高考数学核心素养提升练习 函数与方程

核心素养提升练十一函数与方程
(30分钟60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.设函数f(x)=e x+x-4，则f(x)的零点位于区间( )
A.(-1，0)
B.(0，1)
C.(1，2)
D.(2，3)
【解析】选C.f(1)=e+1-4=e-3<0，f(2)=e2+2-4=e2-2>0，f(1)f(2)<0.故f(x)的零点位于区间(1，2).
2.函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( )
A.(1，3)
B.(1，2)
C.(0，3)
D.(0，2)
【解析】选C.由条件可知f(1)f(2)<0，即(2-2-a)(4-1-a)<0，即a(a-3)<0，解得0<a<3.
3.(2018·佳木斯模拟)已知函数y=f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表:
1 2 3 4 5 6
124.4 33 -74 24.5 -36.7 -123.6
则函数y=f(x)在区间[1，6]上的零点至少有( )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
【解析】选B.依题意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根据零点存在性定理可知，f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数y=f(x)在区间[1，6]上的零点至少有3个.
4.已知函数f(x)=则函数y=f(f(x))+1的零点的个数是( )
A.4
B.3
C.2
D.1
【解析】选A.由f(f(x))+1=0，得f(f(x))=-1，
由f(-2)=f=-1，得f(x)=-2或f(x)=.若f(x)=-2，则x=-3或x=;若f(x)=，则x=-或x=.综上可得函数y=f(f(x))+1的零点的个数是4.
5.函数y=log a(x+1)+x2-2(0<a<1)的零点的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.无法确定
【解析】选C.令log a(x+1)+x2-2=0，方程解的个数即为所求函数零点的个数，即为函数y=log a(x+1)(0<a<1)与函数y=-x2+2(x>-1)的图象的交点个数，结合图象，易知图象交点个数为2.
二、填空题(每小题5分，共20分)
6.已知函数f(x)=+a的零点为1，则实数a的值为________.
【解析】由已知得f(1)=0，即+a=0，
解得a=-.
答案:-
7.在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点，则a的值为________. 【解析】若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点，则方程2a=|x-a|-1只有一解，即方程
|x-a|=2a+1只有一解，故2a+1=0，所以a=-.
答案:-
8.设函数y=x3与y=的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n+1)，n∈N，则x0所在的区间是________.
【解析】设f(x)=x3-，则x0是函数f(x)的零点，在同一平面直角坐标系下作出函数y=x3与
y=的图象如图所示.因为f(1)=1-=-1<0，f(2)=8 -=7>0，所以f(1)·f(2)<0，所以x0∈(1，2).
答案:(1，2)
9.已知min{a，b}=f(x)=min{|x|，|x+t|}，函数f(x)的图象关于直线x=-对称;若“∀x∈[1，+∞)，e x>2mex”是真命题(这里e是自然对数的底数)，则当实数m>0时，函数g(x)=f(x)-m零点的个数为__________.
【解析】因为f(x)的图象关于x=-对称，且f(0)=0，所以f(-1)=0，即|-1+t|=0，解得t=1.
所以f(x)=
因为对∀x∈[1，+∞)，e x>2mex是真命题，
所以m<恒成立，x∈[1，+∞).
令h(x)=，则h′(x)==≥0，
所以h(x)在[1，+∞)上单调递增，
所以h(x)min=h(1)=，
所以0<m<.作出f(x)的函数图象如图所示:
由图象可知y=f(x)与y=m有4个交点，
所以g(x)=f(x)-m有4个零点.
答案:4
三、解答题
10.(15分)设函数f(x)=(x>0).
(1)作出函数f(x)的图象.
(2)当0<a<b，且f(a)=f(b)时，求+的值.
(3)若方程f(x)=m有两个不相等的正根，求m的取值范围.
【解析】(1)如图所示.
(2)因为f(x)=
=
故f(x)在(0，1]上是减函数，而在(1，+∞)上是增函数.
由0<a<b且f(a)=f(b)，得0<a<1<b，
且-1=1-，所以+=2.
(3)由函数f(x)的图象可知，当0<m<1时，函数f(x)的图象与直线y=m有两个不同的交点，即方程f(x)=m 有两个不相等的正根.
(20分钟40分)
1.(5分)(2019·洛阳模拟)方程x+log3x=3的解为x0，若x0∈(n，n+1)，n∈N，则n=
( ) A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选C.方程x+log3x=3的解为x0，就是方程log3x=3-x的解为x0，在同一坐标系中作出y=log3x和y=3-x的图象，如图，观察可知图象的交点在(2，3)内，所以n=2.
2.(5分)函数f(x)=|x-2|-ln x在定义域内零点的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选C.由题意，函数f(x)的定义域为(0，+∞);
由函数零点的定义，f(x)在(0，+∞)内的零点即是方程|x-2|-ln x=0的根，
令y1=|x-2|，y2=ln x(x>0)，在同一个坐标系中画出两个函数的图象;
由图得，两个函数图象有两个交点，
故方程有两个根，即对应函数有两个零点.
3.(5分)(2018·绵阳模拟)已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f(x)=-a(x≠0)有且仅有3个零点，则a的取值范围是________________.
【解析】当0<x<1时，f(x)=-a=-a;
当1≤x<2时，f(x)=-a=-a;
当2≤x<3时，f(x)=-a=-a;….
f(x)=-a的图象是把y=的图象进行纵向平移而得到的，画出y=的图象如图，f(x)=0等价于
=a，通过数形结合可知a∈∪.
答案:∪
4.(12分)已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点.
(1)求m的值.
(2)求函数的零点.
【解析】 (1)因为f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点，
即方程(2x)2+m·2x+1=0仅有一个实根.
设2x=t(t>0)，则t2+mt+1=0.
当Δ=0时，即m2-4=0，所以m=±2，
当m=-2时，t=1;
当m=2时，t=-1(不合题意，舍去).
所以2x=1，x=0符合题意.
当Δ>0时，即m>2或m<-2，
t2+mt+1=0有两正或两负根，
即f(x)有两个零点或没有零点.
所以这种情况不符合题意.
综上可知:当m=-2时，f(x)有唯一零点.
(2)由(1)可知，该函数的零点为0.
5.(13分)(2018·昆明模拟)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x-4)=f(x)，且在区间[0，2]上f(x)=x，若关于x的方程f(x)=log a x有三个不同的实根，求a的取值范围.
【解析】由f(x-4)=f(x)知，函数的周期为4，又函数为偶函数，所以f(x-4)=f(x)=f(4-x)，
所以函数图象关于x=2对称，且f(2)=f(6)=f(10)=2，要使方程f(x)=log a x有三个不同的根，则满足如图，即
解得<a<，
故a的取值范围是(，).
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