2021年中考一轮复习数学专题——反比例函数

2021年中考专题复习——反比例函数
一、单选题
1．如图过原点的直线l 与反比例函数1
y x
=-图象交于M ，N 两点，则线段MN 的长度的最小值为（ ）
A ．2
B ．C
D ．5
2．反比例函数6
y x
=图象上有三个点1(2,)y -，2(1,)y -，3(1,)y ，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ） A ．123y y y << B ．312y y y << C ．213y y y << D ．321y y y <<
3．反比例函数m
y x
=的图像在第二、四象限内，则点(,1)m -在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
4．反比例函数3
m y x
-=，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，那么m 的取值范围是（ ） A ．m ＜3
B ．m ＞3
C ．m ＜﹣3
D ．m ＞﹣3
5．如图，四边形OABC 是平行四边形，对角线OB 在y 轴上，位于第一象限的点A 和第二象限的点C 分别在双曲线y ＝
1
k x
和y ＝2k x 的一支上，分别过点A ，C 作x 轴的垂线垂足分
别为M 和N ，则有以下的结论：①ON ＝OM ；②△OMA ≌△ONC ；③阴影部分面积是1
2
（k 1+k 2）；④四边形OABC 是菱形，则图中曲线关于y 轴对称其中正确的结论是（ ）
A．①②④B．②③C．①③④D．①④
6．已知点A（m，﹣3）和点B（n，3）都在直线y＝﹣2x+b上，则m与n的大小关系为（）A．m＞n B．m＜n
C．m＝n D．大小关系无法确定
7．如图所示，菱形AOBC的顶点B在y轴上，顶点A在反比例函数y＝9
x
的图象上，边AC，
OA分别交反比例函数y＝k
x
的图象于点D，点E，边AC交x轴于点F，连接CE．已知四
边形OBCE的面积为12，sin∠AOF＝3
5
，则k的值为（）
A．81
50
B．
81
25
C．
9
8
D．
9
4
8．如图，点A，B为反比例函数y=k
x
在第一象限上的两点，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于
点D，若B点的横坐标是A点横坐标的一半，且图中阴影部分的面积为k﹣2，则k的值为（）
A．4
3
B．
8
3
C．
14
3
D．
16
3
9．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx与
1
y
x
=-的图象交于A，B两点，过A作y
轴的垂线，交函数
2
y
x
=(x>0)的图象于点C，连接BC，则△ABC的面积为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．如图，直角坐标系中，A 是反比例函数y ＝12
x
（x ＞0）图象上一点，B 是y 轴正半轴上一点，以OA ，AB 为邻边作▱ABCO ．若点C 及BC 中点D 都在反比例函数y ＝k
x
（k ＜0，
x ＜0）图象上，则k 的值为（ ）
A ．﹣3
B ．﹣4
C ．﹣6
D ．﹣8
二、填空题 11．反比例函数k
y x
=
的图象经过点（﹣3，2），则k 的值是_____．当x 大于0时，y 随x 的增大而_____．（填增大或减小）
12．矩形的面积是240m ，设它的一边长为x （单位：m ），则矩形的另一边长y （单位：m ）与x 的函数关系是__________． 13．如图，直线1
23
y x =
+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点D 在x 轴的正半轴上，OD OA =，过点D 作CD x ⊥轴交直线AB 于点C ，若反比例函数(0)k
y k x
=
≠的图象经过点C ，则k 的值为_________________．
14．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，30OAB ∠=︒，若点A 在反比例函数
()6
0y x x
=
>的图象上，则经过点B 的反比例函数解析式为___；
15．如图，点A 的坐标为（﹣1，0），AB ⊥x 轴，∠AOB ＝60°，点B 在双曲线l 上，将△AOB 绕点B 顺时针旋转90°得到△CDB ，则点D _____双曲线l 上（填“在”或“不在”）．
16．已知点A （﹣1，y 1），B （﹣2，y 2）和C （3，y 3）都在反比例函数y ＝k
x
（k ＜0）的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为_____．（用“＜”连接） 17．已知正比例函数y ＝2x 的图象与反比例函数y ＝k
x
（k≠0）的图象相交于A （2，m ），B 两点，则点B 的坐标为_____．
18．如图，矩形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴、y 轴上，点B 在第一象限，点B 的坐标为（12,6），反比例函数(0)k
y k x
=
>的图象分别交边BC 、AB 于点D 、E ，连结DE ，ΔDEF 与ΔDEB 关于直线DE 对称．当点F 正好落在边OA 上时，则k 的值为________．
19．如图，已知点A 在反比例函数(0)k
y x x
=> 的图象上，作Rt ABC ，边BC 在x 轴上，
点D 为斜边AC 的中点，连结DB 并延长交y 轴于点E ，若BCE 的面积为6，则k=___．
20．如图,已知1,2,3,A A A …,1n n A A +是x 轴上的点，且11223OA A A A A ===…,11n n A A +==，分别过点123,A A A …,1n n A A +作x 轴的垂线交反比例函数()1
0y x x
＝
>的图象于点123,,,B B B …,1n n B B +,过点2B 作2111B P A B ⊥于点1P ,过点3B 作3222B P A B ⊥于点2P ……记
112B PB ∆的面积为1S ,223B P B ∆的面积为2S ……1n n n B P B +∆的面积为n S ，则123S S S +++…n S 等于_________．
三、解答题
21．如图，正比例函数12y x =
的图象与反比例函数k
y x
=（k ≠0）在第一象限的图象交于A 点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，已知△OAM 的面积为1． （1）求反比例函数的解析式；
（2）如果B 为反比例函数在第一象限图象上的点，且B 点的横坐标为1，在x 轴上求一点P ，使P A +PB 最小．（只需在图中作出点B ，P ，保留痕迹，不必写出理由）
22．如图，在平面直角坐标系中，点A （0，4）、B （﹣3，0），将线段AB 沿x 轴正方向平
移n个单位得到菱形ABCD．
（1）画出菱形ABCD，并直接写出n的值及点D的坐标；
（2）已知反比例函数y＝k
x
的图象经过点D，▱ABMN的顶点M在y轴上，N在y＝
k
x
的
图象上，求点M的坐标；
（3）若点A、C、D到某直线l的距离都相等，直接写出满足条件的直线解析式．
23．如图，直线y＝mx与反比例函数
k
y
x
=（x＞0）的图象交于Q点，点B（3，4）在反
比例函数
k
y
x
=的图象上，过点B作PB∥x轴交OQ于点P，过点P作P A∥y轴交反比例
函数图象于点A．
（1）若点A的纵坐标为9
4
，求反比例函数及直线OP的解析式；
（2）连接OB，在（1）的条件下，求sin∠BOP的值．
24．如图，直线AB经过0)和B(0，1)，点C在反比例函数y＝k
x
的图象上，且AC
＝BC＝AB．
(1)求直线AB和反比例函数的解析式；
(2)点D坐标为0)过点D作PD⊥x轴，当△PAD与△OAB相似时，P点是否在(1)中反比例函数图象上？如果在，求出P点坐标；如果不在，请说明理由．
25．已知直线
115 22
y x
=+与直线y2＝kx+b关于原点O对称，若反比例函数
m
y
x
=的图象
与直线y2＝kx+b交于A、B两点，点A横坐标为1，点B纵坐标为
1
2 -．
（1）求k，b的值；
（2）结合图象，当
15
22
m
x
x
<+时，求自变量x的取值范围．
26．如图，可以自由转动的转盘被平均分成了三等分标有数字﹣2，3，﹣1的扇形区域转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）
（1）转动转盘一次，求转出的数字是3的概率；
（2）转动转盘两次，设第一次得到的数字为x，第二次得到的数字为y，点M的坐标为（x，
y），请用树状图或列表法求点M在反比例函数y＝﹣6
x
的图象上的概率．
27．如图，正方形ABCD的边BC在y轴上，点D的坐标为（2，3），反比例函数y＝k
x
的
图象经过点A，交边CD于点N，过点M（t，0），作直线EM垂直于x轴，交双曲线于点E，交直线AB于点F．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当t＝6时，求四边形ADFE的面积；
（3）当以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求t的值．
28．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，D是BC的中点，过点D的反比例函数图象交AB于E点，连接DE，若OD＝5，OC＝3．（1）求过点D的反比例函数的解析式及DE所在直线的函数解析式；
（2）设直线DE与x轴和y轴的交点分别为M、N，求△CMN的面积．
29．如图，一次函数的图象与y轴交于C(0，8)，且与反比例函数y=k
x
(x＞0)的图象在第一
象限内交于A(3，a)，B(1，b)两点.
⑴求△AOC的面积；
⑵，求反比例函数和一次函数的解析式.
30．如图，已知二次函数y=ax2+2x+c（a＞0）图象的顶点M在反比例函数
3
y
x
=上，且与x
轴交于AB两点．
（1）若二次函数的对称轴为
1
2
x=-，试求a，c的值；
（2）在（1）的条件下求AB的长；
（3）若二次函数的对称轴与x轴的交点为N，当NO+MN取最小值时，试求二次函数的解析式．
答案1．B
2．C
3．C
4．B
5．D
6．A
7．B
8．B
9．C
10．C
11．﹣6 增大
12．
40 y
x =
13．24
14．
2 y
x =-
15．不在
16．y 3＜y 2＜y 1 17．（﹣2，﹣4）
18．27； 对称的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是求出F 点的坐标. 19．12 20．
2n
n （+1）
21．解：（1）设A 点的坐标为（a ，b ），则由1
12
ab =，得ab ＝2＝k ， ∴反比例函数的解析式为2y x
=
； （2）由条件知：两函数的交点为12
2y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
解得：22
,11x x y y ==-⎧⎧⎨
⎨==-⎩⎩
， ∴A 点坐标为：（2，1），作出关于A 点x 轴对称点C 点，连接BC ，P 点即是所求， 则点C （2，﹣1）， ∵B （1，2），
设直线BC 的解析式为：y ＝kx +b ，
2
21k b k b +=⎧⎨
+=-⎩
， 解得：3
5
k b =-⎧⎨
=⎩，
∴直线BC 的解析式为：y ＝﹣3x +5， 当y ＝0时，x ＝53
， ∴点P （
5
3
，0）．
22．解：（1）如图，
∵点A（0，4）、B（﹣3，0），
∴AO＝4，BO＝3，
∴AB5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，
∵将线段AB沿x轴正方向平移n个单位得到菱形ABCD，∴n＝5，点C坐标为（2，0），点D坐标为（5，4）；
（2）∵反比例函数y＝k
x
的图象经过点D，
∴k＝4×5＝20，
∵N在y＝20
x
的图象上，
∴设点N（a，20
a
），
如图，过点N作NH⊥OA于点H，
∵四边形ABMN是平行四边形
∴AN＝BM，AN∥BM，
∴∠BMA＝∠NAM，
∴∠BMO＝∠NAH，且AN＝BM，∠BOM＝∠NHA＝90°，∴△ANH≌△MBO（AAS），
∴HN＝BO＝3，MO＝AH，
∴HN＝a＝3，HO＝2020
3
a
，
∴OM＝AH＝HO﹣AO＝8
3
，
∴点M（0，8
3）；
（3）∵点A、C、D到某直线l的距离都相等，∴直线l是△ACD的中位线所在直线，
如图所示：
若直线l过线段AC，CD中点，
∴直线l的解析式为：y＝2，
若直线l过线段AD，AC中点，即直线l过点（5
2
，4），点（1，2），
设直线l的解析式为：y＝mx+n
∴54=22m n m n
⎧+⎪⎨⎪=+⎩ ， 解得：m ＝43，n ＝23
， ∴直线l 的解析式为：y ＝4233
x +， 若直线l 过线段AD ，CD 中点，即直线l 过点（
52，4），点（72，2）， 设直线l 解析式为：y ＝kx +b ∴54=2722
k b k b ⎧+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，
解得：k ＝﹣2，b ＝9，
∴直线l 的解析式为：y ＝﹣2x +9.
23．（1）∵B （3，4）在k y x =
上的图象上， ∴4,3
k = ∴k ＝12， ∴12y x
= 当94y =
时，16.3x = ∴169,.34A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
∵P A ∥y 轴，PB ∥x 轴， ∴16,4.3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
将P 点代入y ＝mx ，得
164,3m =
∴3.4
m =
∴3.4y x = （2）如图，过 B 点作 BM ⊥OP 于点 M ，
∵B （3，4），16,4.3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
∴5,OB ==
20.3OP == 1673.33
BP =-= 在 Rt △BOM 中，sin ,BM BOP OB ∠=
又∵11,22
OPB P S BP y OP BM =⨯⨯=⨯⨯ ,P BP y BM OP
⋅= ∴7sin .25
P BP y BOP OB OP ⋅∠==⋅
24．（1）设直线AB 的解析式为y ＝k'x+b ，
将点
0)和B(0，1)代入y ＝k'x+b
中，得01
b b +='=⎪⎩，
解得，1k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩
'，
∴直线AB 的解析式为y
＝﹣3
x+1， ∵
0)和B(0，1)，
∴OA
OB ＝1，AB
2，
∵AC ＝AB ＝2，
在Rt △AOB 中，tan ∠OAB ＝
OB OA =， ∴∠OAB ＝30°，
∵AC ＝BC ＝AB ，
∴△ABC 是等边三角形，
∴∠BAC ＝60°，
∴∠OAC ＝∠OAB+∠BAC ＝90°，
∴AC ⊥x 轴，
∴，2)，
将点C 坐标代入y ＝k x
中，得k ＝，
∴反比例函数解析式为y
（2）由(1)知，OA ，OB ＝1，
∵点D 坐标为0)，
∴OD ＝
∴AD ＝OD ﹣OA
∵PD ⊥x 轴，
∴∠ADP ＝90°＝∠AOB ，
∵当△PAD 与△OAB 相似时，
∴①当△ADP ∽△AOB 时，AD DP AO OB
=，
1DP =， ∴DP ＝1，
∴，1)，
当x ＝y ＝1，
∴点1)，在反比例函数解析式为y
②当△ADP∽△BOA时，
∴AD DP BO OA
=，
=，
∴DP＝3，
∴
，3)，
当x＝
y＝1≠3，
∴点
3)，不在反比例函数解析式为y
上．
25．解：（1）∵
115 22
y x
=+，
∴当x＝0，解得
5
2
y=，
∴当y＝0，解得x＝﹣5
∴
115 22
y x
=+与两坐标轴的交点为：
5
(0,)
2
，（﹣5，0），
∵
115 22
y x
=+与y2＝kx+b关于原点对称，
∴y2＝kx+b经过点：
5
(0,)
2
-，（5，0），
∴得到方程组：
5·0-
2 50
k b
k b
⎧
+=
⎪
⎨
⎪+=
⎩
，
解得：
5
2
1
2
b
k
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
；
（2）∵点A、B在直线215
-22
y x
=上∴把x＝1代入上式解得y＝﹣2
∴A（1，﹣2）
∴把
1
2
y代入上式解得x＝4
∴
1
4,
2
B
⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，
∵
m
y
x
=经过点A、B，且
m
y
x
=图象关于原点成中心对称，
∴
m
y
x
=必经过点（﹣1，2）、1
(4)
2
-，,
且（﹣1，2）、
1
(4)
2
-，两点即为
m
y
x
=与
1
15
22
y x
=+两个交点，
∴结合图象，当y＜y1时，x的取值范围的取值范围为：﹣4＜x＜﹣1或x＞0．26．解：（1）转动一次有三种可能，出现数字3只有一种情况，
∴出现数字3的概率为1
3
；
（2）可能结果共9种，点M（x，y）在反比例函数y＝﹣6
x
的图象上，
只有（﹣2，3）、（3，﹣2）满足，
∴点M在反比例函数y＝﹣6
x
的图象上的概率为
2
9
；
27．（1）∵正方形ABCD中，D（2，3），∴CO＝3，CD＝AB＝2，
∵BC＝2，OB＝1，
∴A（2，1），
因为反比例函数：y＝k
x
，
∴k＝2 即y＝2
x
；
（2）t＝6时，y＝1
3
，
∴E的坐标是（6，1
3
），F的坐标是（6，1），
∴EF＝2
3
，AD＝2，
S＝1
2
×4×2+
1
2
×4×
2
3
＝
3
16
；
（3）∵M（t，0）直线EM垂直于x轴，交双曲线于点E，交直线AB于点F，
∴E（t，2
t
），F（t，1），
∴EF＝1﹣2
t
或EF＝
2
t
﹣1，
∵以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
∴EF＝AD，即1﹣2
t
＝2 或
2
t
﹣1＝2，
解得：t＝﹣2，或t＝2
3
．
28．（1）∵OD＝5，OC＝3，
∴由勾股定理得CD＝4，
∴D点的坐标为（4，3），C点的坐标为（0，3），
设过点D的反比例函数的解析式为y＝k
x
，代入D点坐标得k＝12，
∴y＝12
x
，
∵D是BC的中点，
∴点E的横坐标为8，
∵点E也在反比例函数图象上，
∴E 点的坐标为（8，32
）， 设DE 所在直线的函数解析式为y ＝kx+b ，代入D 、E 两点坐标得{3=4k +b 32=8k +b ，
解得{k =−38b =92 ， ∴y ＝﹣38x+92
； （2）∵直线DE 与x 轴和y 轴的交点分别为M 、N ，
∴M （12，0），N （0，92）
∴NC ＝92﹣3＝32
，OM ＝12， ∴△CMN 的面积＝12×32×12＝9． 29．解：(1)过点A 作AD ⊥y 轴于点D ，如图，
∵C (0,8)，A (3，a )，∴AD=3，OC=8.
∴S △AOC ＝12×OC ×AD=12
×8×3＝12； (2)∵A (3，a )，B (1，b )两点在反比例函数k y x
=
(x ＞0)的图象上， ∴3a ＝b .
4，
∴|a －b |＝4.
∵由图象可知a ＜b ，
∴a －b ＝－4. ∴43a b a b -=-⎧⎨=⎩
，解得26a b =⎧⎨=⎩ ∴A (3,2)，B
(1,6) .
把A点的坐标代入
k
y
x
=(x＞0)得，2
3
k
=，
∴k＝6.
∴反比例函数的解析式为
6
y
x
=(x＞0)；
设一次函数的解析式为y＝mx＋n，∵一次函数的图象经过点A，B，
∴
6 32 m n
m n
+=
⎧
⎨
+=
⎩
.
解得
2
8
m
n
=-⎧
⎨
=
⎩
.
∴一次函数的解析式为y＝－2x＋8.
30．解：（1）∵二次函数的对称轴为，
∴﹣=﹣，
解得a=2，
∵二次函数y=ax2+2x+c（a＞0）图象的顶点M在反比例函数上，∴顶点为（﹣，c﹣），
∴（c﹣）=﹣3，
解得c=﹣，
∴二次函数的解析式为y=2x2+2x﹣；
（2）∵二次函数的解析式为y=2x2+2x﹣；
∴令y=0，2x2+2x﹣=0；
解得x=．
∴AB==2；
（3）根据对称轴x=﹣，当x=﹣时，y=﹣3a，
∴NO+MN=+3a≥2=2，当3a=时NO+MN最小，
即3a2=1时，a=，
∴此时二次函数的解析式为y=x2+2x+3．。