p ,q 的值以及函数()f x 的表达式，并写出()f x 的定义域D ； （2）设函数3
()log 1
p q g x x =
-，A ={},()()x y y f x g x =+（
），集合{},20B x y kx y k =-+=（），当A B =∅时，求实数k 的取值范围；
（3）当*n N ∈时，设()3f n n a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，直线0n n S x a y -=的斜率为n k ，是否存在实数λμ，，使n k μλ<<对一切*n N ∈恒成立，若存在，分别求出实数λμ，的取值范围，若不存在，说明理由.
18．数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，{}n a 的前n 项和n S 满足2
12n n n S a S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
（1）求n S 的表达式； （2）设21
n
n S b n =
+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求lim n n T →∞
； （3）是否存在正整数(),1m n m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出,m n 的值；若不存在，请说明理由.
19．已知在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{
32cos 42sin (x y θ
θθ=+=-+为参数)，以坐标原点
为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 24πρθ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭．
(1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
(2)设M 是直线l 上任意一点，过M 做圆C 切线，切点为A 、B ，求四边形AMBC 面积的最小
值．
20．（本题满分10分）选修4－1：几何证明选讲． 如图，圆周角的平分线与圆交于点
，过点
的切线与弦
的延长线交于点
,
交
于点
．
（1）求证：;
（2）若四点共圆，且弧
与弧
相等，求
【参考解析】 1． B
【解析】函数f(x)＝lnx －x －a 的零点，即为关于x 的方程lnx －x －a ＝0的实根，将方程lnx －x －a ＝0，化为方程lnx ＝x ＋a ，令y 1＝lnx ，y 2＝x ＋a ，由导数知识可知，直线y 2＝x ＋a 与曲线y 1＝lnx 相切时有a ＝－1，若关于x 的方程lnx －x －a ＝0有两个不同的实根，则实数a 的取值范围是(－∞，－1)．故选B ．
2．
C
【解析】
试题分析：画出244,1
(){
43,1
x x f x x x x -≤=-+>，()ln g x x =的图象，根据图形可判断交点个数．
2
44,1
(){
,()ln ,43,1
x x f x g x x x x x -≤==-+>∴根据图形可判断：有3个交点，∴函数()()y f x g x =-的零点个数为3个，故选C.
3．
C 【解析】 【分析】
首先将原不等式转化为1
1
0x
a x ，然后对a 进行分类讨论，再结合不等式解集中
恰有3个整数，列出关于a 的条件，求解即可. 【详解】
关于x 的不等式2(2)10x a x a 等价于1
1
0x
a x
当0a >时，即11a +>时，于x 的不等式2(2)10x a x a 的解集为()1,1a +，
要使解集中恰有3个整数，则(]14
3,415a a a +>⎧⇒∈⎨
+≤⎩
； 当0a =时，即11a +=时，于x 的不等式2(2)10x a x a 的解集为∅，不满足题意； 当0a <时，即11a +<时，于x 的不等式2(2)10x a x a 的解集为()1,1a +，
要使解集中恰有3个整数，则[)12
4,313a a a +<-⎧⇒∈--⎨
+≥-⎩； 综上，[)(]4,33,4a ∈--.
故选：C ． 【点睛】
本题主要考了一元二次不等式的解法以及分类讨论思想，属于中档题．
4． B 【解析】 【分析】
通过将2
()2cos 2f x x x =利用合一公式变为2cos 213x π⎛
⎫++ ⎪⎝
⎭，代入A 求得A 角，从而
利用余弦定理得到b,c,的关系，从而利用均值不等式即可得到面积最大值. 【详解】
2()2cos 2f x x x ==cos 2212cos 213x x x π⎛
⎫+=++ ⎪⎝
⎭
()2cos 211cos 2133f A A A ππ⎛⎫⎛
⎫=++=-⇒+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，A 为三角形内角，则3A π=
a =222222cos 2a
b
c bc A b c bc bc bc bc =+-=+-≥-=，当且仅当b c =时取等号
11sin 622ABC
S
bc A =≤⨯=
【点睛】
本题主要考查三角函数恒等变换，余弦定理，面积公式及均值不等式，综合性较强，意在考查学生的转化能力，对学生的基础知识掌握要求较高. 5． D 【解析】 【分析】
结合题意，分别计算各个参数，代入特殊值法，计算对称中心，即可． 【详解】 结合题意,绘图
1
32tan 244
BC θ==，6BC =，所以周期26T w π==，解得3
w π
=，所以 sin 1,223236k k ππππϕϕππ⎛⎫
+==+-=+ ⎪⎝⎭，令k=0，得到6πϕ=
所以2sin 36y x π
π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，
令
,3
6x m m Z π
π
π+
=∈,得对称中心13,02m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，令m=1,得到对称中心坐标为5,02⎛⎫
⎪⎝⎭
，故选D ． 【点睛】
本道题考查了三角函数解析式求法，以及三角函数性质，难度中等． 6． A 【解析】 【分析】
由题意设出(20)0Q a a ,
＞，用a 表示出R 点坐标以及M 点坐标，根据25PM =公式求出Q 坐标，通过五点法求出函数的解析式，即可求出A ． 【详解】
解：设(2,0),0Q a a >，
函数()sin(x+)f x A ϖϕ=（其中0,0,||2
A π
ωφ>>≤
）与坐标轴的三个交点P Q R 、、满足
4
PQR π
∠=
，
∴(0,2a)R -，
M 为QR 的中点，
∴(,)M a a -，
PM =
=
解得4a =，
80Q ∴（，），又20P （，），
1
8262T ∴=-=， 2T 12π
ω
∴=
=， 解得6
π=
ω． 函数经过(20)(08)P R -，，
，， ∴sin 206 sin 08
6A A πϕπϕ⎧⎛⎫
⨯+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⨯+=- ⎪⎪⎝⎭⎩
， ||2
πϕ≤
， ,3
π
ϕ∴=-
，
解得A =
， 故选A ． 【点睛】
本题考查由sin x y A ωϕ=+（）的部分图象确定其解析式，求得Q 点与P 点的坐标是关键，考查识图、运算与求解能力，属于中档题． 7． A 【解析】
设公切线与函数()ln f x x =切于点111(ln )(0)A x x x >，
，则切线方程为111
1
ln ()y x x x x -=-；设公切线与函数2()2g x x x a =++切于点22222(2)(0)B x x x a x ，
++<，则切线方程为
2
2222(2)2(1)()y x x a x x x -++=+-，所以有212
121
2(1){ln 1x x x x a =+-=-+，．
∵210x x <<，∴
1
102x <<． 又22
11111111ln 11ln 2124a x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，令11t x =，∴2102ln 4t a t t t ，
<<=--． 设21()ln (02)4h t t t t t =--<<，则211(1)3
()1022t h t t t t
--=--'=<，∴()h t 在(0，2)上为减函
数，则1()(2)ln 21ln
2h t h e >=--=，∴1ln 2a e ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
，
，故选A ． 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义等基础知识，考查了推理论证能力，运算能力，创新意识，考查了函数与方程，分类与整合，转化与化归等数学思想方法，属于难题，由切线方程可得，分离参数，得到关于1x 的函数，求出
2
2
11111111
ln 11ln 2124a x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的取值范围即可，因此正确运用导数的性质是
解决问题的关键. 8． A 【解析】 【分析】
首先由已知确定函数()f x 的周期是4，利用导数研究()f x 在[0,2]上的性质，单调性、极值，结合偶函数性质作出()f x 在[2,2]-上的图象，()f x 的定义域是[100,100]-含有50个周期，方程2[()]()10f x mf x -+=有300个不同的实数根，那么在()f x 的一个周期内有6个根，令
()f x t =，可知方程210t mt -+=有两个不等实根12,t t ，且1(,2)t e ∈--，2(2,0)t ∈-，由二次
方程根的分布知识可得解． 【详解】
由(2)(2)f x f x +=-知函数的周期为4，当[0,2]x ∈时，()(2)x f x x e =-，则
'()(1)x f x x e =-，当01x ≤<时，'()0f x <，()f x 递减，当12x <≤时，'()0f x >，()f x 递增，()(1)f x f e ==-极小值，又()f x 是偶函数，作出()f x 在[2,2]-上的图象，如图． 函数()f x 的周期是4，定义域为[100,100]-，含有50个周期，
方程2[()]()10f x mf x -+=有300个不同的实数根，因此在一个周期内有6个根（这里
(2)0f ±=，2±不是方程的根）．
令()f x t =，方程210t mt -+=有两个不等实根12,t t ，且1(,2)t e ∈--，2(2,0)t ∈-，设
2
()1g t t mt =-+，则()0
(2)0(0)0
g e g g ->⎧⎪-<⎨⎪>⎩
，解得152e m e --<<-．
故选：A ．
【点睛】
本题考查函数的周期性、奇偶性、对称性，二次方程根的分布，函数的零点问题，考查了分类讨论思想，数形结合思想，体现的数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养． 9． D 【解析】 【分析】
数形结合去分析，先画出()f x 的图象，然后根据直线过(1,1)-将直线旋转，然后求解满足条件的m 取值范围. 【详解】
如图, 直线0(1)1y m x =--过定点(1,1)P -,m 为其斜率，0m >满足题意，
当0m <时，考虑直线与函数1x
y e -=-相切，此时0
0(1)11x x m x e m e --⎧--=-⎨=-⎩
，解得010m x =-⎧⎨=⎩，此时直线与1x y e -=-的切点为(0,0)，∴1m ≤-也满足题意.选D
【点睛】
分段函数中的存在和恒成立问题，利用数形结合的思想去看问题会更加简便，尤其是直线与
曲线的位置关系，这里需要注意：（1）直线过定点；（2）临界位置的切线问题. 10． A 【解析】
由题意可得：1a q =，
224m n a a a = ()()
2
2
1
1
3
11
1
m n a q
a
q
a
q
--=
即28m n q q q = 即28m n +=
()(21211411
2224188
8m n m n m n m n n m ⎛⎫⎛⎫+=++⨯=+++⨯≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故选A 11．
[1-
【解析】
由题设可知x b +=b x =有解，令借cos ,[0,]x θθπ=∈，则
sin θ=，所以sin cos )4b πθθθ=-=-，由于0θπ≤≤，故3444
πππ
θ-≤-≤，
结合正弦函数的图像可知sin()124
π
θ-
≤-≤，则)[4b πθ=-∈-，应填答案
[1-．
点睛：解答本题的思路是依据题设条件将其转化为方程x b +=
b x =，然后通过三角换元将其转化为求函数sin cos )4
b π
θθθ=-=-的值域问题，最后借助正弦函数的图像求出其值域使得问题获解． 12．
【解析】 【分析】
利用余弦的和与差公式打开，“弦化切”的思想求得tanαtanβ=1
2
，再将()tan αβ+展开
利用基本不等式即可求解． 【详解】
由cos （α-β）=3cos （α+β），可得cosαcosβ+sinαsinβ=3cosαcosβ-3sin αsin β，同时除以cosαcosβ，
可得：1+tanαtanβ=3-3tanαtanβ，
则tan αtan β=
1
2
，又()tan β1tan tan βtan tan ααβα++=-=2tan β2tan α+≥⨯
故答案为【点睛】
本题考查了余弦、正切的和与差公式和同角三角函数的运用，“弦化切”的思想，结合了基本不等式求最值，属于中档题． 13．
（1）（2）（3）（4） 【解析】
分析：（1）根据,M N 以及两集合的交集，得到4zi =，求出z 即可； （2）讨论x 的范围，去绝对值，求出被积函数，计算即可判断；
（3）判断()f x 为奇函数且为增函数，将不等式化为20mx x +-<，再由一次函数的单调性，可得不等式组，解得即可判断；
（4）求出导数，可得()()4n n f x f x +=，可得一个周期内的函数值和为0，化简原式可得
1
cos sin 3
A A -=
，平方运用同角关系和二倍角的正弦公式，即可判断. 详解：（1）集合{}1,2,,M zi i =为虚数单位，{}{}3,4,4N M N =⋂=，4zi ∴=，则
4z i =-，则（1）正确； （2）
()()()413
1
131313x x dx x x dx x x dx -+-=-+-+-+-+
⎰⎰⎰()()()4
21324
0133134|2|4|x x dx x x x x x -+-=-++-⎰()4162161691210=-+-+---=，则（2）正确；
（3）函数()()()3
,f x x x f x f x =+-=-，可得()f x 为奇函数且为增函数，对任意的
[]()()2,2,20m f mx f x ∈--+<恒成立，即有()()()2f mx f x f x -<-=-，即有
2mx x -<-，即为20mx x +-<，则220x x -+-<，且220x x +-<，解得2
23
x -<<，则（3）正确：
（4）设()1cos f x x =定义()1n f x +为()n f x 的导数，即()()1'n n f x f x n N +=∈，可得
()()()()2345sin ,cos ,sin ,cos ,...f x x f x x f x x f x x =-=-==，可得()()4n n f x f x +=，由于()()()()12340f x f x f x f x +++=，若ABC ∆的内角A 满足()()()1220141
...3
f A f A f A +++=，即有()()1213f A f A +=
，可得1cos sin 3A A -=，平方可得22
1cos 2cos sin sin 9
A A A A -+=，即有1129sin A -=
，则8
29
sin A =，则（4）正确，故答案为（1）（2）（3）（4）. 点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查集合、导数、数列、定积分与不等式恒成立，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题. 14．
3
22,3e e -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
求出函数()g x 关于直线1y =的对称函数()h x ，令()f x 与()h x 的图象有交点得出m 的范围即可． 【详解】
()1g x mx =+关于直线1y =对称的直线为()1y h x mx ==-，
∴直线1y mx =-与2ln y x =在2
1[,]e e
上有交点，
作出1y mx =-与2ln y x =的函数图象，如图所示：
若直线1y mx =-经过点1
2e
-（，），则3m e =，若直线1y mx =-与2ln y x =相切，
设切点为(),x y ，则1 22y mx y lnx m x
⎧⎪=-⎪=⎨⎪⎪=-⎩，解得323
2 3
2x e
y m e -
⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩． ∴3
2
2?3e m e --≤≤，故答案为3
22,3e e -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】
本题考查了函数的对称问题解法，注意运用转化思想，以及零点与函数图象的关系，导数的几何意义，属于中档题． 15．
(1)34230x y --=；（2）4310x y ++=或3110x y --= 【解析】 【分析】
（1）先求出线段AB 的中点坐标，再利用直线2l 与直线AB 垂直，斜率之积为－1，求出直线
2l 的斜率，由点斜式即可写出线段AB 的垂直平分线2l 的方程；
（2）按照点A
B 、与直线1l 的位置，分类讨论，若两点在直线1l 同侧，则直线1//l AB ；若两点在直线1l 两侧，则直线1l 过线段AB 中点，即可求出． 【详解】
（1）因为AB 的中点坐标为()5,2-，∵624
823
AB k --==-- ∴AB 的垂直平分线斜率为
34
，所以由点斜式3
2(5)4y x +=-，
得AB 的中垂线方程为34230x y --=
（2）当1//l AB 时，由点斜式43(2)3
y x +=--得4310x y ++= 当1l 过AB 中点时，由两点式
32
2352
y x +-=-+-得3110x y --= 所以，直线1l 的方程为4310x y ++=或3110x y --= 【点睛】
本题主要考查直线方程的求法以及直线与直线的位置关系的应用，意在考查学生的运算能力． 16． 答案见解析 【解析】 【分析】
在三条棱两两垂直的三棱锥中,相互垂直的棱构成的三角形的面积分别为123,,S S S ,底面的面
积为S ,则有2222
123S S S S ++=.然后证明之,即可求得答案.
【详解】
猜想:在三条棱两两垂直的三棱锥中,相互垂直的棱构成的三角形的面积分别为123,,S S S ,底
面的面积为S ,则有2222
123S S S S ++= .
证明:设,,AB a AC b AD c === 过A 作AE BC ⊥,垂足为E ,联结DE , 过A 作AH DE ⊥,垂足为H , 画出图象:
三条棱两两垂直
∴,DA
AC DA
AB
故:DA ⊥面ABC
BC ⊂面ABC
∴DA BC ⊥
又AE BC ⊥
∴BC ⊥面DAE
DE ⊂面DAE
∴DE BC ⊥
易证AH ⊥平面BCD
()222
22
222222************S S S ab ac bc a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
在Rt ABC ∆Rt ABC ∆中
,
AC AB AE DE BC ⋅=
=
==
∴2
2S = ()22
222214
a b a c b c =
++ 222
2123S S S S ∴++=.
【点睛】
本题主要考查了根据已知结论进行猜想和证明,解题关键是掌握猜想的技巧和掌握立体几何的基础知识,考查了分析能力和推理能力,属于难题. 17．
（1）1q =，1p =，3()1log f x x x =-+，D=（0，∞）；（2）()(]2,,1k ∈+∞-∞-；（3）
32λ⎡⎫∈∞⎪⎢⎣⎭
，，(),1μ∈-∞
【解析】 【分析】
（1）根据(),f x αβ=⋅且(3)3,(9)10f f ==联立即可求得；
（2）根据题意表示出集合A ，再根据A B =∅，结合直线特点进行求解即可； （3）先化简()133f n n n a n -==⋅，，再采用错位相减法求得n S ，由0n
n n n
S S x a y k a -=⇒=
，
表示出具体表达式，再结合函数特征和极限思想即可求解 【详解】
（1）()3()log 1f x p x q x αβ=⋅=+-，又(3)3,(9)10f f ==，代入表达式得1,1p q ==，
3()1log f x x x =-+，()f x 的定义域D =()0∞，； （2）33()1log log 1
p q
g x x x x x =
=---，
A ={}(){}
,()(),21,0x y y f x g x x y y x x =+==->（
）（） {}(){}
,20,2B x y kx y k x y k x y =-+==+=（）（），可采用数形结合法来分析，画出
()21,0y x x =->和()2y k x =+的图像，如图：
k 的一个临界值为2，另一个临界值为1-，则()(]2,,1k ∈+∞-∞-； （3）()3
1log ()1333n n f n n n a n -+-===⋅，
则01211323333n n S n -=⋅+⋅+⋅+⋅①，()12313132333133n n n S n n -=⋅+⋅+⋅+
-⋅+⋅②，
②-①化简得()3211
4
n n n S -+=
，直线0n n S x a y -=的斜率为
()()111
3211
321133134324443n n n n n n n n n n S k a n n n n ----++====+
⋅--⋅⋅， ()13312443n h n n n --⋅=+，()33112414h =-+=，()13317
28836
2h -=⨯=+ ()2331
121223
31h -⋅=
+>，……()13313lim lim 24432n n n h n n n -→∞→∞=⎛⎫-+= ⎪⋅⎝⎭，则使n k μλ<<对一切*n N ∈恒成立，时，应满足32λ⎡⎫
∈∞⎪⎢⎣⎭
，，(),1μ∈-∞
【点睛】
本题考查待定系数法求函数解析式，根据交集情况求参数取值范围，错位相减法求和，数形结合思想的应用，运算能力，属于难题
18． （1）()*121n n N n S =∈-（2）1
lim 2
n n T →∞=（3）存在2m =，12n =使得1,,m n T T T 成等比数列． 【解析】 【分析】
（1）根据n S 与n a 的关系11,1
,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩即可找出n S 与1n S -的关系，构造等差数列
1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
， 即可求出n S 的表达式； （2）将n S 的表达式代入21
n
n S b n =+求得n b ，再根据裂项相消法求出n T ，化简可得1
12n + ，由数列极限的运算法则即可求出；
（3）假设存在，根据1,,m n T T T 成等比数列得到2
1m n T TT =，看是否能解出符合的解即可判断．
【详解】
（1）当2n ≥时，1n n n a S S -=-，代入2
12n n n S a S ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭，化简可得1120n n n n S S S S --+-=，
1
112n n S S --=，所以数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等差数列，即有()112121n n n S =+-=-，
故()*1
21
n n N n S =
∈-． （2）由（1）知，()*1
21n n N n S =
∈-，所以()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭
， 11111
112335212121
n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=
-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥
-++⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦， 故11lim lim
1
22n n n T n
→∞
→∞
==
+．
（3）假设存在，根据1,,m n T T T 成等比数列得到2
1m n T TT =，即2
121321m n m n ⎛⎫⎛
⎫= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
，
化简得，()22
32410m n m m =-++>，所以22410m m -++>，又因为1m ，解得
112m <<+，而2132
<+<，*m N ∈，故2m =，代入()223241m n m m =-++，解得12n =．
综上，存在2m =，12n =使得1,,m n T T T 成等比数列． 【点睛】
本题主要考查n S 与n a 的关系的应用，裂项相消法求数列的和，数列极限的运算法则的应用以及等比数列的定义应用等，意在考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力和数学建模能力． 19．
（1）圆C 的普通方程为22(3)(4)4x y -++=.直线l 直角坐标方程2x y += (2) 2 【解析】 【分析】
（1）结合22sin cos 1θθ+=，消去参数，得到圆C 的普通方程；结合
cos ,sin x y ρθρθ==，代入，得到直线l 的直角坐标方程。

（2）计算，圆心C 到该直线的距离，计算四边形AMBC 的面积，计算最小值，即可。

【详解】
（1）由(
)3242x cos y sin θθθ=+⎧⎨=-+⎩为参数得()()22
22344cos 4sin 4x y θθ-++=+=， 即圆C 的普通方程为()()2
2
344x y -++=.
由cos 24πρθ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭得22cos sin 222ρθθ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭
， 即cos sin 2ρθρθ+=，由cos x
sin y ρθρθ=⎧⎨=⎩得直线l 直角坐标方程2x y +=
（2）圆心()3,4C -到直线l :2x y +=的距离为342
32
2
2
d --=
=
M 是直线l 上任意一点，则32
2
MC d ≥=
， 四边形AMBC 面积22
122||42422
S AC MA MC d =⨯⨯⨯=-≥-=……9分
四边形AMBC 面积的最小值为2 【点睛】
本道题考查了参数方程、极坐标方程向普通方程的转化，难度中等。

20．
（1）见解析（2）
【解析】试题分析：第一问根据弦切角与圆周角相等，得到EDC EAD ∠=∠，根据同弧所对的圆周角是相等的，得到DCB DAB ∠=∠，根据题中的条件，
平分，得到
,EDC DCB ∠=∠根据内错角相等，两直线平行，从而得出
，第二问根据题意，设
,CAB CBA θ∠=∠=再结合题中的角的关系，得出3
,2EDA EDC CDA θ∠=∠+∠=根据圆内接
四边形的对角互补，从而可得3
2
ACB θ∠=，根据三角形的内角和得出
的值． 试题解析：（1）与圆相切，，
平分
，
所以
；
（2）设3
,,2CAB CBA EDA ACD EDC CDA θθ∠=∠=∠=∠=∠+∠=
1
,3,3
ACB ACD DCF ACD DAB BAC θθππ∴∠=∠-∠=∠-∠==∠=
考点：圆的性质，平行线的判定，圆内接四边形的条件．。