2020届河南省南阳市高三上学期期终考前模拟数学（文）试题

2020届河南省南阳市第一中学高三上学期期终考前模拟数学
（文）试题
一、单选题
1．已知集合{}|23A x x x =≤-≥或，B N =，则()R B C A =（ ）
A ．
1,0,1,2
B ．{}1-
C ．{}1,0-
D ．{}0,1,2
【答案】D
【解析】根据补集定义先求得R C A ,再根据交集运算即可求解. 【详解】
集合{|2A x x =≤-或}3x ≥ 所以{}|23R C A x x =-<< 因为B N =
则(){}0,1,2R B C A ⋂= 故选:D 【点睛】
本题考查了集合补集与交集的混合运算,属于基础题. 2．设121i
z i i
+=--，则||z =（） A ．0 B ．1
C
D ．3
【答案】B
【解析】先将z 分母实数化，然后直接求其模． 【详解】
11122=2=211121
i i i i
z i i i i i i i z +++=
---=---+=（）（）（）（） 【点睛】
本题考查复数的除法及模的运算，是一道基础题．
3．已知1
23a =
，2log b =
，3log c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>
C ．b a c >>
D ．c b a >>
【答案】A
【解析】利用对数的性质比较,b c 的大小，利用“1”比较a 与,b c 的大小关系. 【详解】
1
2
31a =>，2log 31b =<，3log 21c =<，
又2233log 3log 2=log 3log 2>>，所以a b c >>.
故选：A. 【点睛】
本题考查指数、对数的大小比较.一般利用指数函数、对数函数的单调性和01，等中间值解决问题.
4．已知a →,b →
为非零向量，则“•0a b >”是“a →
与b →
夹角为锐角”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】根据向量数量积的定义式可知，若0a b ⋅>，则a 与b 夹角为锐角或零角，若a 与b 夹角为锐角，则一定有0a b ⋅>，所以“0a b ⋅>”是“a 与b 夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.
5．一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为（ ）
A ．1：3
B ．1：4
C ．1：5
D ．1：6
【答案】A
【解析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可． 【详解】
解：由题意可知：几何体被平面ABCD 平面分为上下两部分，
设正方体的棱长为2，上部棱柱的体积为：
1
21222
⨯⨯⨯=； 下部为：22226⨯⨯-=，截去部分与剩余部分体积的比为：13
． 故选A ． 【点睛】
本题考查三视图与几何体的直观图的关系，棱柱的体积的求法，考查计算能力. 6．在直三棱柱111ABC A B C -中，己知AB BC ⊥，2AB BC ==，122CC =，则异面直线1AC 与11A B 所成的角为（ ） A ．30︒ B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒
【答案】C
【解析】由条件可看出11AB A B ，则1BAC ∠为异面直线1AC 与11A B 所成的角，可证得三角形1BAC 中，1AB BC ⊥，解得1tan BAC ∠，从而得出异面直线1AC 与11A B 所成的角． 【详解】
连接1AC ，1BC ，如图：
又11AB A B ，则1BAC ∠为异面直线1AC 与11A B 所成的角.
因为AB BC ⊥，且三棱柱为直三棱柱，∴1AB CC ⊥，∴AB ⊥面11BCC B ， ∴1AB BC ⊥，
又2AB BC ==，122CC =，∴()
2
2122223BC =+=，
∴1tan 3BAC ∠=，解得160BAC ∠=︒. 故选C 【点睛】
考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，考查了异面直线所成角的概念及求法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
7．已知数列{}n a 是等差数列，若2462,4,6a a a +++构成等比数列，这数列{}n a 的公差d 等于 （ ） A ．1 B ．1-
C ．2
D ．2-
【答案】B
【解析】【详解】试题分析： 因为2462,4,6a a a +++构成等比数列，所以
，化简得
，所以
，故应选
.
【考点】1.等比数列；2.等差数列；
8．过双曲线()222210,0x y a b a b
-=>>的左焦点作倾斜角为30的直线l ，若l 与y 轴的
交点坐标为()0,b ，则该双曲线的离心率为（ ）
A ．
62
B 5
C 2
D 3
【答案】A
【解析】求出双曲线的左焦点，设出直线l 的方程为)3
y x c =
+，可得l 与y 轴的3
b =，
结合222a c b =-计算即可． 【详解】
由题意设直线l 的方程为)3
y x c =
+， 令0x =，得33
y c =
， 3
b =，所以22222232a
c b b b b =-=-=，
所以2261b e a =+=
.
故选：A 【点睛】
本题考查双曲线的离心率的问题，考查了基本量的关系，属于基础题． 9．如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出a 的值为（ ）
A ．3
B ．2
C ．
2
3
D ．12
-
【答案】A
【解析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的a 的值. 【详解】 输入3,1a i ==，
第一次循环2
,23a i =
=； 第二次循环1
,32
a i =-=；
第三次循环3,4,43a i ==>， 退出循环输出3a =，故选A. 【点睛】
本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.
10．已知实数,x y满足线性约束条件
1
20
x
x y
x y
≥
⎧
⎪
+≥
⎨
⎪-+≥
⎩
，则
1
y
x
+
的最小值为（）A．(-2,-1］B．(-1,4］C．[-2,4) D．[0,4]
【答案】B
【解析】作出可行域，
1
y
x
+
表示可行域内点(,)
P x y与定点(0,1)
Q-连线斜率，观察可行域可得最小值．
【详解】
作出可行域，如图阴影部分（含边界），
1
y
x
+
表示可行域内点(,)
P x y与定点(0,1)
Q-
连线斜率，(1,3)
A，
3(1)
4
10
QA
k
--
==
-
，过Q与直线0
x y
+=平行的直线斜率为－1，
∴14
PQ
k
-<≤．
故选：B．
【点睛】
本题考查简单的非线性规划．解题关键是理解非线性目标函数的几何意义，本题
1
y
x
+
表示动点(,)
P x y与定点(0,1)
Q-连线斜率，由直线与可行域的关系可得结论．11．已知函数()
,0
1
1,0
2
x x
f x
x x
⎧>
⎪
=⎨
+≤
⎪
⎩
，若m n
<，()()
f m f n
=，则n m
-的取值范围是（）
A．(1,2]B．[1,2)C．(0,1]D．[0,1)
【答案】B
【解析】先研究函数()f x 的单调性和值域，设()()=f m f n t =，得出t 的取值范围，把n m -表示为t 的函数，从而可得答案. 【详解】
当0x ≤时，1
()12
f x x =
+单调递增且()(,1]f x ∈-∞，(2)0f -=；
当0x >时，()f x =()(0,)f x ∈+∞，(1)1f =.
因为m n <，()()f m f n =，所以201m n -<≤<≤. 设()()f m f n t ==，则(0,1]t ∈，
1
()12
f m m t =
+=，()f n t ==. 所以2
22,m t n t =-=.
所以22
22(1)1n m t t t -=-+=-+. 由(0,1]t ∈，可得[1,2)n m -∈. 故选：B. 【点睛】
本题考查函数与方程的综合问题.解题时需要综合利用函数与方程、数形结合、等价转化等数学思想方法.
12．已知函数()(e e )(e e )x x f x a x x =++与2()e x g x =的图象恰有三个不同的公共点（其中e 为自然对数的底数），则实数a 的取值范围是（ ）
A ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭
B ．1,22⎛- ⎝⎭
C ．2⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
D ．
【答案】A
【解析】由两图象有三个公共点可得()()f x g x =有三个实根，变形得
e e 11e e x x x x a ⎛
⎫⎛⎫++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，设e ()e x
x t h x ==，则关于t 的方程()(1)1a t t ++=有两个不同的实数根12,t t 且12(),()h x t h x t ==共有三个实数根，结合二次方程根的分布和()h x 的图象性质可得答案. 【详解】
令()()f x g x =，可得2(e e )(e e )=e x x x
a x x ++，可得e e 11e e x x x x a ⎛⎫⎛⎫
+
+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
.
设e ()e x x t h x ==
，则()(1)1a t t ++=，即2
(1)10t a t a +++-=. e(1)
()e
x
x h x -'=， 当1x <时，()h x 单调递增且()(,1)h x ∈-∞； 当1x >时，()h x 单调递减且()(0,1)h x ∈. 作出()t h x =的图象如图所示.
对于2(1)10t a t a +++-=，22
=(+1)4(1)(1)40Δa a a --=-+>， 设该方程有两个不同的实根12,t t ，由题意得12(),()h x t h x t ==共有三个实数根. 若1t =是方程的根，则1+110a a ++-=，即12
a =-
， 则方程的另一个根为3
2
t =-
，不合题意. 若0t =是方程的根，则0010a ++-=，即1a =， 则方程的另一个根为2t =-，不合题意.
所以关于t 的方程的两根12,t t (不妨令12t t <)满足1201t t <<<.
所以0010,1110,
a a a ++-<⎧⎨+++->⎩解得112a -<<.
故选：A. 【点睛】
本题考查函数与方程的综合问题，涉及导数、二次方程等，是一道难题，解题时要灵活运用等价转化、数形结合等数学思想方法.
二、填空题
13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点*
(,)()n n S n N ∈在函数22y x x =+的图像上，
则数列的通项公式为 .
【答案】41n a n =-
【解析】【详解】试题分析：由题意可得：
，当
n=1,113,2,41n n n a n a S S n -=≥=-=- ,13,a =13,a =满足， 41n a n ∴=-. 【考点】1、等差数列；2、函数的概念； 14．在区间
内随机取两个实数分别为，，则使函数
存在
极值点的概率为 . 【答案】
.
【解析】试题分析：因为函数，所以
，
所以方程
有实数根，所以
，即，而基本事件所包含的面积为正方形，其面积为
，由几何概型的计
算公式知，使函数存在极值点的概率为，故应填
.
【考点】1、导数在研究函数的极值中的应用；2、几何概型的计算公式； 15．已知函数()f x 对x R ∀∈满足(2)()2(1)f x f x f +⋅=，且()0f x >，若
(1)=-y f x 的图象关于1x =对称，(0)1f =，则(2019)f +(2020)f =____________．
【答案】3
【解析】先由对称性可得()f x 是偶函数，再利用赋值求得(1)f 的值，从而可判断周期性，答案易得. 【详解】
因为(1)=-y f x 的图象关于1x =对称，
所以()y f x =的图象关于0x =对称，即()y f x =是偶函数. 对于(2)()2(1)f x f x f +⋅=，令1x =-，可得(1)(1)2(1)f f f -=，
又()0f x >，所以(1)2f -=，则(1)(1)2f f =-=. 所以函数()f x 对x R ∀∈满足(2)()4f x f x +⋅=. 所以(4)(2)4f x f x +⋅+=.
所以()(4)f x f x =+，即()f x 是周期为4的周期函数. 所以44
(2019)(45043)(3)2(1)2
f f f f =⨯+==
==， (2020)(4505)(0)1f f f =⨯==.
所以(2019)(2020)3f f +=. 故答案为：3. 【点睛】
本题考查函数性质的综合运用，涉及对称性、奇偶性、周期性等.遇恒等式问题，可尝试通过赋值来求得关键值.
16．正项等比数列{}n a 满足1354a a +=
，且22a ，41
2
a ，3a 成等差数列，设*1()n n n
b a a n N +=∈，则12n b b b ⋅
⋅取得最小值时的n 值为_________．
【答案】2
【解析】先由题意列关于1,a q 的方程组，求得{}n a 的通项公式，再表示出12n b b b ⋅⋅，
即可求得答案. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q . 由22a ，
41
2
a ，3a 成等差数列，可得4232a a a =+，则321112a q a q a q =+， 所以2
2q q =+，解得1q =-(舍去)或2q .
因为2
131154
a a a a q +=+=，所以114a =.
所以1
31224n n n a --=⋅=.所以32251222n n n n n n b a a ---+==⋅=. 所以1
(28)3113(25)
(4)2
12
=2
2
2n n n n n n b b b ---++++--⋅
⋅==，
当2n =时，(4)n n -取得最小值，12n b b b ⋅⋅取得最小值.
故答案为：2. 【点睛】
本题考查数列的综合问题，涉及等比数列、等差数列、等比数列求积、求最值等.利用等比数列的基本量进行运算是解题的突破口.
三、解答题
17．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足
tan
sin 2cos 222A C A a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=cos 2
C a ． （1）求B ；
（2）若6b =，求22a c +的最小值． 【答案】（1）
2π
3
；（2）24. 【解析】(1)先化切为弦，再利用三角恒等变换、正弦定理化简，可得答案. (2)利用余弦定理和均值不等式求解，也可以利用正弦定理和三角函数的性质求解. 【详解】 （1）
tan
sin 2cos cos 2222
A C A C a b =a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∴sin
sin 2cos cos cos 22222A C A A C a b =a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 2sin
cos cos cos sin sin 222222A A A C A C b =a ⎛
⎫∴- ⎪⎝
⎭. ∴πsin cos
cos sin 222
A C
B B
b A=a =a =a +-. 由正弦定理得sin sin =sin sin 2
B
B A A .
sin 0A ≠，∴2sin cos =sin 222
B B B
.
sin 0
2B ≠，∴1cos =22
B .
0πB <<，∴2π
3B =. （2）方法一：2π
3
B =，=6b ，
由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，
∴2236a c ac ++=.
由基本不等式得22
2
a c ac +≤（当且仅当a c =时“=”成立），
22
2
2
36
2
a c a c +∴≤++，则2224a c +≥，即22a
c +的最小值为24. 方法二：
2π
3B =
，3A C π+=，6b =， 由正弦定理得6
43
2πsin sin sin
3
a c A C ===， ∴43sin ,43sin a A c C ==. ∴222248(sin sin )a c A C +=+
1cos 21cos 24822A C --⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
2π4824cos 2cos 23A A ⎡⎤
⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
13
4824cos 2sin 22A A ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭
π4824sin 26A ⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭.
π03A <<
，∴ππ5π2666A <+<，则1πsin 2126A ⎛⎫<+≤ ⎪⎝
⎭.
∴222436a c ≤+<，则22a c +的最小值为24.
【点睛】
本题考查解三角形，涉及正弦定理、余弦定理、最值的求法等，一般需综合利用三角恒等变换和三角函数的性质进行解题.
18．如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，PAC 为等边三角形，
AB AC ⊥，D 是BC 的中点.
（1）证明：AC PD ⊥；
（2）若2AB AC ==，求D 到平面PAB 的距离.
【答案】（1）证明见解析（2）
3
【解析】(1) 取AC 中点E ，连接DE ，PE ,证AC ⊥平面PED 可得. (2)作平面PAB 的垂线，或利用三棱锥的等积转换求解. 【详解】
（1）证明：取AC 中点E ，连接DE ，PE .
PAC 为等边三角形，∴PE AC ⊥.
AB AC ⊥，D 是BC 的中点，E 为AC 中点，∴ED AC ⊥.
又PE
ED E =，AC ∴⊥平面PED .
∴AC PD ⊥
（2）方法一：取PA 中点M ，连接CM.
PAC 为等边三角形，∴CM PA ⊥.
平面PAC ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，
∴AB ⊥平面PAC .AB CM ∴⊥.
又AB PA A ⋂=，CM ∴⊥平面PAB .
2AC =，PAC 为等边三角形，3CM ∴=
D 是BC 的中点，
∴D 到平面PAB 的距离的2倍等于C 到平面PAB 的距离. ∴D 到平面PAB 3方法二：由平面PAC ⊥平面ABC ，AB AC ⊥， 可得AB ⊥平面PAC ，则AB PA ⊥.
2AB AC ==，PAC 为等边三角形，则1
22
PAB S PA AB =⋅⋅=△.
D 是BC 的中点，1122
ABD AC
S AB ∴=⋅⋅
=△. 点P 到平面ABC 的距离为3PE =D 到平面PAB 的距离为d ，
由1133D PAB P ABD PAB ABD V V S d S PE --=⇒⋅=⋅△△，解得3
2
d =
. 【点睛】
本题考查空间垂直关系的转化，空间距离的求解.面面垂直、线面垂直、线线垂直之间可以互相转化，要合理创造转化的条件.求点面距离的常用方法是作—证—求和等积转换.
19．某医院治疗白血病有甲、乙两套方案，现就70名患者治疗后复发的情况进行了统计，得到其等高条形图如图所示（其中采用甲、乙两种治疗方案的患者人数之比为5:2)．
（1）补充完整22⨯列联表中的数据，并判断是否有99%把握认为甲乙两套治疗方案对患者白血病复发有影响； 复发 未复发 总计 甲方案 乙方案 2 总计
70
（2）为改进“甲方案”，按分层抽样组成了由5名患者构成的样本，求随机抽取2名患者恰好是复发患者和未复发患者各1名的概率． 附：
20()P K k
0.05 0.01 0.005 0.001
0k
3.841 6.635 7.879 10.828
n a b c d =+++，2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++． 【答案】（1）见解析；（2）3
5
P =
【解析】（1）根据条件确定对应项数据，填入表格得列联表，根据卡方公式得2K 值，对照参考数据确定把握率，（2）先根据分层抽样确定样本数，再根据枚举法确定样本总数以及所求事件包含的样本数，最后根据古典概型概率公式得结果. 【详解】
（1）根据题意知，70名患者中采用甲种治疗方案的患者人数为50人，采用乙种治疗方案的患者人数为20人，
补充完整22⨯列联表中的数据，如图所示；
计算观测值得，2
2
70(2018302) 5.966 6.63522485020
K ⨯⨯-⨯=
≈<⨯⨯⨯， 所以没有99%的把握认为甲、乙两套治疗方案对患者白血病复发有影响；
（2）在甲种治疗方案中按分层抽样抽取5名患者，复发的抽取2人，即为A 、B ； 未复发的抽取3人，记为c 、d 、e ，从这5人中随机抽取2人，基本事件为：
AB 、Ac 、Ad 、Ae 、Bc 、Bd 、Be 、cd 、ce 、de 共10种，
其中2人恰好是复发患者和未复发患者各1名的基本事件为： Ac 、Ad 、Ae 、Bc 、Bd 、Be 共6种，
则所求的概率为63=105
P =． 【点睛】
本题考查列联表、卡方计算、分层抽样以及古典概型概率，考查基本分析求解能力，属中档题.
20．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，
且椭圆C
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，线段AB 的中点为(1,)M t ，直线m 是线段AB 的垂直平分线，求证：直线m 过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】（1）2
214
x y +=；
（2）直线m 过定点3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭，详见解析. 【解析】(1)由焦点和离心率可得,a c 的值，则方程易求.
(2)设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，结合线段的中点，利用根与系数的关系(或点差法)可求出直线l 的斜率，进而可表示出直线m 的方程，判断其所过定点. 【详解】
（1）抛物线2y =的焦点为，则c ==
椭圆C 的离心率c e a =
=
2222,1a b a c ==-=. 故椭圆C 的标准方程为2
214
x y +=.
（2）方法一：显然点(1,)M t 在椭圆C 内部，故22
t -
<<
，且直线l 的斜率不为0. 当直线l 的斜率存在且不为0时，易知0t ≠，设直线l 的方程为(1)y k x t =-+， 代入椭圆方程并化简得2
2
2
2
2
(14)(88)48440k x kt k x k kt t ++-+-+-=.
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2
122
88214kt k
x x k
-+=-=+，解得14k t =-. 因为直线m 是线段AB 的垂直平分线，故直线:4(1)m y t t x -=-，即(43)y t x =-.
令430x -=，此时3,04x y ==，于是直线m 过定点3,04⎛⎫
⎪⎝⎭
.
当直线l 的斜率不存在时，易知0t =，此时直线:0m y =，故直线m 过定点3
,04⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
综上所述，直线m 过定点3,04⎛⎫
⎪⎝⎭
.
方法二：显然点(1,)M t 在椭圆C 内部，故t <<
，且直线l 的斜率不为0. 当直线l 的斜率存在且不为0时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，
则有22
1114
x y +=，2222
14x y +=， 两式相减得
12121212()()
()()04
x x x x y y y y +-++-=.
由线段AB 的中点为(1,)M t ，则12122,2x x y y t +=+=， 故直线l 的斜率12121
4y y k x x t
-=
=--.
因为直线m 是线段AB 的垂直平分线，故直线:4(1)m y t t x -=-，即(43)y t x =-. 令430x -=，此时3,04x y =
=，于是直线m 过定点3,04⎛⎫
⎪⎝⎭
. 当直线l 的斜率不存在时，易知0t =，此时直线:0m y =，故直线m 过定点3
,04⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
综上所述，直线m 过定点3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查圆锥曲线(椭圆)的综合问题，涉及弦的中点问题，常规方法是联立直线与圆锥曲线的方程，利用根与系数的关系求解；也可以利用点差法求解. 21．已知函数()sin ,x a
f x x a R e
=
+∈，e 为自然对数的底数. （1）当1a =时，证明，(,0]x ∀∈-∞，()1f x ≥；
（2）若函数()f x 在,02π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上存在两个极值点，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）证明见解析：（2）(0,1)
【解析】(1)代入1a =,求导分析函数单调性,再()f x 的最小值即可证明. (2) ()cos x
a f x x e
'
-=
+,若函数()f x 在,02π⎛⎫
- ⎪⎝⎭上存在两个极值点,则()cos x
a f x x e
'-=
+在,02π⎛⎫
- ⎪⎝⎭上有两根.再分0a ≤,01a <<与1a ≥,利用函数的零点存在定理讨论导函数的零点即可. 【详解】
(1)证明：当1a =时,1()sin x f x x e =
+,则
1
()cos x
f x x e -'=+,
当(,0]x ∈-∞时,01x e <≤,则1
1x
e -≤-,又因为c o s 1
x ≤, 所以当(,0]x ∈-∞时,1
()cos 0x f x x e
'
-=
+≤,仅0x =时,()0f x '=, 所以()f x 在(,0]-∞上是单调递减,所以()(0)1f x f =,即()1f x ≥.
(2)()cos x
a f x x e
'
-=
+,因为,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,所以cos 0,0x x e >>, ①当0a ≤时,()0f x '>恒成立,所以()f x 在,02π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递增,没有极值点.
②当0a >时,()cos x
a f x x e
'
-=
+在区间,02π⎛⎫
- ⎪⎝⎭上单调递增, 因为20,(0)12f a e f a π
π⎛⎫
''-=-⋅<=-+ ⎪⎝⎭
.
当1a ≥时,,02x π⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭,01)()0(f x f a ''≤=-+≤
所以()f x 在,02π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递减,没有极值点.
当01a <<时,()010f a '=-+>,所以存在0,02x π⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
,使()00f x '= 当0,2x x π⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
时,()0()0,,0f x x x '<∈时,()0f x '> 所以()f x 在0x x =处取得极小值,0x 为极小值点.
综上可知,若函数()f x 在,02π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上存在两个极值点,则实数(0,1)a ∈.
【点睛】
本题主要考查了利用导函数求解函数的单调性与最值,进而证明不等式的方法.同时也考查了利用导数分析函数极值点的问题,需要结合零点存在定理求解.属于难题.
22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为sin x y ϕϕ
⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ
为参数），以坐标
原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为ρ=
（1）求曲线1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程； （2）设P 是曲线1C 上一点，此时参数4
π
ϕ=
，将射线OP 绕原点O 逆时针旋转
3
π
交曲线2C 于点Q ，记曲线1C 的上顶点为点T ，求OTQ ∆的面积.
【答案】(1) 1C ：()
221sin 2ρθ+=，2C ：22
2x y +=
.(2)
46
-
【解析】（1）根据参数方程与直角坐标方程的转化,先将1C 的参数方程转化为直角坐标方程.根据极坐标与直角坐标方程的转化,再将直角坐标方程转化为极坐标方程.根据极坐标与直角坐标方程的转化,将2C 的极坐标方程转化为直角坐标方程. （2）根据参数4
π
ϕ=求得P 的极坐标.根据变换过程可得点Q 的极坐标,根据三角形面
积为1
2
OTQ Q S OT x ∆=⋅即可求得OTQ ∆的面积. 【详解】
（1）由已知可得1C ：2
212
x y +=
则极坐标方程为(
)
2
2
1sin 2ρθ+=
2C ：222x y +=.
（2）设点Q 的横坐标为Q x ,则由已知可得1
2
OTQ Q S OT x ∆=⋅
且直角坐标P ⎛ ⎝
,
极坐标2P θ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
,
其中sin θ=
cos θ=
极坐标3Q πθ⎫
+
⎪⎭
,
则有3Q x πθ⎛
⎫=
+= ⎪⎝
⎭
所以11212OTQ Q S OT x ∆=⨯⨯=
⋅4=-. 【点睛】
本题考查了参数方程、直角坐标方程和极坐标方程的转化,利用极坐标方程求三角形的面积,属于中档题.
23．已知a ，b ，c 为一个三角形的三边长.证明： （1）
3b c a
a b c
++≥； （2
）
2
2a b c
>++.
【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；
【解析】（1）根据三项基本不等式,可直接证明不等式成立. （2
>
同理证明
b >
c >后,将不等式左右两边分别相加即可证明.
【详解】
（1）证明:由三项基本不等式可知
3b c a a b c ++≥= 不等式得证.
（2）证明:由于a ,b ,c 为一个三角形的三边长,则有：
2
b c a =++>,
>
a =>,
b >
c >,
相加得：a b c >++,左右两边同加a b c ++得：
()2
2a b c +>++
所以
2
2a b c
>++
不等式得证. 【点睛】
本题考查了不等式的简单证明,基本不等式在证明不等式中的用法,属于中档题.。