高二数学北师大版选修1-2《复数的应用》(第二课时)教案
高二数学北师大版选修1-2《复数的相关概念》教案
重点：复数的基本概念以及复数相等的充要条件．
难点：复数的基本概念以及复数相等的充要条件．
教学手段运用
教学资源选择
PPT
教 学 过 程
复习：
1．复数的定义
2．复数集的分类
3．两复数相等的充要条件
探究新知：
一、探究以下问题
1．实数与数轴上点有什么关系？类比实数，复数是否也可以用点来表示吗？
2．复数与从原点出发的向量的是如何对应的？
石泉中学课时教案
科目：高二数学教师：张艳琴授课时间：第4周 星期五2016年3月18日
单元（章节）ห้องสมุดไป่ตู้题
第四章《数系的扩充与复数的导入》
本节课题
1.2复数的有关概念
三维目标
1. 理解复数与复平面的点之间的一一对应关系
2.理解复数的几何意义并掌握复数模的计算方法．
3、培养学生数形结合能力。
提炼的课题
复数的基本概念以及复数相等的充要条件．
3．复数的几何意义你是怎样理解的？
4．复数的模与向量的模有什么联系？
二、带着以上问题阅读教材P74~P75相关内容，并完成下面题目
1. 复平面：复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是叫做复平面，x轴叫做，y轴叫做．
实轴上的点都表示虚轴上的点除原点外，虚轴上的点都表示
2. 复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数 复平面内的点 平面向量
3. 复数的模：复数z=a+bi(a、b∈R)的模
三、例题
例1 已知复数 试比较它们模的大小；
例2 满足条件 的复数z在复平面上对应点的轨迹是（ ）
A.一条直线B.两条直线C.圆D.椭圆
高中数学 复习课(三)复数、框图教案(含解析)北师大版选修1-2-北师大版高二选修1-2数学教案
复习课(三) 复数、框图[对应学生用书P45]复数的概念(1)空题形式出现，难度较小．(2)解答此类问题的关键是明确复数相关概念．[考点精要]1．复数是实数的充要条件 (1)z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)∈R ⇔b ＝0. (2)z ∈R ⇔z ＝z . (3)z ∈R ⇔z 2≥0.2．复数是纯虚数的充要条件(1)z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)是纯虚数⇔a ＝0，且b ≠0. (2)z 是纯虚数⇔z ＋z ＝0(z ≠0)． (3)z 是纯虚数⇔z 2<0. 3．复数相等的充要条件a ＋b i ＝c ＋d i ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝c ，b ＝d(a ，b ，c ，d ∈R)．[典例] (1)(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ； p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R.其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4(2)(2017·某某高考)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i2＋i为实数，则a 的值为________． [解析] (1)设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，对于p 1，∵1z ＝1a ＋b i ＝a －b ia 2＋b2∈R ，∴b ＝0，∴z ∈R ，∴p 1是真命题；对于p 2，∵z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ∈R ，∴ab ＝0，∴a ＝0或b ＝0，∴p 2不是真命对于p 3，设z 1＝x ＋y i(x ，y ∈R)，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R)，则z 1z 2＝(x ＋y i)(c ＋d i)＝cx －dy ＋(dx ＋cy )i ∈R ，∴dx ＋cy ＝0，取z 1＝1＋2i ，z 2＝－1＋2i ，z 1≠z 2， ∴p 3不是真命题；对于p 4，∵z ＝a ＋b i ∈R ，∴b ＝0，∴z ＝a －b i ＝a ∈R ， ∴p 4是真命题．(2)由a －i 2＋i ＝a －i 2－i 2＋i 2－i ＝2a －15－2＋a 5i 是实数，得－2＋a5＝0，所以a ＝－2. [答案] (1)B (2)－2 [类题通法]处理复数概念问题的两个注意点(1)当复数不是a ＋b i(a ，b ∈R)的形式时，要通过变形化为a ＋b i 的形式，以便确定其实部和虚部．(2)求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根．[题组训练]1．若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z 2＋z －2的虚部为( ) A ．0 B ．－1 C ．1D ．－2解析：选A 因为z ＝1＋i ，所以z ＝1－i ，所以z 2＋z 2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i ＋(－2i)＝0.故选A.2．已知z 1＝m 2－3m ＋m 2i ，z 2＝4＋(5m ＋6)i ，其中m 为实数，i 为虚数单位，若z 1－z 2＝0，则m 的值为( )A ．4B ．－1C ．6D ．－1或6解析：选B 由题意可得z 1＝z 2，即m 2－3m ＋m 2i ＝4＋(5m ＋6)i ，根据两个复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝4，m 2＝5m ＋6，解得m ＝－1，故选B.复数加、减法的几何意义(1)查，难度较小．(2)解答此类问题的关键是利用复数运算将复数化为代数形式，再利用复数的几何意义[考点精要]1．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的对应点的坐标为(a ，b )，而不是(a ，b i)；(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的对应向量OZ ―→是以原点O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ ―→相等的向量有无数个．2．复数的模(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的模|z |＝a 2＋b 2；(2)从几何意义上理解，复数z 的模表示复数z 对应的点Z 和原点间的距离． [典例] (1)(2017·全国卷Ⅲ)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( ) A.12B.22 C. 2D ．2(2)复数z ＝m －2i1＋2i(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] (1)因为z ＝2i1＋i ＝2i 1－i1＋i 1－i＝i(1－i)＝1＋i ，所以|z |＝ 2.(2)z ＝m －2i1＋2i＝m －2i1－2i1＋2i 1－2i＝15[(m －4)－2(m ＋1)i]， 其实部为15(m －4)，虚部为－25(m ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧m －4>0，－2m ＋1>0.得⎩⎪⎨⎪⎧m >4，m <－1.此时无解．故复数在复平面上对应的点不可能位于第一象限． [答案] (1)C (2)A[类题通法]在复平面内确定复数对应点的步骤(1)由复数确定有序实数对，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)确定有序实数对(a ，b )．(2)由有序实数对(a ，b )确定复平面内的点Z (a ，b )．[题组训练]1．设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选B ∵(1＋i)x ＝1＋y i ，∴x ＋x i ＝1＋y i. 又∵x ，y ∈R ，∴x ＝1，y ＝1. ∴|x ＋y i|＝|1＋i|＝2，故选B.2．若复数(－6＋k 2)－(k 2－4)i 所对应的点在第三象限，则实数k 的取值X 围是________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧－6＋k 2<0，k 2－4>0，∴4<k 2<6.∴－6<k <－2或2<k < 6. 答案：(－6，－2)∪(2，6)3．已知复数z 1＝2＋3i ，z 2＝a ＋b i ，z 3＝1－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C .若OC ―→＝2OA ―→＋OB ―→，则a ＝________，b ＝________.解析：∵OC ―→＝2OA ―→＋OB ―→, ∴1－4i ＝2(2＋3i)＋(a ＋b i)即⎩⎪⎨⎪⎧1＝4＋a ，－4＝6＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－10.答案：－3 －10复数的代数运算(1)般以复数的乘法和除法运算为主．(2)解答此类问题的关键是熟记并灵活运用复数的四则运算法则，用好复数相等的充要条件这一重要工具，将复数问题实数化求解．[考点精要]复数运算中常见的结论(1)(1±i)2＝±2i，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i.(2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)； (3)i 4n＝1，i 4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ；(4)i 4n＋i4n ＋1＋i 4n ＋2＋i4n ＋3＝0.[典例] (1)若z ＝1＋2i ，则4iz z －1＝( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i(2)计算：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋2i ·i 100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 52－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 220＝________.[解析] (1)因为z ＝1＋2i ，则z ＝1－2i ，所以z z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则4iz z －1＝4i4＝i.故选C. (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋2i ·i 100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 52－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 220＝[(1＋2i)＋(－i)5]2－i 10＝(1＋i)2－i 2＝1＋2i.[答案] (1)C (2)1＋2i [类题通法]进行复数代数运算的策略(1)复数代数形式的运算的基本思路就是应用运算法则进行计算． ①复数的加减运算类似于实数中的多项式加减运算(合并同类项)．②复数的乘除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要注意i 的幂的性质，区分(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2与(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2；在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同乘以分母的共轭复数)，此时要注意区分(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2与(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2.(2)复数的四则运算中含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i 的幂写成最简单的形式．(3)利用复数相等，可实现复数问题的实数化．[题组训练]1．复数z 满足z (z ＋1)＝1＋i ，其中i 是虚数单位，则z ＝( ) A ．1＋i 或－2＋i B ．i 或1＋i C ．i 或－1＋iD ．－1－i 或－2＋i解析：选C 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，由z (z ＋1)＝1＋i 得a 2＋b 2＋a ＋b i ＝1＋i ，所以b ＝1，a 2＋a ＋1＝1，所以a ＝0或az ＝i 或z ＝－1＋i.2．i 是虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 018＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＝________.解析：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 009＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2i 1 009＋i 6＝i 1009＋i 6＝i4×252＋1＋i 4＋2＝i ＋i 2＝－1＋i.答案：－1＋i框图(1)题型为选择题、填空题．主要考查基本知识和技能，如对条件结构和循环结构的灵活应用或补全程序框图．(2)在画框图时，需要有较高的抽象概括能力和逻辑思维能力，要熟悉事物的来龙去脉，从头至尾抓住主要脉络进行分解，弄清各步的逻辑关系．[考点精要]1．流程图(1)流程图是动态图示，包括程序流程图、工序流程图、生活中的流程图等，流程图一般要按照从左到右，从上到下的顺序来观察．(2)画流程图时，要先将实际问题分解成若干个步骤，注意各个步骤之间的先后顺序和逻辑关系，再用简洁的语言表述步骤，最后绘制成流程图．2．结构图(1)结构图是一种静态图示，通常用来描述一个系统各部分和各环节之间的关系．结构图一般主要包括知识结构图和组织结构图．(2)结构图的书写顺序是：根据系统各要素的具体内容，按照从上到下、从左到右的顺序或箭头所指的方向将各要素划分为从属关系或逻辑的先后关系．[典例] (1)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生，分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率P i (i ＝1,2,3)．(2)据有关人士预测，我国的消费观念正由生存型消费转向质量型消费，城镇居民消费热点是商品住房、小轿车、新型食品、服务消费和文化消费；农村消费热点是住房、家电，试设计出表示消费情况的结构图．[解] (1)变量x 是在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生的一个数，共有24种可能．当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12； 当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝13；当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝16.所以输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16. (2)如图所示．[类题通法](1)解决循环结构框图问题，首先要找出控制循环的变量的初值、步长、终值(或控制循环的条件)，然后看循环体，循环次数比较少时，可依次列出即可获解，循环次数较多时可先循环几次，找出规律，要特别注意最后输出的是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误．(2)画复杂的组织结构图或分类结构图时，首先要分清各个要素的从属关系，即上下位关系，然后从最上位开始往下位展开，既可以画成上下结构，也可以画成左右结构．[题组训练]1．读下面的流程图，当输入的值为－5时，输出的结果是________．解析：①A ＝－5＜0，②A ＝－5＋2＝－3＜0，③A ＝－3＋2＝－1＜0，④A ＝－1＋2＝1＞0，⑤A ＝2×1＝2.答案：22．“大气热力作用”有关知识是：太阳辐射地面，产生地面辐射传递给大气和宇宙空间，大气向外辐射至宇宙空间，同时，大气对地面产生逆辐射，对太阳辐射产生削弱作用(吸收、反射、散射)，不仅如此，大气还对地面产生保温作用．试画出上述知识的结构图．解：如图所示．1．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若a ＋i ＝2－b i ，则 (a ＋b i)2＝( ) A ．3－4i B ．3＋4i C ．4－3iD ．4＋3i解析：选A 由a ＋i ＝2－b i 可得a ＝2，b ＝－1，则(a ＋b i)2＝(2－i)2＝3－4i. 2．复数z 满足(－1＋i)z ＝(1＋i)2，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D z ＝1＋i 2－1＋i ＝2i －1－i －1＋i －1－i ＝2i－1－i2＝1－i ，故z 在复平面内对应的点的坐标为(1，－1)，位于第四象限．3．绘制直平行六面体的知识结构图时，下列叙述正确的是( ) A ．正方体应是最下位要素 B ．正方体是长方体的上位要素 C ．直平行六面体是长方体的下位要素 D ．正四棱柱不是该结构图中的要素解析：选A 正确的关系为直平行六面体→正四棱柱→长方体→正方体．4．在复平面内，向量AB ―→对应的复数是2＋i ，向量CB ―→对应的复数是－1－3i ，则向量CA ―→对应的复数为（ ）A.1－2iB.－1＋2iC.3＋4iD.－3－4i解析：选D ∵AB ―→对应复数2＋i ，BC ―→对应复数1＋3i ，,∴AC ―→对应复数(2＋i)＋(1＋3i)＝3＋4i ，∴CA ―→对应的复数是－3－4i.5．已知复数z ＝－12＋32i ，则z ＋|z |＝( )A ．－12－32iB ．－12＋32iC.12＋32iD.12－32i 解析：选D 由题知z ＝－12－32i ，|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322z ＋|z |＝12－32i ，故选D.6．设z 是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2<0，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则z 2≥0 D ．若z 是纯虚数，则z 2<0解析：选C 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，选项A ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i≥0，则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a 2≥b 2，故b ＝0或a ，b 都为0，即z 为实数，正确． 选项B ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i<0，则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a 2<b 2，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0，故z 一定为虚数，正确．选项C ，若z 为虚数，则b ≠0，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ，由于a 的值不确定，故z2无法与0比较大小，错误．选项D ，若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0，则z 2＝－b 2<0，正确．7．复数z ＝3＋i1＋2i 的共轭复数是________．解析：依题意得z ＝3＋i 1－2i 1＋2i1－2i ＝5－5i5＝1－i ，因此z 的共轭复数是1＋i.答案：1＋i8．i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________.解析：∵(2，－3)关于原点的对称点是(－2,3)， ∴z 2＝－2＋3i. 答案：－2＋3i9．已知z ，ω为复数，(1＋3i)z 为纯虚数，ω＝z2＋i ，且|ω|＝52，则ω＝________.解析：由题意设(1＋3i)z ＝k i(k ≠0且k ∈R)， 则ω＝k i2＋i1＋3i.∵|ω|＝52，∴k ＝±50，故ω＝±(7－i)． 答案：±(7－i)10．已知复数z ＝(1－i)2＋1＋3i. (1)求|z |；(2)若z 2＋az ＋b ＝z ，某某数a ，b 的值． 解：z ＝(1－i)2＋1＋3i ＝－2i ＋1＋3i ＝1＋i. (1)|z |＝12＋12＝ 2.(2)z 2＋az ＋b ＝(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝2i ＋a ＋a i ＋b ＝a ＋b ＋(a ＋2)i ， ∵z ＝1－i ，∴a ＋b ＋(a ＋2)i ＝1－i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a ＋2＝－1，∴a ＝－3，b ＝4.11．已知z ＝x －i 1－i (x >0)，且复数ω＝z (z ＋i)的实部减去它的虚部所得的差等于－32，求ω·ω.解：ω＝z (z ＋i)＝x －i 1－i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －i 1－i ＋i ＝x －i 1－i ·x ＋11－i ＝x ＋12＋x 2＋x2i.根据题意x ＋12－x 2＋x2＝－32，得x 2－1＝3. ∵x >0，∴x ＝2.∴ω＝32＋3i.∴ω·ω＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋3i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－3i ＝454.12．某省公安消防局对消防产品监督程序步骤为：受理产品请求，审核考察，领导复核，窗口信息反馈．领导复核环节中，若不同意，则直接由窗口反馈信息；同意，如果由公安部发证的产品，则报公安部审批后，再把反馈信息由窗口反馈；如果不是由公安部发证的产品，则信息由窗口反馈出去．试画出监督程序流程图．word 解：如图所示：11 / 11。
数学北师大版选修1-2 第4章 1.2 复数的有关概念(2)
1.2 复数的有关概念(二)学习目标 1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．知识点一复平面思考实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？答案任何一个复数z＝a＋bi，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以一一对应．梳理当用直角坐标平面内的点来表示复数时，我们称这个直角坐标平面为复平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．知识点二复数的几何意义知识点三复数的模或绝对值设复数z＝a＋bi在复平面内对应的点是Z(a，b)，点Z到原点的距离|OZ|叫作复数z的模或绝对值，记作|z|，显然，|z|＝a2＋b2.两个复数不全是实数不能比较大小，但可以比较它们模的大小．1．在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( √)2．在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( ×)3．若|z1|＝|z2|，则z1＝z2.( ×)类型一复数的几何意义例1 实数x分别取什么值时，复数z＝(x2＋x－6)＋(x2－2x－15)i对应的点Z在：(1)第三象限；(2)直线x－y－3＝0上．考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系解 因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数．(1)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6<0，x 2－2x －15<0，即当－3<x<2时，点Z 在第三象限．(2)z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 对应点Z(x 2＋x －6，x 2－2x －15)， 当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0， 即当x ＝－2时，点Z 在直线x －y －3＝0上． 引申探究若本例中的条件不变，其对应的点在： (1)虚轴上；(2)第四象限． 解 (1)当实数x 满足x 2＋x －6＝0， 即当x ＝－3或2时，点Z 在虚轴上．(2)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6>0，x 2－2x －15<0，即当2<x<5时，点Z 在第四象限．反思与感悟 按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值． 跟踪训练1 在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i(m ∈R)的对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数z. 考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系解 若复数z 的对应点在虚轴上，则m 2－m －2＝0， 所以m ＝－1或m ＝2，所以z ＝6i 或z ＝0. 若复数z 的对应点在实轴负半轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2<0，m 2－3m ＋2＝0，所以m ＝1，所以z ＝－2.类型二 复数的模例2 已知复数z 1＝3－i ，z 2＝cosθ＋isi nθ. (1)求|z 1|及|z 2|，并比较它们的大小；(2)设z ∈C ，点Z 为z 在复平面内所对应的点，则满足条件|z 2|≤|z|≤|z 1|的点Z 构成了什么图形？ 考点 复数的模的定义与应用 题点 利用定义求复数的模解 (1)|z 1|＝(3)2＋(－1)2＝2， |z 2|＝cos 2θ＋sin 2θ＝1. 因为2>1，所以|z 1|>|z 2|.(2)由|z 2|≤|z|≤|z 1|，得1≤|z|≤2.因为|z|≥1表示以O 为圆心，1为半径的圆的外部及其边界上所有点，|z|≤2表示以O 为圆心，2为半径的圆的内部及其边界上所有点，故符合题设条件的点构成了以O 为圆心，分别以1和2为半径的两个圆所夹的圆环(包括边界)．反思与感悟 利用模的定义将复数模的条件转化为其实部、虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想． 跟踪训练2 已知0<a<3，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z|的取值范围是( ) A ．(1，10) B ．(1，3) C ．(1,3)D ．(1,10)考点 复数的模的定义与应用 题点 利用定义求复数的模 答案 A解析 0<a<3，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)， 则|z|＝a 2＋1∈(1，10).1．当23<m<1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系 答案 D解析 ∵23<m<1，∴0<3m －2<1，m －1<0，∴复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面内对应的点位于第四象限． 2．满足|z|2－2|z|－3＝0的复数z 的对应点的轨迹是( ) A ．一个圆 B ．线段 C ．两个点D ．两个圆考点 复数的几何意义的综合应用 题点 利用几何意义解决轨迹、图形 答案 A解析 由条件|z|2－2|z|－3＝0，得|z|＝3(|z|＝－1舍去)，|z|＝3表示一个圆．3．设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i(i 为虚数单位)，且|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．a<－1或a>1 B ．－1<a<1 C ．a>1D ．a>0考点 复数的模的定义与应用 题点 利用模的定义求参数 答案 B解析 因为|z 1|＝a 2＋4，|z 2|＝4＋1＝5， 所以a 2＋4<5，即a 2＋4<5， 所以a 2<1，即－1<a<1.4．若复数z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，其中m ∈R ，则|z|＝________. 考点 复数的模的定义与应用 题点 利用定义求复数的模 答案 3解析 复数z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，所以m －2＝0且m ＋1≠0，解得m ＝2，所以z ＝3i ，所以|z|＝3.5．当实数m 为何值时，复数(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i(i 为虚数单位)在复平面中的对应点 (1)位于第四象限； (2)位于x 轴的负半轴上． 考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15>0，m 2＋3m －28<0，得⎩⎪⎨⎪⎧m>5或m<3，－7<m<4，所以－7<m<3.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15<0，m 2＋3m －28＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3<m<5，m ＝－7或m ＝4，所以m ＝4.1．复数的几何意义这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径． (1)复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)的对应点的坐标为(a ，b)而不是(a ，bi)；(2)复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)的对应向量OZ →是以原点O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ →相等的向量有无数个． 2．复数的模(1)复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)的模|z|＝a 2＋b 2；(2)从几何意义上理解，表示点Z 和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z 1－z 2|表示点Z 1和点Z 2之间的距离.一、选择题1．在复平面内，复数z ＝cos3＋isin3的对应点所在象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系 答案 B解析 ∵π2<3<π，∴sin3>0，cos3<0，故复数z ＝cos3＋isin3的对应点位于第二象限．2．已知复数z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－3,1) B ．(－1,3) C ．(1，＋∞) D ．(－∞，－3) 考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系 答案 A解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0，m －1<0，解得－3<m<1.3．已知a 为实数，若复数z ＝(a 2－3a －4)＋(a －4)i 为纯虚数，则复数a －ai 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系 答案 B解析 若复数z ＝(a 2－3a －4)＋(a －4)i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －4＝0，a －4≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ≠4，得a ＝－1，则复数a －ai ＝－1＋i 对应的坐标为(－1,1)，位于第二象限，故选B. 4．已知0<a<1，复数z 的实数为a ，虚部为－2，则|z|的取值范围是( ) A ．(2,5) B ．(2,3) C ．(2，5)D ．(2，3)考点 复数的模的定义与应用 题点 利用定义求复数的模 答案 C解析 由题知z ＝a －2i ，所以|z|＝a 2＋4， 又a ∈(0,1)，所以|z|∈(2，5)．5．复数z ＝(a 2－2a)＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( ) A ．a ≠2或a ≠1 B ．a ≠2且a ≠1 C ．a ＝0或a ＝2 D ．a ＝0考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系 答案 C解析 ∵z 在复平面内对应的点在虚轴上， ∴a 2－2a ＝0，解得a ＝0或a ＝2.6．已知复数z ＝a ＋3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z 等于( ) A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．－1＋3i 或1＋3iD ．－2＋3i考点 复数的模的定义与应用题点 利用模的定义求复数 答案 A解析 因为z 在复平面内对应的点位于第二象限， 所以a<0，由|z|＝2知，a 2＋(3)2＝2， 解得a ＝－1(舍正)，所以z ＝－1＋3i.7．在复平面内，复数z 1，z 2的对应点分别为A ，B.已知A(1,2)，|AB|＝25，|z 2|＝41，则z 2等于( ) A ．4＋5i B ．5＋4iC ．3＋4iD ．5＋4i 或15＋325i考点 复数的模的定义与应用 题点 利用模的定义求复数 答案 D解析 设z 2＝x ＋yi(x ，y ∈R)，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋(y －2)2＝20，x 2＋y 2＝41.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝325.二、填空题8．若复数3－5i,1－i 和－2＋ai 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________． 考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系 答案 5解析 由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)共线可知a ＝5.9．已知复数z ＝x －2＋yi 的模是22，则点(x ，y)的轨迹方程是________________． 考点 复数的几何意义的综合应用 题点 利用几何意义解决轨迹、图形 答案 (x －2)2＋y 2＝8解析 由模的计算公式得(x －2)2＋y 2＝22， ∴(x －2)2＋y 2＝8.10．设(1＋i)x ＝1＋yi ，其中x ，y 是实数，则|x ＋yi|＝________. 考点 复数的模的定义与应用 题点 利用定义求复数的模答案 2解析 由(1＋i)x ＝1＋yi ，得x ＋xi ＝1＋yi ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＝y ，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以|x ＋yi|＝x 2＋y 2＝ 2.11．若复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i ，a ∈R 对应的点位于第二象限，则|z|的取值范围是________． 考点 复数的模的定义与应用 题点 利用定义求复数的模 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫322，3 解析 复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i 对应的点的坐标为(a －2，a ＋1)， 因为该点位于第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，a ＋1>0，解得－1<a<2.由条件得|z|＝(a －2)2＋(a ＋1)2＝2a 2－2a ＋5 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫a 2－a ＋14＋92＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋92. 因为－1<a<2，所以|z|∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫322，3. 三、解答题12．求实数m 的值，使复数z ＝m(m －1)＋(m －1)i 对应的点位于(1)实轴上；(2)第一象限；(3)第四象限． 考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系解 (1)由复数z 对应的点位于实轴上，可得m －1＝0， 解得m ＝1，即当m ＝1时，复数z 对应的点位于实轴上．(2)由复数z 对应的点位于第一象限，可得⎩⎪⎨⎪⎧ m (m －1)>0，m －1>0，解得m>1，即当m>1时，复数z 对应的点位于第一象限．(3)由复数z 对应的点位于第四象限，可得⎩⎪⎨⎪⎧m (m －1)>0，m －1<0，解得m<0，即当m<0时，复数z 对应的点位于第四象限．13．在复平面内，分别用点和向量表示复数1，－12＋12i ，－12－32i ，并求出它们的模．考点 复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模解如图所示，点A，B，C分别表示复数1，－12＋12i，－12－32i，与之对应的向量可用OA→，OB→，OC→来表示．|1|＝1，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋12i＝⎝⎛⎭⎪⎫－122＋⎝⎛⎭⎪⎫122＝22，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12－32i＝⎝⎛⎭⎪⎫－122＋⎝⎛⎭⎪⎫－322＝1.四、探究与拓展14．关于实数x的不等式mx2－nx＋p>0(m，n，p∈R)的解集为(－1,2)，则复数m＋pi所对应的点位于复平面内的第________象限．考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案二解析因为不等式mx2－nx＋p>0(m，n，p∈R)的解集为(－1,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m<0，(－1)＋2＝nm，(－1)×2＝pm，所以⎩⎪⎨⎪⎧m<0，p>0.故复数m＋pi所对应的点位于复平面内的第二象限．15．复数z满足|z＋3－3i|＝3，求|z|的最大值和最小值．考点复数的几何意义的综合应用题点利用几何意义解决距离、角、面积解方法一|z＋3－3i|≥||z|－|3－3i||，又∵|z＋3－3i|＝3，|3－3i|＝12＝23，∴||z|－23|≤3，即3≤|z|≤33，∴|z|的最大值为33，最小值为 3.方法二|z＋3－3i|＝3表示以－3＋3i对应的点P为圆心，以3为半径的圆，如图所示，则|OP|＝|－3＋3i|＝12＝23，显然|z|max＝|OA|＝|OP|＋3＝33，|z|min＝|OB|＝|OP|－3＝ 3.。
高二数学 选修1-2教案：3.1.2复数的几何意义
第三章数系的扩充与复数的引入【课题】：3.1.2 复数的几何意义
六、作业
1、在复平面内，复数
2)31(1i i
i
+++对应的点位于 （ B ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2、复数,111-++-=
i
i
z 在复平面内，z 所对应的点在 （ B ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、 在复平面内指出与复数i z i z i z i z +-=-=+=
+=2,23,32,214321
对应的点4321,,,Z Z Z Z .试判断这四个点是否在同一个圆上？并证明你的结论. 解：因为
︱1z ︱=52122=
+，︱2z ︱=5，︱3z ︱=5，︱4z ︱=5，
所以，4321,,,Z Z Z Z 这四个点都在以圆点为圆心，半径为5的圆上. 4、如果P 是复平面内表示表示复数a +bi （a ，b ∈R ）的点，分别指出在下列条件下点P 的位置：
（！）a >0，b>0; (2) a <0,b>o; (3)a =0,b ≤0; (4)b<0.
解：（1）第一象限 （2）第二象限 （3）位于原点或虚轴的下半轴上 （4）位于实轴下方
5、如果复数z 的实部为正数，虚部为3，那么在复平面内，复数z 对应的点应位于怎样的图形上？
解：平面直角坐标系中以（0，3）为端点的一条射线，但不包括端点（0，3） 6、已知复数z 的虚部为3，在复平面内复数z 对应的向量的模为2，求该复数z . 解：由已知，设)(3R a i a z ∈+=
则.432
2=+
a 解得 ±=a 1.
所以 .31i z +±=。
北师大版数学- 复数的几何意义导学案 选修1-2
青海师范大学附属第二中学高中数学 3.1.2 复数的几何意义导学案修1-2【学习要求】1．理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2．掌握实轴、虚轴、模等概念.3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法． 【学法指导】通过类比实数可用数轴上的点来表示，认识复数用点和向量表示的合理性，体会数形结合思想在理解复数中的作用．复数的几何意义是进一步学习复数的加法、减法几何意义的基础，所以理解并掌握复数的几何意义具有承上启下的重要作用．1．复数的几何意义(1)复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做________，x 轴叫做______，y 轴叫做______．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．(2)复数与点、向量间的对应①复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)复平面内的点______； ②复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) 平面向量___________．2．复数的模 复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫做复数z 的模，记作|z |，且|z |＝_________.探究点一 复数与复平面内的点问题1 实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？问题2 判断下列命题的真假：①在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；②在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；③在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；④在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数；⑤在复平面内，对应于非纯虚数的点都分布在四个象限．例1 在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 对应的点 (1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y ＝x 上，分别求实数m 的取值范围．跟踪训练1 实数m 取什么值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i(1)对应的点在x 轴上方； (2)对应的点在直线x ＋y ＋4＝0上．探究点二 复数与向量问题1 复数与复平面内的向量怎样建立对应关系？问题2 怎样定义复数z 的模？它有什么意义？例2 已知复数z ＝3＋a i ，且|z |<4，求实数a 的取值范围．跟踪训练2 求复数z 1＝3＋4i ，z 2＝－12－2i 的模，并比较它们的大小．跟踪训练3 设z ∈C ，满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？(1)|z |＝2； (2)|z |≤3.【达标检测】1．在复平面内，复数z ＝i ＋2i 2对应的点位于 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面内对应的点位于 ( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为 ( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i4．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，则实数m 的值为_____．。
高中数学第四章数系的扩充复数的加法与减法教案北师大版选修1-2
复数的加法与减法一、教课目的：1、知识与技术：掌握复数的加法运算及意义；2、过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律；3、感情、态度与价值观：理解并掌握复数的相关观点( 复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的相关观点。
二、教课重难点要点：复数的代数形式的加、减运算及其几何意义难点：加、减运算的几何意义三、教课方法：探析概括，讲练联合四、教课过程（一）、复习准备：1.与复数一一对应的有？2.试判断以下复数 1 4i,7 2i ,6, i , 2 0i,7 i,0,0 3i 在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量。
3.同时用坐标和几何形式表示复数z1 1 4i与 Z272i 所对应的向量，并计算OZ1OZ2。
向量的加减运算知足何种法例？4.类比向量坐标形式的加减运算，复数的加减运算怎样？（二）、探析新课：1.复数的加法运算及几何意义①. 复数的加法法例：z1a bi与Z2 c di ，则 Z1Z2 ( a c) (b d )i 。
例 1、计算（ 1）(14i) +(72i ) （2） (7 2i) +(14i)（ 3）[(3 2i) +( 43i)](5i)（4）(3 2i)+[ ( 4 3i) (5 i)]②．察看上述计算，复数的加法运算能否知足互换、联合律，试赐予考证。
例 2、例 1 中的（ 1）、（3）两小题，分别标出(1 4i ),(7 2i) ， (3 2i),( 4 3i ),(5 i)所对应的向量，再画出乞降后所对应的向量，看有所发现。
③复数加法的几何意义：复数的加法能够依据向量的加法来进行（知足平行四边形、三角形法例）2、复数的减法及几何意义：类比实数，规定复数的减法运算是加法运算的逆运算, 即若 Z1Z Z2，则Z叫做Z2减去 Z1的差 ,记作 Z Z2Z1。
④议论：若Z1 a b,Z2 c di ，试确立Z Z1Z2是不是一个确立的值？（指引学生用待定系数法，联合复数的加法运算进行推导，师生一同板演）⑤复数的加法法例及几何意义：( a bi) (c di)(a c)(b d )i ，复数的减法运算也能够按向量的减法来进行。
北师大版选修1-2：4.1数系的扩充与复数的概念--教学设计一、二、三
4.1数系的扩充和复数的引入教学设计一【教学目标】依照课程标准对本节课的要求，本节课的教学目标如下：（1）通过回忆数系的扩充过程，观察所列举的复数能简述复数的定义，并能说出复数的实部与虚部.（2）通过小组讨论能将复数归类，并能用语言或图形表达复数的分类，会解决含有字母的复数的分类问题.（3）通过比较给出的两个复数能归纳出复数相等的充要条件，并能解决与例题相似的题目. 【教学重点】复数的概念【教学难点】虚数单位i的引进及复数的概念【教学过程】一、问题情境(多媒体)问题1:同学们,从小到大，我们认识了各种各样的数.进入高中，我们学习了集合，你知道的数集有哪些？分别用什么记号表示？问题2:你能用集合关系符号将这些数集“串”起来吗？设计意图：一方面从学生已有的认知入手，便于学生快速进入学习状态，激发他们的学习热情，培养学生的归纳、概括与表达能力；另一方面为引入虚数单位“i”埋下伏笔，引入课题.恩格斯曾经说过：“各种数集是数学的两大基本柱石之一，整个数学都是由此提炼、演变与发展起来的.”如此高的评价，看来我们要好好体会其中的奥秘，最熟悉的地方往往也能发现亮丽的风景.这些数并不是从来就有，也不是从天而降的，任何事物的发生发展总是有原因的.远古的人类，为了统计捕获的野兽和采集的野果，创造了自然数，那么其它数呢？它们产生的原因是什么呢？（归纳学生的回答：原因之一——客观需求）从数学内部看，我们研究数，与数的运算是分不开的，数集只是包含了运算的对象，那么运算的规则呢？一代代数学家们追求的不仅仅是数集的扩充，更是运算规则的完善. 二、学生活动问题3:我们常说的运算，是指加、减、乘、除、乘方、开方等运算，思考一下，这些运算在各个数集中总能实施吗？（学生回答）追问：这些问题是怎么解决的呢？——添加新数通过添加新数，解决了某些运算在原来的数集中不是总可以实施的矛盾.正是数学家们追求完美的理性精神，促使他们不断发现问题，解决问题，从而推动数学的发展.（原因之二——数学内因）设计意图：让学生思考数集扩充的原因，在此基础之上，帮助学生重新建构数集的扩充过程，这是本节课的生长点.问题4:那么在实数范围内加、减、乘、除、乘方、开方这些运算总能实施了吗？ 问题5:需要解决什么问题？（负数开偶次方的问题）我们知道，非负数可以开平方，负数只能开奇次方？现实的问题摆在眼前，如何才能解决？——添加新数学生讨论：尝试添加新数，求解方程2221,2,(1)1x x x =-=--=-.设计意图：教师引领学生采用类比的思想，将问题转化为找一个数的平方为－1，从而让“引入新数”水到渠成．第一个正视这类问题的是意大利数学家卡尔丹.16世纪，意大利数学家卡尔丹遇到问题“将10分成两部分，使两者的乘积等于40”时，出现了困惑.他认为把答案写成“155-+和155--”就可以满足条件，但是却无法解释.面对这些矛盾，笛卡尔、欧拉、高斯等一个又一个数学家们加入了研究的队伍，经过他们严密的论证，最后终于确定了它的合理地位.但是这类数与之前得到的实实在在的实数相比，似乎缺少有力的现实基础，所以法国数学家笛卡尔就将其命名为“虚数”，表示与实数相对应.从此虚数也加入了数的行列，与实数“平起平坐，和平共处”. 1777年，瑞士数学家欧拉首次提出用i 表示平方等于-1的新数. 1801年，德国数学家高斯系统地使用了这个符号，使i 通行于世. 三、建构数学实数集的扩充就从引入平方等于－1的“新数”i 开始的.（一）我们引入新数i ，叫做“虚数单位”，并规定：（1）i 2=-1;（2）实数可以与i 进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立.由这两个规定，我们得到：i 代表一个数，；另外规定（2）保证了虚数加入后，能与实数“和平共处，互帮互助”.根据以上两项规定，请同学们思考 问题6：添加的新数仅仅是i 吗？ 问题7：你还能写出其他含有i 的数吗？问题8：你能写出一个形式，把刚才所写出来的数都包含在内吗？设计意图：学生通过问题6、7的铺垫，引导学生由特殊到一般，抽象概括出复数的代数形式z=(,)a bi a b +∈R ，帮助学生主动建构复数的代数形式．我们构造的数都可以用bi a +来表示.bi a +是由实数与虚数单位i “复合”运作而成，我们把它们称为复数，由所有的复数组成的集合称为复数集，记作C ，我们常用字母z 表示复数. （二）bi a z +=（R b a ∈,），也称bi a +为复数的代数形式，其中a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部（是实数）.由此，追问： (,)a bi a b +∈R 能表示实数吗？ 问题9： 实数集与扩充后的复数集是什么关系呢？问题10： 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集它们之间是什么关系呢？你能用图表的形式画出来吗？设计意图：学生通过讨论自然而然地想到要对复数进行分类，从而深化对复数概念的理解.问题10是让学生直观地感受复数的分类，进一步深化复数的概念.从而攻克本节制定的第二个教学目标.问题11：两个二项式相等的充要条件是什么？你能类比得出两个复数相等的充要条件吗？ 设计意图：引导学生类比两个二项式相等的条件，归纳出复数相等的充要条件，即实部与实部相等并且虚部与虚部相等.并在此时告诉学生两个复数只能说相等或者不相等，除非它们都是实数时才可以比较大小.伴随着此问题的解决使得本节最后一个教学目标顺利呈现. (三)复数的相等如果两个复数的实部与虚部分别相等,则称两个复数相等,即： a+bi =c+d i (a,b,c,d ∈R) ⇔ a= c 且b =d.例1、 指出下列复数的实部和虚部(1)4;(2)23;(3)56;(6)2i i i -- 注意:复数的实部与虚部都是实数.例2．实数m 分别取什么值时，复数z =m (m -1)+(m -1)i 是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？分析：因为m ∈R ，所以11--m ),m (m 都是实数，由复数z=a +bi (a,b ∈R)是实数、虚数、纯虚数与零的条件可以确定实数m 的值．.00101310121011为纯虚数时，即）当（为虚数；时，即）当（为实数；时，，即）当解（z m ,m )m (m z m ,m z m m =⎩⎨⎧≠-=-≠≠-==-练习1：已知z=m 2(1+i )−(m +i ),m 为实数，当m 为何值时，复数z 是 (1)实数 (2)虚数 (3)纯虚数设计意图：例题1主要是前后照应，采用概念同化的方式完善认知结构；实现对目标1的巩固.例题2及练习1主要是巩固复设定的目标2中数的分类标准．让学生在解决问题的过程中内化复数有关概念，起到及时反馈、学以致用的功效.设计意图：强化复数相等的充要条件，并让学生感受到复数问题可以化归为实数问题来求解.例3： 已知（2x -1)+i =y -(3-y )i ,其中x ,y ∈R,求x ,y 的值. 【解析】根据复数相等的定义，得方程组设计意图：强化复数相等的充要条件，并让学生感受到复数问题可以化归为实数问题来求解.【解析】由题意得 2x −1=y 1=− 3−y 解得 x =52y =4设计意图：强化复数相等的充要条件，并让学生感受到复数问题可以化归为实数问题来求解.的值求，小于且已知复数求实数）若（（：练习k z R k i k k k k z y x i x i y i 0),()65(3)2(,,9-1)2(-)10-31222∈+-+-==++（1） x =1,y =1 (2) k =2设计意图：此题主要是为了及时巩固、检查课堂效果；从而进一步提升学生分析问题和解决问题的能力.（四）课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？还存在哪些疑问？并抛出问题：实数能用数轴上的点来表示，所有的复数也能用数轴上的点来表示吗？设计意图：通过学生总结、教师提炼，深化内容，让学生体会数系扩充过程中蕴含的创新精神和实践能力.提出问题激发学生对复数的后续学习的欲望,为下节课学习埋下伏笔.（五）作业布置1、书面作业：课后习题A组第1、2题.2、知识拓展作业：小组成员交流合作，写一篇与数系扩充和发展有关的小论文；这节课，我们共同感受了数的概念发展的过程，虚数的出现与很多新生事物一样，刚开始并不为人所接受.对于“虚数”的研究，经历了漫长的过程，最终人们发现复数在物理学，空气动力学等很多领域的实际作用后，虚数才被大家所接受，正所谓实践才是检验真理的唯一标准.“数系发展到复数之后还能不能继续扩充？随着数学领域的不断扩展，或许有一天数系会冲破复数集的约束，迈向更广的数系空间.建议有兴趣的同学课下了解章末阅读材料中“四元数”的内容.教学设计二一、教学背景分析1.本课时在教材中的地位与作用本节课在教材中起着承上启下的作用，能够让学生了解数系扩充的历史，感受数学的理性精神及数学在解决生产生活问题中的价值，渗透数学文化.2.学情分析高二学生的理性思维已经得到发展，能够较为理性的分析和解决问题，但是对虚数单位i的理解以及复数的分类是难点也是重点，需要给学生足够的时间去经历知识的生成，而不是灌输式的将结论直接告诉学生、而后通过大量练习进行强化.3.教学目标的确定及依据知识与技能目标：了解数系扩充的过程，理解复数的基本概念，掌握复数相等的充要条件.过程与方法目标：经历理性分析数系扩充的过程，运用类比推理的方法实现从实数系向复数系的扩充.情感态度与价值观目标：强化理性思维的价值，渗透数学文化.4.教学重点、难点及处理办法教学重点：了解引入复数的必要性，理解复数的基本概念.教学难点：了解数系扩充的过程，理解并接受虚数单位i.二、教法与学法分析教学方法：诱思探究法合作交流法学法分析：建构-探究-归纳-应用.三、教学过程根据以上分析，教学过程从精设问题、引发冲突；引入新数、生成概念；应用举例、强化新知；课堂小结、回顾归纳；布置作业、课外拓展五个环节进行设计：归纳其代数表用韦恩图将复数的分类进行表为虚数单位i的引入做好铺垫.感悟数学文化，为虚数单位i的理解和接受做准备.体会两项规定合理性的同时积极主动探究复数的代数表达形式.经历知识的生成过程强化复数分类的基础上检测集合之间关系的掌握情况.学生活动四、教学效果预测学生了解了数系扩充的必要性与合理性，能够类比从自然数系一步步扩充到实数系的过程完成从实数系向复数系的扩充.经历了概念的生成过程，理解复数的代数表达形式，掌握实部、虚部的概念，能够清晰的掌握复数的分类，体会并掌握复数相等的充要条件.享受解决问题的愉悦，感悟数系扩充的历史.i的理解和接受是重点也是难点，学生掌握的情况仍需通过课后的作业、但是对虚数单位练习进行检测和反馈.教学设计三【教材分析】教材地位和作用：数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，体现了数学发生发展的客观需求.通过学习，学生在问题情景中了解数系扩充的过程以及引入虚数的必要性，体会人类理性思维在数系扩充中的作用，有助于提高学生的数学素养.复数的引入是中学阶段数系的最后一次扩充.学习复数的一些基本知识，为学习复数的四则运算和几何意义做好知识储备.教材处理办法：精心设计制作教学课件，直观形象地展示数系扩充的过程.化抽象为具体，使学生真实体验数系扩充的必要性及数系扩充要遵循的法则.在这个过程中了解复数、虚数、纯虚数、复数的实部、虚部等相关概念就水到渠成了.重点：数系扩充的过程和方法，复数的相关概念.难点：数系扩充的过程和方法，虚数的引入.【教学目标】知识目标：了解数系的扩充过程，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；了解复数的相关概念.能力目标：发展学生独立获取数学知识的能力和创新意识.情感目标：初步认识数学的应用价值、科学价值和人文价值，崇尚数学具有的理性精神和科学态度，树立辩证唯物主义世界观.【教学方法】教学模式：“4+1”教学模式教学方法：开放式探究，启发式引导，互动式讨论，反馈式评价.学习方法：自主探究，观察发现，合作交流，归纳总结。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修1-2 2.2复数的乘法与除法》4
《复数的乘法与除法》教学设计主备人：袁长生审核人：高二数学备课组一、教学目标1掌握复数代数形式的乘法和除法运算2理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律3理解共轭复数的概念教学重点：1．理解共轭复数的概念．2．掌握复数的四则运算法则与运算律．教学难点：掌握复数的四则运算法则与运算律教具准备：多媒体、实物投影仪。
二、重点、难点分析本节的重点和难点是复数乘除法运算法则及复数的有关性质．复数的代数形式相乘，与加减法一样，可以按多项式的乘法进行，但必须在所得的结果中把i2换成一1，并且把实部与虚部分合并．很明显，两个复数的积仍然是一个复数即在复数集内，乘法是永远可以实施的，同时它满足并换律、结合律及乘法对加法的分配律．规定复数的除法是乘法的逆运算，它同多项式除法类件）当两个多三项式相除除，可以写成分式，若分母含有理式时，要进行分母有理化，而两个复数相除时，要使分母实数化，即分式的分子和分母都乘以分母的共轭复数，使分母变成实数。
三、学情分析学生通过复数加法和减法的学习及课前预习复数的乘法和除法，对本节课的内容有了初步了解。
四、教学过程设计、课前预习【自学指导】：（学、思、做）阅读教材124．共轭复数如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数，那么这样的两个复数叫作互为共轭复数．复数的共轭复数用\to来表示，即＝a＋b i，则\to＝a－b i5．复数的除法法则设1＝a＋b i，2＝c＋d i c＋d i≠0，则错误!＝错误!＝错误!＋错误!i、引入新课前面学习了复数的代数形式的加减法，其运算法则与两个多项式相加减的法一致。
那么两个复数的乘法运算是否仍可与两个多项式相乘类似的办法进教学中，可建学生先按此办法计算，然后将同学们运算所得结果与教科书的规定对照，从而引入新课。
、学生回答复数的乘法法则指出复数乘法与多项式乘法类似，但注意结果中i2应化为－1、学生回答复数的乘法满足的运算律引导学生证明复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律、学生回答共轭复数的概念引导学生归纳总结共轭复数的性质、学生回答复数的除法法则指出复数的除法与分母有理化的方法类似，复数除法先写成分式的形式，再将分母实数化，即把分子与分母都乘以分母的共轭复数，并进行化简．但注意结果一般写成实部与虚部分开的形式．、例题讲解【展示提升】：（议、展、疑）例1．计算：11＋i1－i＋－1＋i；2错误!错误!1＋i；3－2＋3i÷1＋2i；设计意图：熟悉复数乘法和除法的运算法则例2．计算：1 错误!＋错误!2 010；2 1＋i＋i2＋i3＋…＋i2 010；3错误!6；设计意图：向学生指出：（1）本题主要考查复数的运算法则以及有关性质．复数的运算顺序与实数的运算顺序相同，都是先进行乘方、开方，再进行乘、除，最后进行加、减．有括号应先处括号里面的。
高中数学选修2-2 北师大版 1.2复数的有关概念学案
§1数系的扩充与复数的引入（第2课时）1.2复数的有关概念【学习目标】1.理解复数相等的条件，了解复数相等的条件是沟通实数与复数的桥梁；2.了解复数的几何意义，理解复数摸的概念.【重点难点】重点：复数相等的条件与复数的几何意义难点：复数的几何意义及其应用【导学流程】一、知识链接1.虚数单位i 满足：i 2=－1.2.复数的分类：()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧≠=≠=+0000a a b b bi a 非纯虚数纯虚数虚数实数复数二、课前预习阅读课本第100页“1.2复数的有关概念”，完成：1.复数相等的充要条件：a+bi=c+di(a ，b ，c ，d ∈R)⇔____________________.（1）若(－2x+3)+(y －4)i=0，则实数x=___________，y=____________.（2）命题“若a+bi=0，则a=b=0.”对吗？为什么？______________________________.2.复数的几何意义（1）实轴和虚轴上的点对应的复数各有什么特征？_________________________________；原点在虚轴上，则0是虚数吗？___________________________________.（2）复数z=a+bi(a ，b ∈R)⇔点Z( ， )⇔向量_________.（3）若复数z=a+bi(a ，b ∈R)对应的点在第二象限，则a ，b 满足什么条件？____________.（4）向量()23-=，OZ 对应的复数z=_________.（5）课本第101页练习3，4.3.复数的摸（1）若复数z=a+bi(a ，b ∈R)对应的点是Z(a ，b)，则z =__________；z 的几何意义是_____________________________.（2）若z 1=3－4i ，z 2=－2+5i ，则1z ______2z (填><=).三、课堂探究四、课堂检测1.方程2x 2－3x －2+(x 2－5x+6)i=0的实数解x=__________.2.在复平面内，复数z=sin2+icos2对应的点位于第______象限.3.已知复数z=a+2i ，且z =13，则实数a=________.【课堂小结】收获新知_______________________________________________________；我的困惑_______________________________________________________.【达标检测】（限时20分钟）1.实数m 满足等式54log 3=+i m ，求m.2.求适合下列各方程的实数x ，y ：（1）(x+y)－xyi=6+7i（2）(x 2－4x －5)+(y 2+3y －4)i=0.3.设复数z=(m －1)+(m 2－4m －5)i 和复平面内的点Z 对应，若点Z 的位置分别满足下列要求，求实数m 满足的条件：（1）不在实轴上；（2）在虚轴上；（3）在实轴下方（不包括实轴）；（4）在虚轴右侧（不包括虚轴）.。
高二数学北师大版选修1-2 复数的有关概念 课件(27张)
_____________________. a＝c，b＝d
2．复平面
直角坐标平面内 的点来表示复数时， (1)定义：当用____________________ 我们称这个直角坐标平面为复平面． (2)实轴：________ x轴 称为实轴． y轴 (3)虚轴：_________ 称为虚轴．
3．复平面内的点与复数的关系
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)．由于2＜|z|＜4，
∴2＜|x＋yi|＜4，即4＜x2＋y2＜16. 从而复数z的对应点Z的集合是以原点O为圆心，以2和4为 半径的圆所夹的圆环，且不包含圆环的内、外边界．
复数的模表示复数在复平面内对应的点到原 点的距离，计算复数的模时，应先找出复数的实部与虚部，然
∴－7<m<3. (2)要使点位于 x
3<m<5， ∴ m＝－7或m＝4.
6分
∴m＝4. 8分 (3)要使点位于上半平面(含实轴)，须 m2＋3m－28≥0，10 分 解得 m≥4 或 m≤－7. 12 分
位置 实轴上的点 虚轴(原点除外)上的点 各象限的点 复数 实数 纯虚数 虚数
4.复数的两种几何意义
复数的两种几何意义
这种对应关系架起了联系复数与解析几何之间的桥梁，使 得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方 法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．
[特别提醒] 5．复数的模
(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚
部与虚部相等列方程组． (2)利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两 个实数等式，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问 题实数化思想的体现，这一思想在解决复数问题中非常重要．
1．若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则( A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
北师大版高中数学选修1-2同步教学：第4章 1 第2课时 复数的几何意义
虚部可为任意实数．
• 3．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2,则实数1或m3的值 为__________.
• A．1或3 B．1
• C[．解析3 ] 依D题．意2可得 m－32＋m－12＝2，解得 m＝1 或 3，故选 A．
• 1．已知a、b∈R,那么在复平面内对应于复数a－bi,－a－bi 的两个B点的位置关系是( )
• A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
• C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称
• [解析] 在复平面内对应于复数a－bi,－a－bi的两个点为 (a,－b)和(－a,－b)关于y轴对称．
• 2．设复数z＝a＋bi对应的点在虚轴右D侧,则( ) • A．a＞0,b＞0 B．a＞0,b＜0
• [正解] A 由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0,即|z|＝3或|z|＝－ 1.
• ∵|z|≥0,∴|z|＝－1应舍去,故应选A．
• 〔跟踪练习4〕
• 已知x是实数,y是纯虚数,且满足(2x－1)＋(3－y)i＝y－i,求x 和[解y的析]值由．y 是纯虚数，可设 y＝bi(b∈R，且 b≠0)，
2．复平面内向量对应的复数可通过向量的坐标运算求得． 3．一个向量不管怎样平移，它所对应的复数是不变的，但其起点与终点对 应的复数可能改变．
• 〔跟踪练习2〕 • (2019·广东江门高二期末)ABCD是复平面内的平行四边形
,A,B,C三点对应的复数分别是1＋3i,－i,2＋i. • (1)求点D对应的复数； • (2)求△ABC的边BC上的高．
第四章
数系的扩充与复数的引入 §1 数系的扩充和复数的引入
高中数学北师大版选修1-2+2.3复数的应用+(二)教案
精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
2022年 高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修1-2 2.1复数的加法与减法》
4.2.1 复数代数形式的加、减运算一、教学目标：1知识目标：掌握复数的加减法运算及理解其几何意义，2能力目标：通过类比实数的四那么运算的规律或向量的运算规律，得到复数加减运算的法那么，同时了解复数加减法运算的几何意义．3情感态度价值观：通过探究复数加减运算法那么的过程，感悟由特殊到一般的思想，同时由向量的加减法与复数的类比，理解复数加减的运算法那么，知道事物之间是普遍联系的哲学规律．二、重点难点：重点:复数加减法运算及其应用．难点:复数加减法运算的几何意义．三、教学过程：〔一〕复习：1指出以下复数的实部与虚部。
32i；i-4；5e〔e为自然常数〕取何值时，复数=m1m-1i是〔1〕实数？〔2〕虚数？〔3〕纯虚数？3假设6b-ai=-2a-i,求a，b。
〔二〕引入：1、复数的加法：问题1：实数有四那么运算，拓展到复数，复数也有四那么运算。
复数的加法是怎么规定的？我们规定，复数的加法法那么如下：设1=abi, 2=cdi是任意两个复数，那么abicdi=acbdi说明:〔1〕=0，d=0时与实数加法法那么保持一致;〔2〕两个复数的和仍然是一个复数。
复数的加法可以推广到多个复数相加的情形问题2：复数的加法满足交换律、结合律吗？设1=a1b1i, 2=a2b2i, 3=a3b3i〔1〕因为12=a1b1ia2b2i=a1a2b1b2i,21= a2b2i a1b1i =a1a2b1b2i,所以12=21复数的加法满足交换律。
〔2〕因为123=[a1b1ia2b2i]a3b3i=a1a2 a3b1b2b3i,123=a1b1i[a2b2ia3b3i]=a1a2 a3b1b2b3i,所以123=123复数的加法满足结合律。
2、复数的减法问题3：类比实数集中减法的意义，我们怎样规定复数的减法？类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足cdii=abi的复数i叫做复数abi减去复数cdi的差，记作：abi-cdi即：i= abi-cdi复数的减法法那么是什么？根据复数相等的定义，有c=a, d=b,因此 =a-c, =b-d,所以 i=a-cb-di ,即 abi-cdi =a-cb-di复数的减法法那么：abi-cdi =a-cb-di例题：例1计算：5-6i-2-i-34i例2 计算：1－3i 25i -49i练习：〔1〕〔54i〕〔-3-2i〕〔2〕〔2-i〕-〔23i〕4i〔3〕 5-〔32i〕〔4〕 4i-〔4i-4〕3、复数加减法的几何意义：〔1〕复数加法的几何意义：设复数abi,cdi分别与平面向量, 对应，那么，，那么设复数〔abi〕〔cdi〕与平面向量对应，abicdi=acbdi那么，那么，如图：复数的和对应的向量等于复数对应的向量的和；〔2〕复数减法的几何意义：类似于复数的加法，可知：设复数abi,cdi分别与平面向量, 对应，那么，，那么复数〔cdi〕—〔abi〕=c-ad-bi对应于，如图：复数的差对应的向量等于复数对应的向量的差；也就是说，1-2与平面向量Z1Z2一一对应。
北师大版高中数学选修1-2《复数复数的乘法与除法》教案2-新版
复数复数的乘法与除法一、教学目标：1、知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算。
2、过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题。
3、情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。
二、教学重难点重点：复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念难点：乘除运算三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习准备1. 复数的加减法的几何意义是什么？2. 计算（1）(14)(72)i i +-+ （2）(52)(14)(23)i i i --+--+ （3）(32)(43)(5)]i i i --+-+-[3. 计算：（1）(1(2⨯ （2）()()a b c d +⨯+ （类比多项式的乘法引入复数的乘法）（二）、探析新课1.复数代数形式的乘法运算①.复数的乘法法则：2()()()()a bi c di ac bci adi bdi ac bd ad bc i ++=+++=-++。
例1．计算（1）(14)(72)i i +⨯- （2）(72)(14)i i -⨯+ （3）[(32)(43)](5)i i i -⨯-+⨯+ （4）(32)(43)(5)]i i i -⨯-+⨯+[探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？例2．1、计算（1）(14)(14)i i +⨯- （2）(14)(72)(14)i i i -⨯-⨯+（3）2(32)i +2、已知复数Z ，若，试求Z 的值。
变：若(23)8i Z +≥，试求Z 的值。
②共轭复数：两复数a bi a bi +-与叫做互为共轭复数，当0b ≠时，它们叫做共轭虚数。
注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。
练习：说出下列复数的共轭复数32,43,5,52,7,2i i i i i --++--。
北师版数学高二-选修1-2教案4.2.1复数的加法与减法
2.1 复数的加法与减法学习目标 1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．知识点复数代数形式的加减法思考1类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？思考2复数的加法满足交换律和结合律吗？梳理(1)运算法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i是任意两个复数，那么(a＋b i)＋(c＋d i)＝________________，(a＋b i)－(c＋d i)＝________________.(2)加法运算律对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝________，(z1＋z2)＋z3＝________________.类型一复数的加法、减法运算例1(1)若z1＝2＋i，z2＝3＋a i(a∈R)，复数z1＋z2所对应的点在实轴上，则a＝______. (2)已知复数z满足|z|i＋z＝1＋3i，则z＝________.反思与感悟 (1)复数的加减运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)当一个等式中同时含有|z |与z 时，一般用待定系数法，设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )．跟踪训练1 (1)若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z ＝________.(2)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i ＝________(a ，b ∈R )．(3)已知复数z 满足|z |＋z ＝1＋3i ，则z ＝________.类型二 复数加、减法的应用例2 (1)如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 对应的复数分别为0，3＋2i ，－2＋4i.求：①AO →表示的复数；②CA →表示的复数；③OB →表示的复数．(2)已知z 1，z 2∈C ，|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝3，求|z 1－z 2|.引申探究若将本例(2)中的条件“|z 1＋z 2|＝3”改为“|z 1－z 2|＝1”，求|z 1＋z 2|.反思与感悟 (1)技巧：①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理；②数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．(2)常见结论：在复平面内，z 1，z 2对应的点分别为A ，B ，z 1＋z 2对应的点为C ，O 为坐标原点，则四边形：①OACB 为平行四边形；②若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为矩形；③若|z 1|＝|z 2|，则四边形OACB 为菱形；④若|z 1|＝|z 2|且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为正方形．跟踪训练2 (1)已知复平面内的平面向量OA →，AB →表示的复数分别是－2＋i,3＋2i ，则|OB →|＝________.(2)若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i ，复数z 2－z 1所对应的点在第四象限上，则实数a 的取值范围是__________．1．已知复数z 1＝12－32i 和复数z 2＝cos60°＋isin60°，则z 1＋z 2等于( ) A ．1B ．－1C.12－32iD.12＋32i 2．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →表示的复数分别为－2＋i ，3＋2i,1＋5i ，则BC →表示的复数为( )A ．2＋8iB ．－6－6iC ．4－4iD ．－4＋2i4．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝____.5．设平行四边形ABCD 在复平面内，A 为原点，B ，D 两点对应的复数分别是3＋2i 和2－4i ，则点C 对应的复数是__________．1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．答案精析问题导学知识点思考1 两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i.思考2 满足．梳理 (1)(a ＋c )＋(b ＋d )i (a －c )＋(b －d )i (2)z 2＋z 1 z 1＋(z 2＋z 3)题型探究例1 (1)－1 (2)1＋43i 解析 (1)z 1＋z 2＝(2＋i)＋(3＋a i)＝5＋(a ＋1)i ，由题意得a ＋1＝0，则a ＝－1.(2)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |＝x 2＋y 2， ∴|z |i ＋z ＝x 2＋y 2i ＋x ＋y i ＝x ＋(x 2＋y 2＋y )i ＝1＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x 2＋y 2＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝43，∴z ＝1＋43i. 跟踪训练1 (1)6－2i (2)－a ＋(4b －3)i (3)－4＋3i例2 (1)解 因为A ，C 对应的复数分别为3＋2i ，－2＋4i ，由复数的几何意义知，OA →与OC →表示的复数分别为3＋2i ，－2＋4i.①因为AO →＝－OA →，所以AO →表示的复数为－3－2i.②因为CA →＝OA →－OC →，所以CA →表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.③OB →＝OA →＋OC →，所以OB →表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.(2)解 根据复数加减法的几何意义，由|z 1|＝|z 2|知，以OA →，OB →为邻边的平行四边形OACB 是菱形．如图，OA →对应的复数为z 1，OB →对应的复数为z 2，∴|OA →|＝|OB →|，OC →对应的复数为z 1＋z 2，∴|OC →|＝ 3.在△AOC 中，|OA →|＝|AC →|＝1，|OC →|＝3，∴∠AOC ＝30°.同理得∠BOC ＝30°，∴△OAB 为等边三角形，则|BA →|＝1，BA →对应的复数为z 1－z 2，∴|z 1－z 2|＝1.引申探究解 如例2(2)解析中的图，向量BA →表示的复数为z 1－z 2，∴|BA →|＝1，则△AOB 为等边三角形，∴∠AOC ＝30°.取AB 与OC 的交点为D ，则OD →＝32，∴|OC →|＝3，而OC →表示的复数为z 1＋z 2， ∴|z 1＋z 2|＝ 3. 跟踪训练2 (1)10 (2)(－∞，1)当堂训练1．A 2.D 3.C4．－1 5.5－2i。
北师大版数学选修1-2教案：第4章-典型例题：复数的有关概念
复数的有关概念例1. m 取何实数值时，复数z ＝362+--m m m ＋i m m )152(2--是实数？是纯虚数？ 解：① z 是实数503015122=⇒⎩⎨⎧≠+=--⇒m m m m ② z 为纯虚数2303060151222-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠+=--≠--⇒m m m m m m m 或 变式训练1：当m 分别为何实数时，复数z=m 2－1＋(m 2＋3m ＋2)i 是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）零？解：（1）m=－1,m=－2；(2)m≠－1,m≠－2；（3）m=1；（4）m=－1．例2. 已知x 、y 为共轭复数，且i xyi y x 643)(2-=-+，求x ． 解：设),(,R b a bi a y bi a x ∈-=+=则代入由复数相等的概念可得1,1±=±=b a变式训练2：已知复数z=1＋i ，如果221z az b z z ++-+=1－i,求实数a,b 的值． 由z=1＋i 得221z az b z z ++-+=()(2)a b a i i+++=（a ＋2)－(a ＋b)i 从而21()1a a b +=⎧⎨-+=-⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩．例3. 若方程0)2()2(2=++++mi x i m x 至少有一个实根，试求实数m 的值.解：设实根为o x ，代入利用复数相等的概念可得o x ＝222±=⇒±m 变式训练3：若关于x 的方程x 2＋(t 2＋3t ＋tx )i=0有纯虚数根，求实数t 的值和该方程的根．解：t=－3,x 1=0,x 2=3i ．提示：提示：设出方程的纯虚数根，分别令实部、虚部为0，将问题转化成解方程组．例4. 复数(,)z x yi x y R =+∈满足|22|||i z z --=，试求y x 33+的最小值. 设),(R y x yi x z ∈+=，则2=+y x ，于是692332=≥+-x x变式训练4：已知复平面内的点A 、B 对应的复数分别是i z +=θ21sin 、θθ2cos cos 22i z +-=，其中)2,0(πθ∈，设AB 对应的复数为z .(1) 求复数z ；(2) 若复数z 对应的点P 在直线x y 21=上，求θ的值. 解：(1) θ212sin21i z z z --=-= (2) 将)sin 2,1(2θ--P 代入x y 21= 可得21sin ±=θ611,67,65,6ππππθ=⇒.。
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完成《复数的检测题》
7.（湖北卷 11）设 z2 z1 iz1 (其中 z1 表示 z1 的共轭复数)，已知 z2 的实部是 1 ，则 z2 的虚部 为
。
1 8.（湖南卷 1）复数 (i )3 等于( i
) C.8i ） D． 1 D.－8i
A.8 9.（陕西卷 1）复数 A． i B． i
B.－8
（Ｂ） 4
（Ｃ） 4i ）
（Ｄ） 4i
i3 (1 i)2 （
C．
2i D． 2i
5.（山东卷 2）设 z 的共轭复数是 z ，或 z+ z =4,z· z ＝8，则 （A）1 （B）-i (C)±1
z 等于 z
(D) ±i
6． （江西卷 1）在复平面内，复数 z sin 2 i cos 2 对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
i (2 i ) 等于（ 1 2i
C．1
2 = i2
10.（重庆卷 1）复数 1+ (A)1+2i
(B)1-2i
(C)-1
(D)3
11.（福建卷 1)若复数(a2-3a+2)+(a-1)i 是纯虚数，则实数 a 的值为 A.1 B.2 C.1 或 2 D.-1 ）
12.（广东卷 1）已知 0 a 2 ，复数 z 的实部为 a ，虚部为 1，则 z 的取值范围是（ A． (1， 5) B． (1， 3) C． (1 ，5) D． (1 ，3)
表示的复数为________.
2 2 7． z1，z2 C，z1 2z1 z2 4z2 0，| z2 | 2 ，那么以|z1|为直径的圆的面积为_______。
三、解答题： 1． 已知复数 z1 满足(1+i)z1=－1+5i， z2=a－2－i， 其中 i 为虚数单位， a∈R， 若 z1 z 2 <|z1|， 求 a 的取值范围. 2．已知复数 z1=cosθ －i，z2=sinθ +i，求| z1·z2|的最大值和最小值.
1 2
C．
1 2
D．2 ） ．
18 （2008 年广东卷 1） 已知 0 a 2 ， 复数 z 的实部为 a ， 虚部为 1， 则 z 的取值范围是 （ A． (1， 5) B． (1， 3) C． (1 ，5) D． (1 ，3)
19 （ 2009 年广 东 卷 理 ） 设 z 是复数， a( z ) 表示满足 z n 1 的最小正整数 n ，则对虚数单位 i ，
石泉中学习题课教案
科目：高二数学 单元（章节）课 题 本节课题 教师： 张艳琴 授课时间：第 5 周 第四章《数系的扩充与复数的导入》 2.3 复数的应用 （二） 1、知识与技能：会解决复数的相关高考题 三维目标 2、过程与方法：培养学生的运算能力和应用能力 3、情感、态度与价值观：培养学生主动探究，勇于发现的求知精神。 提炼的课题 教学重难点 复数的应用 重点：复数的相关高考题 难点：复数的应用 教 一．选择题： 1.（全国一 4）设 a R ，且 (a i)2 i 为正实数，则 a （ A．2 B．1 C．0 D． 1 ） ） 学 过 程 星期三 2016 年 3 月 23 日
13.（浙江卷 1）已知 a 是实数， （A）1 14.（辽宁卷 4）复数
1 A． iB）-1
（C） 2
（D）- 2 ）
B．
1 5
1 1 的虚部是（ 2 i 1 2i 1 1 C． i D． 5 5
15.（海南卷 2）已知复数 z 1 i ，则 A. 2 B. －2 C. 2i
z2 （ z 1
）
D. －2i ） ． D． 2 2i ） ．
16（2006 年广东）若复数 z 满足方程 z 2 2 0 ，则 z 3 （ A． 2 2 B． 2 2 C． 2 2i
17 （2007 年广东文理 2） 若复数 （1+bi） (2+i)是纯虚数 （i 是虚数单位， b 为实数） ， 则 b= （ A．－2 B．－
．
4．已知复数 z 与 (z +2)2－8i 均是纯虚数，则 z = ____________． 5．若复数 z 满足 z(1+i)=2，则 z 的实部是__________．
6．在复平面内， O 是原点， OA ， OC ， AB 表示的复数分别为 2 i，3 2i，1 5i ，那么 BC
z , 且 | | 5 2, 求 ． 2i 4、已知：复数 z1 b cos C (a c)i , z2 (2a c) cos B 4i ,且 z1 z2 ，其中 B 、 C 为△ABC 的
3．已知 z、为复数， （1+3i）z 为实数，=
内角， a 、 b 、 c 为角 A 、 B 、 C 所对的边． （Ⅰ）求角 B 的大小； (Ⅱ) 若 b 2 2 ，求△ABC 的面积． 课 后 作 业布置 预习内 容布置 课本 81 页习题 4-2 B组 第 3,4,5 题
a(i) （
） ． B．6 C．4 D．2
A．8
二．填空题： 1.（上海卷 3）若复数 z 满足 z i(2 z) (i 是虚数单位)，则 z= 。 ．
2.（北京卷 9）已知 (a i)2 2i ，其中 i 是虚数单位，那么实数 a 3.（江苏卷 3）
1 i 表示为 a bi a, b R ，则 a b = 1 i
2.（全国二 2）设 a，b R 且 b 0 ，若复数 (a bi)3 是实数，则（ A． b2 3a 2 B． a 2 3b2
2
C． b2 9a 2 )
D． a 2 9b2
3.（四川卷）复数 2i 1 i ( （Ａ） 4 4.（安徽卷 1）复数 A．2 B．－2