2021-2022学年湖北省武汉市蔡甸区汉阳一中高二上学期12月月考数学试题(解析版)

2021-2022学年湖北省武汉市蔡甸区汉阳一中高二上学期12
月月考数学试题
一、单选题
1．已知椭圆的长轴长为8，离心率为3
4，则此椭圆的标准方程是（ ）
A ．22
1169x y +=
B ．22
1167x y +=或221716x y +=
C ．22
5
1162x y +=
D ．225
1162x y +=或22
12516x y +=
【答案】B
【分析】根据已知求出,,a b c ，再分类讨论即得解.
【详解】解：∵椭圆的长轴为8，离心率是3
4，
∴28a =，3
4
c e a =
=，解得4a =，3c =，2227b a c =-=， 因此，当椭圆的焦点在x 轴上时，其方程为22
1167x y +=；
当椭圆的焦点在y 轴上时，其方程为22
1716
x y +=．
故选：B ．
2．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ．若4524a a +=，4d =，则6S 为（ ） A ．1 B ．48
C ．36
D ．24
【答案】B
【分析】由已知，根据等差数列的通项公式求基本量1a ，再应用等差数列前n 项和公式求6S 即可.
【详解】由题设，45112722824a a a d a +=+=+=，则12a =-， ∴6165
66(2)154482
S a d ⨯=+=⨯-+⨯=. 故选：B
340y --=，经直线10x y +-=反射，则反射光线所在直线的方程是（ ）
A 50y ++=
B ．40x +=
C ．50x +=
D ．0x
【答案】C
【分析】
40y --=上取()0,4A -
和)
1C -，分别求其关于10
x y +-=的对称点，再利用点斜式求反射光所在直线即可。

【详解】
40y --=，令0x =，解得4y =-， 设()0,4A -，关于直线10x y +-=的对称点为(),B m n ， 则4
14102
2n m
m n +⎧=⎪⎪⎨-⎪+-=⎪⎩，解得51m n =⎧⎨=⎩，即()5,1B ，
40y --=
，令x =1y =-，
设)
1C
-，关于直线10x y +-=的对称点为(),D a b ，
则1110
2b =-+-=
，解得21a b =⎧⎪⎨=⎪⎩
(2,1D ，
BD k =
=
直线BD
：)15y x -=-
，即50x =。

故选：C
4．已知点F 是抛物线24x y =的焦点，点P 为抛物线上的任意一点，M (1，2)为平面上点，则PM PF +的最小值为（ ） A ．3 B ．12 C ．9 D ．6
【答案】A
【分析】根据抛物线的标准方程 求出焦点坐标和准线方程，利用抛物线的定义可得
||||||||
||PM PF PA PM AM +=+，故||(AM M 到准线的距离）为所求．
【详解】抛物线标准方程24x y =，2p =，焦点(0,1)F ，准线方程为1y =-． 设p 到准线的距离为PA ，（即PA 垂直于准线，A 为垂足），如图，
则||||||||||3PM PF PA PM AM +=+=， （当且仅当P 、A 、M 共线时取等号）， 故选：A
5．已知0mn ≠，则方程221mx ny +=与20mx ny +=在同一坐标系内的图形可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【分析】利用特殊值法验证即可得到答案.
【详解】解：由题意，当1m =，2n =时，方程221mx ny +=表示焦点在x 轴上的椭圆2221x y +=，方程20mx ny +=表示开口向左的抛物线21
2
y x =-，故排除选项C 、D ；
当1m =-，1n =时，方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的双曲线221y x -=，方程20mx ny +=表示开口向右的抛物线2y x =，故排除选项B ，而选项A 符合题意，
故选：A.
6．已知焦点在x 轴上的椭圆22218
x y
a +=，且a ，2，c 成等差数列，,F A 分别是椭圆的
左焦点和右顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF PA ⋅的最大值为（ ） A ．8
B ．10
C ．12
D ．16
【答案】C
【分析】依题意可得228a c =+，根据等差中项的性质可得4a c =+，即可求出a 、c ，
从而求出椭圆方程，设()00,P x y ，根据点在椭圆上即可得到2
2
00
819x y ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭，再表示出
PF PA ⋅根据二次函数的性质求出PF PA ⋅的最大值；
【详解】解：焦点在x 轴上的椭圆22218
x y
a +=．所以228a c =+，
又a ，2，c ，成等差数列，所以4a c =+，联立228,4,a c a c ⎧-=⎨+=⎩解得3
1a c =⎧⎨=⎩，所以椭圆方程
为22
198
x y +
=，左焦点()1,0F -，右顶点()3,0A ， 设()00,P x y ，则2200198x y +=，所以2200819x y ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭，
()()22
00000001,3,23PF PA x y x y x x y ⋅=+⋅-=--+
2220000008123825,[3,3]99
x x x x x x =--+-=-+∈-，
()2
00194,[3,3]9
PF PA x x ⋅=--∈-，
03x =-时max ()12PF PA ⋅=．
故选：C ．
7．已知1F ，2F 是双曲线2
2
22:1(0,0)x y
C a b a
b
-=>>的左、右焦点，1A ，2A 是双曲线C 的左、
右顶点，点P 在过1F 12PA A △为等腰三角形，12120A A P ∠=︒，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．32
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【分析】由12120A A P ∠=︒，得到1222A A A P a ==，2260PA F ∠=︒，过点P 作PH x ⊥轴，
垂足为H ，求得(2)P a ，将点P 代入1PF 的方程，求得2a c =，结合离心率的定义，即可求解.
【详解】由22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>，可得121(,0),(,0),(,0)A a A a F c --，
因为12120A A P ∠=︒，所以1222A A A P a ==，2260PA F ∠=︒， 过点P 作PH x ⊥轴，垂足为H ，
则2sin 603PH a a ==，22cos60A H a a ==，即(2,3)P a a ，
又由点P 在过1(,0)F c -1F 且斜率为3
4的直线上，可得1PF 的方程为3()4
y x c =+，
代入点(2,3)P a a 的坐标，可得3
3(2)4
a a c =
+， 整理得42a a c =+，即2a c =，所以双曲线的离心率为2c
e a
==. 故选：B.
8．定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等方差数列，这个常数叫作该数列的方公
差．设{}n a 是由正数组成的等方差数列，且方公差为4，532a =则数列12n n a a +⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭的
前24项和为（ ） A 32
B ．3
C ．32
D ．6
【答案】C
【分析】根据等方差数列的定义，结合等差数列的通项公式，运用裂项相消法进行求解即可.
【详解】因为{}n a 是方公差为4的等方差数列，所以22
14n n a a +-=，2518a =，
∴22
5(5)41842042n a a n n n =+-⋅=+-=-，∴42n a n -，
∴()()124242214242424224242
n n n n n n a a n n n n ++-===
+-++---++
24111
6210698942
2
2
S =
+
+⋅⋅⋅+
(
11
982722322
2
=
=
= 故选：C ．
二、多选题
9．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a ，2c ，下列结论正确的是（ ）
A ．卫星向径的取值范围是[],a c a c -+
B ．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间
C ．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁
D ．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小 【答案】ABD
【解析】根据椭圆的定义和性质和面积守恒规律，依次判断每个选项得到答案. 【详解】根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[],a c a c -+，A 正确；
当卫星在左半椭圆弧的运行时，对应的面积更大，面积守恒规律，速度更慢，B 正确； 12
111a c e a c e e
--==-+++，当比值越大，则e 越小，椭圆轨道越圆，C 错误. 根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D 正确. 故选：ABD .
【点睛】本题考查了椭圆的定义和性质，意在考查学生的理解能力和应用能力. 10．下列说法正确的是（ ）
A ．若圆221x y +=与圆22()4x m y -+=内切，则实数m 的值是±1
B ．已知实数x ，y 满足22
430x y x +++=，则
21y x --33
+33-C ．若直线:(31)(1)40l m x m y ++--=被圆22(4)4x y +-=所截得的弦长最短，则1m =- D ．已知定点4()3,M -，动点N 在圆224x y +=上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，则点P 的轨迹方程是22(3)(4)4x y ++-= 【答案】ABC
【分析】根据两圆内切时圆心距等于半径差的绝对值求解即可判断A ；将问题转化为直线20kx y k --+=与圆有公共点求解即可判断B ；根据题意直线过定点()1,3M 且在圆内，进而当CM l ⊥时，所截得弦最短求解判断C ；根据平行四边形对角线互相平分求轨迹，且,,O M N 三点不可共线可判断D.
【详解】解：对于A 选项，圆221x y +=的圆心为原点，半径为1r =，圆22()4
x m y -+=的半径2R =，圆心为()0m ,，若圆221x y +=与圆22()4x m y -+=内切，则1m R r =-=，即1m =±，故正确；
对于B 选项，方程22430x y x +++=表示圆心为()2,0-，半径为1r =的圆，2
1
y x --表示圆上的点与定点()1,2A 连线的斜率，故设
2
1
y k x -=-，整理得20kx y k --+=，所以直线20kx y k --+=
1≤，
k ，所以2
1y x --的
对于C 选项，直线:(31)(1)40l m x m y ++--=整理得():430l x y m x y +-+-=，即直线过40x y +-=和30x y -=的交点，联立方程解得1,3x y ==，即定点为()1,3M ，圆22(4)4x y +-=的圆心为()0,4C
，半径为2r =，
由于2CM
r =，故点()1,3M 在
圆内，故当CM l ⊥时，所截得弦最短，由于1CM k =-，所以31
11
m m +=-，解得1m =-，故正确；
对于D 选项，设点()()00,,,P x y N x y ，所以OP 中点为,22x y ⎛⎫
⎪⎝⎭
，MN 的中点为
0034,22x y -+⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于平行四边形的对角线互相平分，所以00322
42
2x x
y y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=
⎪⎩，所以0034x x y y =+⎧⎨=-⎩，由于点N 在圆224x y +=上运动，所以()()22
344x y ++-=，由于,,O M N 三点不可共
线，故去掉直线OM 与轨迹的交点，即912,55⎛⎫- ⎪⎝⎭和2128,55⎛⎫
- ⎪⎝⎭，故错误.
故选：ABC
11．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310
S S =
D ．当8n ≥时，0n a <
【答案】AD
【分析】由67S S <，78S S >，得7760a S S =->，8870a S S =-<，推得公差0d <，进而可得最大项为1a ，判断出ABD 的对错；再根据103770S S a -=>，可判断C 错误． 【详解】由67S S <，78S S >，得7760a S S =->，8870a S S =-< 所以等差数列{}n a 的公差0d <
所以等差数列{}n a 是递减的等差数列，则最大项为1a ，故A 正确，B 错误，D 正确； 103456789107+70S S a a a a a a a a -=+++++=>，所以103S S >，故C 错误；
故选：AD ．
【点睛】本题考查了等差数列中最大项的计算，及前n 项和的基本量的计算，熟知相关公式的应用是解题的关键． 12．已知1F ，2F 为双曲线C ：()22
22
10,0x y a b a b -=>>的左右焦点，过点1F 作渐近线b
y x a
=
的垂线交双曲线右支于点P ，直线2PF 与y 轴交于点Q （P ，Q 在x 轴同侧），连接1QF ，若1PQF △内切圆圆心I 恰好落在以12F F 为直径的圆上，则下列结论正确的有（ ） A ．122
F PF π
∠=
B ．1PQF △内切圆的半径为a b -
C ．5OQ OI =
D 【答案】ABD
【分析】首先确定直线1F P 的方程，以及内切圆圆心I 的坐标，利用圆心到直线的距离确定内切圆的半径，以及求得直线2PF 的直线方程，判断AB 选项，联立1PF 和2PF 的直线方程，求得点P 的坐标，代入双曲线方程，求离心率，并求得点Q 的坐标，判断C.
【详解】如图，直线1F P 为：()a
y x c b
=-
+，即0ax by ac ++=，根据对称性可知I 在y 轴上，1PQF △的内切圆的圆心恰好落在以12F F 为直径的圆上，故12IF IF ⊥，故()0,I c -，
点I 到直线1PF 的距离1d a b =-，故B 正确；
设直线()2:PF y k x c =-，即0kx y kc --=，点I 到直线2PF 的距离2d a b =
=-，
平方后化简得()222
0abk a b k Ab -++=，解得：b k a
=
或a k b =，
当a k b =时，直线()a y x c b =-+与()a
y x c b
=-的交点的横坐标是0，不满足条件，故舍去， 当b k a
=
时，直线()2:b PF y x c a =-，与直线1PF 垂直，即122F PF π
∠=，故A 正确；
联立方程组()()
a y x c b
b y x
c a ⎧
=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，解得：222,b a ab P c c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 代入双曲线方程得()
2
2
222
22
2241b
a a
b a
c b c
--= ，化简整理得：225c a =，故5e =，故D 正确； 直线()2:b PF y x c a =-，当0x =时，bc y a =-，即0,bc Q a ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
，()0,I c -， 222
222
12OQ
bc b b c a e OI ac a a a
-=====-=，所以2OQ OI =，故C 不正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用圆心到直线的距离求内切圆的半径，以及利用圆心到直线的距离求2PF 的直线方程，再一个关键求得点P 的坐标，代入双曲线方程，计算过程是关键. 三、填空题
13．过点(2,3A 且与圆224x y +=相切的直线方程是___________.
30y -+=或2x =
【分析】
分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，当直线的斜率存在，设直线方程为
()2y k x --，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，解得即可；
【详解】解：当直线的斜率不存在时，直线方程为2x =，满足圆心()0,0到直线2x =为2；
当直线的斜率存在，设直线方程为()2y k x -=-
，即20kx y k --+，则
2d =
=
，解得
k =
)2y x -
=-
，即
30y -+
=，
30y -+=或2x
=；
30y -+=或2x =
14．在江西省发现的汉代海昏候刘贺墓中，发掘出大量的铜钱“汉五铢”．古人是如何将铜钱放置在钱库中的呢？汉代将1000枚铜钱用缗（丝绳或麻绳）串起来，称为一“缗”（m īn ，音岷），再放在一起成为一堆．为清点这批铜钱的数目，考古工作者先将其串成缗，并在最底层放置70缗，然后一层一层往上码，每层递减一缗，最上面一层为31缗，则这堆铜钱共有________缗． 【答案】2020
【分析】由等差数列的定义知，每层铜钱数是以31为首项、以1-为公差的等差数列且末项为70，利用等差数列的前n 项和公式求出结论．
【详解】由题意知，每层铜钱数是以31为首项、以1为公差的等差数列， 且末项为70，
故7031(1)140n n =+-⨯⇒=， 所以共有40层，故这堆铜钱共有40(3170)
20202
⨯+=缗，
故答案为：2020．
15．唐代诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马徬交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望峰火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为()2,0B -，若将军从山脚下的点1,03A ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
处出发，河岸线所在直线方
程为23x y +=，则“将军饮马”的最短路程为___________.
【答案】
145
3
【分析】先求得点B 关于直线23x y +=的对称点(),C m n ，则点A ，C 之间的距离即为所求.
【详解】如图所示：
设点B 关于直线23x y +=的对称点(),C m n ，
则112223
22n m n m n ⎧⎛⎫
⋅-= ⎪⎪⎪+⎝⎭
⎨-⎪+⨯=⎪⎩，解得04m n =⎧⎨=⎩，即()0,4C ，
则()2
211450403AC ⎛
⎫=++- ⎪⎝⎭
即 “将军饮马”145
14516．已知抛物线24x y =，点()(),2,1,1M t t -∈-，过M 作抛物线的两条切线,MA MB ，其中,A B 为切点，直线AB 与y 轴交于点,P 则PA PB
的取值范围是_________．
【答案】1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【分析】先用导数求出切线,MA MB 的方程，分析得直线AB 的方程为42tx y =-+，求出()0,2P ，表示出
PA PB
，用“设而不求法”表示出12122,8x x t x x +==-，从而求出
12
PA x
PB x =-的范围. 【详解】设切点()()1122,,,A x y B x y ，由抛物线211
,42
y x y x '=
=，
∴切线11:22MA x x y y =+， 同理切线22:22MB x x y y =+，
又点M 是两条切线的交点，所以112224,24x t y x t y =-=-. 所以直线AB 的方程为42tx y =-+，即22
tx y -=-
. 此直线恒过()0,2P ，则
2
1
P P A x B
x =
=
=-
. 22
24tx y x y
⎧
=+⎪⎨⎪=⎩，消去y ，得2280x tx --=， ∴12122,8x x t x x +==-，
∴()2
2
12
1212
2122
x x x x t x x x x +=++=-. ()1,1t ∈-21,022t ⎡⎤
∴-∈-⎢⎥⎣⎦
，即12211202x x x x -≤++≤，
令12x m x =，则11
202m m
-≤++≤，
即1122120
m m m m ⎧-≤++⎪⎪⎨⎪++≤⎪⎩，解得122m -≤≤-，
1212,2x x ⎡⎤--⎢⎥⎣∈⎦
∴
， 即
121,22x B x PA P ∈⎡⎤
=-⎢⎥⎣⎦
. 故答案为：1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
.
【点睛】在研究直线与抛物线的位置关系要注意： （1）可以用导数求切线，有时可以简化运算；
（2）“设而不求法”是研究直线与二次曲线相交的一般方法. 四、解答题
17．已知△ABC 的顶点A （5，1），AB 边上的中线CM 所在的直线方程为2x -y -5=0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x -2y -5=0 (1)求直线AC 的方程， (2)求直线BC 的方程
【答案】(1)2110x y +-= (2)6590x y --=
【分析】（1）由AC 边上的高BH 所在直线方程为250x y --=，可得直线BH 的斜率为
12
，根据垂直时斜率乘积为1-可得直线AC 的斜率为2-，且过()5,1即可得到AC 边所
在直线方程；
（2）设点B 的坐标为()00,x y ，且点B 与点A 关于直线250x y --=对称，求出B 的坐标， 利用两点式，得直线BC 的方程. (1)
由AC 边上的高BH 所在直线方程为250x y --=， 知2AC k =-， 又()5,1A ，
AC ∴边所在直线方程为()125,y x -=-- 即2110x y +-=
(2)
设点B 的坐标为()00,x y ，则线段AB 的中点为0051
(,)22
x y M ++ 在直线250x y --=上， .即001
(5)50,2
y x ++-
-=整理得00210,x y --= 又点B 在直线BH 上，00250,x y ∴--=
两者联立可解得001
3x y =-⎧⎨=-⎩，即()1,3B -- 3(3)64(1)5
BC k --=
=--∴
∴直线BC 的方程6
3(4),5
y x -=- 即6590x y --=
18．已知圆22
1:240C x y x y +++=，圆222:4240C x y x y +---=．
(1)证明：圆1C 与圆2C 相交，并求出圆1C 与圆2C 的公共弦所在直线l 的方程；
(2)过直线l 上一点()2,P t -作圆2C 的切线，切点分别为A ，B ，求四边形2PAC B 的面积． 【答案】(1)证明见解析；3320x y ++= (2)8
【分析】（1）将两圆化成标准式，判断圆心距与半径的关系可证相交，两圆的方程直接作差可求公共弦方程；
（2）由（1）求得42,3P ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，判断P 在圆外，先求出2PC ，结合勾股定理求出PA ，
再由22PAC B S C A PA =⋅即可求解. (1)
圆1C 的方程配方可得()()2
2
125x y +++=，圆心()11,2C --，半径15r =，
圆2C 的方程配方可得()()22
219x y -+-=，圆心()22,1C ，半径23r =，
所以两圆心的距离()2
1222132C C =+=，
1235r r -=-，1235r r +=+，
所以121212r r C C r r -<<+， 所以，圆1C 与圆2C 相交．
将方程22240x y x y +++=与224240x y x y +---=相减， 得：3320x y ++=，
所以圆1C 与圆2C 的公共弦所在直线l 的方程为3320x y ++=； (2)
由（1）可得42,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入圆2C 的方程()2
2422193⎛⎫
--+-> ⎪⎝⎭
，
()2
2
2414522133PC ⎛⎫
=++-= ⎪⎝⎭
， 因为2C A PA ⊥所以1458993
PA =
-=， 所以，228PAC B S C A PA =⋅=， 即四边形2PAC B 的面积为8．
19．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.
(1)以抛物线的顶点为原点O ，其对称轴所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系（如图），
求该抛物线的方程；
(2)若行车道总宽度AB 为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到0.1米）？
【答案】(1)()2
555x y x =--≤≤；
(2)4.0米.
【分析】（1）设出抛物线方程，根据点()5,5C -在抛物线上，代入即可求出抛物线方程； （2）设车辆高为h 米，根据点()3.5, 6.5D h -在抛物线上，求出h 的值，从而可求出限制高度. (1)
根据题意，设该抛物线的方程为()2
20x py p =->，
由图可知点()5,5C -在抛物线上，所以2510p =，即52
p =
， 所以该抛物线的方程为()2
555x y x =--≤≤.
(2)
设车辆高为h 米，则0.5DB h =+，故()3.5, 6.5D h -， 代入方程25x y =-，解得 4.05h =， 所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米.
20．已知P 是以1F ，2F 为焦点的双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>上的一点，且12
0PF PF ⋅=，
122PF PF =．
（1）求双曲线的离心率e ；
（2）过点P 作直线分别与双曲线两渐近线相交于1P ，2P 两点，若1227
4
OP OP ⋅=-（O 为坐标原点），122PP PP +=0，求双曲线的标准方程． 【答案】（15（2）22
128
x y -
=. 【分析】（1）不妨设点P 在第一象限，进而结合双曲线的定义和已知条件得14PF a =，
22PF a =，再根据120PF PF ⋅=结合勾股定理构造齐次式求解离心率即可；
（2）由（1），知双曲线的渐近线的方程为2y x =±，不妨设()111,2P x x ，()222,2P x x -，
(,)P x y ，进而结合向量关系得坐标关系()
121223223x x x x x y +⎧
=⎪⎪
⎨-⎪=⎪⎩，1294x x =，最后根据点P 在双
曲线上得22a =，进而得答案.
【详解】解：（1）不妨设点P 在第一象限 212PF PF =，122PF PF a -=， 14PF a ∴=，22PF a =．
120PF PF ⋅=，222(4)(2)(2)a a
c ∴+=，
c
e a
∴=
． （2）由（1），知双曲线的方程为22
2214x y a a
-=，则渐近线的方程为2y x =±．
不妨设()111,2P x x ，()222,2P x x -，(,)P x y ，121227
34
OP OP x x ⋅=-=-
，1294x x ∴=． 12
2PP PP +=0，()121223223x x x x x y +⎧
=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩
． 点P 在双曲线上，()
()2
2
12122
2
22199x x
x x a a +-∴-
=，化简，得2
1298
a x x =， 29984
a ∴=， 22a ∴=，
∴双曲线的标准方程为22128
x y -=． 21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且534213,16a a S -==. (1)求数列{}n a 的前n 项和n S ；
(2)设n T 为数列{(1)}n
n a -的前n 项和，若对一切正整数n ，不等式11
1[(1)]2n n n n n T a a λ+-+<+-恒成立，求实数λ的取值范围.
【答案】(1)2
n S n =
(2)42λ-<<
【分析】（1）由53213a a -=，416S =，求出首项和公差，再根据等差数列的求和公式
即可得到，
（2）当n 为偶数时，当n 为奇数时，分别求出前n 项和n T ，当n 为偶数时，由
1
1
1[(1)]2
n n n n n T a a λ+-+<+-，得24k
k λ<，构造函数设4()2k
f k k
=，求出n b 的最大值，代入
22(23)(2)n n a λλ->--求解得答案．利用函数的单调性求出函数最小值，当n 为奇数时，
从而得到4k λ>-，求出函数的最大值，即可求出实数λ的取值范围 (1)
解：设数列{}n a 的公差为d ． 因为53213a a -=，416S =，
所以41616a d +=．1213a d +=，解得11a =，2d =，
所以21n a n =-，2
n S n =．
(2)
解：由（1）可得()()()1121n
n
n a n -=--，所以当n 为偶数时，设2n k =，*k N ∈， 则22143221()()()2k k k T a a a a a a k -=-+-+⋯+-=． 当n 为奇数时，设21n k =-，*k N ∈， 则22122(1)2(41)12k k k k T T a k k k -=--=--=-．
所以,,n n n T n n ⎧=⎨
-⎩为偶数
为奇数
当n 为偶数时，设2n k =，*k N ∈， 则22143221()()()2k k k T a a a a a a k -=-+-+⋯+-=． 代入不等式1
1
1[(1)]2
n n n n n T a a λ+-+<+-，得24k
k λ<，从而42k
k
λ<．
设4()2k
f k k
=，则11444(62)(1)()222(1)k k k k f k f k k k k k +--+-=-=++． 因为*k N ∈，所以(1)()0f k f k +->，所以()f k 是递增的， 所以()2min f k =， 所以2λ<．
当n 为奇数时，设21n k =-，*k N ∈， 则22122(1)2(41)12k k k k T T a k k k -=--=--=-．
代入不等式111[(1)]2n n n n n T a a λ+-+<+-，得(12)(21)4k k k λ-<-， 从而4k λ>-．
因为*k N ∈，所以4k -的最大值为4-，所以4λ>-．
综上，λ的取值范围为42λ-<<．
22．1.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2
2
，焦距
为2．
(1)求椭圆E 的方程； (2)如图，动直线l ：13
y k x =E 于A ，B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且121k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且:2MC AB =，M 的半径为MC ，OS ，OT 是M 的两条切线，切点分别为S ，T ．求OC
MC
的最小值及sin SOT ∠的最大值．
【答案】(1)2
212
x y +=
(2)
OC MC 的最小值为2，sin SOT ∠42
【分析】（1）利用离心率与焦距的条件，求出a 与b 的值，进而求出椭圆E 的方程；（2）先用韦达定理表达出AB 的长，然后利用比例关系，表达出MC 的长，再利用解方程表达出OC 的长，表达出
OC MC ，换元法求出OC
MC
的最小值，利用圆的切线性质求出sin
2
SOT
∠的最大值，进而求出sin SOT ∠的最大值 (1) 由题意知2
c e a =
=
，22c =，∴1c =，2a =221b a c -= ∴椭圆E 的方程为：2
212
x y +=
(2)
设()11,A x y ，()22,B x y
，联立方程2
2112
x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
得(
)22
114210k x x +--=
由题意知Δ0>
，121x x +()
12
211221x x k =-+
∴121AB x =-=
∴圆M
的半径1r MC ===
联立22
212x y y k x
⎧+=⎪⎨⎪=⎩
得：()22
2122k x +=
∴2
22212c
x k =+，22222212c k y k =+，
∴
OC ==又121k k =，
∴OC =
∴OC
MC =
令2
112k t +=，则1t >，()10,1t
∈
∴
2
OC
MC ==
=≥
当11
2t =即2t =时等号成立 ∴
111sin 2311SOT r OC OC r OC r MC ∠===≤
+++
，∴2
17cos 12sin 12299
SOT SOT ∠∠=-≥
-⨯=
sin 9
SOT ∠≤=
综上所得：OC MC 的最小值为2，sin
SOT ∠ 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。