高中数学利用“割补”减少立体几何的计算量学法指导

高中数学利用“割补”减少立体几何的计算量 毛金才 姚汉兵
“割补”是立体几何解题的重要方法。

该方法的理论根据是“将某些直观图割补成另一些直观图，以显露原直观图的一些隐含条件”。

下面举例说明“割补”在立体几何解题中的应用。

一、割成锥
例1. 从空间一点O 出发的四条射线两两所成的角都是θ，则θ一定是（ ）
A. 锐角
B. 直角
C. 钝角
D. 锐角或钝角
图1
分析：如图1，在射线OA 、OB 、OC 、OD 上分别截取OA 1、OB 1、OC 1、OD 1，使1111OD OC OB OA ===。

由四条射线两两所成的角都是θ，得三棱锥1111D C B A -是正四面体，O 是正四面体的中心。

设a B A =11，使用勾股定理及射影定理计算得a OA 4
61=。

0414646222
22112121<-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+a a a a B A OB OA 211π
>∠∴OB A
即θ为钝角。

故选C 。

例2. 从空间一点O 出发的三条射线OA 、OB 、OC 两两所成的角都是60°，求二面角B-OA-C 的余弦值。

分析：如图2，在射线OA 、OB 、OC 上分别截取111OC OB OA 、、，使111OC OB OA ==。

由OA 、OB 、OC 两两所成的角都是60°，得三棱锥111C OB A -是正四面体。

从而二面角
C OA B --的余弦值是3
1。

图2
二、补成柱 例3. 在正三棱锥S-ABC 中，M 、N 分别是SC 、BC 的中点，且MN ⊥AM ，侧棱长32=SA ，则正三棱锥ABC S -的外接球的表面积为（ ）。

A. 12π
B. 32π
C. 36π
D. 48π
分析：因为MN ⊥AM ，MN//SB ，所以SB ⊥AM 。

又SB ⊥AC ，所以SB ⊥平面SAC ，则SB ⊥SA ，SB ⊥SC 。

易得SC ⊥SA 。

由此可将正三棱锥S-ABC 补成正方体，使SA 、SB 、SC 是正方体的三条棱，从而正三棱锥S-ABC 的外接球也就是正方体的外接球，其半径等于3，表面积等于ππ36342=⋅。

故选C 。

例4. 正四面体的中心到底面的距离与这四面体的高之比是（ ）
A. 21
B. 31
C. 41
D. 6
1 分析：如图3，将正四面体A-BCD 补成正方体，使正四面体A-BCD 的棱为正方体的面对角线。

设正方体的棱长为6，中心为O 。

连接AE ，交面BCD 于O 1，易证⊥1AO 平面BCD 。

则4
134311==AO OO 。

故选C 。

图3
例5. 在三棱锥A-BCD 中，AB=CD=p ，AD=BC=q ，AC=BD=r ，求三棱锥A-BCD 外接球的半径。

分析：将三棱锥A-BCD 补成长方体，使其棱为长方体的面对角线，从而三棱锥A-BCD 的外接球也就是长方体的外接球。

设长方体的三棱长分别为x ，y ，z ，
则⎪⎩
⎪⎨⎧=+=+=+2222222
22r x z q z y p y x ，所以22
22222r q p z y x ++=++ 从而外接球的半径4
)(22222222r q p z y x R ++=++= 练一练：
1. 在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有_______个。

2. 已知a ，b 为互不垂直的异面直线，α是个平面，则a ，b 在平面α内的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点。

在上面结论中，正确结论的编号是_______。

3. 一个四面体的所有棱长都等于2，且四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为_______。

（答案：1. 4 2. ①②④ 3. 3π）。