必修四第一章 三角函数 精选练习题(有答案和解析)

必修四第一章 三角函数精选练习题

一、选择题

1．在0°～360°的范围内，与－510°终边相同的角是( ) A ．330° B ．210° C ．150° D ．30°

B [因为－510°＝－360°×2＋210°，因此与－510°终边相同的角是210°.] 2．cos 420°的值为( ) A ．12 B ．－12

C ．32

D ．－32

A [cos 420°＝cos(360°＋60°)＝cos 60°＝1

2，故选A.]

3．已知角θ的终边上一点P (a ，－1)(a ≠0)，且tan θ＝－a ，则sin θ的值是( ) A ．±

22 B ．－22 C ．22 D ．－1

2

B [由题意得tan θ＝－1

a ＝－a ， 所以a 2＝1， 所以sin θ＝

－1a 2＋（－1）

2＝－2

2.] 4．一个扇形的弧长与面积的数值都是6，这个扇形中心角的弧度数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

C [设扇形的半径为r ，中心角为α，

根据扇形面积公式S ＝12lr 得6＝1

2×6×r ，所以r ＝2， 所以α＝l r ＝6

2＝3.]

5．已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝ ⎛

⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为( ) A ．23 B ．13 C ．－23 D ．－1

3 C [∵已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝ ⎛

⎭⎪⎫0，π4，

∴1＋2sin θcos θ＝16

9，

∴2sin θcos θ＝7

9，

故sin θ－cos θ＝－（sin θ－cos θ）2 ＝－1－2sin θ·cos θ ＝－2

3，故选C.]

6．函数y ＝tan(sin x )的值域是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤

－π4，π4

B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤

－22，22

C ．[]－tan 1，tan 1

D ．[]－1，1

C [sin x ∈[－1，1]，又－π2＜－1＜1＜π2，且y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫

－π2，π2上是增函数，

所以y min ＝tan(－1)＝－tan 1，y max ＝tan 1.]

7．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，

再将所得的图象向左平移π

3个单位，得到的图象对应的解析式为( )

A ．y ＝sin 1

2x

B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

12x －π2

C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

12x －π6

D ．y ＝sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x －π6 C [函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍可得y ＝

sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

12x －π3，再将所得的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝

⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫12x －π6.] 8．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x －π4在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间是( ) A ．⎣⎢⎡

⎦⎥⎤0，π8

B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤

π8，π2

C ．⎣⎢⎡

⎦

⎥⎤0，3π8

D ．⎣⎢⎡⎦

⎥⎤3π8，π2

C [令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )得k π－π8≤x ≤k π＋3π

8(k ∈Z )，k ＝0时，x

∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8，又x ∈⎣⎢⎡

⎦

⎥⎤0，π2， ∴x ∈⎣⎢⎡

⎦

⎥⎤0，3π8，故选C.]

9．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的一段图象如图所示，则函数的解析式为( )

A ．y ＝2sin ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫2x －π4

B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4或y ＝2sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x ＋3π4 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x ＋3π4

D ．y ＝2sin ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫2x －3π4

C [由图可知A ＝2，4⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋π8＝2π

ω得ω＝2，

且2×⎝ ⎛⎭⎪⎫

－π8＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )

∴φ＝2k π＋3π

4(k ∈Z )， 又∵|φ|＜π， ∴φ＝3π

4，故选C.]

10．如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )

C [∵P 0(2，－2)，∴∠P 0Ox ＝π

4.

按逆时针转时间t 后得 ∠POP 0＝t ，∠POx ＝t －π

4. 此时P 点纵坐标为2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

t －π4，

∴d ＝2⎪⎪⎪⎪

⎪⎪

sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π4.

当t ＝0时，d ＝2，排除A ，D ； 当t ＝π

4时，d ＝0，排除B.]

11．设α是第三象限的角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪

cos α2＝－cos α2，则α2的终边所在的象限是( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 B [∵α是第三象限的角， ∴π＋2k π＜α＜3π

2＋2k π，k ∈Z . ∴π2＋k π＜α2＜3π

4＋k π，k ∈Z . ∴α

2在第二或第四象限． 又∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪

cos α2＝－cos α2，

∴cos α

2＜0.

∴α

2是第二象限的角．]

12．化简1＋2sin （π－2）·cos （π－2）得( )

A ．sin 2＋cos 2

B ．cos 2－sin 2

C ．sin 2－cos 2

D ．±cos 2－sin 2 C [1＋2sin （π－2）·cos （π－2） ＝1＋2sin 2·（－cos 2） ＝（sin 2－cos 2）2， ∵π

2＜2＜π，∴sin 2－cos 2＞0. ∴原式＝sin 2－cos 2.]

13．同时具有下列性质的函数可以是( ) ①对任意x ∈R ，f (x ＋π)＝f (x )恒成立； ②图象关于直线x ＝π

3对称； ③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤

－π6，π3上是增函数．

A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6

B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x －π6

C ．f (x )＝cos ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x ＋π3

D ．f (x )＝cos ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫2x －π6

B [依题意知，满足条件的函数的周期是π，图象以直线x ＝π

3为对称轴，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤

－π6，π3上是增函数．对于A 选项，函数周期为4π，因此A 选项不符合；对于C 选项，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－1，但该函数在⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

－π6，π3上不是增函数，因此C 选项不符合；对于D 选