2021_2022学年高中数学第四章导数应用模块复习课第4课时导数及其应用课件北师大版选修1_1

因为
所以
1
1
x>0,所以 f(x)在 0, 3 上是增加的,在 3 , + ∞
1
5
f(x)的极大值为 f 3 =-ln 3-6,此即为最大值.
上是减少的.
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专题一
专题二
专题三
专题四
(2)因为方程 f(x)=mx 有唯一实数解,
所以 ln x+x-mx=0 有唯一实数解.
1+(1-)
2-
≥0

(2)由题意知 f'(x)=2x-4+
在[2,+∞)上恒成立,即
a≤2x2 -4x+2.
令 g(x)=2x2 -4x+2=2(x-1)2 ,
则 g(x)在[2,+∞)上的最小值为 g(2)=2,所以 a≤2.
2-
<0 在(0,+∞)上有解,即 2x2-4x+2-a<0 在

(3)依题意 f'(x)=2x-4+
.

设 g(x)=ln x+x(1-m),则 g'(x)=
因为 x>0,m>1,
所以由 g'(x)>0,得 x<
1
,
-1
1
,
-1
1
1
0,
上是增加的,g(x)在
,+
-1
-1
由 g'(x)<0,得 x>
所以 g(x)在
的,g(x)max=g
1
-1
∞ 上是减少
.
若 ln x+x-mx=0 有唯一实数解,
【例3】 已知函数f(x)=x2-4x+(2-a)ln x,a∈R.
(1)当a=8时,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在[2,+∞)上单调递增,求a的取值范围;
(3)若f(x)存在单调递减区间,求a的取值范围.
分析(1)将a的值代入,确定定义域,求导数,然后解不等式即得;(2)
转化为f'(x)≥0在[2,+∞)恒成立求解;(3)转化为不等式f'(x)<0在定义
值-10,
∴函数f(x)在闭区间[-2,2]上的最大值为2,最小值为-10.
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1
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专题四
1
变式训练 3 已知函数 f(x)=3x3-2(2a+1)x2+(a2+a)x.
(1)若函数f(x)在x=2处取得极小值,求a的值;
(2)若a>0,求f(x)在[0,1]上的最大值.
专题四
(2)由(1)知,
①当 a≥1 时,f(x)在[0,1]上是增函数,
1
∴f(x)max=f(1)=a2 -6;
②当 a=0 时,f(x)在[0,1]上是减函数,
∴f(x)max=f(0)=0;
③当 0<a<1 时,f(x)在[0,a]上是增函数,在[a,1]上是减函数,
1
1
∴f(x)max=f(a)=3a3 +2a2 .
(1) = -1,
1
3
= ,
3-6 + 2 = 0,
即
解得
1
1-3 + 2 = -1,
=- ,
2
∴f(x)=x3 -x2 -x,f'(x)=3x2 -2x-1.
1
3
令 f'(x)>0,得 x>1 或 x<- ;
1
3
令 f'(x)<0,得- <x<1.
1
∴函数 f(x)的单调递增区间是 -∞,- 3 和(1,+∞),单调递减区间
问题;(3)不等式恒成立问题;(4)证明不等式问题;(5)解不等式问
题;(6)比较大小问题.
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要点梳理
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的
打“×”.
(1)经过点A(x0,y0)作曲线y=f(x)的切线,则切线斜率等于f'(x0).(
)
(2)若函数f(x)在区间(a,b)上单调递减,则在区间(a,b)上必有
1
3
是 - ,1 .
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专题五
(2)由(1),当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表所示:
x
-2
f'(x)
f(x)
-2,+
-10
↗
1
3
-
1
- ,1
3
1
3
0
5
↘
27
1
(1,2)
0
+
-1 ↗
2
2
由表中数据知,函数f(x)在x=2处取得最大值2,在x=-2处取得最小
a=
.
1
答案:2
解析:∵点(1,a)在曲线y=ax2-ln x上,
∴切线与曲线在点(1,a)处相切.
1
又∵f'(x)=y'=2ax-,
∴f'(1)=2a-1.
∴切线的斜率为2a-1.
又由切线与x轴平行,
∴2a-1=0,
1
∴a=2.
专题五
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专题三 利用导数研究函数单调性
分析(1)根据条件可得f'(1)=0,f(1)=-1,求出a,b的值得到函数解析
式,再利用导数解不等式得到单调区间;(2)按照求最值的步骤求解
即可.
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解(1)f'(x)=3x2 -6ax+2b,
∵f(x)在点 x=1 处有极小值-1,
∴
'(1) = 0,
1
【例 1】 已知 f(x)=x2+f'(2)(ln x-x),则 f' 4 =
.
1
分析先对函数求导数,然后求出 f'(2)的值,最后求 f' 4 的值.
17
答案: 2
解析:因为 f(x)=x2+f'(2)(ln x-x),
1
所以 f'(x)=2x+f'(2) -1 .
1
8
8 1
于是 f'(2)=4+f'(2) 2 -1 ,解得 f'(2)=3,即 f'(x)=2x+3 -1 ,
域上有解进行处理.
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解(1)当 a=8 时,f(x)=x2 -4x-6ln x,
6
f'(x)=2x-4
=
22 -4-6
,

令 f'(x)>0,得 x>3;
令 f'(x)<0,得 0<x<3,
所以 f(x)的增区间是(3,+∞),减区间是(0,3).
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反思感悟利用导数研究曲线的切线问题,务必要注意所给点是否
在曲线上,若点在曲线上,则函数在该点处的导数值就是曲线在该
点切线的斜率,若所给点不在已知曲线上,则应先设出切点坐标,再
结合两点连线的斜率公式建立联系求解.
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变式训练2若曲线y=ax2-ln x在点(1,a)处的切线平行于x轴,则
1
(2)∵y'=1+ ,

∴当x=1时,k=y'=2,
∴切线方程为y=2x-1.
由y=2x-1与y=ax2+(a+2)x+1联立,得ax2+ax+2=0,再由相切知
Δ=a2-8a=0,解得a=0或a=8.
∵当a=0时,y=ax2+(a+2)x+1并非曲线而是直线,
∴a=0舍去,故a=8.
专题五
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.
Δ
x→0
函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是 lim
数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,记作
2.导函数
一个函数 f(x)在区间(a,b)上的每一点 x 处都有导数,导数值记为
f(x+x)-f(x)
,则f'(x)是关于 x 的函数,称 f'(x)为f(x)的导函
x
Δ →0
f'(x),f'(x)= lim
f'(x)<0.(
)
(3)可导函数在极值点处的导数必为0.(
)
(4)函数f(x)=x3+ax2+bx+c的图像与x轴最多有3个交点.(
)
(5)若不等式a>f(x)恒成立,则a>[f(x)]min.(
)
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
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专题一 导数的运算
1
2
(2)当 a=0,b=- ,m>1 时,方程 f(x)=mx 有唯一实数解,求 m 的值.
分析(1)将a,b的值代入,然后研究函数的极值,并结合单调性求出
最值;(2)方程有唯一实数解,亦即相应函数图像与x轴只有一个交点,
可先研究函数的极值情况,并结合图像分析,得到m的值.
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专题一
(0,+∞)上有解,
因此必有 Δ=16-8(2-a)>0,即 a>0.
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专题四 利用导数研究函数的极值与最值
【例4】 已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求函数f(x)在闭区间[-2,2]上的最大值和最小值.
在区间I上恒成立.
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要点梳理
6.利用导数研究函数的极值与最值
(1)应用导数求函数极值的一般步骤:
①确定函数f(x)的定义域;
②解方程f'(x)=0的根;
③检验f'(x)=0的根的两侧f'(x)的符号:
若左正右负,则f(x)在此根处取得极大值;
若左负右正,则f(x)在此根处取得极小值;
否则,此根不是f(x)的极值点.
第4课时
导数及其应用
知识网络
要点梳理
填一填: ①瞬时变化率 ②导数在实际问题中的应用 ③导数的计算
④导数与函数的单调性 ⑤实际问题中导数的意义 ⑥常用导数公式
⑦导数的四则运算法则
知识网络
要点梳理
1.导数的概念
(0+Δ)-(0)
,称为函
Δ
Δ →0
( 0+Δ)-(0)
f'(x0),即 f'(x0 )=
解(1)f'(x)=x2-(2a+1)x+(a2+a)
=(x-a)[x-(a+1)].
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,a)
f'(x) +
a
0
(a,a+1)
-
a+1
0
(a+1,+∞)
+
f(x) ↗
极大值
↘
极小值
↗
∴a+1=2,
∴a=1.
专题五
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专题一
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专题三
的导数值f'(x0).
(2)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.
5.利用导数研究函数单调性
(1)利用导数求函数单调区间的步骤:
①确定函数的定义域;②求导数f'(x);③在定义域内,解不等式
f'(x)>0得到函数的递增区间;解不等式f'(x)<0得到函数的递减区间.
(2)根据单调性求参数取值范围:
函数f(x)在区间I上单调递增(递减),等价于不等式f'(x)≥0(f'(x)≤0)
(2)求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大值、最小值的方法与步骤:
①求f(x)在(a,b)内的极值;
②将①求得的极值与f(a),f(b)相比较,其中最大的一个值为最大值,
最小的一个值为最小值.
知识网络
要点梳理
7.利用导数研究函数、方程、不等式的综合问题
利用导数研究下列问题:(1)函数的零点个数问题;(2)方程的根的
则必有 g
1
-1
1
-1
=ln
1
e
+
1-
1
1
=0⇒ =e⇒m=1+e ,
-1
-1
所以当 m=1+ 时,方程 f(x)=mx 有唯一实数解.
专题五
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专题一
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专题三

变式训练 4 已知函数 f(x)=ln x+-2.
;
(2)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1
相切,则a=
.
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答案:(1)5x+y+2=0
专题一
专题二
专题三
专题四
(2)8
解析:(1)y'=-5ex,则k=-5×e0=-5,
所以所求切线方程为y-(-2)=-5(x-0),即5x+y+2=0.
专题二
专题三
专题四
专题五
解(1)依题意,f(x)的定义域为(0,+∞),当 a=-3,b=1 时,f(x)=ln
3
x-2x2 -2x.
1
1-32 -2
f'(x)= -3x-2=
.


1
3
由 f'(x)>0,得 3x2 +2x-1<0,解得-1<x< ;
1
3
由 f'(x)<0,得 3x2 +2x-1>0,解得 x> 或 x<-1.
故 f'
1
4
1 8
=2×4 + 3
1
1
4
-1 =
17
.
2
专题五
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
反思感悟本题关键是求导后先令 x=2,建立关于 f'(2)的方程求得 f'(2)
的值,再计算 f'
1
4
.
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专题三
1
专题四
变式训练 1 设函数 f(x)=3ax3 +bx(a≠0),若 f(3)=3f'(x0),则
x0 =(
)