2020-2021备战中考数学培优易错试卷(含解析)之圆的综合及答案

2020-2021备战中考数学培优易错试卷(含解析)之圆的综合及答案
一、圆的综合
1．在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点一次落在直线y x
=上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y x
=于点M，BC边交x轴于点N（如图）.
（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；
（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；
（3）设MBN
∆的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.
【答案】（1）π/2（2）22.5°(3)周长不会变化，证明见解析
【解析】
试题分析：（1）根据扇形的面积公式来求得边OA在旋转过程中所扫过的面积；
（2）解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出∠AOM的度数；
（3）利用全等把△MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子．
试题解析：（1）∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，直线y=x与y轴的夹角是45°，
∴OA旋转了45°．
∴OA在旋转过程中所扫过的面积为
2
452
3602ππ
⨯
=．
（2）∵MN∥AC，
∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．
∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN．
又∵BA=BC，∴AM=CN．
又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，∴△OAM≌△OCN．
∴∠AOM=∠CON=1
2（∠AOC-∠MON）=
1
2
（90°-45°）=22.5°．
∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45°-22.5°=22.5°．（3）在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．
证明：延长BA交y轴于E点，
则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，
∴∠AOE=∠CON．
又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN．
∴△OAE ≌△OCN ．
∴OE=ON ，AE=CN ．
又∵∠MOE=∠MON=45°，OM=OM ，
∴△OME ≌△OMN ．∴MN=ME=AM+AE ．
∴MN=AM+CN ，
∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4．
∴在旋转正方形OABC 的过程中，p 值无变化．
考点：旋转的性质.
2．已知AB ，CD 都是O e 的直径，连接DB ，过点C 的切线交DB 的延长线于点E ． ()1如图1，求证：AOD 2E 180∠∠+=o ；
()2如图2，过点A 作AF EC ⊥交EC 的延长线于点F ，过点D 作DG AB ⊥，垂足为点G ，求证：DG CF =；
()3如图3，在()2的条件下，当DG 3CE 4
=时，在O e 外取一点H ，连接CH 、DH 分别交O e 于点M 、N ，且HDE HCE ∠∠=，点P 在HD 的延长线上，连接PO 并延长交CM 于点Q ，若PD 11=，DN 14=，MQ OB =，求线段HM 的长．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）37
【解析】
【分析】
（1）由∠D +∠E =90°，可得2∠D +2∠E =180°，只要证明∠AOD =2∠D 即可；
（2）如图2中，作OR ⊥AF 于R ．只要证明△AOR ≌△ODG 即可；
（3）如图3中，连接BC 、OM 、ON 、CN ，作BT ⊥CL 于T ，作NK ⊥CH 于K ，设CH 交DE 于W ．解直角三角形分别求出KM ，KH 即可；
【详解】
()1证明：如图1中，
O Q e 与CE 相切于点C ，
OC CE ∴⊥，
OCE 90∠∴=o ，
D E 90∠∠∴+=o ，
2D 2E 180∠∠∴+=o ，
AOD COB ∠∠=Q ，BOC 2D ∠∠=，AOD 2D ∠∠=，
AOD 2E 180∠∠∴+=o ．
()2证明：如图2中，作OR AF ⊥于R ．
OCF F ORF 90∠∠∠===o Q ，
∴四边形OCFR 是矩形，
AF//CD ∴，CF OR =，
A AOD ∠∠∴=，
在AOR V 和ODG V 中，
A AOD ∠∠=Q ，ARO OGD 90∠∠==o ，OA DO =，
AOR ∴V ≌ODG V ，
OR DG ∴=，
DG CF ∴=，
()3解：如图3中，连接BC 、OM 、ON 、CN ，作BT CL ⊥于T ，作NK CH ⊥于K ，设CH 交DE 于W ．
设DG 3m =，则CF 3m =，CE 4m =，
OCF F BTE 90∠∠∠===o Q ，
AF//OC//BT ∴，
OA OB =Q ，
CT CF 3m ∴==，
ET m ∴=，
CD Q 为直径，
CBD CND 90CBE ∠∠∠∴===o ，
E 90EBT CBT ∠∠∠∴=-=o ，
tan E tan CBT ∠∠∴=，
BT CT ET BT
∴=， BT 3m m BT
∴=， BT 3m(∴=负根已经舍弃)，
3m tan E 3∠∴== E 60∠∴=o ，
CWD HDE H ∠∠∠=+Q ，HDE HCE ∠∠=，
H E 60∠∠∴==o ，
MON 2HCN 60∠∠∴==o ，
OM ON =Q ，
OMN ∴V 是等边三角形，
MN ON ∴=，
QM OB OM ==Q ，
MOQ MQO ∠∠∴=，
MOQ PON 180MON 120∠∠∠+=-=o o Q ，MQO P 180H 120∠∠∠+=-=o o ， PON P ∠∠∴=，
ON NP 141125∴==+=，
CD 2ON 50∴==，MN ON 25==，
在Rt CDN V 中，2222CN CD DN 501448=-=-=，
在Rt CHN V 中，CN 48tan H 3HN HN
∠===， HN 163∴=，
在Rt KNH V 中，1KH HN 832==，3NK HN 24==， 在Rt NMK V 中，2222MK MN NK 25247=-=-=，
HM HK MK 837∴=+=+．
【点睛】
本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，添加常用辅助线，构造全等三角形或直角三角形解题的关键.
3．如图，A 是以BC 为直径的⊙O 上一点，AD ⊥BC 于点D ，过点B 作⊙O 的切线，与CA 的延长线相交于点E ，G 是AD 的中点，连结CG 并延长与BE 相交于点F ，延长AF 与CB 的延长线相交于点P ．
（1）求证：BF =EF ：
（2）求证：PA 是⊙O 的切线；
（3）若FG =BF ，且⊙O 的半径长为32，求BD 的长度.
【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；（3）2
【解析】
分析：（1）利用平行线截三角形得相似三角形，得△BFC ∽△DGC 且△FEC ∽△GAC ，得到对应线段成比例，再结合已知条件可得BF =EF ；
（2）利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角，得到∠FAO =∠EBO ，结合BE 是圆的切线，得到PA ⊥OA ，从而得到PA 是圆O 的切线；
（3）点F 作FH ⊥AD 于点H ，根据前两问的结论，利用三角形的相似性质即可以求出BD 的长度．
详解：证明：(1)∵BC 是圆O 的直径，BE 是圆O 的切线，
∴EB ⊥BC .
又∵AD ⊥BC ，
∴AD ∥BE .
∴△BFC ∽△DGC ，△FEC ∽△GAC ，
∴BF
DG
=
CF
CG
，
EF
AG
=
CF
CG
，
∴BF
DG
=
EF
AG
，
∵G是AD的中点，
∴DG=AG，
∴BF=EF；
(2)连接AO，AB.
∵BC是圆O的直径，
∴∠BAC=90°，
由(1)得：在Rt△BAE中，F是斜边BE的中点，∴AF=FB=EF，可得∠FBA=∠FAB，
又∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO，
∵BE是圆O的切线，
∴∠EBO=90°，
∴∠FBA+∠ABO=90°，
∴∠FAB+∠BAO=90°，
即∠FAO=90°，
∴PA⊥OA，
∴PA是圆O的切线；
（3）过点F作FH⊥AD于点H，
∵BD⊥AD，FH⊥AD，
∴FH∥BC，
由(2)，知∠FBA=∠BAF，
∴BF=AF.
∵BF =FG ，
∴AF =FG ，
∴△AFG 是等腰三角形.
∵FH ⊥AD ，
∴AH =GH ，
∵DG =AG ，
∴DG =2HG . 即12HG DG =， ∵FH ∥BD ，BF ∥AD ，∠FBD =90°，
∴四边形BDHF 是矩形，
∴BD =FH ，
∵FH ∥BC
∴△HFG ∽△DCG ， ∴
12FH HG CD DG ==， 即
12BD CD =， ∴23 2.15≈， ∵O 的半径长为32，
∴BC =62，
∴BD =13
BC ＝22. 点睛：本题考查了切线的判定、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质.结合已知条件准确对图形进行分析并应用相应的图形性质是解题的关键.
4．如图，OB 是以（O ，a ）为圆心，a 为半径的⊙O 1的弦，过B 点作⊙O 1的切线，P 为劣弧»OB
上的任一点，且过P 作OB 、AB 、OA 的垂线，垂足分别是D 、E 、F ． （1）求证：PD 2=PE•PF ；
（2）当∠BOP=30°，P 点为OB 的中点时，求D 、E 、F 、P 四个点的坐标及S △DEF ．
【答案】（1）详见解析；（2）D 3，34a ），E 33a ，34a ），F 3，
0），P（﹣
3
2
a，
2
a
）；S△DEF=
33
16
a2．
【解析】
试题分析：（1）连接PB，OP，利用AB切⊙O1于B求证△PBE∽△POD，得
出PB PE
OP PD
=，同理，△OPF∽△BPD，得出
PB PD
OP PF
=，然后利用等量代换即可．
（2）连接O1B，O1P，得出△O1BP和△O1PO为等边三角形，根据直角三角形的性质即可解得D、E、F、P四个点的坐标．再利用三角形的面积公式可直接求出三角形DEF的面积．
试题解析：（1）证明：连接PB，OP，
∵PE⊥AB，PD⊥OB，
∴∠BEP=∠PDO=90°，
∵AB切⊙O1于B，∠ABP=∠BOP，
∴△PBE∽△POD，
∴=，
同理，△OPF∽△BPD
∴=，
∴=，
∴PD2=PE•PF；
（2）连接O1B，O1P，
∵AB切⊙O1于B，∠POB=30°，
∴∠ABP=30°，
∴∠O1BP=90°﹣30°=60°，
∵O1B=O1P，
∴△O1BP为等边三角形，
∴O1B=BP，
∵P为弧BO的中点，
∴BP=OP，
即△O1PO为等边三角形，
∴O1P=OP=a，
∴∠O1OP=60°，
又∵P为弧BO的中点，
∴O1P⊥OB，
在△O1DO中，∵∠O1OP=60°O1O=a，
∴O1D=a，OD=a，
过D作DM⊥OO1于M，∴DM=OD=a，OM=DM=a，
∴D（﹣a， a），
∵∠O1OF=90°，∠O1OP=60°
∴∠POF=30°，
∵PE⊥OA，
∴PF=OP=a，OF=a，
∴P（﹣a，），F（﹣a，0），
∵AB切⊙O1于B，∠POB=30°，
∴∠ABP=∠BOP=30°，
∵PE⊥AB，PB=a，
∴∠EPB=60°
∴PE=a，BE=a，
∵P为弧BO的中点，
∴BP=PO，
∴∠PBO=∠BOP=30°，
∴∠BPO=120°，
∴∠BPE+∠BPO=120°+60°=180°，
即OPE三点共线，
∵OE=a+a=a，
过E作EM⊥x轴于M，∵AO切⊙O1于O，∴∠EOA=30°，
∴EM=OE=a，OM=a，
∴E（﹣a， a），
∵E（﹣a， a），D（﹣a， a），∴DE=﹣a﹣（﹣a）=a，
DE边上的高为： a，
∴S△DEF=×a×a=a2．
故答案为：D（﹣a， a），E（﹣a， a），F（﹣a，0），P（﹣a，）；S△DEF=a2．
5．如图，已知BC是⊙O的弦，A是⊙O外一点，△ABC为正三角形，D为BC的中点，M 为⊙O上一点，并且∠BMC=60°．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若E，F分别是边AB，AC上的两个动点，且∠EDF=120°，⊙O的半径为2，试问
BE+CF的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）证明见试题解析；（2）BE+CF的值是定值，为等边△ABC边长的一半．【解析】
试题分析：（1）连结OB、OD，如图1，由于D为BC的中点，由垂径定理的推理得
OD⊥BC，∠BOD=∠COD，即可得到∠BOD=∠M=60°，则∠OBD=30°，所以∠ABO=90°，于是得到AB是⊙O的切线；
（2）作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，连结AD，如图2，由△ABC为正三角形，D为BC 的中点，得到AD平分∠BAC，∠BAC=60°，利用角平分线性质得DM=DN，得
∠MDN=120°，由∠EDF=120°，得到∠MDE=∠NDF，于是有△DME≌△DNF，得到ME=NF，
得到BE+CF=BM+CN，由BM=1
2
BD，CN=
1
2
OC，得到BE+CF=
1
2
BC，即可判断BE+CF的值是
定值，为等边△ABC边长的一半．
试题解析：（1）连结OB、OD，如图1，∵D为BC的中点，∴OD⊥BC，∠BOD=∠COD，
∴∠ODB=90°，∵∠BMC=1
2
∠BOC，∴∠BOD=∠M=60°，∴∠OBD=30°，∵△ABC为正三
角形，∴∠ABC=60°，∴∠ABO=60°+30°=90°，∴AB⊥OB，∴AB是⊙O的切线；
（2）BE+CF的值是为定值．
作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，连结AD，如图2，∵△ABC为正三角形，D为BC的中
点，∴AD 平分∠BAC ，∠BAC=60°，∴DM=DN ，∠MDN=120°，∵∠EDF=120°，
∴∠MDE=∠NDF ，在△DME 和△DNF 中，∵∠DME=∠DNF ．DM=DN ，∠MDE=∠NDF ，∴△DME ≌△DNF ，∴ME=NF ，∴BE+CF=BM ﹣EM+CN+NF=BM+CN ，在Rt △DMB 中，
∵∠DBM=60°，∴BM=12BD ，同理可得CN=12OC ，∴BE+CF=12OB+12OC=12
BC ，∴BE+CF 的值是定值，为等边△ABC 边长的一半．
考点：1．切线的判定；2．等边三角形的性质；3．定值问题；4．探究型；5．综合题；6．压轴题．
6．已知：BD 为⊙O 的直径，O 为圆心，点A 为圆上一点，过点B 作⊙O 的切线交DA 的延长线于点F ，点C 为⊙O 上一点，且AB ＝AC ，连接BC 交AD 于点E ，连接AC ．
(1)如图1，求证：∠ABF ＝∠ABC ；
(2)如图2，点H 为⊙O 内部一点，连接OH ，CH 若∠OHC ＝∠HCA ＝90°时，求证：CH ＝12
DA ； (3)在(2)的条件下，若OH ＝6，⊙O 的半径为10，求CE 的长．
【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）
215
. 【解析】
【分析】 ()1由BD 为O e 的直径，得到D ABD 90∠∠+=o ，根据切线的性质得到
FBA ABD 90∠∠+=o ，根据等腰三角形的性质得到C ABC ∠∠=，等量代换即可得到
结论；
()2如图2，连接OC ，根据平行线的判定和性质得到ACO COH ∠∠=，根据等腰三角形的性质得到OBC OCB ∠∠=，ABC CBO ACB OCB ∠∠∠∠+=+，根据相似三角形的性质即可得到结论；
()3根据相似三角形的性质得到AB BD 2OH OC
==，根据勾股定理得到22AD BD AB 16=-=，根据全等三角形的性质得到BF BE =，AF AE =，根据射影
定理得到2
12AF 916
==，根据相交弦定理即可得到结论． 【详解】
()1BD Q 为O e 的直径，
90BAD ∴∠=o ，
90D ABD ∴∠+∠=o ，
FB Q 是O e 的切线，
90FBD ∴∠=o ，
90FBA ABD ∴∠+∠=o ，
FBA D ∴∠=∠，
AB AC =Q ，
C ABC ∴∠=∠，
C D ∠=∠Q ，
ABF ABC ∴∠=∠；
()2如图2，连接OC ，
90OHC HCA ∠=∠=o Q ，
//AC OH ∴，
ACO COH ∴∠=∠，
OB OC =Q ，
OBC OCB ∴∠=∠，
ABC CBO ACB OCB ∴∠+∠=∠+∠，
即ABD ACO ∠=∠，
ABC COH ∴∠=∠，
90H BAD ∠=∠=o Q ，
ABD ∴V ∽HOC V ，
2AD BD CH OC
∴==， 12
CH DA ∴=； ()3由()2知，ABC V ∽HOC V ，
2AB BD OH OC
∴
==， 6OH =Q ，O e 的半径为10， 212AB OH ∴==，20BD =，
16AD ∴==，
在ABF V 与ABE V 中，
90ABF ABE AB AB BAF BAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩
o ， ABF ∴V ≌ABE V ，
BF BE ∴=，AF AE =，
90FBD BAD ∠=∠=o Q ，
2AB AF AD ∴=⋅，
2
12916
AF ∴==， 9AE AF ∴==，
7DE ∴=
，15BE ==，
AD Q ，BC 交于E ，
AE DE BE CE ∴⋅=⋅，
9721155
AE DE CE BE ⋅⨯∴===． 【点睛】
本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，射影定理，相交弦定理，正确的识别图形是解题的关键．
7．如图，□ABCD 的边AD 是△ABC 外接圆⊙O 的切线，切点为A ，连接AO 并延长交BC 于点E ，交⊙O 于点F ，过点C 作直线CP 交AO 的延长线于点P ，且∠BCP ＝∠ACD ． （1）求证：PC 是⊙O 的切线；
（2）若∠B ＝67.5°，BC ＝2，求线段PC ，PF 与弧CF 所围成的阴影部分的面积S ．
【答案】（1）见解析；（2）14
π-
【解析】 【分析】（1） 过C 点作直径CM ，连接MB ，根据CM 为直径，可得∠M+∠BCM ＝90°，再根据AB ∥DC 可得∠ACD ＝∠BAC ，由圆周角定理可得∠BAC ＝∠M ，∠BCP ＝∠ACD ，从而可推导得出∠PCM ＝90°，根据切线的判定即可得；
（2）连接OB ，由AD 是⊙O 的切线，可得∠PAD ＝90°，再由BC ∥AD ，可得AP ⊥BC ，从而得BE ＝CE ＝ 12
BC ＝1，继而可得到∠ABC ＝∠ACB ＝67.5°，从而得到∠BAC ＝45°，由圆周角定理可得∠BOC=90°，从而可得∠BOE ＝∠COE ＝∠OCE ＝ 45°，根据已知条件可推导得出OE ＝CE ＝1，PC ＝OC 22OE CE 2+部分的面积.
【详解】（1） 过C 点作直径CM ，连接MB ，
∵CM 为直径，
∴∠MBC ＝90°，即∠M+∠BCM ＝90°，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥DC ，AD ∥BC ，
∴∠ACD ＝∠BAC ，
∵∠BAC ＝∠M ，∠BCP ＝∠ACD ，
∴∠M ＝∠BCP ，
∴∠BCP+∠BCM ＝90°，即∠PCM ＝90°，
∴CM ⊥PC ，
∴PC 与⊙O 相切；
（2）连接OB ，
∵AD 是⊙O 的切线，切点为A ，
∴OA ⊥AD ，即∠PAD ＝90°，
∵BC ∥AD ，∠AEB=∠PAD ＝90°， ∴AP ⊥BC ．∴BE ＝CE ＝
12
BC ＝1， ∴AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝67.5°，
∴∠BAC ＝180°－∠ABC －∠ACB ＝45°，
∴∠BOC ＝2∠BAC ＝90°，
∵OB ＝OC ，AP ⊥BC ，∴∠BOE ＝∠COE ＝∠OCE ＝ 45°，
∵∠PCM ＝90°，∴∠CPO ＝∠COE ＝∠OCE ＝ 45°，
∴OE＝CE＝1，PC＝OC
＝22
OE CE2
+=
，
∴S＝S△POC－S扇形OFC＝
()2
45π2
1π
221
23604
⨯
⨯⨯-=-．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、扇形面积等，综合性较强，准确添加辅助线是解题的关键.
8．如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连接AD．已知∠CAD＝∠B．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若CD＝2，AC＝4，BD＝6，求⊙O的半径．
【答案】（1）详见解析；（2）
35
.
【解析】
【分析】
(1)解答时先根据角的大小关系得到∠1＝∠3，根据直角三角形中角的大小关系得出
OD⊥AD ，从而证明AD为圆O的切线；(2)根据直角三角形勾股定理和两三角形相似可以得出结果
【详解】
（1）证明：连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠3＝∠B，
∵∠B＝∠1，
∴∠1＝∠3，
在Rt△ACD中，∠1+∠2＝90°，
∴∠4＝180°﹣（∠2+∠3）＝90°，∴OD⊥AD，
则AD为圆O的切线；
（2）过点O作OF⊥BC，垂足为F，
∵OF⊥BD
∴DF＝BF＝1
2
BD＝3
∵AC＝4，CD＝2，∠ACD＝90°
∴AD22
AC CD
5
∵∠CAD＝∠B，∠OFB＝∠ACD＝90°∴△BFO∽△ACD
∴BF
AC = OB AD
即3
425
∴OB35
∴⊙O35．
【点睛】
此题重点考查学生对直线与圆的位置关系，圆的半径的求解，掌握勾股定理，两三角形相似的判定条件是解题的关键
9．如图，已知AB为⊙O的直径，AB=8，点C和点D是⊙O上关于直线AB对称的两个点，连接OC、AC，且∠BOC＜90°，直线BC和直线AD相交于点E，过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F，与直线AD相交于点G，且∠GAF＝∠GCE
（1）求证：直线CG为⊙O的切线；
（2）若点H为线段OB上一点，连接CH，满足CB＝CH，
①△CBH∽△OBC
②求OH＋HC的最大值
【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②5.
【解析】
分析：（1）由题意可知：∠CAB=∠GAF，由圆的性质可知：∠CAB=∠OCA，所以∠OCA=∠GCE，从而可证明直线CG是⊙O的切线；
（2）①由于CB=CH，所以∠CBH=∠CHB，易证∠CBH=∠OCB，从而可证明
△CBH∽△OBC；
②由△CBH∽△OBC可知：BC HB
OC BC
＝，所以HB=
2
4
BC
，由于BC=HC，所以
OH+HC=4−
2
4
BC
+BC，利用二次函数的性质即可求出OH+HC的最大值．
详解：（1）由题意可知：∠CAB=∠GAF，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠OCA，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
∵∠GAF=∠GCE，
∴∠GCE+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴直线CG是⊙O的切线；
（2）①∵CB=CH，
∴∠CBH=∠CHB，
∵OB=OC，
∴∠CBH=∠OCB，
∴△CBH∽△OBC
②由△CBH∽△OBC可知：BC HB OC BC
＝
∵AB=8，
∴BC2=HB•OC=4HB，
∴HB=
2
4 BC
，
∴OH=OB-HB=4-24BC ∵CB=CH ， ∴OH+HC=4−24
BC +BC ， 当∠BOC=90°，
此时BC=42 ∵∠BOC ＜90°，
∴0＜BC ＜42， 令BC=x 则CH=x ，BH=2
4
x ()221142544
OH HC x x x ∴+=-++=--+ 当x=2时，
∴OH+HC 可取得最大值，最大值为5
点睛：本题考查圆的综合问题，涉及二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，切线的判定等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所知识．
10．如图，AB 为⊙O 的直径，且AB ＝m （m 为常数），点C 为»AB 的中点，点D 为圆上一动点，过A 点作⊙O 的切线交BD 的延长线于点P ，弦CD 交AB 于点E ．
（1）当DC ⊥AB 时，则DA DB DC
+＝ ； （2）①当点D 在»AB 上移动时，试探究线段DA ，DB ，DC 之间的数量关系；并说明理由；
②设CD 长为t ，求△ADB 的面积S 与t 的函数关系式；
（3）当92PD AC =时，求DE OA 的值．
【答案】（12；（2）①DA+DB 2DC ，②S ＝
12t 2﹣14m 2 ；（3）24235
DE OA =. 【解析】
【分析】 （1）首先证明当DC ⊥AB 时，DC 也为圆的直径，且△ADB 为等腰直角三角形，即可求出
结果；
（2）①分别过点A ，B 作CD 的垂线，连接AC ，BC ，分别构造△ADM 和△BDN 两个等腰直角三形及△NBC 和△MCA 两个全等的三角形，容易证出线段DA ，DB ，DC 之间的数量关系；
②通过完全平方公式（DA+DB ）2＝DA 2+DB 2+2DA•DB 的变形及将已知条件AB ＝m 代入即可求出结果；
（3）通过设特殊值法，设出PD 的长度，再通过相似及面积法求出相关线段的长度，即可求出结果．
【详解】
解：（1）如图1，∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ADB ＝90°，
∵C 为»AB 的中点，
∴»»AC BC
=， ∴∠ADC ＝∠BDC ＝45°，
∵DC ⊥AB ，
∴∠DEA ＝∠DEB ＝90°，
∴∠DAE ＝∠DBE ＝45°，
∴AE ＝BE ，
∴点E 与点O 重合，
∴DC 为⊙O 的直径，
∴DC ＝AB ，
在等腰直角三角形DAB 中，
DA ＝DB ＝2AB ， ∴DA+DB ＝2AB ＝2CD ，
∴DA DB DC
+＝2；
（2）①如图2，过点A 作AM ⊥DC 于M ，过点B 作BN ⊥CD 于N ，连接AC ，BC ，
由（1）知»»AC BC
=， ∴AC ＝BC ，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ACB ＝∠BNC ＝∠CMA ＝90°，
∴∠NBC+∠BCN ＝90°，∠BCN+∠MCA ＝90°， ∴∠NBC ＝∠MCA ，
在△NBC 和△MCA 中，
BNC CMA NBC MCA BC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△NBC ≌△MCA （AAS ），
∴CN ＝AM ，
由（1）知∠DAE ＝∠DBE ＝45°，
AM ＝2DA ，
DN ＝2DB ， ∴DC ＝DN+NC ＝
2DB+2DA ＝2（DB+DA ）， 即DA+DB ＝2DC ；
②在Rt △DAB 中，
DA 2+DB 2＝AB 2＝m 2，
∵（DA+DB ）2＝DA 2+DB 2+2DA•DB ，
且由①知DA+DB 2DC 2t ，
∴2t ）2＝m 2+2DA•DB ，
∴DA•DB ＝t 2﹣
12m 2， ∴S △ADB ＝12DA•DB ＝12t 2﹣14
m 2， ∴△ADB 的面积S 与t 的函数关系式S ＝
12t 2﹣14m 2； （3）如图3，过点E 作EH ⊥AD 于H ，EG ⊥DB 于G ， 则NE ＝ME ，四边形DHEG 为正方形，
由（1）知»»AC BC =， ∴AC ＝BC ，
∴△ACB 为等腰直角三角形，
∴AB 2AC ，
∵220PD AC =，
设PD ＝92，则AC ＝20，AB ＝202， ∵∠DBA ＝∠DBA ，∠PAB ＝∠ADB ，
∴△ABD ∽△PBA ，
∴
AB BD AD PB AB PA ==， ∴20292202
DB =+， ∴DB ＝162， ∴AD ＝
22AB DB -＝122， 设NE ＝ME ＝x ，
∵S △ABD ＝
12AD•BD ＝12AD•NE+12BD•ME ， ∴12×122×162＝12×122•x+12
×162•x ， ∴x ＝
482， ∴DE ＝2HE ＝2x ＝
967， 又∵AO ＝
12AB ＝102， ∴962427102DE OA =⨯=．
【点睛】
本题考查了圆的相关性质，等腰直三角形的性质，相似的性质等，还考查了面积法及特殊值法的运用，解题的关键是认清图形，抽象出各几何图形的特殊位置关系．
11．如图，在ABC △中，10AC BC ==，3cos 5
C =,点P 是BC 边上一动点（不与点,A C 重合），以PA 长为半径的P e 与边AB 的另一个交点为
D ，过点D 作D
E CB ⊥于点E .
()1当P e与边BC相切时，求P e的半径；
()2联结BP交DE于点F，设AP的长为x，PF的长为y，求y关于x的函数解析式，
并直接写出x的取值范围；
()3在()2的条件下，当以PE长为直径的Q
e与P
e相交于AC边上的点G时，求相交所得的公共弦的长.
【答案】（1）40
9
；（2）()
2
5
880
010
320
x x x
y x
x
-+
=<<
+
；（3）1025
-
【解析】
【分析】
（1）设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，连接HP，则HP⊥BC，cosC=
3
5
，则sinC=
4
5
，sinC=
HP
CP
=
R
10R
-
=
4
5
，即可求解；
（2）PD∥BE，则
EB
PD
＝
BF
PF
，即：2
2
4880
5
x x x y
x y
--+-
=，即可求解；
（3）证明四边形PDBE为平行四边形，则AG=GP=BD，即：AB=DB+AD=AG+AD=45，即可求解．
【详解】
（1）设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，
连接HP，则HP⊥BC，cosC=
3
5
，则sinC=
3
5
，
sinC=
HP
CP
=
R
10R
-
=
4
5
，解得：R=
40
9
；
（2）在△ABC中，AC=BC=10，cosC=
3
5
，
设AP=PD=x，∠A=∠ABC=β，过点B作BH⊥AC，
则BH=ACsinC=8，
同理可得：
CH=6，HA=4，AB=45，则：tan∠CAB=2BP=()2
2
84
x
+-=2880
x x
-+，DA=
25
x，则BD=45-
25
x，
如下图所示，
PA=PD，∴∠PAD=∠CAB=∠CBA=β，
tanβ=2，则
55
EB=BDcosβ=（5
5
5
x）
5
2
5
x，
∴PD∥BE，
∴EB
PD
＝
BF
PF
，即：2
2
4880
5
x x x y
x y
--+
=，
整理得：y=)
2
x8x80
0x10
3x20
-+
<<
+
；
（3）以EP为直径作圆Q如下图所示，
两个圆交于点G ，则PG=PQ ，即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为D ，GD 为相交所得的公共弦，
∵点Q 时弧GD 的中点，
∴DG ⊥EP ，
∵AG 是圆P 的直径，
∴∠GDA=90°，
∴EP ∥BD ，
由（2）知，PD ∥BC ，∴四边形PDBE 为平行四边形，
∴AG=EP=BD ，
∴5
设圆的半径为r ，在△ADG 中， 55
AG=2r ， 5551
+， 则：5
5 相交所得的公共弦的长为5
【点睛】
本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识，其中（3），要关键是根据题意正确画图，此题用大量的解直角三角形的内容，综合难度很大．
12．如图，AB 是O e 的直径，DF 切O e 于点D ，BF DF ⊥于F ，过点A 作AC //BF 交BD 的延长线于点C .
（1）求证：ABC C ∠∠=；
（2）设CA 的延长线交O e 于E BF ，交O e 于G ，若¼DG
的度数等于60o ，试简要说明点D 和点E 关于直线AB 对称的理由.
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）作辅助线，连接OD，由DF为⊙O的切线，可得OD⊥DF，又BF⊥DF，AC∥BF，所以OD∥AC，∠ODB=∠C，由OB=OD得∠ABD=∠ODB，从而可证∠ABC=∠C；
（2）连接OG，OD，AD，由BF∥OD，»GD=60°，可求证»BG=»»
==60°，由平行线
GD AD
的性质及三角形的内角和定理可求出∠OHD=90°，由垂径定理便可得出结论．
【详解】
（1）连接OD，
∵DF为⊙O的切线，
∴OD⊥DF．
∵BF⊥DF，AC∥BF，
∴OD∥AC∥BF．
∴∠ODB=∠C．
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠ODB．
∴∠ABC=∠C．
（2）连接OG，OD，AD，DE，DE交AB于H，
∵BF∥OD，
∴∠OBG=∠AOD，∠OGB=∠DOG，
∴»»
GD AD
==»BG．
∵»GD=60°，
∴»BG=»»
GD AD
==60°，
∴∠ABC=∠C=∠E=30°，
∵OD//CE
∴∠ODE=∠E=30°．
在△ODH中，∠ODE=30°，∠AOD=60°，
∴∠OHD=90°，
∴AB⊥DE．
∴点D和点E关于直线AB对称．
【点睛】
本题考查的是切线的性质、圆周角定理及垂径定理，解答此题的关键是作出辅助线，利用数形结合解答．
13．如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线上的一点，过⊙O上一点C作⊙O的切线交DF于点E，CE⊥DF．
(1)求证：AC平分∠FAB；
(2)若AE＝1，CE＝2，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明见解析；（2）5 2
【解析】
试题分析：（1）连接OC，根据切线的性质和圆周角定理，得出∠OCA=∠OAC与
∠CAE=∠OCA，然后根据角平分线的定义可证明；
（2）由圆周角定理得到∠BCA=90°，由垂直的定义，可求出∠CEA=90°，从而根据两角对应相等的两三角形相似可证明△ACB∽△AEC，再根据相似三角形的对应边成比例求得AB的长，从而得到圆的半径.
试题解析：(1)证明：连接OC.
∵CE是⊙O的切线，∴∠OCE =90°
∵CE⊥DF，∴∠CEA=90°，
∴∠ACE+∠CAE=∠ACE+∠OCA=90°，∴∠CAE=∠OCA
∵OC＝OA，∴∠OCA=∠OAC.
∴∠CAE=∠OAC，即AC平分∠FAB
(2)连接BC.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB =∠AEC =90°.
又∵∠CAE=∠OAC，∴△ACB∽△AEC,∴AB AC AC AE
=.
∵AE＝1，CE＝2，∠AEC =90°，∴2222
125
AC AE CE
=+=+=
∴
()2
25
5
1
AC
AB
AE
===，∴⊙O的半径为
5
2
．
14．如图1，D是⊙O的直径BC上的一点，过D作DE⊥BC交⊙O于E、N，F是⊙O上的一点，过F的直线分别与CB、DE的延长线相交于A、P，连结CF交PD于M，∠C＝
1
2
∠P．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若∠A＝30°，⊙O的半径为4，DM＝1，求PM的长；
（3）如图2，在（2）的条件下，连结BF、BM；在线段DN上有一点H，并且以H、D、C 为顶点的三角形与△BFM相似，求DH的长度．
【答案】（1）证明见解析；（2）PM＝32；（3）满足条件的DH 63
-
或
1223
+
【解析】
【分析】
（1）如图1中，作PH⊥FM于H．想办法证明∠PFH=∠PMH，∠C=∠OFC，再根据等角的余角相等即可解决问题；
（2）解直角三角形求出AD，PD即可解决问题；
（3）分两种情形①当△CDH∽△BFM时，DH CD FM BF
=．
②当△CDH∽△MFB时，DH CD
FB MF
，分别构建方程即可解决问题；
【详解】
（1）证明：如图1中，作PH⊥FM于H．
∵PD⊥AC，∴∠PHM＝∠CDM＝90°，∵∠PMH＝∠DMC，∴∠C＝∠MPH，∵∠C＝1
2
∠FPM，∴∠HPF＝∠HPM，
∵∠HFP+∠HPF＝90°，∠HMP+∠HPM＝90°，∴∠PFH＝∠PMH，
∵OF＝OC，∴∠C＝∠OFC，
∵∠C+∠CMD＝∠C+∠PMF＝∠C+∠PFH＝90°，
∴∠OFC+∠PFC＝90°，∴∠OFP＝90°，
∴直线PA是⊙O的切线．
（2）解：如图1中，∵∠A＝30°，∠AFO＝90°，∴∠AOF＝60°，
∵∠AOF＝∠OFC+∠OCF，∠OFC＝∠OCF，∴∠C＝30°，
∵⊙O的半径为4，DM＝1，
∴OA＝2OF＝8，CD33，
∴OD＝OC﹣CD＝43，
∴AD＝OA+OD＝8+43＝123，
在Rt△ADP中，
DP＝AD•tan30°＝（123）3
＝3﹣1，
∴PM＝PD﹣DM＝3﹣2．（3）如图2中，
由（2）可知：BF ＝12BC ＝4，FM ＝3BF ＝43 ，CM ＝2DM ＝2，CD ＝3 ， ∴FM ＝FC ﹣CM ＝43﹣2，
①当△CDH ∽△BFM 时，
DH CD FM BF = ， ∴ 34
432=- ，∴DH ＝632- ②当△CDH ∽△MFB 时，
DH CD FB MF =， ∴34432
DH =- ，∴DH ＝1223+ ， ∵DN ＝()22443833--=- ，
∴DH ＜DN ，符合题意，
综上所述，满足条件的DH 的值为
63- 或1223+． 【点睛】
本题考查圆综合题、切线的判定、解直角三角形、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题.
15．如图，
是大半圆的直径，是小半圆的直径，点是大半圆上一点，与小半圆交于点，过点作于点. （1）求证：
是小半圆的切线； （2）若
，点在上运动（点不与两点重合），设，. ①求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
②当时，求两点之间的距离.
【答案】（1）见解析；（2）①，，②两点之间的距离为
或.
【解析】
【分析】
（1）连接CO、CM，只需证到CD⊥CM．由于CD⊥OP，只需证到CM∥OP，只需证到CM 是△AOP的中位线即可．
（2）①易证△ODC∽△CDP，从而得到CD2=DP•OD，进而得到y与x之间的函数关系式．由于当点P与点A重合时x=0，当点P与点B重合时x=4，点P在大半圆O上运动（点P不与A，B两点重合），因此自变量x的取值范围为0＜x＜4．
②当y=3时，得到-x2+4x=3，求出x．根据x的值可求出CD、PD的值，从而求出∠CPD，运用勾股定理等知识就可求出P，M两点之间的距离．
【详解】
（1）连接，如图1所示
∵是小半圆的直径，
∴即
∵
∴
∵
∴
∴，
∵
∴，
∴
∴.，即
∵经过半径的外端，且
∴直线是小半圆的切线.
（2）①∵，，
∴
∴
∴∽
∴
∴
∵,,，
∴
当点与点重合时，；当点与点重合时，∵点在大半圆上运动（点不与两点重合），∴
∴与之间的函数关系式为，
自变量的取值范围是.
②当时，
解得,
Ⅰ当时，如图2所示
在中，
∵，
∴，
∴
∵，
∴是等边三角形
∵
∴
∴
.
Ⅱ当时，如图3所示，
同理可得
∵
∴
∴
过点作，垂足为，连接，如图3所示
∵，
∴
同理
在中，
∵，
∴
综上所述，当时，两点之间的距离为或.
【点睛】
考查了切线的判定、平行线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识，综合性比较强．。