惠州市2021届高三第一次调研考试(文科数学)

广东省惠州市2021届高三第一次调研考试
数学试题(文科）
（本试卷共4页，21小题，总分值150分．考试历时120分钟．）
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必需用黑色笔迹钢笔或签字笔作答，答案必需写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原先的答案，然后再写上新的答案；不准利用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

参考公式：锥体的体积公式1
3
V Sh =
，其中S 为柱体的底面积，h 为锥体的高． 一、选择题（本大题共10小题，每题5分，总分值50分.每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求.）
1．复数1i
Z i =
+（其中i 为虚数单位）的虚部是 （ ） A.12
- B.12i C.12 D.12i -
2．已知集合(){}
lg 3A x y x ==+，{}
2B x x =≥，那么A B =（ ） A. (3,2]- B.(3,)-+∞ C.[2,)+∞ D.[3,)-+∞ 3．以下函数在概念域内为奇函数的是（ ） A. 1
y x x
=+
B. sin y x x =
C. 1y x =-
D. cos y x = 4.命题“2
1,11x x <<<若则-”的逆否命题是（ ）
A.2
1,1,1x x x ≥≥≤-若则或 B.若11<<-x ，那么1
2
<x
C.若1x >或1x <-，那么12>x
D.若1x ≥或1x ≤-，那么12
≥x 5．假设向量(1,2),BA =(4,5),CA =则BC =
A.(5,7)
B.(3,3)--
C.(3,3)
D.(5,7)--
6．假设函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点周围的函数值用二分法计算，得数据如下：
(1)2f =- (1.5)0.625f = (1.25)0.984f =- (1.375)0.260f =-
(1.4375)0.162f =
(1.40625)0.054f =-
那么方程220x x x +--=的一个最接近的近似根为（ ） A ．1.2 B ．1.3 C ．1.4 D ．1.5
7．执行如下图的程序框图,假设输入n 的值为7,那么输出的s 的值为（ ） A ．22 B ．16 C ．15 D ．11
5π12
-
π3
2
O
y x
（7题） （8题）
8．函数()2)(,0,)2
f x x x R π
ωϕωϕ=+∈><
的部份图象如下图，那么,ωϕ的值别离是
（ ）
A ．2,3
π
-
B.2,6
π
-
C.4,6
π
-
D. 4,
3
π
9．假设双曲线22
221x y a b
-=3，那么其渐近线的斜率为（ ）
A.2±
B.2±
C.1
2
±
D.22±
10．已知函数22
2,0
()()()2(1),2,0
x x x f x f a f a f x x x ⎧+≥⎪=-+≤⎨-<⎪⎩,若则实数a 的取值范围是 A.[)1,0- B.[]0,1 C.[]1,1- D.[]
2,2-
二、填空题：（本大题共5小题，考生作答4小题，每题5分，总分值20分.） （一）必做题（11～13题） 11. 计算33log 18log 2-= ．
12．变量x 、y 知足线性约束条件22
2200
x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩，
那么目标函数z x y =+的最大值为 .
13
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。

14．（坐标系与参数方程选做题）已知在平面直角坐标系xOy 中圆C 的
参数方程为：3cos 13sin x y θ
θ
⎧=⎪⎨
=+⎪⎩，（θ为参数），以Ox 为极轴成立极
坐标系，直线极坐标方程为：cos 06πρθ⎛
⎫
+= ⎪⎝
⎭
，那么圆C 截直线所得弦长为 .
15．（几何证明选讲选做题）如图，AB 是圆O 的直径，
BC 是圆O 的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD ，
若3OB =，5OC =，那么CD = .
三、解答题：（本大题共6小题，总分值80分，解答须写出文字说明、证明进程或演算步骤．） 16．（本小题总分值12分）设函数1
()sin 122
f x x x =
++ （1）求函数)(x f 的值域和函数的单调递增区间; （2）当9()5f α=
,且263ππα<<时,求2sin(2)3
π
α+
的值. 17．(此题总分值12分)
O
D
C
B
A
正视图
D
C
B
A
F
E
为了解某班学生喜爱打篮球是不是与性别有关，对本班50人进行了问卷调查取得了如下的列联表：
（1）用分层抽样的方式在喜爱打蓝球的学生中抽６人，其中男生抽多少人？ （2）在上述抽取的６人当选２人，求恰有一名女生的概率. 18．（本小题总分值14分）
如下图的多面体中，ABCD 是菱形，BDEF 是矩形，
ED ⊥面ABCD ,3
BAD π
∠=
．
（1）求证://BCF AED 平面平面.
（2）若,BF BD a A BDEF ==-求四棱锥的体积。

19．（本小题总分值14分）
已知等差数列{}n a 的首项11,a =公差0,d >且2514,,a a a 别离是等比数列{}n b 的234,,.b b b （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）设数列{}n c 对任意正整数n 均有12
112
n
n n
c c c a b b b ++++
=成立，求122014c c c +++的值.
20.（此题总分值14分）
已知椭圆1:C 22
221(0)x y a b a b
+=>> 的离心率为e =，过1C 的左核心1F 的直线
:20l x y -+=被圆2222:(3)(3)(0)C x y r r -+-=>截得的弦长为（1）求椭圆1C 的方程；
（2）设1C 的右核心为2F ，在圆2C 上是不是存在点P ，知足2
122a PF PF b
=,假设存在，指
出有几个如此的点（没必要求出点的坐标）;假设不存在，说明理由. 21.（本小题总分值14分）
已知函数1()ln 1()a
f x x ax a R x
-=-+
-∈
（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；
（2）当1
2
a ≤
时，讨论()f x 的单调性.
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数学试题(文科）答案
1. 【解析】化简得i z 22+=，那么虚部为2
，应选C 2．C 【解析】
(){}
{}lg 33A x y x x x ==+=>-，{}2B x x =≥，因此[2,)A B =+∞,
应选C.
3．【解析】依照奇函数的概念可知A 正确。

4．【解析】由逆否命题的变换可知，命题“假设12
<x ，那么11<<-x ” 的逆否命题是“若1x ≥或1x ≤-，那么12≥x ”
，应选D. 5．【解析】()3,3BC BA AC =+=--
6．【解析】因为()1.40625 0.0540f =<－，()1.4375
0.1620f =>，由零点存在定理知，最接近的近似根为1.4.
7．【解析】程序执行进程中，,i s 的值依次为1,1i s ==；
1,2s i ==；11,3s i =+=；
112,4s i
=++=；11
23,5s i =+++=；11234,6s i =++++=；
112345,7s i =+++++=，输出s 的值为16.
8．【解析】由图知()f x 在5
π12x =
T 知足35π
π+
.4123T = 故A
=32π3π,2,4ωω⨯==5π)12θ⨯+=5πsin()1,
6θ+= 5πππ
2π,2π,623k k k θθ+=+=-∈
Z .因此π()(2).3x f x -= 或由5
(π)12f =π()(2).3x f x -=
9．
【解析】试题分析：双曲线的离心率c e a a ====
b
a =近线的方程为b
y x a
=±
，其斜率为，应选B. 10.【解析】 由偶函数概念可得()f x 是偶函数，故()()f a f a -=，原不等式等价于
()(1)f a f ≤，又依照偶函数概念，()()f a f a =(1)f ≤，函数()f x 在(0,)+∞单调递增，
1a ≤，[1,1]a ∈-．或利用图象求a 范围．选C.
11. 2 12. 4
3
13. 24 14. 15. 4 11. 【解析】333318
log 18log 2log log 922-===
12. 【解析】作出不等式组222200
x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩所表示的可行域如下图，联立2222
x y x y +=⎧⎨
+=⎩得22,33A ⎛⎫
⎪⎝⎭，作直线:l z x y =+，那么z 为直
线l 在x 轴上的截距，当直线l 通过可行域上的点A 时，直线l 在x 轴上的截距最大，现在z 取最大值，即max 224333
z =
+=. 13．【解析】由三视图可知，原几何体是一个三棱柱被截去了一个 小三棱锥取得的，如图111
345(34)324232
V =
⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=
14．
【解析】圆3cos :13sin x C y θ
θ
⎧=⎪⎨
=+⎪⎩（θ
为参数）表示的曲线是以点
)
为圆心，以3为半
径的圆，将直线cos 06πρθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
0y -=
，圆心)
3 2
4
3 第6题图
0y -=的距离d =
1=
，故圆C
截直线所得弦长=15．【解析】由于//OC AD ，BOC BAD ∴∠=∠，而OD OA =，因此ODA BAD ∠=∠， ODA BOC ∴∠=∠，//OC AD ，COD ODA ∴∠=∠，COD BOC ∴∠=∠，OD OB =，OC OC =，BOC DOC ∴∆≅∆，故CD BC =，由于BC 切圆O 于点B ，易知OB BC
⊥，由
勾股定理可得BC =4=，因此4CD BC ==.
16．解：依题意1()cos sin 122f x x x =
++sin()13
x π
=++ ………2分 （1） 函数)(x f 的值域是[]0,2； ………4分 令ππ
π
ππ
k x k 22
3
22
+≤
+
≤+-
，解得52266
k x k ππ
ππ-
+≤≤+ ………7分 因此函数)(x f 的单调增区间为5[2,2]()66
k k k Z ππ
ππ-
++∈. ………8分 （2）由9()sin()1,35
f παα=++=得4
sin()35πα+=,
因为2,63ππα<<
因此,23ππαπ<+<得3
cos()35
πα+=-, ………10分 2sin(2+)sin 2()33
ππαα=+43
2sin()cos()23355ππαα=++=-⨯⨯2425=- ………12分
17.解：（1）在喜爱打蓝球的学生中抽６人，那么抽取比例为61
305
=
∴男生应该抽取1
2045
⨯=人 …………………………４分
（2）在上述抽取的6名学生中, 女生的有2人，男生4人。

女生2人记,A B ；男生4人为,,,c d e f ， 那么从6名学生任取2名的所有情形为:(,)A B 、(,)A c 、(,)A d 、(,)A e 、(,)A f 、(,)B c 、(,)B d 、(,)B e 、(,)B f 、(,)c d 、(,)c e 、(,)c f 、(,)d e 、(,)d f 、(,)e f 共15种情形，……………………8分
其中恰有1名女生情形有：(,)A c 、(,)A d 、(,)A e 、(,)A f 、(,)B c 、(,)B d 、(,)B e 、(,)B f ，共8种情形， …………………………10分 故上述抽取的６人当选２人，恰有一名女生的概率概率为8
P 15
=
. …………………12分
18．证明：（1）由ABCD 是菱形 //BC AD ∴
,BC ADE AD ADE ⊄⊂面面
//BC ADE ∴面………………………………3分
由BDEF 是矩形//BF DE ∴
,BF ADE DE ADE ⊄⊂面面 //BF ADE ∴面 ,,BC BCF BF BCF BC
BF B ⊂⊂=面面……………6分
（2）连接AC ，AC
BD O =
由ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥
由ED ⊥面ABCD ,AC ABCD ⊂面 ED AC ∴⊥
,,ED BD BDEF ED BD D ⊂=面
AO BDEF ∴⊥面，……………………………………………10分
则AO 为四棱锥A BDEF -的高 由ABCD 是菱形，3
BAD π
∠=
，那么ABD ∆为等边三角形，
由BF BD a ==；那么,AD a AO ==
，
2BDEF S a =
， 23
1326A BDEF V a a -=⋅⋅=
………………………………………14分
19.解：（1）∵25141,14,113a d a d a d =+=+=+，且2514,,a a a 成等比数列，
∴2
(14)(1)(113)d d d +=++，即2d =， ……………2分 ∴1(1)22 1.n a n n =+-⋅=- ……………………4分
又∵22353,9,b a b a ====∴1
13,1,3.n n q b b -===………………6分
（2）∵
12
112n
n n
c c c a b b b +++=， ①
∴
121c a b =，即1123c b a ==，又1
12121
(2)n n n c c c a n b b b --++=≥， ② ①-②得
12n
n n n
c a a b +=-= ……………………………………………9分 ∴1
223(2)n n n c b n -==⋅≥，∴1
3
(1)23(2)
n n n c n -=⎧=⎨
⋅≥⎩，………………………………11分 则12201411220143232323c c c -++
+=+⋅+⋅+
+⋅12201332(333)=+⋅++
+
201320143(13)
323.13
-=+⨯
=- ………………14分 20.解：因为直线l 的方程为:20l x y -+=，令0y =，得
2x =-，即1(2,0)F - ……1分
∴2c = ，又∵3
c e a =
=，∴ 26a = ， 2222b a c =-= ∴ 椭圆1C 的方程为22
1:162
x y C +=.………………………………………４分 （2）存在点P ，知足2
122a PF PF b
=
∵ 圆心
2(3,3)C 到直线:20l x y -+=的距离为d =
=，
又直线:20l x y -+=被圆
22
2:66310C x
y x y m +
--++=截得的弦长为
∴由垂径定理得2r =
==，
故圆2C 的方程为22
2:(3)(3)4C x y -+-=.………………………………８分
设圆2C 上存在点(,)P x y ，知足2
122a PF PF b
=即123PF PF =，
且12,F F 的坐标为12(2,0),(2,0)F F -，
则= 整理得2259()24x y -+=，它表示圆心在5(,0)2C ，半径是32
的圆。

∴ 2CC =
=………………………………………１２分 故有2332222
CC -<<+，即圆C 与圆2C 相交，有两个公共点。

∴圆2C 上存在两个不同点P ，知足2
122a PF PF b
=.………………………１４分 21.解：（1）当1a =－时，2
()ln 1,(0,)f x x x x x
=++∈+∞－ ''212()1,(2)ln 22,(2)1,ln 2f x f f y x x x
=
+-=+==+所以切线方程为： ……6分 （2）因为11ln )(--+-=x a ax x x f ， 因此211)('x
a a x x f -+-=221x a x ax -+--= ),0(+∞∈x ， 令,1)(2a x ax x g -+-=),,0(+∞∈x ……………………8分 （i ）当a=0时，()1, (0,)g x x x =+∈+∞－
因此当(0,1)x ∈时g(x)>0, '()0f x <现在函数()f x 单调递减， x ∈（1 ，∞）时，g(x)<0,'
()0f x >现在函数f ,(x)单调递增。

（ii ）当0a ≠时，由()=0f x ，解得：121
1,1x x a
==－……………………10分 ①若12
a =
,函数f(x)在(0,+)∞上单调递减，……………………11分 ②若102a <<，在1(0,1), (1)a +∞－，单调递减，在1(1, 1)a －上单调递增. ③ 当a<0时，由于1/a-1<0,
x ∈(0,1)时，g(x)>0,现在'
()0f x <,函数f(x)单调递减；
x ∈（1 ，∞）时，g(x)<0 ,'()0f x >,现在函数()f x 单调递增。

综上所述：
当a≤0 时，函数f(x)在（0,1）上单调递减; 函数f(x)在 (1, +∞) 上单调递增
当
1
2
a=时,函数f(x)在(0, + ∞)上单调递减
当
1
2
a
<<时，函数f(x)在
1
(0,1), (1)
a
+∞
－，上单调递减；
函数 f(x)在
1
(1,1)
a
－上单调递增；………14分。