1 数制和码制
1章数制与编码1
按权展开法：
例如：(11010.101)2=1×24+1×23+0×22+1×21+0×20 +1×2-1+0×2-2+1×2-3
=16+8+2+0.5+0.125 =(26.625)10 十进制数转换成二进制数时，将待转换的数分成整数部
分和小数部分，并分别加以转换。一个十进制数可写成： (N)10=(整数部分)10 . (小数部分)10 转换时，首先将(整数部分)10转换成(整数部分)2； 然
具体转化法：
2 58
2 29
2 14
27
23
21
0
k0=0 k1=1 k2=0 k3=1 k4=1 k5=1
632.45 = 6x102+3x101+2x100+4x10-1+5x10-2 一般说来，对于任意一个十进制数N，可用位置
计数表示如下： （N）10=( kn-1kn-2 … k1k0 .k-1k-2 … k-m ）10
按权展开
的表示法：
(N)10=kn-1×10n-1+kn-2×10n-2+ … k1×101+k0 ×100 + K1 ×10-1 … K-m ×10-m
十进制数的表示
原则上说，一个数可以用任何一种进位计数制来 表示和运算，但不同数制其运算方法及难易程度 互不相同。选择什么样的进位计数制来表示数， 对数字系统的性能影响很大。例如：
632.45 = 6x102+3x101+2x100+4x10-1+5x10-2 一般说来，对于任意一个十进制数N，可用位置
=∑ki×10i (i=-m ∼ n-1） 1.1.2 二进制数的表示
1数制与编码
二进制数的特点: 二进制数的特点:
• 只有两个数码, 很容易用物理器件来实现。 • 运算规则简单。 • 可使用逻辑代数这一数学工具。 • 节省设备
个信息量。 例：如需表示数字0～999，共有 如需表示数字 ～ ，共有1000个信息量。 个信息量 十进制： 个数字， 个数字设备。 十进制：用3位，每位 个数字，共需 个数字设备。 位 每位10个数字 共需30个数字设备 二进制： 个数字， 个数字设备。 二进制：用10位，每位 个数字，共需 个数字设备。 位 每位2个数字 共需20个数字设备
=
n −1 i =−m
Σ
ki × R i
⒈ R＝2 二进制
数码个数2个： 0,1 数码个数 个 计数规律: 计数规律
例：
逢二进 1,借一当 2
权值一般 用十进制 表示
(11011.01)2 = 1×24+1×23 +0×22+1×21+1×20 +0×2-1 +1×2-2 ＝1×(10)100+1×(10)11 +0×(10)10+1×(10)1+1 ×(10)0 + 0×(10)-1 +1×(10)-10
…
三、混合法 (α → 10→ β)
(N)α → → → →
多项式替代法
(N)10 → → → → (N)β
基数乘除法
例: (2022)3→( 解:
)8
(2022)3 =2×33 +0×32+2×31+2×30 = (62)10= (76)8
四、直接转换法(α＝βK ，α K ＝β)
一般在二、 一般在二、八、十六进制之间转换
二、基数乘除法（ 10 → R ）
第1章 数和码制
*微机组成：CPU、MEM、I/O微机的基本结构微机原理(一)：第一章数制和码制§1.1 数制(解决如何表示数值的问题)一、数制表示1、十进制数表达式为：A ＝∑-=•110 nmi iAi如：（34.6）10＝ 3×101 + 4×100 + 6×10-1 2、X进制数表达式为：B ＝∑-=•1 NM iiX Bi如：（11.01）2＝ 1×21 + 1×20 + 0×2-1+ 1×2-2（34.65）16＝ 3×161 + 4×160 + 6×16-1+ 5×16-2X进制要点：X为基数，逢X进1，X i为权重。
（X个数字符号：0，1，…，X-1）区分符号：D-decimal (0-9)，通常D可略去，B-binary (0-1)，Q-octal (0-7)，H-hexadecimal (0-9, A-F)常用数字对应关系：D: 0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10， 11，12， 13，14，15B：0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111H: 0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， A， B， C， D， E， F二、数制转换1、X →十方法：按权展开，逐项累加。
如： 34.6 Q＝ 3×81 + 4×80 + 6×8-1 = 24 + 4 + 0.75 = 28.75 D2、十→X即：A十进制＝B X进制令整数相等，即得：A整数＝（B N-1·X N-1 + … + B1·X1）+ B0·X0此式一次除以X可得余数B0，再次除以X可得B1，…，如此直至得到B N-1令小数相等，即得：A小数＝B-1·X-1 +（B-2·X-2 + … + B-M·X-M）此式一次乘X可得整数B-1，再次乘X可得B-2，…，如此直至得到B-M.归纳即得转换方法：除X取余，乘X取整。
1数制和码制2012解析
二、数字电路的特点
u
t
（1）在数字电路中，研究的主要问题是电路的逻辑功 能，即输入信号的状态和输出信号的状态之间的关系。 （2）工作信号是二进制的数字信号，在时间上和数值 上是离散的（不连续），反映在电路上就是低电平和 高电平两种状态（即0和1两个逻辑值）。 （3）对组成数字电路的元器件的精度要求不高，只 要在工作时能够可靠地区分0和1两种状态即可。
2、二进制 数码为：0、1；基数是2。 运算规律：逢二进一，即：1＋1＝10。 二进制数的权展开式： (101.01)2＝ 1× 22
( N )B
＋0×21＋1×20＋0×2－1＋1
i
i K 2 i
× 2－ 2
各数位的权是２的幂
二进制数只有0和1两个数码,它的每一位都可以用电子元件 来实现，且运算规则简单，相应的运算电路也容易实现。
0000 0001 0010 0011 0100 1000 1001 1010 1011 1100
0000 0001 0010 0011 0100 1011 1100 0111 1000 1001
5. 正负数的代码
数字电路中用附加的符号位表示数的正负，符号位 加在数值的最高位。规定负数用1表示，正数用0表示。
+13 0 01101 1 10110 -10 +3 （1） 0 00011
1 10011 -13 1 10110 -10 1 01001 -23 （1）
在两个同符号所能表示的 最大值，否则会得出错误的计算结果。
作业题
1.1 单号题 1.5 单号题 1.24 单号题
• 格雷码是一种循环码，其特点是任何相邻的两个码字， 仅有一位代码不同，其它位相同。也叫反射码。
第1次课——第1章 数制和码制
27. 125 10 1B.216
第1章 逻辑代数基础
二进制转换成十进制的方法：
将二进制数按权展开后，按十进制数相加。 【例】 将二进制数（11001101.11）2 转换为等值的十进制数。 解: 二进制数（11001101.11）2 各位对应的位权如下: 位权:27 26 25 24 23 22 21 20 2-1 2-2 二进制数:1 1 0 0 1 1 0 1. 1 1 等值十进制数为: 27 + 26 + 23 + 22 + 20 + 2-1 + 2-2 =128 + 64 + 8 + 4 + 1 + 0.5 + 0.25 = (205.75)10
第1章 逻辑代数基础
例如：
. 110110012 1 24 1 23 0 22 1 21 1 20 0 2-1 0 2-2 1 2-3 27.12510
八进制转换成十进制的方法：
将八进制数按权展开后，按十进制数相加。 例如：
33.18 3 81 3 80 1 8-1 27.12510
思考(0.0376)10 转换为十进制数？（保留小数点后8位有效数字）
第1章 逻辑代数基础
十进制转换成八进制的方法：
整数部分除以8，取余数，读数顺序从下往上； 小数部分乘以8，取整数，读数顺序从上至下。
例： (27.125) 10 ＝ (33.1) 8
第1章 逻辑代数基础
十进制转换成十六进制的方法：
解：转换过程如下: 二进制数： 1110
2-数据表示
计算机中数据的表示方法
数值数据：表示数的大小 非数值数据：(符号和文字)
1.1 数制和码制
1.1.1 数制 每位数码的构成方法以及进位规则称数制。 进位记数制三要数：数码、位权、基数 1）十进制 每位：0 - 9十个数码 进位规则 ：逢十进一 例如： （143.75 ）10 = 1×10² +4×10¹ +3×10°+7×10－1 + 5×10－ 2
• 正数的补码符号位为0，数值部分就是真值。 • 负数的补码符号位为1，数值部分可由真值的数 值部分按位取反，末位加一得到。（定长，补足 位数）
• （2）由补码求真值
– 规则：若补码的符号位为0，则真值为正， 真值的数值部分等于补码的数值部分；若补 码的符号位为1，则真值为负，真值的数值 部分由补码的数值部分求补得到。（证明） – 例：x补 = 00110100 x补 = 1011 0100
0 x (2 n-1 - 1) -(2 n-1 - 1) x 0
– n位定点小数原码： x [x]原 = 1 +|x|
0 x (1 - 2 -（n-1）) - (1 - 2 -（n-1）) x 0
例：
X=+0.1011 X=-0.1011
[X]原=0.1011 [X]原=1.1011
• 浮点数是小数点位置可以改变的数，包 含尾数和阶码 • 一个尾数长n位，阶码长m位的二进制浮 点数可表示为：
m位阶码数码位 n位尾数数码位
Ef E1
阶符
E m-1 E
m
M M1
f
M n-1 M n
阶码小数点 尾数小数点 位置（隐含） 位置（隐含）
数符
举例
• 将x = 2-11 ( - 0.1010)写成机器数形式。共占8位，E占3 位，M占5位（各含1位符号位）。 • 原码
第一章 数制与码制
五、八进制数与二进制数的转换
例：将(011110.010111)2化为八进制
例：将(52.43)8化为二进制
(5 2 . 4 3)8
(101
010 . 100
011 ) 2
《数字电子技术基础》第五版
六、十六进制数与十进制数的转换
十六进制转换为十进制
D
K i 16
i
K ( 0 ,1 15 )
1
2 3 4 5 6 7 8 9
0001
0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001
0100
0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100
0001
0010 0011 0100 1011 1100 1101 1110 1111
0001
0100 0101 0111 1000 1001 1100 1101 1111
0110
0111 0101 0100 1100 1101 1111 1110 1010
特点：1.每一位的状态变化都按一定的顺序循环。 2.编码顺序依次变化，按表中顺序变化时，相邻代码 只有一位改变状态。 应用：减少过渡噪声
编码顺 序 0 1 2 3 4 5 6 7 二进制 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 格雷码 0000 0001 0011 0010 0110 0111 0101 0100 编码顺序 8 9 10 11 12 13 14 15 二进制码 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 格雷码 1100 1101 1111 1110 1010 1011 1001 1000
第1章 数制和码制ppt
21 2 157 128 29 16 13 8 5 4 1 1 0
22 4 27 24 23 22 20
23 8
24 16
25 32
26
27
28
29
210
64 128 256 512 1024
28 = 256 > 157 > 27 = 128
2 = 32 > 29 > 2 = 16
5 4
2 4 = 16 > 13 > 2 3 = 8
CopyRight @安阳师范学院物理与电气工程学院_2011
几种常用的BCD码 码 几种常用的 十进制数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 权 8421码 余3码 码 码 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 8421 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 2421码 码 0000 0001 0010 0011 0100 1011 1100 1101 1110 1111 2421 5211码 码 0000 0001 0100 0101 0111 1000 1001 1100 1101 1111 5211
1. (1001)8421BCD=( ? )10 (1001)8421BCD=1×8+0×4+0×2+1×1=(9)10 2. (1011)2421BCD=( ? )10 (1011)2421BCD=1×2+0×4+1×2+1×1=(5)10
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i =− m n −1
∑
01数制与码制(数字电子技术)
第1章数制与码制1.1 概述电子信号可用于表示任何信息，如符号、文字、语音、图像等，从表现形式上可归为两类：模拟信号和数字信号。
模拟信号的特点是时间和幅度上都连续变化（连续的含义是在某一取值范围内可以取无限多个数值）。
交流放大电路的电信号就是模拟信号，如图1-1所示。
我们把工作在模拟信号下的电子电路称为模拟电路。
数字信号是时间和幅度上都不连续变化的离散的脉冲信号，例如图1-2所示。
用数字信号对数字量进行算术运算和逻辑运算的电路称为数字电路，或数字系统。
由于它具有逻辑运算和逻辑处理功能，所以又称为数字逻辑电路。
图1-1 图1-2数字电路通常是根据脉冲信号的有无来进行工作的，而与脉冲幅度无关，所以抗干扰能力强、准确度高。
虽然数字信号的处理电路比较复杂，但因信号本身的波形十分简单，只有两种状态—有或无，在电路中具体表现为高电位和低电位（通常用1和0表示），所以用于数字电路的半导体管不是工作在放大状态而是工作在开关状态，要么饱和导通，要么截止，因此制作时工艺要求相对低，易于集成化。
随着数字集成电路制作技术的发展，数字电路在通信、计算机、自动控制、航天等各个领域获得了广泛的应用。
数字信号通常都是用数码表示的。
数码不仅可以用来表示数量的大小，还可以用来表示事物或事物的不同状态。
用数码表示数量大小时，需要用多位数码表示。
通常把多位数码中每一位的构成方法及从低位到高位的进位规则称为数制。
在用于表示不同事物时，这些数码已经不再具有表示数量大小的含义，它们只是不同事物的代号。
比如，我们每个人的身份证号码，这些号码仅仅表示不同对象，没有数量大小的含义。
为了便于记忆和查找，在编制代码时总要遵循一定的规则，这些规则就称为码制。
考虑到信息交换的需要，通常会制定一些大家共同使用的通用代码。
例如：目前国际上通用的美国信息交换标准代码（ASCII码，见本章第1.5节）就属于这一种。
数字电子技术1.2 几种常用的数制任何一个数都可以用不同的进位体制来表示，但不同进位计数体制的运算方法和难易程度各不相同，这对数字系统的性能有很大影响。
数制和码制
十进制转换为R进制: 需要将整数部分和小数部 分分别进行转换，然后再将它们合并起来。
整数依次除以R，用余数构成各位。 小数依次乘以R，用积的整数部分构成各位。 小数部分的转换有一个精度问题，不可能都十分准确 只要满足所提要求即可。 例如要求精度为 0.1% ，二进制数的小数点后第九位为 1 / 512，第十位为 1/ 1024。所以要保留到小数点后第 十位，第九位达不到要求，第十一位太多了。
结论： 1）减法运算=两数的补码相加 例如：13－10 这样的减法运算等价于13的补码与－10 的补码相加 2）两个加数的符号位、最高有效数字位的进位 这三 个数相加，得到的结果就是和的符号位。
1.5 几种常用的编码
一、十进制代码 我们常用的数字1、2、3……9、0 通常有两大用途： 表示大小： 10000（一万）， 8848米。 表示编码：000213班， 8341部队。 我们习惯使用十进制，计算机硬件却是基于二进制的 ，所以我们需要考虑： 如何用二进制编码来表示十进制的十个码元0 ~ 9？
低位
所以：(44.375)10＝(101100.011)2
采用基数连除、连乘法，可将十进制数转换为任意的N进制数。
二、二进制数与八进制数的相互转换
（1）二进制数转换为八进制数： 将二进制数由小数点开始， 整数部分向左，小数部分向右，每3位分成一组，不够3位补 零，则每组二进制数便是一位八进制数。
0 0 1 1 0 1 0 1 0. 0 1 0
0.375 × 2 整数 0.750 „„„ 0=K－1 0.750 × 2 1.500 „„„ 1=K－2 0.500 × 2 1.000 „„„ 1=K－3 高位
22 „„„ 0=K0 11 „„„ 0=K1 5 „„„ 1=K2 2 „„„ 1=K3 1 „„„ 0=K4 0 „„„ 5 1=K 高位
数字电路 第一章数制和码制
（ 0 1 1 0 1 0 1 0 . 0 1 )2
0
0
（2）八进制数转换为二进制数：将每位八进制数 用3位二进制数表示。
＝ (152.2)8
(
3
7
4 .
2
6)8
= （ 011 111 100 . 010 110）2
十六－二转换
二进制数与十六进制数的相互转换，按照每4位二进制数 对应于一位十六进制数进行转换。
( N )R
i m
a R
i
n 1
i
1 原码
又称"符号+数值表示", 对于正数, 符
号位为0, 对于负数、符号位为1, 其余各 位表示数值部分。
例： N1 = +10011
[ N1]原= 010011
N2 = – 01010
[N2]原= 101010
原码表示的特点: 真值0有两种原码表示形式, 即 [ +0]原= 00…0 [– 0]原= 1 0…0
求[ N1 +N2]原，绝对值相减，有
[ N1 +N2]原＝01000
二、反码运算
[ N1 +N2]反＝ [ N1]反+ [ N2]反
[ N1 －N2]反＝ [ N1]反+ [－ N2]反 当符号位有进位时，应在结果的最低位 再加"1".
例： N1 =－0011，N2 = 1011求[ N1 +N2]反 和 [ N1 －N2]反。
N10
i m
K i 10i
n 1
式中Kｉ为基数10的ｉ次幂的系数，它可为0～9 中的任一个数字。
如 .58)10 2 102 3 101 4 100 5 101 (234 102 8
1-1-数制与码制概述
3
• 数码表示状态
• 用数码表示不同事物或同一事物的不同状态 时，数码已经不再具有表示数量大小的含义， 而只是不同事物、不同状态的代号，我们称 为代码。
• 代码编制时要遵循一定的规则，称为码制。
4
1.1 数制与码制概述
• 数码
• 数码是数字电路处理的各种数字信号的形式。 数码可以用来表示数量的大小，也可以用来 表示不同事物或同一事物的不同状态。
2
• 数码表示数量
• 用数码表示数量大小时，需要用到进位计数 制组成多位数码使用。多位数码中每一位的 构成方法和从低位到高位的进位规则称为数 制。
计算机中的数制和码制教案
计算机中的数制和码制教案第一章：数制的基本概念1.1 数制的定义和分类了解数制的概念，掌握常见的数制及其特点二进制、八进制、十进制、十六进制的表示方法1.2 数制的转换方法掌握不同数制之间的转换方法，包括逢十进一、借一当二等练习不同数制之间的转换题目第二章：二进制与计算机2.1 二进制的基本概念了解二进制的定义，掌握二进制的表示方法掌握二进制的运算规则，包括加、减、乘、除等2.2 二进制与计算机的关系了解计算机为什么使用二进制，掌握二进制在计算机中的作用练习二进制运算题目，加深对二进制的理解第三章：十六进制与计算机3.1 十六进制的基本概念了解十六进制的定义，掌握十六进制的表示方法掌握十六进制的运算规则，包括加、减、乘、除等3.2 十六进制与计算机的关系了解计算机中十六进制的作用，掌握十六进制在计算机中的应用练习十六进制运算题目，加深对十六进制的理解第四章：字符编码4.1 字符编码的基本概念了解字符编码的定义，掌握字符编码的作用掌握常见的字符编码方式，如ASCII码、Uni码等4.2 字符编码的转换方法掌握字符编码之间的转换方法，包括编码与解码等练习字符编码的转换题目，加深对字符编码的理解第五章：计算机中的数据表示5.1 数据表示的基本概念了解数据表示的定义，掌握数据表示的方法掌握不同数据类型的表示方式，如整数、浮点数、字符等5.2 数据表示的转换方法掌握不同数据类型之间的转换方法，包括数据压缩、数据扩展等练习数据表示的转换题目，加深对数据表示的理解第六章：计算机中的逻辑运算6.1 逻辑运算的基本概念了解逻辑运算的定义，掌握逻辑运算的类型，如与、或、非等掌握逻辑运算的规则和真值表6.2 逻辑运算在计算机中的应用了解逻辑运算在计算机中的作用，掌握逻辑运算在计算机电路和算法中的应用练习逻辑运算题目，加深对逻辑运算的理解第七章：计算机中的算术运算7.1 算术运算的基本概念了解算术运算的定义，掌握算术运算的类型，如加、减、乘、除等掌握算术运算的规则和优先级7.2 算术运算在计算机中的应用了解算术运算在计算机中的作用，掌握算术运算在计算机中的实现方法练习算术运算题目，加深对算术运算的理解第八章：计算机中的数据存储8.1 数据存储的基本概念了解数据存储的定义，掌握数据存储的方式，如内存、硬盘等掌握数据存储的原理和存储单元的概念8.2 数据存储在计算机中的应用了解数据存储在计算机中的作用，掌握数据存储在计算机中的管理方法练习数据存储相关题目，加深对数据存储的理解第九章：计算机中的数据传输9.1 数据传输的基本概念了解数据传输的定义，掌握数据传输的方式，如并行传输、串行传输等掌握数据传输的速率和传输协议的概念9.2 数据传输在计算机中的应用了解数据传输在计算机中的作用，掌握数据传输在计算机中的实现方法练习数据传输相关题目，加深对数据传输的理解回顾本教案的主要内容，巩固所学知识10.2 拓展探索数制、码制和数据表示在计算机领域的应用和发展趋势推荐相关学习资源，鼓励进一步学习和研究重点和难点解析重点一：数制的转换方法数制转换是理解计算机内部数据处理的基础，学生需要掌握不同数制之间的转换规则。
数字逻辑电路第1章 数制和码制
第1章 逻辑代数基础
287 17 16 17 1 16 1 0 16
余数
F
1
1
MSB← 1 1 F →LSB
因此，对应的十六进制整数为11FH。
第1章 逻辑代数基础
进行小数部分转换时，先将十进制小数乘以 16 ，
积的整数作为相应的十六进制小数，再对积的小数部 分乘以16。如此类推，直至小数部分为0，或按精度要 求确定小数位数。第一次积的整数为十六进制小数的 最高有效位，最后一次积的整数为十六进制小数的最 低有效位。 【例1.9】 将0.62890625D转换为十六进制数。 解：转换过程如下:
第1章 逻辑代数基础
4) 十—八转换
将十进制数转换为八进制数时，要分别对整数和 小数进行转换。进行整数部分转换时，先将十进制整 数除以8，再对每次得到的商除以8，直至商等于0为止。 然后将各次余数按倒序写出来，即第一次的余数为八 进制整数的最低有效位，最后一次的余数为八进制整 数的最高有效位,所得数值即为等值八进制整数。 【例1.5】 将1735D转换为八进制数。
第1章 逻辑代数基础
2) 二进制 基数R为2的进位计数制称为二进制（Binary），它 只有 0 和1 两个有效数码，低位向相邻高位“逢二进一， 借一为二”。二进制数一般用下标2或 B表示，如 1012， 1101B等。
3)八进制
基数R为8的进位计数制称为八进制（Oct al），它 有0、1、2、3、4、5、6、7共8个有效数码，低位向相 邻高位“逢八进一，借一为八”。八进制数一般用下 标8或O表示，如6178，547O等。
第1章 逻辑代数基础
第1章 逻辑代数基础
1.1
1.1.1 数字量和模拟量
概 述
在自然界中，存在着各种各样的物理量，这些物 理量可以分为两大类 :数字量和模拟量。数字量是指离 散变化的物理量，模拟量则是指连续变化的物理量。 处理数字信号的电路称为数字电路，而处理模拟信号
数字电子技术基础-第一章-数制和码制
②格雷码
自然二进制码
先将格雷码的最高位直接抄下，做为二进制 数的最高位，然后将二进制数的最高位与格雷码 的次高位异或，得到二进制数的次高位，再将二 进制数的次高位与格雷码的下一位异或，得二进 制数的下一位，如此一直进行下去，直到最后。
奇偶校验码
组成
信 息 码 ： 需要传送的信息本身。
1 位校验位：取值为 0 或 1，以使整个代码 中“1”的个数为奇数或偶数。
二、数字电路的特点
研究对象 输出信号与输入信号之间的逻辑关系
分析工具 逻辑代数
信 号 只有高电平和低电平两个取值
电子器件 工作状态
导通(开)、截止(关)
主要优点
便于高度集成化、工作可靠性高、 抗干扰能力强和保密性好等
1.1 数制和码制
主要要求：
掌握十进制数和二进制数的表示及其相互转换。 了解八进制和十六进制。 理解 BCD 码的含义，掌握 8421BCD 码， 了解其他常用 BCD 码。
(10011111011.111011)2 = ( ? )16
0100111111001111.111111001110 0
补 04 F B
E 补C 0
(10011111011.111011)2= (4FB.EC)16
十六进制→二进制 :
每位十六进制数用四位二进
制数代替，再按原顺序排列。
(3BE5.97D)16 = (11101111100101.100101111101)2
0000
0000
0011
1
0001 0001
0001
0001
0100
2
0010 0010
0010
0010
0101
第一章数制和码制
第⼀章数制和码制第⼀章数制和码制本章教学⽬的、要求：1．掌握⼆进制、⼋进制、⼗进制、⼗六进制及其相互转换。
2．掌握原码、反码、补码的概念及转换，了解⼆进制补码的运算。
3．理解常⽤8421BCD 码和可靠性代码。
重点：不同进制数间的转换。
难点：补码的概念及⼆进制补码的运算。
第⼀节概述(⼀)数字量与模拟量数字量：物理量的变化在时间上和数量上都是离散的。
它们数值的⼤⼩和每次变化的增减变化都是某⼀个最⼩数量单位的整数倍，⽽⼩于这个最⼩数量单位的数值没有任何物理意义。
例如：统计通过某⼀个桥梁的汽车数量，得到的就是⼀个数字量，最⼩数量单位的“1”代表“⼀辆”汽车，⼩于1的数值已经没有任何物理意义。
数字信号：表⽰数字量的信号。
如矩形脉冲。
数字电路：⼯作在数字信号下的电⼦电路。
模拟量：物理量的变化在时间上和数值上都是连续的。
例如：热电偶⼯作时输出的电压或电流信号就是⼀种模拟信号，因为被测的温度不可能发⽣突跳，所以测得的电压或电流⽆论在时间上还是在数量上都是连续的。
模拟信号：表⽰模拟量的信号。
如正弦信号。
模拟电路：⼯作在模拟信号下的电⼦电路。
这个信号在连续变化过程中的任何⼀个取值都有具体的物理意义，即表⽰⼀个相应的温度。
(⼆)数字信号的⼀些特点数字信号通常都是以数码形式给出的。
不同的数码不仅可以⽤来表⽰数量的不同⼤⼩，⽽且可以⽤来表⽰不同的事物或事物的不同状态。
tu t第⼆节⼏种常⽤的数制数制：把多位数码中每⼀位的构成⽅法以及从低位到⾼位的进位规则称为数制。
在数字电路中经常使⽤的计数进制有⼗进制、⼆进制和⼗六进制。
有时也⽤到⼋进制。
⼀、⼗进制数(Decimal)⼗进制是⽇常⽣活中最常使⽤的进位计数制。
在⼗进制数中，每⼀位有0~9⼗个数码，所以计数的基数是10。
超过9的数必须⽤多位数表⽰，其中低位和相邻⾼位之间的进位关系是“逢⼗进⼀”。
任意⼗进制数 D 的展开式：i i k D 10∑= k i 是第 i 位的系数，可以是0~9中的任何⼀个。
1 数制与码制
例：
9 1 0 1 =1⋅2 +0⋅2 +0⋅2 +1⋅2 +1⋅2 =1 10 012 2 1 0 − 1 − 2 − 3 1 10 1 =1⋅2 +0⋅2 +1⋅2 +0⋅2 +0⋅2 +1⋅2 0. 02
4 3 2 1 0
1 E 16 =1⋅1 3 +1 ⋅1 2 +1 ⋅1 1 +8⋅1 0=7 0 10 C8 6 2 6 4 6 6 40 2 1 0 − 8. 21 4 65 =4⋅8 +3⋅8 +6⋅8 +5⋅8 1=2 66 50 3. 8
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1.4 二进制算术运算
4.除法运算 除法运算 二进制除法运算法则（ 条 二进制除法运算法则（3条）： ① 0÷0＝0 ÷ ＝ ② 0÷1＝0 ÷ ＝ ③ 1÷1＝1 ÷ ＝ 例：求(100100.01)2÷(101)2＝? ÷ ＝ 111.01 101 ) 100100.01 -) 101 1000 可见， 可见，二进制除法运算可归结为 -) 101 减法与移位” “减法与移位”。 110 -) 101 101 -) 101 0 则(100100.01)2÷(101)2＝(111.01)2 ÷ ＝
i =− n
∑
i
例： 1B.2 )16 = 1 × 161 + B × 160 + 2 × 16-1 (
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1.3 不同数制间的转换
1. 二、八、十六进制到十进制的转换
D=∑i ⋅ri =cp−1⋅rp−1 +cp−2 ⋅rp−2 +L c ⋅r0 +L c n ⋅r−n c +0 +−
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结论： 结论： 一般地， 进制需要用到 个数码， 进一。 ①一般地，R进制需要用到R个数码，基数是R ；运算规律为逢R进一。 ②如果一个R进制数M包含ｎ位整数和ｍ位小数，即 进制数 包含ｎ位整数和ｍ位小数， 包含 (M)R ＝ (an-1 an-2 … a1 a0 · a－1 a－2 … a－m)R a－2 × R -2＋… ＋a－m× R –m ＝ n −1 ∑ ai × R i i＝ − m R
3．补码 ． 正数的补码与其原码相同；负数的补码为其绝对值按位求反后在 正数的补码与其原码相同；负数的补码为其绝对值按位求反后在 最低位加1， 反码加1 最低位加 ，即反码加 。 [-57]补=（1100 0111）2 例：[+57]补=（0011 1001）2 补 （ ） 补 （ ）
正数：原码＝反码＝ 正数：原码＝反码＝补码 负数： 负数： 原码
[107－79] 补 = [107]补 + [－79] 补 = (01101011)2 + (10110001)2 － － 01101011 ＋ 10110001 100011100 自动丢弃 107－79 = (00011100)补 = (00011100)原 － = (+28)10
返回
= (0 0011100)2
(25)10=(11001)2 (25.638)10=(11001.1010)2 (0.638)10=(0.1010)2
1.3 不同数制间的转换
三、二进制数和八进制数、十六进制数间的转换 二进制数和八进制数、 八进制数和十六进制数的基数分别为 8=23，16=24， 所以三位二进制数恰好相当一位八进制数，四位二进制数 所以三位二进制数恰好相当一位八进制数， 相当一位十六进制数， 它们之间的相互转换是很方便的。 相当一位十六进制数， 它们之间的相互转换是很方便的。
返回
1.4 二进制算术运算
两个表示数量大小的二进制数码之间进行的数值运算。 算术运算：两个表示数量大小的二进制数码之间进行的数值运算。
1.4.1 二进制算术运算的特点
二进制数的运算规则 0＋0 = 0 ＋ 0－0 = 0 － 0×0 = 0 × 0＋1 = 1 ＋ 0－1 = 1（借位） － （借位） 0×1 = 0 × 1＋0 = 1 ＋ 1－0 = 1 － 1×0 = 0 × 1＋1 = 10 ＋ 1－1 = 0 － 1×1 = 1 ×
(12.4)8 = 1× 81 + 2 × 80 + 4 × 8−1 = 8 + 2 + 0.5 = (10.5)10
(2 A.7 F )16 = 2 × 161 + 10 × 16 0 + 7 × 16 −1 + 15 × 16 −2 = (42.4960937)10
数制转换：任意进制按权展开即可得到十进制数。 数制转换：任意进制按权展开即可得到十进制数。
按位取反
反码
原码
按位取反加1 按位取反加
补码
例：利用二进制补码运算求（107）10－（ ）10的值。 利用二进制补码运算求（ ） －（79）
解： (107)10 = (1101011)2 (－79)10 = (－1001111)2 － － [107]补 = (0 1101011)2 [－79]补 = (1 0110001)2 －
1.3 不同数制间的转换 例: 求(375.46)8 = (?)2
八进制 3 7
(67 6
二进制 011 111 101.100 110 所以 (375.46)8 = (011111101.100110)2 十六进制 6 7 8 . A 5
二进制 0110 0111 1000 . 1010 0101 所以 (678.A5)16 = (1100111100010100101)2
1.2 几种常用的数制
例： (143.75)10 (101.11)2 (12.4)8 (2A.7F)16
(143 . 75 )10
= 1 × 10 2 + 4 × 10 1 + 3 × 10 0 + 7 × 10 − 1 + 5 × 10 − 2 = (143 . 75 ) 10
(101.11) 2 = 1× 2 2 + 0 × 21 + 1× 20 + 1× 2 −1 + 1× 2 −2 = (5.75)10
1.3 不同数制间的转换 例: 求(1101111010.1011)2 = (?)8 = (?)16
二进制 001 101 111 010 . 101 100 7 2 . 5 4 八进制 1 5 所以 (01101111010.1011)2 = (1572.54) 8 二进制 0011 0111 1010 . 1011 十六进制 3 7 A . B 所以 (01101111010.1011)2 = (37A.B) 16
进行加、 除运算。 例4：对两个二进制数 ：对两个二进制数(1011)2和(0101)2进行加、减、乘、除运算。
解： 加法运算 1011 ＋0101 10000 即 (1011)2 + (0101)2 = (10000)2 减法运算 1011 －0101 0110 即 (1011)2 －(0101)2 = (0110)2
对于N个信息，要用几位的二进制数才能满足编码呢？ 对于 个信息，要用几位的二进制数才能满足编码呢？ 个信息
2n ≥ N
一、十进制代码 用4位二进制数b3b2b1b0来表示十进制数中的 0 ~ 9 十 位二进制数b 个数码。有多种编码方式。 个数码。有多种编码方式。
几种常见的十进制代码
编码 十进 种类 制数
1）2进制数转换为 进制、16进制数 ） 进制数转换为 进制、 进制数 进制数转换为8进制
三（四）位一组， 位一组， 不足右补零 三（四）位一组， 位一组， 不足左补零
.
小数点
2）8进制、16进制数转换为 进制数 ） 进制 进制、 进制数转换为 进制数转换为2进制数
8进制数 进制数 16进制数 进制数 2进制数：1位变 位 进制数： 位变 位变3位 进制数 2进制数：1位变 位 进制数： 位变 位变4位 进制数
乘法运算 1011 × 0101 1011 1011 110111 即 (1011)2×(0101)2 = (110111)2 .
除法运算
1 0. 0 0 1… 1 0 1 1 0 11 101 010 0 0 101 11
即 (1011)2÷(0101)2 = (10.001…)2
乘数为2 则小数点向右移 右移k 右边补零)即可得积； 注: 乘数为2k，则小数点向右移k位(右边补零)即可得积； 除数为2 则小数点向左移 位即可得商。 左移k 除数为2k，则小数点向左移k位即可得商。
－－－位置记数法
＝an-1× R n-1 ＋ an-2 × R n-2 ＋ … ＋a1× R 1＋ a0 × R 0＋a－1 × R -1＋
－－－按权展开法
1.2 几种常用的数制
几种进制数之间的对应关系
十进制数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 二进制数 00 0 00 00 0 01 00 0 10 00 0 11 00 1 00 00 1 01 00 1 10 00 1 11 01 0 00 01 0 01 01 0 10 01 0 11 01 1 00 01 1 01 01 1 10 01 1 11 八进制数 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17 十六进制数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
第一章 数制和码制
1.1 概述 1.2 几种常用的数制 1.3 不同数制间的转换 1.4 二进制算术运算 1.5 几种常用的编码 小结
1.1 概述
一、模拟信号和数字信号 • 模拟信号：在时间和数值上连续变化的信号。 模拟信号：在时间和数值上连续变化的信号。 －－时间上连续， －－时间上连续，幅值上也连续 时间上连续 例如：温度、正弦电压。 例如：温度、正弦电压。
如 (1011)2×(100)2 = (101100)2 (1011)2÷(100)2 = (10.11)2
1.4.2 反码、补码和补码运算 反码、
1．原码 ． 最高位为符号位， 表示正 表示负数； 最高位为符号位，用0表示正数，用1表示负数；数值部分用二进 表示 表示负数 制数的绝对值表示。 制数的绝对值表示。 [-57]原=（1011 1001）2 例：[+57]原=（0011 1001）2 原 （ ） 原 （ ） 2．反码 ． 正数的反码与原码相同； 正数的反码与原码相同；负数的反码为其原码除符号位外的各位 按位取反（ 变 ， 按位取反（0变1，而1变0）。 变 ）。 例：[+57]反=（0011 1001）2 反 （ ） [-57]反=（1100 0110）2 反 （ ）
1.5 几种常用的编码
数字系统只能识别0 数字系统只能识别0和1，怎样才能表示更多的数码、符 怎样才能表示更多的数码、 号和字母呢？用编码可以解决此问题。 号和字母呢？用编码可以解决此问题。 用一定位数的二进制数来表示十进制数码、字母、 用一定位数的二进制数来表示十进制数码、字母、符号 等信息称为编码。这一定位数的二进制数就称为代码 等信息称为编码。这一定位数的二进制数就称为代码。 编码 代码。
8421码 余3码 码 码 0 0000 0011 1 0001 0100 2 0010 0101 3 0011 0110 4 0100 0111 5 0101 1000 6 0110 1001 7 0111 1010 8 1000 1011 9 1001 1100 权 8421
2421码 5421码 余3循环码 码 码 循环码 0000 0000 0010 0001 0001 0110 0010 0010 0111 0011 0011 0101 0100 0100 0100 1011 1000 1100 1100 1001 1101 1101 1010 1111 1110 1011 1110 1111 1100 1010 2421 5421