∥3套精选试卷∥2021年贵阳市九年级上学期期末考前冲刺必刷模拟数学试题

九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图，⊙O 的半径为2，点O 到直线l 的距离为3，点P 是直线l 上的一个动点．若PB 切⊙O 于点B ，则PB 的最小值是（ ）
A ．3
B ．5
C ．3
D ．2
【答案】B 【分析】由切线的性质可得△OPB 是直角三角形，则PB 2＝OP 2﹣OB 2，如图，又OB 为定值，所以当OP 最小时，PB 最小，根据垂线段最短，知OP ＝3时PB 最小，然后根据勾股定理即可求出答案．
【详解】解：∵PB 切⊙O 于点B ，∴∠OBP ＝90°，
∴PB 2＝OP 2﹣OB 2，
如图，∵OB ＝2，
∴PB 2＝OP 2﹣4，即PB ＝24OP -，
∴当OP 最小时，PB 最小，
∵点O 到直线l 的距离为3，
∴OP 的最小值为3，
∴PB 的最小值为945-=．
故选：B ．
【点睛】
此题主要考查了切线的性质、勾股定理及垂线段最短等知识，属于常考题型，如何确定PB 最小时点P 的位置是解题的关键．
2．如图，点M 是矩形ABCD 的边BC ，CD 上的点，过点B 作BN AM ⊥于点P ，交矩形ABCD 的边于点N ，连接DP ．若6AB =，4=AD ，则DP 的长的最小值为( )
A ．2
B ．1213
C ．4
D ．5
【答案】A 【分析】由BN AM ⊥可得∠APB=90°，根据AB 是定长，由定长对定角可知P 点的运动轨迹是以AB 为直径，在AB 上方的半圆，取AB 得中点为O ，连结DO ，DO 与半圆的交点是DP 的长为最小值时的位置，用DO 减去圆的半径即可得出最小值．
【详解】解：∵BN AM ⊥，
∴∠APB=90°，
∵AB=6是定长，则P 点的运动轨迹是以AB 为直径，在AB 上方的半圆，
取AB 得中点为O ，连结DO ，DO 与半圆的交点P'是DP 的长为最小值时的位置，如图所示：
∵6AB =，4=AD ，
∴'3==P O AO ，
由勾股定理得：DO=5，
∴''2=-=DP DO P O ，即DP 的长的最小值为2，
故选A ．
【点睛】
本题属于综合难题，主要考查了直径所对的角是圆周角的应用：由定弦对定角可得动点的轨迹是圆，发现定弦和定角是解题的关键．
3．如图所示的两个三角形（B 、F 、C 、E 四点共线）是中心对称图形，则对称中心是（ ）
A ．点C
B ．点D
C ．线段BC 的中点
D ．线段FC 的中点
【分析】直接利用中心对称图形的性质得出答案．
【详解】解：两个三角形（B 、F 、C 、E 四点共线）是中心对称图形，则对称中心是：线段FC 的中点． 故选：D ．
【点睛】
本题比较容易，考查识别图形的中心对称性．要注意正确区分轴对称图形和中心对称图形，中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后重合．
4．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，则sinB 的值是（ ）
A ．45
B ．35
C ．43
D ．34
【答案】A
【分析】先根据勾股定理计算出斜边AB 的长，然后根据正弦的定义求解．
【详解】如图，
∵∠C =90°，AC =8，BC =6，
∴AB 222268BC AC +=+10，
∴sinB =84105
AC AB ==． 故选：A ．
【点睛】
本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值．也考查了勾股定理． 5．用16米长的铝制材料制成一个矩形窗框，使它的面积为9平方米，若设它的一边长为x ，根据题意可列出关于x 的方程为（ ）
A ．()89x x +=
B ．()89x x -=
C ．()169x x -=
D ．()1629x x -=
【答案】B
【分析】一边长为x 米，则另外一边长为：8-x ，根据它的面积为9平方米，即可列出方程式．
【详解】一边长为x 米，则另外一边长为：8-x ，
由题意得：x （8-x ）=9，
故选：B ．
此题考查由实际问题抽相出一元二次方程，解题的关键读懂题意列出方程式．
6．下列算式正确的是（ ）
A ．110--=
B ．()33--=
C ．231-=
D ．|3|3--=
【答案】B
【解析】根据有理数的减法、绝对值的意义、相反数的意义解答即可.
【详解】A. 112--=-，故不正确；
B. ()33--=，正确；
C. 231-=-，故不正确；
D. |3|3--=-，故不正确；
故选B.
【点睛】
本题考查了有理数的运算，熟练掌握有理数的减法法则、绝对值的意义、相反数的意义是解答本题的关键. 7．将点A （﹣3，4）绕原点顺时针方向旋转180°后得到点B ，则点B 的坐标为（ ）
A ．（3，﹣4）
B ．（﹣4，3）
C ．（﹣4，﹣3）
D ．（﹣3，﹣4） 【答案】A
【分析】根据点A （﹣3，4）绕坐标原点旋转180°得到点B ，即可得出答案．
【详解】解：根据点A （﹣3，4）绕坐标原点旋转180°得到点B ，可知A 、B 两点关于原点对称， ∴点B 坐标为（3，﹣4），
故选：A ．
【点睛】
本题考查坐标与图形变换—旋转，解题关键是熟练掌握旋转的旋转.
8．已知：如图，某学生想利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆EC 的高为 1.6 m ，并测得BC=2.2 m ，CA=0.8 m, 那么树DB 的高度是（ ）
A ．6 m
B ．5.6 m
C ．5.4 m
D ．4.4 m
【答案】A 【分析】先根据相似三角形的判定定理得出Rt △ACE ∽Rt △ABD ，再根据相似三角形的对应边成比例即可
求出BD 的长．
【详解】解：∵EC ∥AB ，BD ⊥AB ，
∴EC ∥BD ，∠ACE=∠ABD=90°，
在Rt △ACE ∽Rt △ABD 中，∠A=∠A ，∠ACE=∠ABD=90°，
∴Rt △ACE ∽Rt △ABD ， ∴EC CA BD CA BC =+，即1.60.80.8 2.2BD =+
，解得BD=6m ． 故选A ．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的应用，用到的知识点为：相似三角形的对应边成比例．
9．如图，正方形AEFG 的边AE 放置在正方形ABCD 的对角线AC 上，EF 与CD 交于点M ，得四边形AEMD ，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（ ）
A ．﹣2
B ．2+4
C ．8﹣2
D 2+1
【答案】A 【解析】试题分析：∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠D=90°，∠ACD=15°，AD=CD=2，
则S △ACD =12AD•CD=12
×2×2=2； 22，
则2﹣2， ∵△MEC 是等腰直角三角形，
∴S △MEC =12ME•EC=12
（2﹣2）2=6﹣2， ∴阴影部分的面积=S △ACD ﹣S △MEC =2﹣（6﹣2）2﹣1．
故选A ．
考点：正方形的性质．
10．已知一元二次方程的一般式为20(a 0)++=≠ax bx c ，则一元二次方程x 2－5＝0中b 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．－5 D ．5
【答案】B
【分析】对照一元二次方程的一般形式，根据没有项的系数为0求解即可．
【详解】∵一元二次方程的一般式为2
0(a 0)++=≠ax bx c ，
对于一元二次方程x 2－5＝0中没有一次项，
故b 的值为0，
故选：B ．
【点睛】
此题主要考查对一元二次方程的一般形式的认识，掌握住各项系数是解题的关键．
11．如图，CD 是⊙O 的弦，O 是圆心，把⊙O 的劣弧沿着CD 对折，A 是对折后劣弧上的一点，∠CAD=100°，则∠B 的度数是（ ）
A ．100°
B ．80°
C ．60°
D ．50°
【答案】B 【解析】试题分析：如图，翻折△ACD，点A 落在A′处，可知∠A=∠A′=100°，然后由圆内接四边形可知∠A′+∠B=180°，解得∠B =80°.
故选：B
12．如图，点A 、B 、C 均在⊙O 上，若∠AOC ＝80°，则∠ABC 的大小是（ ）
A ．30°
B ．35°
C ．40°
D ．50°
【答案】C
【分析】根据圆周角与圆心角的关键即可解答.
【详解】∵∠AOC ＝80°， ∴102ABC
AOC 4. 故选：C.
【点睛】
此题考查圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.
二、填空题（本题包括8个小题）
13．设a 、b 是方程220190x x +-=的两个实数根，则()()11a b --的值为_____．
【答案】-1
【分析】根据根与系数的关系可得出1a b +=-，2019ab =-，将其代入()()()111a b ab a b --=-++中即可得出结论．
【详解】∵a 、b 是方程220190x x +-=的两个实数根，
∴1a b +=-，2019ab =-，
∴()()()111a b ab a b --=-++2019112017=-++=-．
故答案为-1．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于b a -，两根之积等于c a
”是解题的关键． 14．已知一元二次方程230x x a ++=的一个根为1，则a =__________．
【答案】-4
【分析】将x=1代入方程求解即可.
【详解】将x=1代入方程得4+a=0，
解得a=-4，
故答案为：-4.
【点睛】
此题考查一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，已知方程的解时将解代入方程求参数即可.
15．如图，P 为O 外一点，PA 切O 于点A ，若3PA =，45APO ∠=︒，则O 的半径是______.
【答案】1
【分析】由题意连接OA ，根据切线的性质得出OA ⊥PA ，由已知条件可得△OAP 是等腰直角三角形，进而可求出OA 的长，即可求解．
【详解】解：连接OA ，
∵PA 切⊙O 于点A ，
∴OA ⊥PA ，
∴∠OAP=90°，
∵∠APO=45°，
∴OA=PA=1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查切线的性质即圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，连接过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
16．若关于x 的一元二次方程
12x 2﹣2kx+1-4k=0有两个相等的实数根，则代数式（k-2)2+2k(1-k)的值为______． 【答案】72
【分析】根据题意可得一元二次方程根的判别式为0，列出含k 的等式，再将所求代数进行变形后整体代入求值即可. 【详解】解：∵一元二次方程
12x 2﹣2kx+1-4k=0有两个相等的实数根， ∴2214241402b ac k k ,
整理得，2
2410k k ， ∴21+22
k k 2221k k k 224k k
224k k
当21+22
k k 时，
224
k k
1
4
2
=-+
7
2
=
故答案为：7 2 .
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式与根个数之间的关系，根据根的个数确定根的判别式的符号是解答此题的关键.
17．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D．若AOC=80°，则ADB的度数为（）
A．40°B．50°C．60°D．20°
【答案】B．
【解析】试题分析：根据AE是⊙O的切线，A为切点，AB是⊙O的直径，可以先得出∠BAD为直角．再由同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，求出∠B，从而得到∠ADB的度数．由题意得：∠BAD=90°，∵∠B=∠AOC=40°，∴∠ADB=90°-∠B=50°．故选B．
考点：圆的基本性质、切线的性质．
18．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__________．【答案】k＞﹣1且k≠1．
【解析】由关于x的一元二次方程kx2-2x-1=1有两个不相等的实数根，即可得判别式△＞1且k≠1，则可求得k的取值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝1有两个不相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞1，
∴k＞﹣1，
∵x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝1
∴k≠1，
∴k的取值范围是：k＞﹣1且k≠1．
故答案为：k＞﹣1且k≠1．
【点睛】
此题考查了一元二次方程根的判别式的应用．此题比较简单，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞1⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=1⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜1⇔方程没有实数根．
三、解答题（本题包括8个小题）
19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数13y x =-的图像与x 轴交于点A .二次函数22y x bx c
=-++的图像经过点A ，与y 轴交于点C ，与一次函数13y x =-的图像交于另一点()2,B m -.
（1）求二次函数的表达式；
（2）当12y y >时，直接写出x 的取值范围；
（3）平移AOC ∆，使点A 的对应点D 落在二次函数第四象限的图像上，点C 的对应点E 落在直线AB 上，求此时点D 的坐标.
【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）2x <-或3x >；（3）()4,5D -.
【分析】（1）先求出A,B 的坐标，再代入二次函数即可求解；
（2）根据函数图像即可求解；
（3）先求出C 点坐标，再根据平移的性质得到3EF FD ==，设点(),3E a a -，则()3,6D a a +-，把D 点代入二次函数即可求解.
【详解】解：（1）令0y =，得3x =，∴()3,0A .把()2,B m -代入3y x =-，解得()2,5B --. 把()3,0A ，()2,5B --代入2
y x bx c =-++， 得093542b c b c =-++⎧⎨-=--+⎩，∴23
b c =⎧⎨=⎩， ∴二次函数的表达式为2y x 2x 3=-++.
（2）由图像可知，当12y y >时，2x <-或3x >.
（3）令0x =，则3y =，∴()0,3C .
∵平移，∴AOC DFE ∆≅∆，∴3EF FD ==.
设点(),3E a a -，则()3,6D a a +-，
∴()()2
63233a a a -=-++++，∴11a =，26a =-（舍去）. ∴()4,5D -.
【点睛】
此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法的运用.
20．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，ABC 的顶点均在格点上，点A 的坐标为()0,2.
()1以点B 为位似中心，在y 轴的左侧将ABC 放大得到11A BC ，使得11A BC 的面积是ABC 面积的4倍，在网格中画出图形，并直接写出点A C 、所对应的点11A C 、的坐标.
()2在网格中，画出ABC 绕原点O 顺时针旋转90︒的222A B C △.
【答案】（1）见解析，点1A 的坐标为()6,1--，点1C 的坐标为()4,3--；（2）见解析.
【分析】（1）根据位似图形的性质：位似图形面积的比等于相似比的平方，即可得出相似比，画出图形；根据格点即可写出坐标；
（2）根据图形的旋转的性质：图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变，画出图形即可.
【详解】()111 A BC 如图所示:
点1A 的坐标为()6,1--，点1C 的坐标为()4,3--
()2222A B C △如图所示.
【点睛】
此题主要考查位似图形以及图形旋转的性质，熟练掌握，即可解题.
21．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 为AC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，AC ＝8，AB ＝1．求AE 的长．
【答案】165
． 【分析】求出AD 的长，根据△ADE ∽△ABC ，可得
AD AE AB AC =，则可求出AE 的长． 【详解】解：∵AC ＝8，D 为AC 的中点，
∴AD ＝4，
∵DE ⊥AB ，
∴∠AED ＝90°，
∵∠DAE ＝∠BAC ，
∴△ADE ∽△ABC ， ∴
AD AE AB AC
=， ∴4108
AE =， ∴AE ＝165． 【点睛】
本题考查的知识点是相似三角形判定及其性质，熟记定理和性质是解题的关键.
22．已知AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上AB 同侧两点，∠BAC ＝26°．
（Ⅰ）如图1，若OD⊥AB，求∠ABC和∠ODC的大小；
（Ⅱ）如图2，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点E，若OD∥EC，求∠ACD的大小．
【答案】（Ⅰ）∠ABC＝64°，∠ODC＝71°；（Ⅱ）∠ACD＝19°．
【分析】（I）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据三角形的内角和得到∠ABC=65°，由等腰三角形的性质得到∠OCD=∠OCA＋∠ACD=70°，于是得到结论；
(II）如图2，连接OC，根据圆周角定理和切线的性质即可得到结论．
【详解】解：（Ⅰ）连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝26°，
∴∠ABC＝64°，
∵OD⊥AB，
∴∠AOD＝90°，
∴∠ACD＝1
2∠AOD＝1
2
×90°＝45°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝26°，
∴∠OCD＝∠OCA+∠ACD＝71°，∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝71°；
（Ⅱ）如图2，连接OC，
∵∠BAC＝26°，
∴∠EOC＝2∠A＝52°，
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE＝90°，
∴∠E＝38°，
∵OD∥CE，
∴∠AOD＝∠E＝38°，
∴∠ACD＝1
2
∠AOD＝19°．
【点睛】
本题考查切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
23．如图，已知一次函数y1=﹣x+a与x轴、y轴分别交于点D、C两点和反比例函数
2k
y
x
=交于A、B两点，且点A的坐标是(1，3)，点B的坐标是(3，m)
（1）求a，k，m的值；
（2）求C、D两点的坐标，并求△AOB的面积．
【答案】（1）1，3，1；（2）(0，1)，(1，3)，1
【分析】（1）由于已知一次函数y1=-x+a和反比例函数2k
y
x
=交于A、B两点，且点A的坐标是（1，3），把A的坐标代入反比例函数解析式中即可确定k的值，然后利用解析式即可确定点B的坐标，最后利用A 或B坐标即可确定a的值；
（2）利用（1）中求出的直线的解析式可以确定C，D的坐标，然后利用面积的割补法可以求出△AOB的
面积．
【详解】解：（1）∵反比例函数2k y x =经过A 、B 两点，且点A 的坐标是（1，3）， ∴3=1k ， ∴k=3，
而点B 的坐标是（3，m ），∴m=33
=1， ∵一次函数y 1=﹣x+a 经过A 点，且点A 的坐标是（1，3），
∴3=﹣1+a ，
∴a=1．
（2）∵y 1=﹣x+1，当x=0时，y=1，当y=0时，x=1，
∴C 的坐标为（0，1），D 的坐标为（1，0），
∴S △AOB =S △COB ﹣S △COA =
12×1×3﹣12×1×1=1． 【点睛】
本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和函数图象中的面积问题，求面积体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解图形几何意义．
24．如图，ABC ∆是一个锐角三角形，分别以AB 、AC 向外作等边三角形ABD ∆、ACE ∆，连接BE 、CD 交于点F ，连接AF .
（1）求证：BFD DFA AFE ∠=∠=∠
（2）求证：AF BF CF CD ++=
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）过A 作AM ⊥CD 于M ，AN ⊥BE 于N ，设AB 与CD 相交于点G ．根据等边三角形的性质得到AD=AB ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE=60°，根据全等三角形的判定定理即可得△ACD ≌△AEB ，根据全等三角形的性质可得AM=AN ，根据角平分线的判定定理即可得到∠DFA=∠AFE ，再根据全等三角形的对应角相等和三角形内角和等于180°得到∠DFB=∠DAG=60°，即可得到结论；
（2）如图，延长FB 至K ，使FK=DF ，连DK ，根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】（1）过A 作AM ⊥CD 于M ，AN ⊥BE 于N ，设AB 与CD 相交于点G ．
∵△ABD 和△ACE 为等边三角形，
∴AD=AB ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠DAC=∠BAE=60°+∠BAC．
在△ACD和△AEB中，∵
AD AB
DAC BAE AC AB
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ACD≌△AEB，
∴CD=BE，∠ADG=∠ABF，△ADC的面积=△ABE的面积，
∴
1
2
CD•AM=
1
2
BE•AN，
∴AM=AN，
∴AF是∠DFE的平分线，
∴∠DFA=∠AFE．
∵∠ADG=∠ABF，∠AGD=∠BGF，
∴∠DFB=∠DAG=60°，
∴∠GFE=120°，
∴∠BFD=∠DFA=∠AFE．
（2）如图，延长FB至K，使FK=DF，连接DK．∵∠DFB=60°，
∴△DFK为等边三角形，
∴DK=DF，∠KDF=∠K=60°，
∴∠K=∠DFA=60°．
∵∠ADB=60°，
∴∠KDB=∠FDA．
在△DBK和△DAF中，
∵∠K=∠DFA，DK=DF，∠KDB=∠FDA，
∴△DBK≌△DAF，
∴BK=AF．
∵DF=DK=FK=BK+BF，
∴DF=AF+BF，
又∵CD=DF+CF ，
∴CD=AF+BF+CF ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的判定，正确的作出辅助线是解题的关键．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-
++与x 轴交于B ，C 两点，与y 轴交于点A ，直线122
y x =-+经过A ，C 两点，抛物线的顶点为D ，对称轴与x 轴交于点E ． （1）求此抛物线的解析式；
（2）求DAC ∆的面积；
（3）在抛物线上是否存在一点P ，使它到x 轴的距离为4，若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，则说明理由．
【答案】（1）y ＝﹣
12x 2+32x+2；（2）154；（3）存在一点P 3574)+-或357(4)--，使它到x 轴的距离为1 【分析】（1）先根据一次函数的解析式求出A 和C 的坐标，再将点A 和点C 的坐标代入二次函数解析式即可得出答案；
（2）先求出顶点D 的坐标，再过D 点作DM 平行于y 轴交AC 于M ，再分别以DM 为底求△ADM 和△DCM 的面积，相加即可得出答案；
（3）令y=1或y=-1，求出x 的值即可得出答案.
【详解】解：（1）直线y ＝﹣12x+2中，当x = 0时，y = 2； 当y=0时，0 =﹣12x+2，解得x = 1 ∴点A 、C 的坐标分别为（0，2）、（1，0），
把A （0，2）、C （1，0）代入
解得 1.5b =，2c =
故抛物线的表达式为：y ＝﹣12x 2+32
x+2； （2）y ＝﹣12x 2+32x+221325(x )228=--+ ∴抛物线的顶点D 的坐标为325(,)28
，
如图1，设直线AC 与抛物线的对称轴交于点M
直线y ＝﹣12x+2中，当x = 32
时，y =54 点M 的坐标为35(,)24，则DM=
158 ∴△DAC 的面积为=12ADM DCM
S S DM OC +=⨯⨯=154； （3）当P 到x 轴的距离为1时，则
①当y=1时，﹣
12x 2+32x+2=1， 而2548
<，所以方程没有实数根 ②当y= - 1时，﹣12x 2+32
x+2= - 1， 解得1,2357x ±= 则点P 的坐标为3574)+-或3574)--； 综上，存在一点P 3574)+-或3574)--，使它到x 轴的距离为1．
本题考查的是二次函数，难度适中，需要熟练掌握“铅垂高、水平宽”的方法来求面积.
26．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，E ，F 分别是BD ，AD 上的点，取EF 中点G ，连接DG 并延长交AB 于点M ，延长EF 交AC 于点N 。

（1）求证：∠FAB 和∠B 互余；
（2）若N 为AC 的中点，DE=2BE ，MB=3，求AM 的长.
【答案】（1）见解析；（2）AM=7
【解析】（1）根据等腰三角形三线合一可证得AD ⊥BC ，根据直角三角形两锐角互余可证得结论； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DG=GE 即可得∠GDE=∠GED ，证明
△DBM ∽△ECN ，根据相似三角形的性质即可求得NC ，继而可求AM.
【详解】解：（1） ∵AB=AC ，AD 为∠BAC 的角平分线，
∴AD ⊥BC ，
∴∠FAB+∠B=90°.
（2）∵AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，
∴BD=CD ，
∵DE=2BE ，
∴BD=CD=3BE ，
∴CE=CD+DE=5BE ，
∵∠EDF=90°，点G 是EF 的中点，
∴DG=GE ，
∴∠GDE=∠GED ，
∵AB=AC ，
∴∠B=∠C ，
∴△DBM ∽△ECN ，
35
MB BD NC CE ∴== ∵MB=3，
∵N为AC的中点，
∴AC=2CN=10，
∴AB=AC=10,
∴AM=AB-MB=7.
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.熟练掌握等腰三角形三线合一是解决（1）的关键；（2）问的关键是能证明△DBM∽△ECN.
27．如图，等边△ABC中，点D在AC上（CD＜1
2
AC），连接BD．操作：以A为圆心，AD长为半径画弧，
交BD于点E，连接AE．
（1）请补全图形，探究∠BAE、∠CBD之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）把BD绕点D顺时针旋转60°，交AE于点F，若EF＝mAF，求DE
DF
的值（用含m的式子表示）．
【答案】（1）图形见解析，∠BAE＝2∠CBD，理由见解析；（2）DE
DF
=
1
2
m
m
+
+
，理由见解析
【分析】（1）根据圆周角和圆心角的关系得：2∠BDH=∠BAE，由等腰三角形的性质得HD∥BC，由平行线的性质可得结论；
（2）如图2，作辅助线，由旋转得：△BDM是等边三角形，证明△AMB≌△CDB（SAS），得AM=CD，
∠MAB=∠C=60°，证明△ABD∽△DFE，设AF=a，列比例式可得结论
【详解】（1）如图1，∠BAE＝2∠CBD．
设弧DE与AB交于H，连接DH，
∴2∠BDH＝∠BAE，
又∵AD＝AH，AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴∠AHD＝∠ADH＝60°，∠ABC＝∠C＝60°，
∴∠AHD＝∠ABC，
∴HD∥BC，
∴∠DBC＝∠HDB，
∴∠BAE＝2∠DBC；
（2）如图2，连接AM，BM，
由旋转得：BD＝DM，∠BDM＝60°，
∴△BDM是等边三角形，
∴BM＝BD，∠MBD＝60°，
∵∠ABM+∠ABD＝∠ABD+∠CBD，
∴∠ABM＝∠CBD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，
∴△AMB≌△CDB（SAS），
∴AM＝CD，∠MAB＝∠C＝60°，
∵∠AGM＝∠BGD，∠MAB＝∠BDM＝60°，
∴∠AMD＝∠ABD，
由（1）知：AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE，
∵∠EDF＝∠BAD，
∴△ABD∽△DFE，
∴∠EFD＝∠ABD＝∠AFM＝∠AMD，
∴AF＝AM＝CD，
设AF＝a，则EF＝ma，AE＝a+ma＝（m+1）a，∴AB＝AD+CD＝AE+CD＝（m+2）a，
由△ABD∽△DFE，
∴DE AD
DF AB
=＝
(1)
(2)
m a
m a
+
+
＝
1
2
m
m
+
+
．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定、相似三角形的判定和性质、等边三角形、三角形内角和和外角的性质等知识，解题的关键灵活应用所学知识解决问题，学会利用辅助线，构建全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．一次函数y ax c =+与二次函数2y ax bx c =++在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ） A ． B ． C ． D ．
【答案】D
【分析】本题可先由一次函数y=ax+c 图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax 2+bx+c 的图象相比较看是否一致．
【详解】A 、一次函数y=ax+c 与y 轴交点应为（0，c ），二次函数y=ax 2+bx+c 与y 轴交点也应为（0，c ），图象不符合，故本选项错误；
B 、由抛物线可知，a ＞0，由直线可知，a ＜0，a 的取值矛盾，故本选项错误；
C 、由抛物线可知，a ＜0，由直线可知，a ＞0，a 的取值矛盾，故本选项错误；
D 、由抛物线可知，a ＜0，由直线可知，a ＜0，且抛物线与直线与y 轴的交点相同，故本选项正确． 故选D ．
【点睛】
本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．
2．把二次函数y ＝﹣（x+1）2﹣3的图象沿着x 轴翻折后，得到的二次函数有（ ）
A ．最大值y ＝3
B ．最大值y ＝﹣3
C ．最小值y ＝3
D ．最小值y ＝﹣3
【答案】C
【分析】根据二次函数图象与几何变换，将y 换成-y ，整理后即可得出翻折后的解析式，根据二次函数的性质即可求得结论．
【详解】把二次函数y ＝﹣（x+1）2﹣3的图象沿着x 轴翻折后得到的抛物线的解析式为﹣y ＝﹣（x+1）2﹣3，
整理得：y ＝（x+1）2+3，
所以，当x ＝﹣1时，有最小值3，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，求得翻折后抛物线解析式是解题的关键． 312x
-在实数范围内有意义，则x 的取值范围是( ) A ．12x < B ．2x < C ．12x ≤ D ．0x ≥
【答案】A
【解析】根据二次根式有意义的条件:被开方数≥0和分式有意义的条件:分母≠0,列出不等式,解不等式即可．
【详解】解:由题意可知: 120x -> 解得：12
x <
故选A ．
【点睛】
此题考查的是二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件:被开方数≥0和分式有意义的条件:分母≠0是解决此题的关键．
4．下列事件中，必然发生的是 （ ）
A ．某射击运动射击一次，命中靶心
B ．通常情况下，水加热到100℃时沸腾
C ．掷一次骰子，向上的一面是6点
D ．抛一枚硬币，落地后正面朝上 【答案】B
【解析】A 、某射击运动射击一次，命中靶心，随机事件；B 、通常加热到100℃时，水沸腾，是必然事件．
C 、掷一次骰子，向上的一面是6点，随机事件；
D 抛一枚硬币，落地后正面朝上，随机事件；故选B ． 5．一元二次方程(1)(1)23x x x +-=+的根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．只有一个实数根
D ．没有实数根 【答案】A
【分析】先化成一般式后，在求根的判别式，即可确定根的状况．
【详解】解：原方程可化为：2240x x --=， 1a ，2b =-，4c =-，
2(2)41(4)200∴∆=--⨯⨯-=>，
∴方程由两个不相等的实数根．
故选A ．
【点睛】
本题运用了根的判别式的知识点，把方程转化为一般式是解决问题的关键．
6．如图，图1是由5个完全相同的正方体堆成的几何体，现将标有E 的正方体平移至如图2所示的位置，下列说法中正确的是( )
A．左、右两个几何体的主视图相同
B．左、右两个几何体的左视图相同
C．左、右两个几何体的俯视图不相同
D．左、右两个几何体的三视图不相同
【答案】B
【分析】直接利用已知几何体分别得出三视图进而分析得出答案．
【详解】A、左、右两个几何体的主视图为：
，
故此选项错误；
B、左、右两个几何体的左视图为：
，
故此选项正确；
C、左、右两个几何体的俯视图为：
，
故此选项错误；
D、由以上可得，此选项错误；
故选B．
【点睛】
此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察的角度是解题关键．
7．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（）
A．（x+1）（x+2）=18 B．x2﹣3x+16=0 C．（x﹣1）（x﹣2）=18 D．x2+3x+16=0
【答案】C
【详解】试题分析：可设原正方形的边长为xm ，则剩余的空地长为（x ﹣1）m ，宽为（x ﹣2）m ．根据长方形的面积公式列方程可得()()-1-2x x =1．
故选C ．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
8．《孙子算经》中有一道题: “今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是:“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x 尺，绳子长y 尺，可列方程组为（ ）
A ． 4.512x y y x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩
B ． 4.512y x x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩
C ． 4.512x y x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩
D ． 4.512y x y x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩
【答案】D 【分析】根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子－木条=4.5，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知：木条－12
绳子=1，据此列出方程组即可． 【详解】由题意可得， 4.512y x y x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩
． 故选：D ．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组．
9．三角形的两边长分别为3和2，第三边的长是方程2560x x -+=的一个根，则这个三角形的周长是
( )
A ．10
B ．8或7
C ．7
D ．8
【答案】B
【分析】因式分解法解方程求得x 的值，再根据三角形的三边关系判断能否构成三角形，最后求出周长即可．
【详解】解：∵2560x x -+=，
∴（x －2）（x －3）＝0，
∴x －2＝0或x －3＝0，
解得：x ＝2或x ＝3，
当x ＝2时，三角形的三边2＋2＞3，可以构成三角形，周长为3＋2＋2＝7；
当x ＝3时，三角形的三边满足3＋2＞3，可以构成三角形，周长为3＋2＋3＝8，
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力和三角形三边的关系，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 10．函数y=ax +b 和y=ax 2+bx+c （a≠0）在同一个坐标系中的图象可能为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【分析】本题可先由一次函数y=ax +b 图象得到字母系数的正负，再与二次函数ax 2+bx +c 的图象相比较看是否一致．
【详解】解：A ．由一次函数的图象可知a ＞0，b ＞0，由抛物线图象可知，开口向上，a ＞0，对称轴x=﹣2b a
＞0，b ＜0；两者相矛盾，错误； B ．由一次函数的图象可知a ＞0，b ＜0，由抛物线图象可知a ＜0，两者相矛盾，错误；
C ．由一次函数的图象可知a ＜0，b ＞0，由抛物线图象可知a ＞0，两者相矛盾，错误；
D ．由一次函数的图象可知a ＞0，b ＜0，由抛物线图象可知a ＞0，对称轴x=﹣
2b a
＞0，b ＜0；正确． 故选D ．
【点睛】
解决此类问题步骤一般为：（1）根据图象的特点判断a 取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断其顶点坐标是否符合要求．
11．如图所示，在⊙O 中，AB
=AC ，
∠A=30°，则∠B=（ ）
A ．150°
B ．75°
C ．60°
D ．15°
【答案】B 【详解】∵在⊙O 中，AB =AC ，
∴AB=AC ，
∴△ABC 是等腰三角形，
∴∠B=∠C ；又∠A=30°，
∴∠B=180302
︒︒-=75°（三角形内角和定理）． 故选B ．
考点：圆心角、弧、弦的关系．
12．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义进行判断．
【详解】A 、既是中心对称图形，又是轴对称图形，不符合题意；
B 、是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意；
C 、不是中心对称图形，但是轴对称图形，不符合题意；
D 、不是中心对称图形，但是轴对称图形，不符合题意；
故选B ．
【点睛】
本题考查中心对称图形与轴对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解题的关键．
二、填空题（本题包括8个小题）
13．已知x ＝2y ﹣3，则代数式4x ﹣8y+9的值是_____．
【答案】-1．
【分析】根据x ＝2y ﹣1，可得：x ﹣2y ＝﹣1，据此求出代数式4x ﹣8y+9的值是多少即可．
【详解】∵x ＝2y ﹣1，
∴x ﹣2y ＝﹣1，
∴4x ﹣8y+9
＝4（x ﹣2y ）+9
＝4×（﹣1）+9
＝﹣12+9
＝﹣1
故答案为：﹣1．
【点睛】。