电子科大-材料力学-第二章轴向拉伸与压缩2

第二章轴向拉伸与压缩
本章主要内容
引言
轴力与轴力图；
拉压杆的应力与圣维南原理；
材料在拉伸与压缩时的力学性能；
许用应力与强度条件；
胡克定律与拉压杆的变形；
简单拉压静不定问题；
连接部分的强度计算。

杆件受拉会变长变细，受压会变短变粗。

d
L
F
F
d-△d
L+△L
轴向变形（或纵向变形）:杆件沿轴线方向的变形，即长短的变化。

横向变形:杆件垂直于轴线方向的变形，即粗细的变化。

F
F
l
F
F
l
l
l l =
轴向正应变l
l l l l =
=轴向变形量
实验表明：在比例极限内，正应力与正应变成正比，即
杆件伸长时，ε为正；缩短时，ε为负。

一、拉压杆轴向变形与胡克定律
引入比例系数E ，则
E
=比例系数E 体现了材料的性质，称为材料的弹性模量，单位与应力相同。

由于l l
=
N
F P A
=
则
N F l l EA
胡克定律（或虎克定律）
也称为胡克定律
θ
tg E =
EA
l F l N =
EA 称为杆件的拉（压）刚度，表示杆件抵抗拉压变形的能力。

轴向变形△l 与轴力F N 具有相同的正负号，即伸长时为正，缩短时为负。

对于轴力、横截面积或弹性模量沿杆轴逐段变化的拉压杆，其轴向变形为：
= i
i i Ni A E l F
l
()
1113n
n
Ni i N i i i i F l l F l n EA
EA = =
轴向拉压杆变形公式的使用说明
（1）等直杆受如图所示荷载作用，计算总变形。

（各段EA 均相同）
EA
l F l N =
（2）阶梯杆，各段EA 不同，计算总变形。

()
13n
N i i
i i i
F l l n E A = =
（3）叠加原理
杆AC 的总变形
EA l F
F EA l F l 11222)( += EA
l F EA l l F 11122)( +=几个载荷同时作用的效果相当于各载荷单独
作用产生的效果的叠加。

总变形：()()0
l N l F x dx l dx EA
= ()N F x Ax
=dx 段的变形：
()()N F x dx
dx EA
（4
*）受轴向均匀分布荷载作用的杆。

（如图所示
悬挂杆在自重作用下，容重为γ）
F N (x )
F N (x
)
dx
x 横截面处的轴力：x F N (x
)
x
内力：F N = F N （x ）= P
dx 段的变形：()()
N F dx
dx EA x 总变形：()
l N F dx l EA x
（5 *
）如图所示变截面杆的变形计算
二、拉压杆横向变形与泊松比
F
F
F
F
l
l
d
d
d d d
=同理，令
d d d d d
=
称为横向正应变。

实验表明，横向正应变与纵向正应变恒为异号。

在
比例极限内，横向正应变与纵向正应变成正比。

=μ称为泊松比，是一个材料常数。

=
负号表示纵向正应变与
横向正应变的方向相反1
E
=
E
=
E－描述正应力与正应变的关系
μ－描述纵向正应变与横向正应变的关系
是表示材料弹性性质的两个重要的常数。

材料的弹性模量与泊松比
钢与合金钢铝合金铜铸铁
E(GPa)200~22070~72100~12080~160
0.25～0.300.26～0.340.33～0.350.23～0.27
例：如图所示一阶梯形钢杆，已知材料的弹性模量E＝200GPa，AC段的横截面面积分别为A AB＝A BC＝500mm2，CD段的横截面面积A CD＝200mm2。

试求杆的总变形。

（图中长度单位为mm）
解：（1）求各截面上的轴力，绘制轴力图。

AB 段：112301020N F F F KN
= =BC 段与CD 段：
2210N F F KN
= 轴力图如图所示。

（2）计算杆的总变形
杆的总变形等于各段杆变形的代数和，即
AD AB BC CD
l l l l = +EA
l F l N =
3
196
3
20100.120010500100.02100.02N AB AB
AB F l l EA m mm
= = 3
296
3
10100.120010500100.01100.01N BC BC
BC F l l EA m mm
= = 3
296
3
10100.120010200100.025100.025N CD CD
CD F l l EA m mm
= = 则
0.020.010.0250.015AD l mm
=
负号说明整个杆件是缩短。

例：如图所示桁架，在节点A 处承受铅垂载荷F 作用，试求该节点的位移。

已知：杆1用钢制成，弹性模量E 1＝200GPa ，横截面面积A 1＝100mm 2，杆长l 1=1m ；杆2用硬铝制成，弹性模量E 2＝70GPa ，横截面面积A 2＝250mm 2，杆长l 2=707mm ；载荷F ＝10KN 。

45
o
B
A
C
第一步解开铰链，分别考虑两杆上与A 点重合点的位移；第二步以切代弧，找到与实际接近的位移点。

1
A 2
A A
3
A
A 1
A 2A 3
A x
A y
A 1
l 2
l
解：（1）计算杆件的轴力以节点A 为研究对象，受力图如图（a ）所示。

列平衡方程：
110sin 450
14.14y N N F F F F KN =
o
1220cos 450
10x N N N F F F F KN = + =
o
F N1F N2
F
A 45o
x
y （2）计算杆件的轴向变形
（拉力）
（压力）
3
3
11196
1114.141010.707100.7072001010010N F l l m mm E A = = 3
3
22296
2210101cos 450.404100.404701025010
N F l l m mm E A
= = o
（伸长）（缩短）
45o
A
（3）确定节点A 位移后的位置
令11
l AA 22
l AA 加载前，杆1和杆2在节点A 相连；加载后，各杆的长度虽然改变，但仍连接在一起。

因此，为了确定节点A 位移后的位置，可以B 与C 为圆心，并分别以BA 1与CA 2为半径画圆弧，其交点A’即为节点A 的新位置。

如图（b ）所示。

通常，杆件的变形很小，因此可近似地用切线代替。

于是，过A 1与
A 2分别作BA 1和CA 2的垂线，其交点A 3可视为节点A 的新位置。

45
o
1
l 2l （4）计算节点A 的位移
由图（c ）知，节点A 的水平和铅垂位移分别为
220.404Ax
AA l mm
= =12
445 1.404sin 45tan 45
Ay
l l AA A A mm
= + o ð
（
5）讨论
与结构原尺寸相比为很小的变形，称为小变形。

在小变形的条件下，通常可按结构原有几何形状和尺寸计算约束反力与内力，并可采用上述以切线代替圆弧的方法确定位移。

练习：图示结构由两杆组成，两杆长度均为l，B 点受垂直荷载P 作用。

（1）杆①为刚性杆，杆②抗拉压刚度为EA ，求节点B 的位移；（2）杆①、杆②抗拉压刚度均为EA，求节点B 的位移。

解：（1）取节点B 为研究对象，绘制受力图。

并求两杆内
力。

由平衡条件可解得：
1
2
2
N P
N
=
=
（2）绘节点B 的位移图，求解节点B 的位移。

12202l N l l EA EA
= （刚性杆）由节点位移图1可得节点B 的位移：
222B
Pl
l EA
=
节点B 位移图1
杆1不变形
（3）节点受力图同上，节点位移图2见图。

1122
2N l Pl l EA EA N l l EA EA
=
= 节点B 位移图2
杆1和杆2都变形
由节点位移图2可得节点B 的水平及垂直位移分别为：
12145cos45
23Bx
By
By By Pl
l EA
l l tg Pl Pl Pl EA EA EA
=
= + == +o
o
节点B 的总位移
22
22310B
Bx
By
Pl Pl Pl
BB EA EA EA
= =
+ ÷
节点B
位移图2
P
L 2
L 1
A
B
D
C
练习：已知AC 杆为刚性杆，BD 杆的横截面面积为A
，弹性模量为E 。

求A 点的竖直位移。

P
L 2
L 1A
B
D
C
()0
C M F =
)(sin 211=+ L L P L N BD 1
21sin )(L L L P N BD
+=
P
A
B C
N BD
L A
L B B'
A'
B'' L BD
L B
L BD
sin BD
B L L =
12
1
A B
L L L L L + =解:
BD BD BD
N L L EA
•轴向拉伸（压缩）强度计算和刚度计算小结
本章主要内容
引言
轴力与轴力图；
拉压杆的应力与圣维南原理；
材料在拉伸与压缩时的力学性能；
许用应力与强度条件；
胡克定律与拉压杆的变形；
简单拉压静不定问题；
连接部分的强度计算。

静定结构：当结构中所有未知力均能由静力平衡方程求得时，这种结构为静定结构。

静不定结构：仅由静力平衡方程不能求得结构中所有
未知力的结构称为静不定结构。

静定与静不定问题
P
2A
B
C
P
A
B C D
F CA
F BA
P
A F DA
静定结构
静不定结构
静不定问题的特点
结构外部或内部存在多余约束，未知力的数目比能列出的平衡方程数目要多，仅仅根据平衡方程不能求出全部未知力，必须根据变形条件和物理条件列出与多余约束数相同的补充方程；这类问题称为静不定问题。

多余约束的数目，称为静不定次数。

例：如图所示桁架，已知各杆件的物理参数如下
P
l
12
3
A
123123123
cos ,,,l l l l l A A A E E E = = = =解：以A 点为研究对象,受力图如图所示。

N 1
N 3
N 2
P
A
12
x F N N =
1230
()cos y F N N N P
= +
（一次超静定）
A `求：图示桁架各杆的内力。

列写静力平衡方程
P
l
12
3
A
A ` l 2
l 1
A
A'
l 3几何关系：3112
cos ,AA l l l l = = 物理方程： l N l E A i i i i i
=N N E A E A 131133
2
=cos
补充方程：联立求解可得
3
3
3113cos 21A E A E P
N +=
2
113
321cos cos
2A E A E P
N N +=
=讨论：若增大杆3的拉（压）刚度E 3A 3，N 3必然增大，N 1、N 2
将减小；若增大杆1或杆2的拉（压）刚度E 1A 1，N 3必然减小，N 1、N 2将增大。

静不定结构的第一个特点：
静不定结构中,各杆内力按杆刚度比分配，刚度越大的杆,内力越大；
静不定结构的第二个特点：
静不定结构在温度变化和制造误差等变形因素的影响下会引起应力。

温度变化引起的应力称为温度应力；制造误差引起的应力称为装配应力。

例：求图示两端固定等直杆的约束反力。

B
P a
b EA
EA
A
P
R A
R B
(1)
A B R R P
解：属于一次静不定问题。

需要考虑变形协调条件，建立补充方程，联立求解。

平衡方程:
解除两端约束,以约束反力代替
变形协调条件：0
l
B
B
N A N R F R F ==21,1212,N N F a F b l l E A E A
=
物理方程:
补充方程：
0(2)A B R a R b
EA EA
+ 联立方程（1）和（2）得：
,
A B Pa
Pb
R R a b
a b
= =
+ 120
l l l = 变形协调条件：0
l 将物理方程代入变形协调条件中得：
其中：P a
b EA
EA
A
P
R
A
R B
例2-12杆1和杆2的弹性模量均为E,横截面积均为A,梁BD为刚体,载荷F=50kN,许用拉应力[t]=160MPa,许用压应力[c]=120MPa.确定杆的横截面面积.
拉杆
根据最大轴力和拉压杆强度
计算杆件的最小横截面面积
计算各杆轴力
压杆
列写静力平衡方程
列写变形协调方程
受力分析图
2245sin 021=× ×+×°=
l F l F l F M N N B
D
C
2l 1
l C C
C
°
45C C D D l = = 221
2l C C = 变形分析图
例：两杆EA相同，水平杆为刚性杆。

杆②比设计长度l短了δ，求安装后两杆的内力和应力。

解法一：（1）绘制受力图，列静力平衡方程。

根据实际情况，杆②在C 点安装后，杆②受拉，杆①
受压，受力图如图示。

受力图一
()
12120
202A M N a N a N N a = × = 静力平衡方程
：
（2）绘制变形几何关系图如图所示。

12
2l l = 即：
()122N l N l
b EA EA
= 根据图可得变形协调方程为：
变形几何关系图一
= + 2
l
（3）求解内力和应力
12225555I II EA E N l
l EA E N l
l
=
=
联立(a)、(b)可得：
()()
121222N N a N l N l
b EA EA
=
=
()
12120
20
2'A M N a N a N N a = × + =0 解法二：（1）若不清楚两杆是受拉还是受压，可
先假定两杆均受拉。

绘制出受力图二，列静力平衡方程。

受力图二
根据变形几何关系图二可列出变形协调方程为
122l l
= 即：
()122'N l N l
b EA EA
= （2）绘变形几何关系图二
变形几何关系图二
+ = 2
l
N 1的负号表示与假设拉力不符，杆①应是受压力。

12225555I II EA E N l
l EA E N l
l
=
=
联立(a ’)、(b ’)可解得：
（3）求解内力和应力
()()12122'2'N N a N l N l
b E A E A
+
=
=0
a
a
例阶梯钢杆的上下两端在T 1=5℃时被固定,上下两
段的面积为 1=5cm 2， 2=1 cm 2，当温度升至
T 2=25℃时,求各杆的温度应力弹性模量E =200GPa,线膨胀系数 =12.5×10-61/°C
a
a
N
1
N 2
（2）变形方程
解：（1）平衡方程
= =0
21N N Y 0
= = N T L L L a
a
N 1
N 2
2
211 ; 2EA a
N EA a N L T a L N T +
=
= 温度变形轴力变形。