江西省宜春市上高二中2019-2020学年高二上学期第三次月考数学(理)试题 Word版含答案
2019-2020学年江西省宜春市上高县第二中学高一上学期第三次月考数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年江西省宜春市上高县第二中学高一上学期第三次月考数学（理）试题一、单选题1．已知全集{0,1,2,3,4,5}，集合{1,5}A =，集合{}2B =，则集合()U C A B È＝（ ） A ．{}0,2,3,4 B ．{}0,3,4C ．{}2D ．∅【答案】A【解析】根据补集与并集的定义与运算,即可求得()U C A B .【详解】全集{}0,1,2,3,4,5,集合{}1,5A = 则{}0,2,3,4U C A = 集合{}2B =所以(){}0,2,3,4U C A B ⋃= 故选:A 【点睛】本题考查了集合并集与补集的运算,属于基础题. 2．函数()lnf x x =+的定义域是（ ） A ．(0,2) B ．[0,2]C ．（2,+∞）D ．（0,+∞）【答案】C【解析】根据二次根式及分式有意义条件,及对数函数的定义域即可求得函数()f x 的定义域. 【详解】由二次根式及分式有意义条件,结合对数函数定义域可得20x x ->⎧⎨>⎩ 解不等式组可得2x >,即()2,x ∈+∞ 故选:C【点睛】本题考查了具体函数定义域的求法,二次根式、分式有意义的条件,对数函数定义域,属于基础题.3．设()4x f x e x =+-，则函数()f x 的零点位于区间（ ） A ．（-1，0） B ．（0，1）C ．（1，2）D ．（2，3）【答案】C【解析】利用判断零点所在区间的方法，验证区间端点值的正负即可.22(1)1430,(2)2420,(1)(2)0,f e e f e e f f =+-=-=+-=-∴<故选C.4．已知22,0(),0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则((1))f f -等于( )A ．12B ．14C ．18D ．116【答案】B【解析】根据分段函数定义域,先求得()1f -,再代入解析式即可求得()()1f f -的值.【详解】因为()22,0,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩则()11122f --==所以()()21111224f f f ⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选:B 【点睛】本题考查了分段函数的求值,根据自变量的取值范围确定代入的解析式,属于基础题. 5．当a ＞0，且a ≠1时，f （x ）=log a （x +2）+3的图象恒过定点P ，则点P 坐标为（ ） A ．()2,4- B ．()1,4-C ．()2,3-D ．()1,3-【答案】D【解析】令真数等于1，求出x 、y 的值，可得函数的图象经过定点的坐标． 【详解】当a ＞0，且a ≠1时，对于函数f （x ）＝log a （x +2）+3，令x +2＝1，求得x ＝﹣1，y ＝3，可得函数的图象经过定点（﹣1，3）．再根据它的的图象恒过定点P ，则点P 坐标为（﹣1，3）， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，属于基础题． 6．下列函数既不是奇函数又不是偶函数的是（ ） A ．sin 2y x = B ．1xx y e e=+C ．11y x x =-++D ．y x x =+【答案】D【解析】利用函数奇偶性的概念直接判断即可. 【详解】A 是奇函数，B 和C 都是偶函数，D 既不是奇函数又不是偶函数. 故选：D. 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，属基础题. 7．32cos()3π-=（ ）A ．12-B ．C ．12D ．2【答案】A【解析】根据诱导公式,化简后即可求值. 【详解】 由诱导公式可知32cos 3π⎛⎫- ⎪⎝⎭4cos 123ππ⎛=⎫- ⎪⎝⎭4cos cos 33πππ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1cos32π=-=- 故选:A【点睛】本题考查了诱导公式在三角函数化简求值中的简单应用,属于基础题. 8．下列函数的最小正周期为π的是（ ）A ．y =B ．sin ||y x =C ．|sin |y x =D ．1sin y x=【答案】C【解析】先判断函数是否为周期函数,再根据函数的图像确定最小正周期即可. 【详解】对于A, y =[]2,2,k k k Z πππ+∈,所以最小正周期为2π.对于B,sin y x =不是周期函数,所以B 错误. 对于C, sin y x =是将sin y x =的图像在x 轴以下的部分翻折到x 轴上方,所以sin y x =的最小正周期为π.对于D,由sin y x =的图像与性质可知1sin y x=的最小正周期为2π. 综上可知,最小正周期为2π的是C 故选:C 【点睛】本题考查了函数最小正周期的判断,根据函数图像的翻折对称即可判断,属于基础题. 9．已知0.9log 0.8a =， 0.50.6b =，0.60.5c =，那么a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b【答案】A【解析】根据指数函数与对数函数的图像和性质,即可比较函数值的大小. 【详解】根据指数函数与对数函数的图像与性质可知0.90.9log 0.8log 0.91a =>=,即1a > 0.50.60.60.6b >=,而1b < 0.60.60.50.6c <=,而1c <综上可知a b c >> 故选:A 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的图像和性质,根据函数的单调性比较大小,属于基础题.10．函数()2ln f x x x =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用函数的奇偶性排除一些选项，再利用特殊点的位置判断即可． 【详解】函数f （x ）=x 2ln|x |是偶函数，排除选项B ，D ；当x ＞1时，y ＞0，x ∈（0，1）时，y ＜0， 排除C ， 故选：A ． 【点睛】本题考查函数的图象的判断与应用，函数的奇偶性以及函数的特殊点的位置是解题常用方法．11．已知函数()sin lg f x x x =-，则函数()f x 的零点个数为（ ） A ．3 B ．5C ．6D ．7【答案】C【解析】根据函数零点定义,将函数化为sin lg x x =,由两个函数交点个数即可判断零点个数. 【详解】因为1sin 1x -≤≤,lg 10lg 101=-= 画出函数图像如下图所示:由图像可知,两个函数共有6个交点 函数()sin lg f x x x =-的零点个数为6 故选:C 【点睛】本题考查了函数零点个数的判断方法,画出函数图像,结合解析式判断函数的最值,属于基础题.12．平面内如果A,B 都在函数()f x 的图像上，而且满足A,B 两点关于原点对称，则称点对（A,B )是函数()f x 的“相关对称点”（注明:点对（A,B )与（B,A )看成同一个“相关对称点”）.已知函数20()60x e x f x x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则这个函数的“相关对称点”有（ ）个 A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】在坐标系中画出分段函数,将其中小于等于0的函数图像关于原点中心对称;与大于0的图像有几个交点,即“相关对称点”就有几个. 【详解】函数()2060x e x f x x x x ⎧-≤=⎨->⎩ 画出函数解析式如下图所示:根据题意, “相关对称点”关于原点中心对称.所以将小于等于0的函数(),0xf x e x =-≤的图像关于原点中心对称,可得图像如下图所示:由图像可知,变换后,两个图像仅有1个交点所以函数()2060x e x f x x x x ⎧-≤=⎨->⎩的“相关对称点”有1个故选:B 【点睛】本题考查了函数新定义的应用,由函数解析式对函数图像进行变形,结合函数性质解决问题,属于中档题.二、填空题13．已知扇形的弧长是半径的4倍，扇形的面积为8，则该扇形的半径为_________ 【答案】2.【解析】根据扇形的面积公式,弧长与半径的关系即可求得扇形的半径. 【详解】 设扇形的半径为r则扇形的弧长为4r ,由扇形面积为8 则由扇形面积公式可得1842r r =⨯⨯ 解得2r = 故答案为:2 【点睛】本题考查了扇形面积公式的简单应用,属于基础题.14．函数()f x =的单调减区间是____________【答案】7[,]()312k k k Z ππππ++∈. 【解析】根据二次根式有意义条件可知sin 206x π⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭,结合正弦函数单调区间求法即可得()f x 的单调递减区间. 【详解】函数()f x =则sin 206x π⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭,即222,6k x k k Z ππππ≤-≤+∈ 解得ππππk x k k +≤≤+∈Z 7,1212又由正弦函数的单调递减区间可得3222,262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈ 解得5,36k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 即7,12125,36k x k k Z k x k k Z ππππππππ⎧+≤≤+∈⎪⎪⎨⎪+≤≤+∈⎪⎩所以7123k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 即函数()f x =()7,,123k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦故答案为: ()7,,123k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查根据正弦函数的函数值求自变量取值范围,正弦函数单调区间的求法,属于基础题.15．函数()f x =2sin sin x x +的值域为_____________ 【答案】[1,3]-.【解析】根据解析式,讨论x 的取值范围.去绝对值后得函数解析式,根据解析式即可求得值域. 【详解】函数()f x =2sin sin x x +当22,k x k k Z πππ≤≤+∈时,0sin 1x ≤≤则()2sin sin 3sin f x x x x =+= 所以()[]0,3f x ∈当222,k x k k Z ππππ+<≤+∈时,1sin 0x -≤≤则()2sin sin sin f x x x x =-= 所以()[]1,0f x ∈-综上可知()f x =2sin sin x x +的值域为[]1,3- 故答案为：[]1,3- 【点睛】本题考查了正弦函数的图像与性质,根据自变量的取值范围去绝对值,属于基础题. 16．给出下列说法①函数2x y =与函数2log y x =互为反函数；②若集合{}2|440A x kx x =++=中只有一个元素，则1k =；③若2f x =-，则2()2f x x =-； ④函数2log (1)y x =-的单调减区间是(,1)-∞； 其中所有正确的序号是___________ . 【答案】①④.【解析】根据反函数定义可判断①;根据集合的概念与性质可判断②;根据函数解析式的求法,可判断③;根据对数复合函数单调性的求法,可判断④. 【详解】对于①,由反函数定义可知,函数2xy =与函数2log y x =互为反函数,所以①正确.对于②,集合{}2|440A x kx x =++=中只有一个元素,当0k =时,只有一个元素;当0k ≠时,满足24440k ∆=-⨯⨯=,解得1k =,所以当0k =或1k =时集合A 只有一个元素,所以②错误.对于③,若2f x =-,则()22f x x=- ,[)0,x ∈+∞,③没有给出定义域,所以③错误.对于④,()2log 1y x =-定义域为(),1-∞,由复合函数单调性判断可知()2log 1y x =-在(),1-∞上单调递减所以④正确. 综上可知,正确的为①④ 故答案为:①④ 【点睛】本题考查了反函数的定义,函数解析式求法,复合函数单调性的判断,元素个数的判断,综合性较强,属于基础题.三、解答题17．求下列各式的值：（1）210321()64(4)2π-++-（2）271log 27239341log ln lg7log log 10-+++⋅ 【答案】（1）18；（2）7【解析】（1）根据分数指数幂的化简运算,可得解. （2）由对数的运算,结合换底公式化简可得解. 【详解】（1）根据分数指数幂的运算,化简可得 ()122316442π-⎛⎫++- ⎪⎝⎭()())1213232411--=++-1611=+ 18=（2）根据对数运算,结合换底公式可得 271log 27239341log lg7log log 10-+++⋅ 771log 7log 213323233log 27log 3ln lg107log 2log 9log 2e --=+-++⨯ 773log 323233log 31117log 2log 322log 2=++++⨯ 317112222=++++7=【点睛】本题考查了分数指数幂与对数式的化简求值,计算过程较为繁琐,特别注意符号变换,属于基础题.18．已知集合{}|16A x x =-≤≤，集合{}|121B x m x m =-≤≤+.（1）当2m =时，求A B ，()R A C B I ;（2）若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{11x x -≤<或}56x <≤；（2）{2m m <-或502m ⎫≤≤⎬⎭ 【解析】（1）将2m =代入得集合B,根据交集和补集的运算即可求解.（2）因为A B A ⋃=,讨论集合B 是否为空集.根据集合的包含关系即可求得实数m 的取值范围.【详解】（1）当2m =时,{}15B x x =≤≤ ∴{}15A B x x ⋂=≤≤ {1R C B x x =<或}5x >∴(){11R A C B x x ⋂=-≤<或}56x <≤（2）∵A B A ⋃= B A ∴⊆当B =∅ 时,121m m ->+2m ∴<-当B ≠∅时11121216m m m m -≤-⎧⎪-≤+⎨⎪+≤⎩ 解得0252m m m ⎧⎪≥⎪≥-⎨⎪⎪≤⎩∴502m ≤≤. 综上所述,实数m 的取值范围为{2m m <-或502m ⎫≤≤⎬⎭. 【点睛】本题考查了集合交集与补集的运算,由集合的包含关系求参数的取值范围,特别注意空集的情况,属于基础题.19．已知函数2()sin 2,[4f x x x x θ=-⋅+∈- （1）当6πθ=-时，求函数()f x 的最值；（2）若函数()f x 为单调函数，求θ的取值范围.【答案】（1）min 31()16f x =，max ()f x =； （2）257[2,2][2,2]()3344k k k k k Z ππππππππ++++∈ 【解析】（1）将6πθ=-代入,可得函数()f x 的解析式.由自变量的取值范围,结合二次函数的性质即可求得函数()f x 的最值.（2）根据函数()f x 为单调函数,可知二次函数的对称轴不在,44x ⎡∈-⎢⎣⎦即可.由正弦函数的图像与性质,即可求得θ的取值范围.【详解】（1）当6πθ=-时,1sin 62π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭代入,可得()2122f x x x =++,4x ⎡∈-⎢⎣⎦则()2131416f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,x ⎡∈⎢⎣⎦ 所以当14x =-时()min 131416f x f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭当4x =时()max 35416f x f ⎛+== ⎝⎭（3）函数()2sin 2f x x x θ=-+,,44x ⎡∈-⎢⎣⎦对称轴为sin sin 22x θθ-=-=满足函数()f x 为单调函数则sin 24θ≤-或sin 24θ≥即sin 2θ≤-或sin 2θ≥ 由正弦函数的图像与性质可得572244k k πππθπ+≤≤+或22233k k πππθπ+≤≤+,k Z ∈ 即θ的取值范围为][()2572,22,23344k k k k k Z ππππθππππ⎡⎤∈++⋃++∈⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题考查了在特定区间内二次函数最值的求法,正弦函数的图像与性质的应用,属于基础题.20．已知函数()2(6)2log a x f x x a -=+,(0a >且)1a ≠. （1）若函数()f x 在[1,2]x ∈上恒有意义，求a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使函数()f x 在区间[]2,3上为增函数，且最大值为2？若存在求出a 的值，若不存在请说明理由.【答案】（1）()50,11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）3-. 【解析】（1）根据()f x 在[1,2]x ∈上恒有意义,则2260x ax -+>在[]1,2上恒成立.讨论对称轴的位置,即可求得a 的取值范围.（2）讨论01a <<与1a <两种情况,结合复函函数单调性即可判断是否符合单调递增.再根据最大值为2,代入a 的值,解方程即可求解.【详解】（1）函数()2(6)2log a x f x x a -=+在[1,2]x ∈上恒有意义即2260x ax -+>在[]1,2上恒成立令()226g x x ax =-+ 对称轴为x a =,开口向上当01a <<时,只需()10g >,即()11260g a =-+>,解得72a <,所以01a <<当12a <≤时,只需()0g a >,即()22260g a a a =-+>,解得a <,所以12a <≤当2a <时, 只需()20g >,即()24460g a =-+>,解得52a <,所以522a << 综上可知, a 的取值范围为()50,11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ （2）函数()226g x x ax =-+对称轴为x a =由复合函数单调性的性质可知:当01a <<时log a y x =为单调递减函数, ()226g x x ax =-+在[]2,3上为单调递增函数,所以()2(6)2log a x f x x a -=+在[]2,3上单调递减,不合题意 当1a <时, log a y x =为单调递增函数, 若()2(6)2log a x f x x a -=+在[]2,3上单调递增,则()226g x x ax =-+在[]2,3上为单调递增函数.所以由对称轴在[]2,3左侧可得12a <≤因为最大值为2,则()32f =即()966og 2l a a -+=即2966a a =-+,化简可得26150a a +-=解得3a =-+ 3a =--因为12a <≤所以3a =-+当3a =-+函数()f x 在区间[]2,3上为增函数，且最大值为2【点睛】本题考查了二次函数在区间内恒成立问题,复合函数单调性的判断与应用,函数最值的应用,属于中档题.21．设函数,0()2,0x ax b x f x x +≤⎧=⎨>⎩,且(2)1,(1)(1)2f f f -=--=- (1)求函数()f x 的解析式；(2)若1()()12f x f x +->,求x 的取值范围. 【答案】（1）1,0()2,0x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩；（2）1(,)4-+∞. 【解析】（1）由函数(),02,0x ax b x f x x +≤⎧=⎨>⎩可知()12f =,可求得()1f -的值,结合()21f -=-的值即可求得函数()f x 的解析式.（2）分别讨论0x ≤,102x <≤与12x <时对应的解析式,代入解不等式即可求得解集. 【详解】（1）函数(),02,0x ax b x f x x +≤⎧=⎨>⎩ 则()1122f == 所以()1220f -=-=因为()21f -=-则()()10221f a b f a b ⎧-=-+=⎪⎨-=-+=-⎪⎩,解得11a b =⎧⎨=⎩ 所以()1,02,0x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩（2）因为()1,02,0x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩当0x ≤时, 11022x -≤-<则()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭可化为()11112x x ⎛⎫++-+> ⎪⎝⎭,解得14x >-,所以014x -<≤ 当102x <≤,102x -≤则()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭可化为12112x x ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭,化简得1202x x +->,在102x <≤上恒成立,所以102x <≤ 当12x <时,()1 12f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭可化为12221x x -+>,在12x <上恒成立,所以12x <综上可知,()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭时x 的取值范围为1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【点睛】 本题考查了分段函数解析式的求法,分段函数与不等式的解法,注意分类讨论方法的应用,属于中档题.22．已知2()2(2)f x x mx m =+-+，()1x g x e =-（1）若0m =，求证：函数()()()(0)h x f x g x x =-<恰有一个负零点.（用图像证明不给分）（2）若函数()(())x f g x φ=恰有三个零点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）32m -<<-.【解析】（1）将0m =代入解析,可得()f x 的解析式,进而求得()h x 的解析式.可判断函数()h x 的单调性,由()3h -与()1h -的函数值可判断函数恰有一个负零点.（2）先求得()f x 的零点,根据函数()()()x f g x φ=的零点情况,可得()0g x =或()()2g x m =-+.画出()g x 的图像,根据图像即可求得实数m 的取值范围.【详解】()1当0m =则()22413(0)x xh x x e x e x =--+=--< 23y x =-在(),0-∞递减,x y e =-在(),0-∞递减()h x ∴在(),0-∞递减又()()3113930,1130h h e e-=-->-=--< ()h x ∴在(),0-∞仅有一个负零点()2由()0f x =,即()2220x mx m +-+=化简可得()()220x x m -++=解得2x =或()2x m =-+∴由()()0f g x =可得()2g x =或()()2g x m =-+作出()1xy g x e ==-的图像如下图所示:则()021m <-+<解得32m -<<-【点睛】本题考查了函数零点所在区间的判断,由函数零点个数求参数的取值范围,函数形式较为复杂,需要深刻理解和细心计算,属于中档题.。
2019-2020年高二上学期第三次月考数学试卷(理科) 含解析
2019-2020年高二上学期第三次月考数学试卷（理科）含解析一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．过点（﹣1，3）且与直线2x+y+3=0垂直的直线方程为（）A．x﹣2y+7=0 B．2x﹣y+5=0 C．x﹣2y﹣5=0 D．2x+y﹣5=02．双曲线﹣=1的焦点到其渐近线距离为（）A．1 B． C． D．23．下列说法不正确的是（）A．若“p且q”为假，则p，q至少有一个是假命题B．命题“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是““∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”C．当a＜0时，幂函数y=x a在（0，+∞）上单调递减D．“φ=”是“y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件4．在空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，则等于（）A．﹣+B．﹣++C． D．5．下列命题中正确命题的个数是（）①过空间任意一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；②过空间任意一条直线有且仅有一个平面与已知平面垂直；③过空间任意一点有且仅有一个平面与已知的两条异面直线平行；④过空间任意一点有且仅有一条直线与已知平面垂直．A．1 B．2 C．3 D．46．P为抛物线y2=﹣4x上一点，A（0，1），则P到此抛物线的准线的距离与P 到点A的距离之和的最小值为（）A． B． C． D．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2π+B．4π+C．4π+4 D．2π+48．已知圆C：x2+y2=12，直线l：4x+3y=25，圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为（）A． B． C． D．9．正四棱锥S﹣ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SB的中点，且SO=OD，则直线BC与AP所成的角的余弦值为（）A． B． C． D．10．已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A． B． C． D．11．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线AC1上任取一点P，以A为球心，AP为半径作一个球．设AP=x，记该球面与正方体表面的交线的长度和为f（x），则函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．12．已知点P为椭圆+=1上的动点，EF为圆N：x2+（y﹣1）2=1的任一直径，求最大值和最小值是（）A．16，12﹣4 B．17，13﹣4 C．19，12﹣4 D．20，13﹣4二、填空题（每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．）13．长方体的一个顶点上的三条棱分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积为．14．直线l1：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l2：2x+（5+a）y=8平行，则a=．15．已知正四面体ABCD，则直线BC与平面ACD所成角的正弦值为．16．圆x2+y2=9的切线MT过双曲线﹣=1的左焦点F，其中T为切点，M为切线与双曲线右支的交点，P为MF的中点，则|PO|﹣|PT|=．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知命题p：“+=1是焦点在x轴上的椭圆的标准方程”，命题q：∃x1∈R，8x12﹣8mx1+7m﹣6=0．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．18．如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=，OA ⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点．（1）证明：直线MN∥平面OCD．（2）求三棱锥N﹣CDM的体积．19．已知抛物线x2=4y的焦点为F，P为该抛物线上的一个动点．（1）当|PF|=2时，求点P的坐标；（2）过F且斜率为1的直线与抛物线交与两点AB，若P在弧AB上，求△PAB 面积的最大值．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M且有|PM|=|PO|（O为原点），求使|PM|取得最小值时点P的坐标．21．如图所示，在矩形ABCD中，AD=2，AB=1，点E是AD的中点，将△DEC沿CE折起到△D′EC的位置，使二面角D′﹣EC﹣B是直二面角．（1）证明：BE⊥CD′；（2）求二面角D′﹣BC﹣E的余弦值．22．已知椭圆G的中心是原点O，对称轴是坐标轴，抛物线的焦点是G的一个焦点，且离心率．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）已知圆M的方程是x2+y2=R2（1＜R＜2），设直线l与圆M和椭圆G都相切，且切点分别为A，B．求当R为何值时，|AB|取得最大值？并求出最大值．xx重庆市杨家坪中学高二（上）第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．过点（﹣1，3）且与直线2x+y+3=0垂直的直线方程为（）A．x﹣2y+7=0 B．2x﹣y+5=0 C．x﹣2y﹣5=0 D．2x+y﹣5=0【考点】待定系数法求直线方程．【分析】过点（m，n）且与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程为B（x﹣m）﹣A （y﹣n）=0，代入可得答案．【解答】解：过点（﹣1，3）且与直线2x+y+3=0垂直的直线方程为（x+1）﹣2（y﹣3）=0，即x﹣2y+7=0，故选：A．2．双曲线﹣=1的焦点到其渐近线距离为（）A．1 B． C． D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线方程求出焦点坐标及一条渐近线方程，在由点到直线的距离公式求得答案．【解答】解：由双曲线﹣=1，得a2=2，b2=3，c2=a2+b2=5，∴双曲线的右焦点F（，0），一条渐近线方程为y=x=x，即2y﹣x=0．由点到直线的距离公式得，焦点到其渐近线的距离d==．故选C．3．下列说法不正确的是（）A．若“p且q”为假，则p，q至少有一个是假命题B．命题“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是““∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”C．当a＜0时，幂函数y=x a在（0，+∞）上单调递减D．“φ=”是“y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件【考点】特称命题．【分析】A根据复合命题的真假性，即可判断命题是否正确；B根据特称命题的否定是全称命，写出它的全称命题即可；C根据幂函数的图象与性质即可得出正确的结论；D说明充分性与必要性是否成立即可．【解答】解：对于A，当“p且q”为假时，p、q至少有一个是假命题，是正确的；对于B，命题“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是““∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”，是正确的；对于C，a＜0时，幂函数y=x a在（0，+∞）上是减函数，命题正确；对于D，φ=时，y=sin（2x+φ）=cos2x是偶函数，充分性成立，y=sin（2x+φ）为偶函数时，φ=kπ+，k∈Z，必要性不成立；∴是充分不必要条件，命题错误．故选：D．4．在空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，则等于（）A．﹣+B．﹣++C． D．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】由题意结合图形，直接利用，求出，然后即可解答．【解答】解：因为空间四边形OABC如图，，，，点M在线段OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，所以=．所以=．故选B．5．下列命题中正确命题的个数是（）①过空间任意一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；②过空间任意一条直线有且仅有一个平面与已知平面垂直；③过空间任意一点有且仅有一个平面与已知的两条异面直线平行；④过空间任意一点有且仅有一条直线与已知平面垂直．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平面的基本性质及推论．【分析】为了对各个选项进行甄别，不必每个选项分别构造一个图形，只须考查正方体中的线面即可．【解答】解：考察正方体中互相垂直的线和平面．对于①：过空间任意一点不是有且仅有一个平面与已知平面垂直；如图中平面A1D和平面A1B与平面AC垂直；故错；对于②：过空间任意一条直线有且仅有一个平面与已知平面垂直；这是正确的，如图中，已知平面A1D和平面A1B与平面AC垂直；故正确；对于③：过空间任意一点不是有且仅有一个平面与已知的两条异面直线平行；如图中：过C1的与A1B1与AD都平行的平面就不存在；故错；对于④：过空间任意一点有且仅有一条直线与已知平面垂直是正确的．故选B．6．P为抛物线y2=﹣4x上一点，A（0，1），则P到此抛物线的准线的距离与P 到点A的距离之和的最小值为（）A． B． C． D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】通过抛物线方程可知焦点F（﹣1，0），利用两点间距离公式可知|AF|=，通过抛物线定义可知点P到准线的距离d与|PF|相等，P到此抛物线的准线的距离与P到点A的距离之和的最小值．【解答】解：∵抛物线方程为y2=﹣4x，∴焦点F（﹣1，0），又∵A（0，1），∴|AF|==，由抛物线定义可知点P到准线的距离d与|PF|相等，∴d+|PA|=|PF|+|PA|≥|AF|=，故选：D．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2π+B．4π+C．4π+4 D．2π+4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意，几何体的直观图是三棱锥与圆柱的的组合体，三棱锥的底面是直角边长为2的等腰三角形，高为2，圆柱的底面半径是2，高为2，即可求出几何体的体积．【解答】解：由题意，几何体的直观图是三棱锥与圆柱的的组合体，三棱锥的底面是直角边长为2的等腰三角形，高为2，圆柱的底面半径是2，高为2，所以体积为+=2π+，故选：A．8．已知圆C：x2+y2=12，直线l：4x+3y=25，圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为（）A． B． C． D．【考点】几何概型．【分析】试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，根据题意做出符合条件的弧长对应的圆心角是60°，根据几何概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，满足条件的事件是到直线l的距离小于2，过圆心做一条直线交直线l与一点，∵圆心到直线的距离是=5，∴在这条垂直于直线l的半径上找到圆心的距离为3的点做半径的垂线，根据弦心距，半径，弦长之间组成的直角三角形得到符合条件的弧长对应的圆心角是60°根据几何概型的概率公式得到P==故选A．9．正四棱锥S﹣ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SB的中点，且SO=OD，则直线BC与AP所成的角的余弦值为（）A． B． C． D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以O为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出直线BC与AP所成的角的余弦值．【解答】如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz．设OD=SO=OA=OB=OC=a，则A（a，0，0），B（0，a，0），S（0，0，a），C（﹣a，0，0），P（0，，）．则=（﹣a，﹣a，0），=（﹣a，，），C=（a，a，0）．设直线BC与AP所成的角为θ，则cosθ===．∴直线BC与AP所成的角的余弦值为．故选：C．10．已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A． B． C． D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】求出A的对称点的坐标，然后求解椭圆长轴长的最小值，然后求解离心率即可．【解答】解：A（﹣1，0）关于直线l：y=x+3的对称点为A′（﹣3，2），连接A′B 交直线l于点P，则椭圆C的长轴长的最小值为|A′B|=2，所以椭圆C的离心率的最大值为：==．故选：A．11．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线AC1上任取一点P，以A为球心，AP为半径作一个球．设AP=x，记该球面与正方体表面的交线的长度和为f（x），则函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．【考点】棱柱的结构特征；函数的图象与图象变化．【分析】球面与正方体的表面都相交，我们考虑三个特殊情形：①当x=1；②当x=；③当x=．其中①③两种情形所得弧长相等且为函数f（x）的最大值，根据图形的相似，②中弧长为①中弧长的一半．对照选项，即可得出答案．【解答】解：如图，球面与正方体的表面都相交，根据选项的特点，我们考虑三个特殊情形：①当x=1；②当x=；③当x=．①当x=1时，以A为球心，1为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线分别是图中的红色的弧线，其弧长为：3××2π×1=，且为函数f（x）的最大值；②当x=时，以A为球心，为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线分别是图中的兰色的弧线，根据图形的相似，其弧长为①中弧长的一半；③当x=．以A为球心，为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线分别是图中的粉红色的弧线，其弧长为：3××2π×1=，且为函数f（x）的最大值；对照选项，B正确．故选B．12．已知点P为椭圆+=1上的动点，EF为圆N：x2+（y﹣1）2=1的任一直径，求最大值和最小值是（）A．16，12﹣4 B．17，13﹣4 C．19，12﹣4 D．20，13﹣4【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据题意，得|NE|=|NF|=1且，由此化简得=﹣1，根据椭圆方程与两点的距离公式，求出当P的纵坐标为﹣3时，取得最大值20，由此即得=﹣1的最大值，当P的纵坐标为时，取得最小值，由此即得=﹣1的最小值．【解答】解：∵EF为圆N的直径，∴|NE|=|NF|=1，且，则=（+）•（+）=（+）•（）==﹣1，设P（x0，y0），则有即x02=16﹣y02又N（0，1），∴=，而y0∈[﹣2，2]，∴当y0=﹣3时，取得最大值20，则=﹣1=20﹣1=19，当y0=时，取得最小值，则=﹣1=﹣1=．∴最大值和最小值是：19，．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．）13．长方体的一个顶点上的三条棱分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积为50π．【考点】球内接多面体．【分析】设出球的半径，由于直径即是长方体的体对角线，由此关系求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：设球的半径为R，由题意，球的直径即为长方体的体对角线的长，则（2R）2=32+42+52=50，∴R=．R2=50π．∴S球=4π×故答案为：50π．14．直线l1：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l2：2x+（5+a）y=8平行，则a=﹣7．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】根据两直线平行的条件可知，（3+a）（5+a）﹣4×2=0，且5﹣3a≠8．进而可求出a的值．【解答】解：直线l1：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l2：2x+（5+a）y=8平行，则（3+a）（5+a）﹣4×2=0，即a2+8a+7=0．解得，a=﹣1或a=﹣7．又∵5﹣3a≠8，∴a≠﹣1．∴a=﹣7．故答案为：﹣7．15．已知正四面体ABCD，则直线BC与平面ACD所成角的正弦值为．【考点】直线与平面所成的角．【分析】取AD中点E，连结CE，过B作BO⊥CE，交CE于点O，则∠BCO就是线BC与平面ACD所成角，由此能求出结果．【解答】解：如图，取AD中点E，连结CE，过B作BO⊥CE，交CE于点O，则∠BCO就是线BC与平面ACD所成角，设正四面体ABCD的棱长为2，则CO===，∴cos∠BCO==，∴sin∠BCO==．故答案为：．16．圆x2+y2=9的切线MT过双曲线﹣=1的左焦点F，其中T为切点，M为切线与双曲线右支的交点，P为MF的中点，则|PO|﹣|PT|=2﹣3．【考点】圆与圆锥曲线的综合；双曲线的简单性质．【分析】由双曲线方程，求得c=，根据三角形中位线定理和圆的切线的性质，可知|PO|=|PF′|，|PT|=|MF|﹣|FT|，并结合双曲线的定义可得|PO|﹣|PT|=|FT|﹣（|PF|﹣|PF′|）=2﹣3．【解答】解：设双曲线的右焦点为F′，则PO是△PFF′的中位线，∴|PO|=|PF′|，|PT|=|MF|﹣|FT|，根据双曲线的方程得：a=3，b=2，c=，∴|OF|=，∵MF是圆x2+y2=9的切线，|OT|=3，∴Rt△OTF中，|FT|==2，∴|PO|﹣|PT|=|PF′|﹣（|MF|﹣|FT|）=|FT|﹣（|PF|﹣|PF′|）=2﹣3，故答案为：2﹣3．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知命题p：“+=1是焦点在x轴上的椭圆的标准方程”，命题q：∃x1∈R，8x12﹣8mx1+7m﹣6=0．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假．【分析】若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假，进而可得实数m的取值范围．【解答】解：如果p为真命题，则有，即1＜m＜2；若果q为真命题，则64m2﹣32（7m﹣6）≥0，解得m≤或m≥2．因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p和q一真一假，若p真q假，则＜m＜2，若p假q真，则m≤1或m≥2．所以实数m的取值范围为（∞，1]∪（，+∞）．18．如图，在四棱锥O ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC=，OA ⊥底面ABCD ，OA=2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点．（1）证明：直线MN ∥平面OCD ．（2）求三棱锥N ﹣CDM 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取AD 中点E ，连结ME ，NE ，推导出平面MNE ∥平面CDO ，由此能证明直线MN ∥平面OCD ．（2）三棱锥N ﹣CDM 的体积V N ﹣CDM =V M ﹣CDN ，由此能求出结果．【解答】证明：（1）取AD 中点E ，连结ME ，NE ，∵M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，∴ME ∥OD ，NE ∥CD ，∵ME ∩NE=E ，OD ∩CD=D ，ME ，NE ⊂平面MNE ，OD ，CD ⊂平面CDO ， ∴平面MNE ∥平面CDO ，∵MN ⊂平面MNE ，∴直线MN ∥平面OCD ．解：（2）∵OA ⊥底面ABCD ，OA=2，M 为OA 的中点，∴AM ⊥平面CDN ，且AM=1，∵底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC=，∴=，∴三棱锥N ﹣CDM 的体积V N ﹣CDM =V M ﹣CDN ===．19．已知抛物线x2=4y的焦点为F，P为该抛物线上的一个动点．（1）当|PF|=2时，求点P的坐标；（2）过F且斜率为1的直线与抛物线交与两点AB，若P在弧AB上，求△PAB 面积的最大值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）当|PF|=2时，利用抛物线的定义，即可求点P的坐标；（2）先求出|AB|，再计算抛物线上点到直线的最大距离，即可求出△PAB的面积的最大值．【解答】解：（1）设P（x，y），则y+1=2，∴y=1，∴x=±2，∴P（±2，1）；（2）过F的直线方程为y=x+1，代入抛物线方程，可得y2﹣6y+1=0，可得A（2﹣2，3﹣2），B（2+2，3+2），∴|AB|=•|2+2﹣2+2|=8．平行于直线l：x﹣y+1=0的直线设为x﹣y+c=0，与抛物线C：x2=4y联立，可得x2﹣4x﹣4c=0，∴△=16+16c=0，∴c=﹣1，两条平行线间的距离为=，∴△PAB的面积的最大值为=4．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M且有|PM|=|PO|（O为原点），求使|PM|取得最小值时点P的坐标．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】（1）分类讨论，利用待定系数法给出切线方程，然后再利用圆心到切线的距离等于半径列方程求系数即可；（2）可先利用PM（PM可用P点到圆心的距离与半径来表示）=PO，求出P点的轨迹（求出后是一条直线），然后再将求PM的最小值转化为求直线上的点到原点的距离PO之最小值．【解答】解：（1）将圆C配方得（x+1）2+（y﹣2）2=2．①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y=kx，由直线与圆相切得=，即k=2±，从而切线方程为y=（2±）x．…②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x+y﹣a=0，由直线与圆相切得x+y+1=0，或x+y﹣3=0．∴所求切线的方程为y=（2±）xx+y+1=0或x+y﹣3=0．…（2）由|PO|=|PM|得，x12+y12=（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2⇒2x1﹣4y1+3=0..…即点P在直线l：2x﹣4y+3=0上，|PM|取最小值时即|OP|取得最小值，直线OP⊥l，∴直线OP的方程为2x+y=0．…解方程组得P点坐标为（﹣，）．…21．如图所示，在矩形ABCD中，AD=2，AB=1，点E是AD的中点，将△DEC沿CE折起到△D′EC的位置，使二面角D′﹣EC﹣B是直二面角．（1）证明：BE⊥CD′；（2）求二面角D′﹣BC﹣E的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）由已知得BE⊥EC．从而BE⊥面D'EC，由此能证明BE⊥CD'．（2）法一：设M是线段EC的中点，过M作MF⊥BC垂足为F，则∠D'FM是二面角D'﹣BC﹣E的平面角．由此能求出二面角D'﹣BC﹣E的余弦值．法二：分别以EB，EC所在的直线为x轴、y轴，过E垂直于平面BEC的射线为z 轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出二面角D'﹣BC﹣E的余弦值．【解答】证明：（1）∵AD=2，AB=1，E是AD的中点，∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，∵AB=AE=DE=CD，∠BAE=∠CDE=90°，∴∠BEC=90°，∴BE⊥EC．又∵平面D'EC⊥平面BEC，面D'EC∩面BEC=EC，∴BE⊥面D'EC，又CD'⊂面D'EC，∴BE⊥CD'．…解：（2）法一：设M是线段EC的中点，过M作MF⊥BC垂足为F，连接D'M，D'F，则D'M⊥EC，∵平面D'EC⊥平面BEC，∴D'M⊥平面BEC，∴D'M⊥BC，∴BC⊥平面D′MF，∴D'F⊥BC，∴∠D'FM是二面角D'﹣BC﹣E的平面角．在Rt△D'MF中，D'M=，，∴，∴二面角D'﹣BC﹣E的余弦值为．…法二：分别以EB，EC所在的直线为x轴、y轴，过E垂直于平面BEC的射线为z 轴，建立如图空间直角坐标系．则，，，．设平面BEC的法向量为，平面D'BC的法向量为，则，取x2=1，得=（1，1，1），cos＜＞==，∴二面角D'﹣BC﹣E的余弦值为．…22．已知椭圆G的中心是原点O，对称轴是坐标轴，抛物线的焦点是G的一个焦点，且离心率．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）已知圆M的方程是x2+y2=R2（1＜R＜2），设直线l与圆M和椭圆G都相切，且切点分别为A，B．求当R为何值时，|AB|取得最大值？并求出最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（I）依题意可设椭圆G的方程，利用抛物线的焦点是G的一个焦点，且离心率，求得几何量，即可求椭圆G的方程；（II）直线方程与椭圆方程联立，利用直线与圆、椭圆相切，确定参数之间的关系，表示出|AB|，利用基本不等式，可求|AB|最大值．【解答】解：（I）依题意可设椭圆G的方程为，则因为抛物线的焦点坐标为，所以，又因为，所以，所以，故椭圆G的方程为．…（II）由题意知直线l的斜率存在，所以可设直线l：y=kx+m，即kx﹣y+m=0∵直线l和圆M相切，∴，即m2=R2（k2+1）①联立方程组消去y整理可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，∵直线l和椭圆G相切，∴△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）=0，即m2=4k2+1②由①②可得设点B的坐标为（x0，y0），则有，，所以，所以等号仅当，即取得故当时，|AB|取得最大值，最大值为1．…xx2月7日。
2019-2020学年高二上学期第三次月考数学(理)试题 Word版含解析
2019～2020学年度第一学期第三次检测高二年级数学（理科）试题注意事项：1.答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；条形码粘贴在指定位置.2.每小题选出★答案★后，用铅笔把答题卡上对应题目的★答案★标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它★答案★标号.在试卷纸上作答无效.如需作图先用铅笔定型，再用黑色签字笔描绘.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题： 1. 椭圆24251xy+=的一个焦点坐标是（ ） A. （3，0） B. （0，3） C. （1，0） D. （0，1）【★答案★】D 【解析】 试题分析：由椭圆方程24251xy+=可知其焦点在y 轴，且25,24a b ==，2221c a b ∴=-=，1c ∴=．所以焦点为(0,1),(0,1)-．故D 正确．考点：椭圆的焦点．2. 直线x ﹣y+2＝0与圆x 2+（y ﹣1）2＝4的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切C. 相离D. 不确定【★答案★】A 【解析】 【分析】求得圆心到直线的距离，然后和圆的半径比较大小，从而判定两者位置关系，得到★答案★． 【详解】由题意，可得圆心(0,1) 到直线的距离为|012|2222d -+==<，所以直线与圆相交． 故选A ．【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系判定，其中解答中熟记直线与圆的位置关系的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题． 3. “1x >”是“21x >”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【★答案★】A 【解析】 【分析】判断充分条件还是必要条件，就看由题设能否推出结论，和结论能否推出题设，本着这个原则，显然1x >能推出21x >，但是21x >不一定能推出1x >，有可能1x <-，所以可以判断“1x >”是“21x >”的充分不必要条件.【详解】因为由1x >⇒21x >，由21x >推不出1x >，有可能1x <-， 所以“1x >”是“21x >”的充分不必要条件，故本题选A.【点睛】本题考查了充分条件和必要条件的判定，解题的关键是理解掌握它们定义，对于本题正确求解不等式也很关键.4. 总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 7816 6572 0802 631407024369972801983204 9234493582003623486969387481A. 08B. 07C. 02D. 01【★答案★】D从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08,02,14,07,01，所以第5个个体是01，选D.考点：此题主要考查抽样方法的概念、抽样方法中随机数表法，考查学习能力和运用能力. 5. 阅读如图所示的程序框图，该程序输出的结果是（ ）A. 25B. 50C. 125D. 250【★答案★】A 【解析】 【分析】列举出算法的每一步，由此可得出输出的s 的值.【详解】第一次循环，13a =≥不成立，155s =⨯=，112a =+=； 第二次循环，23a =≥不成立，5525s =⨯=，213a =+=；33a =≥成立，跳出循环体，输出s 的值为25.故选：A.【点睛】本题考查利用算法框图计算输出结果，一般将算法的每一步列举出来，考查计算能力，属于基础题.6. 某协会有200名会员，现要从中抽取40名会员作样本，采用系统抽样法等间距样本，将全体会员随机按1-200编号，并按编号顺序平均分为40组（1-5号，6-10号，…，196-200号），若第5组抽出的号码为23，则第1组至第3组抽出的号码依次是（ ） A. 3，8，13 B. 2，7，12 C. 3，9，15 D. 2，6，12【★答案★】A【分析】根据系统抽样原理求出抽样间距，再根据第5组抽出的号码求出第1组抽出的号码，即可得出第2组，第三组抽出的号码.【详解】解：根据系统抽样原理知，抽样间距为200405÷=， 当第五组抽出的号码为23时，即23453=⨯+， 所以第1组至第3组抽出的号码依次是3，8，13. 故选：A.【点睛】本题考查了系统抽样方法的应用问题，属于基础题. 7. 下列有关命题的说法正确的是（ ）A. 命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =则1x ≠”B. 若p 为真命题，q 为假命题，则,p q p q ∨∧均为假命题C. 命题“若,,a b c 成等比数列，则2b ac =”的逆命题为真命题D. 命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题 【★答案★】D 【解析】 【分析】分别写出命题的否命题，可判定A 不正确；根据复合命题的真假判定，可判定B 不正确；根据等比数列的定义，即可判定C 不正确；根据四种命题的关系，可判定D 正确，得到★答案★.【详解】对于A 中，命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x ≠则1x ≠”，所以不正确； 对于B 中，由p 为真命题，q 为假命题，则p q ∨为真命题，p q ∧均为假命题，所以不正确； 对于C 中，命题“若,,a b c 成等比数列，则2b ac =”的逆命题为“若2b ac =，则,,a b c 成等比数列”为假命题，所以不正确；对于D 中，命题“若x y =，则sin sin x y =”为真命题，所以命题的逆否命题也是真命题，故选D.【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用为载体考查了四种命题的概念，及其四种命题的真假关系，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8. 已知双曲线2212x y -=与不过原点O 且不平行于坐标轴的直线l 相交于,M N 两点，线段MN的中点为P ，设直线l 的斜率为1k ，直线OP 的斜率为2k ，则12k k = A.12B. 12-C. 2D. 2-【★答案★】A 【解析】 【分析】本道题目先联立直线方程和双曲线方程，得到12x x +，然后用这个表示2k ，即可．【详解】设直线l 的方程为1y k x b =+，代入双曲线方程2212x y -=得到2221112102k x bk x b ⎛⎫----= ⎪⎝⎭，得到11221212k bx x k +=-设()()111212,,,M x k x b N x k x b ++，则()11212,22k x x x x N b ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭则21121212b k k x x k =+=+，故1212k k ⋅=，故选A ．【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系问题，通常的做法是联解直线方程和双曲线然后找出规律，即可得出★答案★．9. 若圆()22:418C x y +-=与圆()()222:11D x y R -+-=的公共弦长为62，则圆D 的半径为（ ） A. 5B. 25C. 26D. 27【★答案★】D 【解析】 【分析】先由题，求出两圆的公共弦，再求得圆C 的直径等于公共弦长为62，可得公共弦过圆C 的圆心，可得★答案★.【详解】联立()()()2222241811x yx y R ⎧+-=⎪⎨-+-=⎪⎩，得2264x y R-=-，因为圆C 的直径为62，且圆C与曲线D 的公共弦长为62，所以直线2264x y R-=-经过圆C的圆心()0,4，则2220644,28R R⨯-⨯=-=，所以圆D的半径为27.故选D【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，两圆的公共弦的求法是解题的关键，属于中档题.10. 节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（）A. B. C. D.【★答案★】C【解析】设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒，则|x﹣y|≤2，由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比，由图可知所求的概率为：=11. 已知空间直角坐标系O xyz-中，()1,2,3OA=，()2,1,2OB=，()1,1,2OP=，点Q在直线OP上运动，则当QA QB⋅取得最小值时，点Q的坐标为（）A. 131,,243⎛⎫⎪⎝⎭B. 133,,224⎛⎫⎪⎝⎭C. 448,,333⎛⎫⎪⎝⎭D. 447,,333⎛⎫⎪⎝⎭【★答案★】C 【解析】 【分析】设(,,)Q x y z ，根据点Q 在直线OP 上，求得(,,2)Q λλλ，再结合向量的数量积和二次函数的性质，求得43λ=时，QA QB ⋅取得最小值，即可求解. 【详解】设(,,)Q x y z ， 由点Q直线OP 上，可得存在实数λ使得OQ OP λ=，即(,,)(1,1,2)x y z λ=，可得(,,2)Q λλλ,所以(1,2,32),(2,1,22)QA QB λλλλλλ=---=---,则2(1)(2)(2)(1)(32)(22)2(385)QA QB λλλλλλλλ⋅=--+--+--=-+， 根据二次函数的性质，可得当43λ=时，取得最小值23-，此时448(,,)333Q .故选：C.【点睛】本题主要考查了空间向量的共线定理，空间向量的数量积的运算，其中解答中根据向量的数量积的运算公式，得出关于λ的二次函数是解答的关键，着重考查运算与求解能力.12. 抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，,A B 是抛物线上的两个动点，且满足3AFB π∠=．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则||||MN AB 的最大值是 （ ） A.12B. 1C.22 D.32【★答案★】B 【解析】 【分析】设|AF |＝a ，|BF |＝b ，连接AF 、BF ．由抛物线定义得2|MN |＝a +b ，由余弦定理可得|AB |2＝（a +b ）2﹣3ab ，进而根据基本不等式，求得|AB |的取值范围，从而得到本题★答案★．【详解】设|AF |＝a ，|BF |＝b ，连接AF 、BF ，由抛物线定义，得|AF |＝|AQ |，|BF |＝|BP |， 在梯形ABPQ 中，2|MN |＝|AQ |+|BP |＝a +b ． 由余弦定理得，|AB |2＝a 2+b 2﹣2ab cos60°＝a 2+b 2﹣ab ， 配方得，|AB |2＝（a +b ）2﹣3ab ， 又∵ab 2()2a b +≤， ∴（a +b ）2﹣3ab ≥（a +b ）234-（a +b ）214=（a +b ）2 得到|AB |12≥（a +b ）． ∴MN AB ≤1，即MN AB的最大值为1．故选B ．【点睛】本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求MN AB的最大值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题13. 已知F 是抛物线24x y=焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，||||5AF BF +=，则线段AB的中点到x 轴的距离为__________． 【★答案★】32【解析】【分析】由抛物线方程求出准线方程，利用抛物线的定义将AF 和BF 转化为A ，B 到准线的距离，进而可以求出AB 的中点的纵坐标，即可求出★答案★．【详解】抛物线24x y =的焦点01F （，），准线方程1y =-，设11,A x y （），22,B x y （）, 所以12115AF BF y y +=+++=， 解得123y y +=，所以线段AB 的中点的纵坐标为32， 故线段AB 的中点到x 轴的距离为32.【点睛】本题考查了抛物线定义的运用，属于基础题．14. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB BM 和所成的角的大小是【★答案★】90︒【解析】 试题分析：取1A B 的中点N ，因为正三棱柱111ABC A BC-的各条棱长都相等，M是侧棱1C C 的中点，易证11ACM B CM∆≅∆，因为N是1A B 的中点，所以1A B MN ⊥,又11ABA B⊥，所以11A B ABM⊥平面，所以1,ABBM ⊥所以异面直线1A B BM和所成的角的大小是.考点：本小题主要考查异面直线所成的角的求解，考查学生的空间想象能力和推理论证能力. 点评：求异面直线所成的角关键是先做出两条异面直线所成的角. 15. 某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： 广告费用x (万元) 3 4 5 6销售额y (万元) 25 30 40 45根据上表可得回归方程y bx a =+中的b 为7，据此模型预测广告费用为10万元时销售额为______万元.【★答案★】73.5 【解析】 【分析】根据题意求出x ，y ，代入求出回归方程，再将10x =代入，即可得出结果. 【详解】解：由题意可知3456 4.54x +++==，25304045354y +++==.因为回归方程y bx a =+中的b 为7， 所以357 4.5a =⨯+，则 3.5a =. 所以回归方程为7 3.5y x =+.当10x =时，710 3.573.5y =⨯+=.所以广告费用为10万元时销售额为73.5万元. 故★答案★为：73.5.【点睛】本题考查回归方程，考查利用回归方程进行预测，考查运算求解能力，属于基础题.16. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点A 关于原点O 的对称点为,B F 为其右焦点，若,AF BF ⊥设,ABF α∠=且,,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则椭圆离心率的取值范围是 .【★答案★】26[,]23【解析】【详解】∵B 和A 关于原点对称，∴B 也在椭圆上． 设左焦点为1F ，根据椭圆定义：|AF|+|A 1F |=2a 又∵|BF|=|A 1F | ∴|AF|+|BF|=2a ……① O 是Rt△ABF 的斜边中点，∴|AB|=2c 又|AF|=2csinα ……② |BF|=2ccosα ……③将②③代入① 2csinα+2ccosα=2a∴c 1sin cos a αα=+，即11e sin cos 2sin()4πααα==++，∵,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，342πππα≤+≤∴32≤2sin()4πα+)≤1，故椭圆离心率的取值范围为26,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题17. 已知关于x 的二次函数()221f x ax bx =-+，设集合{}1,2,3P =和{}1,1,2,3,4Q =-，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数()y f x =在区间[)2,+∞上是增函数的概率. 【★答案★】1315【解析】 【分析】由二次函数的性质，得到2b a ≤，分类讨论求得所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，函数()221f x ax bx =-+的图像的对称轴为b x a=， 要使()221f x ax bx =-+在区间[)2,+∞上为增函数，当且仅当0a >且2ba≤，即2b a ≤. 若1a =，则1b =-，1，2； 若2a =，则1b =-，1，2，3，4； 若3a =，则1b =-，1，2，3，4，所以该事件包含基本事件的个数是13，总的基本事件个数为3515⨯=. 所以所求事件的概率为1315p =. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及二次函数的性质的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.18. 如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD∥QA，QA ＝AB ＝12PD. (1)证明：平面PQC⊥平面DCQ ； (2)求直线D Q 与面PQC 成角的正弦值【★答案★】（1）见解析 （2）33【解析】 【分析】根据题意得以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA ，DP,DC 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D ﹣xyz ；（1）根据坐标系，求出,,DQ DC PQ 的坐标，由向量积的运算易得•PQ DQ =0， •PQ DC =0；进而可得PQ⊥DQ，PQ⊥DC，由面面垂直的判定方法，可得证明；（2）先求平面的PQC 的法向量n ，再求出cos ＜DQ ，n ＞，直线D Q 与面PQC 成角的正弦值等于cos ＜DQ ，n ＞即可. 【详解】如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA ，DP,DC 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D ﹣xyz ；（1）依题意有Q （1，1，0），C （0，0，1），P （0，2，0），D(0,0,0)； 则=（1，1，0），=（0，0，1），=（1，﹣1，0），所以•=0，•=0；即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，故PQ⊥平面DCQ ，又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC⊥平面DCQ ； （2）依题意，=（1，﹣1，0），()0,2,1PC =-设=（x ，y ，z ）是平面的PQC 法向量， 则n ?0n ?0PQ PC ⎧=⎨=⎩ 即x-y=0-2y+z=0⎧⎨⎩ ，可取=（1，1，2）；=（1，1，0），所以cos ＜DQ ，n ＞=2222211112336211211⨯+⨯==⨯++⨯+ 设直线D Q 与面PQC 所成的角为α ， sin α =cos ＜DQ ，n ＞=33.【点睛】本题考查的是面面垂直的判定和求线面角的正弦值，建立空间坐标系用向量法解决面面垂直的判定与线面角的求法要容易，注意准确写出点的坐标，也考查了计算，属于中档题. 19. 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出40名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[)40,50，[)50,60…[]90,100后画出如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，并补全频率分布直方图；（2）根据频率分布直方图估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分. 【★答案★】（1）0.3，直方图见解析；（2）及格率为0.75，平均分为71 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图可得除第四小组外各小组频率，再根据所有频率和为1求第4小组的频率，计算第4小组的对应的矩形的高，补全频率分布直方图；（2）计算60分及以上各小组对应频率和即得及格率，利用组中值计算平均分.【详解】解（1）由频率分布直方图可知第1、2、3、5、6小组的频率分别为：0.1、0.15、0.15、0.25、0.05，所以第4小组的频率为：10.10.150.150.250.050.3-----=. ∴在频率分布直方图中第4小组的对应的矩形的高为0.30.0310=，对应图形如图所示：（2）考试的及格率即60分及以上的频率∴及格率为0.150.30.250.050.75+++= 又由频率分布直方图有平均分为：0.1450.15550.15650.3750.25850.059571⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题考查频率分布直方图及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题. 20. 选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,曲线1:{cos ,sin ,Cx t y t αα== （t为参数,且t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2:2sin ,3:23cos .CCρθρθ==（Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标； （Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A,1C与3C相交于点B,求||AB最大值.【★答案★】（Ⅰ）(0,0),(32,32)；（Ⅱ）4. 【解析】（Ⅰ）曲线2C的直角坐标方程为2220x yy +-=，曲线3C的直角坐标方程为2223xy x +-=．联立{2220,22230,xyy xyx +-=+-=解得{0,0,x y ==或{32,32,x y ==所以2C与1C 交点的直角坐标为(0,0)和(32,32)．（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<．因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα，B 的极坐标为．所以|||2sin 23cos |ABαα=-4|(3)|sin απ=-，当56απ=时，||AB 取得最大值，最大值为4．考点：1、极坐标方程和直角坐标方程的转化；2、三角函数的最大值．21. 如图，四棱锥P ABCD -底面ABCD 为菱形，平面PAD ⊥平面ABCD ，5PA PD ==，6AD =，60DAB ∠=︒，E 为AB 的中点.（1）证明：AC PE ⊥；（2）二面角D PA B --的余弦值. 【★答案★】（1）见解析；（2）49191. 【解析】试题分析：（1）取AD 的中点O ，连接,,OP OE BD ，根据条件可得BD AC ⊥，AC OE ⊥，,PO AC ⊥进而AC ⊥面,POE AC PE ⊥所以；（2）先证OP OA OB 、、两两垂直，以OA OB OP 、、分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直接坐标系O xyz -，OB 为面PAD 的法向量，再求出面PAB 的法向量n ，根据cos ,OB n OB n OB n⋅=求二面角的余弦值即可.试题解析：（1）取AD 的中点O ，连接,,,OP OE BD ABCD 为菱形，BD AC ∴⊥，O E 、分别为,AD AB 的中点，//,OE BD AC OE ∴∴⊥.,PA PD O =为AD 的中点，PO AD ∴⊥，又面PAD ⊥面ABCD ，面PAD ⋂面,ABCD AD PO =∴⊥面ABCD ，,PO AC OE OP O ∴⊥⋂=，AC∴⊥面,POE AC PE∴⊥.（2）连接,OB ABCD∴为菱形，,60AD AB DAB DAB∴=∠=∴∆，为等边三角形，O为AD的中点，BO AD∴⊥，PO⊥面,,ABCD PO OA OP OA OB∴⊥∴、、两两垂直.以OA OB OP、、分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直接坐标系O xyz-，则()()()()3,0,0,0,33,0,0,0,4,0,33,0A B P OB=为面PAD的法向量，设面PAB的法向量()()(),,,3,0,4,3,33,0n x y z AP AB==-=-，则AP nAB n⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即3403330x zx y-+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1x=，则13334xyz⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，331,,34n⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，3491cos,9119331316OB nOB nOB n⋅===⋅++，结合图形可知二面角D PA B--的余弦值为49191.22. 已知抛物线C：22y px=的焦点为F，准线为l，三个点(2,22)P，(2,22)Q-，(3,25)R中恰有两个点在C上．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过F的直线交C于A，B两点，点M为l上任意一点，证明：直线MA，MF，MB的斜率成等差数列．【★答案★】(1) 24y x = (2)见解析 【解析】【详解】（I ）因为抛物线C ：22y px =关于x 轴对称，所以()()()2,22,2,22,3,25P Q R -中只能是()()2,22,2,22P Q -两点在C 上，带入坐标易得2p =，所以抛物线C 的标准方程为24y x =（II ）证明：抛物线的焦点F 的坐标为()1,0，准线l 的方程为1x =-. 设直线AB 的方程为1x ty =+，()()()1122,,,,1,A x y B x y M m -.由214x ty y x=+⎧⎨=⎩，可得2440y ty --=，所以12124,4y y t y y +==-， 于是()21212242x x t y y t +=++=+，()()()2121212121111x x ty ty t y y t y y =++=+++=设直线,,MA MF MB 的斜率分别为,,MA MF MB k k k ， 一方面，()()()()2112121212121221111MA MB x y x y y y m x x my m y m k k x x x x +++-+---+=+=++++ ()()()()()()211212*********ty y ty y y y mt y y mty ty +++++-+-=++()()()12122121222224ty y mt y y mt y y t y y +-+-=+++ ()()224141m t m t -+==-+.另一方面，2MF m k =-. 所以2MA MB MF k k k +=，即直线,,MA MF MB 的斜率成等差数列感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
2019-2020学年江西省宜春市上高二中高三(上)第三次月考数学试卷(理科)
2019-2020学年江西省宜春市上高二中高三（上）第三次月考数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 设集合A＝{x|log2(x+1)<2}，B＝{y|y=√16−2x}，则(∁R A)∩B＝（）A.(0, 3)B.[0, 4]C.[3, 4)D.(−1, 3)【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】A＝{x|log2(x+1)<2}＝{x|0<x+1<4}＝{x|−1<x<3}，则∁R A＝{x|x≥3或x≤−1}，B＝{y|y=√16−2x}＝{y|0≤y<4}，则(∁R A)∩B＝{x|3≤x<4}＝[3, 4)，2. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为S1，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为√5−12时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（）A.(3−√5)πB.(√5−1)πC.(√5+1)πD.(√5−2)π【答案】A【考点】扇形面积公式【解析】由题意知S1与S2所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，可设S1与S2所在扇形圆心角分别为α、β，列出方程组求出即可．【解答】由题意知，S1与S2所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设S1与S2所在扇形圆心角分别为α，β，则αβ=√5−12，又α+β＝2π，解得α=(3−√5)π．3. 在△ABC中，AB→=a→,AC→=b→，M是AB的中点，N是CM的中点，则AN→=()A.1 3a→+23b→B.13a→+12b→C.12a→+14b→D.14a→+12b→【答案】D【考点】向量的线性运算性质及几何意义向量数乘的运算及其几何意义【解析】可画出图形，根据条件及向量加法的平行四边形法则和向量数乘的几何意义即可用a→,b→表示出AN→．【解答】如图，∵AB→=a→,AC→=b→，M是AB的中点，N是CM的中点；∴AN→=12(AM→+AC→)=12(12AB→+AC→)=14a→+12b→．4. 下列四个结论：①命题“∃x0∈R，sinx0+cosx0<1”的否定是“∀x∈R，sinx+cosx≥1”；②若p∧q是真命题，则￢p可能是真命题；③“a>5且b>−5”是“a+b>0”的充要条件；④当a<0时，幂函数y＝x a在区间(0, +∞)上单调递减其中正确的是（）A.①④B.②③C.①③D.②④【答案】A【考点】命题的真假判断与应用【解析】利用命题的否定判断①的正误；命题的否定判断②的正误；充要条件判断③的正误；幂函数的形状判断④的正误；【解答】①命题“∃x0∈R，sinx0+cosx0<1”的否定是“∀x∈R，sinx+cosx≥1”；满足命题的否定形式，正确；②若p∧q是真命题，p是真命题，则￢p是假命题；所以②不正确；③“a>5且b>−5”可得“a+b>0”成立，“a+b>0”得不到“a>5且b>−5”所以③不正确；④当a<0时，幂函数y＝x a在区间(0, +∞)上单调递减，正确，反例：y=x−23，可知：x∈(−∞, 0)时，函数是增函数，在(0, +∞)上单调递减，所以④正确；5. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数y＝cos(sin|x|)的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】B【考点】函数的图象与图象的变换【解析】根据三角函数的图象和性质，先判断函数的奇偶性，然后判断函数的单调性利用排除法进行判断即可．【解答】f(−x)＝cos(sin|−x|)＝cos(sin|x|)＝f(x)，即函数f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，排除D，∵−1≤sin|x|≤1，∴y＝cos(sin|x|)>0，排除A，在x＝0的右侧，t＝sinx为增函数，y＝cost为减函数，此时函数f(x)为减函数，排除C，6. 已知sin(α−π3)=−3cos(α−π6)，则tan2α＝（）A.−4√3B.−√32C.4√3 D.√32【答案】A【考点】二倍角的三角函数【解析】由题意利用两角和差的三角公式求得tanα的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2α的值．【解答】∵已知sin(α−π3)=−3cos(α−π6)，即12sinα−√32cosα＝−3(√32cosα+12sinα)，求得tanα=√32，则tan2α=2tanα1−tan2α=−4√3，7. 函数y=log12(sin2xcosπ4−cos2xsinπ4)的单调递减区间是（）A.(kπ+π8, kπ+5π8)，k∈ZB.(kπ+π8, kπ+3π8)，k∈ZC.(kπ−π8, kπ+3π8)，k∈ZD.(kπ+3π8, kπ+5π8)，k∈Z【答案】B【考点】复合函数的单调性两角和与差的三角函数【解析】先确定定义域可得2x−π4≥2kπ，按“同增异减”的原则，确定2kπ≤2x−π4≤2kπ+π2，k∈Z，从而可得解．【解答】∵sin2xcosπ4−cos2xsinπ4=sin(2x−π4)>0，∴2kπ+π>2x−π4>2kπ，又∵函数y=log12(sin2xcosπ4−cos2xsinπ4)单调递减，∴由2kπ<2x−π4<2kπ+π2，k∈Z可解得函数y=log12(sin2xcosπ4−cos2xsinπ4)的单调递减区间是：(kπ+π8, kπ+3π8)，k∈Z8. 若α、β∈[−π2, π2]，且αsinα−βsinβ>0，则下面结论正确的是（）A.α>βB.α+β>0C.α<βD.α2>β2【答案】D【考点】正弦函数的单调性函数奇偶性的性质与判断【解析】观察本题的形式，当角的取值范围是[−π2,π2]时，角与其正弦值符号是相同的，故αsinα与βsinβ皆为正，αsinα−βsinβ>0可以得出|α|>|β|，故可以确定结论．【解答】y＝xsinx是偶函数且在(0, π2)上递增，∵αβ∈[−π2,π2 ]，∴αsinα，βsinβ皆为非负数，∵αsinα−βsinβ>0，∴αsinα>βsinβ∴|α|>|β|，∴α2>β29. 如图是函数y＝Asin(ωx+φ)(x∈R, A>0, ω>0, 0<φ<π2)在区间[−π6,5π6]上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y＝sinx(x∈R)的图象上的所有的点（）A.向左平移π3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变B.向左平移π3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C.向左平移π6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变D.向左平移π6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变【答案】A【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】由图可知A＝1，T＝π，从而可求得ω，再由−π6ω+φ＝0可求得φ，利用函数y＝Asin(ωx+φ)的图象变换即可求得答案．【解答】由图可知A＝1，T＝π，∴ω＝2，又−π6ω+φ＝2kπ(k∈Z)，∴φ＝2kπ+π3(k∈Z)，又0<ϕ<π2，∴φ=π3，∴y＝sin(2x+π3)．∴为了得到这个函数的图象，只需将y＝sinx(x∈R)的图象上的所有向左平移π3个长度单位，得到y ＝sin(x +π3)的图象，再将y ＝sin(x +π3)的图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变）即可．10. 在边长为1的正三角形ABC 中，BD →=xBA →，CE →=yCA →，x >0，y >0，且x +y ＝1，则CD →⋅BE →的最大值为（ ） A.−58 B.−38C.−32D.−34【答案】 B【考点】数量积表示两个向量的夹角 平面向量数量积的性质及其运算 【解析】根据BD →=xBA →,CE →=yCA →，可得CD →⋅BE →=(CB →+BD →)⋅(BC →+CE →)=(CB →+xBA →)⋅(BC →+yCA →)=−1+x+y+xy2，利用x >0，y >0，且x +y ＝1，可求CD →⋅BE →的最大值．【解答】由题意，CD →⋅BE →=(CB →+BD →)⋅(BC →+CE →) ∵ BD →=xBA →,CE →=yCA →∴ CD →⋅BE →=(CB →+BD →)⋅(BC →+CE →)=(CB →+xBA →)⋅(BC →+yCA →)=−1+x+y+xy 2∵ x >0，y >0，且x +y ＝1 ∴ xy ≤14 ∴ −1+x+y+xy2=−1+1+xy 2≤−38当且仅当x ＝y =12时，取等号∴ 当x ＝y =12时，CD →⋅BE →的最大值为−3811. 设函数f(x)={e −x (x <0)e x (0≤x ≤1)3−x(x >1) ，若互不相等的实数a ，b ，c 满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则af(a)+bf(b)+cf(c)的取值范围是（ ）A.(1, 92] B.[1, 2) C.(2, 94]D.(1, 94]【答案】C【考点】分段函数的应用 【解析】画出函数f(x)={e −x (x <0)e x (0≤x ≤1)3−x(x >1) 的图象，可得af(a)+bf(b)+cf(c)＝cf(c)＝c(3−c)，c ∈(1, 2)，结合二次函数的图象和性质，可得答案． 【解答】函数f(x)={e −x (x <0)e x (0≤x ≤1)3−x(x >1) 的图象如下图所示：若互不相等的实数a ，b ，c 满足f(a)＝f(b)＝f(c)， 不妨令a <b <c ，则a ，b 互为相反数，即af(a)+bf(b)＝0， c ∈(1, 2)，则af(a)+bf(b)+cf(c)＝cf(c)＝c(3−c)＝−(c −32)2+94， 当c =32时，取最大值94，又由c ＝1或c ＝2时，c(3−c)＝2，故af(a)+bf(b)+cf(c)的取值范围是(2, 94]，12. 已知函数f(x)=ax −x 2−lnx 存在极值，若这些极值的和大于5+ln2，则实数a 的取值范围为( ) A.(−∞, 4) B.(4, +∞) C.(−∞, 2) D.(2, +∞) 【答案】 B【考点】根与系数的关系利用导数研究函数的极值 【解析】求函数f(x)的定义域，求出f′(x)，利用导数和极值之间的关系将条件转化：f′(x)＝0在(0, +∞)上有根，即即2x 2−ax +1＝0在(0, +∞)上有根，根据二次方程根的分布问题列出方程组，根据条件列出关于a 的不等式，求出a 的范围． 【解答】解：f(x)=ax −x 2−lnx ，x ∈(0, +∞)， 则f′(x)=a −2x −1x=−2x 2−ax+1x，∵ 函数f(x)存在极值，∴ f′(x)=0在(0, +∞)上有根， 即2x 2−ax +1=0在(0, +∞)上有根， ∴ Δ=a 2−8≥0，显然当Δ=0时，f(x)无极值，不合题意； ∴ 方程必有两个不等正根，记方程2x 2−ax +1=0的两根为x 1，x 2， x 1+x 2=a2，x 1x 2=12，f(x 1)，f(x 2)是函数f(x)的两个极值， 由题意得，f(x 1)+f(x 2)=a(x 1+x 2)−(x 12+x 22)−(lnx 1+lnx 2)=a22−a24+1−ln12>5−ln12，化简解得，a2>16，满足Δ>0，又x1+x2=a2>0，即a>0，∴a的取值范围是(4, +∞).故选B.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）已知函数f(x)＝x+sinx，若正实数a，b满足f(4a)+f(b−9)＝0，则1a +1b的最小值为________．【答案】1【考点】基本不等式及其应用【解析】通过求导数，根据导数符号可判断出f(x)是R上的增函数，且f(x)是奇函数，从而根据f(4a)+f(b−9)＝0可得出4a＝9−b，从而得出4a+b9=1，从而得出1a+1b=(1a+1b)⋅4a+b 9=59+b9a+4a9b，且a，b都为正数，从而根据基本不等式即可求出最小值．【解答】f′(x)＝1+cosx≥0，∴f(x)是增函数，且f(x)是奇函数，∴由f(4a)+f(b−9)＝0得，f(4a)＝f(9−b)，∴4a＝9−b，∴4a+b9=1，且a，b都为正数，∴1a +1b=(1a+1b)⋅4a+b9=49+b9a+4a9b+19≥59+2√b9a⋅4a9b=59+49=1，当且仅当b9a=4a9b，即b＝2a＝3时取等号，∴1a +1b的最小值为1．若∫21(1x+2mx)dx=3+ln2，则实数m的值为________．【答案】1【考点】定积分的简单应用【解析】直接利用定积分和被积函数的原函数的应用求出结果．【解答】由于∫21(1x+2mx)dx=lnx|12+mx2|12=ln2+4m−m＝3+ln2，整理得3m ＝3，解得m ＝（1） 故答案为：1已知0<β<π2<α<π且cos(α−β2)=−19，sin(α2−β)=23，则cos(α+β)＝________【答案】−239729 【考点】两角和与差的三角函数 【解析】 由给出的角的范围得到α−β2，α2−β的范围，从而求得对应角的异名三角函数值，进一步求出α+β2的余弦值，由倍角的余弦公式求得cos(α+β)的值．【解答】 ∵ 0<β<π2<α<π，∴ 0<β2<π4<α2<π2，则π4<α−β2<π，−π4<α2−β<π2． ∵ cos(α−β2)=−19，∴ sin(α−β2)=4√59，∵ sin(α2−β)=23，∴ cos(α2−β)=√53．∴ cos(α+β2)＝cos[(α−β2)−(α2−β)]＝cos(α−β2)⋅cos(α2−β)+sin(α−β2)⋅sin(α2−β) =−19×√53+4√59×23=7√527． cos(α+β)=2cos 2α+β2−1=2×(7√527)2−1=−239729．若函数f(x)是R 上的单调函数，且对任意的实数x 都有f[f(x)+22x +1]=13，则f(log 22019)＝________． 【答案】10091010 【考点】函数单调性的性质与判断 【解析】根据f(x)是R 上的单调函数，并且f[f(x)+22x +1]=13，从而可判断f(x)+22x +1为常数，从而设f(x)=−22x +1+c ，进而可求出c ＝1，即得出f(x)=−22x +1+1，从而可求出答案．【解答】∵ f(x)是R 上的单调函数，且对任意的实数x 都有f[f(x)+22x +1]=13， ∴ f(x)+22x +1=c ， ∴ f(x)=−22x +1+c ，∴ f(c)=−22c +1+c =13，解得c ＝1， ∴ f(x)=−22x +1+1，∴ f(log 22019)=−22log 22019+1+1=−22019+1+1=10091010． 三、解答题（70分）已知函数f(x)＝m −|x −1|−2|x +1|． （1）当m ＝5时，求不等式f(x)>2的解集；（2）若二次函数y ＝x 2+2x +3与函数y ＝f(x)的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围． 【答案】当m ＝5时，f(x)={3x +6,x <−1−x +2,−1≤x ≤14−3x,x >1，由f(x)>2结合函数的单调性易得不等式解集为 (−43,0)； 由二次函数的解析式可得该函数在对称轴x ＝−1处取得最小值2， 而 f(x)={3x +1+m,x <−1−x −3+m,−1≤x ≤1−3x +m −1,x >1在x ＝−1处取得最大值m −2，所以要使二次函数y ＝x 2+2x +3与函数y ＝f(x)的图象恒有公共点，只需m −2≥2， 即m ≥4． 【考点】绝对值三角不等式 【解析】（1）将函数的解析式写成分段函数的形式，然后结合函数的单调性和不等式的特点即可确定不等式的解集；（2）首先求得二次函数的最小值和f(x)的最大值，据此得到关于实数m 的不等式，求解不等式即可求得最终结果． 【解答】当m ＝5时，f(x)={3x +6,x <−1−x +2,−1≤x ≤14−3x,x >1，由f(x)>2结合函数的单调性易得不等式解集为 (−43,0)； 由二次函数的解析式可得该函数在对称轴x ＝−1处取得最小值2，而 f(x)={3x +1+m,x <−1−x −3+m,−1≤x ≤1−3x +m −1,x >1在x ＝−1处取得最大值m −2，所以要使二次函数y ＝x 2+2x +3与函数y ＝f(x)的图象恒有公共点，只需m −2≥2， 即m ≥4．据《中国新闻网》10月21日报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注．为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人调查，就是否“取消英语听力”的问题，调查统计的结果如下表：(Ⅰ)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？(Ⅱ)在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望． 【答案】（I ）∵ 抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05， ∴ 120+x3600=0.05，解得x ＝60．∴ 持“无所谓”态度的人数共有3600−2100−120−600−60＝720． ∴ 应在“无所谓”态度抽取720×3603600=72人． （2）由(I)知持“应该保留”态度的一共有180人，∴ 在所抽取的6人中，在校学生为120180×6=4人，社会人士为60180×6=2人， 于是第一组在校学生人数ξ＝1，2，3， P(ξ＝1)=C 41C22C 63=15，P(ξ＝2)=C 42C21C 63=35，P(ξ＝3)=C 43C20C 63=15，即ξ的分布列为：∴ Eξ＝1×15+2×35+3×15=2．【考点】离散型随机变量的期望与方差 分层抽样方法 【解析】(Ⅰ)先由抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，由已知条件求出x ，再求出持“无所谓”态度的人数，由此利用抽样比能求出应在“无所谓”态度抽取的人数．(Ⅱ)由题设知第一组在校学生人数ξ＝1，2，3，分别求出P(ξ＝1)，P(ξ＝2)，P(ξ＝3)，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【解答】（I）∵抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，∴120+x3600=0.05，解得x＝60．∴持“无所谓”态度的人数共有3600−2100−120−600−60＝720．∴应在“无所谓”态度抽取720×3603600=72人．（2）由(I)知持“应该保留”态度的一共有180人，∴在所抽取的6人中，在校学生为120180×6=4人，社会人士为60180×6=2人，于是第一组在校学生人数ξ＝1，2，3，P(ξ＝1)=C41C22C63=15，P(ξ＝2)=C42C21C63=35，P(ξ＝3)=C43C20C63=15，即ξ的分布列为：∴Eξ＝1×15+2×35+3×15=2．已知函数f(x)=√3sinxsin(π2−x)+cos2(π2+x)−12．（1）若对任意x∈[−π3,π2]，都有f(x)≥a成立，求a的取值范围；（2）若先将y＝f(x)的图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后再向左平移π6个单位得到函数y＝g(x)的图象，求函数y=g(x)−13在区间[−π, 3π]内的所有零点之和．【答案】函数f(x)=√3sinxsin(π2−x)+cos2(π2+x)−12=√3sinxcosx+12(2sin2x−1)=√3 2sin2x−12cos2x＝sin(2x−π6)，若对任意x∈[−π3,π2]，都有f(x)≥a成立，则只需f min(x)≥a即可．∵x∈[−π3,π2]，∴2x−π6∈[−5π6, 5π6]，故当2x−π6=−5π6时，f(x)取得最小值为−1，∴a≤−1．先将y＝f(x)的图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得y＝sin(x−π6)的图象；然后再向左平移π6个单位得到函数y＝g(x)＝sinx的图象．函数y=g(x)−13在区间[−π, 3π]内的零点，即sinx=13的实数根，它的实数根共计4个，设为x1、x2、x3、x4，且为x1<x2<x3<x4，则根据对称性这4个根关于直线x=3π2对称，故有x1+x2+x3+4x4=3π2，∴x1+x2+x3+x4＝6π．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】（1）利用三角恒等变换化简f(x)的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得f(x)的最小值，可得a的取值范围．（2）根据题意，利用函数y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律，先得到g(x)的解析式，函数y=g(x)−13在区间[−π, 3π]内的零点，即sinx=13的实数根，它的实数根共计4个，再根据正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】函数f(x)=√3sinxsin(π2−x)+cos2(π2+x)−12=√3sinxcosx+12(2sin2x−1)=√3 2sin2x−12cos2x＝sin(2x−π6)，若对任意x∈[−π3,π2]，都有f(x)≥a成立，则只需f min(x)≥a即可．∵x∈[−π3,π2]，∴2x−π6∈[−5π6, 5π6]，故当2x−π6=−5π6时，f(x)取得最小值为−1，∴a≤−1．先将y＝f(x)的图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得y＝sin(x−π6)的图象；然后再向左平移π6个单位得到函数y＝g(x)＝sinx的图象．函数y=g(x)−13在区间[−π, 3π]内的零点，即sinx=13的实数根，它的实数根共计4个，设为x1、x2、x3、x4，且为x1<x2<x3<x4，则根据对称性这4个根关于直线x=3π2对称，故有x1+x2+x3+4x4=3π2，∴x1+x2+x3+x4＝6π．如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC＝90∘，AB＝AC，D，E分别为AA1、B1C的中点．（1）证明：DE ⊥平面BCC 1B 1；（2）已知B 1C 与平面BCD 所成的角为30∘，求二面角D −BC −B 1的余弦值． 【答案】证明：以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A −xyz ． 设AB ＝1，AD ＝a ，则B(1, 0, 0)，C(0, 1, 0)，B 1(1, 0, 2a)，D(0, 0, a)，B 1(1, 0, 2a)， E(12,12,a)，DE →=(12,12,0)，BC →=(−1,1,0)，B 1C →=(−1,1,−2a)．∵ DE →⋅BC →=0，DE →⋅B 1C →=0，∴ DE ⊥BC ，DE ⊥B 1C ， 又BC ∩B 1C ＝C ，∴ DE ⊥平面BCC 1B 1；设平面BCD 的法向量n →=(x 0, y 0, z 0)，则{n →⋅BC →=0n →⋅BD →=0 ，又BD →=(−1,0,a)，故{−x 0+y 0=0−x 0+az 0=0，取x 0＝1，得n →=(1,1,1a )． ∵ B 1C 与平面BCD 所成的角为30∘，B 1C →=(−1,1,−2a)， ∴ |cos <n →,B 1C →>|=√(2+4a )(2+1a 2)=12，解得a =√22，∴ n →=(1,1,√2)．由（1）知平面BCB 1的法向量AF →=(12,12,0)，∴ cos <n →,AF →>=n →⋅AF →|n →||AF →|=1×12+1×122×√22=√22． ∴ 二面角D −BC −B 1的余弦值为√22．【考点】二面角的平面角及求法直线与平面垂直 【解析】（1）以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A −xyz ．求出DE →与平面BCC 1B 1中两个不共线的向量的坐标，由数量积为0证明向量垂直，得到DE 垂直于平面内两相交直线，可得DE ⊥平面BCC 1B 1；（2）由B 1C 与平面BCD 所成的角为30∘，求出平面BCD 的一个法向量，再结合（1）求出平面BCB 1的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值解得二面角D −BC −B 1的余弦值． 【解答】证明：以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A −xyz ． 设AB ＝1，AD ＝a ，则B(1, 0, 0)，C(0, 1, 0)，B 1(1, 0, 2a)，D(0, 0, a)，B 1(1, 0, 2a)， E(12,12,a)，DE →=(12,12,0)，BC →=(−1,1,0)，B 1C →=(−1,1,−2a)．∵ DE →⋅BC →=0，DE →⋅B 1C →=0，∴ DE ⊥BC ，DE ⊥B 1C ， 又BC ∩B 1C ＝C ，∴ DE ⊥平面BCC 1B 1；设平面BCD 的法向量n →=(x 0, y 0, z 0)，则{n →⋅BC →=0n →⋅BD →=0 ，又BD →=(−1,0,a)，故{−x 0+y 0=0−x 0+az 0=0，取x 0＝1，得n →=(1,1,1a )． ∵ B 1C 与平面BCD 所成的角为30∘，B 1C →=(−1,1,−2a)， ∴ |cos <n →,B 1C →>|=√(2+4a )(2+1a 2)=12，解得a =√22，∴ n →=(1,1,√2)．由（1）知平面BCB 1的法向量AF →=(12,12,0)，∴ cos <n →,AF →>=n →⋅AF →|n →||AF →|=1×12+1×122×√22=√22． ∴ 二面角D −BC −B 1的余弦值为√22．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，∠BAD ＝60∘，∠BCD ＝120∘．（1）若BC＝2√2，求∠CBD的大小；（2）设△BCD的面积为S，求S的取值范围．【答案】在△ABD中，因为AB＝4，AD＝2，∠BAD＝60∘，则：BD2＝AB2+AD2−2AB⋅AD⋅cos∠BAD＝16+4−2×4×2×12=12，所以BD＝2√3⋯在△BCD中，因为∠BCD＝120∘，BC＝2√2，BD＝2√3，由BCsin∠CDB =BDsin∠BCD，得：sin∠CDB=BCsin∠BCDBD =√2sin1202√3=√22，则∠CDB＝45∘所以∠CBD＝60∘−∠CDB＝15∘设∠CBD＝θ，则∠CDB＝60∘−θ．在△BCD中，因为BCsin(60−θ)=BDsin120=4，则BC＝4sin(60∘−θ)所以S=12BD⋅BC⋅sin∠CBD ＝4√3sin(60∘−θ)sinθ＝4√3(√32cosθ−12sinθ)sinθ＝3sin2θ−2√3sin2θ＝3sin2θ−√3(1−cos2θ)＝3sin2θ+√3cos2θ−√3＝2√3sin(2θ+30∘)−√3⋯因为0∘<θ<60∘，则30∘<2θ+30∘<150∘，12<sin(2θ+30∘)≤1，所以0<S≤√3．故S的取值范围是(0, √3]【考点】正弦函数的定义域和值域【解析】（1）在△ABD中，由余弦定理可求BD的值，进而在△BCD中，由正弦定理可求sin∠CDB=√22，求得∠CDB，即可得解∠CBD＝60∘−∠CDB＝15∘．（2）设∠CBD＝θ，则∠CDB＝60∘−θ．在△BCD中，由正弦定理可求BC＝4sin(60∘−θ)，利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S＝2√3sin(2θ+30∘)−√3，结合范围0∘<θ<60∘，利用正弦函数的性质可求S的取值范围．【解答】在△ABD中，因为AB＝4，AD＝2，∠BAD＝60∘，则：BD 2＝AB 2+AD 2−2AB ⋅AD ⋅cos∠BAD ＝16+4−2×4×2×12=12， 所以BD ＝2√3⋯在△BCD 中，因为∠BCD ＝120∘，BC ＝2√2，BD ＝2√3， 由BCsin∠CDB =BDsin∠BCD ， 得：sin∠CDB =BCsin∠BCDBD=√2sin1202√3=√22， 则∠CDB ＝45∘所以∠CBD ＝60∘−∠CDB ＝15∘ 设∠CBD ＝θ，则∠CDB ＝60∘−θ．在△BCD 中，因为BCsin(60−θ)=BDsin120=4，则BC ＝4sin(60∘−θ) 所以S =12BD ⋅BC ⋅sin∠CBD ＝4√3sin(60∘−θ)sinθ ＝4√3(√32cosθ−12sinθ)sinθ＝3sin2θ−2√3sin 2θ＝3sin2θ−√3(1−cos2θ) ＝3sin2θ+√3cos2θ−√3 ＝2√3sin(2θ+30∘)−√3⋯因为0∘<θ<60∘，则30∘<2θ+30∘<150∘，12<sin(2θ+30∘)≤1， 所以0<S ≤√3．故S 的取值范围是(0, √3]已知函数f(x)＝xlnx −2ax 2+x ，a ∈R ．(Ⅰ)若f(x)在(0, +∞)内单调递减，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)若函数f(x)有两个极值点分别为x 1，x 2，证明：x 1+x 2>12a ． 【答案】(I)f′(x)＝lnx −4ax +2，若f(x)在(0, +∞)内单调递减，则f′(x)≤0恒成立， 即4a ≥lnx+2x在(0, +∞)上恒成立． 令g(x)=lnx+2x，则g′(x)=−1−lnx x 2，∴ 当0<x <1e 时，g′(x)>0，当x >1e 时，g′(x)<0， ∴ g(x)在(0, 1e )上单调递增，在(1e , +∞)上单调递减， ∴ g(x)的最大值为g(1e )＝e ，∴ 4a ≥e ，即a ≥e4． ∴ a 的取值范围是[e 4, +∞)． (II)∵ f(x)有两个极值点，∴ f′(x)＝0在(0, +∞)上有两解， 即4a =lnx+2x有两解，由（1）可知0<a <e4．由lnx 1−4ax 1+2＝0，lnx 2−4ax 2+2＝0，可得lnx 1−lnx 2＝4a(x 1−x 2)， 不妨设0<x 1<x 2，要证明x 1+x 2>12a ，只需证明x 1+x 24a(x 1−x 2)<12a(lnx 1−lnx 2)，即证明2(x 1−x 2)x 1+x 2>lnx 1−lnx 2， 只需证明2(x 1x 2−1)x 1x 2+1>ln x1x 2，令ℎ(x)=2(x−1)x+1−lnx(0<x <1)，则ℎ′(x)=−(x−1)2x(x+1)2<0，故ℎ(x)在(0, 1)上单调递减， ∴ ℎ(x)>ℎ(1)＝0，即2(x−1)x+1>lnx 在(0, 1)上恒成立，∴ 不等式2(x 1x 2−1)x 1x 2+1>ln x1x 2恒成立，综上，x 1+x 2>12a ． 【考点】利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 【解析】（I ）令f′(x)≤0恒成立，分离参数得出4a ≥lnx+2x，利用函数单调性求出函数g(x)=lnx+2x的最大值即可得出a 的范围；(II)令x1x 2=t ，根据分析法构造关于t 的不等式，再利用函数单调性证明不等式恒成立即可． 【解答】(I)f′(x)＝lnx −4ax +2，若f(x)在(0, +∞)内单调递减，则f′(x)≤0恒成立， 即4a ≥lnx+2x在(0, +∞)上恒成立． 令g(x)=lnx+2x，则g′(x)=−1−lnx x 2，∴ 当0<x <1e 时，g′(x)>0，当x >1e 时，g′(x)<0， ∴ g(x)在(0, 1e )上单调递增，在(1e , +∞)上单调递减，∴ g(x)的最大值为g(1e )＝e ， ∴ 4a ≥e ，即a ≥e4． ∴ a 的取值范围是[e 4, +∞)． (II)∵ f(x)有两个极值点，∴ f′(x)＝0在(0, +∞)上有两解， 即4a =lnx+2x有两解，由（1）可知0<a <e4．由lnx 1−4ax 1+2＝0，lnx 2−4ax 2+2＝0，可得lnx 1−lnx 2＝4a(x 1−x 2)， 不妨设0<x 1<x 2，要证明x 1+x 2>12a ，只需证明x 1+x 24a(x 1−x 2)<12a(lnx 1−lnx 2)，即证明2(x 1−x 2)x 1+x 2>lnx 1−lnx 2， 只需证明2(x 1x 2−1)x 1x 2+1>ln x1x 2，令ℎ(x)=2(x−1)x+1−lnx(0<x <1)，则ℎ′(x)=−(x−1)2x(x+1)2<0，故ℎ(x)在(0, 1)上单调递减， ∴ ℎ(x)>ℎ(1)＝0，即2(x−1)x+1>lnx 在(0, 1)上恒成立，∴ 不等式2(x 1x 2−1)x 1x 2+1>ln x1x2恒成立，综上，x 1+x 2>12a ．。
2019-2020学年江西省宜春市上高县第二中学高一上学期第三次月考数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年江西省宜春市上高县第二中学高一上学期第三次月考数学（理）试题一、单选题1．已知全集{0,1,2,3,4,5}，集合{1,5}A =，集合{}2B =，则集合()U C A B È＝（ ） A ．{}0,2,3,4 B ．{}0,3,4C ．{}2D ．∅【答案】A【解析】根据补集与并集的定义与运算,即可求得()U C A B .【详解】全集{}0,1,2,3,4,5,集合{}1,5A = 则{}0,2,3,4U C A = 集合{}2B =所以(){}0,2,3,4U C A B ⋃= 故选:A 【点睛】本题考查了集合并集与补集的运算,属于基础题. 2．函数()lnf x x =+的定义域是（ ） A ．(0,2) B ．[0,2]C ．（2,+∞）D ．（0,+∞）【答案】C【解析】根据二次根式及分式有意义条件,及对数函数的定义域即可求得函数()f x 的定义域. 【详解】由二次根式及分式有意义条件,结合对数函数定义域可得20x x ->⎧⎨>⎩ 解不等式组可得2x >,即()2,x ∈+∞ 故选:C【点睛】本题考查了具体函数定义域的求法,二次根式、分式有意义的条件,对数函数定义域,属于基础题.3．设()4x f x e x =+-，则函数()f x 的零点位于区间（ ） A ．（-1，0） B ．（0，1）C ．（1，2）D ．（2，3）【答案】C【解析】利用判断零点所在区间的方法，验证区间端点值的正负即可.22(1)1430,(2)2420,(1)(2)0,f e e f e e f f =+-=-=+-=-∴<故选C.4．已知22,0(),0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则((1))f f -等于( )A ．12B ．14C ．18D ．116【答案】B【解析】根据分段函数定义域,先求得()1f -,再代入解析式即可求得()()1f f -的值.【详解】因为()22,0,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩则()11122f --==所以()()21111224f f f ⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选:B 【点睛】本题考查了分段函数的求值,根据自变量的取值范围确定代入的解析式,属于基础题. 5．当a ＞0，且a ≠1时，f （x ）=log a （x +2）+3的图象恒过定点P ，则点P 坐标为（ ） A ．()2,4- B ．()1,4-C ．()2,3-D ．()1,3-【答案】D【解析】令真数等于1，求出x 、y 的值，可得函数的图象经过定点的坐标． 【详解】当a ＞0，且a ≠1时，对于函数f （x ）＝log a （x +2）+3，令x +2＝1，求得x ＝﹣1，y ＝3，可得函数的图象经过定点（﹣1，3）．再根据它的的图象恒过定点P ，则点P 坐标为（﹣1，3）， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，属于基础题． 6．下列函数既不是奇函数又不是偶函数的是（ ） A ．sin 2y x = B ．1xx y e e=+C ．11y x x =-++D ．y x x =+【答案】D【解析】利用函数奇偶性的概念直接判断即可. 【详解】A 是奇函数，B 和C 都是偶函数，D 既不是奇函数又不是偶函数. 故选：D. 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，属基础题. 7．32cos()3π-=（ ）A ．12-B ．C ．12D ．2【答案】A【解析】根据诱导公式,化简后即可求值. 【详解】 由诱导公式可知32cos 3π⎛⎫- ⎪⎝⎭4cos 123ππ⎛=⎫- ⎪⎝⎭4cos cos 33πππ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1cos32π=-=- 故选:A【点睛】本题考查了诱导公式在三角函数化简求值中的简单应用,属于基础题. 8．下列函数的最小正周期为π的是（ ）A ．y =B ．sin ||y x =C ．|sin |y x =D ．1sin y x=【答案】C【解析】先判断函数是否为周期函数,再根据函数的图像确定最小正周期即可. 【详解】对于A, y =[]2,2,k k k Z πππ+∈,所以最小正周期为2π.对于B,sin y x =不是周期函数,所以B 错误. 对于C, sin y x =是将sin y x =的图像在x 轴以下的部分翻折到x 轴上方,所以sin y x =的最小正周期为π.对于D,由sin y x =的图像与性质可知1sin y x=的最小正周期为2π. 综上可知,最小正周期为2π的是C 故选:C 【点睛】本题考查了函数最小正周期的判断,根据函数图像的翻折对称即可判断,属于基础题. 9．已知0.9log 0.8a =， 0.50.6b =，0.60.5c =，那么a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b【答案】A【解析】根据指数函数与对数函数的图像和性质,即可比较函数值的大小. 【详解】根据指数函数与对数函数的图像与性质可知0.90.9log 0.8log 0.91a =>=,即1a > 0.50.60.60.6b >=,而1b < 0.60.60.50.6c <=,而1c <综上可知a b c >> 故选:A 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的图像和性质,根据函数的单调性比较大小,属于基础题.10．函数()2ln f x x x =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用函数的奇偶性排除一些选项，再利用特殊点的位置判断即可． 【详解】函数f （x ）=x 2ln|x |是偶函数，排除选项B ，D ；当x ＞1时，y ＞0，x ∈（0，1）时，y ＜0， 排除C ， 故选：A ． 【点睛】本题考查函数的图象的判断与应用，函数的奇偶性以及函数的特殊点的位置是解题常用方法．11．已知函数()sin lg f x x x =-，则函数()f x 的零点个数为（ ） A ．3 B ．5C ．6D ．7【答案】C【解析】根据函数零点定义,将函数化为sin lg x x =,由两个函数交点个数即可判断零点个数. 【详解】因为1sin 1x -≤≤,lg 10lg 101=-= 画出函数图像如下图所示:由图像可知,两个函数共有6个交点 函数()sin lg f x x x =-的零点个数为6 故选:C 【点睛】本题考查了函数零点个数的判断方法,画出函数图像,结合解析式判断函数的最值,属于基础题.12．平面内如果A,B 都在函数()f x 的图像上，而且满足A,B 两点关于原点对称，则称点对（A,B )是函数()f x 的“相关对称点”（注明:点对（A,B )与（B,A )看成同一个“相关对称点”）.已知函数20()60x e x f x x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则这个函数的“相关对称点”有（ ）个 A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】在坐标系中画出分段函数,将其中小于等于0的函数图像关于原点中心对称;与大于0的图像有几个交点,即“相关对称点”就有几个. 【详解】函数()2060x e x f x x x x ⎧-≤=⎨->⎩ 画出函数解析式如下图所示:根据题意, “相关对称点”关于原点中心对称.所以将小于等于0的函数(),0xf x e x =-≤的图像关于原点中心对称,可得图像如下图所示:由图像可知,变换后,两个图像仅有1个交点所以函数()2060x e x f x x x x ⎧-≤=⎨->⎩的“相关对称点”有1个故选:B 【点睛】本题考查了函数新定义的应用,由函数解析式对函数图像进行变形,结合函数性质解决问题,属于中档题.二、填空题13．已知扇形的弧长是半径的4倍，扇形的面积为8，则该扇形的半径为_________ 【答案】2.【解析】根据扇形的面积公式,弧长与半径的关系即可求得扇形的半径. 【详解】 设扇形的半径为r则扇形的弧长为4r ,由扇形面积为8 则由扇形面积公式可得1842r r =⨯⨯ 解得2r = 故答案为:2 【点睛】本题考查了扇形面积公式的简单应用,属于基础题.14．函数()f x =____________【答案】7[,]()312k k k Z ππππ++∈. 【解析】根据二次根式有意义条件可知sin 206x π⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭,结合正弦函数单调区间求法即可得()f x 的单调递减区间. 【详解】函数()f x =则sin 206x π⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭,即222,6k x k k Z ππππ≤-≤+∈ 解得ππππk x k k +≤≤+∈Z 7,1212又由正弦函数的单调递减区间可得3222,262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈ 解得5,36k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 即7,12125,36k x k k Z k x k k Z ππππππππ⎧+≤≤+∈⎪⎪⎨⎪+≤≤+∈⎪⎩所以7123k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 即函数()f x =()7,,123k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦故答案为: ()7,,123k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查根据正弦函数的函数值求自变量取值范围,正弦函数单调区间的求法,属于基础题.15．函数()f x =2sin sin x x +的值域为_____________ 【答案】[1,3]-.【解析】根据解析式,讨论x 的取值范围.去绝对值后得函数解析式,根据解析式即可求得值域. 【详解】函数()f x =2sin sin x x +当22,k x k k Z πππ≤≤+∈时,0sin 1x ≤≤则()2sin sin 3sin f x x x x =+= 所以()[]0,3f x ∈当222,k x k k Z ππππ+<≤+∈时,1sin 0x -≤≤则()2sin sin sin f x x x x =-= 所以()[]1,0f x ∈-综上可知()f x =2sin sin x x +的值域为[]1,3- 故答案为：[]1,3- 【点睛】本题考查了正弦函数的图像与性质,根据自变量的取值范围去绝对值,属于基础题. 16．给出下列说法①函数2x y =与函数2log y x =互为反函数；②若集合{}2|440A x kx x =++=中只有一个元素，则1k =；③若2f x =-，则2()2f x x =-； ④函数2log (1)y x =-的单调减区间是(,1)-∞； 其中所有正确的序号是___________ . 【答案】①④.【解析】根据反函数定义可判断①;根据集合的概念与性质可判断②;根据函数解析式的求法,可判断③;根据对数复合函数单调性的求法,可判断④. 【详解】对于①,由反函数定义可知,函数2xy =与函数2log y x =互为反函数,所以①正确.对于②,集合{}2|440A x kx x =++=中只有一个元素,当0k =时,只有一个元素;当0k ≠时,满足24440k ∆=-⨯⨯=,解得1k =,所以当0k =或1k =时集合A 只有一个元素,所以②错误.对于③,若2f x =-,则()22f x x=- ,[)0,x ∈+∞,③没有给出定义域,所以③错误.对于④,()2log 1y x =-定义域为(),1-∞,由复合函数单调性判断可知()2log 1y x =-在(),1-∞上单调递减所以④正确. 综上可知,正确的为①④ 故答案为:①④ 【点睛】本题考查了反函数的定义,函数解析式求法,复合函数单调性的判断,元素个数的判断,综合性较强,属于基础题.三、解答题17．求下列各式的值：（1）210321()64(4)2π-++-（2）271log 27239341log ln lg7log log 10-+++⋅ 【答案】（1）18；（2）7【解析】（1）根据分数指数幂的化简运算,可得解. （2）由对数的运算,结合换底公式化简可得解. 【详解】（1）根据分数指数幂的运算,化简可得 ()122316442π-⎛⎫++- ⎪⎝⎭()())1213232411--=++-1611=+ 18=（2）根据对数运算,结合换底公式可得 271log 27239341log lg7log log 10-+++⋅ 771log 7log 213323233log 27log 3ln lg107log 2log 9log 2e --=+-++⨯ 773log 323233log 31117log 2log 322log 2=++++⨯ 317112222=++++7=【点睛】本题考查了分数指数幂与对数式的化简求值,计算过程较为繁琐,特别注意符号变换,属于基础题.18．已知集合{}|16A x x =-≤≤，集合{}|121B x m x m =-≤≤+.（1）当2m =时，求A B ，()R A C B I ;（2）若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{11x x -≤<或}56x <≤；（2）{2m m <-或502m ⎫≤≤⎬⎭ 【解析】（1）将2m =代入得集合B,根据交集和补集的运算即可求解.（2）因为A B A ⋃=,讨论集合B 是否为空集.根据集合的包含关系即可求得实数m 的取值范围.【详解】（1）当2m =时,{}15B x x =≤≤ ∴{}15A B x x ⋂=≤≤ {1R C B x x =<或}5x >∴(){11R A C B x x ⋂=-≤<或}56x <≤（2）∵A B A ⋃= B A ∴⊆当B =∅ 时,121m m ->+2m ∴<-当B ≠∅时11121216m m m m -≤-⎧⎪-≤+⎨⎪+≤⎩ 解得0252m m m ⎧⎪≥⎪≥-⎨⎪⎪≤⎩∴502m ≤≤. 综上所述,实数m 的取值范围为{2m m <-或502m ⎫≤≤⎬⎭. 【点睛】本题考查了集合交集与补集的运算,由集合的包含关系求参数的取值范围,特别注意空集的情况,属于基础题.19．已知函数2()sin 2,[4f x x x x θ=-⋅+∈-（1）当6πθ=-时，求函数()f x 的最值；（2）若函数()f x 为单调函数，求θ的取值范围.【答案】（1）min 31()16f x =，max ()f x =； （2）257[2,2][2,2]()3344k k k k k Z ππππππππ++++∈ 【解析】（1）将6πθ=-代入,可得函数()f x 的解析式.由自变量的取值范围,结合二次函数的性质即可求得函数()f x 的最值.（2）根据函数()f x 为单调函数,可知二次函数的对称轴不在,44x ⎡∈-⎢⎣⎦即可.由正弦函数的图像与性质,即可求得θ的取值范围.【详解】（1）当6πθ=-时,1sin 62π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭代入,可得()2122f x x x =++,x ⎡∈⎢⎣⎦则()2131416f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,44x ⎡∈-⎢⎣⎦ 所以当14x =-时()min 131416f x f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭当4x =时()max f x f ==⎝⎭（3）函数()2sin 2f x x x θ=-+,4x ⎡∈-⎢⎣⎦对称轴为sin sin 22x θθ-=-= 满足函数()f x 为单调函数则sin 24θ≤-或sin 24θ≥即sin 2θ≤-或sin θ≥ 由正弦函数的图像与性质可得572244k k πππθπ+≤≤+或22233k k πππθπ+≤≤+,k Z ∈ 即θ的取值范围为][()2572,22,23344k k k k k Z ππππθππππ⎡⎤∈++⋃++∈⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题考查了在特定区间内二次函数最值的求法,正弦函数的图像与性质的应用,属于基础题.20．已知函数()2(6)2log a x f x x a -=+,(0a >且)1a ≠. （1）若函数()f x 在[1,2]x ∈上恒有意义，求a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使函数()f x 在区间[]2,3上为增函数，且最大值为2？若存在求出a 的值，若不存在请说明理由.【答案】（1）()50,11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）3. 【解析】（1）根据()f x 在[1,2]x ∈上恒有意义,则2260x ax -+>在[]1,2上恒成立.讨论对称轴的位置,即可求得a 的取值范围.（2）讨论01a <<与1a <两种情况,结合复函函数单调性即可判断是否符合单调递增.再根据最大值为2,代入a 的值,解方程即可求解.【详解】（1）函数()2(6)2log a x f x x a -=+在[1,2]x ∈上恒有意义即2260x ax -+>在[]1,2上恒成立令()226g x x ax =-+ 对称轴为x a =,开口向上当01a <<时,只需()10g >,即()11260g a =-+>,解得72a <,所以01a <<当12a <≤时,只需()0g a >,即()22260g a a a =-+>,解得a <,所以12a <≤当2a <时, 只需()20g >,即()24460g a =-+>,解得52a <,所以522a << 综上可知, a 的取值范围为()50,11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ （2）函数()226g x x ax =-+对称轴为x a =由复合函数单调性的性质可知:当01a <<时log a y x =为单调递减函数, ()226g x x ax =-+在[]2,3上为单调递增函数,所以()2(6)2log a x f x x a -=+在[]2,3上单调递减,不合题意 当1a <时, log a y x =为单调递增函数, 若()2(6)2log a x f x x a -=+在[]2,3上单调递增,则()226g x x ax =-+在[]2,3上为单调递增函数.所以由对称轴在[]2,3左侧可得12a <≤因为最大值为2,则()32f =即()966og 2l a a -+=即2966a a =-+,化简可得26150a a +-=解得3a =-+ 3a =--因为12a <≤所以3a =-+当3a =-+函数()f x 在区间[]2,3上为增函数，且最大值为2【点睛】本题考查了二次函数在区间内恒成立问题,复合函数单调性的判断与应用,函数最值的应用,属于中档题.21．设函数,0()2,0x ax b x f x x +≤⎧=⎨>⎩,且(2)1,(1)(1)2f f f -=--=- (1)求函数()f x 的解析式；(2)若1()()12f x f x +->,求x 的取值范围.【答案】（1）1,0()2,0x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩；（2）1(,)4-+∞. 【解析】（1）由函数(),02,0x ax b x f x x +≤⎧=⎨>⎩可知()12f =,可求得()1f -的值,结合()21f -=-的值即可求得函数()f x 的解析式.（2）分别讨论0x ≤,102x <≤与12x <时对应的解析式,代入解不等式即可求得解集. 【详解】 （1）函数(),02,0x ax b x f x x +≤⎧=⎨>⎩则()1122f == 所以()1220f -=-=因为()21f -=-则()()10221f a b f a b ⎧-=-+=⎪⎨-=-+=-⎪⎩,解得11a b =⎧⎨=⎩ 所以()1,02,0x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩（2）因为()1,02,0x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩ 当0x ≤时, 11022x -≤-<则()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭可化为()11112x x ⎛⎫++-+> ⎪⎝⎭,解得14x >-,所以014x -<≤ 当102x <≤,102x -≤则()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭可化为12112x x ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭,化简得1202x x +->,在102x <≤上恒成立,所以102x <≤ 当12x <时,()1 12f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭可化为12221x x -+>,在12x <上恒成立,所以12x < 综上可知,()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭时x 的取值范围为1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了分段函数解析式的求法,分段函数与不等式的解法,注意分类讨论方法的应用,属于中档题.22．已知2()2(2)f x x mx m =+-+，()1x g x e =-（1）若0m =，求证：函数()()()(0)h x f x g x x =-<恰有一个负零点.（用图像证明不给分）（2）若函数()(())x f g x φ=恰有三个零点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）32m -<<-.【解析】（1）将0m =代入解析,可得()f x 的解析式,进而求得()h x 的解析式.可判断函数()h x 的单调性,由()3h -与()1h -的函数值可判断函数恰有一个负零点.（2）先求得()f x 的零点,根据函数()()()x f g x φ=的零点情况,可得()0g x =或()()2g x m =-+.画出()g x 的图像,根据图像即可求得实数m 的取值范围.【详解】()1当0m =则()22413(0)x xh x x e x e x =--+=--< 23y x =-在(),0-∞递减,x y e =-在(),0-∞递减()h x ∴在(),0-∞递减又()()3113930,1130h h e e-=-->-=--< ()h x ∴在(),0-∞仅有一个负零点()2由()0f x =,即()2220x mx m +-+=化简可得()()220x x m -++=解得2x =或()2x m =-+∴由()()0f g x =可得()2g x =或()()2g x m =-+作出()1x y g x e ==-的图像如下图所示:则()021m <-+<解得32m -<<-【点睛】本题考查了函数零点所在区间的判断,由函数零点个数求参数的取值范围,函数形式较为复杂,需要深刻理解和细心计算,属于中档题.。
江西省上高二中2021学年上学期高二年级第三次月考(12月)数学试卷(理科)
江西省上高二中2020-2021学年上学期高二年级第三次月考（12月）数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 1．命题“∀＞2，2e ≥0”的否定是（ ）A ．∀＞2，2e ≤0 B ．∃0≤2，020xe ＜0 C ．∃0＞2，020x e ＜0 D ．∀≤2，2e ＜02．把四边形ABCD 按斜二测画法得到平行四边形A'B'C'D'（如图所示），其中B'O'＝O'C'＝2，O'D'＝，则四边形ABCD 一定是一个（ ）A 菱形B ．矩形C ．正方形D ．梯形3．设双曲线C ：2221y x b-=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，55105225222221(0)x y a b a b+=>>55322212，n ，l 为空间不重合的直线，α，β，γ是空间不重合的平面，则下列说法正确的个数是（ ）①m ∥l ，n ∥l ，则m ∥n ；②α∥γ，β∥γ，则α∥β；③m ∥l ，m ∥α，则l ∥α； ④l ∥m ，l ⊂α，m ⊂β，则α∥β；⑤m ⊂α，m ∥β，l ⊂β，l ∥α，则α∥β． A ．0 B ．1 C ．2 D ．39．双曲线22:194x y C -=的左、右焦点为F 1、F 2，点22221(0,0)x y a b a b-=>>12PF PF ⋅21S S 2343∀∈22:143x y C +=2AF FB=22153x y k k+=+-∀∈＜＜1m （m ＞0）． （1）若命题的值；（2）若命题q 是命题r 的必要不充分条件，求正数m 的取值范围．18．（本小题12分）已知圆C ：2y 22﹣4y1＝0，O 为坐标原点，动点22221(0)x y a b a b +=>>13||2PF =1AM AN k k k⋅-⋅////22221(0)x y a b a b +=>>12||42F F =1217||,||33b bAF AF ==2-，1m ），解得：m ＝2；（2）若命题q 是命题r 的必要不充分条件， 则（1﹣m ，1m ）⫋．18．解：（1）∵C ：2y 22﹣4y1＝0， ∴（1）2（y ﹣2）2＝4，切线l 斜率不存在时，即＝1，满足圆心到切线距离等于半径， 当切线l 斜率存在时，设l ：y ﹣3＝（﹣1）， ∴＝2，∴＝∴y ﹣3＝，即34y ﹣15＝0综上，切线l的方程为34y﹣15＝0或＝1；（2）设，与椭圆C方程联立，利用韦达定理可得，m之间的关系，即可得答案．（1）解：由题意知，所以，所以椭圆C的方程为．（2）证明：由题意知，A（﹣2，0）．设直线l：y＝m，与椭圆C方程联立，整理得（342）28m4m2﹣12＝0．设M（1，y1），N（2，y2），则，＝，所以＝2m，所以l：y＝2mm＝m（21），恒过点．21．解：（1）如图所示，取DA的中点G，连接FG，GE∵F为AC的中点，∴GF//DC，且GF=12//，CD=2BE=4，∴EB//GF，且EB=GF∴四边形BFGE是平行四边形，∴BF//EG∵EG⊂平面ADE，BF⊄平面ADE，∴BF//平面ADE（2）取DE的中点H，连接AH，CH∵△ADE是边长为2的等边三角形，∴AH⊥DE，且在△DHC中，DH=1，DC=4，∠HDC=60°根据余弦定理可得HC 2=DH 2DC 2-2DH·DCcos60°=1242-2×1×4×12=13，即在△AHC 中，，AC=4 所以AC 2=AH 2HC 2，即AH ⊥HC因为AH DE ⊥，AH HC ⊥，DE HC H ⋂=AH ∴⊥平面BCDE∵AH ⊂平面ADE ， ∴平面ADE ⊥平面BCDE22．解：（1）设椭圆C 的焦距为2c ， 则，，即a 2﹣b 2＝8．由椭圆的定义，得|AF 1||AF 2|＝2a ， 由已知，得，所以2a ＝6b ，即a ＝3b ，联立a 2﹣b 2＝8和a ＝3b ，解得a ＝3，b ＝1， 所以椭圆C 的方程为．（2）由已知直线l 过点B （1，0），设l 的方程为＝my1，则联立方程组，消去并整理得（m 29）y 22my ﹣8＝0．设E （1，y 1），F （2，y 2），T （t ，0）（t ，0），则，所以，．又直线TE 与TF 斜率分别为，，则．因为t ＜0，所以当t ＝﹣3时，∀m∈R ，．所以在负半轴上存在定点T （﹣3，0），使得直线TE 与TF 斜率之积为定值．。
2019-2020学年江西省宜春市上高二中高二上学期月考试题 数学（理
江西省宜春市上高二中2019-2020学年高二上学期第二次月考理科数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分） 1．已知命题p ：“0a ∃>，有12a a+<成立”，则命题p ⌝为（ ） A ．0a ∀≤，有12a a +≥成立B ．0a ∀>，有12a a+≥成立C ．0a ∃>，有12a a+≥成立D ．0a ∃>，有12a a+>成立 2．已知圆x 2＋y 2＝4，过点P (0，3)的直线l 交该圆于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积的最大值是( )A.3B.2C.23D.43．若命题“22[1,1],421a ax x a x ∀∈-++≥-+”是假命题，则实数x 的取值范围是( )A ．()26,26---+ B ．,26)((26,)-∞--⋃-++∞ C ．(,2)-∞ D ．(,2]-∞ 4．若圆心坐标为(2,1)-的圆在直线10x y --=上截得的弦长为22，则这个圆的方程是（ ）A ．22(2)(1)0x y -++= B ．22(2)(1)4x y -++= C ．22(2)(1)8x y -++= D ．22(2)(1)16x y -++=5．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得几何体的表面积是( )A ．424π+B ．432π+C ．22πD ．12π 6．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面ABCD 的中心，11B H D O ⊥，H 为垂足，则1B H 与平面1AD C 的位置关系是（ ）A.垂直B.平行C.斜交D.以上都不对7．命题p :函数y=log a (ax-3a)(a>0且a ≠1)的图像必过定点(4,1),命题q :如果函数y=f(x )的图像关于点(3,0)对称,那么函数y=f(x+3)的图像关于点(6,0)对称,则 ( ) A.p ∧q 为真 B.p ∨q 为假 C.p 真q 假 D.p 假q 真 8．已知命题11:4p a >，命题:q x R ∀∈，210ax ax ++>，则p 成立是q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知圆()22:200M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是22，则圆M 与圆()()22:111N x y -+-=的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离10．已知圆()()22:1C x a y b -+-=，设平面区域70,{30,0x y x y y +-≤Ω=-+≥≥，若圆心C ∈Ω,且圆C 与x 轴相切，则22a b +的最大值为 （ ） A ．5 B ．29C ．37D ．4911．已知三棱锥D ABC -四个顶点均在半径为R 的球面上，且2,2AB BC AC ===，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为 A ．50081πB ．4πC ．259π D ．1009π12．在长方体1111ABCD A B C D -中，二面角1D AB D --的大小为60︒，1DC 与平面ABCD所成角的大小为30，那么异面直线1AD 与1DC 所成角的余弦值是（ ） A.24B.3 C.28D.3二、填空题（每小题5分，共20分） 13．给下列三个结论：①命题“2,0x R x x ∃∈->”的否定是“2,0x R x x ∀∈-≤”； ②若2am b <2m ，则a b <的逆命题为真；③命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”； 其中正确的结论序号是_______________（填上所有正确结论的序号）． 14．已知点(,)P x y 在圆222x y +=上运动，则221111x y +++的最小值为___________．15．如图所示，已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为1，且1AA ⊥底面ABC ，则三棱锥11B ABC -的体积为______． 16．已知三棱锥ABC D -中，1==BC AB ，2=AD ，5=BD ，2=AC ，AD BC ⊥，则三棱锥的外接球的表面积为 .三、解答题17．（10分）已知直线l 过点()0,1P ，圆22:680C x y x +-+=，直线l 与圆C 交于,A B 不同两点．（Ⅰ）求直线l 的斜率k 的取值范围；（Ⅱ）是否存在过点()6,4Q 且垂直平分弦AB 的直线1l ？若存在，求直线1l 斜率1k 的值，若不存在，请说明理由．P DB A F E18．（12分）已知函数2()f x x =，1()()2xg x m =-．（1）若对任意[]11,3x ∈-，[]20,2x ∈都有12()()f x g x ≥成立，求实数m 的取值范围；（2）若对任意[]20,2x ∈，总存在[]11,3x ∈-，使得12()()f x g x =成立，求实数m 的取值范围．19．（12分）已知m R ∈，命题p ：对[]x 0,8∀∈，不等式()213log x 1m 3m +≥-恒成立；命题q ：对()x ,1∞∀∈--，不等式22x x 2mx +>+恒成立．（1）p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若p q ∧为假，p q ∨为真，求实数m 的取值范围． 20．（12分）已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，且2AD =，1AB =，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AB ，BC 的中点.（1）判断并说明PA 上是否存在点G ，使得//EG 平面PFD ?若存在，求出PGGA的值；若不 存在，请说明理由；（2）若PB 与平面ABCD 所成的角为45︒，求二面角A PD F --的平面角的余弦值.21．（12分）如图，平面ABCD ⊥平面ADEF ，其中ABCD 为矩形，ADEF 为梯形，//AF DE ，AF FE ⊥，22AF AD DE ===.（Ⅰ）求证：EF ⊥平面BAF ；（Ⅱ）若二面角A BF D --的平面角的余弦值为24，求AB 的长.22．（12分）在平面直角坐标系中，点()2,0A -，()1,0B ，动点P 满足20PA PB -=． （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）若直线:1l y kx =+和轨迹E 交于M N 、两点，且点B 在以MN 为直径的圆内，求k 的取值范围．2021届高二理科数学第二次月考试卷答题卡题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题（每小题5分，共20分） 13、___________ 14、___________15、___________16、___________三、解答题 17、（10分） 18、（12分）19、（12分） 20、（12分）PDBAFE21、（12分）22、（12分）一、选择题1~6 BBABBA 7~12CABCDB二、填空题13.①14. 1 15．16. 6π1217．(1) 304k -<< (2)见解析 【详解】（Ⅰ）法1：直线l 的方程为1y kx =+，则 由{221680y kx x y x =++-+=得()()212690k x x x ++-+=由()()22=263610k k ∆--+>得224360k k -->，故304k -<< 法2：直线l 的方程为1y kx =+，即10kx y -+=， 圆心为C （3，0），圆的半径为1则圆心到直线的距离d =，因为直线与有交于A ，B1<，故304k -<<（Ⅱ）假设存在直线1l 垂直平分于弦AB ，此时直线1l 过()()6,4,3,0Q C ， 则1404633k -==-，故AB 的斜率34k =-，由（1）可知，不满足条件．所以，不存在直线1l 垂直于弦AB ． 18．（1）m 1≥;（2）[8,)-+∞ 【详解】（1）由题设知：()()12min max f x g x ≥，∵()f x 在()1,0-上递减，在()0,3上递增，∴()()1min 00f x f == 又∵()g x 在()0,2上递减，∴()()2max 01g x g m ==- ∴有01m ≥-，m 的范围为[)1,+∞（2）由题设知()1[0,9]f x A ∈=，21()[,1]4g x B m m ∈=--且1184419m B A m m ⎧-≥⎪⊆⇒⇒-≤≤⎨⎪-≤⎩ 19．（1）[]1,2（2）()2,+∞ 【详解】（1）令()()13log 1f x x =+，则()f x 在()1,-+∞上为减函数，因为[]0,8x ∈，所以当8x =时，()()min 82f x f ==-，不等式()213log 13x m m +≥-恒成立，等价于223m m -≥-，解得12m ≤≤，故命题p 为真，实数m 的取值范围为[]1,2. （2）若命题q 为真，则221m x x>-+，对(),1x ∀∈-∞-上恒成立， 令()21g x x x =-+，因为()g x 在(),1x ∈-∞-上为单调增函数， 则()()11g x g <-=，故1m ≥，即命题q 为真，1m ≥ 若p q ∧为假，p q ∨为真，则命题p ，q 中一真一假； ①若p 为真，q 为假，那么121m m <<⎧⎨<⎩，则无解；②若p 为假，q 为真，那么121m m m 或⎧⎨≥⎩，则2m >.综上m 的取值范围为()2,+∞. 20．（1）存在，3PG GA =；（2）6. 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，设PA a =，GA b =，∵(1,1,0),(0,2,0),(0,0,),(0,0,)F D P a G b ，∴(1,1,0)DF =-，(0,2,)PD a =-，1(,0,)2GE b =-，设平面PFD 的一个法向量(,,)m x a z =，∴020m DF x a m PD a az ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，∴2x az =⎧⎨=⎩，∴(,,2)m a a =，∵1202GE m a b ⋅=-=，∴14b a =，∴3PG GA=；（2）∵PBA ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角，∴45PBA ∠=︒，∵1AB =，∴1PA =，由（1）知，平面PDF 的一个法向量为(1,1,2)m =， 取平面APD 的一个法向量为(1,0,0)n =，∴6cos ,6||||m n m n m n ⋅<>==⋅，∴二面角EA PD F --的平面角的余弦值为6.21．(1)见解析；（2）AB ＝3. 【详解】 (Ⅰ)平面ABCD ⊥平面ADEF ,且ABCD 为矩形，∴ BA ⊥平面ADEF ，又EF ⊂平面ADEF ,∴ BA EF ⊥， 又AF EF ⊥且AF BA A ⋂=EF ∴⊥平面BAF .源:](Ⅱ)设AB ＝x ．以F 为原点，AF ，FE 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系F xyz -．则F(0，0，0)，A(－2，0，0)，E(0，3，0)，D(－1，3，0)，B(－2，0，x)，所以DF ＝(1，－3，0)，BF ＝(2，0，－x)． 因为EF ⊥平面ABF ，所以平面ABF 的法向量可取1n ＝(0，1，0)．设2n ＝(x 1，y 1，z 1)为平面BFD 的法向量，则111120,30,x z x x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩所以，可取2n ＝(3，1，23)． 因为cos<1n ，2n >＝1212n n n n ⋅⋅＝2，得x ＝3，所以AB ＝3．22．（1）22(2)4x y +-=； （2）(310,310)---+.【详解】（1）设(,)P x y ，因为2222224(1)4PA PB x y x y =++=-+所以（） E 的方程2240x y x +-=（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，()()222241124100y kx k x k x y x x =+⎧⇒++-+=⎨⎩+-= 304k ∆>⇒<，122241k x x k -+=-+，12211x x x =+，122411k y y k +=+，·0BM BN <()()11221,?1,0x y x y ⇒--< ()()()212121120k x x k x x ⇒++-++< ()()222142112011k k k k k -⇒++-+<++ 2610k k ⇒+-<33k ⇒-<-， 满足0∆>故k 的取值范围是(33--。
2020年江西省宜春市上高中学高二数学理月考试题含解析
2020年江西省宜春市上高中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知AB是抛物线的一条过焦点的弦，且|AB|=4,则AB中点C的横坐标是 ( )A.2B.C.D.参考答案：C2. 曲线y＝x2－2在点处切线的倾斜角为()A．1 B.C.π D．－参考答案：B略3. 设函数，则（）A．是的极大值 B．是的极大值C．是的极大值点 D．是的极大值点参考答案：D略4. 将甲，乙两名同学5次物理测验的成绩用茎叶图表示如图，若甲，乙两人成绩的中位数分别是x 甲，x乙，下列说法正确的是（）A．x甲＜x乙，乙比甲成绩稳定B．x甲＞x乙；甲比乙成绩稳定C．x甲＞x乙；乙比甲成绩稳定D．x甲＜x乙；甲比乙成绩稳定参考答案：A【考点】BA：茎叶图．【分析】利用茎叶图的性质和中位数定义求解．【解答】解：∵x甲=79，x乙=82，且在茎叶图中，乙的数据更集中，∴x甲＜x乙，乙比甲成绩稳定．故选：A．5. 200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示，则时速在[60，70)的汽车大约有 ( )A． 30辆 B。
40辆C。
60辆 D。
80辆参考答案：D6. 如图，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点， G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点.将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为（）A．90° B．60° C．45° D．0°参考答案：B7. 若不等式的解集为,则实数的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：B略8. 如图所示,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3,过C作圆的切线l,过A作l的垂线AD,垂足为D,则∠DAC =( )A. B. C. D.参考答案：B9. 在△ABC中，，是直线上一点，若，则实数m的值为（）A. -2B. -4C. 1D. 4参考答案：A因为，所以；因为是直线上的一点，所以设,则，即，则；故选A.10. 已知命题p：，则p是( )A． B．C． D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图是某次考试试卷评阅赋分程序框图，，，为三个评阅人对同一道题的独立评分，p为该题的最终得分，当，，时，等于______．参考答案：8【分析】根据框图，分别讨论和两种情况，即可求出结果.【详解】执行框图如下：输入，，，不满足，输入，若则，令，则，所以满足题意；若，则，令，则，所以不满足题意；综上，.故答案为8【点睛】本题主要考查程序框图，分析框图的作用，逐步执行即可，属于常考题型.12. 设全集，，则▲参考答案：13. 给定下列命题：①若k＞0，则方程x 2+2x -k=0有实数根；②“若a ＞b ，则a+c＞b+c”的否命题；③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若xy=0，则x、y中至少有一个为0”的否命题.其中真命题的序号是__________________.参考答案：①②④14. 椭圆+=1（a＞b＞0）上任意两点P，Q，若OP⊥OQ，则乘积|OP|?|OQ|的最小值为．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】题意可设点P（|OP|cosθ，|OP|sinθ），Q（|OQ|cos（θ±，|OQ|sin（θ±），由P、Q在椭圆上，即可得出结论．【解答】解：题意可设点P（|OP|cosθ，|OP|sinθ），Q（|OQ|cos（θ±，|OQ|sin（θ±），由P、Q在椭圆上，得： =+，①=+，②①+②，得+=+，∴当|OP|=|OQ|=时，乘积|OP|?|OQ|最小值为．故答案为：．15. 曲线y=ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+3=0的最短距离是．参考答案：【考点】导数的运算；点到直线的距离公式．【分析】直线y=2x+3在曲线y=ln（2x+1）上方，把直线平行下移到与曲线相切，切点到直线2x﹣y+3=0的距离即为所求的最短距离．由直线2x﹣y+3=0的斜率，令曲线方程的导函数等于已知直线的斜率即可求出切点的横坐标，把求出的横坐标代入曲线方程即可求出切点的纵坐标，然后利用点到直线的距离公式求出切点到已知直线的距离即可．【解答】解：因为直线2x﹣y+3=0的斜率为2，所以令y′==2，解得：x=1，把x=1代入曲线方程得：y=0，即曲线上过（1，0）的切线斜率为2，则（1，0）到直线2x﹣y+3=0的距离d==，即曲线y=ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+3=0的最短距离是．故答案为：16. 复数的模为▲ .参考答案：117. 已知点是椭圆上一点，为椭圆的一个焦点，且轴，焦距，则椭圆的离心率是参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
江西省宜春市上高县第二中学2019-2020学年高二数学上学期10月月考试题 理(含解析)
江西省宜春市上高县第二中学2019-2020学年高二数学上学期10月月考试题 理（含解析）一：选择题。
1.圆224210x y x y +--+=的圆心在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】将圆的一般方程化简为标准方程，即可得出答案。
【详解】化简224210x y x y +--+=得到22(2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1) ，在第一象限 故选A【点睛】本题考查圆的一般方程与标准方程的互化，属于基础题。
2.已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A. 若,,m n αα‖‖则m n ‖B. 若,,αγβγ⊥⊥则αβ‖ C. 若,,mm αβ‖‖则αβ‖ D. 若,,m n αα⊥⊥则m n ‖【答案】D 【解析】【详解】A 项，,m n 可能相交或异面,当时，存在，，故A 项错误；B 项，αβ，可能相交或垂直,当 时，存在，，故B 项错误；C 项，αβ，可能相交或垂直,当时，存在，，故C 项错误；D 项，垂直于同一平面的两条直线相互平行，故D 项正确,故选D. 本题主要考查的是对线，面关系的理解以及对空间的想象能力.考点：直线与平面、平面与平面平行的判定与性质；直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质.3.过半径为2的球O 表面上一点A 作球O 的截面，若OA 与该截面所成的角是30o ，则截面的面积是( ) A. π B. 2πC. 3πD. 23π【答案】C 【解析】 【分析】根据截面半径与球半径，球心到截面的距离，构成的直角三角形，解出截面半径，即可求出答案。
【详解】如图所示：AB 为截面半径，2OA = ,30o OAB ∠= ，则3AB =,截面积=2(3)3ππ=故选C【点睛】本题考查球截面面积，属于基础题。
4.若圆22:5C x y m +=-与圆22:(3)(4)16E x y -+-=有三条公切线，则m 的值为（ ）A. 2 3C. 4D. 6【答案】C 【解析】 【分析】由两圆有三条公切线，可知两圆外切，则两圆的圆心距等于半径之和，列出式子即可求出m 的值。
2019-2020学年江西省宜春市上高县高二上学期第三次月考数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年江西省宜春市上高县高二上学期第三次月考数学（理）试题一、单选题1．抛物线22y x =的焦点坐标为（ ） A ．1(,0)8B ．1(0,)8C ．1(,0)2D ．1(0,)2【答案】B【解析】先得到抛物线的标准式方程，进而得到焦点坐标. 【详解】抛物线22y x =的标准式为21,2x y =焦点坐标为10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为：B. 【点睛】本题考查了抛物线方程的焦点坐标的应用，属于基础题. 2．下列命题的说法错误的是（ ）A ．对于命题p ：∀x ∈R ，x 2+x+1＞0，则¬p ：∃x 0∈R ，x 02+x 0+1≤0．B ．“x=1“是“x 2﹣3x+2=0“的充分不必要条件．C ．“ac 2＜bc 2“是“a ＜b“的必要不充分条件．D ．命题“若x 2﹣3x+2=0，则x =1”的逆否命题为：“若x≠1，则x 2﹣3x+2≠0”． 【答案】C 【解析】【详解】对于命题p :∀x ∈R ,x 2+x +1>0,则¬p : ∃x 0∈R ，x 02+x 0+1≤0，是真命题； “x =1”是“x 2−3x +2=0“的充分不必要条件，是真命题； 若c =0时，不成立，是充分不必要条件，∴是假命题；命题“若x 2−3x +2=0,则x =1”的逆否命题为：“若x ≠1,则x 2−3x +2≠0”，是真命题； 故选：C.3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A ．64B ．72C ．80D ．112 【答案】B【解析】试题分析：根据几何体的三视图知，该几何体是下部是边长为4的正方体，上部是高为3的四棱锥的组合体，∴该几何体的体积是【考点】三视图4．如果圆()()()2210x a y a a -+-=>上总存在点到原点的距离为3，则实数a 的取值范围为( )A ．2,2⎡⎤⎣⎦B ．2,22⎡⎣C ．2⎡⎣D ．1,22⎡⎤⎣⎦【答案】B【解析】将圆上的点到原点的距离转化为圆心到原点的距离加减半径得到答案. 【详解】()()()2210x a y a a -+-=>，圆心为(,)a a 半径为12a如果圆()()()2210x a y a a -+-=>上总存在点到原点的距离为3 即圆心到原点的距离[2,4]∈ 即224222a a ≤≤⇒≤≤故答案选B 【点睛】本题考查了圆上的点到原点的距离，转化为圆心到原点的距离加减半径是解题的关键.5．直线3y x =+与曲线2194x x y -=（ ）A ．没有交点B ．只有一个交点C ．有两个交点D ．有三个交点【答案】D【解析】分别在0x ≤和0x >两种情况下得到曲线方程，与直线方程联立后可求得方程的根，从而确定交点个数. 【详解】当0x ≤时，曲线为22194y x +=，与直线方程联立得：213240x x +=解得：10x =，22413x =-∴此时直线与曲线有两个交点 当0x >时，曲线为22194y x -=，与直线方程联立得：25240x x -=解得：10x =（舍），2245x =∴此时直线与曲线有一个交点 综上所述：直线与曲线有三个交点 故选：D 【点睛】本题考查直线与曲线交点个数的求解，关键是能够通过分类讨论的方式得到曲线的解析式，进而通过直线与曲线方程联立求得结果.6．试在抛物线2y 4x =-上求一点P ，使其到焦点F 的距离与到()A 2,1-的距离之和最小，则该点坐标为( )A ．1,14⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,14⎛⎫⎪⎝⎭C ．(2,--D ．(2,-【答案】A【解析】由题意得抛物线的焦点为(1,0)F -，准线方程为:1l x =． 过点P 作PM l ⊥于点M ，由定义可得PM PF =, 所以PA PF PA PM +=+，由图形可得，当,,P A M 三点共线时，||||PA PM +最小，此时PA l ⊥．故点P 的纵坐标为1，所以横坐标14x =-．即点P 的坐标为1(,1)4-．选A ．点睛：与抛物线有关的最值问题的解题策略该类问题一般解法是利用抛物线的定义，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化． (1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”解决．7．如果椭圆221369x y += 的弦被点(42)， 平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）A ．20x y -=B ．5240x y +-=C ．280x y +-=D ．23120x y +-=【答案】C【解析】设这条弦的两端点为()()1122,,,A x y B x y 斜率为k ，则2211222213691369x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减再变形得12120369x x y y k +++=，又弦中点为()12124,2=84x x y y ++=，，，可得12k =-，所以这条弦所在的直线方程为()1242y x -=--，整理得280x y +-=，故选C.【方法点睛】本题主要考查待定点斜式求直线的方程及“点差法”的应用，属于难题 . 对于有弦关中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.8．如图，用与底面成45°角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率为（ ）A ．22B 3C 3D ．13【答案】A【解析】根据截面与底面所成的角是45°，根据直角三角形写出椭圆的长轴长，而椭圆的短轴长是与圆柱的底面直径相等，求出c 的值，根据椭圆的离心率公式，代入,a c 的值，求出结果． 【详解】设圆柱底面圆的半径为R ， ∵与底面成45°角的平面截圆柱， ∴2R ， 半短轴长是R ， ∴c R =， ∴222c e a R===． 故选：A ． 【点睛】本题考查平面与圆柱的截线，考查椭圆的性质，考查等腰直角三角形的边长之间的关系，是一个比较简单的综合题目，题目涉及到的知识比较多9．已知F 是抛物线24y x =的焦点，过点F 且斜率为3的直线交抛物线于A ， B 两点，则22||FA FB -的值为（ ）A ．283 B ．1289 C 12838 D 2823【答案】B【解析】直线AB 方程为： 3(1),y x =-设()1,122,(,)A x y B x y ，联立直线与抛物线方程可得：2121031030,3x x x x -+=+=，121x x =，22||FA FB -=221212122212121212|(1)(1)()(2)||(1)(1)()(2)|128|2)|9x x x x x x x x x x x x x x +-+=-+++-+=-++=++=点睛：考察直线与抛物线的性质综合，要注意过焦点直线的弦的特征10．已知抛物线28x y =的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点(0,2)K -，则PF PK的最小值为（ ） A ．2 BC．2D ．12【答案】C【解析】先记点P 到抛物线准线的距离为d ，根据抛物线的定义，将PFPK化为dPK ，再设直线PK 的方程为2y kx =-，因此求dPK的最小值，即是求k 的最小值，由此可得，直线PK 与抛物相切时，k 最小，联立直线与抛物线方程，结合判别式，即可求出结果. 【详解】记点P 到抛物线准线的距离为d ， 由抛物线定义可得d PF =，因此求PF PK的最小值，即是求dPK的最小值， 设直线PK 的方程为2y kx =-，倾斜角为θ易知sin dPKθ=，tan θk =， 因此当k 取最小值时，dPK最小； 当直线PK 与抛物线相切时，k 最小；由282x y y kx ⎧=⎨=-⎩可得28160x kx -+=，由264640k -=得1k =，即tan 1θ=±，所以2sin θ=，即1d PK =. 因此，PF PK的最小值为22. 故选C【点睛】本题主要考查抛物线定义、以及直线与抛物线位置关系，熟记定义以及抛物线的简单性质即可，属于常考题型.11．如图，矩形ABCD 中，4,2AB BC ==，E 为边AB 的中点，沿DE 将ADE ∆折起，点A 折至1A 处（1A ∉平面ABCD ），若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆折起过程中，下列说法错误．．的是（ ）A ．始终有//MB 平面1A DEB ．不存在某个位置，使得1AC ⊥面1A DE C ．点M 在某个球面上运动D ．一定存在某个位置，使得异面直线BM 与1AE 所成角为030 【答案】D【解析】A 中，取1A D 中点N ，可证得四边形MNEB 为平行四边形，得到//BM EN ，根据线面平行判定定理可得//BM平面1A DE 恒成立，A 正确；B 中，假设存在某个位置使得1AC ⊥平面1A DE 成立，根据线面垂直性质可得11AC AD ⊥，11A C AE ⊥；利用勾股定理可求得满足两个垂直关系时1A C 长度不一致，故假设错误，B 正确；C 中，由A 可知5BM EN ==M 点到B 距离为定值，可知C 正确；D 中，由//BM EN 可知所求异面直线成角为1A EN ∠，利用正切值可知不可能为30o ，D 错误. 【详解】A 中，取1A D 中点N ，连接,MN EN,M N Q 分别为11,A C A D 中点 //MN CD ∴且12MN CD =又//BE CD 且12BE CD =//MN BE ∴ ∴四边形MNEB 为平行四边形 //BM EN ∴，又EN ⊂平面1A DE ，BM ⊄平面1A DE //BM ∴平面1A DE即始终有//BM平面1A DE ，A 正确；B 中，假设存在一个位置，使得1AC ⊥平面1A DE1A D ⊂Q 平面1A DE ，1A E ⊂平面1A DE 11AC A D ∴⊥，11A C A E ⊥ 12A D =Q ，4CD = 221123AC CD A D ∴=-=又4422CE =+=12A E = 22112AC CE A E ∴=-= ∴不存在满足题意的1A 的位置，使得11AC A D ⊥，11A C A E ⊥同时成立 ∴不存在某个位置，使得1A C ⊥面1A DE ，B 正确；C 中，由A 知：四边形MNEB 为平行四边形 BM NE ∴=415NE =+=Q BM ∴为定长∴点M 在以B 5C 正确；D 中，由A 知：//BM NE∴异面直线BM 与1A E 所成角即为NE 与1A E 所成角，即1A EN ∠1111tan 2A N A EN A E ∴∠== 130A EN ∴∠≠o 即异面直线BM 与1A E 所成角不可能为30o ，D 错误. 故选：D 【点睛】本题考查立体几何中折叠问题的求解，涉及到异面直线所成角、线面平行关系、动点轨迹问题、线面垂直关系的相关问题的求解；解决折叠问题的关键是抓住折叠过程中的变量与不变量.12．已知双曲线2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>，过原点作一条倾斜角为π3直线分别交双曲线左、右两支P ，Q 两点，以线段PQ 为直径的圆过右焦点F ，则双曲线离心率为( ) A1 B1C ．2D【答案】B【解析】求得直线PQ 的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，求得,P Q 两点坐标的关系，根据FQ FP ⊥列方程，化简后求得离心率. 【详解】设()()1122,,,P x y Q x y ，依题意直线PQ的方程为y =，代入双曲线方程并化简得222222222223,333a b a b x y x b a b a ===--，故221212220,,3a b x x x x b a-+=⋅=- 12y y ⋅= 221222333a b x x b a-⋅=-，设焦点坐标为(),0F c ，由于以PQ 为直径的圆经过点F ，故0FP FQ ⋅=u u u v u u u v ，即()()1122,,0x c y x c y -⋅-=，即21240x x c +=，即4224630b a b a --=，两边除以4a 得42630b b a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得23b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故1e ===，故选B. 【点睛】本小题主要考查直线和双曲线的交点，考查圆的直径有关的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题.二、填空题13．若一个圆锥的底面半径是母线长的一半，侧面积和它的体积的数值相等，则该圆锥的底面半径为______；【答案】【解析】利用底面半径表示出母线长和圆锥的高，根据圆锥侧面积和体积公式求得侧面积和体积，从而构造方程求得结果. 【详解】设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则2l r = ∴圆锥的高h ==∴圆锥侧面积22S rl r ππ==，体积23133V r h r π==2323r r π∴=，解得：r =故答案为：【点睛】本题考查圆锥侧面积和体积公式的应用，属于基础题.14．已知双曲线22143y x -=，则该双曲线的焦距为______，渐近线方程为______．【答案】 y x = 【解析】根据双曲线的方程确定焦点的位置和,a b 的值，再求渐近线和焦距. 【详解】由双曲线22143y x -=得焦点在y 轴上，且2,a b ==，所以c =，渐近线为3y x =±. 【点睛】本题主要考查双曲线的性质.根据方程可以得到,a b 的值及焦点位置，从而可以推演出其它的性质，比如离心率，渐近线，实轴长，焦距等.15．动点M 椭圆22:12x C y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P满足NP =u u u r u u u r .则点P 的轨迹方程______. 【答案】222x y +=【解析】设()00,M x y ，()0,0N x ，(),P x y ，根据题意列出等式，然后根据M 在椭圆22:12x C y +=上，代入即得。
江西省宜春市上高二中2019_2020学年高一数学上学期第三次月考试题理
江西省宜春市上高二中2019-2020学年高一数学上学期第三次月考试题 理一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知全集{}5,4,3,2,1,0=U ，集合{}5,1=A ，集合{}2=B ，则集合B A C U ⋃)(＝（ ）A ．{}4,3,2,0B ．{}4,3,0C ．{}2D ． ∅2.函数()x x x f ln 21+-=的定义域是（ ） A.(0,2) B.[0,2]C. （2,+∞）D. （0,+∞）3.设函数4)(-+=x e x f x，则)(x f 的零点位于区间( ) A ．(－1,0)B. (1,2)C ．(0,1)D ．(2,3)4.已知()⎩⎨⎧>≤=0022x x x x f x ，则()()1-f f 等于（ ）A.21B.41C.81D.161 5.当a >0,且a ≠1时，()()32log ++=x x f a 的图像恒过定点P ，则点P 坐标为（ ） A.（-2,4） B.(-1,4) C.（-2,3） D.（-1,3）6..下列函数既不是奇函数又不是偶函数的是( ) A. x y 2sin = B. x xe e y 1+=C. |1||1|++-=x x yD. x x y +=||7.)332cos(π-=（ ） A.21-B. 23-C. 21D.238.下列函数的最小正周期为π的是（ ） A.x y sin =B. ||sin x y =C. |sin |x y =D.xy sin 1=9.已知8.0log9.0=a ，5.06.0=b ，6.05.0=c ，那么a ，b ，c 的大小关系是( )二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.已知扇形的弧长是半径的4倍，扇形的面积为8，则该扇形的半径为_________14.函数)62sin()(π-=x x f 的单调减区间是____________15.函数)(x f =|sin |sin 2x x +的值域为_____________16．给出下列说法①函数x2y =与函数x y 2log =互为反函数；②若集合{}044|2=++=x kx x A 中只有一个元素，则1=k ；③若2)(-=x x f ，则2)(2-=x x f ； ④函数)1(log 2x y -=的单调减区间是)1,(-∞；其中所有正确的序号是___________.三、解答题。
江西省宜春市宜丰中学2019_2020学年高二数学上学期第三次月考试题文
江西省宜春市宜丰中学2019-2020学年高二数学上学期第三次月考试题 文一、选择题（每小题5分，共60分）1，2x，x 的值等于（ ） A ．2±B ．4±C ．2D ．42．设命题甲为“0＜x ＜3”，命题乙为“|x -1|＜2“，那么甲是乙的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件3．若5x y +=,那么44x y +的最小值是（ ）A ．64B ．128C ．D ．4．在ABC ∆中三条边a ，b ，c 成等差数列,且1a =，3B π=，则ABC ∆的面积为（ ）A B C D ．345．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆的两个焦点，过F 1的直线l 交椭圆于M ，N 两点，若△MF 2N 的周长为8，则椭圆方程为( )A ．22143x y +=B ．22143y x +=C ．2211615x y +=D ．2211615y x +=6．已知ABC ∆的周长为12，()()0,2,0,2B C -，则顶点A 的轨迹方程为（ ）A ．()22101216x y x +=≠B ．()22101216x y y +=≠C ．()22101612x y x +=≠D ．()22101612x y y +=≠ 7．已知：P 为抛物线24y x =上的任意一点，F 为抛物线的焦点，点B 坐标为(3,2)，则PB PF +的最小值为（ ）A ．4B ．3C ．D 8．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的渐近线方程是（ ）A ．34y x =?B ．54y x =±C ．45y x =±D ．43y x =±9．函数2()1f x x =-在区间[]1,m 上的平均变化率为3，则实数m 的值为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．410．已知曲线()y f x =在点()5(5),f 处的切线方程是80x y +-=，且()f x 的导函数为()f x '，那么()5f '等于A ．3B ．1C ．8-D ．1-11．若函数2()(3)21f x k x kx =-++在(,0]-∞上为增函数，则k 的取值范围是（ ）. A ．[0,3)B ．[0,3]C ．(0,3]D ．[3,)+∞12．设0m >，双曲线:M 24x -2y 1=与圆()22:5N x y m +-=相切，A （-0），B0），若圆N 上存在一点P 满足4PA PB -=，则点P 到x 轴的距离为（ ）A B C D 二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知函数f(x)=e xcos x-x,则f'(x)=_____.14．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C 经过点P (1，3)，则其焦点到准线的距离为________. 15．设为不等式组表示的平面区域，区域上的点与点之间的距离的最小值为_ _.16．若函数f(x)＝x 3＋ax 2－2x ＋5在区间1132⎛⎫⎪⎝⎭，上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，则实数a 的取值范围是____________．三、解答题（70分）17．（10分）已知曲线22981x y += （1）求其长轴长，焦点坐标，离心率；（2的双曲线方程；18．（12分）求下列函数的导数： (1)cos y x=；(2)2311y x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.19．（12分）已知()222:650,:2100p x x q x x m m -+≤-+-≤>(1)若2m =,且p q ∧为真,求实数x 的取值范围; (2)若p 是q 充分不必要条件,求实数m 的取值范围20．（12分）（练习册习题）已知曲线1()y f x x== （1）求曲线在点P （1, 1）处的切线方程. （2）求曲线过点Q （1, 0）的切线方程. （3）求满足斜率为13-的曲线的切线方程.21. （12分）（练习册习题）已知函数32()(,)f x x ax bx a b R =++∈的图象过点P （1, 2），且在点P 处的切线斜率为8. （1）求,a b 的值.（2）求函数()f x 的单调区间.22．（12分）设双曲线C：22xa－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A，B．(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；(2)设直线l与y轴的交点为P，且512PA PBuu r uu r，求a的值．参考答案1．B 2x ，242x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得4x =±. 2．A 【详解】命题乙为“|x -1|＜2，解得-1＜x ＜3．又命题甲为“0＜x ＜3”，因为{|03}x x << {|13}x x -<<那么甲是乙的充分不必要条件．故选：A ．3．A 【详解】4464x y ≥===+(当且仅当52x y ==时,取等号). 4．B 【详解】由题意可得：2b a c =+由余弦定理可得：2222222cos b a c ac B b a c ac =+-⇒=+-即2222b a c ac b a c ⎧=+-⎨=+⎩，解得：11b c =⎧⎨=⎩所以11sin 1122ABC S ac B ∆==⨯⨯=故选：B. 5．A 【详解】∵F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆的两个焦点，∴c ＝1，又根据椭圆的定义，△MF 2N的周长＝4a ＝8，得a ＝2，进而得b 22143x y +=.故答案为：A6．A 【详解】ABC ∆的周长为12，顶点(0,2)B -，(0,2)C ，4BC ∴=，1248AB AC +=-=， 84>，∴点A 到两个定点的距离之和等于定值，∴点A 的轨迹是椭圆，4a =，2c =212b ∴=，∴椭圆的方程：221(0)1216x y x +=≠故选：A ．7．A 【详解】因为抛物线24y x =的准线为：1x =-；过点B 向抛物线的准线作垂线，垂足为N ，连结PF ，PB ，由抛物线的性质可得：PN PF =，又(3,2)B ，因此4+=+≥=PB PF PB PN BN . 故选：A8．D 【详解】设双曲线的焦距为()20c c >，根据实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，得2222b a c c a b=+⎧⎨=+⎩，则()224b c a =+，即()()2224c ac a -=+，即()4c a c a-=+，35c a ∴=，则53c a =，43b a ∴===.因此，双曲线的渐近线方程为43y x =±. 9．B 【详解】解;由已知得()2211131m m ---=-，∴13m +=，∴2m =，故选：B.10．D 【详解】由题意切线方程是x +y ﹣8＝0，即y ＝8﹣x ，f '（5）就是切线的斜率，f ′（5）＝﹣1，故选：D ．11．B 【详解】当30k -=时，即3k =时，()61f x x =+，显然在(,0]-∞上为增函数，所以3k =满足条件。
江西省宜春市上高县第二中学2019_2020学年高二数学上学期10月月考试题理(含解析)
江西省宜春市上高县第二中学2019-2020学年高二数学上学期10月月考试题 理（含解析）一：选择题。
1.圆224210x y x y +--+=的圆心在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】将圆的一般方程化简为标准方程，即可得出答案。
【详解】化简224210x y x y +--+=得到22(2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1) ，在第一象限 故选A【点睛】本题考查圆的一般方程与标准方程的互化，属于基础题。
2.已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A. 若,,m n αα‖‖则m n ‖B. 若,,αγβγ⊥⊥则αβ‖ C. 若,,mm αβ‖‖则αβ‖ D. 若,,m n αα⊥⊥则m n ‖【答案】D 【解析】【详解】A 项，,m n 可能相交或异面,当时，存在，，故A 项错误；B 项，αβ，可能相交或垂直,当 时，存在，，故B 项错误；C 项，αβ，可能相交或垂直,当时，存在，，故C 项错误；D 项，垂直于同一平面的两条直线相互平行，故D 项正确,故选D. 本题主要考查的是对线，面关系的理解以及对空间的想象能力.考点：直线与平面、平面与平面平行的判定与性质；直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质.3.过半径为2的球O 表面上一点A 作球O 的截面，若OA 与该截面所成的角是30o ，则截面的面积是( ) A. π B. 2πC. 3πD. 23π【答案】C 【解析】 【分析】根据截面半径与球半径，球心到截面的距离，构成的直角三角形，解出截面半径，即可求出答案。
【详解】如图所示：AB 为截面半径，2OA = ,30o OAB ∠= ，则3AB =,截面积=2(3)3ππ=故选C【点睛】本题考查球截面面积，属于基础题。
4.若圆22:5C x y m +=-与圆22:(3)(4)16E x y -+-=有三条公切线，则m 的值为（ ）A. 2 3C. 4D. 6【答案】C 【解析】 【分析】由两圆有三条公切线，可知两圆外切，则两圆的圆心距等于半径之和，列出式子即可求出m 的值。
江西省宜春市宜丰中学2019-2020学年高二数学上学期第三次月考试题文2
江西省宜春市宜丰中学2019-2020学年高二数学上学期第三次月考试题 文一、选择题（每小题5分，共60分）1，，成等比数列，那么的值等于（）2xx A ．B ．C ．D ．2±4±242．设命题甲为“0＜x ＜3”，命题乙为“|x 1|＜2“，那么甲是乙的（ ）-A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件3．若,那么的最小值是（ ）5x y +=44x y+A ．64B ．128C ．D ．64212824．在中三条边，，成等差数列,且，，则的面积为（ABC ∆a b c 1a =3B π=ABC ∆）A B C D ．3353345．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆的两个焦点，过F 1的直线l 交椭圆于M ，N 两点，若△MF 2N 的周长为8，则椭圆方程为( )A ．B ．22143x y +=22143y x +=C ．D ．2211615x y +=2211615y x +=6．已知的周长为，，则顶点的轨迹方程为（ ）ABC ∆12()()0,2,0,2B C -A A ．B ．()22101216x y x +=≠()22101216x y y +=≠C ．D ．()22101612x y x +=≠()22101612x y y +=≠7．已知：为抛物线上的任意一点，为抛物线的焦点，点坐标为，则P 24y x =F B (3,2)的最小值为（ ）PB PF+A ．4B ．3C．D8．若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的渐()222210,0x y a b a b -=>>近线方程是（ ）A ．B ．34y x =±54y x =±C ．D ．45y x =±43y x =±9．函数在区间上的平均变化率为3，则实数m 的值为（ ）2()1f x x =-[]1,m A ．3B ．2C ．1D ．410．已知曲线在点处的切线方程是，且的导函数为()y f x =()5(5),f 80x y +-=()f x ，那么等于()f x '()5f 'A ．B ．C ．D ．318-1-11．若函数在上为增函数，则的取值范围是（ ）.2()(3)21f x k x kx =-++(,0]-∞k A ．B ．C ．D ．[0,3)[0,3](0,3][3,)+∞12．设，双曲线与圆相切，（），0m >:M 24x -2y 1=()22:5N x y m +-=A -50， ），若圆上存在一点满足，则点到轴的距离为（ ）B0N P4PA PB -=P xA B C D二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知函数f(x)=e x cos x-x,则f'(x)=_____.14．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C 经过点P (1，3)，则其焦点到准线的距离为________.15．设为不等式组表示的平面区域，区域上的点与点之间的距离的最小值为__.16．若函数f(x)＝x 3＋ax 2－2x ＋5在区间上既不是单调递增函数，也不是单调递减1132⎛⎫ ⎪⎝⎭，函数，则实数a 的取值范围是____________．三、解答题（70分）17．（10分）已知曲线22981x y +=（1）求其长轴长，焦点坐标，离心率；（2的双曲线方程；18．（12分）求下列函数的导数：(1)；(2).cos y x x =2311y x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭19．（12分）已知()222:650,:2100p x x q x x m m -+≤-+-≤>(1)若,且为真,求实数的取值范围;2m =p q ∧x (2)若是充分不必要条件,求实数的取值范围p q m 20．（12分）（练习册习题）已知曲线1()y f x x==（1）求曲线在点P （1, 1）处的切线方程.（2）求曲线过点Q （1, 0）的切线方程.（3）求满足斜率为的曲线的切线方程.13-21. （12分）（练习册习题）已知函数的图象过点P （1, 2），32()(,)f x x ax bx a b R =++∈且在点P 处的切线斜率为8.（1）求的值.,a b（2）求函数的单调区间.()f x 22．（12分）设双曲线C ：－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A ，B ．22x a (1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且，求a 的值．512PA PBu u r u u r参考答案1，，成等比数列，所以，解得.2x242x ⎛⎫== ⎪⎝⎭4x =±2．A【详解】命题乙为“|x 1|＜2，解得1＜x ＜3．又命题甲为“0＜x ＜3”，因为-- 那么甲是乙的充分不必要条件．故选：A ．{|03}x x <<A {|13}x x -<<3．A【详解】(当且仅当时,取等号).4464x y ≥===+52x y ==4．B【详解】由题意可得：由余弦定理可得：2b a c =+即 ，解得： 2222222cos b a c ac B b a c ac =+-⇒=+-2222b a c ac b a c ⎧=+-⎨=+⎩11b c =⎧⎨=⎩所以故选：B.1133sin 1122ABC S ac B ∆==⨯⨯=5．A【详解】∵F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆的两个焦点，∴c ＝1，又根据椭圆的定义，△MF 2N 的周长＝4a ＝8，得a ＝2，进而得b ，所以椭圆方程为.故答案为：A322143x y +=6．A【详解】的周长为12，顶点，，，ABC ∆ (0,2)B -(0,2)C 4BC ∴=，1248AB AC +=-=，点到两个定点的距离之和等于定值，点的轨迹是椭圆，，84> ∴A ∴A 4a = 2c =，椭圆的方程：故选：．212b ∴=∴221(0)1216x y x +=≠A 7．A【详解】因为抛物线的准线为：；过点向抛物线的准线24y x =1x =-B 作垂线，垂足为，连结，，由抛物线的性质可得：，N PF PB PN PF=又，因此. 故选：A(3,2)B 4+=+≥=PB PF PB PN BN 8．D【详解】设双曲线的焦距为，根据实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，得()20c c >，则，即，即，2222b a cc a b =+⎧⎨=+⎩()224b c a =+()()2224ca c a -=+()4c a c a -=+，则，.因此，双曲线的渐近线方程为35c a ∴=53c a =43b a∴===.43y x =±9．B【详解】解;由已知得，∴，∴，故选：B.()2211131m m ---=-13m +=2m =10．D【详解】由题意切线方程是x +y ﹣8＝0，即y ＝8﹣x ，f '（5）就是切线的斜率，f ′（5）＝﹣1，故选：D ．11．B【详解】当时，即时，，显然在上为增函数，所30k -=3k =()61f x x =+(,0]-∞以3k =满足条件。
江西省上高二中2020学年高二数学上学期第三次月考试题 理
2020届高二年级第三次月考数学（理科）试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1.设命题p ：2,2nn N n ∃∈>，则p ⌝为( )A ．2,2nn N n ∀∈> B ．2,2nn N n ∃∈≤ C ．2,2nn N n ∀∈≤ D ．2,=2nn N n ∃∈2.对于常数m 、n ，“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1B.x 24＋y 23＝1C.x 24＋y 23＝1D.x 24＋y 2＝1 4.已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中错误的是( ) A ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β B ．若α∥γ，β∥γ，则α∥β C ．若m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，则α∥βD ．若m ，n 是异面直线，m ⊂α，m ∥β，n ⊂β，n ∥α，则α∥β5.已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A.－2B.－4C.－6D.－86.O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( ) A.2 B.2 2 C.2 3 D.47.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A.13＋2π B.13π6 C.7π3 D.5π28.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 9.下列说法正确的个数是（ ）①“若4a b +≥，则,a b 中至少有一个不小于2”的逆命题是真命题 ② 命题“设,a b R ∈，若6a b +≠，则3a ≠或3b ≠”是一个真命题③“2000,0x R x x ∃∈-<”的否定是“2,0x R x x ∀∈->”④1a b +>是a b >的一个必要不充分条件 A. 0 B. 1 C. 2D. 310.椭圆C ：x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，若F 关于直线3x ＋y ＝0的对称点A 是椭圆C上的点，则椭圆C 的离心率为( )A.12B.3－12C.32D.3－111.SC 为球O 的直径，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝2，∠ASC ＝∠BSC ＝π4，若棱锥A －SBC 的体积为433，则球O 的体积为( ) A.4π3 B.32π3C ．27πD ．43π 12.已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A.2B.3C.1728D.10二、填空题（每小题5分，共20分）13.若x <m －1或x >m ＋1是x 2－2x －3>0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________.14.一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为__________.15.已知点M 在椭圆221369x y +=上， MP '垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P '，并且M 为线段PP '的中点，则P 点的轨迹方程是___________.16．在三棱锥P ﹣ABC 中，PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且AB=4，AC=5，则BC 的取值范围是 ．三、解答题17.（1）若抛物线的焦点是椭圆2216416x y +=左顶点，求此抛物线的标准方程； （2）某双曲线与椭圆2216416x y +=共焦点，且以3y x =±为渐近线，求此双曲线的标准方程.18.命题p:关于x 的不等式2240x ax ++>,对一切x R ∈恒成立;命题q:函数()(32)x f x a =-是增函数.若p 或q 为真,p 且q 为假,求实数a 的取值范围.19.已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=AA 1=2，点D 是AB 的中点． (1)求证：BC 1∥平面CA 1D ；(2)求异面直线BC 1与A 1D 所成角的余弦值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2021届高二第三次月考数学(理)试题----12021届高二第三次月考数学(理)试题刘德根一、选择题（每小题5分,共60分,每小题只有一个正确答案） 1．抛物线22y x =的焦点坐标为（ ） A. 1(,0)8B. 1(0,)8C. 1(,0)2D. 1(0,)22．下列命题的说法错误．．的是（ ） A.对于命题2:,10,p x R x x ∀∈++>则2000:,10p x R x x ⌝∃∈++≤ B.“1x =”是”2320x x -+=”的充分不必要条件C.“22ac bc <”是”a b <”的必要不充分条件D.命题”若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：”若1x ≠，则2320x x -+≠” 3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A.64 B.72 C.80 D.1124.如果圆()()()2210x a y a a -+-=>上总存在点到原点的距离为3，则实数a 的取值范围为( )A. 2⎤⎦B.C. ⎡⎣D. ⎡⎣ 5.直线3y x =+与曲线2||194y x x -=（ ）A ．没有交点B ．只有一个交点C ．有两个交点D ．有三个交点 6.试在抛物线24y x =-上求一点P ，使其到焦点F 的距离与到()2,1A -的距离之和最小，则该点坐标为( ) A. 1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭ B. 1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭C. (2,--D. (2,-7.如果椭圆221369x y += 的弦被点(42)， 平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A ．20x y -= B ．5240x y +-= C.280x y +-= D ．23120x y +-=8．如图，用与底面成045角的平面截圆柱得一椭圆截面，则该椭圆的离心率为（ ）A.33 B.31C.23D.22 9．已知F 是抛物线24y x =的焦点，过点F的直线交抛物线于,A B 两点，则22||||||FA FB -的值为（ ）A ．283B ．1289 CD10．已知抛物线y x 82=的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点(0,2)K -，则PF PK的最小值为（ ）A. 2B.C.D. 1211．如图，矩形ABCD 中，4,2AB BC ==，E 为边AB 的中点，沿DE 将ADE ∆折起，点A折至1A 处（1A ABCD ∉平面），若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆折起过程中，下列说法错误．．的是( ) A ．始终有1//MB A DE 平面B ．不存在某个位置，使得11AC A DE ⊥平面 C ．点M 在某个球面上运动D ．一定存在某个位置，使得异面直线1BM AE 与所成角为03012．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x ，过原点作一条倾斜角为3π直线分别交双曲线左、右两支,P Q 两点，以线段PQ 为直径的圆过右焦点F ，则双曲线离心率为( )A1 B1 C ．2 D二、填空题（每小题5分，共25分）13. 若一个圆锥的底面半径是母线长的一半，侧面积和它的体积的数值相等，则该圆锥的底面半径为 ；14．已知双曲线22143y x -=，则该双曲线的焦距为 ，渐近线方程为 ；15．动点M 在椭圆C ：1222=+y x 上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =．则点P 的轨迹方程 ；16．已知在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，CD AD ⊥，224AB AD CD ===，将直角梯形ABCD 沿AC 折叠，使平面BAC ⊥平面DAC ，则三棱锥D ABC -外接球的体积为 ；2021届高二第三次月考数学(理)试题----2三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分）（1）求焦点在x 轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程； （2）求一个焦点为()5,0，渐近线方程为34y x =±的双曲线标准方程．18. （本小题满分12分）已知命题m x x x p ≥-+∞∈∀1),,1(:2恒成立；命题:q 方程12222=++-m y m x 表示双曲线. （1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题“q p ∨”为真命题，“q p ∧”为假命题，求实数m 的取值范围。
19. （本小题满分12分）已知点(2,)A a ，圆22:(1)5C x y -+=（1）若过点A 只能作一条圆C 的切线，求实数a 的值及切线方程；（2）设直线l 过点A 但不过原点，且在两坐标轴上的截距相等，若直线l 被圆C 截得的弦长为a 的值。
20. （本小题满分12分）如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG 所截后得到的，其中45BAE GAD ∠=∠=︒，22AB AD ==，60BAD ∠=︒.（1）求证：平面BDG ⊥平面ADG ；（2）求直线GB 与平面AEFG 所成角的正弦值.21. （本小题满分12分） 如图，在四棱锥ABCD P -中，PD ⊥平面ABCD ，DC AB //，AD AB ⊥，6=DC ，8=AD ，10=BC ， 45=∠PAD ，E 为PA 的中点. （1）求证：//DE 平面BPC ；（2）线段AB 上是否存在一点F ，满足DB CF ⊥？若存在，试求出二面角D PC F --的余弦值；若不存在，请说明理由.22.（本小题满分12分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，且与抛物线2y x =交于M ，N 两点，OMN ∆（O为坐标原点）的面积为（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，点A 为椭圆上一动点（非长轴端点）F 1，F 2为左、右焦点，AF 2的延长线与椭圆交于B 点，AO 的延长线与椭圆交于C 点，求ABC ∆面积的最大值．2021届高二第三次月考数学(理)试题----32021届高二第三次月考数学试题（理科）答题卡一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)．13． 14． 15． 16． 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分）18. （本小题满分12分）19. （本小题满分12分）20. （本小题满分12分）21. （本小题满分12分）22.（本小题满分12分）2021届高二第三次月考数学(理)试题----42021届高二第三次月考数学试题（理科）答案一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)．13．14．y x=15.222x y+= 16．323π三、解答题（共70分）17. ()1设椭圆标准方程为22221(0)x ya ba b+=>>，则焦距为4，长轴长为6，3a∴=，2c=，25b∴=，∴椭圆标准方程为22195x y+=；（2）由已知可设双曲线的标准方程为22221x ya b-=，则其渐近线方程为by xa=±，因为渐近线方程为34y x=?，所以34ba=，又因为双曲线的一个焦点为()5,0，所以2225a b+=，联立222345baa bì=ïíï+=î，通过计算可得22169abì=ïí=ïî，故所求双曲线的标准方程为221169x y-=。
18解：（1）()()2211112111xxxx x x-+==-++---，∵(1,)x∈+∞，∴()11241xx-++≥-，故命题p为真命题时，4m≤．（2）若命题q为真命题，则(2)(2)0m m-+<，所以22m-<<，因为命题""p q∨为真命题，则,p q至少有一个真命题，""p q∧为假命题，则,p q至少有一个假命题，所以,p q一个为真命题，一个为假命题.当命题p为真命题，命题q为假命题时，422mm m≤⎧⎨≤-≥⎩或，则2m≤-，或24m≤≤；当命题p为假命题，命题q为真命题时，422mm>⎧⎨-<<⎩，舍去．综上，2m≤-，或24m≤≤.19.20.解（1）证明：在BAD∆中，因为22AB AD==，60BAD∠=︒.由余弦定理得，2222cos60BD AD AB AB AD=+-⋅︒，解得BD=∴222AB AD DB=+，∴AD DB⊥，在直平行六面体中，GD⊥平面ABCD，DB⊂平面ABCD，∴GD DB⊥又AD GD D⋂=，∴BD⊥平面ADG，∴平面BDG⊥平面ADG.2021届高二第三次月考数学(理)试题----52021届高二第三次月考数学(理)试题----6（2）解：如图以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -， 因为45BAE GAD ∠=∠=︒，22AB AD ==， 所以()1,0,0A，()B，()E ，()0,0,1G ，()AE →=-，()1,0,1AG →=-，()1GB →=-.设平面AEFG 的法向量(),,n x y z →=，3200n AE x z n AG x z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，得3y -=，1z =， ∴1,3n →⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭. 设直线GB 和平面AEFG 的夹角为θ，所以sin cos ,7GB n GB n GB n θ→→→→→→⋅====⋅， 所以直线GB 与平面AEFG 所成角的正弦值为7. 21解：（1）证明：取PB 的中点M ，连接EM 和CM ，过点C 作CN ⊥AB ，垂足为点N.因为CN ⊥AB ，DA ⊥AB ，所以CN //DA ，又AB //CD ，所以四边形CDAN 为平行四边形， 所以CN=AD=8，DC=AN=6,在Rt △BNC 中，622=-=CN BC BN ，所以AB=12，............................................................................3分 而E ，M 分别为P A ，PB 中点， 所以EM //AB 且EM=6，又DC //AB ，所以EM //CD 且EM=CD ，四边形CDEM 为平行四边形， 所以DE //CM .............................................................................4分 因为CM ⊂平面PBC ，DE ⊄平面PBC ，所以DE //平面PBC..................................................................5分（2）由题意可得DA ，DC ，DP 两两互相垂直，如图，以D 为原点，DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则)0,0,8(A ，)0,12,8(B ，)0,6,0(C ，)8,0,0(P .假设AB 上存在一点F 使CF ⊥DB ，设点F 坐标为)0,,8(t ， 则)0,6,8(-=t ，)0,12,8(=，由0=⋅得32=t .........7分 又平面DPC 的一个法向量为)0,0,1(=m ，...............................8分 设平面FPC 的法向量为),,(z y x n =，又)8,6,0(-=PC ，)0,316,8(-=FC . 由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00PC n ，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-03168086y xz y ，有)9,12,8(=，............................................10分 则178912818222=++⨯==，.........................................................11分 又由图可知，该二面角为锐二面角，故二面角D PC F --的余弦值为178..............12分 22解：（1）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>与抛物线2y x =交于M ，N 两点，可设(M x，(,N x ，∵OMN ∆的面积为∴=2x =，∴M ，(2,N ，由已知得222222421c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得a =2b=，2c =，∴椭圆C的方程为22184xy +=.（2）①当直线AB 的斜率不存在时，不妨取A，(2,B ，(2,C-，故142ABC ∆=⨯=；2021届高二第三次月考数学(理)试题----7②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为(2)y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程22(2)184y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得()2222218880k x k x k +-+-=，则()()()222264421883210k k k k ∆=-+-=+>， 2122821k x x k +=+，21228821k x x k -⋅=+，||AB ==22121k k +=+， 点O 到直线20kx y k --=的距离d ==， 因为O 是线段AC 的中点，所以点C 到直线AB 的距离为2d =，∴1||22ABCS AB d∆=⋅2211221k k ⎛⎫+=⋅⎪+⎝⎭= ∵()()()()22222222211211k k k k kk k ++=⎡⎤+++⎣⎦()()222211441k k k k +=+…，又221k k≠+，所以等号不成立.∴ABC S ∆=<综上，ABC ∆面积的最大值为。