上海 同济大学第二附属中学必修五第三章《不等式》测试卷(包含答案解析)

一、选择题
1．已知正数x ，y 满足1431
x y +=+，则x y +的最小值为（ ） A ．
53
B ．2
C ．
73
D ．6
2．已知()()22log 1log 24a b -++=，则+a b 的最小值为（ ） A ．8
B ．7
C ．6
D ．3
3．若实数x ，y 满足1,,1,x y y x y +≤⎧⎪
≤⎨⎪≥-⎩
则2z x y =+的最大值为（ ）
A ．3-
B ．0
C ．1
D ．3
4．设x ，y 满足约束条件5010550x x y x y -≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≥⎩，且(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为1，则
56
a b
+的最小值为（ ） A ．64
B ．81
C ．100
D ．121
5．已知实数满足约束条件020360x y x y x y -≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-+≥⎩
，则2z x y =-的最小值为（ ）
A ．4-
B ．3-
C ．2-
D ．1-
6．若正数a ，b 满足111a b +=，则41611
a b +--的最小值为（ ） A ．16
B ．25
C ．36
D ．49
7．若,x y 满足条件11x y x y y ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
，则2z x y =-+的最大值为（ ）
A ．1
B ．12
-
C ．2
D ．-5
8．实数x ，y 满足线性约束条件424x y x y x +≥⎧⎪
-≥⎨⎪≤⎩
，则2z x y =-的最小值为（ ）
A ．2-
B ．1-
C ．0
D ．1
9．已知函数()()log 31a f x x =+-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在直线
40mx ny ++=上，其中0mn >，则
12
m n
+的最小值为（ ） A ．
23
B ．
43
C ．2
D ．4
10．已知正项等比数列{}n a 中979a a =，若存在两项m a 、n a ，使2
127m n a a a =，则
116
m n
+的最小值为（ ） A ．5
B ．
215
C ．
516
D ．
654
11．设,x y 满足约束条件0
{4312
x y x
x y ≥≥+≤，且23
1
x y z x ++=
+，则z 的取值范围是（ ） A ．[]1,5
B ．2,6
C ．[]
2,10
D ．[]
3,11
12．设x ，y 满足约束条件261322
x y x y y -≤⎧⎪⎪
+≥⎨⎪≤⎪⎩，则1z x y =-+的最小值是（ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
二、填空题
13．若实数x ，y 满足约束条件230
23030
x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩
，则y x x y +的取值范围是______. 14
x =______. 15．若x ，y 满足约束条件0202x y x y y -≤⎧⎪
-≥⎨⎪⎩
，则32z x y =+的最大值是_________.
16．已知1,1,1,x y x y ≤⎧⎪
≤⎨⎪+≥⎩当z x y =+取到最小值时，xy 的最大值为________.
17．若x ，y 满足约束条件10,20,220,x y x y x y -+≤⎧⎪
-≤⎨⎪+-≤⎩则z x y =+的最大值为______.
18．设x 、y 满足约束条件22010240x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪--≤⎩
，则2z x y =+的最大值是__________．
19．已知函数245x y a +=-（0a >，且1a ≠）的图像横过定点P ，若点P 在直线
20Ax By ++=上，且0AB >，则
12
A B
+的最小值为
_________． 20．若(0,1)x ∈时，不等式111m x x
≤
+-恒成立，则实数m 的最大值为________． 三、解答题
21．为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入.据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a 万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x 名(x ∈N 且4575x ≤≤)，调整后研发人员的年人均投入增加()4%x ，技术人员的年人均投入调整为225x a m ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
万元. （1）要使这100x -名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？
（2）是否存在这样的实数m ，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.若存在，求出m 的范围；若不存在，说明理由.
22．某地要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边所成的角为60°，考虑到防洪堤的坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为93平方米，且高度不低于3米，记防洪堤横断面的腰长为x （米），外周长（梯形的上底BC 与两腰长的和）为y （米）.
（1）求y 关于x 的函数关系式，并指出其定义域；
（2）当防洪堤的腰长x 为多少米时，断面的外周长y 最小？求此时外周长的值．
23．某公司生产某种产品，其年产量为x 万件时利润为()R x 万元，当035x <≤时，年利
润为21()2R x x =-
20250x ++，当35x >时，年利润为()18005202R x x x
=--+. （1）若公司生产量在035x <≤且年利润不低于400万时，求生产量x 的范围；
（2）求公司年利润()R x 的最大值. 24．已知2()2(2)f x x a x a =-++，a R ∈. （1）解关于x 的不等式()0f x >；
（2）若方程()1f x x =+有两个正实数根1x ，2x ，求21
12
x x x x +的最小值. 25．已知2()(1)1f x ax a x =+--
（1）若()0f x >的解集为11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，求关于x 的不等式3
01
ax x +≤-的解集； （2）解关于x 的不等式()0f x ≥. 26．已知函数2()3f x x ax a =-++. （1）当7a =时，解不等式()0f x >；
（2）当x ∈R 时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
化简
114[(1)]()131
x y x y x y +=++⨯+-+，再利用基本不等式求解. 【详解】
由题得1
114
(1)1[(1)]31[(1)]()1331
x y x y x y x y x y +=++-=++⨯-=++⨯+
-+ 1141(5)1(5)123131
y x x y y +=++-≥+-=++ 当且仅当1x y ==时取等. 所以x y +的最小值为2. 故选：B 【点睛】
方法点睛：利用基本不等式求最值时，常用到常量代换，即把所求代数式中的某一常量换成已知中的代数式，再利用基本不等式求解.
2．B
解析：B 【分析】
由对数运算可得出()()1216a b -+=，利用基本不等式可求得+a b 的最小值. 【详解】
因为()()22log 1log 24a b -++=，即()()2log 124a b -+=⎡⎤⎣⎦， 所以，()()1216a b -+=且有10a ->，20b +>，
由基本不等式可得()()128a b -++≥=，所以，7a b +≥，
所以(1)(2)16a b -+=，且10a ->，20b +>， 当且仅当124a b -=+=时等号成立. 因此，+a b 的最小值为7. 故选：B. 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
3．D
解析：D 【分析】
画出约束条件所表示的平面区域，根据目标函数的几何意义，结合图形，即可求出结果. 【详解】
由x ，y 满足条件1,,1,x y y x y +≤⎧⎪
≤⎨⎪≥-⎩
作出可行域，如图.
则()()1,1,2,1B C ---，由1x y y x
+=⎧⎨
=⎩得1
1,22A ⎛⎫
⎪⎝⎭
目标函数2z x y =+，化为2y x z =-+ 则z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距.
由图可知，当直线2y x z =-+过点C 时，z 有最大值. 所以z 的最大值为：2213z =⨯-= 故选：D
【点睛】
方法点睛：解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;
二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;
三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
4．D
解析：D 【分析】
作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线得最优解，从而得,a b 的关系式
561a b +=，然后用“1”的代换，配凑出积为定值，用基本不等式得最小值．
【详解】
作出约束条件表示的可行域，如图，ABC 内部（含边界），作直线直线0ax by += ，
z ax by =+中，由于0,0a b >>，
a
b
是直线的纵截距，直线向上平移时，纵截距增大， 所以当直线z ax by =+经过点()5,6时，z 取得最大值， 则561a b +=， 所以
()56565661306160121b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫
+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 当且仅当111a b ==时，等号成立，故56
a b
+的最小值为121． 故选：D ．
【点睛】
关键点点睛：本题考查简单的线性规划，考查用基本不等式求最值．解题思路是利用简单的线性规划求得变量,a b 满足的关系式，然后用“1”的代换凑配出定值，再用基本不等式求得最小值．求最值时注意基本不等式的条件：一正二定三相等，否则易出错．
5．A
解析：A 【分析】
根据约束条件作出可行域，将目标函数变形为122z
y x =-，通过平移直线法可求出2
z -的最大值，从而可得z 的最小值． 【详解】
作出已知不等式组所表示的平面区域，如图所示：
将目标函数2z x y =-变形为122z
y x =-，由图可知当直线经过点(0,2)A 时，截距2
z -最大，
所以，2z x y =-的最小值为4-． 故选：A 【点睛】
方法点睛：解决线性规划问题的关键是正确地作出可行域，准确地理解z 的几何意义，求最优解时采用“平移直线法”． 利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： (1)在平面直角坐标系内作出可行域；
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；
(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解； (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.
6．A
解析：A 【分析】 由
111a b +=得：(1,1)1
a b a b a =>>-，代入416
11a b +--化简，利用基本不等式可求函数最小值. 【详解】 由
111a b +=得：(1,1)1
a b a b a =>>-，代入41611a b +--得到：
4164164416(1)216(1)16
111111
1
a a a a
b a a a a +=+=+-≥⋅-=------- 当且仅当：4=16(1)1
a a --即3
2a =时取等号.
故选：A 【点睛】
本题考查了均值不等式在求最值问题中的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.
7．A
解析：A 【解析】
作出不等式组11x y
x y y ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
表示的平面区域，如图
，
得到如图的ABC 及其内部，其中(
)()111,1,2,1,,22A B C ⎛⎫
--- ⎪⎝⎭
，设2z x y =-+，将直线:2l z x y =-+进行平移，当l 经过点A 时，目标函数z 达到最大值，∴()=211=1Z -⨯--最大值，故选A.
点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
8．C
解析：C 【分析】
作出约束条件的可行域，将目标函数转化为122
z
y x =-，利用线性规划即可求解. 【详解】
解：由2z x y =-得122
z
y x =
-，
作出x ，y 满足约束条件424x y x y x +≥⎧⎪
-≥⎨⎪≤⎩
对应的平面区域如图（阴影部分ABC ）：
平移直线122
z y x =
-， 由图象可知当直线122z y x =
-过点C 时，直线122
z
y x =-的截距最大，此时z 最小， 4
20x x y =⎧⎨
--=⎩
，解得()4,2A .代入目标函数2z x y =-， 得4220z =-⨯=，
∴目标函数2z x y =-的最小值是0. 故选：C . 【点睛】
本题考查简单的线性规划，解题的关键是作出约束条件的可行域，属于中档题.
9．C
解析：C 【分析】
由对数函数的图象得出A 点坐标，代入直线方程得,m n 的关系，从而用凑出基本不等式形式后可求得最小值． 【详解】
令31+=x ，2x =-，(2)1f -=-，∴(2,1)A --，
点A 在直线40mx ny ++=上，则240m n --+=，即24m n +=， ∵0mn >，24m n +=，∴0,0m n >>，
∴121121414(2)4422444n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛
⎫+=++=++≥+⨯= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当
4n m
m n
=，即1,2m n ==时等号成立． 故选：C ． 【点睛】
本题考查对数函数的性质，考查点在直线上，考查用基本不等式求最小值．是一道综合
题，属于中档题．
10．A
解析：A 【分析】
根据条件可先求出数列的公比，再根据2
127m n a a a =可得出5m n +=，利用基本不等式即
可求出
116
m n +的最小值. 【详解】
正项等比数列中，29
7
9a q a ==，所以3q =. 因为1
1222111127m n m n m n a a a q a q a q a --+-=⋅==，所以5m n +=.
因为
11611161161()()(17)17)5555n m m n m n m n m n +=++=++≥=， 当且仅当16n m
m n
=，即4n m =时取等号，因为m 、n *N ∈，所以1m =，4n =， 所以
116
m n +的最小值为5. 故选：A. 【点睛】
本题考查等比数列的基本量的计算，考查利用基本不等式求最值，属于基础题.
11．D
解析：D 【分析】
试题分析：作出不等式组0
{4312
x y x
x y ≥≥+≤表示的平面区域，如下图阴影部分所示，目标函数
()()121231
12111
x y x y y z x x x ++++++=
==+⨯
+++表示可行域内的点到()1,1--的连线的斜率，其斜率的最小值为min 1,k =最大值为 ()()
max 41501k --=
=--，所以z 的取值范围是
[]3,11，故选D.
考点：简单的线性规划.
【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划，属于中档题.线性规划问题首先要作出准确、清晰的可行域，这是正确解题的前提，其次是找准目标函数的几何意义，常见的有“截距型”、“距离型”和“斜率型”，本题中通过吧目标函数231
x y z x ++=+变形可知其表示可行域内的点到点 ()1,1--连线斜率的2倍在加上 1，这样问题就转化为求可行域内的点与定点连线的斜率的范围问题，通过数形结合就容易解答了.
12．C
解析：C
【分析】
作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入求解，即可得到答案.
【详解】
作出x ，y 满足约束条件261322
x y x y y -≤⎧⎪⎪+≥⎨⎪≤⎪⎩，所对应的可行域，如图所示， 目标函数1z x y =-+可化为1y x z =+-，当直线1y x z =+-过点A 时，
此时直线在y 轴上的截距最大值，此时目标函数取得最小值， 又由2132
y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得(2,2)A ， 所以目标函数的最小值为min 2211z =-+=.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．
二、填空题
13．【分析】作出可行域利用表示可行域内点与原点连线的斜率求得它的取值范围再根据函数的单调性可得的范围【详解】作出可行域如图内部（含边界）表示出可行域内点与原点连线斜率由已知得所以记由勾形函数性质知在上递 解析：52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【分析】 作出可行域，利用
y x 表示可行域内点与原点连线的斜率求得它的取值范围，再根据函数的单调性可得
y x x y +的范围． 【详解】
作出可行域，如图ABC 内部（含边界），
y x 表示出可行域内点与原点连线斜率，由已知得(1,2),(2,1)A B ，2OA k =，12OB k =
， 所以1,22y t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦
， 1y x t x y t +=+，记1()f t t t =+，由勾形函数性质知()f t 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上递减，在[1,2]上递增，
1522
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(1)2f =，5(2)2f =，∴5()2,2f t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．
故答案为：52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
．
14．4【分析】将所给式子变形为然后利用基本不等式求解即可【详解】因为所以当且仅当即时等号成立故答案为：4【点睛】关键点睛：此题的解题关键是将所给式子变形为从而满足基本不等式成立的条件最后计算求解
解析：4
【分析】 1111x x x x =-++，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】
11x ≥， ()911211615111
x x x x x x =≥+⋅=-=+++， 11
x x =
+4x =时，等号成立. 故答案为：4.
【点睛】 111
x x +
+，从而满足基本不等式成立的条件，最后计算求解. 15．10【分析】作出不等式组对于的平面区域利用数形结合即可得到结论【详解】解：作出不等式组对于的平面区域如图：由则平移直线由图象可知当直线经过点时直线在轴上的截距最大此时最大由解得此时故答案为：10【点 解析：10
【分析】
作出不等式组对于的平面区域，利用数形结合即可得到结论．
【详解】
解：作出不等式组对于的平面区域如图：
由32z x y =+，则322z y x =-+， 平移直线322
z y x =-+， 由图象可知当直线322z y x =-
+， 经过点A 时，直线322
z y x =-+， 在y 轴上的截距最大，此时z 最大，
由20
y x y =⎧⎨-=⎩，解得(2,2)A ， 此时322210max z =⨯+⨯=，
故答案为：10．
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键． 16．【分析】根据约束条件作出可行域将目标函数变形为通过平移可知当直线与直线重合时取得最小值再利用基本不等式求解即可【详解】作出已知不等式组所表示的平面区域如图所示：将目标函数变形为由图可知当直线与直线重
解析：14
【分析】
根据约束条件作出可行域，将目标函数变形为y x z =-+，通过平移可知当直线y x z =-+与直线1x y +=重合时，z 取得最小值，再利用基本不等式求解即可.
【详解】
作出已知不等式组所表示的平面区域，如图所示：
将目标函数z x y =+变形为y x z =-+，
由图可知当直线y x z =-+与直线1x y +=重合时，z 取得最小值，此时1x y +=， 所以21()24x y xy +≤=，当且仅当x y =且1x y +=，即12
x y ==时等号成立. 所以xy 的最大值为
14. 故答案为：
14
【点睛】 本题主要考查简单线性规划问题中的目标函数最值问题及基本不等式，解决线性规划问题的关键是正确地作出可行域，准确地理解目标函数的几何意义.
17．1【分析】画出可行域和目标函数根据目标函数的几何意义得到答案【详解】如图所示：画出可行域和目标函数则表示直线在轴的截距当直线过点时即时有最大值为故答案为：【点睛】本题考查了线性规划问题意在考查学生的 解析：1
【分析】
画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义得到答案.
【详解】
如图所示：画出可行域和目标函数，
z x y =+，则y x z =-+，z 表示直线在y 轴的截距，
当直线过点()0,1时，即0,1x y ==时，z 有最大值为1.
故答案为：1.
【点睛】
本题考查了线性规划问题，意在考查学生的应用能力，画出图像是解题的关键. 18．16【分析】作出不等式组表示的平面区域由可得则表示直线在轴上的截距截距越大越大结合图象即可求解的最大值【详解】作出满足约束条件表示的平面区域如图所示：由可得则表示直线在轴上的截距截距越大越大作直线然 解析：16
【分析】
作出不等式组表示的平面区域，由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距，截距越大，z 越大，结合图象即可求解z 的最大值．
【详解】
作出x 、y 满足约束条件22010240x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩
表示的平面区域，如图所示：
由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距，截距越大，z 越大
作直线20x y +=，然后把该直线向可行域平移，
当直线经过A 时，z 最大
由10240
x y x y -+=⎧⎨--=⎩可得(5,6)A ，此时16z =． 故答案为：16．
【点睛】
本题主要考查了线性规划知识的应用，求解的关键是明确目标函数中z 的几何意义．属于中档题.
19．4【分析】先求出定点的坐标由题得再利用基本不等式求的最小值得解【详解】令所以定点的坐标为所以所以当且仅当时取等号所以的最小值为4故答案为：4【点睛】本题主要考查指数型函数的定点问题考查基本不等式求最 解析：4
【分析】
先求出定点P 的坐标，由题得22A B +=，再利用基本不等式求
12A B +的最小值得解. 【详解】
令020,2,451x x y a +=∴=-∴=⨯-=-,所以定点P 的坐标为(2,1)--.
所以(2)20,22,
0,0,0A B A B A B A B ⨯--+=∴+=⋅>∴>>. 所以121121414(2)()(4)[42]4222A B A B A B A B A B B A B A
+=⨯+⨯+=++≥+⋅=. 当且仅当1,12A B =
=时取“等号”. 所以12A B
+的最小值为4. 故答案为：4
【点睛】
本题主要考查指数型函数的定点问题，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
20．【分析】根据题意只需小于等于的最小值即可利用基本不等式可得的最值进而即可得到结论【详解】由则所以当且仅当即时取等号所以即的最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值以及恒成立问题同时考
解析：4
【分析】
根据题意，只需m 小于等于
111x x +-的最小值即可，利用基本不等式可得111x x +-的最值，进而即可得到结论.
【详解】
由()0,1x ∈，则()10,1x -∈，11x x +-=， 所以，()11111124111x x x x x x x x x x
-⎛⎫+=++-=++≥ ⎪---⎝⎭， 当且仅当
11x x x x -=-，即12
x =时取等号， 所以，4m ≤，即m 的最大值为4. 故答案为：4.
【点睛】
本题主要考查了基本不等式求最值，以及恒成立问题，同时考查了转化的思想和运算求解的能力，属于基础题.
三、解答题
21．（1）最多75人；（2）存在，{}7m ∈.
【分析】
（1）根据题意直接列出不等式可求解；
（2）由①可得2125x m ≥
+，由②可得100325
x m x ≤++，分别利用函数单调性和基本不等式即可求解.
【详解】
（1）依题意可得调整后研发人员的年人均投入为()14%x a +⎡⎤⎣⎦万元，
则()()10014%100x x a a -+≥⎡⎤⎣⎦，(0a >)
解得075x ≤≤， 4575x ，所以调整后的技术人员的人数最多75人；
（2）①由技术人员年人均投入不减少有225x a m a ⎛
⎫-≥ ⎪⎝⎭，解得2125
x m ≥+. ②由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有
()()210014%25x x x a x m a ⎛⎫-+≥-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝
⎭， 两边同除以ax 得1002112525x x m x ⎛⎫⎛⎫-+≥- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，
整理得100325x m x ≤
++， 故有2100132525
x x m x +≤≤++，
因为10033725x x ++≥=，当且仅当50x =时等号成立，所以7m ≤， 又因为4575x ≤≤，当75x =时，
225x 取得最大值7，所以7m ≥， 77m ∴≤≤，即存在这样的m 满足条件，使得其范围为{}7m ∈.
【点睛】
本题考查不等式的应用，解题的关键是正确理解题中数量关系，建立正确的不等式，进而求解.
22．(1)1832,(26)2
x y BC x x x =+=+≤<;(2)
外周长的最小值为
.
【分析】
()1由腰与底边所成的角为60︒
，求出h x =，182x BC x =-，结合限制条件求出定义域26x ≤<，从而得到y 关于x 的函数关系式 ()2由()1得1832x y x =
+，运用基本不等式求出结果 【详解】
（1
）()12
AD BC h =+,
其中2,22
x AD BC BC x h x =+⋅=+= ∴18 2x BC x =-
由,261802h x x BC x ⎧=≥⎪⎪≤<⎨⎪=->⎪⎩
得 ∴183
2,(26)2x y BC x x x =+=+≤<.
(2)1832x y x =+≥=
[)1832,62x x x ==即时等号成立 ∴
外周长的最小值为
.
【点睛】
本题是一道函数的应用题，解题时需要理清题目中各数量之间的关系，然后根据题意列出函数表达式，在求最值时一般运用基本不等式来求解，注意等号成立的条件
23．（1）1030x ；（2）480．
【分析】
（1）令21()202504002
R x x x =-++，解之即可； （2）利用二次函数的最值和基本不等式分别求出()R x 两段函数的最大值,再比较大小即可．
【详解】
（1）当035x <时，令21()202504002
R x x x =-++， 即2403000x x -+≤，解得1030x ，
所以生产量x 的范围是1030x ；
（2）当035x <时，
222111()20250(40)250(20)450222
R x x x x x x =-++=--+=--+， 故此时()R x 在(0,20)上单调递增，在(20,35)上单调递减，
则此时()R x 最大值为(20)450R =；
当35x >
时，116001()()52052048022R x x x =-
++≤-⨯=， 当且仅当160040x x
==时，等号成立， 则此时()R x 最大值为(40)480R =，
综上公司年利润()R x 的最大值为480万元．
【点睛】
本题考查了函数的应用，利用二次函数的性质和基本不等式求最值是解题的关键，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
24．（1）答案见解析；（2）6.
【分析】
（1）根据函数2()2(2)f x x a x a =-++的解析式，可将()0f x >化为
(2)(1)0x a x -->，分类讨论可得不等式的解集．
（2）由方程()1f x x =+有两个正实数根1x ，21x a ⇒>，利用韦达定理可得
2222211212121212123(
)()21422141a x x x x x x x x a x x x x x x a a +++--+===-=+--，再结合均值不等式即可． 【详解】
（1）由()0f x >得(2)(1)0x a x -->，
当2a >时，原不等式的解集为(-∞，1)(2
a ⋃，)+∞， 当2a =时，原不等式的解集为{|1}x x ≠，
当2a <时，原不等式的解集为(-∞，)(12
a ⋃，)+∞； （2）方程()1f x x =+有两个正实数根1x ，2x ，
等价于22(3)10x a x a -++-=有两个正实数根1x ，2x ，
∴()()2121238103012102a a a x x a a x x ⎧⎪=+--≥⎪+⎪+=>⇒>⎨⎪-⎪=>⎪⎩
， 则2222211212121212123(
)()211622[(1)]2121
2a x x x x x x x x a a x x x x x x a +++-+===-=-++--
12?62≥+= 当且仅当5a =时取等号，
故2112
x x x x +的最小值为6． 【点睛】
本题考查了二次函数的性质、解含参数一元二次不等式、韦达定理、均值不等式，属于综合题．
25．（1）3
(,1),2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭
；（2）当0a =时，解集为(,1]-∞-，当0a >时，解集为1(,1],a ⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭，当1a <-时，解集为11,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，当1a =-时，解集为{}1-，当10a -<<时，解集为1,1a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
. 【分析】
（1）根据不等式的解与方程的根的关系，利用韦达定理列出方程组，求得a 的值，代入求得不等式的解集.
（2）对参数a 分情况讨论，分别求得不等式的解集. 【详解】
解：（1）由题意得11121112a a a -⎧--=-⎪⎪⎨-⎛⎫⎪-⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎩
， 解得2a =-，
故原不等式等价于2301x x -+-，即(23)(1)010x x x --⎧⎨-≠⎩
所以不等式的解集为3(,1),2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭.
（2）当0a =时，原不等式可化为10x +≤，解集为(,1]-∞-;
当0a >时，原不等式可化为1(1)0x x a ⎛⎫-
+ ⎪⎝⎭，解集为1(,1],a ⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭; 当0a <时，原不等式可化为1(1)0x x a ⎛⎫-
+ ⎪⎝⎭, 当
11a >-，即1a <-时，解集为11,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦; 当
11a =-，即1a =-时，解集为{}1-; 当11a <-，即10a -<<时，解集为1,1a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的解法及分式不等式的解法，意在考查学生的分类讨论思想及数学运算的学科素养，属中档题.
26．（1）(,2)(5,)-∞⋃+∞；（2）[2,6]-.
【分析】
（1）当7a =是，解一元二次不等式求得不等式()0f x >的解集.
（2）利用判别式列不等式，解不等式求得a 的取值范围.
【详解】
（1）当7a =时，不等式为27100x x -+>，即(2)(5)0x x -->，
∴该不等式解集为(,2)(5,)-∞⋃+∞ .
（2）由已知得，若x ∈R 时，230+++≥x ax a 恒成立，
24(3)0a a ∴∆=-+≤，
即(2)(6)0a a +-≤，∴a 的取值范围为[2,6]-.
【点睛】
本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查一元二次不等式恒成立问题，属于中档题.。