2021_2022学年高中数学第二章变化率与导数测评含解析北师大版选修2_2

第二章测评
(时间:120分钟满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知函数y=x2+1的图像上一点(1,2)及邻近一点(1+Δx,2+Δy),则等于()
A.2
B.2x
x D.2+(Δx)2
Δx+2.
2.曲线y=ax3-2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为()
B.60°
C.120°
D.135°
点(1,3)在曲线上,∴3=a-2+4,可得a=1,则y=x3-2x+4,y'=3x2-2,当x=1时,y'=1.故所求切线的倾斜角为45°.
3.已知函数f(x)=,则方程f'(x)=0的解为()
A.x=1
B.x=e
D.x=0
(x)=.
∵f'(x)=0,∴1-ln x=0,解得x=e.
4.函数y=的导数是()
A. B.
D.-
·(3x-1)'=-,故选C.
5.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=()
B.1
C.2
D.3
f(x)=ax-ln(x+1),∴f'(x)=a-.
∴f(0)=0且f'(0)=a-1=2,解得a=3.
6.已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=2x·f'(1)+ln x,则f'(1)等于()
B.-1
C.1
D.e
f(x)=2xf'(1)+ln x,∴f'(x)=2f'(1)+.
∴f'(1)=2f'(1)+1.∴f'(1)=-1.
7.已知函数f(x)=ln x+(m∈R)的图像在点(1,f(1))处的切线l的斜率为2,则直线l在y轴上的截距为()
B.-3
C.1
D.-1
f'(x)=,则f'(1)==2,得m=-1.所以f(1)=ln 1+=-1,故切线方程为y+1=2(x-1),由x=0得y=-3.故选B.
8.已知函数f(x)=a sin 3x+bx3+4(a∈R,b∈R),f'(x)为f(x)的导函数,则f(2 020)+f(-2 020)+f'(2 021)-f'(-2 021)=()
B.8
C.2 020
D.2 021
f'(x)=3a cos 3x+3bx2,所以f'(x)=f'(-x),而f(x)+f(-x)=4+4=8,所以有f(2 020)+f(-2
(2 021)-f'(-2 021)=8.
9.若曲线y=e-x上点P处的切线垂直于直线x-2y+1=0,则点P的坐标是()
A.(-2,ln 2)
B.(2,-ln 2)
D.(ln 2,-2)
P的坐标是(x0,y0),由题意得y'=-e-x,
∵曲线y=e-x上点P处的切线垂直于直线x-2y+1=0,∴-=-2,解得x0=-ln 2.
∴y0==2.故点P的坐标是(-ln 2,2).
10.已知点P在曲线y=2sincos上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是()
A. B.
D.
y=2sincos=sin x,∴y'=cos x.
设P(x0,y0),由题意知,切线的斜率存在,则曲线在点P处的切线的斜率k=tan α=cos x0,
∴-1≤tan α≤1.
∵0≤α<π,∴α∈.故选D.
11.已知曲线f(x)=sin2x+2ax(x∈R),若对任意实数m,直线l:x+y+m=0都不是曲线y=f(x)的切线,则a的取值范围是()
A.(-∞,-1)∪(-1,0)
B.(-∞,-1)∪(0,+∞)
C.(-1,0)∪(0,+∞)
且a≠0,a≠-1
(x)=2sin x cos x+2a=sin 2x+2a,直线l的斜率为-1,由题意知关于x的方程sin 2x+2a=-1无解,所以|2a+1|>1,解得a<-1或a>0.故选B.
12.已知曲线y1=2-与y2=x3-x2+2x在x=x0处切线的斜率的乘积为3,则x0的值为()
B.2
C.
D.1
y'1=,y'2=3x2-2x+2,所以两曲线在x=x0处切线的斜率分别为,3-2x0+2,所以=3.所以
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
f(x)=x3-mx+3,若f'(1)=0,则m=.
f'(x)=3x2-m,∴f'(1)=3-m=0.∴m=3.
f(x)在x=x0处可导,若=1,则f'(x0)=.
=1,
,
即f'(x0)=.
f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5),则f'(0)=.
f'(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)+x[(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)]',∴
-1)×(-2)×(-3)×(-4)×(-5)=-120.
120
16.已知点P在曲线y=上,α为该曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围
f'(x)=-,
k=-≥-=-1(当且仅当x=0时,取等号),且k<0,∴曲线y=f(x)上点P处的切线的斜率-1≤k<0.又∵k=tan α,α∈[0,π),∴α∈.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)某质点做直线运动,已知路程s是时间t的函数,s=3t2+2t+1.
(1)求从t=2到t=2+Δt的平均速度,并求当Δt=1,Δt=0.1与Δt=0.01时的平均速度;
t=2时的瞬时速度.
因为Δs=3(2+Δt)2+2(2+Δt)+1-(3×22+2×2+1)=14Δt+3Δt2,所以从t=2到t=2+Δt的平均速度为14+3Δt.当Δt=1时,平均速度为17;当Δt=0.1时,平均速度为14.3;当Δt=0.01时,平均速度为14.03.
(2)当t=2时的瞬时速度为v=(14+3Δt)=14.
18.(本小题满分12分)求下列函数的导数.
(1)y=lg x-sin x;(2)y=(+1);
; (4)y=ln(3x-1).
y'=(lg x-sin x)'=(lg x)'-(sin x)'=-cos x.
(2)∵y=(+1)=-,
∴y'=-=-.
(3)y'='=.
(4)y'=[ln(3x-1)]'=·(3x-1)'=.
19.(本小题满分12分)设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=2x2.
(1)求x<0时,f(x)的表达式.
(2)令g(x)=ln x,问是否存在x0,使得f(x),g(x)在x=x0处的切线互相平行?若存在,请求出x0的值;若不存在,请说明理由.
当x<0时,-x>0,f(x)=-f(-x)=-2(-x)2=-2x2.
(2)若f(x),g(x)在x0处的切线互相平行,则f'(x0)=g'(x0),且x0>0,故f'(x0)=4x0=g'(x0)=,解得
x0=±.∵x0>0,∴x0=.
∴存在,x0的值为.
20.(本小题满分12分)已知曲线y=x3+x-2在点P0处的切线l1平行于直线4x-y-1=0,且点P0在第三象限.
(1)求P0的坐标;
l⊥l1,且l也过切点P0,求直线l的方程.
由y=x3+x-2,得y'=3x2+1,由已知令3x2+1=4,解得x=±1.∵点P0在第三象限,∴x=-1,y=-4.切点P0的坐标为(-1,-4).
(2)∵直线l⊥l1,l1的斜率为4,∴直线l的斜率为-.∵l过切点P0,点P0的坐标为(-1,-4),∴直线l的方程为y+4=-(x+1),即x+4y+17=0.
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x3+x-16.
(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程;
l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标.
由题意可判定点(2,-6)在曲线y=f(x)上.
∵f'(x)=(x3+x-16)'=3x2+1,∴曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f'(2)=13.
∴切线的方程为y+6=13(x-2),即y=13x-32.
(2)设切点坐标为(x0,y0),则直线l的斜率为f'(x0)=3+1,y0=+x0-16,∴直线l的方程为
y=(3+1)(x-x0)++x0-16.又∵直线l过坐标点(0,0),∴0=(3+1)(-x0)++x0-16,整理得=-8.∴x0=-2.∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26,则切点坐标为(-2,-26),k=3×(-2)2+1=13.∴直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).
22.(本小题满分12分)设抛物线C:y=-x2+x-4,过原点O作C的切线y=kx,使切点P在第一象限.
(1)求k的值;
(2)过点P作切线的垂线,求它与抛物线的另一个交点Q的坐标.
解(1)设点P的坐标为(x1,y1)(x1>0,y1>0),则y1=-x1-4.∵y=-x2+x-4,∴y'=-2x+.由题意可知k=-2x1+.
∴切线方程为y=(x-x1)+.∵切线过原点O,∴0=(-x1)+-x1-4,解得x1=2,则y1=1.∴k=-2×2+.
∴k的值为.
(2)过点P作切线的垂线,其方程为y=-2x+5.①
将①代入抛物线方程得x2-x+9=0.
设点Q的坐标为(x2,y2),则x2=,y2=-4.
∴点Q的坐标为.。