四阶弱对称非负张量Z-谱半径的上下界及应用

a 4 j..j (JR (A) — Pi (A))
Zhao[14]给出了四阶弱对称非负张量的新上界： 定理3设A —(ah^4 )ER[n]是弱对称非负 张量 且 贝 ， auu=aij +a j- +a犼 i j ENiZj， Q
p(A) W 0(A) = maxdi +R,, (A)—狉(A) }
量.用。A)表示A的所有Z-特征值组成的集合.
称 p(A) — 为 max{|A|：AEff(A)} A 的 Z-谱半 径囚.
非负张量犣-谱半径的界估计引起了广泛关 注［-4］,其中Song等口2］给出了如下估计式：
定理1设AERm血是非负张量,则
W p(A) mi EaNxR?(A)
Wang等口3］给出了四阶弱对称非负张量的Z谱半径的如下上界：
）使 （狓i狓i…狓犿
I
A—fcxm
|
F达到最小值,G
R,
| | 槡 2 狓 G R ,xTx =1, 犃 F =
犪2ii…犿 } i,…im G {1,2,…,n
弱对称非负张量的最佳秩一逼近在统计数据分析中
有重要应用,其中弱对称非负张量的Z-谱半径发挥
着关键作用［1］.Qi：2］证明了 xm是犃的最佳秩一逼
摘要：针对四阶张量Z-谱半径的估计问题，利用张量Z-特征值的定义，并结合不等式放缩技巧，给出了四阶弱对称 非负张量Z-谱半径的新上下界，改进了现有一些结果.作为应用，由Z-谱半径的上界给出了张量最佳秩一逼近和 贪婪秩一更新算法收敛速度的下界，由Z-谱半径的上下界给出了具有非负振幅对称纯态纠缠的几何度量的上下 界. 关键词：四阶张量；Z-特征值；z-谱半径；最佳秩一逼近；量子纠缠 中图分类号： 0151.21 文献标志码： A
2 主要结果
对任意 i, E N, Z j ,记△ =△、△,,
r (A) =
乂
丨 Qigii I =1 aijj | + | an | +
)i2i3i4}e△ij
乂 显然 I ajj | rj犻(A) =
| ai2jj |，
狉j (A)=
( 疋 2犻3犻4 亠,j
riij (A')+riij (A).
第3 期
雷学红等:四阶弱对称非负张量Z-谱半径的上下界及应用
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复合量子m体系统，纯态| W〉是在张量积希尔伯特 空间H — gHk中一个标准化元素，其中犎的 维数是dk,k — 1,…，m• 一个可分离的纯m体态
|W〉EH可由乘积态|p〉一 Sm-1
描述 用 p(k)>
.
Separ(H)表示H中所有可分离纯态构成的集合.
(Rs(A)—Ps(A)—狉〉L(A)),s
(7)
由式（7）和，狊＞0 得
W + p(A) assss Rs(A) — s (A) — s (A)=
assss +Rs(A) — r (A)
（1）
另夕 等式
!A—p'）x0
||犃||犉
槡 = 1 ||犃||犉
可以用来估计贪婪秩一更新算法的收敛速度:-4］. 显然,若获得的p（'）的上界小于等于||犃||f ,则可 以给出式（1）和式（2）的下界.
Qi等囚,Xiong等囚利用张量的Z-谱半径对多 体纯态量子纠缠的几何度量进行了研究.对于一个
a 2 s, s, s+1 ,s+1 )， +1 +------ + (nn +asnsn +assnn')，U，s +
a j, j，k，i +
^2
a sk，j，k，i =
j ,k,lGN,G{j ,k,l},
j ,kiGN*G {，k,i},
(,k,z)GQ 狋
(j,k,i')G——s t
a SSSS，s -+
狉？"
狉 (A)—
(A — A ;
) [电,犼( )]2
},0j
证明 由文献［8］中定理2. 5和定理3.11知，
若A为弱对称非负张量，则p（A）为A的Z-特征值,
x =（狓1 为与 ,狓2，…，x”）tGR"\｛0｝ p（A）对应的 Z-
特征向量，且x为非负向量.设狓狊2狓狋2
则 iGmNia/xs, Lx(, 0<xsW1,0WxiW1iGN,(Ms. 式 的第 个分量得 (5) s
定理2设A —(，讥…,” )E R［m”］是弱对称非 负张量 则
W { p(A)
A (A)
一
i
max
,j E N,j ZM
f2cRi
(A)
— a 犼…犼
+
, P犻犃)+ A2犼)，犚2 (A) — air..j pj (A))
其中
Ai,j (A) — (R? (A) —a犼…犼一犘；(A))2 +
) RiA —rij (A)}}
-164 -
兰州理工大学学报
第47 卷
①2,犼（犃）=min｛犪2222 + Pi （犃）一狉（（j （犃）犪jjj +
p（'） — J ⑷｝
〜
-
.
（犃）=1 ｛犪2i + 2jjj +P3i （犃）+P（（犃）—
狉 — + 2 犃 犃 犃 "（ ） j （ ）
［瓦
由
p(A)，s = [(asiis +assi +assii)，i +------------+
(、a s , s-1 ,s-1 ,s + a s,s-1,S,S-1 + a s,s,s-1 s-1)，s-1 +
+ ( a ssss，：
+ a + s, s+1,5+1 ,s
s , s+1 ,s , s+1
若纯态是不可分离的，则称它为纠缠态囚.对于纯态
|W>,定义其纠缠的几何度量为
GME? = min {{ | W> — | p〉> ： | p > E Separ(H) }
(3)
Xiong等囚指出，可以用张量的Z-谱半径表示 GME’,即定义纯态丨W〉的关联张量为
E 俎= ) (,］犻…犿
其中a1n 为纯态丨W〉'的振幅，则式(3)等价
Abstract: For the bounds of fourth-order tensors, by using the definition of Z-eigenvalues of tensors and some techniques of inequalities, new upper and lower bounds for the Z-spectral radius of fourth-order
G (犽1i Js
(is
assss，s + (Rs(A) — Ps(A)—狉]，(犃))，狋 +
(Ps(A) —狉+ (A)), 即
W (p(A) — asss — Ps (A) + 狉；"，(A)),
(Rs(A)—Ps(A)—狉/"(A)),,
(6)
由式 (6)得
W (p(A) — assss — Pls (A) + 狉?* (A)),
定理4设A ) ( E — 犻甲犻 R[n]是弱对称非负
张量 且 贝 ， auu —ajj +a j +aj i j ENiZj， Q
W W min Qi (A) =Q(A) p(A) ①(A)=
ijENjZi
其中
max①犻犼(A )
ijENjZi '
, A
〜
^z,j (A) =max{①犻j (A) ,min{①犻j (A) 5 +
）］ ｝
（犃）=（犪 2222 —犪 JJJJ + Pi （犃）—P（（犃）—
狉”犼(犃)+ 狉？"(犃)2 +4(Ri (犃)—PJ (犃)—
) ) (( ) "( riij (犃)) 犚犼(A —P A —狉？ 犃)) 且
d, (A)= max1 {a+ *77 +P( (A)+P： (A) —
( x X f )：=A m =
a^犻…犿狓犻狓犻…狓”
犻犻2，…fEN
满足!f(x)—mAxm—1,则称A是弱对称张量闪.由
文献［8］知 对称张量是弱对称张量 反之 不一定成
立
若存在实数AER和非零向量狓ER"\{0}满
足：
1 Axm— =狓, xTx—1
(5)
则称入为A的Z-特征值x为相应于入的Z-特征向
兀=(狓1，狓2,—，狓”)T E R"
) 乂 丨 Ri(A =
ai—m I
犻，…imEN
丫 Pi(犃)=
I a % …犿 I
犻，…犻mEN,
} 用犻，…犻犿
i，犼E Ni工犼
若 H 其中H是含有 V E a?】…m =an(1)…n(m), n
m , m
m个元素的置换群,则称A是实对称张量［］.若A的 元素均是非负数,则称A为非负张量.若齐次多元 多项式：
weakysymmetricnonnegativetensorsareobtainedandprovedtobeanimprovementofsomeexistingresuit. As applications, new lower bounds for the best rank-one, approximation of tensors and the conver­ gence rate of the greedy rank-one, update algorithm are given, and lower and upper bounds for symmetric pure state with nonnegative amplitudes are obtained by using upper and lower bounds of the Z-spectral radiusoftensors.
@ Email: leixuehongi 2 3 16 3. com
称非负张量时p（.A）x0是A的最佳秩一逼近, p（A）是犃的Z-谱半径狓是p （犃）的Z-特征向量, 即
min
| | A — tcxm 犉=
kGR,狓GR" ,xTx = 1
| 犃—p（.犃'）x0 | F =槡 | 犃 | F —p （犃）2
Upper and lower bounds for the Z-spectral radius of fourth-order weakly symmetric nonnegative tensors and their applications
LEI Xue-hong, XU Yun-xia
(College of Science, Kaili University, Kaili 556011, China)
巫 GME =槡2 — 2p(AQ
(4)
因此计算GME^的核心问题是估计p(A^).因此
张量的Z-谱半径的上下界估计是一个值得研究的
问题
1预备知识
设”为正整数,n>2 , N={1,2 , - — , n} , R为实 数域,R”为"维实向量组成的集合,R：m，"”为m阶" 维实张量组成的集合.设
E A = a1,2—犿) Rm 叫
其中:△ij = { (, j , j ) , ( i , j ) , ( j i) } ,△? = {(犻
,且 乂 U i ,)}
△,
r i (A) =
| aiii | •
jEN，Zi
234
本文研究四阶弱对称非负张量z-谱半径的估
计问题，给出了 Z-谱半径的一个新上界，改进了文
献［12-14］中的结果.
第47 卷 第3 期 2021 年6 月
兰州 理工大学学报 JounalofLanzhouUnivesityofTechnology
文章编号：1673-5196(2021)03016205
Vol.47 No.3 Jun.2021
四阶弱对称非负张量Z-谱半径的上下界及应用
雷学红*,许云霞
（凯里学院理学院，贵州凯里556011）
22
asjki,x犼，k，i I
j ,k,(GN,(G { ,k,l},
(j,k,i)GJs,
〉：
a sjki，j，k，i
j , ,G N，G {，,1},
犪ssss，s +来自jj ,k,iGJs,t
〉2
a sjki-X l +
〉2
a sjk，s —
j ,k ,G N,，G {j , ,i},
j ,k , GN,，G {，,i},
近当且仅当K是犃的按模最大Z-特征值狓是与K
相对应的Z-特征向量.特别地，当犃是弱对
收稿日期：2020-04-24 基金项目：国家自然科学基金（1501141）,贵州省教育厅青年
科技人才成长项目（黔教合KY字［2019］186号，黔 教合KY字［2019］189号） 通讯作者：雷学红（1978-）,男，河南固始人，硕士，讲师.
Key words: fourth-order tensors； Z-eigenvalues； Z-spectral radius； best rank-one approximation； quan-
tumentangement
设 G 人=（犪（…犿） R：m，］是m阶”维实张量，
A的最佳秩一逼近是求一个秩一张量狓 =