课件7：2.4.1 抛物线的标准方程

设其方程为 x2＝2py(p>0)，
将点 M(－6,6)代入可得，36＝2p×6，∴p＝3，
∴抛物线的方程为 x2＝6y.
综上所述，抛物线的标准方程为 y2＝－6x 或 x2＝6y.
(2)①∵直线 l 与 x 轴的交点为(2,0)，
∴抛物线的焦点是 F(2,0)，
p
∴2＝2，∴p＝4，
∴抛物线的标准方程是 y2＝8x.
而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，
便于应用．
例 4 河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶 5 米时，水面
宽为 8 米，一小船宽 4 米，高 2 米，载货后船露出水面
3
上的部分高4米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米
时，小船开始不能通航？
【解】 如图，建立坐标系，
设拱桥抛物线方程为 x2＝－2py(p>0)，
小船不能通航．
名师指导
1．本题的解题关键是把实际问题转化为数学问题，利
用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)
表达、分析、解决问题．
2．以抛物线为数学模型的实例很多，如拱桥、隧道、
喷泉等，应用抛物线主要体现在：(1)建立平面直角坐标
系，求抛物线的方程．(2)利用已求方程求点的坐标．
跟踪训练
p
当焦点为(4,0)时，由2＝4，得 p＝8，
所以所求抛物线方程为 y2＝16x.
综上所述，所求抛物线方程为 x2＝－8y 或 y2＝16x.
类型2 抛物线定义的应用
例2
(1)一动圆圆心在抛物线x2＝4y上，该圆过点(0,1)，
且与定直线l相切，则直线l的方程为________．
(2)已知抛物线x2＝4y，焦点是F(0,1)，A为抛物线上一
2
如图所示，由抛物线定义可知，点 M 到焦点的距离等于
1
点 M 到准线 y＝－16的距离，


1


即yM－－16＝1，



15
∴yM＝16.
【答案】 B
合作探究
类型1 求抛物线的标准方程
例1
求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)过点 M(－6,6)；
(2)焦点 F 在直线 l：3x－2y－6＝0 上；
②∵直线 l 与 y 轴的交点为(0，－3)，
即抛物线的焦点是 F(0，－3)，
p
∴2＝3，∴p＝6，
∴抛物线的标准方程是 x2＝－12y.
综上所述，所求抛物线的标准方程是 y2＝8x 或 x2＝－12y.
(3)焦点到准线距离p＝4，焦点可在x，y轴上，
故有四种情况，标准方程为y2＝8x，y2＝－8x，x2＝8y，

p

F－2，0，准线方程为


p
得其焦点坐标为
x＝2.
设点 M 到准线的距离为 d，则 d＝|MF|＝10，
p
即2－(－9)＝10，得 p＝2，故抛物线方程为 y2＝－4x.
由点M(－9，y)在抛物线上，得y＝±6，
由已知条件可得点 A 的坐标是(40,30)，
且在抛物线上，代入方程，得
45
30 ＝2p·40，解得 p＝ 4 .
2
45

45
故所求抛物线的标准方程为 y2＝ 2 x，焦点坐标是 8 ，0.


课堂检测
2
1．准线方程为 y＝3的抛物线的标准B．x ＝－3y
8
C．y ＝－3x
抛物线的标准方程
标准方程
焦点坐标 准线方程
y2＝2px(p>0)
________ ________
y2＝－2px(p>0) ________ ________
x2＝2py(p>0)
________ ________
x2＝－2py(p>0) ________ ________
【答案】

p
0，－
【解析】
把点(2，－4)代入抛物线 y2＝2px，得 16＝4p，
即 p＝4，从而抛物线的焦点为(2,0)．
故点 A 到焦点的距离为 4.
【答案】
4
5．若抛物线 y2＝－2px(p＞0)上有一点 M，其横坐标为－9，
它到焦点的距离为 10，求点 M 的坐标．
【解】 由抛物线方程 y2＝－2px(p＞0)，
8
D．y ＝3x
2
2
2
2
)
【解析】
2
由准线方程为 y＝3知抛物线焦点在 y 轴负
p 2
4
半轴上，且2＝3，则 p＝3.故所求抛物线的标准方程为
8
x ＝－3y.
2
【答案】
B
2．已知点 A(－2,3)在抛物线 C：y2＝2px 的准线上，
记 C 的焦点为 F，则直线 AF 的斜率为(
4
A．－3
B．－1
|AF|＝
【答案】

12

2
0－ ＋(2－0) ＝
2

A
17
.
2
类型3 与抛物线有关的轨迹问题
例3
已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋
(y＋3)2＝1外切，求动圆圆心M的轨迹方程.
【解】
设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，
则由题意可得M到圆心C(0，－3)的距离与直线y＝3的
因此设抛物线的方程为 x2＝my(m≠0)．
又抛物线过点(－1，－3)，
1
所以 1＝m·(－3)，即 m＝－3，
1
所以所求抛物线方程为 x ＝－3y.
2
(2)法一
设所求抛物线方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－
2p′y(p′＞0)，将点(4，－8)代入y2＝2px，得p＝8；将点
(4，－8)代入x2＝－2p′y，得p′＝1.所以所求抛物线方程
y ＝16x
是________．
2
【解析】
x2 y2
由双曲线16－ 9 ＝1，
得抛物线的焦点坐标为(4,0)，
故可设抛物线方程为 y2＝2px(p＞0)，
p
所以2＝4，即 p＝8，抛物线方程为 y2＝16x.
4．已知抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点为 F1，若点 A(2，－4)
在抛物线上，则点 A 到焦点的距离为________．
8
由题意，将 B(4，－5)代入方程得 p＝5，
16
∴抛物线方程为 x ＝－ 5 y.
2
∵当船的两侧和拱桥接触时船不能通航．
设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，
16
5
由 2 ＝－ 5 yA，得 yA＝－4.
2
3
又知船露出水面上部分为4米，
设水面与抛物线拱顶相距为 h，
3
则 h＝|yA|＋4＝2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶 2 米时，
4.探照灯反射镜(如图)的轴截面是抛物线的一部分，光源
位于抛物线的焦点处．已知灯口圆的直径为60 cm，灯深
40 cm，求抛物线的标准方程和焦点坐标．
【解】
如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立平
面直角坐标系，
使探照灯的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂
直于灯口直径．
设抛物线的标准方程为 y2＝2px(p>0)，
2.4.1 抛物线的标准方程
学习目标
1．掌握抛物线的定义及其标准方程．(重点、难点)
2．会由抛物线方程求焦点坐标和准线方程．(易错点)
基础初探
教材整理1
抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的
点的轨迹叫做________．定点F叫做抛物线的________，
定直线l叫做抛物线的________．
名师指导
根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到
焦点的距离等于它到准线的距离，因此，抛物
线定义的功能是可以实现点点距与点线距的相
互转化，从而简化某些问题．
跟踪训练
2．已知点 P 是抛物线 y2＝2x 上的一个动点，则点 P 到
点 A(0,2)的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为
(
)
17
A. 2
探究1
求解抛物线实际应用题的步骤有哪些？
【提示】 求解抛物线实际应用题的五个步骤：
探究2
如何利用抛物线定义解决实际问题？
【提示】
把实际问题转化为数学问题，利用抛物线
的知识来解决实际问题．在建立抛物线的标准方程时，
常以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴
建立坐标系，这样可使得标准方程不仅具有对称性，
距离相等．
由抛物线的定义可知：
动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，
以y＝3为准线的一条抛物线，
其方程为x2＝－12y.
名师指导
求动点轨迹方程的方法：定义法，判断动点
的轨迹是否满足抛物线的定义．若满足抛物线的
定义，则可按抛物线标准方程的形式写出方程．
跟踪训练
3．已知动圆M经过点A(3,0)，且与直线l：x＝－3相切，
(1)关于y轴对称且过点(－1，－3)；
(2)过点(4，－8)；
(3)焦点在x－2y－4＝0上．
【解】 (1)法一 设所求抛物线方程为 x2＝－2py(p＞0)，
将点(－1，－3)代入方程，得(－1)2＝－2p·(－3)，
1
解得 p＝6，
1
所以所求抛物线方程为 x ＝－3y.
2
法二
由已知，抛物线的焦点在 y 轴上，
3
C．－4
1
D．－2
)
【解析】
∵点 A(－2,3)在抛物线 C 的准线上，
p
∴2＝2，∴p＝4.
∴抛物线的方程为 y2＝8x，则焦点 F 的坐标为(2,0)．
0－3
3
又 A(－2,3)，根据斜率公式得 kAF＝
＝－4.
2＋2
【答案】
C
x2 y2
3．以双曲线16－ 9 ＝1 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程
2

p

，0
2

p
y＝
2
p
x＝－
2
p

－ ，0
2

p
x＝
2

p
0，
2

p
y＝－
2
预习自测
抛物线 y＝4x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的
纵坐标是(
)
17
A.16
15
B.16
7
C.8
D.0
【解析】
1
抛物线 y＝4x 化为标准方程为 x ＝4y，
2
x2＝－8y.
名师指导
1．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
2．求抛物线的标准方程时需注意的三个问题
(1)把握开口方向与方程间的对应关系．
(2)当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx或
x2＝ny，这样可以减少讨论情况的个数．

(3)注意p与 的几何意义．
2
跟踪训练
1．根据下列条件确定抛物线的标准方程．
综上，抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－2y.
x＝0，
x＝0，
(3)由
得
x－2y－4＝0，
y＝－2，
y＝0，
y＝0，
由
得
x－2y－4＝0，
x＝4.
所以所求抛物线的焦点坐标为(0，－2)或(4,0)．
p
当焦点为(0，－2)时，由2＝2，得 p＝4，
所以所求抛物线方程为 x2＝－8y；
B.3
C. 5
9
D.2
【解析】
由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于
到焦点的距离．由图可得，
1
∴点 P 到准线 x＝－ 的距离 d＝|PF|，
2
易知点 A(0,2)在抛物线 y2＝2x 的外部，
连接 AF，交 y2＝2x 于点 P′，
欲使所求距离之和最小，只需 A，P′，F 共线，
∴其最小值为
为y2＝16x或x2＝－2y.
法二
当焦点在x轴上时，
设抛物线的方程为y2＝nx(n≠0)，又抛物线过点(4，－8)，
所以64＝4n，即n＝16，抛物线的方程为y2＝16x；
当焦点在y轴上时，设抛物线的方程为x2＝my(m≠0)，
又抛物线过点(4，－8)，所以16＝－8m，即m＝－2，
抛物线的方程为x2＝－2y.
求动圆圆心M的轨迹方程．
【解】
设动点M(x，y)，⊙M与直线l：x＝－3的切点
为N，
则|MA|＝|MN|，即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的
距离相等，
∴点M的轨迹是抛物线，且以A(3,0)为焦点，
以直线l：x＝－3为准线，
p
∴2＝3，∴p＝6，
故动圆圆心 M 的轨迹方程是 y2＝12x.
探究点 抛物线的实际应用
(2)因为 F(0,1)为抛物线的焦点，设 A(x1，y1)，
则 AF 的中点坐标为
x1 y1＋1

M ，
.

2
2
|AF| y1＋1
又因为圆的半径为 2 ＝ 2 ，
|AF|
所以圆心 M 到 x 轴的距离恒等于半径
，
2
所以直线 l 的方程为 y＝0.
【答案】 (1)y＝－1
(2)y＝0
【答案】 抛物线 焦点 准线
预习自测
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹
是抛物线．(
)
(2)抛物线的方程都是 y 关于 x 的二次函数．(
)
(3)方程 x2＝2py 是表示开口向上的抛物线．(
)
【答案】
(1)× (2)× (3)×
教材整理 2
图形
动点，以AF为直径的圆与定直线l相切，则直线l的方
程为________．
【解析】
(1)因为动圆过点(0,1)，且与定直线l相切，
所以动圆圆心到点(0,1)的距离与它到定直线l的距离相等．
又因为动圆圆心在抛物线x2＝4y上，且(0,1)为抛物线的
焦点，
所以l为抛物线的准线，所以直线l的方程为y＝－1.
(3)焦点到准线的距离是 4.
【解】
(1)由于点 M(－6,6)在第二象限，
∴过 M 的抛物线开口向左或开口向上．
若抛物线开口向左，焦点在 x 轴上，
设其方程为 y2＝－2px(p>0)，
将点 M(－6,6)代入，可得 36＝－2p×(－6)，
∴p＝3.
∴抛物线的方程为 y2＝－6x.
若抛物线开口向上，焦点在 y 轴上，