南昌大学 2006～2007学年第二学期期末考试试卷

南昌大学 2006～2007学年第二学期期末考试试卷
一、 填空题(每空 3 分，共 15 分)
1. 设()()a b y 1,3,2,2,,4 ==，则当y =
时, a b ⊥;
当y = 时, // a b . 2. 函数 (,,)u x y z z x y =--221
的间断点是
. 3. 设函数z x y y =+22, 则 dz =
. 4. 设G 是一个单连通域,(,)P x y 与(,)Q x y 在G 内即有一阶连续偏导数, 则曲线积分L
Pdx Qdy +⎰ 在G 内与路径无关的充要条件是.
二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)
1. 设直线方程为 L :x x y y z z m n p ---==0
, 平面方程为
:A x B y C z D ∏+++=0, 若直线与平面平行,则 ( ).
(A) 充要条件是:0Am Bn C p ++=.
(B) 充要条件是: A
B
C
m n p ==.
(C) 充分但不必要条件是: 0Am Bn C p ++=
(D) 充分但不必要条件是: A
B
C
m n p ==.
2．设(,)z z x y =是由方程 z x y z e ++= 所确定的隐函数, 则z
x ∂=∂( ).
(A)
z e -11. (B) z e -21.
(C) z e -1
1. (D) z e -1.
3．函数 33(,)3f x y x y xy =+- 的极小值为 ( ).
(A) 1 . (B) 1-. (C) 0. (D) 3-.
4．下列说法正确的是 ( ).
(A) 若 lim 0n n u →+∞=, 则级数 1
n n u ∞
=∑ 必收敛.
(B) 若级数 1n n u ∞
=∑ 发散, 则必有 lim 0
n n u →+∞≠.
(C) 若级数 1n n u ∞
=∑ 发散, 则 lim n n s →+∞
=∞.
(D) 若 lim 0n n u →+∞≠, 则 级数 1
n n u ∞
=∑ 必发散.
5．微分方程 0ydx xdy += 的通解是 ( ).
(A) 0x y +=. (B) y x =.
(C) y C =. (D) xy C =.
三、求解下列各题 (共2小题, 每小题8分, 共16分)
1．设一平面经过原点及点(,,),-632M 且与平
面 x y z -+=428 垂直, 求此平面方程.
2．设(,),z f u v =而,u y v xy ==,且f 具有二阶连续
偏导数,求z
x y ∂∂∂2
.
四、求下列积分 (共2小题, 每小题8分, 共16分):
1、计算二重积分x y D
e d σ+⎰⎰22,其中D 是由圆周224x y +=
所围成的闭区域.
2、计算曲线积分 2(22)(4) L
xy y dx x x dy -+-⎰, 其中 L 是取圆周229x y += 的正向闭曲线.
五、计算题 (共2小题, 每小题8分,共16分):
1、 利用高斯公式计算曲面积分xdydz ydzdx zdxdy ∑
++⎰⎰ ,
其中∑是长方体：
{}(,,)|,,x y z x a y b z c Ω=≤≤≤≤≤≤000
整个表面的外侧.
2、判别正项级数 122n n n ∞
=+∑ 的敛散性
.
六、解下列各题（共2小题. 每小题8分, 共16分）:
1、设幂级数 11
n n nx ∞
-=∑.
(1). 求收敛半径及收敛区间 .
(2). 求和函数.
2、求微分方程 '''x y y y e ++=222 的通解.
七、(6分) 求一曲线方程,这曲线通过原点,并且它在
点(,)x y 处的切线斜率等于x y +2.
附：南昌大学 2006～2007学年第二学期期末考试试题答案
一、 填空题(每空 3 分，共 15 分)
1. y =-10
3时, a b ⊥;
当y = 6时, // a b .
2. {}(,,)|x y z z x y =+22.
3. ()xydx x y dy ++222.
4. P
Q
y x ∂∂=∂∂.
二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)
1.A 2．C 3．B 4．D 5．D
三、求解下列各题 (共2小题, 每小题8分, 共16分)
1．解法一: 所求平面的法向量
(,,),(,,)n n O M ⊥-⊥=-412632 .
则 (,,)(,,)(,,)-⨯-=-412632446.
取 (,,)n =-223 .
故所求平面方程为: x y z +-=2230.
解法二: 设所求平面法向量(,,),n A B C =
则,(,,)n O M n ⊥⊥-412 .
于是有 ,
.A B C A B
C -+=⎧⎨-+=⎩6320420
解得: ,A B C B ==-32.
由平面的点法式方程可知,所求平面方程为：
A x
B y
C z ++=0. 将,A B C B ==-3
2代入上式,并约去()B B ≠0,
便得：x y z +-=2230. 即为所求平面方程.
2． 解: '
.z y f x ∂=⋅∂2
()'
''''
z f y f f x x y ∂=++⋅∂∂222122
'''
''
.f yf xyf =++22122
四、求下列积分 (共2小题, 每小题8分, 共16分):
1、解: x y D
e d d e d πρσθρρ+=⋅⎰⎰⎰⎰22222
00
().e d e e ρρπρππ⎡⎤===-⎣⎦⎰22
2
22400
1212
2、解: ,,Q P
x x x y ∂∂=-=-∂∂2422
.Q
P
x y ∂∂-=-∂∂2
由格林公式,有
原式().D
d σππ=-=-⋅⋅=-⎰⎰222318
五、计算题 (共2小题, 每小题8分,共16分):
1、 解: ,,.P x Q y R z === ,,P Q
R
x y z ∂∂
∂===∂∂∂111
则由高斯公式有
原式().dv abc Ω
=++=⎰⎰⎰1113
2、解: lim lim n n n n n n u n u n ++→∞→∞⎛⎫+
=⋅ ⎪+⎝⎭
113222 lim .()n n n →∞+==<+3
1
1222
所以原级数收敛.
六、解下列各题（共2小题. 每小题8分, 共16分）:
1、 解: (1). lim lim .
n n n n a n a n ρ+→∞→∞+
===11
1
所以收敛半径.R =1
当x =1时,n n ∞
=∑1
发散;
当x =-1时,()n n n ∞
-=-∑11
1 发散.
所以收敛区间为: (,)-11.
(2). 设和函数为: ()n n S x nx ∞
-==∑11
.
()x
x x n n n n S x dx nx dx nx
dx ∞∞
--==⎛⎫==
⎪⎝⎭∑∑⎰⎰⎰1100011 .x
n n n n x x x x
∞∞==⎡⎤===⎣⎦-∑∑1101
故 '
().(
).()x
S x x x x ⎛⎫==-<< ⎪--⎝⎭
21
1111
2、解: ..r r r r ++===-2122101
()x Y C C x e -∴=+12.
λ=2 不是特征根,所以设特解为: *x y A e =2.
则(*)',(*)''x x y Ae y Ae ==2224,代入原方程得A =29. *x
y e ∴=229.
故通解为: ().x x
y C C x e e -=++21229
七、(6分) 解: 依题意: ',
().y x y y
=+⎧⎨=⎩200 则： x y x Ce =--+22. 把 ()y =00 代入上式, 得C =2. 故 ().x y e x =--21。