2024中考备考：《中考考前最后一卷》(重庆卷)(全解全析)

2024年中考考前最后一卷
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1 ）
A B ．1.7C ．0D ．1
-【答案】A
【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①p 类，
如2p ，3p
等；②开方开不尽的数，③虽有规律但却是无限不循环的小数，如0.1010010001L （两个1之间依次增加1个0），0.2121121112L （两个2之间依次增加1个1）等．
是无理数，故选：A ．
2．下列四个图形中，属于中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【分析】根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【详解】解：选项A 、B 、D 均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项C 能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，故选：C ．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．下列运算正确的是（ ）A ．632
x x x ¸=B ．325
a a a ×=
C ．()3
3
26x x =D ．322
54a a a -=【答案】B
【分析】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算、合并同类项．直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则、合并同类项法则分别化简，进而得出答案．【详解】解：A 、6332x x x x ¸=¹，故此选项不合题意；B 、325a a a ×=，故此选项符合题意；C 、()3
33286x x x =¹，故此选项不合题意；
D 、35a 和24a 不是同类项，无法合并，故此选项不合题意．故选：B ．
4．如图，ABC V 和A B C ¢¢¢V 是以点O 为位似中心的位似图形，点A 在线段OA ¢上．若12OA AA ¢=∶∶，则ABC V 与A B C ¢¢¢V 的周长之比为（ ）
A ．1∶2
B ．1∶3
C ．1∶9
D ．3∶1
【答案】B
【分析】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质．根据位似变换的概念得到ABC A B C ¢¢¢∽△△，AB A B ¢¢∥，得到AOB A OB ¢¢∽△△，根据相似三角形的性质求出
AB
A B ¢¢
，再根据相似三角形的周长比等于相似比解答即可．
【详解】解：∵12OA AA ¢=∶∶，∴13OA OA
¢=∶∶，∵ABC V 和A B C ¢¢¢V 是以点O 为位似中心的位似图形，∴ABC A B C ¢¢¢∽△△，AB A B ¢¢∥，∴
1
3
AB OA A B OA ==¢¢¢，∴ABC V 与A B C ¢¢¢V 的周长之比为1:3，故选：B ．
5．估算的结果在（）
A．4和5之间B．3和4之间C．2和3之间D．1和2之间
【答案】C
【分析】先根据二次根式的混合运算法则进行计算，再估计大小即可．
【详解】解：2
==，
∵161825
<<，
∴45
<，
∴3
2<2<，
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算和无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键．
6．如图是用棋子摆成的图案，按照这样的规律摆下去，第⑪个图案需要的棋子个数为（）
A．133B．91C．109D．111
【答案】A
【分析】根据图形的变化归纳出第n个图案需要的黑色棋子个数为21
n n
++，即可求解．
【详解】解：由图知，第1个图案中棋子的个数为2
+=++，
12111
第2个图案中棋子的个数为2
+=++ ,
43221
第3个图案中棋子的个数为2
+=++，
94331
第4个图案中棋子的个数为2
+=++，
165441
第n个图案需要棋子个数为21
++，
n n
\第⑪个这样的图案需要棋子个数为2
++=
11111133
故选：A
【点睛】此题考查图形的变化规律，根据图形的变化归纳出第n个图案需要的棋子个数为21
n n
++是解题关键．
7．每年8月8日是我国全民健身日，据有关部门统计，我省某市居民8月份第一周人均运动时长为4小时，第三周人均运动时长为4.84小时，若设人均运动时长周平均增长率为x ，依题意可列方程（ ）
A ．()2
41 4.84
x
+=B ．()2
4.8414
x
+=C ．()2
41 4.84x +=D ．()2
4.8414
x +=【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．根据第一周人均运动时长(1´+周平均增长率2)=第三周人均运动时长列出方程即可．【详解】解：由题意可得：()2
41 4.84x +=，
故选C ．
8．如图，V ABC 内接于⊙O ，110,40ABC BCA Ð=°Ð=°，BD 为⊙O 的直径，且BD ＝2，则DC ＝（ ）
A ．1
B ．1
2
C D 【答案】C
【分析】根据三角形内角和定理求得A Ð，根据同弧所对的圆周角相等可得30D A Ð=Ð=°，根据直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求得DC 的长【详解】解：Q 110,40ABC BCA Ð=°Ð=°
30A \Ð=° BC
BC =Q \30D A Ð=Ð=°
BD Q 为⊙O 的直径，
90BCD \Ð=°
在Rt BCD △，30D Ð=°， BD ＝2，
\1
2
BC BD =
=1
DC \==故选C
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，求得30D A Ð=Ð=°是解题的关键．
9．如图，在正方形ABCD 中，边AB 、AD 上分别有E ，F 两点，AE DF =，BP 平分CBF Ð交CD 于点P ．若CPB a Ð=，则CEB Ð的度数为（ ）
A ．90a °-
B ．a
C ．1802a °-
D ．1
902
a
°-【答案】C
【分析】本题考查正方形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，先根据直角三角形两锐角互余、角平分线的定义求出21802CBF CBP a Ð=Ð=°-，再根据平行线的性质推出1802AFB CBF a Ð=Ð=°-，最后证明BAF △()SAS CBE ≌V ，即可得出1802BEC AFB a Ð=Ð=°-．
【详解】解：Q 四边形ABCD 是正方形，
\AB BC AD DC ===，90A EBC BCD Ð=Ð=Ð=°，
Q AE DF =，
\AB AE AD DF -=-，即AF BE =，
Q CPB a Ð=，
\9090CBP CPB a Ð=°-Ð=°-，
Q BP 平分CBF Ð，
\21802CBF CBP a Ð=Ð=°-，
Q 正方形ABCD 中，AD BC ∥，
\1802AFB CBF a Ð=Ð=°-．
在BAF △和CBE △中，
AB BC A CBE AF BE =ìï
Ð=Ðíï=î
，\BAF △()SAS CBE ≌V ，\1802BEC AFB a Ð=Ð=°-．
即CEB Ð的度数为1802a °-．故选C ．
10．对于关于,x y 的多项式22,A x mxy nx B y mxy ny =-+=--（m n 、为常数），下列结论正确的个数有（ ）
①当1m n ==时，若0A =，则10x y -+=；
②无论y 取任何实数，等式26B y y =+都恒成立，则()2
36mx n +=；
③当1,4m n ==时，若7A B +=
，则2x y -=；④当0,2m n ==
21
452
A x +
--=，则3x =．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B
【分析】本题考查解一元二次方程，二次根式的性质等知识，掌握运算法则是解题的关键．根据整式的加减运算法则、绝对值的性质、二次根式的性质即可求出答案．【详解】解: ①当1m n ==时，2A x xy x =-+，若0A =，则20x xy x -+=，∴()10x x y -+=，
即10x y -+=或0x =，故①错误；
②()22
6B y mx n y y y =-+=+，
∴()6mx n -+=，
∴()2
36mx n +=，故②正确；③当1,4m n ==时，
222447A B x xy y x y +=-++-=，即()()2
470x y x y -+--=，将x y -看作一个整体，
解得：2x y -=-③正确；
④当0,2m n ==时,22A x x =+, 21
452
A x --=，
2
212452
x x x +--=，
1
2452
x -=即125x x ++-=，
当1x <-时，125x x --+-=，解得：2x =-，
当12x -££时，125x x ++-=，此方程无解；当2x >时，125x x ++-=，解得：3x =，
∴3x =或2-，故④错误；综上分析可知，正确的有2个．故选：B ．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）11．2
2013(4)3p -æö
+---=ç÷èø
．
【答案】1
【分析】根据实数的性质化简即可求解．
【详解】2
2
13(4)3p -æö
+---=ç÷èø1111
9
9+-=故答案为：1．
【点睛】此题主要考查实数的混合运算，解题的关键是熟知负指数幂的运算法则．
12．把三张形状、大小相同但画面不同的风景图片，都按同样的方式剪成相同的两片，然后堆放到一起混合洗匀，从这堆图片中随机抽出两张，这两张图片恰好能组成一张原风景图片的概率是
．
【答案】1
5
．
【详解】解：用A 、a 、B 、b 、C 、c 表示三张不同的风景图片按同样的方式剪成相同的六片、其中A 与a 、B 与b 、C 与c 为同一张风景图片剪成相同的两片，画树状图为：
共有30种等可能的结果数，其中这两张图片恰好能组成一张原风景图片的结果数为6，所以这两张图片恰好能组成一张原风景图片的概率=
61=305
故答案为：1
5
．
13．如图，在五边形ABCDE 中，∠D ＝120°，与∠EAB 相邻的外角是80°，与∠DEA ，∠ABC 相邻的外角都是60°，则∠C 为
度．
【答案】80
【分析】利用邻补角的定义分别求出∠DEA ，∠ABC ，∠EAB 的度数；再利用五边形的内角和为540毒，可求出∠C 的度数．
【详解】解：∵与∠EAB 相邻的外角是80°，与∠DEA ，∠ABC 相邻的外角都是60°，∴∠DEA ＝180°－60°＝120°，∠ABC ＝180°－60°＝120°，∠EAB ＝180°－80°＝100°；五边形的内角和为（5－2）×180°＝540°；∴∠C ＝540°－120°－120°－120°－100°＝80°．故答案为：80．
【点睛】此题考查了多边形内角和的性质，涉及了邻补角的定义，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．14．如图，已知反比例函数k
y x
=
（k 为常数，0k ¹）的图象经过点A ，过A 点作AB x ^轴，垂足为B ．若AOB V 的面积为4，则k =
．
【答案】8
-【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据反比例函数比例系数的几何意义得到
42
AOB k
S =
=△，据此可得答案．【详解】解：∵反比例函数k
y x
=（k 为常数，0k ¹）的图象经过点A ，AB x ^轴，∴42
AOB k
S =
=△，∵反比例函数k
y x
=的图象进过第二象限，∴8k =-，故答案为：8-．
15．如图，在扇形OAB 中，90O Ð=°，C 是OA 的中点，D 是 AB 的中点，点E 在 AB 上，点F 在OB 上，四边形OCEF 是矩形，连接CD ．若2OA =，则阴影部分的面积为
．（结果保留p ）
【答案】
2
p
+
【分析】连接OD 、OE ，作DH ⊥OA 于H ，根据D 是 AB 的中点可得∠AOD=∠BOD=45°，继而可得△HDO 为等腰直角三角形，求出DH ，即可求得△COD 的面积和扇形BOD 的面积，最后根据S 阴影=S △COD+S
扇形DOB-S 矩形OCEF 即可求出阴影部分的面积．【详解】如图，连接OD ，作DH ⊥OA 于H ，
∵D 是 AB 的中点，∴∠AOD=∠BOD ，∵∠AOB=90°，∴∠AOD=∠BOD=45°，
∴2DH OH ==
=，∵点C 为OA 的中点，∴11
2122
OC OA ==´=，
∴CE ===，
∴11
122COD
S OC DH D =×=´=
S 扇形BOD=245213602p p ´=，S 矩形
∴S 阴影=S △COD+S 扇形DOB-S 矩形1
2
p ，
1
2
p ．【点睛】本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式：2
360
n R S p =
．16．如图，在矩形ABCD 中，6,8AB BC ==，点E 为AB 上一点，将BCE V 沿CE 翻折至FCE △，延长CF 交AB 于点O ，交DA 的延长线于点 G ，且EF AG =，则BE 的长为
．
【答案】
2411/2211
【分析】由折叠可知90,,8B CFE BE EF BC CF ÐÐ==°===，通过“AAS ”易证明EFO GAO V V ≌，得到,OF OA OE OG ==．于是AE FG =．设BE x =，则,6EF AG x AE FG AB BE x ====-=-，进而可得
8,14DG x CG x =+=-．在Rt CDG △中，利用勾股定理建立方程，求解即可．
【详解】∵四边形ABCD 为矩形，6,8AB BC ==∴6,8,90AB CD BC AD B D ÐÐ======°．
由折叠可知：90,,8B CFE BE EF BC CF ÐÐ==°===．∴90EFO GAO Ð=°=Ð．
在EFO △和GAO V 中，FOE AOG EFO GAO
EF AG Ð=Ðìï
Ð=Ðíï=î∴(AAS)EFO GAO V V ≌∴,OF OA OE OG ==，∴OF OG OA OE +=+，∴AE FG =，
设BE x =，则,6EF AG x AE FG AB BE x ====-=-．∴8,8614DG AD AG x CG CF FG x x =+=+=+=+-=-．在Rt CDG △中，222CD DG CG +=，即2226(8)(14)x x ++=-解得：2411
x =
故答案为：
2411
．【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，利用全等三角形的性质得出AE FG =是解题关键．17．如果m 满足关于x 的分式方程
3111x m
x x
=---的解为正整数，且使得关于x 的一次函数37y x m =--+不
过第三象限，则所有满足条件的整数m 的值的和为 ．
【答案】12
【分析】先解出分式方程及确定一次函数不经过第三象限的取值范围，再求出m 的正整数解，最后求和即可．
【详解】∵一次函数37y x m =--+不过第三象限，
∴70m -+³，解得：7m £，由
3111x m
x x
=---，
3111
x m x x -=--，
31x m x -=-，
1
2
m x -=
，要使分式方程有意义，则1x ¹，即1
12
m -¹，解得：3m ¹，∵分式方程x 的解为正数，∴
1
02
m ->，解得：1m >，∴17m <£且3m ¹，
则由题意可知：m 的正整数解为：5,7，
∴所有满足条件的整数m 的值的和为：5712+=．故答案为：12．
【点睛】此题考查了一次函数的图象与系数的关系以及分式方程的解，解题的关键是熟练解分式方程和确定一次函数()0y kx b k =+¹图象不过第三象限时k b ，的取值．
18．如果一个四位自然数abcd 的各数位上的数字均不为0，且满足ba dc cb +=，则称这个四位数为“乘风破浪数”，例如：四位数3296，∵236992+=，∴3296是“乘风破浪数”．则1341 （填“是”或“不是”）“乘风破浪数”；若一个“乘风破浪数”的前三个数字组成的三位数abc 和后两个数字组成的两位数cd 的差，再减去2c 能被8整除，则满足条件的“乘风破浪数”的最大值为 ．
【答案】
不是
8131
【分析】本题考查新定义运算，理解新定义概念；根据“乘风破浪数”的概念进行判断，根据“乘风破浪数”的概念先求得99100a b c d +-+=, 然后根据题意列出的数能被8整除的数的特征分析满足条件的数即可．【详解】∵31144543+=¹，∴1341不是“乘风破浪数”.故答案为：不是；
∵abcd 是一个乘风破浪数，ba dc cb +=∴101010b a d c c b +++=+，即99100
a b c d +-+=∵一个“乘风破浪数”的前三个数字组成的三位数abc 和后两位数组成的两位数cd 的差，再减去2c 能被8整除，∴10010(10)2a b c c d c ++-+-10010102a b c c d c =++---1001011a b c d
=+--()()()12848283a b c d =´+++-+-∴423a b c d +--能被8整除，∵9109a c d b =--∴423a b c d
+--()4910923c d b b c d
=--+--36403623c d b b c d =--+--334134c d b
=--()()()481581482c d b
=´+-´+-´+∴2c d b --能被8整除，且a b c d ¹¹¹, 191919a b c ££££££，
，,19d ££,当8c =，1b =，则7d =，9109817092a c d b =--=--=，则2197，
b 为其他数时，不合题意，舍去；
当8c =，1b =，则6d =，9109726093a c d b =--=--=，则3186当7c =，1b =，则5d =，9109635094a c d b =--=--=，则4175当6c =，1b =，则4d =，9109544095a c d b =--=--=，则5164当5c =，1b =，则3d =，9109453096a c d b =--=--=，则6153当4c =，1b =，则2d =，9109362097a c d b =--=--=，则7142当3c =，1b =，则1d =，9109271098a c d b =--=--=，则8131当2c =，1b =，则8d =，则9109188090a c d b =--=--<，舍去综上所述，最大值为8131．
三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（10分）化简(1)()()2
24a b b a b -++；
(2)2
74339m m m m -æ
ö+-¸ç÷--èø．【答案】(1)2245a b +(2)2712
m m ++【分析】此题考查了整式的混合运算和分式的混合运算，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键．（1）利用完全平方公式和单项式乘以多项式法则展开，再进行加减运算即可；（2）先计算括号内的分式减法，再计算分式除法即可．【详解】（1）()()
2
24a b b a b -++2224444a ab b ab b =-+++22
45a b =+（2）2
74339m m m m -æ
ö+-¸ç÷--èø
()()()()3374
3333m m m m m m m +-éù-=-¸
êú--+-ëû()()()()
44333
4
m m m m m m +-+-=
×--()()
43m m =++2712
m m =++20．（8分）如图，已知ABC V ，BD 平分ABC Ð．
(1)用尺规完成以下基本作图：作BD 的垂直平分线交AB 于点E ，交BC 于点F ，交BD 于点G ，连接DE ，DF ．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）(2)求证：四边形BFDE 是菱形．
证明：∵BD 平分ABC Ð∴①
∵EF 垂直平分BD ∴BE DE =，GB GD =∴1EDB Ð=Ð∴2EDB Ð=Ð∴②
在BGF V 和DGE △中，2EDB GB GD
BGF DGE Ð=Ðìï
=íïÐ=Ðî∴BGF DGE ≌△△（ASA ）∴③∵BF ED
∥∴四边形BFDE 是平行四边形∵④
∴平行四边形BFDE 是菱形【答案】(1)见解析
(2)①∠1=∠2，②BF ED ∥，③BF =DE ，④BE DE
=【分析】（1）根据要求作出图形即可，作BD 的垂直平分线交AB 于点E ，交BC 于点F ，交BD 于点G ，连接DE ，DF ；
（2）证明BGF DGE ≌△△（ASA ），然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．【详解】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：∵BD 平分ABC Ð∴∠1=∠
2
∵EF 垂直平分BD ∴BE DE =，GB GD =∴1EDB Ð=Ð∴2EDB Ð=Ð∴②BF ED
∥在BGF V 和DGE △中，2EDB GB GD
BGF DGE Ð=Ðìï
=íïÐ=Ðî∴BGF DGE ≌△△（ASA ）∴③BF =DE ∵BF ED
∥∴四边形BFDE 是平行四边形∵BE DE
=∴平行四边形BFDE 是菱形．
故答案为：①∠1=∠2，②BF ED ∥，③BF =DE ，④BE DE =．
【点睛】本题考查了作垂直平分线，线段垂直平分线的性质，菱形的判定，全等三角形的性质与判定，平行线的判定，综合运用以上知识是解题的关键．
21．（10分）法律是社会的温度，青少年要学会尊重法律．为了宣传普法知识，我校在普法宣传日中开展了法律知识竞赛，现从该校七、八年级中各抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（x 表示竞赛成绩，x 取整数）：A ．95100x ££；B ．9095x £<；C ．8590x £<；D ．8085x £<，下面给出了部分信息：
七年级抽取20名学生的竞赛成绩在B 组中的数据为：93，92，92，93，90，93；
八年级抽取20名同学竞赛成绩数据为：80，81，82，85，86，88，88，92，93，93，94，95，96，96，96，96，96，97，97，99．
七年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 八年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级平均分中位数众数
七年级91.5b93
八年级91.593.5c
请根据相关信息，回答以下问题：
(1)=a______，b=______，c=______，并补全八年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握法律知识较好？请说明理由（写一条理由即可）；
(3)该校七年级有600人，八年级有800人参加了此次竞赛活动，请估计参加此次竞赛活动成绩优秀(90)
x³
的学生人数是多少？
【答案】(1)25，91，96，图形见解析
(2)八年级法律知识较好，理由见解析
(3)参加此次竞赛活动成绩优秀的人数为850人
【分析】本题考查中位数、众数、用样本估计总体以及条形统计图，理解中位数、众数的意义，掌握用样本估计总体的方法是正确解答的关键．
（1）用B组人数除以样本容量可得B组所占百分比，进而得出a的值；根据中位数的定义可得b的值；根据众数的定义可得c的值；求出C组人数后，即可补全条形统计图；
（2）从中位数、众数的角度比较得出结论；
（3）分别计算七年级、八年级优秀人数即可．
¸=，
【详解】（1）由题意可知，B组占比为62030%
\=---=，
%125%20%30%25%
a
25a \=；
把七年级20名同学竞赛成绩从大到小排列排在第10和第11个数是92，90，故中位数9290
912
b +==；八年级20名同学竞赛成绩中96出现的次数最多，故众数96
c =；八年级抽取20名同学竞赛成绩中C 组人数为4人，补全条形统计图如下：
故答案为：25，91，96；
（2）八年级成绩较好，理由如下：
八年级学生成绩的中位数、众数都比七年级的高；（3）685600(25%)8002020
+´+
+´330520
=+850=（人)，
答：估计参加此次竞赛活动成绩优秀(90)x ³的学生人数是850人．
22．（10分）喜迎熊猫丫丫回国，重庆一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶600个．工作5天后还未加工完，于是增加了工人人数，增加工人后每天加工玩偶的个数比增加前多加工20个，又加工了两天才完成了任务．
(1)求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数；
(2)由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶1000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工1
4
，结果提前2天完成任务，求乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数．
【答案】(1)增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为100个(2)乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数为50个
【分析】本题考查了一元一次方程的应用、分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程及一元一次方程是解此题的关键．
（1）设甲车间增加前每天加工熊猫玩偶的个数为x 个，则增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为
()20x +个，根据“工作5天后还未加工完，于是增加了工人人数，增加工人后每天加工玩偶的个数比增加
前多加工20个，又加工了两天才完成了任务”，列出方程，解方程即可得到答案；
（2）设乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数为x 个，则改进技术后每天加工玩偶的个数为114x æö
+ç÷èø个，
根据“提前2天完成任务”，列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设甲车间增加前每天加工熊猫玩偶的个数为x 个，则增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为()20x +个，
由题意得：()5220600x x ++=，解得：80x =，
208020100x \+=+=个，
\增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为100个；
（2）解：设乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数为x 个，则改进技术后每天加工玩偶的个数为114x
æö+ç÷èø个，
由题意得：
10005005002114x x x æöç÷
ç÷-+=æöç÷+ç÷ç
÷èøèø，解得：50x =，
经检验，50x =是原方程的解，
\乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数为50个．
23．（10分）如图，四边形ABCD 中，,90,3,24AD BC B AB BC AD Ð=°===∥．点P 从C 出发，沿着折线CB BA ®运动，到达点A 停止运动．设点P 运动速度为2，时间为x ，连接DP ，记DPC △的面积为y ，请
解答下列问题：
(1)直接写出y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)结合图象，当DPC △的面积不大于四边形ABCD 面积的4
9
时，直接写出x 的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过0.2）
【答案】(1)()302721022y x x y x x ì=££ï
íæ
ö=-+<£ç÷ïèøî
(2)图见详解，在02x ££，y 随x 的增大而增大（有理即可）(3)当DPC △的面积不大于四边形ABCD 面积的
4
9
时，x 的取值范围为0 1.3x ££或3 3.5x ££．【分析】（1）当点P 在BC 上时，11
32322
y AB CP x x =
×=´´=，当点P 在AB 上时，()111222y AD BC AB AD AP BC BP æö
=
+´-×+×ç÷èø
，进而可求解；（2）根据（1）中表达式画函数图象即可，在02x ££，y 随x 的增大而增大（有理即可）．（3）()441
2434992
DPC ABCD S S £
=´+´=四边形△，当点P 在BC 上时，34y x =£，当点P 在AB 上时，2104y x =-+£，进而可解答；
【详解】（1）解：当点P 在BC 上时，11
32322
y AB CP x x =×=´´=，当点P 在AB 上时，()111222y AD BC AB AD AP BC BP æö
=+´-×+×ç÷èø
，
即()()()1112434242324210222y x x x éù=
+´-´×-+´×-+=-+êúëû
，∴()
302721022y x x y x x ì=££ïíæö=-+<£ç÷ïèøî
．
（2）根据（1）中表达式画函数图象如下：
在02x ££，y 随x 的增大而增大．（3）()441
2434992
DPC ABCD S S £
=´+´=四边形△，当点P 在BC 上时，34y x =£，即4
3
x £，∴403
x ££
，当点P 在AB 上时，2104y x =-+£，即3x ³，∴732
x ££
，∴当DPC △的面积不大于四边形ABCD 面积的
4
9
时，x 的取值范围为0 1.3x ££或3 3.5x ££．【点睛】本题主要考查一次函数的应用，正确写出函数关系式是解本题的关键．
24．（10分）如图，某工厂准备开发一块四边形ABCD 的空地，点C 在点D 的南偏东45°方向上，点A 在
点D 的北偏东60°方向上，点B 在点A 的正东方向，点C 在点B 的正南方向．已知2AB =千米，CD =
千米．（参考数据：
1.414» 1.732»）
(1)如果要在空地四周建立防护栏，需要多少千米的防护栏？（精确到0.1千米）
(2)该工厂计划用380万元改造该地块，如果每平方千米的改造费用为20万元，通过计算，判断改造费用是否充足？
【答案】(1)需要19.3千米的防护栏(2)改造费用充足，计算见详解
【分析】（1）过点D 作BC 的垂线段，交BC 于点F ，过点A 作DF 的垂线段，交DF 于点E ，根据题意可得45,906030FDC ADE Ð=°Ð=°-°=°，解直角三角形求出,AD BC 的值，即可解答；（2）根据（1）求得数据，求出四边形ABCD 的面积，即可解答．
【详解】（1）解：如图，过点D 作BC 的垂线段，交BC 于点F ，过点A 作DF 的垂线段，交DF 于点E ，
据题意可得45,906030FDC ADE Ð=°Ð=°-°=°
，sin sin 45FC FDC DC \Ð=°==
5FC DF \==
=千米，90AEF EFB B Ð=Ð=Ð=°Q ，
\四边形AEFB 为矩形，
2EF AB \==千米，3DE DF EF \=-=
千米，
cos cos30DE ADE AD \Ð=°=
=
AD \=
=
1
2
BF AE AD \==
=，\四边形ABCD
的周长719.3AB BF FC CD DA =++++=+»千米，
答：需要19.3千米的防护栏；
（2）解：四边形ABCD
的面积25
18.5622
ADE DFC AEFB S S S =++=+»矩形△△平方千米，18.56220371.24380´=<Q ，
\判断改造费用充足．
【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练画出正确的辅助线是解题的关键．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2
13
y x bx c =-++交x 轴于3,0,()(,0)4A B -两点，交y 轴于
点C ．
(1)求抛物线的表达式；(2)直线39
44
y x =
+与直线BC 交于点E ．点(,0)M m 是线段AB 上的动点，过点M 作x 轴的垂线，交直线AE 于点G ，交抛物线于点F ，交直线BC 于点H ．①若点F 在第二象限，且22
27
EFG OEG S S =
V V ，求m 的值；②在平面内是否存在点P ，使得以点E 、F 、H 、P 为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)21
14
3
3
y x x =-++(2)①1
4-或1-．②
存在；æçè
或æçè
【分析】（1）根据待定系数法列出方程组即可求出抛物线的表达式；（2）①利用22
27
EFG OEG S S =
V V ，用m 和抛物线及一次函数的解析式表示出FG 的长度，解出m 即可求出答案；②先根据直线AD 与直线BC 相交于点E 求出E 点坐标，再根据题意当四边形EFHP 是正方形，利用正方形四个角都是直角且四条边都相等求出F 点的坐标及EF 的长度，再根据坐标求解即可．【详解】（1）解：Q 抛物线2
13y x bx c =-++经过3,0,()(,0)4A B -两点，
33016403
b c b c --+=ìï
\í-+==ïî，解得134b c ì
=ïí
ï=î，
\抛物线的表达式为211433
y x x =-++．
（2）①如图1，过点O 作OR AD ^于点R ，过点F 作FQ AD ^于点Q ，
设直线AD 与y 轴交点为N ．
(,0)M m Q ，直线FG
x ^轴，
3
9,44G m m æö\+ç÷èø，211,433F m m m æö-++ç÷èø，
2113
94334
4FG m m m æö\=-++-+ç÷èø21573124m m =--+，
由一次函数3944y x =
+，当0x =时，94y =，则点N 坐标为90,4æö
ç÷èø
，
在Rt AON △中，3OA =，9
4
ON =
，154
AN \==
，11
22
AON S OA ON AN OR =×=×V Q ，
93941554
OA ON OR AN ´
×\==
=．12EFG S EG FQ =
×V Q ，1
2OEG S EG OR =×V ，2227
EFG OEG
S S =V V 1221
2272
EG FQ EG OR \×=´×，2222
2715
FQ OR \=
=．FGQ AGM Ð=ÐQ ，MH 平行于
y 轴，
AGM ANO \Ð=Ð，
FGQ ANO \Ð=Ð，
4
sin sin 5
FQ OA FGQ ANO FG AN \Ð=
=Ð==，11465
FQ FG \=
=，21571131246m m \--+=，
解得11m =-，214
m =-．
m \的值为1
4
-或1-．
②存在．点P
的坐标为æçè
或æçè．
如图2，
Q B （4,0），C （0,4），
\直线BC 的解析式为：4y x =-+，
联立直线AD 与直线BC 的方程得：39
444
x x +=-+，
解得1x =，
\E （1,3）．
若四边形EFHP 是正方形，则3F E y y ==，
2114333x x \-+
+=，解得
x =，
1F ö
\÷
，2F ö÷ø
，
Q 1
1EF =，
1
EP \=13P
y \=1P æ\ççè，
=
2EP \=2
3P y \=
2P æ\ççè．
\点P 的坐标为æçè或æçè．
【点睛】本题考查了二次函数、一次函数、正方形等综合知识点，难度较大，本题第（2）问中的第1小问通过面积比列出FG 关于m
的方程是解题的关键，第2小问通过正方形的性质进行讨论即可解题，对于二次函数的综合题型要学会结合数形结合的方法解题．
26．（10分）如图所示，在等腰三角形ADE 中，AD ED =，120ADE Ð=°，等边
ABC V 边长为4，连接CE ．
(1)如图①，若CAD EAB Ð=Ð，AD =CE ；
(2)如图②，取CE 中点F ，连接BF BD ，，猜想线段BF 与BD 之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)在（2）的条件下，连接CD ，将ADE V 沿AB 翻折得11AD E △，连接1D B ，若1AD =，则当1D B 最小时，求
CF
CD
的值．
【答案】(1)CE =
(2)BF =，理由见解析；(3)
CF CD
【分析】（1）作1EF AC ^于点1F ，作DG AE ⊥于点G ，先求得2AE AG ==153045CAE Ð=°+°=°，再利用等腰直角三角形的性质求得113AF EF ==，据此求解即可；
（2）连接DF 并延长至M ，使FM DF =，连接CM BM 、，延长AD 交CM 于点N ，交BC 于点H ，证明()SAS CFM EFD ≌△△和()SAS BAD BCM ≌△△，推出BDM V 是等边三角形，据此求解即可；
（3）推出当1A D B 、、共线时，1D B 最小，此时点1D D 、重合，且都在线段AB 上，求得90CAE Ð=°，利用
勾股定理求得CE =C 作CK AB ^于点K ，利用勾股定理求得CD =，据此求解即可．【详解】（1）解：过点E 作1EF AC ^于点1F ，过点D 作DG AE ⊥于点G ，
∵AD ED =，120ADE Ð=°，∴30DAE DEA Ð=Ð=°，AG EG =，
∴12DG AD =
=
AG ==，
∴2AE AG ==∵CAD EAB Ð=Ð，ABC V 是等边三角形，∴6030152
CAD EAB °-°
Ð=Ð=
=°，∴153045CAE Ð=°+°=°，
∴1AEF △是等腰直角三角形，
∴113AF EF AE ==
=，∴1431CF =-=，
在1Rt CEF △中，CE ==
（2）解：BF =
，理由如下，连接DF 并延长至M ，使FM DF =，连接CM BM 、，延长AD 交CM 于点N ，交BC 于点H ，
∵点F 是CE 中点，∴CF EF =，
∴()SAS CFM EFD ≌△△，
∴CM DE AD ==，MCF DEF Ð=Ð，∴CM DE ∥，
∴18060CND NDE ADE Ð=Ð=°-Ð=°，∵CHA HCN CNH HAB ABC Ð=Ð+Ð=Ð+Ð，∴BCM BAD Ð=Ð，∵BA BC =，
∴()SAS BAD BCM ≌△△，∴BD BM =，ABD CBM Ð=Ð，∴60MBD CBA Ð=Ð=°，∴BDM V 是等边三角形，∵FM DF =，∴BF DM ^，∴30DBF Ð=°，
∴2BD DF =，BF =，
∴BF =
；（3）解：过点D 作DG AE ⊥于点G ，
∵AD ED =，120ADE Ð=°，∴30DAE DEA Ð=Ð=°，AG EG =，
∴1122DG AD =
=，AG ==，
∴2AE AG ==点1D 在以点A 为圆心，1为半径的圆上，当1A D B 、、共线时，1D B 最小，此时点1D D 、重合，且都在线段AB 上，
90CAE CAB DAE Ð=Ð+Ð=°，
∴CE ==，
∴12CF CE ==
过点C 作CK AB ^于点K ，则2AK BK ==，CK ==∴1DK AK AD =-=，
∴CD ==
∴CF
==
CD
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的
判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．。