初二数学上学期第二次月考试卷

初二数学上学期第二次月考试卷
一、选择题
1．已知一元二次方程2330p p --=，2330q q --=，则p q +的值为（ ） A ．3-
B ．3
C ．3-
D ．3
2．若关于x 的方程 ()2
m 110x mx -+-= 是一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m 1≠. B ．m 1=. C ．m 1≥ D ． m 0≠. 3．已知圆锥的底面半径为5cm ，母线长为13cm ，则这个圆锥的全面积是（ ） A ．265cm π
B ．290cm π
C ．2130cm π
D ．2155cm π
4．为了比较甲乙两足球队的身高谁更整齐，分别量出每人身高，发现两队的平均身高一样，甲、乙两队的方差分别是1.7、2.4，则下列说法正确的是（ ） A ．甲、乙两队身高一样整齐 B ．甲队身高更整齐
C ．乙队身高更整齐
D ．无法确定甲、乙两队身高谁更整齐
5．函数y=(x+1)2-2的最小值是（ ） A ．1
B ．－1
C ．2
D ．－2
6．一元二次方程x 2－x ＝0的根是（ ） A ．x ＝1
B ．x ＝0
C ．x 1＝0，x 2＝1
D ．x 1＝0，x 2＝－1
7．如图，若二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）图象的对称轴为x=1，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、点B （﹣1，0），则 ①二次函数的最大值为a+b+c ； ②a ﹣b+c ＜0； ③b 2﹣4ac ＜0；
④当y ＞0时，﹣1＜x ＜3，其中正确的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．如图，点A 、B 、C 均在⊙O 上，若∠AOC ＝80°，则∠ABC 的大小是（ ）
A ．30°
B ．35°
C ．40°
D ．50°
9．一个扇形的半径为4，弧长为2π，其圆心角度数是（ ）
A ．45
B ．60
C ．90
D ．180
10．某天的体育课上，老师测量了班级同学的身高，恰巧小明今日请假没来，经过计算得知，除了小明外，该班其他同学身高的平均数为172cm ，方差为k 2cm ，第二天，小明来到学校，老师帮他补测了身高，发现他的身高也是172cm ，此时全班同学身高的方差为
'k 2cm ，那么'k 与k 的大小关系是（ ）
A ．'k k >
B ．'k k <
C ．'k k =
D ．无法判断
11．cos60︒的值等于（ ） A ．
12
B ．
22
C ．
32
D ．
33
12．下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（ ） A ．都含有一个40°的内角 B ．都含有一个50°的内角 C ．都含有一个60°的内角
D ．都含有一个70°的内角
13．如图物体由两个圆锥组成，其主视图中，90,105A ABC ︒︒∠=∠=．若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（ ）
A ．2
B ．3
C ．
32
D ．2
14．已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，CM 是它的中线，以C 为圆心，5cm 为半径作⊙C ，则点M 与⊙C 的位置关系为( ) A ．点M 在⊙C 上
B ．点M 在⊙
C 内
C ．点M 在⊙C 外
D ．点M 不在⊙C 内
15．受益于电子商务发展和法治环境改普等多重因素，“快递业”成为我国经济发展的一匹“黑马”，2018年我国快递业务量为600亿件，预计2020年快递量将达到950亿件，若设快递平均每年增长率为x ，则下列方程中，正确的是（ ） A ．600（1+x ）＝950 B ．600（1+2x ）＝950 C ．600（1+x ）2＝950
D ．950（1﹣x ）2＝600
二、填空题
16．如图，点A 、B 、C 是⊙O 上的点，且∠ACB ＝40°，阴影部分的面积为2π，则此扇形的半径为______．
17．关于x 的一元二次方程20x a +=没有实数根，则实数a 的取值范围是 ．
18．若a 是方程223x x =+的一个根，则代数式263a a -的值是______. 19．如图，已知正六边形内接于O ，若正六边形的边长为2，则图中涂色部分的面积为
______.
20．如图，若抛物线2
y ax h =+与直线y kx b =+交于()3,A m ，()2,B n -两点，则不等
式2ax b kx h -<-的解集是______.
21．如图，四边形的两条对角线AC 、BD 相交所成的锐角为60︒，当8AC BD +=时，四边形ABCD 的面积的最大值是______.
22．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点P ，若∠P ＝40°，则∠ADC ＝____°．
23．二次函数y ＝x 2﹣bx +c 的图象上有两点A （3，﹣2），B （﹣9，﹣2），则此抛物线的对称轴是直线x ＝________．
24．已知关于x 的一元二次方程x 2+mx+n=0的两个实数根分别为x 1=-1，x 2=2 ，则二次函数y=x 2+mx+n 中，当y ＜0时，x 的取值范围是________；
25．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点O ，则tan ∠AOD=________.
26．如图，在边长为4的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 是AD 边的中点，点N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN ，连接A′C ，则线段A′C 长度的最小值是______．
27．甲、乙两人在100米短跑训练中，某5次的平均成绩相等，甲的方差是0.12，乙的方差是0.05，这5次短跑训练成绩较稳定的是_____．（填“甲”或“乙”） 28．设1x 、2x 是关于x 的方程2350x x +-=的两个根，则
1212x x x x +-•=__________．
29．已知二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠，y 与x 的部分对应值如下表所示：
x
… -1 0 1 2 3 4 … y
…
6
1
-2
-3
-2
m
…
下面有四个论断：
①抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(23)-，
； ②240b ac -=；
③关于x 的方程2=2ax bx c ++-的解为12=13x x =，； ④=3m -．
其中，正确的有___________________．
30．如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠BCD ＝90°，AB +AD ＝8cm ．当BD 取得最小值时，AC 的最大值为_____cm ．
三、解答题
31．如图，AB BC =，以BC 为直径作O ，AC 交O 于点E ，过点E 作EG AB ⊥于
点F ，交CB 的延长线于点G .
（1）求证：EG 是O 的切线；
（2）若23GF =，4GB =，求O 的半径.
32．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，矩形DEFG 的顶点G 、F 分别在边AC 、BC 上，D 、E
在边AB 上．
（1）求证：△ADG ∽△FEB ；
（2）若AD ＝2GD ，则△ADG 面积与△BEF 面积的比为 ．
33．如图，在△ABC 中，点D 是边AB 上的一点，∠ADC ＝∠ACB ． （1）证明：△ADC ∽△ACB ；
（2）若AD ＝2，BD ＝6，求边AC 的长．
34．一家医院某天出生了3个婴儿，假设生男生女的机会相同，那么这3个婴儿中，出现1个男婴、2个女婴的概率是多少？
35．在矩形ABCD 中，3AB =，5AD =，E 是射线DC 上的点，连接AE ，将ADE ∆沿直线AE 翻折得AFE ∆．
（1）如图①，点F 恰好在BC 上，求证：ABF ∆∽FCE ∆；
（2）如图②，点F 在矩形ABCD 内，连接CF ，若1DE =，求EFC ∆的面积； （3）若以点E 、F 、C 为顶点的三角形是直角三角形，则DE 的长为 ．
四、压轴题
36．如图①，A （﹣5，0），OA ＝OC ，点B 、C 关于原点对称，点B （a ，a +1）（a ＞0）． （1）求B 、C 坐标； （2）求证：BA ⊥AC ；
（3）如图②，将点C 绕原点O 顺时针旋转α度（0°＜α＜180°），得到点D ，连接DC ，问：∠BDC 的角平分线DE ，是否过一定点？若是，请求出该点的坐标；若不是，请说明理由．
37．问题提出
（1）如图①，在ABC 中，2,6,135AB AC BAC ==∠=，求ABC 的面积．
问题探究
（2）如图②，半圆O 的直径10AB =，C 是半圆AB 的中点，点D 在BC 上，且
2CD BD =，点P 是AB 上的动点，试求PC PD +的最小值．
问题解决
（3）如图③，扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ，在边OA 上选点E ，在边OB 上选点F ，求PE EF FP ++的长度的最小值．
38．如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，0是BC 边上一点，以O 为圆心的半圆与AB 边相切于点D ，与BC 边交于点E 、F ，连接OD ，已知BD=3，tan ∠BOD=34
，CF=83．
（1）求⊙O 的半径OD ； （2）求证：AC 是⊙O 的切线； （3）求图中两阴影部分面积的和．
39． 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，P 为边BC 上一个动点（可以包括点C 但不包括点B ），以P 为圆心PB 为半径作⊙P 交AB 于点D 过点D 作⊙P 的切线交边AC 于点E ，
（1）求证：AE=DE ； （2）若PB=2，求AE 的长；
（3）在P 点的运动过程中，请直接写出线段AE 长度的取值范围．
40．如图，正方形ABCD 中，点O 是线段AD 的中点，连接OC ，点P 是线段OC 上的动点，连接AP 并延长交CD 于点E ，连接DP 并延长交AB 或BC 于点F ， （1）如图①，当点F 与点B 重合时，
DE
DC
等于多少； （2）如图②，当点F 是线段AB 的中点时，求DE
DC
的值； （3）如图③，若DE CF ，求
DE
DC
的值.
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
x x-=的两根,再利用韦达定理即可求解.
根据题干可以明确得到p,q是方程2330
【详解】
x x-=的两根,
解：由题可知p,q是方程2330
∴3,
故选B.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念,韦达定理的应用,熟悉韦达定理的内容是解题关键.
2．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义可得m﹣1≠0，再解即可．
【详解】
由题意得：m﹣1≠0，
解得：m≠1，
故选A．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
3．B
解析：B
【解析】
先根据圆锥侧面积公式：S rl π=求出圆锥的侧面积，再加上底面积即得答案. 【详解】
解：圆锥的侧面积=251365cm ππ⨯⨯=，所以这个圆锥的全面积=2265590cm πππ+⨯=. 故选：B. 【点睛】
本题考查了圆锥的有关计算，属于基础题型，熟练掌握圆锥侧面积的计算公式是解答的关键.
4．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据方差的意义可作出判断，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】
∵S 2甲=1.7，S 2乙=2.4， ∴S 2甲＜S 2乙， ∴甲队成员身高更整齐； 故选B. 【点睛】
此题考查方差，掌握波动越小，数据越稳定是解题关键
5．D
解析：D 【解析】 【分析】
抛物线y=(x+1)2-2开口向上，有最小值，顶点坐标为(-1，-2)，顶点的纵坐标-2即为函数的最小值. 【详解】
解：根据二次函数的性质，当x=-1时，二次函数y=(x+1)2-2的最小值是-2. 故选D. 【点睛】
本题考查了二次函数的最值.
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
利用因式分解法解方程即可解答.
x2－x＝0
x(x-1)=0,
x=0或x-1=0,
∴x1＝0，x2＝1.
故选C.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法——因式分解法，熟知用因式分解法解一元二次方程的方法是解决问题的关键.
7．B
解析：B
【解析】
分析：直接利用二次函数图象的开口方向以及图象与x轴的交点，进而分别分析得出答案．
详解：①∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，且开口向下，
∴x=1时，y=a+b+c，即二次函数的最大值为a+b+c，故①正确；
②当x=﹣1时，a﹣b+c=0，故②错误；
③图象与x轴有2个交点，故b2﹣4ac＞0，故③错误；
④∵图象的对称轴为x=1，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），
∴A（3，0），
故当y＞0时，﹣1＜x＜3，故④正确．
故选B．
点睛：此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出A点坐标是解题关键．
8．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据圆周角与圆心角的关键即可解答.
【详解】
∵∠AOC＝80°，
∴
1
2
ABC AOC4.
故选：C.
【点睛】
此题考查圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半. 9．C
解析：C
【解析】
根据弧长公式即可求出圆心角的度数．
【详解】
解：∵扇形的半径为4，弧长为2π， ∴42180
n ππ⨯=
解得：90n =，即其圆心角度数是90︒
故选C ．
【点睛】 此题考查的是根据弧长和半径求圆心角的度数，掌握弧长公式是解决此题的关键．
10．B
解析：B
【解析】
【分析】
设该班的人数有n 人，除小明外，其他人的身高为x 1，x 2……x n-1，根据平均数的定义可知：算上小明后，平均身高仍为172cm ，然后根据方差公式比较大小即可．
【详解】
解：设该班的人数有n 人，除小明外，其他人的身高为x 1，x 2……x n-1，
根据平均数的定义可知：算上小明后，平均身高仍为172cm 根据方差公式：()()()22212111721721721n k x x x n -⎡⎤=-+-++-⎣⎦- ()()()()2222'1211172172172172172n x x k x n -⎡⎤=-+-++-+-⎣⎦ ()()()2221211172172172n x x x n -⎡⎤=
-+-++-⎣⎦
∵
111n n <- ∴()()()()()()222222121121111721721721721721721n n x x x x x x n n --⎡⎤⎡⎤-+-++-<-+-++-⎣
⎦⎣⎦
-即'k k <
故选B ．
【点睛】 此题考查的是比较方差的大小，掌握方差公式是解决此题的关键．
11．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据特殊角的三角函数值解题即可．
解：cos60°=1 2 .
故选A.
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值.
12．C
解析：C
【解析】
试题解析：因为A,B,D给出的角40,50,70可能是顶角也可能是底角，所以不对应，则不能判定两个等腰三角形相似；故A，B，D错误；
C. 有一个60的内角的等腰三角形是等边三角形，所有的等边三角形相似，故C正确.
故选C.
13．D
解析：D
【解析】
【分析】
先证明△ABD为等腰直角三角形得到∠ABD＝45°，BD AB，再证明△CBD为等边三
角形得到BC＝BD AB，利用圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，从而得到下面圆锥的侧面积．
【详解】
∵∠A＝90°，AB＝AD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴∠ABD＝45°，BD AB，
∵∠ABC＝105°，
∴∠CBD＝60°，
而CB＝CD，
∴△CBD为等边三角形，
∴BC＝BD AB，
∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，
∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，
×1．
故选D．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质．14．A
解析：A
【分析】
根据题意可求得CM的长，再根据点和圆的位置关系判断即可．
【详解】
如图，
∵由勾股定理得22
，
68
∵CM是AB的中线，
∴CM=5cm，
∴d=r，
所以点M在⊙C上，
故选A．
【点睛】
本题考查了点和圆的位置关系，解决的根据是点在圆上⇔圆心到点的距离=圆的半径．15．C
解析：C
【解析】
【分析】
设快递量平均每年增长率为x，根据我国2018年及2020年的快递业务量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】
设快递量平均每年增长率为x，
依题意，得：600(1+x)2=950．
故选：C．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二、填空题
16．3
【解析】
【分析】
根据圆周角定理可求出∠AOB的度数，设扇形半径为x，从而列出关于x的方
程，求出答案.
【详解】
由题意可知：∠AOB＝2∠ACB＝2×40°＝80°，
设扇形半径为x，
故阴
解析：3
【解析】
【分析】
根据圆周角定理可求出∠AOB的度数，设扇形半径为x，从而列出关于x的方程，求出答案.
【详解】
由题意可知：∠AOB＝2∠ACB＝2×40°＝80°，
设扇形半径为x，
故阴影部分的面积为πx2×80
360
＝
2
9
×πx2＝2π，
故解得：x1＝3，x2＝－3（不合题意，舍去），
故答案为3.
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理以及扇形的面积求解，解本题的要点在于根据题意列出关于x 的方程，从而得到答案.
17．a＞0．
【解析】
试题分析：∵方程没有实数根，∴△=﹣4a＜0，解得：a＞0，故答案为a＞0．考点：根的判别式．
解析：a＞0．
【解析】
试题分析：∵方程20
x a
+=没有实数根，∴△=﹣4a＜0，解得：a＞0，故答案为a＞0．考点：根的判别式．
18．9
【解析】
【分析】
根据方程解的定义，将a代入方程得到含a的等式，将其变形，整体代入所求的代数式.
【详解】
解：∵a是方程的一个根，
∴2a2=a+3,
∴2a2-a=3,
∴.
故答案为：9
解析：9
【解析】
【分析】
根据方程解的定义，将a 代入方程得到含a 的等式，将其变形，整体代入所求的代数式.
【详解】
解：∵a 是方程223x x =+的一个根，
∴2a 2=a+3,
∴2a 2-a=3,
∴()
2263=32339a a a a --=⨯=.
故答案为：9.
【点睛】
本题考查方程解的定义及代数式求值问题，理解方程解的定义和整体代入思想是解答此题的关键. 19．【解析】
【分析】
根据圆的性质和正六边形的性质证明△CDA ≌△BDO ，得出涂色部分即为扇形A OB 的面积，根据扇形面积公式求解.
【详解】
解：连接OA,OB,OC,AB,OA 与BC 交于D 点
∵正 解析：23
π 【解析】
【分析】
根据圆的性质和正六边形的性质证明△CDA ≌△BDO ，得出涂色部分即为扇形AOB 的面积，根据扇形面积公式求解.
【详解】
解：连接OA,OB,OC,AB,OA 与BC 交于D 点
∵正六边形内接于O ,
∴∠BOA=∠AOC=60°,OA=OB=OC=4,
∴∠BOC=120°，OD ⊥BC,BD=CD
∴∠OCB=∠OBC=30°,
∴OD=112
2
OB OA DA , ∵∠CDA=∠BDO,
∴△CDA ≌△BDO,
∴S △CDA =S △BDO ,
∴图中涂色部分的面积等于扇形AOB 的面积为：260223603
ππ⨯=. 故答案为：23
π.
【点睛】
本题考查圆的内接正多边形的性质，根据圆的性质结合正六边形的性质将涂色部分转化成扇形面积是解答此题的关键.
20．【解析】
【分析】
观察图象当时，直线在抛物线上方，此时二次函数值小于一次函数值，当或时，直线在抛物线下方，二次函数值大于一次函数值，将不等式变形，观察图象确定x 的取值范围，即为不等式的解集.
【
解析：23x -<<
【解析】
【分析】
观察图象当23x -<<时，直线在抛物线上方，此时二次函数值小于一次函数值，当2x <-或3x >时，直线在抛物线下方，二次函数值大于一次函数值，将不等式变形，观察图象确定x 的取值范围，即为不等式的解集.
【详解】
解：设21y ax h =+，2y kx b =+，
∵2ax b kx h -<-
∴2ax h kx b +<+，
∴12y y <
即二次函数值小于一次函数值，
∵抛物线与直线交点为()3,A m ，()2,B n -，
∴由图象可得，x 的取值范围是23x -<<.
【点睛】
本题考查不等式与函数的关系及函数图象交点问题，理解图象的点坐标特征和数形结合思想是解答此题的关键.
21．【解析】
【分析】
设AC=x,根据四边形的面积公式，，再根据得出，再利用二次函数最值求出答案.
【详解】
解：∵AC 、BD 相交所成的锐角为
∴根据四边形的面积公式得出，
设AC=x ，则BD=8-
解析：【解析】
【分析】
设AC=x,根据四边形的面积公式，1S sin 602AC BD =⨯⨯︒，再根据sin 602
︒=得出
()1 S 82x x =-. 【详解】
解：∵AC 、BD 相交所成的锐角为60︒ ∴根据四边形的面积公式得出，1S sin 602AC BD =
⨯⨯︒ 设AC=x ，则BD=8-x
所以，())21S 842x x x =-=-+
∴当x=4时，四边形ABCD 的面积取最大值
故答案为：
【点睛】
本题考查的知识点主要是四边形的面积公式，熟记公式是解题的关键.
22．115°
【解析】
【分析】
根据过C 点的切线与AB 的延长线交于P 点，∠P=40°，可以求得∠OCP 和∠OBC 的度数，又根据圆内接四边形对角互补，可以求得∠D 的度数，本题得以解决．
【详解】
解：连
解析：115°
【解析】
【分析】
根据过C点的切线与AB的延长线交于P点，∠P=40°，可以求得∠OCP和∠OBC的度数，又根据圆内接四边形对角互补，可以求得∠D的度数，本题得以解决．
【详解】
解：连接OC，如右图所示，
由题意可得，∠OCP=90°，∠P=40°，
∴∠COB=50°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=65°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠D+∠ABC=180°，
∴∠D=115°，
故答案为：115°．
【点睛】
本题考查切线的性质、圆内接四边形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
23．-3
【解析】
【分析】
观察A（3，﹣2），B（﹣9，﹣2）两点坐标特征，纵坐标相等，可知A,B两点关于抛物线对称轴对称，对称轴为经过线段AB中点且平行于y轴的直线. 【详解】
解：∵ A（3，﹣
解析：-3
【解析】
【分析】
观察A（3，﹣2），B（﹣9，﹣2）两点坐标特征，纵坐标相等，可知A,B两点关于抛物线对称轴对称，对称轴为经过线段AB中点且平行于y轴的直线.
【详解】
解：∵ A（3，﹣2），B（﹣9，﹣2）两点纵坐标相等，
∴A,B两点关于对称轴对称，
根据中点坐标公式可得线段AB的中点坐标为(-3,-2)，
∴抛物线的对称轴是直线x= -3.
【点睛】
本题考查二次函数图象的对称性及对称轴的求法，常见确定对称轴的方法有，已知解析式
则利用公式法确定对称轴，已知对称点利用对称性确定对称轴，根据条件确定合适的方法求对称轴是解答此题的关键.
24．-1＜x＜2
【解析】
【分析】
根据方程的解确定抛物线与x轴的交点坐标，即可确定y＜0时，x的取值范围. 【详解】
由题意得：二次函数y=x2+mx+n与x轴的交点坐标为（-1，0），（2，0），
解析：-1＜x＜2
【解析】
【分析】
根据方程的解确定抛物线与x轴的交点坐标，即可确定y＜0时，x的取值范围.
【详解】
由题意得：二次函数y=x2+mx+n与x轴的交点坐标为（-1，0），（2，0）， ，开口向上，
∵a=10
∴y＜0时，x的取值范围是-1＜x＜2.
【点睛】
此题考查二次函数与一元二次方程的关系，函数图象与x轴的交点横坐标即为一元二次方程的解，掌握两者的关系是解此题的关键.
25．2
【解析】
【分析】
首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：2，在Rt△OBF中，即可求
解析：2
【解析】
【分析】
首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：2，在Rt△OBF中，即可求得tan∠BOF的值，继而求得答案．
【详解】
如图，连接BE，
∵四边形BCEK是正方形，
∴KF=CF=1
2
CK，BF=
1
2
BE，CK=BE，BE⊥CK，
∴BF=CF，
根据题意得：AC∥BK，
∴△ACO∽△BKO，
∴KO：CO=BK：AC=1：3，∴KO：KF=1：2，
∴KO=OF=1
2
CF=
1
2
BF，
在Rt△PBF中，tan∠BOF=BF
OF
=2，
∵∠AOD=∠BOF，
∴tan∠AOD=2．
故答案为2
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．
26．【解析】
【分析】
【详解】
解：如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，
过点M作MF⊥DC于点F，
∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，
∴2
解析：2
【解析】
【分析】
【详解】
解：如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，
过点M作MF⊥DC于点F，
∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，
∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°，
∴∠FMD=30°，
∴FD=1
2
MD=1，
∴FM=DM×cos30°
∴
MC==，
∴A′C=MC﹣MA′=272
-．
-．
故答案为272
【点评】
此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识，得出A′点位置是解题关键．27．乙
【解析】
【分析】
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】
解：∵甲的方差为0
解析：乙
【解析】
【分析】
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】
解：∵甲的方差为0.14，乙的方差为0.06，
∴S甲2＞S乙2，
∴成绩较为稳定的是乙；
故答案为：乙．
【点睛】
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
28．2
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系确定和，然后代入计算即可．
【详解】
解：∵
∴=-3, =-5
∴-3-(-5)=2
故答案为2．
【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系，牢记对于(a≠
解析：2
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系确定12x x +和12x x •，然后代入计算即可．
【详解】
解：∵2350x x +-=
∴12x x +=-3, 12x x •=-5
∴1212x x x x +-•=-3-(-5)=2
故答案为2．
【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系，牢记对于20ax bx c ++=(a≠0),则有：12b x x a +=-，12c x x a
•=是解答本题的关键． 29．①③．
【解析】
【分析】
根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数性质逐一判断即可.
【详解】
由二次函数y ＝ax2+bx+c （a≠0），y 与x 的部分对应值可知：
该函数图象是开口向上的抛
解析：①③．
【解析】
【分析】
根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数性质逐一判断即可.
【详解】
由二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0），y 与x 的部分对应值可知：
该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴是直线x=2，顶点坐标为（2，-3）；与x 轴有两个交点，一个在0与1之间，另一个在3与4之间；当y=-2时，x=1或x=3；由抛物线的对称性可知，m=1；
∴①抛物线y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的顶点为（2，-3），结论正确；
②b 2﹣4ac ＝0，结论错误，应该是b 2﹣4ac>0；
③关于x的方程ax2+bx+c＝﹣2的解为x1＝1，x2＝3，结论正确；
④m＝﹣3，结论错误，
其中，正确的有. ①③
故答案为：①③
【点睛】
本题考查了二次函数的图像，结合图表信息是解题的关键.
30．【解析】
【分析】
设AB＝x，则AD＝8﹣x，由勾股定理可得BD2＝x2+(8﹣x)2，由二次函数的性质可求出AB＝AD＝4时，BD的值最小，根据条件可知A，B，C，D四点在以BD为直径的圆上．
解析：42
【解析】
【分析】
设AB＝x，则AD＝8﹣x，由勾股定理可得BD2＝x2+(8﹣x)2，由二次函数的性质可求出AB＝AD＝4时，BD的值最小，根据条件可知A，B，C，D四点在以BD为直径的圆上．则AC为直径时最长，则最大值为42．
【详解】
解：设AB＝x，则AD＝8﹣x，
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴BD2＝x2+(8﹣x)2＝2(x﹣4)2+32．
∴当x＝4时，BD取得最小值为42．
∵A，B，C，D四点在以BD为直径的圆上．如图，
∴AC为直径时取得最大值．
AC的最大值为2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了四边形的对角线问题，掌握勾股定理和圆内接四边形的性质是解题的关键．三、解答题
31．（1）见解析；（2）O的半径为4.
【解析】
【分析】
(1) 连接OE ，利用AB=BC 得出A C ∠=∠，根据OE=OC 得出，OEC C ∠=∠，从而求出OE AB ，再结合EG AB ⊥即可证明结论；
(2)先利用勾股定理求出BF 的长，再利用相似三角形的性质对应线段比例相等求解即可.
【详解】
解：(1)证明：连接OE .
∵AB BC =∴A C ∠=∠
∵OE OC =∴OEC C ∠=∠
∴A OEC ∠=∠∴OE AB ∵BA GE ⊥，∴OE EG ⊥，且OE 为半径 ∴EG 是O 的切线
(2)∵BF GE ⊥∴90BFG ∠=︒
∵23GF =4GB =∴222BF BG GF =
-=
∵BF OE ∥∴BGF OGE ∆∆∽ ∴
BF BG OE OG =∴244OE OE
=+ ∴4OE =即O 的半径为4. 【点睛】
本题考查的知识点是切线的判定与相似三角形的性质，根据题目作出辅助线，数形结合是解题的关键.
32．（1）证明见解析；（2）4.
【解析】
【分析】
（1）易证∠AGD=∠B ，根据∠ADG=∠BEF=90°，即可证明△ADG ∽△FEB ；
（2）相似三角形的性质解答即可．
【详解】
（1）证明:∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵四边形DEFG 是矩形，
∴∠GDE=∠FED=90°，
∴∠GDA+∠FEB=90°，
∴∠A+∠AGD=90°，
∴∠B=∠AGD ，
且∠GDA=∠FEB=90°，
∴△ADG ∽△FEB ．
（2）解：∵△ADG ∽△FEB ， ∴
AD EF DG BE
=, ∵AD ＝2GD, ∴
2AD DG
=, ∴224ADG FEB S S ==. 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，求证△ADG ∽△FEB 是解题的关键．
33．（1）见解析; （2）4.
【解析】
【分析】
（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明；
（2）利用相似三角形的对应边对应成比例列式求解即可．
【详解】
（1）证明：∵∠A ＝∠A ，∠ADC ＝∠ACB ，
∴△ADC ∽△ACB ．
（2）解：∵△ADC ∽△ACB ，
∴
AC AB
＝AD AC ，AB=AD+DB=2+6=8 ∴AC 2＝AD•AB ＝2×8＝16，
∵AC ＞0，
∴AC ＝4．
【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．灵活运用相似三角形的性质进行几何计算．
34．3
8
【解析】
【分析】
本题先利用树状图，求出医院某天出生了3个婴儿的8中等可能性，再求出出现1个男婴、2个女婴有三种，概率为38
.
【详解】
解：用树状图来表示出生婴儿的情况，如图所示．
在这8种情况中，一男两女的情况有3种，则概率为38．
【点睛】
本题利用树状图比较合适，利用列表不太方便．一般来说求等可能性，只有两个层次，既可以用树状图，又可以用列表；有三个层次时，适宜用树状图求出所有的等可能性．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
35．（1）见解析；（2）EFC ∆的面积为
513；（3）53、5、155(345)-【解析】
【分析】
（1）先说明∠CEF=∠AFB 和90B C ∠=∠=，即可证明ABF ∆∽FCE ∆；
（2）过点F 作FG DC ⊥交DC 与点G ，交AB 于点H ，则90EGF AHF ∠=∠=；再结合矩形的性质，证得△FGE ∽△AHF ，得到AH=5GF ；然后运用勾股定理求得GF 的长，最后运用三角形的面积公式解答即可；
（3）分点E 在线段CD 上和DC 的延长线上两种情况，然后分别再利用勾股定进行解答即可．
【详解】
（1）解：∵矩形ABCD 中，
∴90B C D ∠=∠=∠=
由折叠可得90D EFA ∠=∠=
∵90EFA C ∠=∠=
∴90CEF CFE CFE AFB ∠+∠=∠+∠=
∴CEF AFB ∠=∠
在ABF ∆和FCE ∆中
∵AFB CEF ∠=∠，90B C ∠=∠=
∴ABF ∆∽FCE ∆
（2）解：过点F 作FG DC ⊥交DC 与点G ，交AB 于点H ，则90EGF AHF ∠=∠= ∵矩形ABCD 中，
∴90D ∠=
由折叠可得：90D EFA ∠=∠=，1DE EF ==，5AD AF ==
∵90EGF EFA ∠=∠=
∴90GEF GFE AFH GFE ∠+∠=∠+∠=
∴GEF AFH ∠=∠
在FGE ∆和AHF ∆中
∵,90GEF AFH EGF FHA ∠=∠∠=∠=
∴FGE ∆∽
AHF ∆ ∴EF GF FA AH
= ∴15GF AH
= ∴5AH GF =
在Rt AHF ∆中，90AHF ∠=
∵222AH FH AF +=
∴222(5)(5)5GF GF +-=
∴513
GF = ∴EFC ∆的面积为155221313
⨯⨯= （3）设DE=x ，以点E 、F 、C 为顶点的三角形是直角三角形，则：
①当点E 在线段CD 上时，∠DAE<45°，
∴∠AED>45°，由折叠性质得：∠AEF=∠AED>45°，
∴∠DEF=∠AED+∠AEF>90°，
∴∠CEF<90°，
∴只有∠EFC=90°或∠ECF=90°，
a,当∠EFC=90°时，如图所示:
由折叠性质可知，∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFE+∠EFC=90°，
∴点A，F，C在同一条线上，即：点F在矩形的对角线AC上，在Rt△ACD中，AD=5，CD=AB=3，根据勾股定理得，AC=34，由折叠可知知，EF=DE=x，AF=AD=5，
∴CF=AC-AF=34-5，
在Rt△ECF中，EF2+CF2=CE2，
∴x2+（34-5）2=（3-x）2，解得x=5(345)
-
即：DE=
5(345)
-
b,当∠ECF=90°时，如图所示: 点F在BC上，由折叠知，EF=DE=x，AF=AD=5，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得，22
AF AB
-，
∴CF=BC-BF=1，
在Rt△ECF中，根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2，
（3-x）2+12=x2,解得x=5
3
,即：DE=
5
3
；
②当点E在DC延长线上时，CF在∠AFE内部，而∠AFE=90°，∴∠CFE<90°，
∴只有∠CEF=90°或∠ECF=90°，
a、当∠CEF=90°时，如图所示
由折叠知，AD=AF=5，∠AFE=90°=∠D=∠CEF，
∴四边形AFED是正方形，
∴DE=AF=5；
b、当∠ECF=90°时，如图所示:
∵∠ABC=∠BCD=90°，
∴点F在CB的延长线上，
∴∠ABF=90°，由折叠知，EF=DE=x，AF=AD=5，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得，22
AF AB
-，∴CF=BC+BF=9，
在Rt△ECF中，根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2，
∴（x-3）2+92=x2，解得x=15，即DE=15，
故答案为345)
3
-
、
5
3
、5、15．
【点睛】
本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质、折叠的性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线构造相似三角形和直角三角形是解答本题的关键．
四、压轴题。