兰州市达标名校2020年高考一月适应性考试数学试题含解析

兰州市达标名校2020年高考一月适应性考试数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，已知三棱锥D ABC -中，平面DAB ⊥平面ABC ，记二面角D AC B --的平面角为α，直线
DA 与平面ABC 所成角为β，直线AB 与平面ADC 所成角为γ，则（ ）
A ．αβγ≥≥
B ．βαγ≥≥
C ．αγβ≥≥
D ．γαβ≥≥
2．已知命题:p x R ∀∈，20x >，则p ⌝是（ ） A ．x ∀∈R ，20x ≤
B ．0x ∃∈R ，2
00x ≤.
C ．0x ∃∈R ，2
00x >
D ．x ∀∉R ，20x ≤.
3．观察下列各式：2x y ⊗=，224x y ⊗=，33
9x y ⊗=，4417x y ⊗=，5531x y ⊗=，6654x y ⊗=，
7792x y ⊗=，
，根据以上规律，则1010
x y ⊗=（ ）
A ．255
B ．419
C ．414
D ．253
4．已知全集U =R ，集合{}{}
2
37,7100A x x B x x x =≤<=-+<，则()U
A B ⋂=（ ）
A ．()()
,35,-∞+∞
B ．(](),35,-∞+∞
C ．(]
[),35,-∞+∞ D ．()
[),35,-∞+∞
5．正项等差数列{}n a 的前n 和为n S ，已知2
375150a a a +-+=，则9S =（ ）
A ．35
B ．36
C ．45
D ．54
6．集合{
}
2|4,M y y x x ==-∈Z 的真子集的个数为( )
A ．7
B ．8
C ．31
D ．32
7．若函数()ln f x x x h =-++，在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上任取三个实数a ，b ，c 均存在以()f a ，f b ，()
f c 为边长的三角形，则实数h 的取值范围是（ ）
8．函数cos 23sin 20,
2y x x x π⎛⎫
⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
的单调递增区间是（ ） A ．06
,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．0,
3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ C ．,62ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
D ．,32ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
9．已知函数()()()2ln 14f x ax x ax =-+-，若0x >时，()0f x ≥恒成立，则实数a 的值为（ ） A ．2e
B ．4e
C ．
2
e - D ．
4e
- 10．在菱形ABCD 中，4AC =，2BD =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE DF ⋅=（ ） A ．134
-
B ．
54
C ．5
D ．
154
11．下列说法正确的是（ ）
A ．“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”
B ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题
C ．0(0,)x ∃∈+∞，使0034x x >成立
D ．“若1sin 2α≠
，则6
π
α≠”是真命题 12．已知正四面体A BCD -外接球的体积为86π，则这个四面体的表面积为（ ） A ．183
B ．163
C ．143
D ．123
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若存在直线l 与函数1
()(0)f x x x
=<及2()g x x a =+的图象都相切，则实数a 的最小值为___________．
14．ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222c a b ab =+-，sin sin 26sin sin A B A B +=，若3c =，则+a b 的值为__________. 15．已知,a b ∈R ，复数z a i =-且11z
bi i
=++（i 为虚数单位），则ab =__________，z =_________． 16．已知()7
27012711112x a a x a x a x x x
⎛⎫+
-=++++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，则2a =___________，0127a a a a +++⋅⋅⋅+=_____________________________
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()2
x
e x
f x a =-．
（1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥； （2）若()f x 在
只有一个零点，求a 的值.
面PAB ⊥平面PMC ，CPM ∆为锐角三角形，求证：
（1）D 是PB 的中点； （2）平面ABC ⊥平面PMC .
19．（6分）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知0ccosB bsinC -=，2cosA cos A =．
()1求C ； ()2若2a =，求，
ABC 的面积ABC
S
20．（6分）已知ABC 满足 ，且263b A π==，，求sinC 的值及ABC 的面积.（
从①4
B π
=，②3a =
③32a sinB =这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答.）
21．（6分）已知函数()()ln 1f x a x =+,()3
1,3
g x x ax =
- ()1x h x e =-． （1）当x≥0时，f （x ）≤h （x ）恒成立，求a 的取值范围； （2）当x ＜0时，研究函数F （x ）=h （x ）﹣g （x ）的零点个数； （3）求证：
1010953000
10002699
e <<（参考数据：ln1.1≈0.0953）． 22．（8分）已知数列{}n a 和{}n b 满足：1111112,1,2,2,*,2n n n n n n a b a a b b b a n N n ----==-=-=-∈≥. （1）求证:数列{}n n a b -为等比数列；
（2）求数列13n n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n S .
23．（8分）数列{}n a 满足1232
2322n n
n a a a na +++++=-
. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()111n n n n a b a a +=
+⋅+，n T 为{}n b 的前n 项和，求证：2
3
n T <.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A 【解析】 【分析】
作'DD AB ⊥于'D ,DE AC ⊥于E ,分析可得'DED α,'DAD β=∠,再根据正弦的大小关系判断分
析得αβ≥,再根据线面角的最小性判定βγ≥即可. 【详解】
作'DD AB ⊥于'D ,DE AC ⊥于E .
因为平面DAB ⊥平面ABC ,'DD ⊥平面ABC .故,'AC DE AC DD ⊥⊥, 故AC ⊥平面'DED .故二面角D AC B --为'DED α
.
又直线DA 与平面ABC 所成角为'DAD β=∠,因为DA DE ≥, 故''sin '
sin 'DD DD DED DAD DE DA
.故αβ≥,当且仅当,A E 重合时取等号.
又直线AB 与平面ADC 所成角为γ,且'DAD β=∠为直线AB 与平面ADC 内的直线AD 所成角,故
βγ≥,当且仅当BD ⊥平面ADC 时取等号.
故αβγ≥≥.
故选：A 【点睛】
本题主要考查了线面角与线线角的大小判断,需要根据题意确定角度的正弦的关系,同时运用线面角的最小性进行判定.属于中档题. 2．B
根据全称命题的否定为特称命题，得到结果. 【详解】
根据全称命题的否定为特称命题，可得0:p x R ⌝∃∈，2
00x ≤
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查含量词的命题的否定，属于基础题. 3．B 【解析】 【分析】
每个式子的值依次构成一个数列{}n a ，然后归纳出数列的递推关系12n n n a a a n --=++后再计算． 【详解】
以及数列的应用根据题设条件，设数字2，4，9，17，31，54，92，
构成一个数列{}n a ，可得数
列{}n a 满足12n n n a a a n --=++()
*
3,n n ≥∈N ，
则876854928154a a a =++=++=，
9879154929255a a a =++=++=，10981025515410419a a a =++=++=．
故选：B ． 【点睛】
本题主要考查归纳推理，解题关键是通过数列的项归纳出递推关系，从而可确定数列的一些项． 4．D 【解析】 【分析】
先计算集合B ，再计算A B ，最后计算
()U
A B ⋂．
【详解】 解：
{}
27100B x x x =-+<
{|25}B x x ∴=<<，
{}37A x x =≤<
{|35}A
B x x ∴=<，
()[)U ,35(,)A
B -∞+∞∴=．
本题主要考查了集合的交，补混合运算，注意分清集合间的关系，属于基础题． 5．C 【解析】 【分析】
由等差数列{}n a 通项公式得2
375150a a a +-+=，求出5a ，再利用等差数列前n 项和公式能求出9S .
【详解】
正项等差数列{}n a 的前n 项和n S ，
2
375150a a a +-+=，
2552150a a ∴--=，
解得55a =或53a =-（舍），
()91959
995452
S a a a ∴=
+==⨯=，故选C. 【点睛】
本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于中档题. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性质
2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系.
6．A 【解析】 【分析】
计算{}
M =，再计算真子集个数得到答案. 【详解】
{}{
}
|M y y x ==∈=Z ，故真子集个数为：3217-=.
故选：A . 【点睛】
本题考查了集合的真子集个数，意在考查学生的计算能力. 7．D 【解析】 【分析】
利用导数求得()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小，根据三角形两边的和大于第三边列不等式，由此求
()f x 的定义域为()0,∞+，()'11
1x f x x x
-=-+=，
所以()f x 在1,1e ⎛⎫
⎪⎝⎭
上递减，在()1,e 上递增，()f x 在1x =处取得极小值也即是最小值，
()1ln111f h h =-++=+，1111
ln 1f h h e e e e ⎛⎫=-++=++ ⎪⎝⎭
，()ln 1f e e e h e h =-++=-+，
()1f f e e ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
， 所以()f x 在区间1,e e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值为()1f e e h =-+.
要使在区间1
,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上任取三个实数a ，b ，c 均存在以()f a ，f b ，()f c 为边长的三角形，
则需()()()f a f b f c +>恒成立，且()10f >，
也即()()()max min f a f b f c +>⎡⎤⎣⎦，也即当1a b ==、c e =时，()()21e f f >成立， 即()211h e h +>-+，且()10f >，解得3h e >-.所以h 的取值范围是()3,e -+∞. 故选：D 【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查恒成立问题的求解，属于中档题. 8．D 【解析】 【分析】
利用辅助角公式,化简函数的解析式,再根据正弦函数的单调性,并采用整体法,可得结果. 【详解】
因为cos 22y x x =2sin(
2)2sin(2)66
x x ππ
=-=--，由3222,262
k x k k πππππ+-+∈Z ≤≤，解得5,36k x k k Z ππ
ππ+≤≤
+∈，即函数的增区间为5[,],36k k k ππππ++∈Z ，所以当0k =时，增区间的一个子集为[,]32
ππ. 故选D. 【点睛】
本题考查了辅助角公式,考查正弦型函数的单调递增区间,重点在于把握正弦函数的单调性，同时对于整体法的应用,使问题化繁为简,难度较易.
【分析】
通过分析函数()ln 10y ax x =->与()2
40y x ax x =+->的图象，得到两函数必须有相同的零点t ，解方程
组2ln 1040at a at -=⎧⎨+-=⎩
即得解.
【详解】
如图所示，函数()ln 10y ax x =->与()2
40y x ax x =+->的图象，
因为0x >时，()0f x ≥恒成立， 于是两函数必须有相同的零点t ， 所以2
ln 10
40
at a at -=⎧⎨
+-=⎩ 24at t e =-=，
解得4a e
- 故选：D 【点睛】
本题主要考查函数的图象的综合应用和函数的零点问题，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 10．B
据题意以菱形对角线交点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，用坐标表示出,DE DF ，再根据坐标形式下向量的数量积运算计算出结果. 【详解】
设AC 与BD 交于点O ，以O 为原点，BD 的方向为x 轴，CA 的方向为y 轴，建立直角坐标系，
则1,12E ⎛
⎫-
⎪⎝⎭，1,12F ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(1,0)D ，3,12DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，3,12DF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
， 所以95
144
DE DF ⋅=-=. 故选：B. 【点睛】
本题考查建立平面直角坐标系解决向量的数量积问题，难度一般.长方形、正方形、菱形中的向量数量积问题，如果直接计算较麻烦可考虑用建系的方法求解. 11．D 【解析】
选项A ，否命题为“若1a ≤，则21a ≤”，故A 不正确．
选项B ，逆命题为“若a b <，则22am bm <”，为假命题，故B 不正确． 选项C ，由题意知对x ∀()0,∈+∞，都有34x x <，故C 不正确． 选项D ，命题的逆否命题“若6
π
α=，则1sin 2α=
”为真命题，故“若1sin 2α≠，则6
π
α≠”是真命题，所以D 正确． 选D ． 12．B
设正四面体ABCD 的外接球的半径R ，将该正四面体放入一个正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线，根据正方体和正四面体的外接球为同一个球计算出正方体的棱长，从而得出正四面体的棱长，最后可求出正四面体的表面积． 【详解】
将正四面体ABCD 放在一个正方体内，设正方体的棱长为a ，如图所示，
设正四面体ABCD 的外接球的半径为R ，则3
4863
R ππ=，得6R =ABCD 的外接球和
正方体的外接球是同一个球，3a=226R =∴2．而正四面体ABCD 的每条棱长均为正方体的面对角线长，所以，正四面体ABCD 2a=2224=，因此，这个正四面体的表面积为
2
34163a =
故选：B ． 【点睛】
本题考查球的内接多面体，解决这类问题就是找出合适的模型将球体的半径与几何体的一些几何量联系起来，考查计算能力，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．332【解析】 【分析】 【详解】
设直线l 与函数()f x 及()g x 的图象分别相切于1
(,)(0)A m m m
<，2(,)B n n a +，
因为2
1()f x x
'=-
，所以函数()f x 的图象在点A 处的切线方程为211()y x m m m -=--，即212
y x m m =-+，因为()2g x x '=，所以函数()g x 的图象在点B 处的切线方程为22()y n a n x n --=-，即22y nx n a =-+，因为存在直线l 与函数()f x 及()g x 的图象都相切，所以212n m
⎧
=-⎪⎪⎨，所以12a =+，
令1(0)t t m =<，设41()2(0)4
h t t t t =+<，则3()2h t t '=+，
当t <()0h t '<，函数()h t
单调递减；当0t <<时，()0h t '>，函数()h t 单调递增，
所以min
()(h t h ==，所以实数a
的最小值为 14
．【解析】
【分析】
先利用余弦定理求出C ，再用正弦定理求出2R
并把sin sin sin A B A B +=转化为与边有关的等式，结合222c a b ab =+-可求+a b 的值.
【详解】 因为222
c a b ab =+-，故222cos 122a b c C ab +-==，因为()0,C π∈，所以3C π=. 由正弦定理可得三角形外接圆的半径R
满足2R ==，
所以A B A B +=
⨯
即a b +=. 因为()(
))222293+2
a b ab a b ab a b a b =+-=+-=+-，
解得a b +=
2
a b +=-
.
故答案为：【点睛】 本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，注意结合求解目标对所得的方程组变形整合后整体求解，本题属于中档题.
15．6ab =-
z =
【解析】
∵复数z a i =-且
11z bi i
=++ ∴()(1)(1)(1)1122a i a i i a a i bi i -----+===++ ∴112{12
a a
b -=+-=
∴3
{2a b ==-
∴6ab =-
，z ==
故答案为6-
16．−196 −3
【解析】
【分析】
由二项式定理及二项式展开式通项得：()()23
2327722196a C C =-+-=-，令x=1，则1+a 0+a 1+…+a 7=（1+1）×（1-2）7=-2，所以a 0+a 1+…+a 7=-3，得解．
【详解】
由二项式(1−2x)7展开式的通项得()172r
r r T C x +=-，
则()()232327722196a C C =-+-=-， 令x=1,则()()7
017111122a a a +++⋯+=+⨯-=-，
所以a 0+a 1+…+a 7=−3，
故答案为：−196，−3.
【点睛】
本题考查二项式定理及其通项，属于中等题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）见解析；（2）2
4
e a = 【解析】
【详解】
分析：(1)先构造函数()()211x g x x e -=+-，再求导函数，根据导函数不大于零得函数单调递减，最后根
据单调性证得不等式;(2)研究()f x 零点，等价研究()21x h x ax e -=-的零点，先求()h x 导数：
()()'2x h x ax x e -=-，这里产生两个讨论点，一个是a 与零，一个是x 与2，当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点；当0a >时，()h x 先减后增，从而确定只有一个零点的必要条件，再利用零点存在定理确定条件的充分性，即得a 的值.
详解：（1）当1a =时，()1f x ≥等价于()2110x x e -+-≤．
设函数()()211x g x x e -=+-，则()()()2
2'211x x g x x x e x e --=--+=--．
当1x ≠时，()'0g x <，所以()g x 在()0,∞+单调递减．
而()00g =，故当0x ≥时，()0g x ≤，即()1f x ≥．
（2）设函数()21x
h x ax e -=-． ()f x 在()0,∞+只有一个零点当且仅当()h x 在()0,∞+只有一个零点．
（i ）当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点；
（ii ）当0a >时，()()'2x
h x ax x e -=-． 当()0,2x ∈时，()'0h x <；当()2,x ∈+∞时，()'0h x >．
所以()h x 在()0,2单调递减，在()2,+∞单调递增．
故()2
421a h e =-是()h x 在[)0,+∞的最小值． ①若()20h >，即2
4
e a <，()h x 在()0,∞+没有零点； ②若()20h =，即2
4
e a =，()h x 在()0,∞+只有一个零点； ③若()20h <，即2
4
e a >，由于()01h =，所以()h x 在()0,2有一个零点， 由（1）知，当0x >时，2x e x >，所以()()
()333244216161614111102a a a a a h a e a a e =-=->-=->． 故()h x 在()2,4a 有一个零点，因此()h x 在()0,∞+有两个零点．
综上，()f x 在()0,∞+只有一个零点时，2
4
e a =． 点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
18．（1）证明见解析；（2）证明见解析；
【解析】
【分析】
（1）推导出//MD PA ，由M 是AB 的中点，能证明D 是BP 有中点．
（2）作CN PM ⊥于点N ，推导出CN ⊥平面PAB ，从而CN AB ⊥，由AB PC ⊥，能证明AB ⊥平面PMC ，由此能证明平面ABC ⊥平面PMC ．
证明：（1）在三棱锥P ABC -中，
//MD 平面PAC ，平面PAB ⋂平面PAC PA =，
MD ⊂平面PAB ，
//MD PA ∴，
在PAB ∆中，M 是AB 的中点，D ∴是BP 有中点．
（2）在三棱锥P ABC -中，CPM ∆是锐角三角形，
∴在CPM ∆中，可作CN PM ⊥于点N ，
平面PAB ⊥平面PMC ，平面PAB ⋂平面PMC PM =，
CN ⊂平面PMC ，CN ∴⊥平面PAB ，
AB ⊂平面PAB ，CN AB ∴⊥，
AB PC ⊥，CN PC C =，
AB ∴⊥平面PMC ，
AB ⊂平面CAB ，∴平面ABC ⊥平面PMC ．
【点睛】
本题考查线段中点的证明，考查面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．
19． (1) 12π
．(2)33 3
-． 【解析】
【分析】
()1由已知利用正弦定理，同角三角函数基本关系式可求1tanB =，结合范围()0,B π∈，可求4B π=，由已知利用二倍角的余弦函数公式可得2210cos A cosA --=，结合范围()0,A π∈，可求A ，根据三角形的内角和定理即可解得C 的值．
()2由()1及正弦定理可得b 的值，根据两角和的正弦函数公式可求sinC 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．
() 1由已知可得ccosB bsinC =， 又由正弦定理b c sinB sinC
=，可得ccosB csinB =，即1tanB =， ()0,B π∈，
4B π
∴=，
2221cosA cos A cos A ==-，即2210cos A cosA --=，
又()0,A π∈，
12cosA ∴=-，或1(舍去)，可得23
A π=， 12C A
B π
π∴=--=．
()223A π=，4
B π=，2a =， ∴由正弦定理a b sinA sinB =
，可得23a sinB b sinA ⋅===， (
)1sin 222sinC A B sinAcosB cosAsinB ⎛⎫=+=+=+-⨯= ⎪⎝⎭
11222ABC S absinC ∴==⨯= 【点睛】
本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式，三角形的内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式等知识在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
20．见解析
【解析】
【分析】
选择①时：4B π
=,23A π=
，计算sin C =3a =，计算面积得到答案；选择
②时，a
=b ，故B A >，A
为钝角，故无解；选择③时，a B =
，根据正弦定理解得sin B
sin C =3a =，计算面积得到答案. 【详解】
选择①时：4B π=,23A π=，故()62sin sin sin cos cos sin 4
C A B A B A B -=+=+=. 根据正弦定理：sin sin a b A B =，故3a =，故1933sin 2S ab C -==. 选择②时，3a =
，6b =，故B A >，A 为钝角，故无解. 选择③时，32sin a B =，根据正弦定理：sin sin a b A B =，故63
32sin B =， 解得2sin B =，()62sin sin sin cos cos sin 4C A B A B A B -=+=+=. 根据正弦定理：
sin sin a b A B =，故3a =，故1933sin 24
S ab C -==. 【点睛】 本题考查了三角恒等变换，正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
21．（1）(],1-∞；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）令H （x ）=h （x ）﹣f （x ）=e x ﹣1﹣aln （x+1）（x≥0），求得导数，讨论a ＞1和a≤1，判断导数的符号，由恒成立思想可得a 的范围；（2）求得F （x ）=h （x ）﹣g （x ）的导数和二阶导数，判断F'（x ）的单调性，讨论a≤﹣1，a ＞﹣1，F （x ）的单调性和零点个数；（3）由（1）知，当a=1时，e x ＞1+ln （x+1）对x ＞0恒成立，令110x =
；由（2）知，当a=﹣1时，3113x e x x >++对x ＜0恒成立，令1-10
x =，结合条件，即可得证．
【详解】
（Ⅰ）解：令H （x ）=h （x ）﹣f （x ）=e x ﹣1﹣aln （x+1）（x≥0），
则
， ①若a≤1，则，H'（x ）≥0，H （x ）在[0，+∞）递增， H （x ）≥H （0）=0，即f （x ）≤h （x ）在[0，+∞）恒成立，满足，所以a≤1；
②若a ＞1，H′（x ）=e x ﹣在[0，+∞）递增，H'（x ）≥H'（0）=1﹣a ，且1﹣a ＜0，
且x→+∞时，H'（x ）→+∞，则∃x 0∈（0，+∞），
使H'（x 0）=0进而H （x ）在[0，x 0）递减，在（x 0，+∞）递增，
所以当x ∈（0，x 0）时H （x ）＜H （0）=0，
即当x ∈（0，x 0）时，f （x ）＞h （x ），不满足题意，舍去；
综合①，②知a 的取值范围为（﹣∞，1]．
（Ⅱ）解：依题意得，则F'（x ）=e x ﹣x 2+a ，
则F''（x ）=e x ﹣2x ＞0在（﹣∞，0）上恒成立，故F'（x ）=e x ﹣x 2+a 在（﹣∞，0）递增，
所以F'（x ）＜F'（0）=1+a ，且x→﹣∞时，F'（x ）→﹣∞；
①若1+a≤0，即a≤﹣1，则F'（x ）＜F'（0）=1+a≤0，
故F （x ）在（﹣∞，0）递减，所以F （x ）＞F （0）=0，F （x ）在（﹣∞，0）无零点； ②若1+a ＞0，即a ＞﹣1，则使， 进而F （x ）在递减，在递增，，
且x→﹣∞时，
， F （x ）在上有一个零点，在无零点， 故F （x ）在（﹣∞，0）有一个零点．
综合①②，当a≤﹣1时无零点；当a ＞﹣1时有一个零点．
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，e x ＞1+ln （x+1）对x ＞0恒成立， 令，则即；
由（Ⅱ）知，当a=﹣1时，对x ＜0恒成立， 令，则，所以； 故有
．
【点睛】 本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点存在定理的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个含自变量的函数，注意让含有自变量的函数式子尽量简单一些．
22．（1）见解析（2）112231
n n S +=
-+ 【解析】
【分析】 （1）根据题目所给递推关系式得到11
3n n n n a b a b ---=-，由此证得数列{}n n a b -为等比数列. （2）由（1）求得数列{}n n a b -的通项公式，判断出1n n a b +=，由此利用裂项求和法求得数列13n n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n S .
【详解】
（1）()()()111111223n n n n n n n n a b a b b a a b -------=---=-
11
*,2,3n n n n a b n N n a b ---∈≥=- 所以数列{}n n a b -是以3为首项，以3为公比的等比数列.
（2）由（1）知，()()1111113,22n
n n n n n n n n n n a b a b a b b a a b -------=+=-+-=+ ∴{}n n a b +为常数列，且111n n a b a b +=+=，
∴213n n a =+， ∴()()11134311231313131n n n n n n n n a a +++⋅⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭
∴1111111241010283131n n n S +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
1111122431231n n ++⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭ 【点睛】 本小题主要考查根据递推关系式证明等比数列，考查裂项求和法，属于中档题. 23．（1）12n n a =
（2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）利用n S 与n a 的关系即可求解.
（2）利用裂项求和法即可求解.
【详解】
解析：（1）当1n =时，131222a =-
=； 当2n ≥，12122222n n n n n n n na -++⎛⎫=---= ⎪⎝
⎭，可得12n n a =， 又∵当1n =时也成立，12
n n a ∴=； （2）()()11111
2112211212121211122n n n n n n n n n b ++++⎛⎫===- ⎪++⎛⎫⎛⎫++⎝⎭++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，
22311111112212121212121n n n T +⎛⎫∴=-+-++- ⎪++++++⎝
⎭
111122223213213
n n ++⎛⎫=-=-< ⎪++⎝⎭ 【点睛】 本题主要考查了n S 与n a 的关系、裂项求和法，属于基础题.。