江西省上饶市余干县二中2015-2016学年高二上学期质量测评数学(文)试卷

余干二中2015-2016 学年上学期高二质量测评数学试题（文）
时间：120分钟 总分 150分
一、选择题：（共12小题，每小题5分 ,共60分）
1．已知命题p 、q ，如果p ⌝是q ⌝的充分而不必要条件，那么q 是p 的（ ）
（ A ）必要不充分条件 ( B ) 既不充分不必要条件 ( C )充要条件 ( D )充分也不必要
2.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于1
2
，则C 的方程是( )
A.x 23＋y 24＝1
B.x 24＋y 23
＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 24＋y 2
2＝1 3.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为5
2，则C 的渐近线方程为( )
A y ＝±12x
B ．y ＝±13x
C ．y ＝±1
4x D ．y ＝±x
4、抛物线px y 22
=上一点Q ),6(0y ,且知Q 点到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离是（ ）
（ A ） 4 ( B ) 8 ( C ) 12 ( D ) 16 5、中心点在原点，准线方程为4±=x ，离心率为
2
1
的椭圆方程是（ ） （ A ） 13422=+y x ( B ) 14322=+y x ( C ) 1422=+y x ( D ) 14
22
=+y x
6.命题“若090=∠C ，则ABC ∆是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（ ）
（ A ） 0 ( B ) 1 ( C ) 2 ( D ) 3
7.已知21,F F 是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两个焦点，AB 是过1F 的弦，则2ABF ∆的
周长是 ( D )
A.a 2
B. b a 22+
C.a 8
D.a 4
8．已知方程11
22
2=-+-k y k x 的图象是双曲线，那么k 的取值范围是（ ）
Ａ．１＜k ＜２ Ｂ．k ＞２ Ｃ．k ＜１或k ＞２ Ｄ．k ＜１
9、双曲线22a x -22
b
y =1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( )
A. 2
B.3
C. 2
D.
2
3
10、命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是( )
A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数
B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数
C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数
D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数
11．过抛物线x y 42=的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则||AB 等于（ ）
A ．10
B ．6
C ．8
D ．4
12. .已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )
A.45
B.35 C ．－ 35 D ．－45
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知双曲线22221x y a b -=的离心率为2，焦点与椭圆221259
x y +=的焦点相同，
那么双曲线的实轴长为 .
14、抛物线x y 42
=上一点A 到点)2,3(B 与焦点的距离之和最小，则点A 的坐标为 。

15. 过原点的直线l ，如果它与双曲线1432
2=-x y 相交，则直线l 的斜率k 的取
值范围是 ．
16. 已知p ：x －1
x ≤0；q ：4x ＋2x －m ≤0.若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是
________．
三、解答题：（共70分） 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知椭圆2222b y a x +（a ＞b ＞0）的离心率3
6=e ，过点),0(b A -和)0,(a B 的
直线与原点的距离为2
3
．求椭圆的方程．
18.(12分) 已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线122
22=-b
y a x 的右焦点,而且与x
轴垂直.又抛物线与此双曲线交于点)6,2
3
(-
,求抛物线和双曲线的方程. 19. (12分) 已知命题p ：任意x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：存在x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，若“p 且q ”为真命题，求实数a 的取值范围．
20.（本题12分）如图，直线l 与抛物线x y =2交于),(,),(2211y x B y x A 两点，与x 轴相交于点M ，且121-=y y . （1）求证：M 点的坐标为)0,1(； （2）求证：OB OA ⊥；
（3）求AOB ∆的面积的最小值.
21.（12分） 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，离心率
54=e ，直线4+=x y 经过椭圆的左焦点1F .
（1）求该椭圆的方程；
（2）若该椭圆上有一点P 满足：021=⋅PF PF ，求12F PF ∆的面积.
22（10分）已知命题p ：方程
1122
2=--m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线152
2=-m x y 的离心率)2,1(∈e ，若q p ,只有一个为真，求实数m 的取值范围．
余干二中2015-2016 学年上学期高二质量测评数学试题
《文科》
时间：120分钟 总分 150分
一、选择题：（共12小题，每小题5分 ,共60分）
1．已知命题p 、q ，如果p ⌝是q ⌝的充分而不必要条件，那么q 是p 的（ D ）
（ A ）必要不充分条件 ( B ) 既不充分不必要条件 ( C )充要条件 ( D )充分也不必要
2.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于1
2
，则C 的方程是( )
A.x 23＋y 24＝1
B.x 24＋y 23
＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 24＋y 2
2＝1 解析：选C.右焦点为F (1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x 轴上；c ＝1.又离心率为c a ＝1
2
，
故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y
23
＝1.
3.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为5
2，则C 的渐近线方程为( )
A y ＝±12x
B ．y ＝±13x
C ．y ＝±1
4
x D ．y ＝±x
解析：选A.由e ＝52，得c a ＝52，∴c ＝52a ，b ＝c 2－a 2＝1
2
a .
而x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，∴所求渐近线方程为y ＝±12x . 4、抛物线px y 22
=上一点Q ),6(0y ,且知Q 点到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离是（ B ）
（ A ） 4 ( B ) 8 ( C ) 12 ( D ) 16 5、中心点在原点，准线方程为4±=x ，离心率为
2
1
的椭圆方程是（ C ） （ A ） 13422=+y x ( B ) 14322=+y x ( C ) 1422=+y x ( D ) 14
22
=+y x 6.命题“若090=∠C ，则ABC ∆是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（ B ）
（ A ） 0 ( B ) 1 ( C ) 2 ( D ) 3
7.已知21,F F 是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两个焦点，AB 是过1F 的弦，则2ABF ∆的
周长是 ( D )
A.a 2
B. b a 22+
C.a 8
D.a 4
8．已知方程
11
22
2=-+-k y k x 的图象是双曲线，那么k 的取值范围是（ A ） Ａ．１＜k ＜２ Ｂ．k ＞２ Ｃ．k ＜１或k ＞２ Ｄ．k ＜１
9、双曲线22a x -22
b
y =1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( A )
A. 2
B.3
C. 2
D.
2
3
10、命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是( )
A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数
B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数
C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数
D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数
解析：选B.命题“若p ， 11．过抛物线x y 42=的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则||AB 等于（c ）
A ．10
B ．6
C ．8
D ．4
12. .已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )
A.45
B.35 C ．－ 35 D ．－45
解析：选D.由⎩⎪⎨⎪
⎧
y 2＝4x y ＝2x －4
，得x 2－5x ＋4＝0，∴x ＝1或x ＝4.不妨设A (4,4)，B (1，－2)，
则|F A →|＝5，|FB →|＝2，F A →·FB →
＝(3,4)·(0，－2)＝－8，∴cos ∠AFB ＝F A →·FB →
|F A →|·|FB →|
＝－85×2
＝－45.
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知双曲线22221x y a b -=的离心率为2，焦点与椭圆221259
x y +=的焦点相同，
那么双曲线的实轴长为 4 .
14、抛物线x y 42
=上一点A 到点)2,3(B 与焦点的距离之和最小，则点A 的坐标为 。

（1，2）
15. 过原点的直线l ，如果它与双曲线1432
2=-x y 相交，则直线l 的斜率k 的取
值范围是 ． k k <>
16. 已知p ：x －1
x ≤0；q ：4x ＋2x －m ≤0.若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是
________．
解析：对p ：由x －1
x
≤0可解得0＜x ≤1，
对q ：m ≥4x ＋2x .
由于p 是q 的充分条件，所以需对任意x ∈(0,1]，使m ≥4x ＋2x 恒成立． 令f (x )＝4x ＋2x ，x ∈(0,1]，易得f (x )max ＝6. ∴m ≥6.
答案：[6，＋∞)
三、解答题：（共70分） 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知椭圆2222b y a x +（a ＞b ＞0）的离心率3
6=e ，过点),0(b A -和)0,(a B 的
直线与原点的距离为
2
3
．求椭圆的方程． 解：直线AB 方程为：0=--ab ay bx ．
依题意⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=
+=
2336
22b a ab a
c ， 解得 ⎩⎨⎧==13b a ，∴ 椭圆方程为 1322=+y x ．
18.(12分) 已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线122
22=-b
y a x 的右焦点,而且与x
轴垂直.又抛物线与此双曲线交于点)6,2
3
(-
,求抛物线和双曲线的方程. 解：由题意可设抛物线方程为)0(22
>-=p px y 因为抛物线图像过点)6,23(-
，所以有)2
3
(26-⨯-=p ，解得2=p 所以抛物线方程为x y 42
-=，其准线方程为1=x
所以有1649
22=-b
a 且（1，0）即1=c 又因为双曲线图像过点)6,23
(-，
122=+b a ，解得4
3
,4122==b a 或8,922-==b a （舍去）
所以双曲线方程为14
3412
2=-y x
19. (12分) 已知命题p ：任意x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：存在x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，
若“p 且q ”为真命题，求实数a 的取值范围．
解：由“p 且q ”为真命题，则p ，q 都是真命题．
p ：x 2≥a 在[1,2]上恒成立，只需a ≤(x 2)min ＝1，所以命题p ：a ≤1； q ：设f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，存在x ∈R 使f (x )＝0， 只需Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，
即a 2＋a －2≥0⇒a ≥1或a ≤－2， 所以命题q ：a ≥1或a ≤－2. 由⎩
⎪⎨⎪⎧
a ≤1a ≥1或a ≤－2，得a ＝1或a ≤－2. 故实数a 的取值范围是a ＝1或a ≤－2.
20.（12分） 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，离心率
54=e ，直线4+=x y 经过椭圆的左焦点1F .
（1）求该椭圆的方程；
（2）若该椭圆上有一点P 满足：021=⋅PF PF ，求12F PF ∆的面积.
解：（1）直线2y x =+与x 的交点的坐标为)0,4(-， 则
1F 的坐标为)0,4(-，4=c .
54
=
=
a c e ，5=∴a ，9222=-=c a
b .
则椭圆的方程为 19252
2=+y x .
（2）由021=⋅PF PF 得：21PF PF ⊥，所以21PF PF ⊥， 所以21F PF ∆是直角三角形，
64||||||2212221==+F F PF PF .
102||||21==+a PF PF ， 100||||2||||212221=⋅++∴PF PF PF PF
18||||21=⋅PF PF
9||||21
2121=⋅=
∆PF PF S PF F .
21.（本题12分）如图，直线l 与抛物线x y =2交于),(,),(2211y x B y x A 两点，与x 轴相交于点M ，且121-=y y .
（1）求证：M 点的坐标为)0,1(； （2）求证：OB OA ⊥；
（3）求AOB ∆的面积的最小值.
解(1 ) 设M 点的坐标为)0,(0x , 直线l 方程为0x my x +=, 代入x y =2得 002=--x my y ① 21,y y 是此方程的两根, ∴1210=-=y y x ，即M 点的坐标为（1, 0）
.
(2 ) ∵ 121-=y y
∴ 0)1(2121212
22
12121=+=+=+y y y y y y y y y y x x
∴ OB OA ⊥.
（3）由方程①，m y y =+21, 121-=y y , 且 1||0==x OM ,
于是=-=∆||||2
121y y OM S AOB 212214)(21y y y y -+=4212+m ≥1，
∴ 当0=m 时，AOB ∆的面积取最小值1.
22（10分）已知命题p ：方程1122
2=--m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：
双曲线152
2=-m x y 的离心率)2,1(∈e ，若q p ,只有一个为真，求实数m 的取值范
围．
解：P:0<m<3
1
q:0<m<15
p 真q 假，则空集 p 假q 真，则153
1
<≤m
故153
1
<≤m。