2017-2018届湖南省雅礼中学高三第七次月考文科数学试题及答案

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湖南省长沙市雅礼中学2024届高三下学期月考(七)数学试题(含答案与解析)_4591

雅礼中学2024届高三月考试卷（七）数学（时量120分钟，满分150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集{}2,4,6,8,10,12U =，{}4,6,8M =，{}8,10N =，则集合{}2,12=（）A. M N ⋃B. M N ⋂C. ()U C M N ⋃D. ()U C M N2. 下列命题正确的是（）A. “ln ln m n <”是“e e m n <”的充分不必要条件B. 命题：0,ln 1x x x ∀>≤-的否定是：0000,ln 1x x x ∃>≥-C. 5πsin cos 2x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭D. 函数21x y x +=+在()(),11,-∞--+∞ 上是减函数 3. 若复数z 满足|2i ||2i |8z z ++-=，则复数z 在复平面内所对应点的轨迹是（） A 椭圆B. 双曲线C. 圆D. 线段4. 已知D 是ABC 所在平面内一点，3255AD AB AC =+，则（）A. 25BD BC =B. 35BD BC = C. 32BD BC =D. 23BD BC =5. 我们把由0和1组成的数列称为01-数列，01-数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛应用，把斐波那契数列{}()12211,n n n n F F F F F F ++===+中的奇数换成0，偶数换成1可得到01-数列{}n a ，记.数列{}n a 的前n 项和为n S ，则100S 的值为（） A. 32B. 33C. 34D. 356. 我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突.器身施白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密.碗内口沿饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱.该元青花团菊花纹小盏口径8.4厘米，底径2.8厘米，高4厘米，它的形状可近似看作圆台，则其侧面积约为（单位：平方厘米）（）12.2≈）A. 34πB. 27πC. 20πD. 18π7. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>有共同的焦点1F ，2F ，且在第一象限内相交于点P ，椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ．若123F PF π∠=，则12e e ⋅的最小值是A.12B.C.D.328. 求值：2cos40cos80sin80+=（）A.B.C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 某市7天国庆节假期期间的楼房日认购量（单位：套）与日成交量（单位：套）的折线图如下图所示，小明同学根据折线图对这7天的日认购量与日成交量作出如下判断，则下列结论正确的是（）A. 日认购量与日期正相关B. 日成交量的中位数是26C. 日成交量超过日平均成交量的有2天D. 10月7日日认购量的增量大于10月7日日成交量的增量10. 抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景､丰富的性质产生了无穷的魅力.设,A B 是抛物线2:4C x y =上两个不同的点，以()()1122,,,A x y B x y 为切点的切线交于P 点.若弦AB 过点()0,1F ，则下列说法正确的有（） A. 124x x =-B. 若12x =，则A 点处的切线方程为10x y --=C. 存在点P ，使得0PA PB ⋅>D. PAB 面积的最小值为411. 已知函数()()()1e 1xf x x x =+--，则下列说法正确的有A. ()f x 有唯一零点B. ()f x 无最大值C. ()f x 在区间()1,+∞上单调递增D. 0x =为()f x 的一个极小值点三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 雅礼中学将5名学生志愿者分配到街舞社､戏剧社､魔术社及动漫社4个社团参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个社团､每个社团至少分配1名志愿者，则不同分配方案共有__________种13. 已知圆221:(2)1C x y +-=与圆222:(2)(1)4C x y -+-=相交于,A B 两点，则()1211C C C A C B =⋅+__________.的14. 某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角ABC 外接圆的半径为2，且三条圆弧沿ABC 三边翻折后交于点P .若3AB =，则sin PAC ∠=___________；若::6:5:4AC AB BC =，则PA PB PC ++的值为___________.四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 人工智能正在改变我们的世界，由OpenAI 开发的人工智能划时代标志的ChatGPT 能更好地理解人类的意图，并且可以更好地回答人类的问题，被人们称为人类的第四次工业革命.它渗透人类社会的方方面面，让人类更高效地生活.现对130人的样本使用ChatGPT 对服务业劳动力市场的潜在影响进行调查，其数据的统计结果如下表所示：服务业就业人数的ChatGPT 应用的广泛性减少增加合计广泛应用 60 10 70 没广泛应用 40 20 60 合计 10030130（1）根据小概率值0.01α=独立性检验，是否有99%的把握认为ChatGPT 应用的广泛性与服务业就业人数的增减有关？（2）现从“服务业就业人数会减少”的100人中按分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记抽取的3人中有X 人认为人工智能会在服务业中广泛应用，求X 的分布列和均值.的的附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α 0.10.05 0.01x α 2.706 3841 6.63516. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,2,,120ABCD PA AB BC AD CD ABC ∠===== .（1）求证：平面PAC ⊥平面PBD；（2）若点M 为PB 的中点，线段PC 上是否存在点N ，使得直线MN 与平面PAC 所成角的正弦值为.若存在，求PN PC 的值；若不存在，请说明理由.17. 如图，圆C 与x 轴相切于点()2,0T ，与y 轴正半轴相交于,M N 两点（点M 在点N 的下方），且3MN =．(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一条直线与椭圆22184x y +=相交于两点A B 、，连接AN BN 、，求证：ANM BNM ∠=∠．18. 已知函数()()2ln 3f x x x ax x a =--∈R ..（1）若1x =是函数()f x 的一个极值点，求实数a 的值；（2）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，其中12x x <， ①求实数a 的取值范围；②若不等式122ln 31ax k x k +>+恒成立，求实数k 的取值范围.19. 对于无穷数列{}n c ，若对任意*,m n ∈N ，且m n ≠，存在*k ∈N ，使得m n k c c c +=成立，则称{}n c 为“G 数列”.（1）若数列{}n b 的通项公式为2n b n =，试判断数列{}n b 是否为“G 数列”，并说明理由；（2）已知数列{}n a 为等差数列，①若{}n a 是“G 数列”，*128,a a =∈N ，且21a a >，求2a 所有可能的取值；②若对任意*n ∈N ，存在*k ∈N ，使得k n a S =成立，求证：数列{}n a 为“G 数列”.参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集{}2,4,6,8,10,12U =，{}4,6,8M =，{}8,10N =，则集合{}2,12=（）A. M N ⋃B. M N ⋂C. ()U C M N ⋃D. ()U C M N【答案】C 【解析】【分析】根据交集、并集、补集的定义分别计算各选项对应的集合，从而可得正确的选项. 【详解】{}4,6,810M N = ，而{}8M N = ，故(){}U 2,12M N =U ð，(){}U 2,4,6,10,12M N = ð，故选：C.2. 下列命题正确的是（）A. “ln ln m n <”是“e e m n <”的充分不必要条件B. 命题：0,ln 1x x x ∀>≤-的否定是：0000,ln 1x x x ∃>≥-C. 5πsin cos 2x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭D. 函数21x y x +=+在()(),11,-∞--+∞ 上是减函数【答案】A 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断A ，根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断B ，利用诱导公式判断C ，利用特殊值判断D.【详解】对于A ：由函数ln y x =为定义在()0,∞+上单调递增函数，因为ln ln m n <，可得0m n <<，又因为函数e x y =为单调递增函数，可得e e m n <，即充分性成立；反之：由e e m n <，可得m n <，当,m n 小于0时，此时ln ,ln m n 没意义，即必要性不成立，所以“ln ln m n <”是“e e m n <”的充分不必要条件，故A 正确；对于B ：命题：0,ln 1x x x ∀>≤-的否定是：0000,ln 1x x x ∃>>-，故B 不正确；对于C ：5ππsin sin cos 22x x x ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 不正确；对于D ：当2x =-时0y =，当0x =时2y =，但20-<，可得02<，所以函数21x y x +=+在()(),11,-∞--+∞ 上不是减函数，故D 不正确；故选：A.3. 若复数z 满足|2i ||2i |8z z ++-=，则复数z 在复平面内所对应点的轨迹是（） A. 椭圆 B. 双曲线C. 圆D. 线段【答案】A 【解析】【分析】根据题意，利用复数的几何意义，以及椭圆的定义，即可求解. 【详解】设()()()12,,0,2,0,2P x y F F -，复数z 对应点P ，因为复数z 满足|2i ||2i |8z z ++-=，由复数的几何意义，可得21128242PF PF a F F c +==>==，的所以复数z 对应的点满足椭圆的定义，复数z 在复平面内所对应点的轨迹是椭圆. 故选：A.4. 已知D 是ABC 所在平面内一点，3255AD AB AC =+，则（）A. 25BD BC =B. 35BD BC = C. 32BD BC =D. 23BD BC =【答案】A 【解析】【分析】由平面向量线性运算可得.【详解】由3255AD AB AC =+ ，得3255AB BD AB AC +=+得2255BD AB AC =-+，得()2255BD AB AC BC =-+= ，故选：A5. 我们把由0和1组成的数列称为01-数列，01-数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛应用，把斐波那契数列{}()12211,n n n n F F F F F F ++===+中的奇数换成0，偶数换成1可得到01-数列{}n a ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则100S 的值为（） A. 32 B. 33C. 34D. 35【答案】B 【解析】【分析】根据题意求得数列的前9项，通过观察找到规律，继而可求. 【详解】因为12211,n n n F F F F F ++===+，所以34567892,3,5,8,13,21,34,F F F F F F F ======= ，所以数列{}n a 的前若干项为：1231567890,1,0,0,1,0,0,1,a a a a a a a a a ========= ，则1234567891a a a a a a a a a ++=++=++== ，所以100331033S =⨯+=. 故选:B.6. 我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突.器身施白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密.碗内口沿饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱.该元青花团菊花纹小盏口径8.4厘米，底径2.8厘米，高4厘米，它的形状可近似看作圆台，则其侧面积约为（单位：平方厘米）（）12.2≈）A. 34πB. 27πC. 20πD. 18π【答案】B 【解析】【分析】根据题意结合圆台的侧面积公式分析求解. 【详解】设该圆台的上底面､下底面的半径分别为,R r ，由题意可知： 4.2, 1.4R r ==，则圆台的母线长l ==所以其侧面积为()()π 4.2 1.4π 4.2 1.44 1.2227π⨯+⨯≈⨯+⨯⨯≈. 故选：B.7. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>有共同的焦点1F ，2F ，且在第一象限内相交于点P ，椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ．若123F PF π∠=，则12e e ⋅的最小值是A.12B.C.D.32【答案】C 【解析】【分析】设共同的焦点为(,0)c -，(,0)c ，设1PF s =，2PF t =，运用椭圆和双曲线的定义，以及三角形的余弦定理和基本不等式，即可得到所求最小值．【详解】解：设共同的焦点为(,0)c -，(,0)c ，设1PF s =，2PF t =，由椭圆和双曲线的定义可得2s t a +=，2s t m -=，解得s a m =+，t a m =-，在12PF F ∆中，123F PF π∠=，可得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠，即为222224()()()()3c a m a m a m a m a m =++--+-=+，即有222234a m c c+=，即为2221314e e +=，由221213e e +≥，可得12e e ⋅≥，当且仅当21e =，故选C ．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．8. 求值：2cos40cos80sin80+=（）A.B.C.D. 【答案】A 【解析】【分析】易知()cos40=cos 12080-，再利用两角差的余弦公式计算可得结果.【详解】()2cos 12080cos802cos40cos80sin80sin80-++=()2cos120cos80sin120sin80cos80sin80++===故选：A.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 某市7天国庆节假期期间的楼房日认购量（单位：套）与日成交量（单位：套）的折线图如下图所示，小明同学根据折线图对这7天的日认购量与日成交量作出如下判断，则下列结论正确的是（）A. 日认购量与日期正相关B. 日成交量的中位数是26C. 日成交量超过日平均成交量的有2天D. 10月7日日认购量的增量大于10月7日日成交量的增量【答案】BD 【解析】【分析】根据正相关的定义结合图象即可判断A ；根据中位数的定义结合图象即可判断B ；根据图中数据进行计算即可求得平均数，即可判断C ；根据图中数据进行计算即可判断D . 【详解】由题图可以看出，数据点并不是从左下至右上分布，所以A 错；将成交量数据按大小顺序排列，中位数为26，所以B 对；日平均成交量为1383216263816642.77++++++≈，超过42.7的只有一天，所以C 错；10月7日认购量的增量为276112164-=，成交量的增量为16638128-=，所以D 对，故选:BD.10. 抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景､丰富的性质产生了无穷的魅力.设,A B 是抛物线2:4C x y =上两个不同的点，以()()1122,,,A x y B x y 为切点的切线交于P 点.若弦AB 过点()0,1F ，则下列说法正确的有（） A. 124x x =-B. 若12x =，则A 点处的切线方程为10x y --=C. 存在点P ，使得0PA PB ⋅>D. PAB 面积的最小值为4 【答案】ABD 【解析】【分析】联立方程组，结合韦达定理，可判定A 正确；求得12y x '=，得到切点坐标2111,4A x x ⎛⎫⎪⎝⎭，得出切线方程2111124y x x x =-，进而可判定B 正确；由直线AP 的斜率为112x ，直线BP 的斜率为212x ，得到12114x x =-，可判定C 错误；由过点B 的切线方程为2221124y x x x =-，结合弦长公式，得到()32241ABP S k=+ ，可D 正确.【详解】对于A 中，设直线:1AB y kx =+，联立方程组214y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得2440x kx --=，再设()()1122,,,A x y B x y ，则12124,4x x k x x +=⋅=-，所以A 正确；对于B 中，由抛物线24x y =.可得214y x =，则12y x '=，则过点A 的切线斜率为112x ，且21114y x =，即2111,4A x x ⎛⎫⎪⎝⎭，则切线方程为：()21111142y x x x x -=-，即2111124y x x x =-，若12x =时，则过点A 的切线方程为：10x y --=，所以B 正确；对于C 中，由选项B 可得：直线AP 的斜率为112x ，直线BP 的斜率为212x ，因为12121111224x x x x ⋅==-，所以AP BP ⊥，即0PA PB ⋅= ，所以C 错误；对于D 中，由选项B 可知，过点B 的切线方程为2221124y x x x =-，联立直线,PA PB 的方程可得()12,1,,1,PF PF AB P k k k k PF AB k-=-⋅=-⊥，所以12ABP S AB PF =⋅ ，()2241AB x k =-===+，PF ===则()32241ABPSk=+ ，当0k =时，ABP S △有最小值为4，所以D 正确.故选：ABD.11. 已知函数()()()1e 1xf x x x =+--，则下列说法正确的有A. ()f x 有唯一零点B. ()f x 无最大值C. ()f x 在区间()1,+∞上单调递增D. 0x =为()f x 的一个极小值点【答案】BCD 【解析】【分析】求出函数的零点判断A ；利用导数探讨函数()f x 在(2,)+∞上的取值情况判断B ；利用导数探讨单调性及极值情况判断CD.【详解】对于A ，依题意，()()100f f -==，即=1x -和0x =是函数()()()1e 1xf x x x =+--的零点，A 错误；对于B ，当0x >时，令()e 1xu x x =--，求导得()e 10xu x =->'，函数()u x 在()0,∞+上递增，当2x ≥时，()2e 31u x ≥->，而1y x =+在()0,∞+上递增，值域为()1,+∞，因此当2x ≥时，()1f x x >+，则()f x 无最大值，B 正确；对于C ，()()2e 22xf x x x '=+--，令()()2e 22xg x x x =+--，求导得()()3e 2xg x x =+-'，当0x >时，令()()3e 2xh x x =+-，则()()4e 0xh x x '=+>，即()()g x h x '=在()0,∞+上递增，()()010g x g '='>>，则()()f x g x '=在()0,∞+上递增，()()00f x f ''>=，因此()f x 在()0,∞+上递增，即()f x 在()1,+∞上单调递增，C 正确；对于D ，当10x -<<时，()22e 2xx x x ϕ+=-+，求导得()22e (2)xx x ϕ=-+'，显然函数()x ϕ'在()1,0-上递增，而()()11120,00e 2ϕϕ'-'=-<=>，则存在()01,0x ∈-，使得()00x ϕ'=，当()0,0x x ∈时，()0x ϕ'>，函数()x ϕ在()0,0x 上单调递增，则()()00x ϕϕ<=，即当()0,0x x ∈时，22e 2xx x +<+，则()()2e 220xf x x x '=+--<，又()00f '=，因此0x =为()f x 的一个极小值点，D 正确. 故选：BCD【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：①直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．②零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[,]a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅＜，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．③利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 雅礼中学将5名学生志愿者分配到街舞社､戏剧社､魔术社及动漫社4个社团参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个社团､每个社团至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有__________种【答案】240 【解析】【分析】根据题意，先将5名学生志愿者分为4组，再将分好4组安排参加4个社团参加志愿活动，结合分步计数原理，即可求解.【详解】根据题意，分2步进行分析：①将5名学生志愿者分为4组，有25C 10=种分组方法，②将分好的4组安排参加4个社团参加志愿活动，有44A 24=种情况，的则有1024240⨯=种分配方案. 故答案为：240.13. 已知圆221:(2)1C x y +-=与圆222:(2)(1)4C x y -+-=相交于,A B 两点，则()1211C C C A C B =⋅+__________. 【答案】2 【解析】【分析】易知两圆公共弦AB 所在的直线方程为()()12210,0,2,2,1x y C C -+=，由点到直线距离公式可得向量1C A 在向量12C C 方向上的投影为d = 2.【详解】由题意可知两圆公共弦AB 所在的直线方程为()()12210,0,2,2,1x y C C -+=，如下图所示：所以点1C 到直线210x y -+=的距离为2d C ==，又易知12C C AB ⊥，所以向量1C A 在向量12C C 方向上的投影为d =所以1211C C C A ⋅== ，同理可得1211C C C B ⋅= ，所以()12112C C C A C B ⋅+=.故答案为：214. 某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角ABC 外接圆的半径为2，且三条圆弧沿ABC 三边翻折后交于点P .若3AB =，则sin PAC ∠=___________；若::6:5:4AC AB BC =，则PA PB PC ++的值为___________.【答案】 ①.②. 234##5.75【解析】【分析】第一空，由正弦定理求得3sin 4ACB ∠=，可得cos ACB ∠=角形诱导公式推得sin cos PAC ACB ∠∠=，即得答案；第二空，设,,CAB CBA ACB ∠θ∠α∠β===，由余弦定理求得它们的余弦值，然后由垂心性质结合正弦定理表示出()4cos cos cos PA PB PC θαβ++=++，即可求得答案. 【详解】设外接圆半径为R ，则2R =，由正弦定理，可知324sin sin AB R ACB ACB∠∠===，即3sin 4ACB ∠=，由于ACB ∠是锐角，故cos ACB ∠= 又由题意可知P 为三角形ABC 的垂心，即⊥AP BC ,故π2PAC ACB ∠∠=-，所以sin cos PAC ACB ∠∠==；设,,CAB CBA ACB ∠θ∠α∠β===，则πππ,,222PAC PBA PAB ∠β∠θ∠α=-=-=-，由于::6:5:4AC AB BC =，不妨假设6,5,4AC AB BC ===，由余弦定理知222222222654345614659cos ,cos ,cos 2654245824616θαβ+-+-+-======⨯⨯⨯⨯⨯⨯，设AD,CE,BF 为三角形的三条高，由于ππ,22ECB EBC PCD CPD ∠+∠=∠+∠= , 故EBC CPD ∠=∠ ,则得πππAPC CPD EBC ABC ∠∠∠=-∠=-=-，所以24ππsin sin sin sin 22PC PA AC ACR APC ABC∠∠βθ=====⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理可得24πsin sin sin 2PB AB ABR APB ACB∠∠α====⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()319234cos cos cos 448164PA PB PC θαβ⎛⎫++=++=++=⎪⎝⎭,；234 【点睛】本题重要考查了正余弦定理在解三角形中的应用，涉及到三角形垂心的性质的应用，解答时要能灵活地结合垂心性质寻找角之间的关系，应用正余弦定理，解决问题.四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 人工智能正在改变我们的世界，由OpenAI 开发的人工智能划时代标志的ChatGPT 能更好地理解人类的意图，并且可以更好地回答人类的问题，被人们称为人类的第四次工业革命.它渗透人类社会的方方面面，让人类更高效地生活.现对130人的样本使用ChatGPT 对服务业劳动力市场的潜在影响进行调查，其数据的统计结果如下表所示：服务业就业人数的ChatGPT 应用的广泛性减少增加合计广泛应用601070没广泛应用 40 20 60 合计 10030130（1）根据小概率值0.01α=的独立性检验，是否有99%的把握认为ChatGPT 应用的广泛性与服务业就业人数的增减有关？（2）现从“服务业就业人数会减少”的100人中按分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记抽取的3人中有X 人认为人工智能会在服务业中广泛应用，求X 的分布列和均值.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α 0.10.05 0.01x α 2.706 3.841 6.635【答案】（1）没有（2）分布列见解析，95【解析】【分析】（1）根据题意求2χ，并与临界值对比判断；（2）根据分层抽样求各层人数，结合超几何分布求分布列和期望. 【小问1详解】零假设为0H ：ChatGPT 对服务业就业人数的增减无关.根据表中数据得220.01130(60204010) 6.603 6.635706010030x ⨯⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯χ，所以根据小概率值0.01α=的独立性检验，没有充分证据推断0H 不成立，因此可以认为无关. 【小问2详解】由题意得，采用分层抽样抽取出的5人中，有6053100⨯=人认为人工智能会在服务业中广泛应用，有4052100⨯=人认为人工智能不会在服务业中广泛应用，则X 的可能取值为1,2,3，又()()()1231332323335355C C C C C 3311,2,3C 10C 5C 10P X P X P X =========，所以X 的分布列为X1 2 3P310 35 110所以()3319123105105E X =⨯+⨯+⨯= 16. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,2,,120ABCD PA AB BC AD CD ABC ∠===== .（1）求证：平面PAC ⊥平面PBD ；（2）若点M 为PB 的中点，线段PC 上是否存在点N ，使得直线MN 与平面PAC 所成角的正弦值为.若存在，求PN PC 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，14PN PC =或38PN PC = 【解析】【分析】（1）设AC 的中点为O ，根据题意证得BD AC ⊥和BD PA ⊥，证得BD ⊥平面PAC ，进而证得平面PAC ⊥平面PBD .（2）以,OCOD 所在的直线为x 轴和y轴，建立空间直角坐标系，设()01PN PC λλ=≤≤，分别求得平面PAC和1,122MN λ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，结合向量的夹角公式，列出方程，即可求解..【小问1详解】设AC 的中点为O ，因为AB BC =，所以BO AC ⊥，因为AD CD =，所以DO AC ⊥，所以,,B O D 三点共线，所以BD AC ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD PA ⊥，因为PA AC A = ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，因为BD ⊂平面PBD ，所以平面PAC ⊥平面PBD . 【小问2详解】以,OC OD 所在的直线为x 轴和y 轴，过O 点作平行于AP 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则)()(),2,0,1,0CP B -，因为M 为PB的中点，所以1,12M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设()01PN PC λλ=≤≤，所以()22N λ--，所以1,122MN λ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，由（1）知BD ⊥平面PAC ，所以平面PAC 的一个法向量为()0,1,0n =，设直线MN 与平面PAC 所成角为θ，则sin cos ,MN n MN n MN n θ⋅====，即当14PN PC =或38PN PC =时，直线MN 与平面PAC.17. 如图，圆C 与x 轴相切于点()2,0T ，与y 轴正半轴相交于,M N 两点（点M 在点N 的下方），且3MN =．(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一条直线与椭圆22184x y +=相交于两点A B 、，连接AN BN 、，求证：ANM BNM ∠=∠．【答案】（Ⅰ）()22525224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；（Ⅱ）见解析【解析】【详解】分析：(1)设圆心坐标为()2,r ，根据3MN =.可由勾股定理求出r ，求得圆的方程． (2)讨论当斜率不存在时0ANM BNM ∠=∠= ；当斜率存在时，设出直线1y kx =+方程，联立椭圆方程，利用韦达定理表示出1212246,1212k x x x x k k+=-=-++，表示出AN BN k k 、，即可判定ANM BNM ∠=∠．详解：(1)由题可知圆心的坐标为()2,.r ∵22232553,2,242MN r r ⎛⎫=∴=+== ⎪⎝⎭∴圆C 方程为:()22525224x y ⎛⎫-+-=⎪⎝⎭ (2) 由圆C 方程可得()()0,1,0,4M N①当AB 斜率不存在时，0ANM BNM ∠=∠=②当AB 斜率存在时，设AB 直线方程为:1y kx =+. 设()()1122,,,A x y B x y()2222112460184y kx k x kx x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩ 1212246,1212k x x x x k k +=-=-++∴()22121212121226423234412120612AN BN k k kx x x x y y k k k k x x x x k ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪-+--++⎝⎭⎝⎭+=+===-+∴0AN BN k k +=综上所述ANM BNM ∠=∠点睛：本题考查了求圆标准方程，直线与椭圆的关系，通过韦达定理解决相交弦问题，也是高考的常考点，属于难点．18. 已知函数()()2ln 3f x x x ax x a =--∈R .（1）若1x =是函数()f x 的一个极值点，求实数a 的值；（2）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，其中12x x <， ①求实数a 的取值范围；②若不等式122ln 31ax k x k +>+恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】18. 1-19. ①310,2e ⎛⎫⎪⎝⎭，②[)1,+∞ 【解析】【分析】（1）对函数求导，依题意可得()10f '=，解得1a =-，经检验符合题意；（2）①将函数()f x 有两个极值点转化为方程ln 220x ax --=有两个不同的正数根，再由函数与方程的思想可知函数()ln 2x g x x-=与函数2y a =的图象在()0,∞+上有两个不同交点，利用数形结合可得310,2e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；②由两极值点的关系通过构造函数可将不等式恒成立问题转化为函数()()ln 11ln 0F t t t t k t t =-+---<对任意的01t <<恒成立，利用导数并对实数k 的取值分类讨论即可求得[)1,k ∞∈+. 【小问1详解】易知()ln 123ln 22f x x ax x ax =+--=--'，又1x =是函数()f x 的一个极值点，()10f ∴'=，即220,1a a --=∴=-.此时()ln 22f x x x +'=-，令()()1ln 22,20h x x x h x x+='=-+>， ()()f x h x ∴'=在()0,∞+上单调递增，且()10f '=，当()()0,1,0x f x ∈'<，当()()1,,0x f x '∈+∞>，()f x ∴在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以1x =是()f x 的极小值点，即1a =-符合题意；因此实数a 的值为1-. 【小问2详解】①因为()ln 22f x x ax -'=-，且()()2ln 3f x x x ax x a =--∈R 有两个极值点12,x x ，所以方程()0f x '=在()0,∞+上有两个不同的根，即方程ln 220x ax --=有两个不同的正数根，将问题转化为函数()ln 2x g x x-=与函数2y a =的图象在()0,∞+上有两个不同交点，则()23ln x g x x -'=，令()23ln 0xg x x'-==，解得3e x =，当3e x >时，()()0,g x g x '<单调递减，当30e x <<时，()()0,g x g x '>单调递增，且当2e x >时，()()20,e0g x g >=，故作出()g x 的图象如下：由图象可得3120,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭满足题意，即310,2e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 即实数a 的取值范围为310,2e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； ②由①知12,x x 是ln 220x ax --=的两个根，故11222ln 20,2ln 20x ax x ax -+-=-+-=，则1212ln ln 2x x a x x -=-，不妨设12x t x =，又120x x <<，所以()120,1x t x =∈可得21tx x =，可得122212ln ln 2ln 0x x x x x x --+-=-，即122122ln2ln 0x x x x x x -+-=-，所以2ln ln 21tx t =+-；故由122ln 31ax k x k +>+可得121212ln ln ln 31x x x k x k x x -+>+-，即2222ln ln 31t tx k x k tx x +>+-，所以2ln ln 311t tk x k t +>+-；也即ln ln 23111t t t k k t t ⎛⎫++>+ ⎪--⎝⎭，化简得ln 11ln 11t t t t t k t t -+--⎛⎫> ⎪--⎝⎭，由于01t <<，所以等价于()ln 11ln 0t t t k t t -+---<对任意的01t <<恒成立，令()()ln 11ln F t t t t k t t =-+---，故()0F t <对任意01t <<恒成立，则()ln kF t t k t '=-+，设()ln k m t t k t =-+，则()221k t km t t t t='-=-，（i ）当0k ≤时，()()()20,t km t m t F t t-=>'='单调递增，故()()()10,F t F F t '='<单调递减，故()()10F t F >=，不满足，舍去；（ii ）当1k ≥时，()()()20,t km t m t F t t -=<'='单调递减，故()()()10,F t F F t '='>单调递增，故()()10F t F <=，故()0F t <恒成立，符合题意；（iii ）当01k <<时，令()20t km t t-'==，则t k =，当1k t <<时，()()()0,m x m x F t >'='单调递增，当0t k <<时，()()()0,m x m t F t <'='单调递减，又()10F '=，故1k t <<时，()()10F t F ''<=，此时()F t 单调递减，故()()10F t F >=，的因此当1k t <<时，()0F t >，不符合题意，舍去. 综上，实数k 的取值范围为[)1,+∞.【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用两极值点关系可得1212ln ln 2x x a x x -=-，并通过构造函数将不等式问题转化为函数在指定区间上恒成立问题，利用导函数求出函数最值即可求得实数k 的取值范围. 19. 对于无穷数列{}n c ，若对任意*,m n ∈N ，且m n ≠，存在*k ∈N ，使得m n k c c c +=成立，则称{}n c 为“G 数列”.（1）若数列{}n b 的通项公式为2n b n =，试判断数列{}n b 是否为“G 数列”，并说明理由；（2）已知数列{}n a 为等差数列，①若{}n a 是“G 数列”，*128,a a =∈N ，且21a a >，求2a 所有可能取值；②若对任意*n ∈N ，存在*k ∈N ，使得k n a S =成立，求证：数列{}n a 为“G 数列”. 【答案】（1）是，理由见解析（2）①2a 的可能值为9,10,12,16.②证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，推得()222m n b b m n m n +=+=+，取k m n =+，得到m n k b b b +=，即可求解；（2）若{}n a 是“G 数列”，且为等差数列，得到()81n a n d =+-，进而得到存在*k ∈N ，使得m n k a a a +=，求得()18k m n d --+=，得到d 的值，进而求得2a 的可能值；②设数列{}n a 公差为d ，得到()3n a t n d =+-，求得()26m n a a t m n d +=++-，鸡儿推得k m n a a a =+，得到答案.【小问1详解】解：数列{}n b 的通项公式为2n b n =，对任意的*,,m n m n ∈≠N ，都有()2,2,222m n m n b m b n b b m n m n ==+=+=+，取k m n =+，则m n k b b b +=，所以 {}n b 是“G 数列”.的【小问2详解】解：数列{}n a 为等差数列，①若{}n a 是“G 数列”，*128,a a =∈N ，且*2121,0,a a d a a d >=->∈N ，则()81n a n d =+-，对任意的()()*,,,81,81m n m n m n a m d a n d ∈≠=+-=+-N ，()882m n a a m n d +=+++-，由题意存在*k ∈N ，使得m n k a a a +=，即()()88281m n d k d +++-=+-，显然k m n ≥+，所以()()281m n d k d +-+=-，即()18k m n d --+=，*1k m n --+∈N .所以d 是8的正约数，即1,2,4,8d =，1d =时，29,7a k m n ==++； 2d =时2,10,3a k m n ==++；4d =时2,12,1a k m n ==++；8d =时2,16,a k m n ==+.综上，2a 的可能值为9,10,12,16.②若对任意*n ∈N ，存在*k ∈N ，使得k n a S =成立，所以存在*122,,3t t a a S a t ∈+==≥N ，设数列{}n a 公差为d ，则()()11121,2a d a t d a t d +=+-=-，可得()()()213n a t d n d t n d =-+-=+-，对任意()()*,,,3,3m n m n m n a m d a n d ιι∈≠=+-=+-N ，则()26m n a a t m n d +=++-，取*3k t m n =++-∈N ，可得()()326k m n a t k d t m n d a a =-+=++-=+，所以数列{}n a 是“G 数列”.。

2017-2018学年湖南省高三(上)第七次月考数学试卷(文科)Word版(解析版)

2017-2018学年湖南省高三（上）第七次月考试卷（文科数学）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知P={x|1＜x＜5}，则P∩N的子集个数为（）A．3个B．4个C．6个D．8个2．（5分）复数z满足z（1+i）2=1﹣i，则|z|为（）A．B．C．i D．23．（5分）给定命题p：y=tanx﹣1只有一个零点，q：y=lg（x2+1）的值域[0，+∞），则以下为真命题的是（）A．p B．￢q C．p∧q D．￢p∨q4．（5分）已知{a n}为等差数列，S7=28，S11=66，则a5=（）A．3 B．4 C．5 D．65．（5分）边长为2的正三角形绕其一边旋转一周得一几何体，则其表面积与俯视图（垂直于旋转轴）的面积分别为（）A．B．C．D．3π，2π6．（5分）图象的一个对称中心可以是（）A．（0，0）B．C．D．7．（5分）运行如图所示程序框图，则输出的S为（）A．10 B．9 C．8 D．以上都不对8．（5分）x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）A．0 B．5 C．7 D．109．（5分）已知，，则的最小值为（）A．B．2 C．D．以上都不对10．（5分）抛物线y2=8x的焦点到的一条渐近线距离为1，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．211．（5分）直线x+my+m=0，将x2﹣6x+y2+4y+5=0分成1：2两段弧，则m为（）A．4或﹣4 B．3或﹣5 C．2或﹣6 D．1或﹣712．（5分）f（x）=x3﹣ax2+a（a＞0）有且只有一个零点，则a的范围为（）A． B．C．D．以上都不对二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）f（x）=x2+lnx，则f（x）在x=1处的切线方程为．14．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球半径，过AC作外接球截面，当截面圆最小时，其半径为．15．（5分）S n为{a n}前n项和对n∈N*都有S n=1﹣a n，若b n=log2a n，恒成立，则m的最小值为．16．（5分）设n为正整数，，计算得，f（4）＞2，，f（16）＞3，观察上述结果，可推测一般的结论为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在标准情况下，同时建立直角坐标系与极坐标系已知圆：ρ=4cosθ，直线．（1）求圆的参数方程；（2）若直线与圆相切，求a及直线的极坐标方程．18．（12分）某中学对甲、乙两文班进行数学测试，按照120分及以上为优秀，否则为非优秀统计成绩得（2）从上述5人中选2人，求至少有1名乙班学生的概率；19．（12分）△ABC中，．（1）求A；（2）若，求b+c范围．20．（12分）四棱锥P﹣ABCD的底面是菱形，∠BAD=60°，PA⊥底面ABCD，PA=AB=a，E为棱PC上点．（1）面EBD与面PAC能否始终垂直，证明你的结论；（2）若E为PC中点，求异面直线BE与PA所成角；（3）当△EBD面积最小时，求E﹣BDC体积．21．（12分）已知C：=1（a＞b＞0），离心率为，P、Q为其上两动点，A为左顶点，且A到上顶点距离．（1）求C方程；（2）若PQ过原点，PA、QA与y轴交于M、N，问是否为定值；（3）若PQ过右焦点，问其斜率为多少时，|PQ|等于短轴长．22．（12分）设f（x）=lnx﹣ax+1．（1）求f（x）的极值；（2）当a＞0时，恒有f（x）≤0，求a范围，在此情况下，4x﹣3•2x+3≤a恒成立，求x范围；（3）证明：．2017-2018学年湖南省高三（上）第七次月考试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2015秋•常德校级月考）已知P={x|1＜x＜5}，则P∩N的子集个数为（）A．3个B．4个C．6个D．8个【分析】首先明确N表示自然数集，然后根据交集的定义，P∩N={2，3，4}，再由计算集合子集的个数公式（含有n个元素的集合的子集个数为2n个）算出结果．【解答】解：∵P∩N={2，3，4}∴P∩N中含有三个元素∴P∩N的子集个数为23=8故选D【点评】本题主要考查特殊数集的表示，交集以及计算集合子集的个数公式（含有n个元素的集合的子集个数为2n个），属基础题型2．（5分）（2015秋•常德校级月考）复数z满足z（1+i）2=1﹣i，则|z|为（）A．B．C．i D．2【分析】由z（1+i）2=1﹣i=z•2i=1﹣i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算可得答案．【解答】解：由z（1+i）2=1﹣i=z•2i=1﹣i，得=，则|z|=．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．3．（5分）（2015秋•常德校级月考）给定命题p：y=tanx﹣1只有一个零点，q：y=lg（x2+1）的值域[0，+∞），则以下为真命题的是（）A．p B．￢q C．p∧q D．￢p∨q【分析】根据正切函数的图象和性质，可判断p的真假；根据对数函数的图象和性质，可判断q的真假；进而得到答案．【解答】解：y=tanx﹣1有无数个零点，故命题p为假命题；x2+1≥1，故lg（x2+1）≥0，故y=lg（x2+1）的值域[0，+∞），故命题q为真命题；故￢p∨q为真命题，故选：D【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题的真假判断，正切函数的图象和性质，对数函数的图象和性质，难度中档．4．（5分）（2015秋•常德校级月考）已知{a n}为等差数列，S7=28，S11=66，则a5=（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】利用等差数列的求和公式与通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S7=28，S11=66，∴7a1+=28，11a1+d=66，解得a1=d=1．则a5=1+（5﹣1）=5．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的求和公式与通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（5分）（2015秋•常德校级月考）边长为2的正三角形绕其一边旋转一周得一几何体，则其表面积与俯视图（垂直于旋转轴）的面积分别为（）A．B．C．D．3π，2π【分析】旋转体是两个圆锥，求得圆锥的底面半径为R与母线长，代入圆锥的侧面积公式计算可得旋转体的表面积，利用圆的面积公式求出俯视图（垂直于旋转轴）的面积．【解答】解：将边长为2的正三角形绕着它的一边旋转一周所形成的旋转体是两个圆锥，圆锥的底面半径为R=2×=，母线长为2，∴旋转体的表面积S=2×S圆锥侧面=2×π××2=4．俯视图（垂直于旋转轴）的面积==3π．故选B．【点评】本题考查了旋转体的表面积，判断旋转体的形状，求相关几何量（旋转半径，母线）的数据是关键．6．（5分）（2015秋•常德校级月考）图象的一个对称中心可以是（）A．（0，0）B．C．D．【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后利用正弦函数的对称性求解即可．【解答】解：=2sin（3x﹣）．3x﹣=kπ，k∈Z，可得x=，k=0时，可得函数的一个对称中心为：（，0）．故选：D．【点评】本题考查正弦函数的图象与性质的应用，考查计算能力．7．（5分）（2015秋•常德校级月考）运行如图所示程序框图，则输出的S为（）A．10 B．9 C．8 D．以上都不对【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行的是什么．【解答】解：根据题意，模拟程序框图的运行过程，得：该程序运行的是S=﹣1++…+=﹣．故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论．8．（5分）（2015秋•常德校级月考）x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）A．0 B．5 C．7 D．10【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，可得当x=3且y=2时，z取得最大值为7．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（0，1），B（1，0），由可得C（3，2）将直线l：z=x+2y进行平移，当l经过点C时，目标函数z达到最大值∴z最大值=7．故选：C．【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识．9．（5分）（2015秋•常德校级月考）已知，，则的最小值为（）A．B．2 C．D．以上都不对【分析】由向量垂直的坐标运算可得x﹣y=2．求出的坐标，代入向量的模，转化为关于x的二次函数求解．【解答】解：由，，得（x+1）×1+（y﹣1）×（﹣1）=x+1﹣y+1=0，即x﹣y=2．∴=|（x+2，y﹣2）|==．∴．故选：D．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，训练了利用配方法求二次函数的最值，是中档题．10．（5分）（2015秋•常德校级月考）抛物线y2=8x的焦点到的一条渐近线距离为1，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．2【分析】求出抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，运用点到直线的距离公式，结合双曲线的a，b，c，e 的关系，即可得到所求离心率．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），的一条渐近线为y=x，即bx﹣ay=0，由题意可得d===1，即c=2b=2，可得3c2=4a2，即e==．故选：B．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，以及点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题．11．（5分）（2015秋•常德校级月考）直线x+my+m=0，将x2﹣6x+y2+4y+5=0分成1：2两段弧，则m为（）A．4或﹣4 B．3或﹣5 C．2或﹣6 D．1或﹣7【分析】设直线与圆的交点弦为AB，直线x+my+m=0，将x2﹣6x+y2+4y+5=0分成1：2两段弧得知：圆心C （3，﹣2）与AB构成三角形，则∠ACB=120°．再根据点到直线的距离公式可求出m．【解答】解：设直线与圆的交点弦为AB，由题意知，圆心C（3，﹣2），半径R=2；直线x+my+m=0，将x2﹣6x+y2+4y+5=0分成1：2两段弧得知：圆心C（3，﹣2）与AB构成三角形，则∠ACB=120°．所以，圆心C到直线AB的距离为：sin30°=由圆心C到直线AB的距离为d==解得：m=1或﹣7故选：D【点评】本题主要考查了点到直线的距离公式，以及弧长与圆心角关系，属中档题．12．（5分）（2015秋•常德校级月考）f（x）=x3﹣ax2+a（a＞0）有且只有一个零点，则a的范围为（）A． B．C．D．以上都不对【分析】求出函数的导数，得到函数的极值，f（x）=x3﹣ax2+a（a＞0）有且只有一个零点，极小值大于0，列出不等式求解即可．【解答】解：f（x）=x3﹣ax2+a，（a＞0）可得y′=3x2﹣2ax，令y′=0，可得x=0，或x=，x＜0时y′＞0，x＞时，y′＞0，0＜x＜时，y′＜0，∴函数在（﹣∞，0），（，+∞）单调递增，在（0，）单调递减，x=0时，函数取的极大值为：a＞0．∴x=时，函数取得极小值：，f（x）=x3﹣ax2+a（a＞0）有且只有一个零点，必有：＞0，解得a∈（0，），故选：B．【点评】本题考查了函数的思想，运用求解零点问题，关键构造函数，利用图象交点问题求解，属于中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（2015秋•常德校级月考）f（x）=x2+lnx，则f（x）在x=1处的切线方程为3x﹣y﹣2=0 ．【分析】求出原函数的导函数，得到f′（1）的值，再求出f（1）的值，然后利用直线方程的点斜式得答案．【解答】解：由f（x）=x2+lnx得：f′（x）=2x+，∴f′（1）=3．又f（1）=1．∴函数f（x）=x2+lnx在x=1处的切线方程为y﹣1=3×（x﹣1）．即3x﹣y﹣2=0．故答案为：3x﹣y﹣2=0．【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．14．（5分）（2015秋•常德校级月考）正方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球半径，过AC作外接球截面，当截面圆最小时，其半径为．【分析】过AC作外接球截面，当截面圆最小时，球心到截面的距离最大，即可得出结论．【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球半径，∴正方体的棱长为1，过AC作外接球截面，当截面圆最小时，球心到截面的距离最大为，其半径为．故答案为．【点评】本题考查球内接正方体，考查学生的计算能力，比较基础．15．（5分）（2015秋•常德校级月考）S n为{a n}前n项和对n∈N*都有S n=1﹣a n，若b n=log2a n，恒成立，则m的最小值为 1 ．【分析】先根据数列的递推公式求出a n的通项公式，再求出b n的通项公式，根据裂项求和和放缩法即可求出m的最小值．【解答】解：∵S n=1﹣a n，∴S n﹣1=1﹣a n﹣1，∴a n=S n﹣S n﹣1=（1﹣a n）﹣（1﹣a n﹣1）=a n﹣1﹣a n，∴2a n=a n﹣1，∵S1=1﹣a1=a1，∴a1=∴数列{a n}是以为首项，以为公比的等比数列，∴a n=（）n，∴b n=log2a n=﹣n，∴==﹣，∴++…+=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣，∴m＞1﹣，∴m的最小值为1，故答案为：1【点评】本题考查了数列的通项公式的求法和裂项其和以及放缩法以及不等式恒成立的问题，属于中档题．16．（5分）（2015•大观区校级四模）设n为正整数，，计算得，f（4）＞2，，f（16）＞3，观察上述结果，可推测一般的结论为f（2n）≥（n∈N*）．【分析】根据已知中的等式：，f（4）＞2，，f（16）＞3，…，我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后，即可得到答案．【解答】解：观察已知中等式：得，f（4）＞2，，f（16）＞3，…，则f（2n）≥（n∈N*）故答案为：f（2n）≥（n∈N*）．【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）（2015秋•常德校级月考）在标准情况下，同时建立直角坐标系与极坐标系已知圆：ρ=4cosθ，直线．（1）求圆的参数方程；（2）若直线与圆相切，求a及直线的极坐标方程．【分析】（1）化圆的极坐标方程为普通方程，然后化为圆的标准方程为参数方程；（2）求出圆心到直线l的距离d，从而求得a的值；将直线参数方程转化为普通方程，然后化为直线的标准方程为极坐标方程．【解答】解：（1）由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，即x2﹣4x+y2=0，配方为（x﹣2）2+y2=4．设x﹣2=2cosα，则y=2sinα，α∈[0，2π）．则圆的参数方程；（2）由直线得到y+x﹣a=0．由（1）知，圆的方程为：（x﹣2）2+y2=4．则该圆的圆心是（2，0），半径是2，所以当直线与圆相切时，d=2=，解得a=2﹣2或a=2+2；故直线是y+x﹣2+2=0或y+x﹣2﹣2=0．∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴极坐标方程式ρcosθ+ρsinθ﹣2+2=0或ρcosθ+ρsinθ﹣2﹣2=0．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18．（12分）（2015秋•常德校级月考）某中学对甲、乙两文班进行数学测试，按照120分及以上为优秀，（2）从上述5人中选2人，求至少有1名乙班学生的概率；人；（2）从上述5人中选2人，有=10种方法，即可求出至少有1名乙班学生的概率；（3）利用公式计算k2==4＞3.841，即可得出结论．【解答】解：（1）优秀学生比例为3：2，∴用分层抽样的方法在优秀学生中选取5人，甲班抽3人；（2）从上述5人中选2人，有=10种方法，至少有1名乙班学生的概率为1﹣=0.7；（3）k2==4＞3.841，∴有95%的把握认为“成绩与班级有关”．【点评】独立性检验的应用的步骤为：根据已知条件将数据归结到一个表格内，列出列联表，再根据列联表中的数据，代入公式，计算出k值，然后代入离散系数表，比较即可得到答案．19．（12分）（2015秋•常德校级月考）△ABC中，．（1）求A；（2）若，求b+c范围．【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后即可确定出A的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，把a与cosA的值代入并利用基本不等式求出b+c的范围，再利用三角形三边关系即可确定出满足题意b的范围．【解答】解：（1）∵将ccosB+bcosC=2acosA，利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=2sinAcos（A﹣），∴sin（B+C）=sinA=2sinAcos（A﹣），∵sinA≠0，∴cos（A﹣）=，∵A为三角形内角，∴A=；（2）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即3=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc≥（b+c）2﹣=，即（b+c）2≤12，解得：﹣2≤b+c≤2，∵b+c＞a=，∴b+c的范围为＜b+c≤2．【点评】此题考查了余弦定理，基本不等式的运用，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．20．（12分）（2015秋•常德校级月考）四棱锥P﹣ABCD的底面是菱形，∠BAD=60°，PA⊥底面ABCD，PA=AB=a，E为棱PC上点．（1）面EBD与面PAC能否始终垂直，证明你的结论；（2）若E为PC中点，求异面直线BE与PA所成角；（3）当△EBD面积最小时，求E﹣BDC体积．【分析】（1）如图所示，面EBD与面PAC能始终垂直．证明如下：连接BD，AC，设BD∩AC=O，连接OE．利用菱形的性质可得：BD⊥AC．由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BD，可得BD⊥平面PAC，即可证明面EBD⊥面PAC．（2）如图所示，建立空间直角坐标系．利用=即可得出异面直线BE与PA所成角．（3）当OE⊥PC时，OE为异面直线BD与PC的距离，取得最小值．可得OE=OC•sin∠ECO．此时当△EBD面积取得最小值，E﹣BDC体积=×EC．【解答】解：（1）如图所示，面EBD与面PAC能始终垂直．证明如下：连接BD，AC，设BD∩AC=O，连接OE．∵底面四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC．∵PA⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，∴PA⊥BD，又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，又BD⊂平面BDE，∴面EBD⊥面PAC．（2）如图所示，建立空间直角坐标系．A（0，0，0），C（0，a，0），P（0，0，a），B，E，∴=（0，0，a），=，∴===．∴异面直线BE与PA所成角为．（3）O，当OE⊥PC时，OE且异面直线BD与PC的距离，取得最小值．∴OE=OC•sin∠ECO=a×=×=a．∴当△EBD面积最小为=时，E﹣BDC体积=×EC=×=．【点评】本题考查了空间位置关系、空间角、向量夹角公式、数量积运算性质、直角三角形的边角关系、三棱锥的体积计算公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．21．（12分）（2015秋•常德校级月考）已知C：=1（a＞b＞0），离心率为，P、Q为其上两动点，A为左顶点，且A到上顶点距离．（1）求C方程；（2）若PQ过原点，PA、QA与y轴交于M、N，问是否为定值；（3）若PQ过右焦点，问其斜率为多少时，|PQ|等于短轴长．【分析】（1）由题意：离心率e=，A为左顶点，即A（﹣a，0），且A到上顶点距离，可得：a2+b2=5．根据椭圆中a，b，c的关系即可求出a，b的值．可得C方程．（2）由题意：P、Q为其上两动点，A为左顶点，PQ过原点，根据椭圆的对称性，可知P，Q坐标关于原点对称．设出P的坐标，可得Q的坐标，求出PA、QA的求出方程与y轴交于M、N的坐标，即可得．（3）利用点斜式设出PQ直线方程，利用弦长公式与短轴长建立等式关系求解k的值．【解答】解：（1）由题意：离心率e==，A为左顶点，即A（﹣a，0），且A到上顶点距离，可得：a2+b2=5，又因为a2﹣b2=c2．解得：a=2，b=1，c=所以C方程为．（2）由题意：P、Q为其上两动点，A为左顶点，PQ过原点，设P（x1，y1），根据椭圆的对称性，可知Q （﹣x1，﹣y1）则：，可得：直线PA的方程为：直线QA的方程为：（x+2）PA、QA的出方程与y轴交于M、N的坐标，令x=0，解得：M（0，），N（0，），，=（2，），那么：=4+，∵∴=5（常数）所以是定值，其定值为5．（3）PQ过右焦点，其右焦点F（，0），∵k存在，∴直线PQ方程为y=k（x﹣），即联立，化简整理：；，∵弦长|PQ|等于短轴长．可得：|PQ|==2解得k=．所以当PQ过右焦点，斜率为时，|PQ|等于短轴长．【点评】本题考查了椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系的运用和计算能力，综合性强，计算量大，考查了平面向量的数量积运算，是难题．22．（12分）（2015秋•常德校级月考）设f（x）=lnx﹣ax+1．（1）求f（x）的极值；（2）当a＞0时，恒有f（x）≤0，求a范围，在此情况下，4x﹣3•2x+3≤a恒成立，求x范围；（3）证明：．【分析】（1）求导数，分类讨论，取得函数的单调性，即可求f（x）的极值；（2）由（1）可知﹣lna≤0，a≥1.4x﹣3•2x+3≤a恒成立，4x﹣3•2x+3≤1，由此即可求x范围；（3）证明lnx≤x﹣1，从而，令x=n2，可得≤（1﹣），再进行叠加，利用放缩法，即可证得结论成立．【解答】（1）解：∵f（x）=lnx﹣ax+1，∴f′（x）=﹣a=，a≤0时，f′（x）＞0，函数单调递增，无极值；a＞0时，f′（x）＞0，0＜x＜，函数单调递增，f′（x）＜0，x＞，函数单调递减，∴x=，函数取得极大值f（）=﹣lna；（2）解：由（1）可知﹣lna≤0，∴a≥1．4x﹣3•2x+3≤a恒成立，∴4x﹣3•2x+3≤1，∴4x﹣3•2x+2≤0，1≤2x≤2，∴0≤x≤1；（3）证明：当a=1，当0＜x≤1，f（x）=lnx﹣x+1，f′（x）=＞0，所以f（x）在（0，1]上单调递增；x＞1时，f（x）=lnx﹣x+1，f′（x）=＜0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴f（x）≤f（1）=0，∴lnx≤x﹣1．∵x＞0，∴，∵n∈N+，n≥2，令x=n2，得≤（1﹣），∴++…+≤（1﹣+…+1﹣），=[n﹣1﹣（+…+）]＜[n﹣1﹣（+…+]=[n﹣1﹣（﹣）]=，∴．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，用放缩法证明不等式，体现了转化的数学思想，其中用放缩法证明不等式是解题的难点．。

湖南省长沙市雅礼中学2017-2018学年高三月考(八)文数试题 Word版含答案

2017-2018学年数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}21,16,4,1,A x B x ==,若B A ⊆,则x = （）A ．0B ．4-C ．0或4-D ．0或4± 2. 已知111222log log log b a c <<,则（）A ．222bac>> B ．222abc>> C ．222cba>> D ．222cab>>3. 设复数12ix yi i-=++其中x 、y R ∈,则x y +的值为（） A ．1 B ．25- C ．13 D ．154. 阅读如图的程序框图,若运行相应的程序,则输出的S 的值是（）A ．39B ．21C ．81D ．102 5. 在某次测量中得到的A 样本数据如下：42,43,46,52,42,50,若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都减5后所得数据，则A 、B 两样本的下列数字特征对应相同的是（） A ．平均数 B ．标准差 C ．众数 D ．中位数6. ，则该锥体的俯视图可以是（）A ．B ．C ．D ．7. 一只昆虫在边长分别为6,8,10的三角形区域内随机爬行,则其到三角形顶点的距离小于2的概率为（） A ．12π B ．10π C ．6π D ．24π 8. 直线()13y k x -=-被圆 ()()22224x y -+-=所截得的最短弦长等于（） A．．9. 在ABC ∆中,sin 2cos cos cos 2sin sin A C AA C A+=-是角,,A B C 成等差数列的（） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．即不充分也不必要条件10. 四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列结论中，下列说法错误的是（） A ．AC BD ⊥ B ．AC 截面PQMNC ．AC BD = D ．异面直线PM 与BD 所成的角为4511. 已知区域10:10330x y D x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩,的面积为S ,点集(){},|1T x y D y kx =∈≥+在坐标系中对应区域的面积为12S ,则k 的值为（） A ．13 B ．12C ．2D ．312. 在数列{}n a 中，若221(2,,n n a a p n n N p *--=≥∈为常数），则称{}n a 为“等方差数列”.下列是对“等方差数列”的判断：①若{}n a 是等方差数列,则{}2n a 是等差数列;②若数列{}n a 是等方差数列，则数列{}2n a 是等方差数列；③(){}1n-是等方差数列;④若{}n a 是等方差数列，则{}(,kna k N k *∈为常数)也是等方差数列.其中正确的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数()x f x xe =在其极值点处的切线方程为．14.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知123,2,3S S S 成等差数列，则等比数列{}n a 的公比为．15.在ABC ∆中，过中线AD 的中点E 任作一直线分别交边AB 、AC 于M 、N 两点, 设(),,0AM xAB AN yAC x y ==≠, 则4x y +的最小值是．16. 如图，已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上有一点A ,它关于原点的对称点为B ，点F为双曲线的右焦点，且满足AF BF ⊥,设ABF α∠=,且,126ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则该双曲线离心率e 的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）若)()()1s in ,cos ,co s 2a x xb x x x R fωωωωω==>∈=-,且()f x 的最小正周期是π，设ABC ∆三个角,,A B C 的对边分别为,,a b c . （1）求ω的值；（2）若()1,sin 3sin 2c f C B A ===,求 ,a b 的值.18. （本小题满分12分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了 1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取2组,用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验.（1）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；（2）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据,求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问(2)中所得线性回归方程是否理想？参考公式：1122211()()()()n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y b xn x x x ====---==--∑∑∑∑ , a y bx =-19. （本小题满分12分）如图, 设四棱锥E ABCD -的底面为菱形, 且60,2,ABC AB EC AE BE ∠===== （1）证明：平面EAB ⊥平面ABCD ；（2）求四棱锥E ABCD -的体积.20. （本小题满分12分）设m R ∈,在平面直角坐标系中，已知向量(),1a mx y =+，向量(),1,b x y a b =-⊥，动点(),M x y 的轨迹为E .(1)求轨迹E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状； (2)已知14m =,证明：存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E 恒有两个交点,A B ，且(OA OB O ⊥为坐标原点），并求该圆的方程.21. （本小题满分12分）已知函数()()()1ln ,k x f x x g x x-==. （1）当k e =时, 求函数()()()h x f x g x =-的单调区间和极值；（2）若()()f x g x ≥恒成立；求实数k 的值.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知BC 为圆O 的直径,点A 为圆周上一点,AD BC ⊥于点D ,过点A 作圆O 的切线交BC 的延长线于点P ,过点B 作BE 垂直PA 的延长线于点E ,求证：（1）PA PD PE PC = ；（2）AD AE =.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程是(2x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩是参数），圆C 的极坐标方程为2cos 4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求圆心C 的直角坐标（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x x =-++.（1）解关于x 的不等式()4fx x ≥-；（2）设(){},|a b y y f x ∈=,试比较()2a b +与4ab +的大小.湖南省长沙市雅礼中学2016届高三月考（八）数学（文）试题参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1-5.CABDB 6-10.CACAC 11-12.AB 二、填空题（每小题5分，共20分）13.1y e =- 14.13 15.9416.1⎤⎦ 三、解答题17.解：（1）()2111cos cos 2cos 2sin 22226f x a b x x x x x x πωωωωωω⎛⎫=-=+-=+= ⎪⎝⎭ , 由22T πππωω===得1ω=.sin 3sin B A = , ∴由正弦定理得3b a =. ② 由 ① ②解得1,3a b ==.18. 解：（1）设柚到相邻两个月的教据为事件A .因为从6组教据中选取2组教据共有15种情况，每种情况都是等可能出现的其中，抽到相邻两个月份的教据的情况有5种,所以()51153P A ==. （2）由教据求得11,24x y ==,由公式求得187b =,再由307a y bx =-=-.所以y 关于x 的线性回归方程为183077y x =-. (3) 当10x =时, 150150,22277y =-< ；同样, 当6x =时, 7878,12277y =-<, 所以该小组所得线性回归方程是理想的.19. 解：（1）取AB 的中点O ,连接,,EO CO AC ,由2AE BE AB ==知AEB ∆为等腰直角三角形, 故,1EO AB EO ⊥=,又,60AB BC ABC =∠= ,则ABC ∆是等边三角形,从而CO =.又因为2EC =,所以222EC EO CO =+,所以EO CO ⊥.又,EO AB CO AB O ⊥= ,因此EO ⊥平面ABCD .又EO ⊂平面EAB ,故平面EAB ⊥平面ABCD.（2）1122sin 601333E ABCD ABCD V S EO -==⨯⨯⨯⨯=. 20. 解：（1）,0a b a b ⊥∴=,即()(),1,10mx y x y +-= ,故2210mx y +-=,即221mx y +=.当0m =时, 该方程表示两条直线；当1m =时, 该方程表示圆；当0m >时, 且1m ≠时,该方程表示椭圆；当0m <时, 该方程表示双曲线.（2）当14m =时,轨迹E 的方程为2214x y +=,设圆的方程为()22201x y r r +=<<,当切线斜率存在时,可设圆的任一切线方程为y kx t =+, ()()1122,,,A x y B x y ,r =,即()2221t r k =+. ① 因为1212,0OA OB x x y y ⊥∴+=,即()()12120x x kx t kx t +++=,整理得()()22121210k x x kt x x t ++++= . ② 由方程组2214x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消去y 得()222148440k x ktx t +++-=. ③ 由根与系数的关系得 12221228144414kt x x k t x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩, 代入②式并整理得()2222222448101414t k t k t k k-+-+=++,即22544k t =+,结合①式有()254,0,15r r ==,当切线斜率不存在时,2245x y += 也满足题意, 故所求圆的方程为2245xy +=. 21. 解：（1）注意到函数()f x 的定义域为()()()()10,,ln 0k x h x x x x-+∞=->, 当k e =时,()221'e x eh x x x x-=-=, 若0x e <<,则()'0h x <；若x e >,则()'0h x >. 所以()h x 是()0,e 上的减函数, 是(),e +∞上的增函数,故()()2h x h e e ==-极小值,故函数()h x 的减区间为()0,e ,增区间为(),e +∞,极小值为2e -,无极大值.（2）由（1）知()221'k x kh x x x x-=-=,当0k ≤时,()'0h x > 时, ()h x 是()0,+∞上的增函数,注意到()10,01h x =∴<<时,()0h x <, 不合题意. 当0k >时, 若()0,'0x k h x <<<；若(),'0x k h x >>.所以()h x 是()0,k 上的减函数,是(),k +∞上的增函数, 故只需()()min ln 10h x h k k k ==-+≥.令()()()11ln 10,'1xx x x x x x xμμ-=-+>=-=,当01x <<时, ()'0x μ>；当1x >时,()'0x μ<. 所以()x μ是()0,1上的减函数,是()1,+∞上的增函数.故()()10x μμ≤=当且仅当1x =时等号成立. 即1k =所求. 22. 解：（1）因为,,.,AP PDAD BP BE AP APD BPE AP PE PD PB BP PE⊥⊥∴∆∆∴=∴= . 又因为,PA PB 分别为圆O 的切线和割线,2,,AP PCPA PB PC PA PD PE PC PE PD∴=∴=∴= .（2）连接,AC DE 因为BC 为圆O 的直径, 所以90BAC ∠=,即AB AC ⊥,又因为,.AP PCAC DE AB DE PE PD=∴∴⊥ ,又因为,.,,,BE AP AD PB A D B E ⊥⊥∴四点共圆且AB 为直径, 又因为,AB DE AD AE ⊥∴=.23. 解：（1）2,ρθθρθθ=∴= ,∴圆C 的直角坐标方程为220x y +=,即221,22x y ⎛⎛-++=∴ ⎝⎭⎝⎭圆心直角坐标为⎝⎭. （2）直线l 上的点向圆C引切线长是==≥,∴直线l上的点向圆C 引的切线长的最小值是.24. 解：（1）()()()()2111312,3214212x x x f x x x x x x x -+<-⎧<-⎪⎧=-≤≤∴⇒≤-⎨⎨-+≥-⎩⎪->⎩,或122,12,,234214x x x x x x x-≤≤>⎧⎧⇒≤≤⇒>⎨⎨≥--≥-⎩⎩或.所以不等式的解集为(][),31,-∞-+∞ .（2）由（1）已知()3,3,3f x a b ≥≥∴≥≥.由于()()()()()()2422422222a b ab a ab b a b b a b +-+=-+-=-+-=--, 由于()()3,3,20,20,220,a b a b a b ≥≥∴->-<∴--<()24a b ab ∴+<+.。

2018年最新湖南省雅礼中学2018届高三第七次月考试卷精品

湖南省雅礼中学2018届高三第七次月考试卷数学试卷（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第11卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．参考公式：正棱锥、圆锥的侧面积公式如果事件A. B 互斥，那么S 锥侧=21cl P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A 、B 相互独立，那么P (A ·B)=P (A)·P （B ）其中，c 表示底面周长、1表示斜高或母线长如果事件A 在1次实验中发生的概率是球的体积公式V 球=34∏R3P,那么n 次独立重复实验中恰好发生k次的概率其中R 表示球的半径P n (k)= kn c p k(1-P)n-k第I 卷（选择题共50分）一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．设Z ＝231i +-,则Z 2等于 A ．231i --B.231i +-C.231i +D ．Z ＝231i- 2．若|a|=2sin15o,|b |=4cos15 o,a 与b 的夹角为30o，则a ·b的值为A ．23B ．3C ．23D ．213．己知f (x)11-+x x ，则f -1(x) A ．在区间(-1, +oo)上是增函数 C ．在区间-1, +oo ）上是减函数 B ．在区间(-oo, 1)上是增函数 D ．在区间(-00, 1)上是减函数4．己知α，β声表示平面，a,b 表示直线，则a//α的一个充分条件是 A ．α⊥β，a ⊥β B ．α∩β=b,a//b C ．a//b ， b//a D ．α⊥β, a ⊂β 5．设f (x)=⎩⎨⎧>≤+)0()0(2x ex b x x , 若lim 0→x f (x)存在，则常数b 是 A ．0 B ．-1C ．1D ．e6．设a=21cos6 o -23sin6 o,b=︒+︒13tan 1 13tan 22,c=250cos 1︒-则 A ．a<c<b B ．a<b<c C ．c<b<a D ．b<c<a 7．与圆x 2 + y 2-4x=0外切，又与Y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是A ．y 2=8xB ．y 2=8x(x>0)或y=0 x<0C ．y 2 =8x 或y=0D ．y 2=8x (x ≠0)8．若无穷等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，各项的和为S ，且S=S n +2 a n ，则{a n }的公比为 A ．-32 B ．32 C ．-31D ．31 9．设直线x=0和y=x 将圆x 2+y 2=4分成4部分，用5种不同的颜色给四部分涂色，每部分涂一种且相邻部分不能同种颜色，则不尚的涂色方案有 A. 120种B . 240种C ．260种D ．280种10．如图，下列三图中的多边形均为正多边形，M, N 是所在边上的中点，双曲线均以图中 F,F 为焦点，设图①②③中双曲线的离心率分别为e 1, e 2, e 3．则A. e 1>e 2>e 3 B ． e 3 >e 2>e 1 C ．e 2>e 1= e 3 D ．e 1=e 3 >e 2二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上． 11，一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下：则样本在（10,50）上的频率为_________。

湖南省长沙市雅礼中学高三数学月考试题(七)文(含解析)

湖南省长沙市雅礼中学高三数学月考试题（七）文（含解析）数学（文科）注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{1,2,3,4}A =，{}0,1,2,4,5B =，全集B A U ⋃=，则集合)(B A C U 中的元素共有（） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个【答案】A 【解析】【分析】利用交集与并集定义先求B A 与B A ，再利用补集定义求)(B A C U .【详解】由题意得{}0,1,2,3,4,5A B ⋃=，{}1,2,4A B ⋂=，所以(){}0,3,5U C A B ⋂= 故选A.【点睛】理解交集、并集、补集的概念，确定A 、B 中的公共元素、所有元素、B A 的补集中的元素，本题考查集合的基本运算.2.若复数12iz i+=，则z 等于（） A. 2i -- B. 2i -+C. 2i -D. 2i +【答案】D 【解析】【分析】由复数的四则运算，将复数化成bi a z +=的形式，再利用共轭复数的定义可得答案. 【详解】∵()121221i ii z i i ++===--，∴2z i =+. 故选D.【点睛】本题考查复数的计算，同时考查实部和虚部以及共轭复数，当两个复数的实部相等且虚部为相反数时称一个复数是另一个复数的共轭复数，意在考查学生对这一部分知识的掌握水平.3.已知p ：12x +>，q ：x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是（） A. 1a ≥ B. 1a ≤C. 3a ≥-D. 3a -≤【答案】A 【解析】【分析】首先解不等式x 12+>，求出p ⌝和q ⌝对应的不等式，再根据p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，得到二者之间的关系，建立不等关系进而求解.【详解】p ⌝是q ⌝的充分不必要条件的等价命题为q 是p 的充分不必要条件，即q p ⇒，而p ⇒q ，p 化简为1x >或3x <-，所以当1a ≥时，q p ⇒. 故选A.【点睛】本题考查了不等式和充分不必要条件的应用，对于充分不必要条件的考查，首先要根据题设写出命题所表示的不等式的解集，其次根据条件列出不等关系，再解不等式即可.4.在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：则x 、y 的函数关系与下列哪类函数最接近？（其中a 、b 为待定系数）（）A. y a bx =+B. xy a b =+ C. b ax y +=2D. b y a x=+【答案】B 【解析】【分析】可以逐一验证,若选A ，则y 的值增加幅度应比较接近；若选C ，则x=1,-1的值应比较接近；若选D ，则x=0不可取.【详解】∵对应数据显示该函数是增函数，且增幅越来越快，∴A 不成立； ∵C 是偶函数，∴1x =±的函数值应该相等，∴C 不成立； ∵0x =时，bx无意义，∴D 不成立；对于B ，当0x =时，1y =，∴11a +=，0a =；当1x =时， 2.02y b ==，经验证它与各教据比较接近. 故选B.【点睛】函数模型的选择应充分利用函数的性质，函数的性质主要有函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图像的对称性等方面.5.若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为A. 2-B. 2C. 4-D. 4【答案】D 【解析】解：椭圆22162x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =，故选D 。

湖南省雅礼中学高三第七次月考(数学文)

湖南省雅礼中学2008届高三第七次月考数学试卷(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择)题两部分，满分150分.考试时量120分钟.第Ⅰ卷(选择题)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知条件p ：1|2:|41>-≤≤x q x ，条件，则p 是q ⌝的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 2．下列不等式中不．一定成立的是( ) A ．||||||c b c a b a -+-≤- B ．)0(1122≠+≥+a a a a aC ．)00(210log lg ≠>≥+a a a a 且D ．)0(213≥-+≤+-+a a a a a３．下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是 ( )Ａ．()sin f x x =Ｂ．()1f x x =-+ Ｃ．()1()10102xx f x -=-Ｄ．2()lg2xf x x-=+ 4．设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为y =±2x ，则该双曲线的离心率为 ( )A ．25B ．5C ．25D ．255．已知,a b 是不共线的向量，∈+=+=μλμλ,(,R )那么A ，B ，C 三点共线的充要条件为( )A ．λμ=1B ．1λμ=-C ．1=-μλD ．2λμ+=6．如果3nx ⎛⎫ ⎝的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x 的系数是 ( )A ．7B ．7-C ．21D ．21-7．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有 ( )A.108种B.186种C.216种D.270种8．设直线01234=-+y x 与两坐标轴分别交于A ，B 两点，若圆C 的圆心在原点，且与线段AB 有两个交点，则圆C 的半径的取值范围是( )A ．),512(+∞ B ．⎥⎦⎤⎝⎛3,512 C ．⎥⎦⎤⎝⎛4,512 D ．(3，4)9．正四棱锥S —ABCD 底面边长为2，高为2，E 是边BC 的中点，动点P 在表面上运动，并且总保持PE ⊥AC 则动点P 的轨迹的周长为( )A2BCD10．一房地产开发商将他新建的一栋20层商品楼的房价按下列方法定价：先确定一个基价a 元／2m ，再根据楼层的不同进行上、下浮动．一层的价格为)(d a -元／2m ，二层的价格为a 元／2m ，三层的价格为)(d a +元／2m ，第)4(≥i i 层的价格为])32([3-+i d a 元／2m ，则该商品房个层价格的平均值是 ( )Ａ．d a ])32(1[10117-+元／2mＢ．d a ])32(1[17-+元／2mＣ．a 元／2m Ｄ．d a ])32(1[20117-+元／2m 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.11．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程是_______________．12．已知实数y x y x y y x y x -⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-2,01,01,01,则满足的最大值为_____________.13．在三角形ABC 中，A =120°，AB =5，BC =7，则CBsin sin =_____________. 14．设0>a ，函数1)(2++=x bax x f ，b 为常数． (i)若函数)(x f 为奇函数，则b 的值为_________________；(ii)若函数)(x f 的最大值为1，最小值为1-，则a 的值为______________．15．某资料室在计算机使用中，如右表所示，编码以一定规则排列，且从左至右以及从上到下都是无限的． (i)此表中，主对角线上的数列1，2，5，10，17， ……，的通项公式为______________； (ii)编码100共出现_____________次．16．(本小题满分12分)已知函数.32sin sin 32)(2++-=x x x f(Ⅰ)求函数f (x )的最小正周期和最小值；(Ⅱ)在给出的直角坐标系中，用描点法画出函数],0[)(π在区间x f y =上的图像.17．(本小题满分12分)某种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：型血的人，其他不同血型的人不能互相输血。

湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上学期月考(七)文数(答案)

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湖南省长沙市雅礼中学2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题文(含解析)

雅礼中学2018年上学期期末考试试卷高二文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. ）C. D.【答案】D真子集就是比A范围小的集合;故选D;2. ）B. C.【答案】A的形式，.，所以虚部为1，故选A点睛：分式型复数化简，需要对分母利用平方差公式，分子分母同时乘一个式子，.3. 是方程的两根，则）C.【答案】C【解析】分析：为、的等比中项，则，由韦达定理，求出，.，故选C点睛：本题主要考察等比中项的公式，当结果为两个时，需要进行分析，防止多解，等比数列隔项符号相同.4. ）B. C.【答案】A本题选择A选项.5. ）B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.本题选择D选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．6.（）【答案】B【解析】分析：圆上任意一点关于某直线的对称点还在圆上，说明该直线必过圆心，根据圆心表达式求出圆心坐标，代入直线方程，即可求得m.故选B.圆的对称轴为过圆心的任意直线，可知直线过圆心.7. 是直线且）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：分别由面面平行的判定定理和面面平行的性质判断充分与必要性，即可得出结论.详解：若证面面平行，则需一个平面内两条相交直线均与另一平面平行，题目中只有一条直线，所以为不充分条件；若由面面平行证线面平行，利用面面平行的性质，如果两个面互相平行，其中一个面平行于另一个平面里的任意一条直线，所以为必要条件.故选A.点睛：本题考查线面、面面平行的性质与判定，需熟练掌握定理的题设与结论，必要时可以借助笔和纸进行模拟演示.8. 得到函数则函数的图象的一条对称轴的方程为（）B.【答案】Bk进行赋值，得出对称轴.解析式为正弦函数，则令，，令，则，故选点睛：三角函数图像左右平移时，需注意要把x放到括号内加减，求三角函数的对称轴，则x解析式，即为对称轴方程.9. 某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）【答案】C【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.在四棱锥由勾股定理可知：故选C.点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.10. ）C. D.【答案】D，令t的二次函数，根据t的取值范围，求二次函数的最值即可.y取最大值2y故选D.点睛：本题考查三角函数有关的最值问题，此类问题一般分为两类，一种是解析式化为.11. (单位：套)与成交量(单位：套)的折线图如图所示，小天的认购量与成交量作出如下判断：①日成交量的中位数是③认购量与日期正相关；）【答案】C【解析】分析：将数据按照大小顺序排列后，由于一共有7个数字，所以取第四个数字为中位数.日均成交量为成交量的平均数，正相关为统计图中的点从左下分布至右上.认购量与成交量的增量均是第七天与第六天数据之差.详解：将成交量数据按大小顺序排列，中位数为26，所以①错；44.1的只有一天，所以②错；由图中可以看出，数据点并不是从左下分布至右上，所以③错；10月7.故选C.点睛：本题主要考察统计知识，需熟练掌握样本数据特征的计算以及变量的相关性的概念.12. ，的左，右焦点，点相切，且，则双曲线）C. D.【答案】C为等腰三角形，设①C点睛：在圆锥曲线中涉及到焦点弦问题，通常要灵活应用圆锥的定义得到等量关系，本题中..第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. ．【解析】分析：向量垂直即向量的乘积为0，根据向量乘法的坐标运算列式，即可解出m.点睛：本题考查向量的垂直关系以及向量的坐标运算，熟练掌握计算公式.14. ，在集合__________．【解析】分析：列出两集合中各取一个元素，两两结合的所有情况，再分别代入直线，求出点在直线上的情况，利用古典概型公式计算.详解：两集合中各取一个元素，两两结合的所有情况为：、、、、、共62种情况，点睛：本题考查古典概型的计算以及点在直线上的判定方法，注意数据的抽取方式以及情况总数.15. ．【解析】分析：根据椭圆离心率公式表示出椭圆离心率e积为1等轴双曲线离心率为1列式为：，因为点睛：本题考查离心率公式，等轴双曲线的概念以及.根据题意列式即可，需要熟练掌握双曲线有关概念，如共轭双曲线、等轴双曲线等.16. 若对任意，取值范围是__________．【解析】分析：分段求不等式，将定义域分为0恒成立，即在相应区间内最大值小于等于0.根据二次函数性质求解，最后两区间内的范围取交集.点睛：分段函数类不等式要分段求解，0最小值大于等于0.同时需要注意区分恒成立与存在性问题的区别.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.【答案】【解析】分析：（Ⅰ）已知数列为等差数列，且知可；，设首项与公比，列式解出.代入前n项和公式即可.详解：（Ⅰ）设的公差为，则由已知条件得.（Ⅱ）由（1），.设点睛：本题综合考察等差等比数列的通项公式与前n项和公式，需要熟练掌握，代入公式，解得首项与公差公比即可.18..【答案】【解析】试题分析：，然后利用面积公式可得的面积是试题解析：，.，则中，由余弦定理得求得，即，中，由正弦定理得的面积市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士－(一月)单位：元)与空气质量指数，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失元的概率；（Ⅱ）的把握认为下面临界值表供参考.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）【解析】分析：（Ⅰ）根据经济损失求出t的范围，根据t的范围，求出相应的天数，与总天数作比即可求出概率；（Ⅱ）根据重度污染天数与供暖天数等求出各值，填入列联表，应的的k值3.841.详解：，频数为（Ⅱ）根据以上数据得到如表：点睛：本题第一问考察古典概型，根据公式计算即可，第二问考察数据的综合分析，需要利用各类数据的和差填表，所以要与0.05所对应的值3.841对比.20. 如图，为直角梯形，，中点.的面积为.【答案】（1）见解析；2）【解析】分析：（Ⅰ）证明线面平行，需在平面内构造一条线平行于已知直线，将直线.（Ⅱ）根据两个等边三角形和面面垂直，假设一边长为x，表示x，求出的面积.详解：（1是正三角形，所以，所以四边形为的中位线,所以四边形是平行四边形，从而，所以（2，连接..,的面积为点睛：证明平行有三种方式，分别为平行四边形、中位线和相似，一般通过平移直线的方作辅助线，求三棱锥体积时，要注意改变底面，选择底面与高容易求的形式，同时注意可以将高转化为其他线段去求.21. 点上的两动点，且线段..【答案】（Ⅰ）【解析】分析：（Ⅰ）由抛物线准线方程及P将点M的坐标代入抛物线，即可求得t.（Ⅱ）求直线OM方程，点Q在直线OM上，根据直线方程表示点Q坐标，消去参数n，利用点差法表示出直线AB斜率，进而求出直线方程，将直线AB方程与抛物线方程联立，用弦长公式求弦长，从而将d表示为关于m的函数，根据m范围求最值.详解：（1在曲线上，∴（2）由（1的斜率存在，且不为的斜率为所以直线消去，整理得所以，当且仅当，即时，上式等号成立，.∴点睛：圆锥曲线的最值问题，一般是利用参数，表示最值，通过函数值域求最值，或者设未知量构造基本不等式求最值，要注意等号成立的条件.22. 已知函数【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【解析】试题分析：（1单调减区间；（2）根据题意，的最小值即可．试题解析：（1, 所,得,的单调减区间为．（2时，恒成立，令则,所以在区间内为减函数，所以所以．于是在区间内为增函数，所以,所以要使恒成立，综上，内无零点，则实数的最小值为考点：利用导数研究曲线上某点的切线方程；利用研究函数的单调性与最值．【方法点晴】本题主要考查了导数的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数研究曲线上某点的切线方程、利用研究函数的单调性与最值，以及恒成立问题的求解等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与构造思想的应用，本题的解答中根据题设条件，构造新函数转化为利用新函数的单调性与最值是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．。

湖南省长沙市雅礼中学2020届高三下学期第七次月考数学(文)试题 Word版含解析

雅礼中学2020届高三月考试卷(七)数学(文科)一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题所给的四个选项中只有一个是正确的.1.设集合{}|lg A y y x ==，集合{}|1B x y x ==-，则A B =（）A. []0,1B. (]0,1C. [)0,+∞D. (],1-∞【答案】D 【解析】∵{}|lg =A y y x R ==，{}(]|1=1B x y x ==--∞，，∴(],1A B ⋂=-∞，故选D. 2.已知(,)a bi a b R +∈是11ii-+的共轭复数，则a b +=（） A. 1- B. 12- C. 12D. 1【答案】D 【解析】【分析】首先计算11ii-+，然后利用共轭复数的特征计算,a b 的值. 【详解】21(1)21(1)(1)2i i ii i i i ---===-++-， ()a bi i i ∴+=--=， 0,1,1a b a b ∴==∴+=.故选:D.【点睛】本题考查复数的计算，属于基础题型.3.空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：AQI 指数值0～5051～100101～150151～200 201～300 300>空气质量优良轻度污中度污重度污严重污染染染染如图是某市10月1日-20日AQI指数变化趋势：下列叙述错误的是（）A. 这20天中AQI指数值的中位数略高于100B. 这20天中的中度污染及以上的天数占14C. 该市10月的前半个月的空气质量越来越好D. 总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好【答案】C【解析】【分析】根据所给图象，结合中位数的定义、AQI指数与污染程度的关系以及古典概型概率公式，对四个选项逐一判断即可.【详解】对A，因为第10天与第11天AQI指数值都略高100，所以中位数略高于100，正确；对B，中度污染及以上的有第11，13，14，15，17天，共5天占14，正确；对C，由图知，前半个月中，前4天的空气质量越来越好，后11天该市的空气质量越来越差，错误；对D，由图知，10月上旬大部分AQI指数在100以下，10月中旬大部分AQI指数在100以上，所以正确，故选C.【点睛】与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.4.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值等于（）A. 30B. 31C. 62D. 63【答案】B 【解析】【分析】首先确定流程图的功能，然后计算其输出的结果即可.【详解】由流程图可知该算法的功能为计算241312222S =++++的值，即输出值为：()52341112122223112S ⨯-=++++==-.故选B.【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．5.设向量()()()1,1,1,3,2,1a b c ==-=，且()a b c λ-⊥，则λ=（） A. 3 B. 2 C. 2-D. 3-【答案】A 【解析】【分析】由题意得到(1,13)a b λλλ-=+-，利用向量垂直的坐标形式得到3λ=.【详解】由题，得(1,13)a b λλλ-=+-，由()λ-⊥a b c ，从而2(1)1(13)0λλ⨯++⨯-=，解得3λ=. 故选：A.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标形式，考查计算能力，属于基础题.6.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥，3()3f x x x =+，则32(2)a f =,31(log )27b f =，(2)c f =的大小关系为（） A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D.b c a >>【答案】C 【解析】【分析】利用导数判断3()3f x x x =+在[0,)+∞上单调递增，再根据自变量的大小得到函数值的大小. 【详解】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，31(log )(3)(3)27b f f f ∴==-=， 32022223<<=<，当0x ≥，'2()330f x x =+>恒成立， ∴3()3f x x x =+在[0,)+∞上单调递增，3231(log )(2)(2)27f f f ∴>>，即b a c >>.故选：C.【点睛】本题考查利用函数的性质比较数的大小，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将自变量化到同一个单调区间中.7.“直线()1:2140l x m y +++=与直线2:320l mx y +-=平行”是“2m =”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据12//l l 平行求出实数m 的值，再利用充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】若12//l l ，则()()16422m m m ⎧+=⎪⎨≠⨯-⎪⎩，即2601m m m ⎧+-=⎨≠-⎩，解得3m =-或2.因此，“直线()1:2140l x m y +++=与直线2:320l mx y +-=平行”是“2m =”的必要不充分条件. 故选：B.【点睛】考查充分条件、必要条件的判断，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8.已知函数()2sin 1xf x x x =⋅+，则函数()y f x =的图象大致为（） A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据函数为偶函数和0x →时函数值为正，即可得到答案.高考资源网（）您身边的高考专家【详解】因为()f x定义域为R，且()2sin()()1()xf x x f xx--=⋅-=+-，所以()f x为偶函数，故排除A,D；当0x→时，()0f x>，故排除B.故选：C 【点睛】本题考查根据函数的解析式选择对应的图象，考查数形结合思想的应用，求解时注意从解析式挖掘函数的性质，并注意特殊值代入法的应用. 9.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 ( ) A. 215π B. 320π C. 2115π- D. 3120π-【答案】C 【解析】【分析】本题首先可以根据直角三角形的三边长求出三角形的内切圆半径，然后分别计算出内切圆和三角形的面积，最后通过几何概型的概率计算公式即可得出答案. 【详解】2251213+=，设内切圆的半径为r，则51213r r-+-=，解得2r.所以内切圆的面积为24rππ=，所以豆子落在内切圆外部的概率42P111155122ππ=-=-⨯⨯，故选C．【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误．10.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点,若121cos 4F MF ∠=,122MF MF =,则此双曲线渐近线方程为( ) A. 3y x = B. 33y x =±C. y x =±D. 2y x =±【答案】A 【解析】【分析】因为M 为双曲线上一点,可得122MF MF a -=,在12F MF ∆使用余弦定理,结合已知条件即可求得答案.【详解】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点∴ 121222MF MF aMF MF ⎧-=⎪⎨=⎪⎩,解得:14MF a =,22MF a =在12F MF ∆中,根据余弦定理可得:∴ 12121222122c 2os F F MF MF M MF MF F F ∠=+-⋅⋅可得:2221(2)(4)(2)2424c a a a a =+-⋅⋅⋅ 化简可得:2c a =由双曲线性质可得:22222243b c a a a a =-=-= 可得:3b a =双曲线渐近线方程为:b y x a=±则双曲线渐近线方程为: 3y x =【点睛】本题考查了求双曲线渐近线方程问题,解题关键是掌握双曲线的基本知识,数形结合,考查分析能力和计算能力,属于中档题.11.在各项都为正数的等比数列{}n a 中，若12a =，且1564a a ⋅=，则数列1(1)(1)nn n a a a +⎧⎫⎨⎬--⎩⎭的前n 项和是（） A. 11121n +--B. 1121n -+ C. 1121n-+ D.1121n -- 【答案】A 【解析】由等比数列的性质可得：2153364,8a a a a ==∴=，则数列的公比：31822a q a ===，数列的通项公式：112n nn a a q -==，故：()()()()1112111121212121n n n n n n n n a a a +++==-------，则数列()()111n n n a a a +⎧⎫⎪⎪⎨⎬--⎪⎪⎩⎭的前n 项和是：1223111111111121212121212121n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 本题选择A 选项.点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 12.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x -=+，当2x ≤时，()xf x xe =．若关于x 的方程()()22f x k x =-+有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（） A. ()()1,00,1- B. ()()1,01,-⋃+∞ C. ()(),00,e e -D. ()(),0,e e -+∞【解析】【分析】根据函数的单调性和对称性画出函数图像，()22y k x=-+过定点()2,2，计算直线和曲线相切的情况计算斜率得到答案.【详解】当2x≤时，()()()'1x xf x xe f x x e=∴=+函数在(),1-∞-上单调递减，在()1,2-上单调递增，且()11fe-=-()()22f x f x-=+，函数关于2x=对称，()22y k x=-+过定点()2,2如图所示，画出函数图像：当()22y k x=-+与()xf x xe=相切时，设切点为()00,x y则()00000022122xxy x ex e kx x--+===--根据对称性考虑2x=左边图像，根据图像验证知x=是方程唯一解，此时1k=故答案为()()1,00,1k∈-⋃故选：A【点睛】本题考查了零点问题，对称问题，函数单调性，画出函数图像是解题的关键. 二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =则95S S = . 【答案】9 【解析】试题分析：由等差数列{}n a ，且535a a =，则：919551539()9295()52S a a a S a a a +⨯===+⨯ 考点：等差数列的求和及性质．14.曲线ln y x x =⋅在点(1,0)处的切线的方程为__________．【答案】10x y --= 【解析】【分析】对()f x 求导，带入1x =得到斜率，通过点斜式得到切线方程，再整理成一般式得到答案. 【详解】ln y x x =⋅1ln ln +1y x x x x∴=+⋅=' 带入1x =得切线的斜率1k =，∴切线方程为()011y x -=⨯-，整理得10x y --=【点睛】本题考查导数的几何意义，通过求导求出切线的斜率，再由斜率和切点写出切线方程.难度不大，属于简单题.15.设函数()sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象与y 3y 轴右侧第一个最低点的横坐标为6π，则ω的值为_______. 【答案】7 【解析】【分析】根据题意计算得到3πϕ=，再根据最低点得到3632πππω+=，计算得到答案. 【详解】依题可得3sin ϕ=，即3πϕ=，又因为sin 163ππω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，且为第一个最低点，所以3632πππω+=，解得7ω=. 故答案为：7.【点睛】本题考查了三角函数的图像与性质，意在考查学生的综合应用能力.16.如图，在边长为2的正方形123APP P 中，边12PP ，23PP 的中点分别为B ，C ，现将1APB ∆，2BP C ∆，3CP A ∆分别沿AB ，BC ，CA 折起使点1P ，2P ，3P 重合，重合后记为点P ，得到三棱锥P ABC -．则三棱锥P ABC -的外接球体积为____________6π 【解析】【分析】根据,,PA PB PC 两两垂直得到2222112R =++，代入体积公式计算得到答案. 【详解】易知,,PA PB PC 两两垂直，2,1PA PB PC ===将三棱锥P ABC -放入对应的长方体内得到22262112R R =++=3463V R ππ==6π【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，将三棱锥放入对应的长方体是解题的关键. 三､解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17.某印刷厂为了研究单册书籍的成本y （单位：元）与印刷册数x （单位：千册）之间的关系，在印制某种书籍时进行了统计，相关数据见下表：印刷册数x （千册） 2 3 4 58单册成本y （元）3.2 2.421.91.7根据以上数据，技术人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲：(1)41.1yx =+，方程乙：(2)26.4 1.6y x=+. （1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务. ①完成下表（计算结果精确到0.1）；印刷册数x （千册） 234 5 8单册成本y （元）3.2 2.4 21.9 1.7 模型甲估计值 (1)iy2.42.11.6残差 (1)ie0.1-0.1模型乙估计值 (2)ˆi y2.3 2 1.9残差 (2)ˆi e0.10 0②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和，并通过比较，判断哪个模型拟合效果更好. （2）该书上市之后，受到广大读者热烈欢迎，不久便全部售罄，于是印刷厂决定进行二次印刷，根据市场调查，新需求量为10千册，若印刷厂以每册5元的价格将书籍出售给订货商，求印刷厂二次印刷10千册获得的利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算印刷单册书的成本）.【答案】（1）①见解析②模型乙的拟合效果更好（2）印刷利润33360元. 【解析】【详解】（1）经计算，可得下表：印刷册数x （千册） 2 3 4 58单册成本y （元）3.2 2.42 1.91.7模型甲估计值 ()1ˆi y3.1 2.42.1 1.9 1.6残差 ()1ˆi e0.1 00.1- 00.1 模型乙估计值 ()2ˆi y3.2 2.3 21.91.7残差 ()2ˆi e0.1②()22210.10.10.10.03Q =+-+=，220.10.01Q ==，12Q Q >，故模型乙的拟合效果更好；（2）二次印刷10千册，由（1）可知，单册书印刷成本为26.41.6 1.66410+=（元），故印刷总成本为16640（元），印刷利润()5 1.6641000033360-⨯=元.18.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos cos cos 3A b C c B a +．（1）求角A ；（2）若1a =，ABC ∆51，求ABC ∆的面积．【答案】（1）6A π=（2）23【解析】【分析】（1）利用正弦定理和两角和差正弦公式可化简边角关系式，求得cos A ，结合()0,A π∈可得结果；（2）利用三角形周长得到5b c +=bc 的方程，解出bc的值；代入三角形面积公式可求得结果.【详解】（1）由正弦定理可得：()2cos sin cos sin cos 3sin A B C C B A += 即：()2cos sin 2cos sin 3sin A B C A A A +==sin 0A ≠ 3cos A ∴=，由()0,A π∈得：6A π=（2）1a =，ABC ∆的周长为51+ 5b c ∴+=由余弦定理可得：()22222252123cos 2222b c bc a b c a bc bc A bc bc bc bc +--+----=====84323bc ∴==-+ABC ∆∴的面积：()111sin 84323222S bc A ==⨯-⨯=-【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用，还涉及到两角和差正弦公式的知识，考查学生对于三角恒等变换和解三角形部分的公式的掌握程度，属于常考题型.19.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上．（Ⅰ）求证：1BC A B ⊥；（Ⅱ）若P 是线段AC 上一点，3,2AD AB BC ===，三棱锥1A PBC -的体积为33，求APPC的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）3．【解析】【详解】试题分析：（1）要证线线垂直，一般先证线面垂直，考虑直线BC ，由已知AD 与平面1A BC 垂直可得AD BC ⊥，再由直三棱柱中侧棱1AA 与底面ABC 垂直，又得1AA BC ⊥，从而可得BC 与平面1AA B 垂直，于是得证线线垂直；（2）由（1）知ABC ∆是等腰直角三角形，可得其面积，由1AD A B ⊥可通过解直角三角形得1AA ，从而可求得三棱锥1A ABC -的体积．由三棱锥1A PBC -与三棱锥1A ABC -的关系可求得PC ，从而得APPC．（也可设PC x =，求得三棱锥1A PBC -（用x 表示），再由已知列方程解得x ）．试题解析：（1）∵AD ⊥平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ，∴AD BC ⊥，在直三棱柱111ABC A B C -中易知1AA ⊥平面ABC ， ∴1AA BC ⊥，∵1AA AD A =，∴BC ⊥平面11AA B B ，∵1A B ⊂平面11AA B B ， ∴1BC A B ⊥.（2）设PC x =，过点B 作BE AC ⊥于点E ，由（1）知BC ⊥平面11AA B B ，∴BC AB ⊥. ∵2AB BC ==，∴2,2AC BE ==∴122PBC S BE CP x ∆=⋅=. ∵AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上， ∴1AD A B ⊥∵1,3,2AA BA AD AB ⊥==，在Rt ABD ∆中，221BD AB AD =-=，又21AD BD A D =⋅，∴13A D =，在1Rt ADA ∆中，()222119323AA AD A D =-=+=∴11163A PBC PBC V S AA x -∆=⋅=. 又三棱锥1A PBC -的体积为32，∴6332x =，解得32x =.∴52AP =53AP PC =. 点睛：体积与面积是立体几何中一个重要内容，是高考必考内容之一，求体积的一般方法有： 1．直接法：对规则几何体（如柱、锥、台、球），直接利用体积公式计算；2．割补法：对一些不规则的几何体，常通过分割或补形的手段将此几何体变成一个或几个的、体积易求的几何体，然后再进行计算．经常考虑将三棱锥还原为三棱柱或长方体，将三棱柱还原为平行六面体，将台体五湖朱锥体；3．等积转换法：对三棱锥的体积，利用三棱锥的“等积性”可以把任一个面作为底面，（1）求体积时，可以选择“容易计算”的方式来计算；（2）利用线面平行，在底面确定的情况下，把顶点转化为易于计算的其他点为顶点的三棱锥；（3）利用“等积性”可求“点到平面的距离”，关键是在已知面中选取三个点与已知点构成三棱锥．20.设中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆E 过点3⎛ ⎝⎭3F 为E 的右焦点，P 为E 上一点，PF x ⊥轴，F 的半径为PF ．（1）求E 和F 的方程；（2）若直线(():30l y k x k =>与F 交于,A B 两点，与E 交于,C D 两点，其中,A C在第一象限，是否存在k 使AC BD =？若存在，求l 的方程；若不存在，说明理由．【答案】(1) E 的方程为2214x y +=．F 的方程为(22134x y +=．(2) 满足题设条件的直线l 不存在．理由见解析【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出椭圆与圆的方程；（2）若AC BD =，则1AB AC CB DB CB DC ==+=+=．联立方程，利用韦达定理可得2121CD k x =+-=224441k k ++，显然与题意矛盾，故不存在. 【详解】（1）设椭圆E 的方程为22221x y a b+=．由3e =222222314a b b e a a -===-，从而2214b a =，即224a b =．又椭圆过点3⎛ ⎝⎭，从而得221314a b +=，解得24a =，21b =，从而所求椭圆E 的方程为2214x y +=．所以)3,0F ，令3x =12PF r ==，所以F 的方程为(22134x y +=．（2）不存在，理由如下：若AC BD =，则1AB AC CB DB CB DC ==+=+=．联立(22314y k x xy ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，整理，得()222241831240k x k x k +-+-=．设()11,C x y 、()22,D x y ，则21221228312441k x x k x x k ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪+⎩．从而()222121212114CD k x k x x x x =+-=++-22222222831244414414141k k k k k k k ⎛⎫-+=+-⋅= ⎪ ⎪+++⎝⎭由1DC =，从而224441k k +=+，从而41=，矛盾．从而满足题设条件的直线l 不存在．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查计算能力，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题． 21.已知函数()()()()ln 11ln 0f x a x x x a =--+>. （1）当12a =时，讨论()f x 的导函数()f x '的单调性；（2）当1x >时，()0f x ≥，求a 的取值范围.【答案】（1）单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞；（2）12a ≥ 【解析】【分析】（1）先求()f x '，再求()f x ''，利用()f x ''的正负，得到()f x '的单调性；（2）1()(1)ln x f x a a x x-'=-+，当1a ≥时，()0f x '>恒成立，利用单调性说明()()10f x f >=恒成立，当01a <<时，求()f x ''，再讨论二阶导数的零点和定义域的关系，判断函数的单调性，求a 的取值范围. 【详解】（1）当12a =时，221111111()ln 1,()222x f x x f x x x x x -⎛⎫⎛⎫'''=+-=-=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当(0,1)x ∈时，()0,()f x f x '''<的单调递减区间为(0,1)；当(1)x ∈+∞，时，()0,()f x f x '''>的单调递增区间为(1,)+∞. （2）(1)1()ln (1)(1)ln a x f x a x a a a x x x--'=-+-=-+， (i )当1a ≥时，()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增，()(1)0f x f >=，满足条件； (ii )当01a <<时，22(1)(1)()a a ax a f x x x x ---''=+=，由()0f x ''=，得1a x a-=， ①当112a <时，11a a -≤，所以1a x a->时， ()0,()f x f x '''>在(1,)+∞上单调递增，又由()01f '=，所以()0f x '>，即()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以有()(1)0f x f >=，满足条件；②当102a <<时，11a a ->，当11,a x a -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()f x f x '''<在11,a a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，又由()01f '=，所以()0f x '<，所以()f x 在11,a a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以有()(1)0f x f <=，故此时不满足，故a 的取值范围为12a ≥；【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，最值的综合应用，重点考查转化与化归的思想，分类讨论的思想，逻辑推理能力，属于中档题型，本题第二问的关键是利用利用()f x ''的正负，判断()f x '的单调性，再根据()10f =和()10f '=说明不等式成立时的a 值.22.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,2M ，曲线C 的参数方程22x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（其中α为参数）．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线l 的极坐标方程为sin cos 0()k k R θθ-=∈．（1）试写出曲线C 的普通方程和曲线l 的直角坐标方程．（2）设曲线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，试求MP MQ ⋅的值．【答案】（1）C ：222x y +=，l ：()y kx k R =∈；（2）3 【解析】【分析】（1）直接利用参数方程和直角坐标方程为的转换求出结果．（2）由题意设(22)P θθ，则22))Q πθπθ++，即(2,2)Q θθ，再利用向量的数量积的运算求出结果．【详解】（1）由()222222cos sin 22x x y y αααα⎧=⎪⇒+=+=⎨=⎪⎩，由sin cos 0sin cos 00k k y kx θθρθρθ-=⇒-=⇒-=，所以曲线C 普通方程和曲线l 的直角坐标方程分别为222x y +=，()y kx k R =∈．（2）由（1）知，P ，Q 两点在圆222x y +=上，且关于原点对称，设(22)P θθ，则22))Q πθπθ++，即(2,2)Q θθ--，(222)MP θθ∴=--，(21,22)MQ θθ=---， (222)(21,22)MP MQ θθθθ∴⋅=--⋅--- (21)(21)22)(22)θθθθ=--+--2212cos 42sin 3θθ=-+-=．【点睛】本题考查了参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，向量的数量积运算，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题． 23.设函数()333()442f x x x g x x a x =-+-=-++，． (1)解不等式()10f x >；(2)若对于任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，试求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}41x x x ><-或；（2）40a -≤≤ 【解析】【分析】(1)以两个绝对值为分段点，在三段上分别求()10f x >，再取并集即可；(2)先求()f x 的值域，再求出包含参数a 的()g x 的值域，由()g x 的值域包含()f x 的值域即可得a 的取值范围．【详解】(1) 不等式等价于34610x x >⎧⎨->⎩或13210x x ≤≤⎧⎨>⎩或36410x x <⎧⎨->⎩解得4x >或1x <-.故解集为： {}41x x x ><-或；(2) 对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使得12()=()f x g x 成立，即()g x 的值域包含()f x 的值域.46,3()3332,1364,1x x f x x x x x x ->⎧⎪=-+-=≤≤⎨⎪-<⎩，由图可得1x =时，min ()2f x =，所以()f x 的值域为[)2,+∞.()()()4424422g x x a x x a x a =-++≥--+=+,当且仅当4x a -与42x +异号时取等，所以()g x 的值域为)2,a ⎡++∞⎣由题：[)2,+∞⊆)2,a ⎡++∞⎣，所以22a +≤，解得40a -≤≤【点睛】本题考查绝对值函数和用绝对值不等式求绝对值函数中参数的范围，是常见考题．。