北京市第四中学2016-2017学年高一上学期期中考试数学试题(精品解析)

北京四中2016-2017学年上学期高一年级期中考试数学试卷试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，共计150分。

考试时间：120分钟。

卷（Ⅰ）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分
1.如果A=（-1，+∞），那么正确的结论是（）
A.
0A B. {0}A C. {0}A D.
【答案】C
【解析】
根据集合与集合之间的关系为包含和包含于，元素与集合之间的关系是属于和不属于得：A、元素与集合，故错误；B、集合与集合，故错；C、集合与集合，正确；D、集合与集合，故错；故选C.
2.函数f（x）=，则=（）
A. 0
B. -
C.
D. -
【答案】A
【解析】
将代入解析式可得，故选A.
3.与函数的定义域相同的函数是（）
A. B. ． C. D.
【答案】C
【解析】
函数的定义域为，A中定义域为；B中定义域为R；C中定义域为；D 中定义域为；故选C.
4.若函数f（x）＝3x＋3－x与g（x）＝3x－3－x的定义域均为R，则（）
A. f（x）与g（x）均为偶函数
B. f（x）为偶函数，g（x）为奇函数
C. f（x）与g（x）均为奇函数
D. f（x）为奇函数，g（x）为偶函数
【答案】B
【解析】
试题分析：易知的定义域都为R，又
，所以f（x）为偶函数，g（x）为奇函数。

考点：本题考查函数的奇偶性。

点评：判断函数的奇偶性的步骤：一求定义域；二判断的关系。

5.设，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
故
选A
6.若指数函数在上是减函数，那么（）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由于指数函数在上是减函数，则，得，故选B.
7.设函数与的图象的交点为，则所在的区间是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：根据题意，由于函数与的图象的交点为，，则就是图像与图像的交点的横坐标，那么可知也是方程的解，也是函数的零点，因此结合零点存在性定理可
知，则有,那么可知所在的区间是，选A.
考点：函数零点
点评: 本题主要考查函数的零点和方程的根的关系和零点存在性定理，考查考生的灵活转化能力和对零点存在性定理的理解，属于基础题．
8.已知函数f（x）是R上的偶函数，当x≥0时f（x）=2-2，则f（x）<0的解集是（）
A. （-1，0）
B. （0，1）
C. （-1，1）
D. （-∞，-1）（1，+∞）
【答案】C
【解析】
由函数为偶函数可得，∵时，
设，则，，，
当时，有，故选C.
点睛：本题主要考查了偶函数的定义及利用偶函数的性质求解函数的解析式，不等式的解法，属于知识的综合应用；根据函数的奇偶性可求出函数在整个定义域上的解析式，解分段函数的不等式可得最后结果.
9.某商店卖出两套不同品牌的西服，售价均为1680元。

以成本计算，一套盈利20%，另一套
亏损20%，此时商店（）
A. 不亏不盈
B. 盈利372元
C. 亏损140元
D. 盈利140元
【答案】C
【解析】
设盈利的进价是元，则，；设亏损的进价是元，则有
，，则进价和是元，售价和是元，
元，即亏损140元，故选C.
10.设函数f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，则（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
因为，即，又是单调递增函数，，应选答案D。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
11.=_______。

【答案】-2
【解析】
原式，故答案为.
12.已知函数为奇函数，若，则．
【答案】1
【解析】
因为函数y＝f（x）为奇函数,所以f(-2)=-f(2),f(-3)=-f(3).所以
f(-2)-f(-3)=-f(2)+f(3)=1
13.函数f（x）=在区间（-∞，-1]上是增函数，则实数a的取值范围为_____。

【答案】（-∞，2]
【解析】
由题意，函数的对称轴是，开口向下，∵函数在区间上是增函数，∴，解得，故答案为．
点睛：本题考查函数单调性的性质，解答本题的关键是熟练掌握了二次函数的性质与图象，
根据其性质与图象直接得出关于参数的不等式，求出其范围，属于基础题；是二次函数中区
间定轴动的问题，先求出函数的对称轴，再确定出区间与对称轴的位置关系求出实数的取值
范围.
14.已知关于x方程（x-1）+k-1=0在区间[2，5]上有实数根，那么k的取值范围是_______。

【答案】[-1，1]
【解析】
令，易知该函数为增函数，方程在区间上有实数根等价于函数在区间内有零点，则得，故答案为.
三、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分
15.记函数f（x）=的定义域为集合M，函数g（x）=的定义域为集合N。

求：
（Ⅰ）集合M、N；
（Ⅱ）集合M N、M N。

【答案】(1)M ={x|x>}, N={x|x≥3或x≤1}; (2) M N={x|x≥3}； M N=. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）求出函数和函数的定义域即可；（Ⅱ）根据定义分别求出交集和并集即可. 试题解析：（Ⅰ）M={x|2x-3>0}={x|x>}；N={x|（x-3）（x-1）≥0}={x|x≥3或x≤1}。

（Ⅱ）M N={x|x≥3}；M N=.
16.已知函数.
（1）用定义证明：函数在区间上是减函数；
（2）若函数是偶函数，求实数的值.
【答案】（1）见解析；（2）－2.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）设，计算的结果等于，可得，从而判断函数在区间上是减函数；（Ⅱ）因为函数，是偶函数，从而得到，由此求得的值.
试题解析：（Ⅰ）设,且,
所以=
因为，所以<0，-2<0.
所以>0.即.
所以函数f（x）在区间（-∞，1]上是减函数.
（Ⅱ）因为函数g（x）=f（x）-mx，所以g（x）=-2x-2-mx=-（2+m）x-2.
又因为g（x）是偶函数，所以g（-x）=g（x）.所以-（2+m）（-x）-2=-（2+m）x-2.
所以2（2+m）x=0.因为x是任意实数，所以2+m=0.所以m=-2.
点睛：本题主要考查了利用定义证明函数的单调性，其具体步骤为：1、取值；2、作差；3、化简；4、判断，得结论.其关键步骤是化简中的因式分解，将最后的结果和0比较；考查了函数奇
偶性的性质，若函数为偶函数，则对定义域内任意均有恒成立，代入后根据对应系数相等可得结果.
17.已知函数f（x）=，其中0<a<1，k∈Ｒ。

（Ⅰ）若k=1，求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若a=，且f（x）在[1，+∞）内总有意义，求k的取值范围。

【答案】(1) {x|x>1} ;(2) k<1.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）要使函数有意义，须满足真数部分大于0，即，解出不等式即可；（Ⅱ）将题意转化为恒成立问题，结合分离参数的思想即对于恒成立，求出
的最小值即可.
试题解析：（Ⅰ）当k=1时，由a->0得a>。

因为0<a<1，所以x>1，即函数f（x）的定义域为{x|x>1}。

（Ⅱ）令a-k>0，即k<=。

上式对于x[1，+∞）恒成立，所以k应小于的最小值。

因为x-1[0，+∞），所以的最小值为1。

所以k<1。

卷（Ⅱ）
一、选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分
18.定义在R上的奇函数f（x）满足f（2x）=-2f（x），且f（-1）=，则f（2）的值为
A. 1
B. -2
C. 2
D. -1
【答案】A
【解析】
由于函数为奇函数且，所以，
又因为，所以，故选A.
19.设且，则函数的图象一定不过（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】D
【解析】
试题分析：指数函数为增函数，过第一二象限，只需将向下平移个单位，其中，所以图像不过第四象限
考点：指数函数性质及图像平移
20.如果x>1，a=x，那么
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
∵，，∴，∴，，∴，故选C.
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分
21.若函数在区间有最大值3，最小值1，则的取值范围是__________. 【答案】[2，4]
【解析】
由题意可知抛物线的对称轴为，开口向上，由于，则函数在上单调递减或者先减后增，∵函数在上有最大值3，最小值1，且，，∴，∵抛物线的图象关于对称即，
∴，故答案为．
点睛：本题考查了抛物线的图象和性质，做题时一定要记清抛物线的性质和图象，根据抛物线的图象及性质我们可知函数最小值为2，然后利用抛物线图象关于对称轴对称的性质判定即可. 22.设函数f（x）的定义域为D。

如果对任意x∈D，都存在常数M，使得f（x）≥M，称f（x）具有性质。

现给出下列函数：
①f（x）=；②f（x）=3-1；③f（x）=|ln x|；④f（x）=lg|x|。

其中具有性质的函数序号是_______。

【答案】①②③
【解析】
对于①，可取；对于②，可取；对于③，可取；对于④，函数的值域为，故不存在满足题意，故正确答案为①②③.
23.pH值是水溶液的重要理化参数。

若溶液中氢离子的浓度为[H]（单位：mol/l），则其pH值为-lg[H]。

在标准温度和气压下，若水溶液pH=7，则溶液为中性，pH<7时为酸性，pH>7时为碱性。

例如，甲溶液中氢离子浓度为0.0001mol/l，其pH为-1g 0.0001，即pH=4。

已知乙溶液的pH=2，则乙溶液中氢离子浓度为______mol/l。

若乙溶液中氢离子浓度是丙溶液的两千万倍，则丙溶液的酸碱性为______（填中性、酸性或碱性）。

【答案】(1). 0.01(2). 碱性
【解析】
由可得：，即乙溶液中氢离子浓度为0.01 mol/l；由乙溶液中氢离子浓度是丙溶液的两千万倍可得：乙溶液中氢离子浓度为，显然，故丙溶液的酸碱性为碱性，故答案为0.01，碱性.
三、解答题：本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24.设函数f（x）=。

（Ⅰ）求f（x）的定义域；
（Ⅱ）指出f（x）的单调递减区间（不必证明），并求f（x）的最大值。

【答案】(1) {x|0<x<1} ;(2)详见解析.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）要使函数有意义，需满足对数的真数大于0，列出不等式组解出即可；（Ⅱ）利用对数运算公式结合复合函数的单调性可得结果，结合单调性得最值.
试题解析：（Ⅰ）定义域为{x|0<x<1}。

（Ⅱ）f（x）=（x-）。

设u= x-，其最大值为，所以f（x）的最大值为=-2。

单调递减区间为[1）。

25.若定义在D上的函数f（x）满足：对任意x∈D，存在常数M>0，都有-M<f（x）<M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界。

（Ⅰ）判断函数f（x）=-2x+2，x∈[0，2]是否是有界函数，请说明理由；
（Ⅱ）若函数f（x）=1++，x∈[0，+∞）是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围。

【答案】(1)详见解析;(2) [-5，1].
【解析】
试题分析：（Ⅰ）通过二次函数的性质计算出的范围即可；（Ⅱ）根据有界函数的定义可得对任意，都有，利用分离参数可得在上恒成立求出左端的最大值右端的最小值即可.
试题解析：（Ⅰ）f（x）=。

当0≤x≤2时，1≤f（x）≤2，则-2≤f（x）≤2。

由有界函数定义可知f（x）=-2x+2，x∈[0，2]是有界函数。

（Ⅱ）由题意知对任意x≥0，都有。

所以有，
即在[1，+∞）上恒成立。

设t=，由x≥0，得t≥1。

设h（t）=，p（t）=。

由题可得。

而h（t）在[1，+∞）上递减，p（t）在[1，+∞）上递增。

（单调性证明略）
h（t）在[1，+∞）上的最大值为h（1）=-5，p（t）在[1，+∞）上的最小值为p（1）=1。

所以实数a的取值范围为[-5，1]。

点睛：本题主要考查了了二次函数在给定区间内值域的求法以及函数恒成立问题，难度一般；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或
恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.。