测量平差课件之六

x
σ
u
点位方差(中误差)的局限性
点位中误差可以用来评定待定点的点位 精度,但是它只是表示点位的"平均精 度",却不能代表该点在某一任意方向 σ σ σ σ 上的位差大小.而 和 或 和 y x 等等,也只能代表待定点在 和 轴方 AP 向上以及在 边的纵向,横向上的位差. 但在有些情况下,往往需要研究点位在 某些特殊方向上的位差大小.
点位真误差
在图6-1中,A为已知点,其 坐标为XA,YA,假设它的坐 标没有误差(或误差忽略不 计),P为待定点,其真位置 ~ ~ 的坐标为 x P , y P . 由 x A , y A 和观测值求定的 x P,y P 所确定的点 P平面位置并不 是点的真位置,而是最或然 点位,记为P',在p和p'对应 的这两对坐标之间存在着坐 标真误差 和 y .
i i i i
xi xi yi yi
Q X X = ( B PB )
T
1
Q xx = Q yx
Q xy Q yy
计算方法参见间接平差一章.
点位误差的计算
(2)条件平差法计算 当平面控制网按条件平差时,首先求出观测值的平差值,由 平差值和已知点的坐标计算待定点最或然坐标,因此说, 待定点最或然坐标是观测值的平差值的函数. 故欲求待定点最或然坐标的协因数(权倒数),需按照条件 平差法中求平差值函数的权倒数的方法进行计算. 设待定点的最或然坐标为 xP 和 yP ,计算 xP和 yP 使用的已知 点坐标为 x0 和 y (认为没有误差),则应有以下函数式
测量平差
太原理工大学测绘科学与技术系
第六章
误差椭圆
第六章 误差椭圆
§6 - 1 §6 - 2 §6 - 3 §6 - 4 §6 - 5 §6 - 6 概 论 点位误差 误差曲线 误差椭圆 相对误差椭圆 点位落入误差椭圆内的概率
§6 - 1
概
论
为了确定待定点的平面直角坐标,通常由已知点与 待定点构成平面控制网,并对构成控制网的元素 (角度,边长等)进行一系列观测,进而通过已 知点的平面直角坐标和观测值,用一定的数学方 法(平差方法)求出待定点的平面直角坐标. 由于观测条件的存在,观测值总是带有观测误差, 因而根据观测值通过平差计算所获得的待定点的 平面直角坐标,并不是真正的坐标值,而是待定 ~ ~ 点的真坐标值 xP , y P 的估值 x P , y P
y 由于 和 的存在而产生的距离 x P 的点位真误差,简称真位差. 由图6-1知 2P = 2x + 2y
称为 P
点
点位真误差的随机性
点 P 的最或然坐标 xP 和 yP 是由一组带有观 测误差的观测值通过平差所求得的结果,因此, 它们是观测值的函数.设 xP 和 yP 与观测值向 量之间的线性函数关系为
点位方差与坐标系统的无关性
在和对应的这两对坐标之间存在着误差和,从图 6-2中可以看出, 这说明,虽然在坐标系中对 , 应的真误差和与坐标系中的真误差和不同,但 点真位差的大小没有发生变化,即
2P = 2x + 2y = 2x′ + 2y′
2 2 σ 2 = σ x′ + σ y ′ P P P
如果再将点的真位差投影于AP 方向和垂直于 AP 的方向上,则得 σ 和σ u2 如(图6-2),此时有 2 2 σ 2 = σS +σu 2P = 2S + 2 同理可得 P u 式中,称 σ 纵向误差, σ u2 称横向误差.
1 =σ px 1 =σ py
Q xx 2 0 Q yy
2 0
σ P = σ 0 Q xx + Q yy = σ 0
可以看出,若想求得点位中误差,一个是方差因 子(或中误差);另一个就是点的坐标未知数 和的协因数和.
1 1 + Px Py
点位误差的计算
2.
的计算问题 (1)间接平差法计算 当控制网中有个待定点,并以这个待定点的坐标作为未 知数,按间接平差法进行平差时,法方程系数阵的逆 阵就是未知数的协因数阵,即
点位真误差的随机性
对于同一控制网而言,如果观测量相同 (如同样的角度,边长等),采取同样的 平差方法,则式中 α,β,α 0,β 0 的是不变 量 , 但 观 测 值 向 量 L ,L 不 会 相 等 , 因 此 x ≠ x ,y ≠ y .可见,随着观测值的 不同, x 和 y 也将取得不同的数值.但P ~ ~ y xP 点的真坐标 和 是唯一的,由上式知, 就会出现不同的 和 x 值以及 y ,所 以说点位真误差随观测值不同而变化,即 点位真误差具有随机性.
σP = σ 0 Qxx + Qyy
则点位中误差为
任意方向上的位差
在P点有任意一方向,与X轴的夹角为 ,p点的点位误 差在 PP′ 方向上的投影值为 = PP′′′ ,在x轴和y轴上的 投影为 和 . 则 与 和 的关系为
2 S
2 S
点位方差与坐标系统的无关性
通过纵,横向误差来求定点位误差,也是测量 工作中一种常用的方法. 上述的 σ 和 σ y 分别为点在纵横坐标和方向上 的中误差,或称X为Y和方向上的位差.同样, 和 σ s 是点在 AP 边的纵向和横向上的位差. 从上面的分析可以看出,点位方差总是等于两 个相互垂直的方向上的坐标方差之和,即点位 方差的大小与坐标系的选择无关. 点位中误差是衡量待定点精度的常用指标之一, , 在应用时,只要求出点在两个相互垂直方向上 的中误差.就可计算点位中误差.
式中, P 是观测值的权逆阵,N 的法方程系数阵.
aa
是条件平差
点位误差的计算
3.
σ0 σ的确定 0
T
的确定,分两种情况,一是在平差计算时, V PV 用式 计算,但是由于子样的容量(即 r 观测值的个数以及观测次数)有限,因此不论 V PV 用何种方法平差,用 式求得的数值只是 r 单位权中误差的估值;另一种情况是在控制网 设计阶段, 的确定,只能采用先验值,就是 σ0 使用经验值或按相应《规范》规定的相应等级 的误差值(例如,四等平面控制网,测角中误 σ = ±2.5′′ 差为 ±2.5′,此时可取 );
Q
xx
,Q
yy
Q XX = N bb = ( B PB )
T
1
1
Q x1 x1 Q y x 1 1 Q x 2 x1 = Q y x 2 1 Q x x k 1 Q y k x1
Q Q Q Q Q Q
x1 y1 y1 y1 x 2 y1 y 2 y1 x k y1 y k y1
0
x P = x0 + x(L) y P = y 0 + y ( L )
对上式求微分,得其权函数式为
dx dy
p p
= f = f
T T
x
dL y dL
点位误差的计算
按协因数传播律得
T Q xx = f x Q LL f x T Q yy = f y QLL f y T Q xy = f x Q LL f y
1 2
P1 P2
P1
P2
P
P
P
P
点位方差定义
对
和 xP P y取数学期望,得
~ E ( x P ) = x A + α 0 + α E ( L) = x A + α 0 + α L = ~P x ~ E ( y P ) = y A + β 0 + β E ( L ) = y A + β 0 + β L = ~P y
2 σ P = ± σ x2 + σ y
P P
点位方差与坐标系统的无关性
如果将图6-1中的坐标 系围绕原点 o 旋转某 一角度 α ,得坐标系 x′oy′ (见图6-2),则 A,P,P′ 各点的坐标分 (x ′ y ′ 别为(x′A ,y′A) , ~P ,~P) 和 (x′P ,y′P) .
yP
点位方差定义
两边取数学期望,得
2 2 E (2P ) = E (2x ) + E (2y ) = σ x + σ y P P
上式中 是 P 点真位差平方的理论平均 P 值,通常定义为 点的点位方差,并记 2 为 σ P ,于是有 σ = σ + σ 则 P 点的点位中误差
E ( 2P )
2 P 2 xP 2 yP
x
y
u
s
点位方差(中误差)的局限性
例如,在线路工程中和各种地下工程中,贯通工程是经常性 的重要的工作之一,此种工程中就需要控制在贯通点上的 纵向和横向(在贯通工程中称为重要方向)误差的大小, 特别是横向误差.此外有时还要了解点位在哪一个方向上 的位差最大,在哪一个方向上的位差最小. 为了便于求定待定点点位在任意方向上位差的大小,需要建 立相应的数学模型(公式)来计算任意方向上的位差.直 观形象的表达任意方向上位差的大小和分布情况,一般是 通过绘制待定点的点位误差椭圆图形来实现的,通过误差 椭圆图形也可以图解待定点在任意方向上的位差.
顾及观测值的平差值的协因数阵
QLL = P 1 P 1 AT N aa1 AP 1
则
1
T T T Q xx = f x QLL f x = f x P 1 f x f x P 1 AT N aa1 AP 1 f x T T T 1 Q yy = f y Q LL f y = f y P 1 f y f y P 1 AT N aa AP 1 f y T T T 1 Q xy = f x QLL f y = f x P 1 f y f x P 1 AT N aa AP 1 f y
xP = x A + α L + α 0 yP = y A + β L + β0
设有两组不同的观测值向量 L1 ,L2 ,分别代 入上式可得 xP = xA +α L 2+α 0 x = x +α L +α 和
P1 A 1 0
2
yP1 = yA + β L 1+ β 0
yP2 = yA + β L 2+ β 0
当观测值向量中只含有随机误差(偶然误差) ~ E ( L) = L , 时,有 所以
xP
E ( x P ) = x A + α 0 + α E ( L) E ( y P ) = y A + β 0 + β E ( L)
根据方差的定义,则有
x σ 2 = E[( x P E ( x P )) 2 ] = E[( x P ~P ) 2 ] = E [ 2x ] σ 2 = E [( y P E ( y P )) 2 ] = E [( y P ~ P ) 2 ] = E[ 2y ] y
x
点位真误差概念
x ,y 所确定的点平 x A , y A 和观测值求定的 由 面位置并不是点的真位置,而是最或然点位, 记为 P ′ ,在 P 和 P′ 对应的这两对坐标之间存 在着坐标真误差 x 和 y . 由图6-1知
P P
x x = ~P x P y = ~P y P y
§6-2 点位误差
一,点位误差的计算 二,任意方向上的位差 三,位差的极大值和极小值 四,以位差的极大值和极小值表示任意方 向上的位差
点位误差的计算
1.利用纵,横坐标协因数计算点位误差 利用纵, 待定点的纵,横坐标的方差是按下式计算的:
σ σ
2 x 2 y
=σ =σ
2 0 2 0
可求得点位中误差
T
0
点位误差的计算
4.点位误差实用计算公式 σ 以上两种情况得到的都是 的估值,习惯上用 σ (或m )表示,所以实用上只能得到待定点纵,横 坐标的方差估值以及相应的点位方差的估值, 即 σ 2 = σ 2Q
0
0
0
σ
x 2 y
= σ Q
0 2 0
xx
和
P 2 σ 2 = σ 0 (Qxx + Q yy )
Q Q Q Q Q Q
x1 x 2 y1 x 2 x2 x2 y2 x2
Q Q Q Q Q Q
x1 y 2 y1 y 2 x2 y 2 y2 y2
Q Q Q Q Q Q
x1 x k y1 x k x2 xk y 2 xk xk xk y k xk
xk x2 y k x2
xk y 2 yk y2
x1 y k Q y1 y k Q x2 y k Q y2 yk Q xk y k Q yk yk Q
点位误差的计算
其中 Qx x , Q y y 主对角线元素就是待定点坐标和的 协因数(或称权倒数),非对角线元素则是它 们的相关协因数(或称相关权倒数),在相应 协因数(权倒数)连线的两侧,它们位于主对 Q ,Q 角线元素连线的两侧,并成对称关系. 当平差问题中只有一个待定点时,即 k = 1, t = 2 时