高中数学 25从力做的功到向量的数量积活页训练 北师大版必修4

【创新设计】2013-2014学年高中数学 2-5从力做的功到向量的数量
积活页训练 北师大版必修4
双基达标
限时20分钟
1．对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中真命题是( )． A ．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0 C ．若a 2
＝b 2
，则a ＝b 或a ＝－b D ．若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c
解析 A 中若a ⊥b ，则有a·b ＝0，不一定有a ＝0，b ＝0. C 中当|a |＝|b |时，a 2
＝b 2
，此时不一定有a ＝b 或a ＝－b . D 中当a ＝0时，a·b ＝a·c ，不一定有b ＝c . 答案 B
2．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为60°，则a ·a ＋a ·b ＝( )． A.12 B.32 C ．1＋3
2 D ．2 解析 a ·a ＋a ·b ＝|a |2＋|a ||b |·cos 60° ＝1＋1×1×12＝32.
答案 B
3．设e 1，e 2是两个平行的单位向量，则下面的结果正确的是( )． A ．e 1·e 2＝1 B ．e 1·e 2＝－1 C ．|e 1·e 2|＝1
D ．|e 1·e 2|<1
解析 ∵e 1，e 2平行，∴e 1与e 2的夹角θ＝0°或θ＝180°，若θ＝0°，则e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos θ＝1×1×cos 0°＝1；
若θ＝180°，则e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos θ＝1×1×cos 180°＝－1； 综上得|e 1·e 2|＝1. 答案 C
4．已知|a |＝5，|b |＝6，若a ∥b ，则a ·b ＝________. 解析 由a ∥b ，可知a 与b 的夹角为0或π，故a ·b ＝±30. 答案 ±30
5．已知a ⊥b ，(3a ＋2b )⊥(k a －b )，若|a |＝2，|b |＝3，则实数k 的值为________． 解析 由已知a·b ＝0，a 2
＝4，b 2
＝9，(3a ＋2b )·(k a －b )＝0⇒3k a 2
＋(2k －3)a ·b －2b 2
＝0.∴12k －18＝0，∴k ＝3
2
.
答案 32
6．已知a 、b 都是非零向量，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角．
解 ∵a ＋3b 与7a －5b 垂直，∴(a ＋3b )·(7a －5b )＝0， ∵a －4b 与7a －2b 垂直，∴(a －4b )·(7a －2b )＝0.
于是有⎩
⎪⎨⎪⎧
7a 2
＋16a·b －15b 2
＝0， ①7a 2－30a ·b ＋8b 2
＝0. ②
①－②得2a ·b ＝b 2
. ③ 将③代入①得a 2
＝b 2
，∴|a |＝|b |.
∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝|b |2
2|b |2＝1
2
.
∵0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉＝60°.
综合提高
限时25分钟
7．如图所示，在Rt △ABC 中，A ＝90°，AB ＝1，则AB →·BC →
的值是( )． A ．1 B ．－1 C ．1或－1
D ．不确定，与B 的大小，BC 的长度有关
解析 法一 根据数量积的定义，得AB →·BC →＝－BA →·BC →＝－|BA →||BC →|cos B ．又cos B ＝|BA →
|
|BC →|，
故AB →·BC →＝－|BA →
|2
＝－1，故选B.
法二 从投影的角度来考虑，事实上，由于A ＝90°，AB →·BC →＝－BA →·BC →＝－|BA →||BC →
|cos B ，而|BC →|cos B ＝|BA →|，所以AB →·BC →＝－|BA →
|2
＝－1.故选B. 答案 B
8．已知|a |＝3，|b |＝2，a ，b
＝60°，如果(3a ＋5b )⊥(m a －b )，则m 的值为
( )．
A.3223
B.2343
C.2942
D.2116
解析 由已知可得(3a ＋5b )·(m a －b )＝0，即3m a 2
＋(5m －3)a·b －5b 2
＝0⇒3m ·32
＋(5m －3)·3×2·cos 60°－5×22
＝0，解之得m ＝2942
.
答案 C
9．若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )． A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2
解析 由已知条件向量a ，b ，c 均为单位向量可知，a 2
＝1，b 2
＝1，c 2
＝1，由a·b ＝0及(a －c )·(b －c )≤0可知，(a ＋b )·c ≥1，因为|a ＋b －c |2
＝a 2
＋b 2
＋c 2
＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ，所以有|a ＋b －c |2
＝3－2(a ·c ＋b ·c )＝3－2c ·(a ＋b )≤1，故|a ＋b －c |≤1. 答案 B
10．已知e 1，e 2是夹角为2π
3
的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2.若a·b ＝0，则实数
k 的值为________．
解析 由题意知：a·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝0，即k e 2
1＋e 1·e 2－2k e 1·e 2－2e 2
2＝0，即k ＋cos 2π3－2k cos 2π3－2＝0，化简可求得k ＝54.
答案 54
答案 －2
11．对于两个非零向量a ，b ，求使|a ＋t b |最小时的t 的值，并求此时b 与a ＋t b 的夹角． 解 |a ＋t b |2
＝a 2
＋2(a·b )t ＋t 2b 2
＝|a |2
＋2(a·b )t ＋t 2
|b |2
＝|b |2
⎝ ⎛⎭
⎪⎫t ＋a·b |b |22＋|a |2－a·b 2
|b |2
.
当t ＝－
a·b |b |
2时，|a ＋t b |2
取得最小值， 即|a ＋t b |取得最小值． 此时，b ·(a ＋t b )＝b ·⎝
⎛⎭
⎪⎫a －a·b |b |2b ＝a·b －
a·b |b |
2b 2
＝a·b －a·b ＝0. 又∵b ≠0，(a ＋t b )≠0，∴b ⊥(a ＋t b )． ∴b 与a ＋t b 的夹角为90°.
12．(创新拓展)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 夹角为45°，是否存在实数λ，使a ＋λb 与λa ＋b 所成的角为锐角？若存在，请求出λ所满足的条件；若不存在，请说明理由． 解 设a ＋λb 与λa ＋b 的夹角为θ.
(a ＋λb )·(λa ＋b )＝λa 2
＋λb 2
＋(λ2
＋1)a·b ＝λ|a |2
＋λ|b |2
＋(λ2
＋1)|a ||b |cos 45°
＝2λ＋9λ＋(λ2
＋1)×32×22
＝3λ2
＋11λ＋3. 若θ为锐角，则cos θ＞0. ∵cos θ＝
a ＋λ
b ·λa ＋b
|a ＋λb ||λa ＋b |
，|a ＋λb ||λa ＋b |＞0，
∴若θ为锐角，则(a ＋λb )·(λa ＋b )＞0， 即3λ2
＋11λ＋3＞0.
令3λ2
＋11λ＋3＝0，得λ＝－11±856
.
由于抛物线y ＝3λ2
＋11λ＋3开口向上，与横轴交点的横坐标为－11＋856和－11－856，
所以使3λ2
＋11λ＋3＞0的λ的取值范围为λ＜－11－856，或λ＞－11＋856.
当a ＋λb 与λa ＋b 共线时，
(a ＋λb )·(λa ＋b )＝|a ＋λb ||λa ＋b |， 或(a ＋λb )·(λa ＋b )＝－|a ＋λb ||λa ＋b |， 解得λ＝1，或λ＝－1，此时不符合题意．
所以当λ∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫－∞，－11－856∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－11＋856，1∪(1，＋∞)时，a ＋λb 与λa ＋b 所成
的角为锐角．。