高三数学 平面向量多选题知识归纳总结及解析

高三数学 平面向量多选题知识归纳总结及解析
一、平面向量多选题
1．已知集合()(){}=,M x y y f x =,若对于()11,x y M ∀∈,()22
,x y M ∃∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“互垂点集”.给出下列四个集
合:(){}21,1M x y y x ==+;(){2,M x y y ==;(){}3,x
M x y y e ==;(){}4,sin 1M x y y x ==+.其中是“互垂点集”集合的为( )
A ．1M
B ．2M
C ．3M
D ．4M 【答案】BD
【分析】
根据题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥，结合函数图象即可判断．
【详解】
由题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥．
在21y x =+的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '，
所以1M 不是“互垂点集”集合；
对y = 所以在2M 中的任意点()11,P x y ，在2M 中存在另一个P '，使得OP OP '⊥， 所以2M 是“互垂点集”集合；
在x
y e =的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '， 所以3M 不是“互垂点集”集合；
对sin 1y x =+的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点， 所以所以4M 是“互垂点集”集合，
故选：BD ．
【点睛】
本题主要考查命题的真假的判断，以及对新定义的理解与应用，意在考查学生的数学建模能力和数学抽象能力，属于较难题．
2．已知直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB
是圆()()22
:114C x y +++=的一条动弦，G 为弦AB 的中点，AB =（ ）
A ．弦A
B 的中点轨迹是圆
B ．直线12,l l 的交点P 在定圆()()22
222x y -+-=上
C ．线段PG
长的最大值为1
D ．PA PB ⋅
的最小值6+
【答案】ABC
【分析】
对于选项A ：设()00,G x y ，利用已知条件先求出圆心到弦AB 的距离CG ，利用两点之间的距离公式即可得到结论；对于选项B ：联立直线的方程组求解点P 的坐标，代入选项验证即可判断；对于选项C ：利用选项A B 结论，得到圆心坐标和半径，利用1112max PG PG r r =++求解即可；对于选项D ：利用平面向量的加法法则以及数量积运算
得到23PA PB PG ⋅==-，进而把问题转化为求1112min PG PG r r =
--问题，即可判断. 【详解】
对于选项A ：设()00,G x y
，
2AB =
G 为弦AB 的中点，
GB ∴=，
而()()22:114C x y
+++=，
半径为2，
则圆心到弦AB 的距离为1CG =
=，
又圆心()1,1C --， ()()22
00111x y ∴+++=，
即弦AB 的中点轨迹是圆.
故选项A 正确；
对于选项B ： 由310310mx y m x my m --+=⎧⎨+--=⎩
， 得22223211321
1m m x m m m y m ⎧++=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩
， 代入()()22
22x y -+-整理得2，
故选项B 正确；
对于选项C ：由选项A 知：
点G 的轨迹方程为：()()22111x y +++=，
由选项B 知：点P 的轨迹方程为：()()22
222x y -+-=， ()()
11121,1,1,2,2,G r P r ∴--=
所以线段1112max
11PG PG r r =++=+=，
故选项C 正确；
对于选项D ： ()()PA PB PG GA PG GB ⋅=+⋅+
()2PG PG GA GB GA GB =+⋅++⋅
22203PG PG GB PG =+⋅-=-，
故()()2min min
3PA PB PG ⋅=-，
由选项C 知：1112min
11PG PG r r =--=-=，
所以()()2
min 136PA PB ⋅=-=-， 故选项D 错误；
故选：A B C.
【点睛】
关键点睛：本题考查了求圆的轨迹问题以及两个圆上的点的距离问题.把两个圆上的点的距离问题转化为两个圆的圆心与半径之间的关系是解决本题的关键.
3．在ABC 中，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，AE 与BD 交于O ，且
AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅，2AB AC AE +=，2CD DA =，1AB =，则（ ） A ．0AC BD ⋅=
B ．0OA OE ⋅=
C ．3OA OB OC ++=
D ．ED 在BA 方向上的正射影的数量为712
【答案】BCD
【分析】
根据AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅以及正弦定理得到sin cos sin cos C B B C ⋅=⋅，从而求出B C =，进一步得到B C A ==，ABC 等边三角形，根据题目条件可以得到E 为BC 的中点和D 为AC 的三等分点，建立坐标系，进一步求出各选项.
【详解】
由AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅得cos cos AB BC B CA BC C ⋅=⋅， ||cos ||cos AB B CA C ⋅=⋅，正弦定理，sin cos sin cos C B B C ⋅=⋅，()0sin B C =-，B C =，
同理：A C =，所以B C A ==，ABC 等边三角形.
2AB AC AE +=，E 为BC 的中点，2CD DA =，D 为AC 的三等分点.
如图建立坐标系，30,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，13,63D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，解得30,4O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
， O 为AE 的中点，所以，0OA OE +=正确，故B 正确；
1323,,,2233AC BD ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，AC BD ⋅=12331=023236⨯-⨯-≠，故A 错误； 32OA OB OC OA OE OE ++=+==，故C 正确； 13,6ED ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，13,22BA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
，投影712||ED BA BA ⋅=，故D 正确. 故选：BCD.
【点睛】
如何求向量a 在向量b 上的投影，用向量a 的模乘以两个向量所成的角的余弦值就可以了，当然还可以利用公式a b b ⋅进行求解.
4．如图，已知长方形ABCD 中，3AB =，2AD =，()01DE DC λλ→→
=<<，则下列结论正确的是（ ）
A ．当13λ=时，1233
E A A E D B →→
→=+
B ．当23λ=
时，cos ,AE BE →→= C ．对任意()0,1λ∈，AE BE →→
⊥不成立 D ．AE BE →→
+的最小值为4
【答案】BCD
【分析】
根据题意，建立平面直角坐标系，由DE DC λ→→=，根据向量坐标的运算可得()3,2E λ，当13λ=
时，得出()1,2E ，根据向量的线性运算即向量的坐标运算，可求出2133AD AE BE →→→=+，即可判断A 选项；当23
λ=时，()2,2E ，根据平面向量的夹角公
式、向量的数量积运算和模的运算，求出cos ,AE BE →→=
，即可判断B 选项；若AE BE →
→⊥，根据向量垂直的数量积运算，即可判断C 选项；根据向量坐标加法运算求得()63,4AE BE λ→→
+=-，再根据向量模的运算即可判断D 选项.
【详解】
解：如图，以A 为坐标原点，,AB AD 所在直线分别为x 轴､y 轴建立平面直角坐标系， 则()0,0A ，()3,0B ，()3,2C ，()0,2D ，由DE DC λ→→=，可得()3,2E λ， A 项，当13
λ=时，()1,2E ，则()1,2AE →=，()2,2BE →=-， 设AD m AE n BE →→→=+，又()0,2AD →=，所以02222m n m n =-⎧⎨=+⎩，得2313m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， 故2133AD AE BE →
→→
=+，A 错误； B 项，当23λ=
时，()2,2E ，则()2,2AE →=，()1,2BE →=-，
故
cos ,AE BE AE BE AE BE →→→→→→⋅===⋅，B 正确； C 项，()3,2AE λ→=，()33,2BE λ→=-，
若AE BE →→⊥，则()2333229940AE BE λλλλ→→
⋅=-+⨯=-+=，
对于方程29940λλ-+=，()2
Δ94940=--⨯⨯<，
故不存在()0,1λ∈，使得AE BE →→⊥，C 正确； D 项，()63,4AE BE λ→→+=-，所以()226344AE BE λ→→+=
-+≥，
当且仅当12λ=
时等号成立，D 正确. 故选：BCD.
【点睛】 关键点点睛：本题考查平面向量的坐标运算，数量积运算和线性运算，考查运用数量积表示两个向量的夹角以及会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，熟练运用平面向量的数量积运算是解题的关键.
5．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A ．已知A 、
B 、
C 是平面中三点，若,AB AC 不能构成该平面的基底，则A 、B 、C 共线 B ．若a b b c ⋅=⋅且0b ≠，则a c =
C ．若点G 为ΔABC 的重心，则0GA GB GC ++=
D ．已知()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1λ<
【答案】AC
【分析】
根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断B ；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断C ，由数量积及平面向量共线定理判断D ．
【详解】
解：因为,AB AC 不能构成该平面的基底，所以//AB AC ，又,AB AC 有公共点A ，所以A 、B 、C 共线，即A 正确；
由平面向量的数量积可知，若a b b c =，则||||cos ,||||cos ,a b a b b c b c <>=<>，所以||cos ,||cos ,a a b c b c <>=<>，无法得到a c =，即B 不正确；
设线段AB 的中点为M ，若点G 为ABC ∆的重心，则2GA GB GM +=，而
2GC GM =-，所以0GA GB GC ++=，即C 正确；
()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则220a b λ=⋅->解得1λ<，且a 与b 不能共线，即4λ≠-，所以()
(),44,1λ∈-∞--，故D 错误； 故选：AC ．
【点睛】
本题考查向量共线定理和向量数量积的性质和向量的加减运算，属于中档题．
6．已知向量()1,3OA =-，()2,1OB =-，()3,8OC t t =+-，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数t 可以为（ ）
A ．-2
B ．12
C ．1
D ．-1
【答案】ABD
【分析】
若点A ，B ，C 能构成三角形，故A ，B ，C 三点不共线，即向量,AB BC 不共线，计算两个向量的坐标，由向量共线的坐标表示，即得解
【详解】
若点A ，B ，C 能构成三角形，故A ，B ，C 三点不共线，则向量,AB BC 不共线， 由于向量()1,3OA =-，()2,1OB =-，()3,8OC t t =+-，
故(3,4)AB OB OA =-=-，(5,9)BC OC OB t t =-=+-
若A ，B ，C 三点不共线，则 3(9)4(5)01t t t ---+≠∴≠
故选：ABD
【点睛】
本题考查了向量共线的坐标表示，考查了学生转化划归，概念理解，数学运算能力，属于中档题.
7．关于平面向量有下列四个命题，其中正确的命题为（ ）
A ．若a b a c ⋅=⋅，则b c =；
B ．已知(,3)a k =，(2,6)b =-，若//a b ，则1k =-；
C ．非零向量a 和b ，满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为30º；
D ．0||||||||a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】BCD
【分析】
通过举反例知A 不成立，由平行向量的坐标对应成比例知B 正确，由向量加减法的意义知，C 正确，通过化简计算得D 正确．
【详解】
对A ，当0a = 时，可得到A 不成立；
对B ，//a b 时，有326
k =-，1k ∴=-，故B 正确． 对C ，当||||||a b a b ==-时，a 、b 、a b -这三个向量平移后构成一个等边三角形， a b + 是这个等边三角形一条角平分线，故C 正确．
对D ，22()()()()110||||||||||||
a b a b a b a a a b b b +⋅-=-=-=，故D 正确． 故选：BCD ．
【点睛】
本题考查两个向量的数量积公式，两个向量加减法的几何意义，以及共线向量的坐标特点．属于基础题．
8．在ABC 中，()2,3AB =，()1,AC k =，若ABC 是直角三角形，则k 的值可以是（ ）
A ．1-
B ．113
C ．32+
D ．32
【答案】BCD
【分析】
由题意，若ABC 是直角三角形，分析三个内有都有可能是直角，分别讨论三个角是直角的情况，根据向量垂直的坐标公式，即可求解. 【详解】
若A ∠为直角，则AB AC ⊥即0AC AB ⋅= 230k ∴+=解得23
k =-
若B 为直角，则BC AB ⊥即0BC AB ⋅= ()()2,3,1,AB AC k ==
()1,3BC k ∴=--
2390k ∴-+-=解得113
k = 若C ∠为直角，则BC AC ⊥，即0BC AC ⋅=
()()2,3,1,AB AC k ==
()1,3BC k ∴=--
()130k k ∴-+-=解得k =
综合可得，k 的值可能为211,33-
故选：BCD
【点睛】 本题考查向量垂直的坐标公式，考查分类讨论思想，考察计算能力，属于中等题型.
二、立体几何多选题
9．已知四面体ABCD 的所有棱长均为2，则下列结论正确的是（ ）
A ．异面直线AC 与BD 所成角为60︒
B ．点A 到平面BCD 的距离为3
C ．四面体ABCD
D ．动点P 在平面BCD 上，且AP 与AC 所成角为60︒，则点P 的轨迹是椭圆
【答案】BC
【分析】
在正四面体中通过线面垂直可证得AC ⊥BD ，通过计算可验证BC,通过轨迹法可求得P 的轨迹为双曲线方程即可得D 错误.
【详解】
取BD 中点E ,连接,AE CE ,可得BD ⊥面ACE ,则AC ⊥BD ,故A 错误；
在四面体ABCD 中，过点A 作AF ⊥面BCD 于点F ,则F 为为底面正三角形BCD 的重
心，因为所有棱长均为2,AF =
=即点A 到平面BCD ,故B 正确；
设O 为正四面体的中心则OF 为内切球的半径，OA 我外接球的半径， 因为11433
A BCD BCD BCD V S AF S OF -=⋅=⨯⋅△△，所以4AF OF =，即
2
=6OF AO =,
所以四面体ABCD 的外接球体积334433
V R OA ππ===,故C 正确；
建系如图：,A C ⎛⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,设(,,0)P x y ，则
,,0,,333AP x y AC →
→⎛⎛=-=- ⎝⎭⎝⎭，
因为cos 60AP AC AP AC →→→→⋅=，所以241392
y +=，
即222388=333y x y +++，平方化简可得：2232340039
y x y ----，可知点P 的轨迹为双曲线,故D 错误.
故选：BC ．
【点睛】
方法点睛：立体几何中动点轨迹的求解问题，解决此类问题可采用空间向量法，利用空间向量法表示出已知的角度或距离的等量关系，从而得到轨迹方程.
10．M ，N 分别为菱形ABCD 的边BC ，CD 的中点，将菱形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，下列结论正确的有（ ）
A ．MN ∥平面ABD
B ．异面直线A
C 与MN 所成的角为定值
C ．在二面角
D AC B --逐渐变小的过程中，三棱锥D ABC -外接球的半径先变小后变大
D ．若存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直，则ABC ∠的取值范围是0,
2π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】ABD
【分析】
利用线面平行的判定即可判断选项A ；
利用线面垂直的判定求出异面直线AC 与MN 所成的角即可判断选项B ；
借助极限状态，当平面DAC 与平面ABC 重合时，三棱锥D ABC -外接球即是以ABC ∆外接圆圆心为球心，外接圆的半径为球的半径，当二面角D AC B --逐渐变大时，利用空间想象能力进行分析即可判断选项C;
过A 作AH BC ⊥,垂足为H ,分ABC ∠为锐角、直角、钝角三种情况分别进行分析判断即可判断选项D.
【详解】
对于选项A:因为M ，N 分别为菱形ABCD 的边BC ，CD 的中点，所以MN 为BCD ∆的中位线，所以//MN BD ,因为MN ⊄平面ABD ,BD ⊂平面ABD ，所以MN ∥平面ABD ,故选项A 正确；
对于选项B ：取AC 的中点O ，连接,DO BO ,作图如下：
则,AC DO AC BO ⊥⊥,BO DO O =,由线面垂直的判定知，AC ⊥平面BOD ,所以AC BD ⊥,因为//MN BD ,所以AC MN ⊥,即异面直线AC 与MN 所成的角为定值90，故选项B 正确；
对于选项C:借助极限状态，当平面DAC 与平面ABC 重合时，三棱锥D ABC -外接球即是以ABC ∆外接圆圆心为球心，外接圆的半径为球的半径，当二面角D AC B --逐渐变大时，球心离开平面ABC ，但是球心在底面的投影仍然是ABC ∆外接圆圆心，故二面角D AC B --逐渐变小的过程中，三棱锥D ABC -外接球的半径不可能先变小后变大， 故选项C 错误；
对于选项D:过A 作AH BC ⊥,垂足为H ,若ABC ∠为锐角，H 在线段BC 上；若ABC ∠为直角，H 与B 重合；若ABC ∠为钝角，H 在线段BC 的延长线上；
若存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直，因为AH BC ⊥，所以CB ⊥平面AHD ,由线面垂直的性质知,CB HD ⊥,
若ABC ∠为直角，H 与B 重合，所以CB BD ⊥,在CBD ∆中，因为CB CD =, 所以CB BD ⊥不可能成立，即ABC ∠为直角不可能成立；
若ABC ∠为钝角，H 在线段BC 的延长线上，则在原平面图菱形ABCD 中，DCB ∠为锐角，由于立体图中DB DO OB <+,所以立体图中DCB ∠一定比原平面图中更小，，所以DCB ∠为锐角，CB HD ⊥，故点H 在线段BC 与H 在线段BC 的延长线上矛盾，因此
ABC ∠不可能为钝角；综上可知，ABC ∠的取值范围是0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
.故选项D 正确; 故选：ABD
【点睛】
本题考查异面垂直、线面平行与线面垂直的判定、多面体的外接球问题；考查空间想象能力和逻辑推理能力；借助极限状态和反证法思想的运用是求解本题的关键；属于综合型强、难度大型试题.。