第一、二章 习题
随机过程作业和答案第一二章
随机过程作业第一章 P9例题6：随机过程X(t)=A+Bt, t ≥0, 其中A 和B 是独立随机变量，分布服从正态分布N(0, 1)。
求X(t)的一维和二维分布。
解 先求一维分布。
当t 固定，X(t)是随机变量，因为 EX(t)=EA+tEB=0, DX(t)=DA+2t DB=1+2t故X(t)具有正态分布N(0, 1+2t )。
这亦是随机过程X(t)的一维分布。
再求二维分布。
当1t , 2t 固定， X(1t )=A+B 1t , X(2t )=A+B 2t因A 、B 独立同正态分布，故(A, B)T 亦为二维正态分布。
则其线性变换也服从正态分布。
且所以二维分布是数学期望为(0, 0)T,协方差矩阵 的二维正态分布。
P10例题7：随机过程X(t)=Acost, -∞<t<∞,其中A 是随机变量,且有分布列 A 1 2 3 P 1/3 1/3 1/3 求 (1) 一维分布函数(2) 二维分布函数解 (1) 先求所以222211211)DX(t ,1)DX(t , 0)EX(t ,0)(t t t EX +=+===212121211))(())()X(t ())X(t ),(cov(t t Bt A Bt A E t X E t X +=++==⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++222121211111t t t t t t )3π,0x x F )2πF(x;x F ;,( ),4;(21π( ;) 4F x π。
X()cos ,442A A ππ==显然，三值，，易知它仅取2232 22{()42P X π=={cos 42P A π==1P{A 1},3==31}223)4({ ,31 }2)4({====ππX P X P 同理，⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<= 2 23 x 1,2 23x 2 ,32 2 x 22 ,3122 x 0 )4; ( ，πx F进而有P18例题1：具有随机初相位的简谐波 其中a 与 是正常数，而 服从在区间[0，2 ]上的均匀分布， 求X(t)的数学期望方差和相关函数。
信号与系统第一章习题及作业(1,2)
(2)（余弦序列是否为周期信号，取决于2л/Ω0是正整 （余弦序列是否为周期信号，取决于 Ω 有理数还是无理数。） 数、有理数还是无理数。） 因此， 因此， 2л/Ω0=2л·7/8л=7/4=N/m Ω =2л·7/8л 所以基波周期为N=7； 所以基波周期为N=7； N=7
因为2л/Ω =16л 为无理数， (4) 因为 Ω0=16л,为无理数，则此信号不是周期 信号． 信号． (5) 因为周期信号在[-∞,+∞]的区间上,而本题的重 因为周期信号在[ ∞,+∞]的区间上, 的区间上 复区间是[0, +∞],则此信号为非周期信号 则此信号为非周期信号, 复区间是[0, +∞],则此信号为非周期信号,
f(n) 1 0 3 6 … n
9、判断是否为线性系统？为什么？ 、判断是否为线性系统？为什么？
( 3) ( 5) (7 )
y( t ) = ln y( t 0 ) + 3t 2 f ( t ) y( t ) = y( t 0 ) + f 2 ( t ) y( t ) = sin t ⋅ f ( t )
8、一个连续时间系统的输入-输出关系为 、一个连续时间系统的输入 输出关系为
1 t+T y ( t ) = T [ f ( t ) ] = ∫ T2 f (τ )d τ T t− 2 试确定系统是否为线性的？非时变的？因果的？ 试确定系统是否为线性的？非时变的？因果的？
解：积分系统是线性的，因此系统是线性系统。 积分系统是线性的，因此系统是线性系统。
sin ω 0 tε ( t )
sin ω 0 ( t − t 0 )ε ( t )tt0 Nhomakorabeat
sin ω 0 tε ( t − t 0 )
第1、2、3、4章练习题
第一章练习题1、物质能以液态形式存在的最高温度为（A）沸腾温度Tb （B）玻义耳温度TB （C）临界温度Tc2、当压缩因子Z<1时，表示该实际气体（A）易压缩（B）不易压缩（C）无法确定3、下列何种条件下真实气体可以液化（）（A）Tr>1,Pr>1 （B）Tr>1,Pr<1 （C）Tr=1,Pr<1 （D）Tr<1,Pr=14、对理想气体，压缩因子Z=1。
能否说当气体的Z=1 时，该气体必定是理想气体。
答案：（不能，因为在实际气体的等温线与理想气体的等温线交点处，Z＝1）5、当温度足够低时，任何实际气体的Z～P 曲线与理想气体的Z～P 曲线均交于两点。
试解释这种现象。
答案：（这是因为当温度足够低时，气体的玻义耳温度高于体系温度，Z～p 曲线出现极小值。
）6、从范德华方程出发并结合玻义耳温度定义，证明(1)在足够高的温度，实际气体的压缩因子Z>1 。
(2)在低温，低压下，Z<1 。
答案：（当T＜＝TB，Z＞1）(3)当a=0 ，Z 随压力p 的增加而线性增加。
答案：（当a＝0，Z＝1+bp/RT，恒温时，p 增加，Z 增大。
）7、下列说法何者正确？(1)临界压力是气体可被液化的最低压力。
(2)气体被液化的必要条件是气体温度小于波义耳温度(3)在临界点，饱和液体与饱和蒸气的密度相同。
(4)气体的临界状态与气体的性质无关。
答案：（3）8、气体A、B、C 都服从范德华方程，其范德华常数a和b的大小顺序为a(A)=a(B)>a(C);b(C)>b(B)>b(A)。
问三种气体临界温度的大小顺序。
答案：（T c(A)>T c(B)>T c(C)）9、某气体的状态方程为，式中b为常数，n为物质的量。
若该气体经一等温过程，压力自p1变至p2，则下列状态函数的变化，何者为零？（ΔU）第二章练习题1、指出下列说法的错误。
(1)因Qp =ΔH，Qv=ΔU，所以Qp 和Qv 都是状态函数。
七年级上册数学第1、2章练习题
第一、二章数学练习题一、填空1、321-的倒数是 ，321-的相反数是 ，321-的绝对值是 ， 已知|a|＝4，那么a ＝ 。
2、最小的正整数是____，绝对值最小的有理数是__ __，绝对值等于3的数是__ __， 绝对值等于本身的数是 。
3、绝对值大于1而不大于3的整数有 ，它们的和是 。
4、有理数－3，0，20，－1.25，143， －12- ，－(－5) 中，正整数是 ，负整数是 ，正分数是 ，非负数是 。
5. 化简: －=+-)21(____________，()[]2+--=_______________. 6、观察下面一列数，根据规律写出横线上的数， －11；21；－31；41； ； ；……；第2003个数是 。
7、32b a -系数是___________，次数是___________。
8、已知x n y 2和21x 2y m-1是同类项，则m=_________，n=_________. 9、如果3x n -(m-1)x+1是关于x 的三次二项式，则-m+n 2=________.10、已知x 2+3x 的值为2，则3x 2+9x-6的值为_________________.11、个位数字是a ，十位数是b ，百分数字是c 的三位数可表示为_________________.12、三个连续奇数，中间一个是n ，则这三个数的和为 .13、a=3，|b|=10，且|b-a|=-（b-a ），则a-b=____14、a ，b 互为相反数，c 与d 互为倒数，则2a-3dc+2b=__ __ 15、若0|1|232=-+b a ，则a=____，b=____16、近似数2.58万，精确到__ __位，有____ 个有效数字。
17、如果多项式3x 2＋2xy n ＋y 2是个三次多项式，那么n= 。
18、观察单项式-x,2x 2,-3x 3,4x 4,…,-19x 19,20x 20,…则第2007个单项式为________.19、已知多项式ax 5＋bx 3＋cx ，当x=1时值为5，那么该多项式当x=－1时的值为 。
高一物理必修一第二章习题及答案
第二章匀变速直线运动的研究一、选择题1．物体做自由落体运动时，某物理量随时间的变化关系如下列图，由图可知，纵轴表示的这个物理量可能是()A．位移B．速度C．加速度D．路程tO 2．物体做匀加速直线运动，其加速度的大小为2m/s2，那么，在任1秒内()A．物体的加速度一定等于物体速度的2倍B．物体的初速度一定比前1秒的末速度大2m/s C．物体的末速度一定比初速度大2m/sD．物体的末速度一定比前1秒的初速度大2m/s3．物体做匀变速直线运动，初速度为10m/s，经过2s后，末速度大小仍为10m/s，方向与初速度方向相反，那么在这2s 内，物体的加速度和平均速度分别为()A．加速度为0；平均速度为10m/s，与初速度同向B．加速度大小为10m/s2，与初速度同向；平均速度为0C．加速度大小为10m/s2，与初速度反向；平均速度为0D．加速度大小为10m/s2，平均速度为10m/s，二者都与初速度反向4．以v=12m/s 的速度匀速行驶的汽车，突然刹车，刹车过程中汽车以a=－6m/s2的加速度继续前进，那么刹车后()A．3s内的位移是12m B．3s内的位移是9mC．1s末速度的大小是6m/s D．3s末速度的大小是6m/s5．一个物体以v0=16m/s的初速度冲上一光滑斜面，加速度的大小为8m/s2，冲上最高点之后，又以相同的加速度往回运动。
那么()A．1s末的速度大小为8m/s B．3s末的速度为零C．2s内的位移大小是16m D．3s内的位移大小是12m6．从地面竖直向上抛出的物体，其匀减速上升到最高点后，再以与上升阶段一样的加 速度匀加速落回地面。
图中可大致表示这一运动过程的速度图象是 ( )vv v vOtOtOOttA B C D7．两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后匀速行驶，速度均为 v 0，假设前车突然以恒定的加速度刹车， 在它刚停住时，后车以前车刹车时的加速度开始刹车。
在刹车过程 中所行的距离为 s ，假设要保证两车在上述情况中不相撞，那么两车在匀速行驶时保持的距离至 少为( )A ．s B ．2sC ．3D ．4ss8．物体做直线运动，速度—时间图象如下列图。
有机化学章节习题参考答案(1-5)
第一章 绪论 习题答案1-1、 指出下列分子中官能团类型答案：（1）羟基；（2）羰基；（3）氨基、羧基；（4）酰胺；（5）羰基、双键；（6）羟基、羰基；（7）羧基；（8）羟基1-2、 下列化合物中标出的两根键哪个更短，为什么？答案：（1）a 小于b ，双键原因；（2）b 小于a ，sp 电负性大；（3）a 小于b ，共轭 1-4 答案：(1)C HHH 3COH(2)Na +O -CH 3(3)H 2C CH 2O(4)CH 3NH 2CH 2ClF3HHC CH H 2CCH2sp 23CH 333(5)CH 2SHCH 3OH 2CP(CH 3)3(6)Lewis 酸Lewis 碱(CH 3)2S BF 3Me 3N AlCl 3HCHOBF 31-4、第2章 烷烃和环烷烃习题及答案2-1 用中文系统命名法命名或写出结构式。
答案： （1）2,6,6-三甲基-3-乙基辛烷 （2）2,6,7-三甲基壬烷（3）1-甲基-1-氯环己烷 (4) 顺-1,2-二溴环己烷 （5（6）（7）CCCC CH 3CH 3CH 3CH 3H 3H 3(8) (CH 3)2CHCH 2CH 2CH 32-2 用不同符号标出下列化合物中伯、仲、叔、季碳原子，并给以命名。
答案： (1) CH 3CH CH 2C C CH 3CH 3CH 2CH 3CH 3CH 3CH 2CH 31o 1o 1o1o1o1oo 2o2o 21o o 3o4o 43,3,4,4,6-五甲基辛烷 (2) CH3CH(CH 3)CH 2C(CH 3)2CH(CH 3)CH 2CH31o1o1o1o1oo2o2o 3o 3o 42,4,4,5-四甲基庚烷2-3 指出下列四个化合物的命名中不正确的地方并给以重新命名。
答案： （1）主链选错。
应为：2,4,6-三甲基-6-乙基辛烷 （2）主链、碳原子编号错。
应为：2-甲基-3乙基己烷 （3）碳原子编号错。
(完整版)作业-1-合肥工业大学-传递过程基础
2、何谓现象方程，并说明表达式中各符号的意义？
答：现象方程是由分子传递的三个基本定律-----牛顿粘性定律、傅立叶定律和费克
定律；通过量纲分析，得到动量、热量及质量及质量通量的系统表达式，从而得出：
通量=扩散系数*浓度梯度，此即为现象方程。
将课本的三个通量的表达式写出来，并解释其中字母的含义P16-17
3. 对于下述各种流动，使采用适当坐标系的一般 连续性方程描述，并结合下述具体条件将一般化的连 续性方程加以简化，指出简化过程的依据：
（1）在矩形截面管道内，可压缩流体作稳态、一 维流动；
（2）在平板壁面上不可压缩流体作二维流动； （3）不可压缩流体在圆管内作轴对称轴向稳态流 动； （4）不可压缩流体作球心对称的径向稳态流动。
4，－6
）处ma2。s yy 100N
/
m2
试求该点处的压力和其它法向， 应力和剪应力。
5
第二章 习 题
6. 某不可压缩流体在一无限长的正方形截面的水 平管道中作稳态层流流动，此正方形截面的边界
分别为 x a 和 y a 。有人推荐使用下
式描述管道中的速度分布
3
第二章 习 题
4. 对于在 r 平面内的不可压缩流体的流动，
r 方向的速度分量为
u A cos / r 2 r
试确定 方向的速度分量 u 的表达式。
4
第二章 习 题
5．某粘性流体的速度场为
u = 5x2 yi 3xyzj 8xz2k
已知流体的动力黏度 μ=0.144Pa·s ，在点（ 2，
11
10
第三章 习题
5. 流体在两平壁间作平行稳态层流流动的速度分布， 最大流速，平均流速，压降和范宁摩擦因子的公式 推导。（例题续）
练习题(第1、2章)
第一、二章的练习题一、选择题1．数据结构可以用二元组来表示，它包括（）集合K和K上的（）集合R。
A、数据元素B、存储结构C、元素之间的关系D、逻辑结构2．数据结构在计算机内存中的表示是指（）。
A、数据的存储结构B、数据结构C、数据的逻辑结构D、数据元素之间的关系3．在数据结构中，与所使用的计算机无关的是数据的（）结构。
A、逻辑B、存储C、逻辑和存储D、物理4．以下说法中正确的是（）。
A、数据元素是数据的最小单位B、数据项是数据的基本单位C、数据结构是带结构的各数据项的集合D、一些表面上很不相同的数据可以有相同的逻辑结构5．线性表的顺序存储结构是一种（）的存储结构，线性表的链式存储结构是一种（）的存储结构。
A、随机存取B、顺序存取C、索引存取D、散列存取6．对于一个线性，既要求能够进行较快的插入和删除，又要求存储结构能够反映数据元素之间的逻辑关系，则应该选择（）。
A、顺序存储方式B、链式存储方式C、散列存储方式D、索引存储方式7．已知，L是一个不带头结点的单链表，p指向其中的一个结点，选择合适的语句实现在p结点的后面插入s结点的操作（）。
A、p->next=s ; s->next=p->next ;B、s->next=p->next ; p->next=s ;C、p->next=s ; s->next=p ;D、s->next=p ; p->next=s ;8．单链表中各结点之间的地址（）。
A、必须连续B、部分地址必须连续C、必须不连续D、连续与否都可以9．在一个长度为n的顺序表中向第i个元素（0<i<=n+1）之前插入一个新元素时，需向后移动（）个元素。
A、n-iB、n-i+1C、n-i-1D、i10．需要分配较大空间，插入和删除不需要移动元素的线性表，其存储结构是（）。
A、单链表B、静态链表C、线性链表D、顺序存储结构11．在一个长度为n(n>1)的单链表上，设有头和尾两个指针，执行（）操作与链表的长度有关。
(完整版)第1、2章习题答案
执行指令后，地址C000H：1FFFH内容是23H；
地址C000H：1FFEH内容是55H；
地址C000H：1FFDH内容是21H；
地址C000H：1FFCH内容是22H；
AX=2355H，BX=CX=2122H；
2．假设某CPU的时钟频率是8MHz，如果在进行存储器写操作时插入了一个等待周期，完成该写操作的总线周期所需要的时间是多少ns？
答：
二进制机器数
（若为）无符号数
（若为）原码
（若为）反码
（若为）补码
01101 1110
110
110
110
110
0101 1101
89
89
89
89
1000 1101
141
-13
-114
-115
1111 1001
249
-121
-6
-7
第二章
一．思考题（略）
二．综合题
1．设当前SS=C000H，SP=2000H，AX=2355H，BX=2122H,CX=8788H，则当前栈顶的物理地址是多少？若连续执行PUSH AX，PUSH BX，POP CX 3跳指令后，堆栈的内容发生了什么变化？AX，BX，CX中的内容是什么？
5．有一个22个字的数据组成的数据区，起其实地址为6101H：1CE7H。试计算出该数据区首末存储单元的物理地址？
答：
起始物理地址为：62CF7H
数据区末的物理地址为：62CF7H+（22*2-1）2= 62D22H
6．假设（SS）=20A0H，（SP）=0032H，将（CS）=0A5BH，（IP）=0012H，（AX）=0FF42H，（SI）=537AH，（BL）=5CH依次压入堆栈保存。要求：
机械制造技术基础第1-2章_部分习题解答
《机械制造技术基础》部分习题参考解答第一章绪论1-1 什么是生产过程、工艺过程和工艺规程？1-2 什么是工序、工位、工步和走刀？试举例说明。
1-3 什么是安装？什么是装夹？它们有什么区别？1-4 单件生产、成批生产、大量生产各有哪些工艺特征？1-5 试为某车床厂丝杠生产线确定生产类型，生产条件如下：加工零件：卧式车床丝杠（长为1617mm,直径为40mm,丝杠精度等级为8级，材料为Y40Mn）；年产量：5000台车床；备品率：5%；废品率：0.5%。
1-6 什么是工件的定位？什么是工件的夹紧？试举例说明。
1-7 什么是工件的欠定位？什么是工件的过定位？试举例说明。
1-8 试举例说明什么是设计基准、工艺基准、工序基准、定位基准、测量基准和装配基准。
1-9 有人说：“工件在夹具中装夹，只要有6个定位支承点就是完全定位”，“凡是少于6个定位支承点，就是欠定位”，“凡是少于6个定位支承点，就不会出现过定位”，上面这些说法都对吗？为什么？试举例说明。
1-10 分析图1-10所示工件（图中工件用细双点划线绘制）的定位方式，并回答以下问题：（1）各定位件所限制的自由度；（2）判断有无欠定位或过定位现象，为什么？图中加工面用粗黑线标出。
图1-10a、b、d、e为车削工序，图1-10c为钻孔工序，图1-10f为镗A孔工序，图1-10g为钻大头孔工序，图1-10h为铣两端面工序。
1-11 分析图1-11所示工件为满足加工要求所限制的自由度。
先选定位基面，然后在定位基面上标出所限的自由度，其画法如图8所示。
图中粗黑线为加工面。
习题1-10图习题1-11图第二章金属切削过程2-1 什么是切削用量三要素？在外圆车削中，它们与切削层参数有什么关系？2-2 确定外圆车刀切削部分几何形状最少需要几个基本角度？试画图标出这些基本角度。
2-3 试述刀具标注角度和工作角度的区别。
为什么车刀作横向切削时，进给量取值不能过大？2-4 刀具切削部分的材料必须具备哪些基本性能？2-5 常用的硬质合金有哪几类？如何选用？2-6 怎样划分切削变形区？第一变形区有哪些变形特点？2-7 什么是积屑瘤？它对加工过程有什么影响？如何控制积屑瘤的产生？2-8 试述影响切削变形的主要因素及影响规律。
高中生物必修一第二章第3节《遗传信息的携带者核酸》练习题(含答案)
一、核酸的考点总结1 ．核酸是细胞内携带遗传信息的物质，在生物的遗传、变异和蛋白质合成中具有重要作用。
2．真核细胞的DNA 主要分布于细胞核，少量分布于线粒体和叶绿体，RNA 主要分布于细胞质中。
3．核酸根本单位是核苷酸，一分子核苷酸由一分子含氮碱基、一分子五碳糖和一分子磷酸组成。
4 ．DNA 和RNA 共有的碱基是腺嘌呤〔A〕、鸟嘌呤〔G〕、胞嘧啶〔C〕，胸腺嘧啶〔T〕是DNA 特有的碱基，尿嘧啶〔U〕是RNA 特有的碱基。
二、课后练习1 ．“观察DNA 和RNA 在细胞中的分布〞实验中，正确的实验步骤是〔〕A．取口腔上皮细胞制片→水解→冲洗→染色→观察B．取口腔上皮细胞制片→染色→冲洗→水解→观察C．取口腔上皮细胞制片→水解→染色→冲洗→观察D．取口腔上皮细胞制片→冲洗→水解→染色→观察解析：选A。
识记该实验的实验步骤，即选A。
2．与DNA 相比，RNA 所特有的成分是〔〕A．脱氧核糖和鸟嘌呤B．核糖和尿嘧啶C．脱氧核糖和胸腺嘧啶D．核糖和胸腺嘧啶解析：选B 。
DNA 与RNA 的构成中，五碳糖不同，DNA 为脱氧核糖，RNA 为核糖；还有碱基不同，DNA 中含有胸腺嘧啶，而RNA 中含有尿嘧啶。
3．以下有关DNA 和RNA 的比较中，不正确的选项是〔多项选择〕〔〕．A．从分布上，真核细胞中的DNA 主要存在于细胞核中，RNA 主要存在于细胞质中B ．从化学组成上，DNA 与RNA 的碱基完全不同C ．从构造上，DNA 多为双链，RNA 通常为单链构造D．鉴定DNA 用吡罗红染色剂，鉴定RNA 用甲基绿染色剂解析：选BD。
真核细胞中的DNA 主要存在于细胞核中，RNA 主要存在于细胞质中；从化学组成上看，DNA 和RNA 中都含有A、C、G 三种碱基；从构造上看，DNA 多为双链，而RNA 多为单链；鉴定DNA 时用甲基绿染色剂，而鉴定RNA 时用吡罗红染色剂。
4．对细胞中某些物质的组成进展分析，可以作为鉴别真核生物的不同个体是否为同一物种的辅助手段，一般不采用的物质是〔〕．A．蛋白质 B ．DNAC ．RNA D．核苷酸解析：选D。
初二物理上第一二章练习题
初二物理上第一二章练习题一、选择题1. 下列选项中，属于自然现象的是：A. 水蒸气凝结成水珠B. 火上飞出一个气球C. 电力为人们提供照明D. 彩虹出现在天空中2. 身体与磁铁之间的作用力是：A. 电力B. 重力C. 磁力D. 力3. 将闪电变成有用的电能的装置是：A. 变压器B. 发电机C. 电视机D. 洗衣机4. 火是由下列哪种物质燃烧产生的：A. 水B. 瓦斯C. 汽油D. 纸5. 在火灾中，最先应该做的事情是：A. 把门窗关上B. 迅速疏散C. 熄灭火源D. 搜救财物6. 下列属于气体的是：A. 橡皮B. 铁C. 氧气D. 木头7. “氢氧化钠”是以下哪种物质的化学式：A. 食盐C. 硫酸D. 纳OH8. 玛丽取下天花板上的瓷砖，发现下面是一层波纹状的铁片。
玛丽通过观察瓷砖的位置和天花板下面的铁片，可以推断出瓷砖被支撑在天花板的哪一面？A. 上面B. 下面C. 左面D. 右面9. 德国科学家欧姆曾经研究了电流的大小和导线电阻之间的关系，他的发现被称为“欧姆定律”。
下列哪个选项正确地表达了欧姆定律？A. 电流与电阻成反比B. 电阻与电流成正比C. 电流与电阻无关D. 电阻与电流成反比10. 下列哪一项属于速度的计量单位？A. 度C. 米/秒D. 瓦特二、填空题1. 表现出物体位置变化的量叫做_________。
2. 对物体施加作用的力与物体的_________成正比。
3. 电流的单位是_________。
4. 可以把水变成蒸气的热量是_________。
5. 藏身处发生了火灾时，应该迅速_________。
6. “H2O”表示的化学物质是_________。
7. 电压的单位是_________。
8. 悬挂在墙上的挂钟，指针在摆动的同时，也发生了_________。
9. 想要增大电流，可以加大_____________。
10. 用于测量速度的仪器是_________。
三、简答题1. 请解释物体的运动状态可以有哪三种。
软件工程课后习题_第1,2,3章
第一章：一.判断题：1.软件就程序，编软件就是编写程序。
（）2.软件危机的主要表现是软件需求增加，软件价格上升。
()3.软件工程科学出现的主要原因是软件危机的出现。
（）4.与计算机科学的理论研究不同，软件工程是一门原理性学科（）二.选择题1.在下列选项中，（）不是软件的特征A系统性与复杂性 B 可靠性与一致性C 抽象性与智能性D 有形性与可控性2.软件危机的主要原因是：A软件工具落后 B 软件生产能力不足C 对软件的认识不够D 软件本身的特点及开发方法3.下列说法正确是的是A 20世纪50年代提出了软件工程的概念B 20世纪60年代提出了软件工程的概念C 20世纪70年代提出了客户机/服务器技术D 20世纪80年代软件工程学达到成熟4.( )是将系统化的规范的可定量的方法应用于软件的开发，运行和维护的过程。
它包括方法、工具和过程三个要素A 软件生命周期B 软件测试C 软件工程D 软件过程5.在下列选项中，（）不属于软件工程学科索要研究的基本内容。
A 软件工程材料B 软件工程目标C 软件工程原理D 软件工程过程6.软件工程的三要素是（）A技术，方法和工具 B 方法，对象和类 C 方法，工具和过程 D 过程，模型和方法7.用来辅助软件开发，运行，维护，管理，支持等过程中的活动的软件成为软件开发工具，通常也称为（）工具A CADB CAIC CAMD CASE三简答题1.与计算机硬件相比，计算机软件有哪些特点？2.软件就是程序吗？如何定义软件？3.什么是软件危机？是什么原因导致了软件危机？4.为什么说软件工程的开发能在一定程度上解决软件危机的各种弊端？5.请简述软件工程的研究内容。
6.请简述软件工程的三要素。
7.请简述软件工程的目标，过程和原则。
8.请简述软件工程的基本原则。
9.请简述现代软件工程与传统软件工程显著的区别与改进。
第二章：一判断题1.瀑布模型的最大优点是将软件开发的各个阶段划分得十分清晰。
第二章 练习题 --外部环境(含答案)新1
【例题9· 多选题】
• 甲公司决定进军欧洲市场，为此进行了详细的市场分析。 下列选项中，属于宏观环境分析的情况有（ ）。 A.欧盟针对来自我国的相关产品制定了进口限制 B.欧盟国家整体经济增速下降 C.欧盟技术创新能力较强 D.欧盟市场中人口平均受教育程度较高
• 正确答案：ABCD
•
【例题10· 多选题】
• 甲公司计划通过设立合资企业的形式进入某发展 中国家。下列选项中，属于甲公司对该国经济环 境进行分析时需要考虑的有（ ）。 A.甲公司所在行业在该国技术进步速度较快 B.该国近年来GDP增速较快 C.甲公司在该行业拥有较多专利 D.该国汇率波动较大 • 正确答案：BD
•
【例题11· 多选题】
• 甲公司是国内第二大互联网游戏企业，公司除了考虑继续 增加市场份额之外，还要考虑新资本进入给企业带来的威 颁布法规对互联网游戏产业进行限制 B.互联网游戏产业整体增长速度 C.互联网游戏的同质性普遍较强 D.现有互联网游戏企业是否在基础设施方面投入足够 的资金 • 正确答案：AD
•
【例题8· 多选题】
• 甲公司是一家日用化学品生产企业，在对 本产业进行分析时，公司管理层认为产业 竞争出现加剧的迹象。下列选项中，能够 帮助该公司管理层判断产业竞争出现加剧 现象的有（ ）。 A.产业成长缓慢 B.竞争对手实力相当 C.生产能力过剩 D.进入障碍低而退出障碍高 • 正确答案：ABCD
【例题12· 多选题】
• 下列针对产品生命周期进行描述的选项中，不正确的 有（ ）。 A.导入期的经营风险非常高 B.成熟期表现为市场增长率下降 C.成长期对资金的需求较旺盛，会出现现金短缺 D.衰退期的战略目标是重点转向在巩固市场份额 的同时提高投资报酬率 • 『正确答案』BD 『答案解析』产品生命周期四个阶段中，衰退期表现 为市场增长率下降，选项B错误。成熟期的战略目标 是重点转向在巩固市场份额的同时提高投资报酬率， 选项D错误。
近世代数基础习题课答案到第二章9题
第一章 第二章第一章1. 如果在群G 中任意元素,a b 都满足222()ab a b =, 则G 是交换群. 证明: 对任意,a b G ∈有abab aabb =. 由消去律有ab ba =. □2. 如果在群G 中任意元素a 都满足2a e =,则G 是交换群.证明: 对任意,a b G ∈有222()ab e a b ==. 由上题即得. □3. 设G 是一个非空有限集合, 它上面的一个乘法满足:(1) ()()a bc ab c =, 任意,,a b c G ∈.(2) 若ab ac =则b c =.(3) 若ac bc =则a b =.求证: G 关于这个乘法是一个群.证明: 任取a G ∈, 考虑2{,,,}a a G ⋯⊆. 由于||G <∞必然存在最小的i +∈ 使得i a a =. 如果对任意a G ∈, 上述i 都是1,即, 对任意x G ∈都有2x x =, 我们断言G 只有一个元,从而是幺群. 事实上, 对任意,a b G ∈, 此时有:()()()ab ab a ba b ab ==, 由消去律, 2bab b b ==; 2ab b b ==,再由消去律, 得到a b =, 从而证明了此时G 只有一个元,从而是幺群.所以我们设G 中至少有一个元素a 满足: 对于满足i a a =的最小正整数i 有1i >. 定义e G ∈为1i e a -=, 往证e为一个单位元. 事实上, 对任意b G ∈, 由||G <∞, 存在最小的k +∈ 使得k ba ba =. 由消去律和i 的定义知k i =:i ba ba =, 即be b =.最后, 对任意x G ∈, 前面已经证明了有最小的正整数k使得k x x =. 如果1k =, 则2x x xe ==, 由消去律有x e =从而22x e e ==, 此时x 有逆, 即它自身.如果1k >, 则11k k k x x xe xx x x --====, 此时x 也有逆:1k x -. □注: 也可以用下面的第4题来证明.4. 设G 是一个非空集合, G 上有满足结合律的乘法. 如果该乘法还满足: 对任意,a b G ∈, 方程ax b =和ya b =在G 上有解, 证明: G 关于该乘法是一个群.证明: 取定a G ∈. 记ax a =的在G 中的一个解为e . 往证e 是G的单位元. 对任意b G ∈, 取ya b =的一个解c G ∈: ca b =.于是: ()()be ca e c ae ca b ====. 得证.对任意g G ∈, 由gx e =即得g 的逆. □5. 找两个元素3,x y S ∈使得222()xy x y =/.解: 取(12)x =, (13)y =. □6. 对于整数2n >, 作出一个阶为2n 的非交换群.解: 二面体群n D . □7. 设G 是一个群. 如果,a b G ∈满足1r a ba b -=, 其中r 是正整数, 证明: ii i r a ba b -=, i 是非负整数.证明: 对i 作数学归纳. □8. 证明: 群G 是一个交换群当且仅当映射1x x - 是群同构.证明: 直接验证. □9. 设S 是群G 的一个非空集合. 在G 上定义关系 为: ~a b 当且仅当1ab S -∈. 证明: 这个关系是一个等价关系当且仅当S G ≤. 证明: 直接验证. □10. 设n 是正整数. 证明: n 是 的子群且与 同构.证明: 直接验证. □11. 证明: 4S 的子集{(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}B =是一个子群, 而且B 与4U 不同构. (n U 是全体n 次单位根关于复数的乘法组成的群).证明: 用定义验证B 是4S 的子群. 由于4U 中有4阶元而B 中的元的阶只能是1或2, 所以它们不可能同构. □12.证明: 2n 阶群的n 阶子群必然是正规子群.证明: 用正规子群的定义验证. □13. 设群G 的阶为偶数. 证明: G 中必有2阶元.证明: 否则, G 中的任意非单位元和它的逆成对出现, 从而, G的阶为奇数, 矛盾. □14. 设0110A ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 2i 2i 0e e 0n n B ππ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 证明: 集合 22:{,,,,,,,}n n G B B B AB AB AB =⋯⋯关于矩阵的乘法是一个群, 而且这个群与二面体群n D 同构.证明: n D 有如下的表现: 21,|1,n n D T S T S TS ST -=〈===〉. 作2:GL ()n D ϕ→ : S A , T B . 直接验证ϕ是群单同态,而且im G ϕ=. □15. 设群G 满足: 存在正整数i 使得对任意,a b G ∈都有()k k k ab a b =, 其中,1,2k i i i =++. 证明: G 是一个交换群.证明: 由()i i i ab a b =和111()i i i ab a b +++=得:111()()()()()i i i i i i ab a b ab ab ab a b +++===, 从而, 1i i i i ba b a b +=, 即:i i ba a b =.同理可得: 11i i ba a b ++=. 于是:11()()i i i i a ba ba a b a ab ++===, 即: ab ba =. □16. 在群2()SL 中, 证明元素0110a -⎛⎫= ⎪⎝⎭的阶为4, 元素1101b --⎛⎫= ⎪-⎝⎭的 阶为3, 而ab 的阶为∞.证明: 直接验证. □17. 如果群G 为一个交换群, 证明G 的全体有限阶元素组成一个子群.证明: 设{|()}H g G o g =∈<∞. 显然e H ∈, 从而H 不是空集. 对任意,a b H ∈, 设()o a m =, ()o b n =, 则1()o b n -=;11()()mn m n ab a b e --==, 即: 1ab H -∈. □18. 如果群G 只有有限多个子群, 证明G 是有限群.证明: 首先证明: 对任意a G ∈有()o a <∞. 事实上, 设k a 〈〉为G 的由k a 生成的子群, 其中, 1k ≥是整数. 则242m a a a a 〈〉⊇〈〉⊇〈〉⊇⊇〈〉⊇ . 由于G 只有有限多 个子群, 所以必然存在m 使得2(1)22(2)m m m a a a ++〈〉=〈〉=〈〉= ,即 22(1)m t m a a +=.由消去律即得()o a <∞.于是G 的任意元素都包含在某个有限子群里, 而G 只有有限多个子群, 所以||G <∞. □19. 写出群n D 的全部正规子群.解: 已知: 212121{,,,,1,,,,,,|1},n n n n n D T T T T S ST ST ST S T S T TS ST ---=⋯=⋯〈====〉设H 是n D 的子群. 如果1H =则H 当然是n D 的正规子群.I (1) 设k H T =〈〉. 由于1k k k k ST S ST S SST T H ---===∈和k k TT T T H =∈. 所以k T 〈〉是n D 的正规子群.(2) 设{1,}H S S =〈〉=. 由于SSS S =和12TST ST --=, 所以{1,}H S S =〈〉=是n D 的正规子群当且仅当2n =.(3) 设k H ST =〈〉. 注意到()()1k k ST ST =, 所以{1,}k k H ST ST =〈〉=. 由于1k k TST T ST -=和()k k S ST S ST -=,所以{1,}k k H ST ST =〈〉=是n D 的正规子群当且仅当|2n k .II (1) 设,k k H T T '=〈〉. 则(,')k k H T =〈〉. 归结为I (1)的情形, 从而是n D 的正规子群. 一般地,1212(,,,),,,t t k k k k k k H T T T T ⋯=〈⋯〉=〈〉也是n D 的正规子群.(2) 设,k H S T =〈〉. 由于1k k TT T T -=, 12TST ST --=, k k ST S T -=, 所以,k H S T =〈〉是n D 的正规子群当且仅当存在m ∈ 使得|(2)n mk +. (注: 当1k =时,k n H S T D =〈〉=). 一般地, 设1,,,t k k H S T T =〈⋯〉. 则12(,,,),t k k k H S T ⋯=〈〉, 归结为刚讨论的情形.(3) 设,k k H ST ST '=〈〉. 或者, 更一般地,1212(,,,),,,t t k k k k k k H ST ST ST ST ⋯=〈⋯〉=〈〉. 归结为I (3)的情形,即: 1212(,,,),,,t tk k k k k k H ST ST ST ST ⋯=〈⋯〉=〈〉是n D 的正规子群 当且仅当12|2(,,,)t n k k k ⋯.□20. 设,H K 是群G 的子群. 证明: HK 为G 的子群当且仅当HK KH =. 证明: HK 为G 的子群当且仅当111()HK HK K H KH ---===. □21. 设,H K 是群G 的有限子群. 证明: ||||||||H K HK H K =⋂. 证明: 首先, HK 是形如Hk 的不交并; 其中k K ∈. 又, 12Hk Hk =当且仅当112k k K H -∈⋂. 所以, 这样的右陪集共有||||K H K ⋂ 个. 于是: ||||||||K HK H K H =⋂. □ 22. 设,M N 是群G 的正规子群, 证明:(1) MN NM =.(2) MN 是G 的正规子群.(3) 如果{}M N e ⋂=, 那么/MN N 与M 同构.证明: (1) 由1MNM N -⊆得MN NM ⊆. 同理, NM MN ⊆.(2) 由(1)和第20题, MN 确实是子群. 对任意g G ∈有111()()()g MN g gMg gNg MN ---=⊆. 所以MN 是G 的正规子群.(3) 如果mn m n ''=则11(){}m m n n M N e --''=∈⋂=, 从而,m m n n ''==. 即: MN 中的元素可以唯一地写为,,mn m M n N ∈∈的形式. 于是可以定义映射: :MN M σ→为mn m . 由于,M N 都是正规子群, 对任 意,m M n N ∈∈有111()(){}mn nm mnm n M N e ---=∈⋂=, 所 以mn nm =: 即此时, M 中的元素与N 中的元素可交 换. 由此可以验证σ是群同态. 显然σ是满的, 而且 ker N σ=. □23. 设G 是一个群, S 是G 的一个非空子集. 令(){|,}C S x G xa ax a S =∈=∀∈; 1(){|}N S x G x Sx S -=∈=. 证明: (1) (),()C S N S 都是G 的子群.(2) ()C S 是()N S 的正规子群.证明: 直接用定义验证. 以(2)为例. 对任意(),(),c C S n N S s S ∈∈∈,111111()()()()ncn s ncn nc n sn c n ------=. 设1n sn s S -'=∈, 即: 1s ns n -'=. 所以,1111111()()()()ncn s ncn nc n sn c n ns n s -------'===. 此即表明: 1()ncn C S -∈. □24. 证明: 任意2阶群都与乘法群{1,1}-同构. 证明: 设{,}G e a =. 作:{1,1}G σ→-为1e , 1a - . □25. 试定出所有的互不同构的4阶群.解: 设群G 的阶为4. 如果G 有4阶元, 则4G . 如果G 没有4阶元, 则G 的非单位元的阶都为2. 设{,,,}G e a b c =. 考虑第11题中的4S 的子群(Klein 四元群):{(1),(12),(34),(12)(34)}K =. 作映射: :G K σ→为:(1),(12),(34),(12)(34)e b a c . 则σ为群同构. 综上, 在同构意义下, 4阶群只能是4 或Klein 四元群. □26. 设p 是素数. 证明任意两个p 阶群都同构.证明: 只需证明任意p 阶群G 都同构于p . 由Lagrange 定理, G的任意非单位元a 的阶都为p , 从而21{,,,,}p G e a a a -=⋯, 从 而有良定的映射:p G σ→ 为: 1a . 此即为一个群同构.□27. 在集合S =⨯ 上定义(,)(,):(,);(,)(,):(,)a b c d a c b d a b c d ac bd ad bc +=++=++. 证明: S 在这两个运算下是一个有单位元的环. 证明: 直接验证. 零元素为(0,0), 单位元为(1,0). □28. 在 上重新定义加法⊕和 为: :,:a b ab a b a b ⊕==+ . 问 关于这两个运算是否是一个环.解: 不是. 关于⊕不是一个abel 群. □29. 设L 是一个有单位元的交换环. 在L 中定义: :1a b a b ⊕=+-,:a b a b ab =+- . 证明: 在这两个新的运算下, L 仍然是一个环, 且与原来的环同构.证明: 直接验证满足环的定义中的条件. 作:(,,)(,,)L L σ+→⊕ 为:1a a - . 验证σ是环同构. □30. 给出满足如下条件的环L 和子环S 的例子:(1) L 有单位元, 而S 没有单位元.(2) L 没有单位元, 而S 有单位元.(3) ,L S 都有单位元, 但不相同.(4) L 不交换, 但S 可交换.解: (1) ;2L S == .(2) 0|,20a L a b b ⎧⎫⎛⎫=∈∈⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭ , 0|00a S a ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭ . (3) 0|,0a L a b b ⎧⎫⎛⎫=∈∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭, 0|00a S a ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭ . (4) |,,,a L a b b c d c d ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭ , 0|0a S a a ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭ . 31. 环R 中的一个元L e 为一个左单位元, 如果对任意r R ∈有L e r r =.类似地可定义右单位元. 证明:(1) 如果环R 既有左单位元, 又有右单位元, 则R 有单位元.(2) 如果环R 有左单位元, 没有零因子, 则R 有单位元.(3) 如果环R 有左单位元但没有右单位元, 则R 至少有两个左单位元.证明: (1) 设,L R e e 分别为R 的左, 右单位元. 则L L R R e e e e ==为R的单位元.(2) 设L e 为R 的一个左单位元. 对任意0x R =∈/, 由22()0L xe x x x x -=-=得: L xe x =, 即L e 为R 的一个右单 位元. 由(1)即得.(3) 设L e 为R 的一个左单位元, 由于R 没有右单位元, 所以存在0z R =∈/使得L ze z =/. 令: :L L L f e z ze =+-. 则 L L f e =/且, 对任意r R ∈有0L L L f r e r zr ze r r r =+-=+=, 即: L f 为R 的另一个单位元. □32. 设F 为一个域. 证明: F 没有非平凡的双边理想.证明: 设0I F =⊆/为F 的一个理想. 取0x I =∈/, 有11x x F -=∈, 从而I F =. □33. 设R 是一个交换环, a R ∈.(1) 证明{|}Ra ra r R =∈是R 的一个理想.(2) 举例说明, 如果R 不是交换环, 那么Ra 不一定是一个(双边)理想.证明: (1) 直接验证.(2) 设|,,,a b R a b c d c d ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭ , 1010a ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 则 0|,0r s Ra r s ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭. 显然, Ra 不是一个理想, 比如: 01010101a Ra ⎛⎫⎛⎫=∉ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. □34. 设I 为交换环R 的一个理想, 令: rad {|,}n I r I r I n +=∈∈∈ . 证明:rad I 为R 的理想, 称为I 的根.证明: 对任意,rad a b I ∈. 则存在正整数,m n 使得,m n a b I ∈. 由于 ()m n a b I +-∈, 从而rad a b I -∈.对任意rad a I ∈和r R ∈, 存在正整数m 使得m a I ∈. 从而()m m m ra r a I =∈, 即: rad ra I ∈. □35. 设F 为一个有单位元的交换环. 证明: 如果F 没有非平凡理想,则F 是一个域.证明: 对任意0a F =∈/, 由第33题(1)知, Fa 是F 的一个非零理想.由于F 没有非平凡理想, 所以Fa F =. 特别1Fa ∈, 即: 存在 b F ∈使得1ba =. □36. 设 是有理数域, ()n 是全体n 阶 上的矩阵组成的环. 证明:()n 没有非平凡的理想(没有非平凡理想的环称为单环). 证明: 设0I =/为()n 的一个理想. 取0A I =∈/. 则A 至少有一个 非零元素, 设为ij a . 由于I 是一个理想, 所以1ij ij ij ij E AE E I a ⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭, 其中ij E 表示(,)i j -元为1而其余元为0的基本矩阵. 由基本矩阵的乘法性质, ij jk ik E E E I =∈, 从而ki ik kk E E E I =∈, 1,2,,k n =⋯. 于是单位阵1nn kk k E E I ==∈∑, 从而()n I = . □37. 设R 是一个环, 0a R =∈/. 证明: 如果存在0b R ≠∈使得0aba =, 那么a 是一个左零因子或右零因子.证明: 由于0aba =, 所以, 如果0ba =/则a 是一个左零因子; 如果0ba =, 则a 是一个右零因子. □38. 环的一个元素a 成为幂零的, 如果存在正整数n 使得0n a =. 证明:对于有单位元环R 的任意幂零元a , 1a -是可逆的.证明: 21(1)(1)11n n a a a a a --+++⋯+=-=. □39. 证明: 在交换环中, 全部幂零元素组成一个理想.证明: 用定义直接验证: 在交换环中, 幂零元的差、积仍然幂零.□40. 设R 是有单位元的有限环. 如果,x y R ∈满足1xy =, 证明: 1yx =.证明: 作映射: ::f R R z yz → . 则f 是单射: 事实上, 如果 12yz yz =, 则12xyz xyz =, 即12z z =. 由于R 是有限集, 所以f是满射, 从而存在0z R ∈使得001()f z yz ==. 只需证明:0z x =. 事实上, 00001()()1z z xy z x yz x x ===== . □41. 设R 是一个有单位元的环. 证明: 如果存在,a b R ∈满足1ab =但1ba =/, 那么有无穷多x R ∈使得1ax =.证明: 注意到111()1n n n n a b ba a ab aba a ab ++++-=+-==, n ∈ . 所以只需证明1n n ba a +- (n ∈ )互不相同. 注意到1m m a b aa abb b =⋯⋯=, 对任意m ∈ 都成立.如果11n n k k ba a ba a ++-=-, (n k >). 则11111()0n n k k k k k ba a b ba b a b b b +++++-=-=-=, 即0n k n k ba a b ---=. 如果1n k -=则1ba ab ==, 矛盾.所以1n k ->. 从而10n k n k ba a ----=;11)(10n k n k n k ba a b b a ------=-=, 也得到矛盾. □42. 设R 是满足如下条件的环: R 至少有两个元素而且对任意0a R =∈/都存在唯一的元素b R ∈使得aba a =. 证明:(1) R 没有零因子.(2) bab b =.(3) R 有单位元.(4) R 是一个体.证明: (1) 设0a R =∈/使得0ax =. 由已知, 对于a 有唯一的b R ∈使得aba a =. 于是()a b x a aba +=. 由唯一性, b x b +=, 即: 0x =; 从而a 不是左零因子. 即: R 中的任意非零元都不 是左零因子; 从而R 也没有右零因子.(2) 由于()()a bab a ab aba aba ==, 再由唯一性即得bab b =.(3) 任取0a R =∈/, 取那个唯一的b R ∈使得aba a =. 往证ab就是一个单位元. 对任意0x R =∈/, 取那个唯一的y R ∈ 使得xyx x =. 由(2)有:()0b ab xy x babx bxyx bx bx -=-=-=.由(1), 0ab xy -=. 从而abx xyx x ==, 此即证明了ab 是左 单位元. 保持记号. 类似地有:()0a ba xy x abax axyx ax ax -=-=-=, 从而ba xy =, 于是xab xyx x ==, 此即证明了ab 是右单位元.(4) 由(3)可知, R 的每个非零元都有逆. □43. 设[0,1]C 是[0,1]上的连续函数组成的环. 证明:(1) 对于[0,1]C 的任意非平凡理想I , 都存在一个[0,1]θ∈使得对任意()f x I ∈都有()0f θ=.(2) ()[0,1]f x C ∈是一个零因子当且仅当零点集{[0,1]|()0}x f x ∈= 包含一个开区间.证明: (1) 若不然, 对任意[0,1]θ∈都存在()[0,1]g x C θ∈使得()0g θ=/. 由连续性, 存在一个包含θ的开区间[0,1]J θ⊆使得()g x θ在 J θ上恒为正或恒为负（0J 实际上是左闭右开的; 1J 实际上是左开右闭的）. 另一方面, 由开覆盖定理, 存在有限多个i J θ, 使得[0,1]i i J θ=⋃. 定义2():(())ii g x g x θ=∑. 则 ()g x I ∈, 而且()0g x >. 于是11()()g x I g x =∈ , 与I 是非平凡理 想矛盾.(2) “⇒”: 设()f x 是[0,1]C 中的一个零因子: 存在0()[0,1]g x C =∈/使得()()0,[0,1]g x f x x ≡∈. 由于()0g x =/, 所以 存在[0,1]上的开区间J 使得()g x 在J 上恒为正或恒为负; 从而, ()f x 在J 上恒为0.“⇐”: 设存在[0,1]上的开区间J 使得()f x 在J 上恒为0. 作连 续函数()g x 使得: ()g x 在J 上恒不为0, 而在J 上恒为0, 从 而()()0f x g x ≡: 即()f x 是[0,1]C 中的一个零因子. □44. 设p = 为素域. (1) 求环()n 的元素个数.(2) 求群()n GL 的元素个数.(1) 解: 由于2dim ()n n = , 所以()n 的元素个数为2n p .(2) 解: 取定向量空间n 的一个基, 则()n GL 中的元与n 上 的可逆线性变换一一对应, 而可逆线性变换把基映为基. 所以, 只需求n 的基的个数. 注意到n 的元素个数为n p . 任取n 的一 个非零向量1α, 这样的取法有1n p -种. 取2n α∈ 使得12,αα线性 无关. 这样的2α能且只能从1n α-〈〉 中选取. 所以2α的选取方法有n p p -种. 类似地, 取3n α∈ 使得312,,ααα线性无关. 这样的3α 能且只能从12,n αα-〈〉 中选取. 所以3α的选取方法有2n p p -种(因为12,αα〈〉的维数是2). 继续这个过程, 我们得到n 的基的个 数为21()()()n n n n p p p p p p ---⋯-, 此即为所求. □45. 设K 是一个体, 0,a b K =∈/且1ab =/. 证明如下的华罗庚恒等式:1111(())a a b a aba -----+-=.证明: 由提示, 先证明引理: 对任意0,1x K =∈/,1111(1)(1(1))1(1)(((1)))x x x x x x -----+-=-+--11(1)(1)11x x x x x x -=-+--=-+=,所以, 111(1)(1)1x x ----=--成立. 注意到: 原恒等式等价于1111(1)(())a ba a b a -----=+-, 等价于11111(1)()ba a a b a ------=+-. 由引理,111111*********(1)((1)1)(1)((1))ba a a b a a a b a a a a b ----------------=-+=+-=+-111()a b a ---=+- 即为所要的等式. □第二章1. 设G 为有限群, N G , (||,|/|)1N G N =. 证明: 如果元素a G ∈的阶整除||N , 那么a N ∈.证明: 考虑自然满态: :/G G N π→. 记()a a π=. 由于()/o a a e G N =∈, 所以()|()o a o a . 如果()1o a =/, 则((),|/|)1o a G N =/, 矛盾. □2. 设c 为群G 的阶为rs 的元素, 其中(,)1r s =. 证明: c 可以表示成c ab =, 其中()o a r =, ()o b s =, 且,a b 都是c 的幂.证明: 由(,)1r s =知, 存在整数,u v 使得1ur vs +=. 于是1ur vs c c c c ==.令vs a c =和ur b c =. 则()()((),)(,)o c rs rs o a r o c vs rs vs s ====. 同理, ()o b s =. □3. 证明: 如果群G 中的元素a 的阶与正整数k 互素, 那么方程k x a =在 a 〈〉内恰有一解.证明: 设()o a n =. 于是存在整数,r s 使得1rn ks +=. (法一) 作映射::k f a a x x 〈〉→〈〉 . 只需证明f 是双射. 由于||a n 〈〉=<∞, 所以只需证明f 是单射. 若k k x y =, ,x y a ∈〈〉, 则1()1k xy -=. 从而1111()()rn ks s xy xy xy e e ----====, 即x y =.(法二) 首先1()s k rn a a a -==, 即方程k x a =在a 〈〉中有解. 若t a a ∈〈〉也是k x a =的一个解, 那么()t s k a e -=, 从而 1()()t s ks t s rn t s a e a a ----===, 即t s a a =. □4. 设G 是一个群. 证明: 对任意,a b G ∈有()()o ab o ba =. 证明: 注意到, 对任意正整数m , 1()()m m ab a ba b -=, 所以1()()m m ab a ba b e -==当且仅当1111()()m ba a b ba ----==当且仅当 ()m ba e =. □5. 设2n >. 证明: 有限群G 中阶为n 的元素个数是偶数. 证明: 注意到, 对任意g G ∈有1()()o g o g -=, 而且, ()2o g >当且仅当1g g -=/. □6. 证明: 当2n >时有(){}n Z S e =. 即: n S 是交换群当且仅当2n ≤. 证明: 注意到, 对任意n S σ∈和轮换12()r i i i ⋯有11212()(()()())r r i i i i i i σσσσσ-⋯=⋯. 设()n e z Z S =∈/, 则对任意 n S σ∈应该有1z z σσ-=. 不妨设z 分解为互不相交的轮换的乘积(必要的话, 可通过重新编号): (12)(...)...(...)z =⋯. 取 (23)σ=. 则()(1)3z σσ=但(1)2z =, 矛盾. □7. 证明: 有理数加群 的任意有限生成的子群是一个循环群. 证明: 设1212,,,n n n H m m m =〈⋯〉, 其中(,)1i i n m =, 1i ≤≤ . 令 12[,,,]t m m m =⋯ . 则1H t=〈〉. □ 8. 设G 是有限生成的交换群. 证明: 如果G 的这些生成元都是有限 阶的, 那么G 是一个有限群.证明: 设1,,n G a a =〈⋯〉且()i i o a m =. 则G 的任意元素具有形式:1212nt t t n a a a ⋯, 其中1i i t m ≤≤, 从而G 只有有限个元素. □ 9. 对任意群G 和正整数k , 令{|}k k G a a G =∈. 证明: 群G 是循环 群的成分必要条件是G 的任意非单位子群都是形如k G 的集合. 证明: 必要性. 设G g =〈〉. 则G 的任意非单位子群H 具有形式k H g =〈〉, 其中k 是某个正整数. 于是H 中的任意元素具有形 式()()k m m k g g =, 即k H G ⊆. 反之, k G 的任意元素具有形式 ()()m k k m g g =, 于是k H G =.充分性. 考虑12k k G G ≥-⋃.(i) 如果12k k G G ≥-⋃不是空集, 取12k k g G G ≥∈-⋃. 则G g =〈〉是无限循环群. 事实上, g e =/, 从而G 的子群g 〈〉形如k G . 如果2k ≥, 则k k g x G =∈, 与g 的选取矛盾. 所以1g G G 〈〉==. 另外, 如果此时G g =〈〉是有限群, 则2k k G G ≥=⋃, 也得到矛盾.(ii) 现在假设12k k G G ≥-⋃是空集. 则对任意e x G =∈/, 存在正整 数k 使得子群k x G 〈〉=. 若1k =则G x =〈〉是循环群. 特别,存在整数s 使得k s x x =, 此即表明, G 的任意元素都是有限阶的. (To be continued).。
电磁学习题答案1-3章
第一章 习题一1、电量Q 相同的四个点电荷置于正方形的四个顶点上，0点为正方形中心，欲使每个顶点的电荷所受电场力为零，则应在0点放置一个电量q ＝－(1+2√2)Q/4 的点电荷。
2、在点电荷系的电场中，任一点的电场强度等于各点电荷单独在该点产生场强的矢量和，这称为电场强度叠加原理。
3、一点电荷电场中某点受到的电场力很大，则该点的电场强度E ：( C )(A)一定很大 (B)一定很小 (C)可能大也可能小4、两个电量均为+q 的点电荷相距为2a ，O 为其连线的中点，求在其中垂线上场强具有极大值的点与O 点的距离R 。
解法一：22020214141aR qπεr q πεE E +=== 21E E E+=，θE θE θE E cos 2cos cos 121=+=2222042a R R a R q πε++=()2/32202a R R πεq +=E 有极值的条件是：()0222/522220=+-=a R R a πεq dR dE 即 0222=-R a ，解得极值点的位置为：a R 22=∵ ()2/722220223223a R a R πεqR dR E d +-=，而 0398402/222<-==aπεqdR E d a R ∴ 中垂线上场强具有极大值的点与O 点的距离为a R 22= 且 ()202/3220m a x 332/2/2aπεq a a a πεq E =+=解法二：θaq πεr q πεE E 2202021sin 4141===，21E E E +=+qθE θE θE E cos 2cos cos 121=+=θθaq πεcos sin 21220=)cos (cos 21320θθaq πε-=E 有极值的条件是：0)sin 3sin 2(2320=-=θθaπεq θd dE E 有极值时的θ满足：31cos 32sin 1cos 0sin 2211====θ，θ；θ，θ )cos 7cos 9(2)cos sin 9cos 2(232022022θθaπεq θθθa πεq θd E d -=-= 0)cos 7cos 9(22011320221>=-==aπεq θθa πεq θd E d θθ 032)cos 7cos 9(22022320222<-=-==aπεq θθa πεq θd E d θθ 可见 θ = θ2时，E 有极大值。
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1n f3 (n) = sin n + sin n f4 (n) = ( ) ε (n) 6 2 2 (t)、 B. f1(t)、 f2(t) 和f3(n) A.f1(t) 和f2(t) C.f1(t) 和f3(t) D.f2(t) 和f3(t)
π
π
4.试画出下列信号的波形．其中-∞＜t＜∞,t0为常数． 4.试画出下列信号的波形 其中试画出下列信号的波形． 为常数．
(1) (2) (3) (4)
f (t ) = sinω0tε (t ) f (t ) = sinω0tε (t − t0 ) f (t ) = sinω0 (t − t0 )ε (t ) f (t ) = sinω0 (t − t0 )ε (t − t0 )
5．已知的波形如图所示，画出下列各信号的的波 已知的波形如图所示， 形．
(1) f(3t) (4) f(t/3)
(2) f(3t+6) (5) f(t/3+1)
f(t) 1
(3) f(-3t+6) f((6) f(-t/3+1) f(-
-2
-1 -1
2
t
6、判断下列系统是否为线性系统。 判断下列系统是否为线性系统。
(1) (2) (3) (4) (5)
df (t ) y(t ) = y(0) + f (t ) dt y(t ) = y(0) f (t ) y(t ) = y(0) + 2 f 2 (t ) y(t ) = lg y(0) + ∫ f (τ )dτ
) （C）e −2t
2) 微分方程的解是连续时间系统的（） 微分方程的解是连续时间系统的（） （A）零输入响应 （B）零状态响应 （C） 自由响应 （D）瞬态响应 （E）全响应
3) 单位冲激响应是（ ） 单位冲激响应是（ （A）零状态响应 （B）零输入响应 （C）全响应 （D）自由响应 （E）强迫响应 4) 某系统的单位冲击响应为h(t),输入信号为x(t)， 某系统的单位冲击响应为h(t),输入信号为 输入信号为x(t)， 系统的零状态响应是（） 系统的零状态响应是（） h(t)δ （A）h(t)x(t) （B） h(t)δ(t) ∞ （C） x(τ )h(t − τ )dτ（D） ∞ ∫ ∫ x(t )h(t − τ )dτ
8、一个连续时间系统的输入-输出关系为 一个连续时间系统的输入T t+ 1 y ( t ) = T [ f ( t ) ] = ∫ T2 f (τ )d τ T t− 2 试确定系统是否为线性的？非时变的？因果的？ 试确定系统是否为线性的？非时变的？因果的？
第二章 习题 (t)． 1、试计算图示函数的卷积f(t)=f1(t)*f2(t)． 试计算图示函数的卷积f(t)=f f2(t) f1(t) 2 1 -1 1 t 1 t
0 t
y(t ) = y(0) + 3t 2 f (t )
7、判断下列系统是否为线性时不变系统？ 判断下列系统是否为线性时不变系统？
(1) (2) (3) (4)
y(t ) = g(t ) f (t ) y(t ) = kf (t ) + f (t )
2
y(t ) = t ⋅ cost ⋅ f (t ) y(t ) ⋅ f (t ) = 1
两个函数的表达式（ 两个函数的表达式（以τ为自变量）分别为： 为自变量）分别为：
1 f1 (τ ) = 0
−1<τ < 1 其它
2τ f 2 (τ ) = 0
0 <τ < 1 其它
2.选择题 2.选择题 e −2t ∗ δ ' (t ) 等于( 1) 卷积积分 等于( δ ' (t ) （ A） （B） − 2δ ' (t ) −2 t （D）− 2e （E）
１．判断下列信号是否为周期信号，如果是周期信 判断下列信号是否为周期信号， 求出它的基波周期． 号，求出它的基波周期． (1 ) f ( t ) = 3 sin 2 t + 6 sin π t
(2) (3) (4) (5) (6) f ( t ) = ( a sin t ) 2 f ( t ) = cos( 2 t + f (n) = e
j[ n −π ] 4
π
4
)
t ≥ 0
4 8 n π f ( n ) = cos( ) cos( n) 2 4
f ( n ) = cos(
π
n ) + sin(
πn
) − 2 cos(
πn
2
)
2.下面关于离散信号描述正确的是 2.下面关于离散信号描述正确的是( 下面关于离散信号描述正确的是( ) 有限个点上为非零值,其他点上为零值的信号; A. 有限个点上为非零值,其他点上为零值的信号; 仅在离散时刻上有定义的信号; B. 仅在离散时刻上有定义的信号; 在时间为整数的点上有非零值的信号; C. 在时间为整数的点上有非零值的信号; 信号的取值为规定的若干离散值的信号。 D. 信号的取值为规定的若干离散值的信号。 3.下列信号为周期信号的有 3.下列信号为周期信号的有( 下列信号为周期信号的有( ) f1 (t ) = sin3t + sin5t f2 (t ) = cos2t + cosπt