人教新课标版-数学-高二(人教B版)选修2-2学案 数学归纳法

学习目标 1.了解数学归纳法的原理.2.掌握用数学归纳法证明等式、不等式等简单的数学命题．
知识点数学归纳法
在学校，我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下．
思考1试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？
思考2利用这种思想方法能解决哪类数学问题？
梳理(1)数学归纳法
一个与自然数相关的命题，如果①当n取____________时命题成立；②在假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝________时命题也成立，那么可以断定，这个命题对n取__________________的所有正整数成立．
(2)数学归纳法的框图表示
类型一 用数学归纳法证明等式 例1 用数学归纳法证明：
121×3＋223×5＋…＋n 2
(2n －1)(2n ＋1)＝n (n ＋1)2(2n ＋1).
反思与感悟 用数学归纳法证明与正整数有关的命题时，关键在于先“看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式两边会增加多少项；再“两凑”，将n ＝k ＋1时的式子转化成与归纳假设的结构相同的形式——凑假设，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需的形式——凑结论． 跟踪训练1 用数学归纳法证明当n ∈N ＋时，1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…
＋1
2n .
类型二 用数学归纳法证明不等式
例2 用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n >n ＋1
2(n ∈N ＋)．
反思与感悟 (1)验证第一个n 值时，要注意n 0不一定为1，若n >k (k 为正整数)，则n 0＝k ＋1.
(2)证明不等式的第二步中，从n ＝k 到n ＝k ＋1的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设．
(3)用数学归纳法证明与n 有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求
进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．
(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立得n＝k＋1时也成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等．
跟踪训练2证明不等式1＋1
2
＋
1
3
＋…＋
1
n
<2n(n∈N＋)．
类型三归纳—猜想—证明
例3已知数列{a n}中，a2＝a＋2(a为常数)，S n是{a n}的前n项和，且S n是na n与na的等差中项．
(1)求a1，a3；
(2)猜想a n的表达式，并用数学归纳法加以证明．
反思与感悟(1)“归纳—猜想—证明”的解题步骤
(2)归纳法的作用
归纳法是一种推理方法，数学归纳法是一种证明方法．归纳法帮助我们提出猜想，而数学归纳法的作用是证明猜想．“观察—猜想—证明”是解答与自然数有关命题的有效途径．
跟踪训练3设a>0，f(x)＝
ax
a＋x，令a1
＝1，a n＋1＝f(a n)，n∈N＋.
(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想{a n}的通项公式；
(2)用数学归纳法证明你的结论．
1．若命题A (n )(n ∈N ＋)在n ＝k (k ∈N ＋)时命题成立，则有n ＝k ＋1时命题成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N ＋)时命题成立，则有( ) A ．命题对所有正整数都成立
B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立
C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立
D ．以上说法都不正确
2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a 2n ＋1
＝1－a 2n ＋
21－a
(a ≠1)”．在验证n ＝1时，左端计算
所得项为( ) A ．1＋a B ．1＋a ＋a 2 C ．1＋a ＋a 2＋a 3
D ．1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4
3．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －
1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N ＋都成立，那么a ，b ，c 的值为( ) A ．a ＝12，b ＝c ＝1
4
B ．a ＝b ＝c ＝1
4
C ．a ＝0，b ＝c ＝1
4
D ．a ，b ，c 不存在
4．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋1
2n －1<n (n ∈N ＋，n >1)时，在第二步证明从n ＝k 到n ＝k
＋1不等式成立时，左边增加的项数为________． 5．请观察以下三个式子： (1)1×3＝1×2×9
6；
(2)1×3＋2×4＝2×3×11
6；
(3)1×3＋2×4＋3×5＝3×4×13
6
，
归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明该结论．
在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：
(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1.
(2)递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时，式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障．
(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明．
答案精析
问题导学 知识点
思考1 (1)第一辆自行车倒下．
(2)任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下导致后一辆一定倒下． 思考2 一些与正整数n 有关的问题． 梳理 (1)第一个值n 0 k ＋1 第一个值后面 题型探究
例1 证明 (1)当n ＝1时，12
1×3＝1×22×3成立．
(2)假设当n ＝k 时，等式成立，
即121×3＋223×5＋…＋k 2
(2k －1)(2k ＋1)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)
， 则121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)
2(2k ＋3)
，
即当n ＝k ＋1时，等式也成立．
由(1)(2)可得对于任意的n ∈N ＋等式都成立．
跟踪训练1 证明 ①当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝1
2.
左边＝右边，等式成立．
②假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时，等式成立， 即1－12＋13－14＋…＋12k －1－1
2k
＝
1k ＋1＋1k ＋2
＋…＋12k ，
当n ＝k ＋1时，
1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－1
2k ＋2 ＝1k ＋1＋1k ＋2
＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2
＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋(1k ＋1－1
2k ＋2) ＝
1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋1
2k ＋2
＝
1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋1
2(k ＋1)
.
∴当n ＝k ＋1时，等式也成立． 由①②可知，对一切n ∈N ＋等式成立．
例2 证明 ①当n ＝1时，左边＝1＋1
2，右边＝1＋12＝1，所以左边>右边，
即n ＝1时不等式成立．
②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时不等式成立， 即1＋12＋13＋…＋12k >k ＋1
2，
那么当n ＝k ＋1时，
有1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k
>
k ＋1
2＋2111222222
k k k k k k k ++⋅⋅⋅++++个
＝k ＋12＋2k
2k ＋2k ＝k ＋12＋12＝(k ＋1)＋12，
所以当n ＝k ＋1时，不等式成立．
由①②可知，当n ∈N ＋时，1＋12＋13＋…＋12n >n ＋12
.
跟踪训练2 证明 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝2.左边<右边，不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N ＋)时，不等式成立，即1＋12＋13＋…＋1
k
<2k . 则当n ＝k ＋1时， 1＋
12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1<2k ＋1
k ＋1
＝
2k ·k ＋1＋1
k ＋1
<(k )2＋(k ＋1)2＋1
k ＋1
＝
2(k ＋1)
k ＋1
＝2k ＋1. ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．
由(1)(2)可知，原不等式对任意n ∈N ＋都成立． 例3 解 (1)由已知2S n ＝na n ＋na ＝n (a n ＋a )． 当n ＝1时，S 1＝a 1，所以2a 1＝a 1＋a ，即a 1＝a ；
当n ＝3时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3， 所以有2(a 1＋a 2＋a 3)＝3(a 3＋a )， 因为a 2＝a ＋2，a 1＝a ，所以a 3＝a ＋4. (2)由a 1＝a ，a 2＝a ＋2，a 3＝a ＋4， 猜想：a n ＝a ＋2(n －1)．
证明：①当n ＝1时，左边＝右边，等式成立； 当n ＝2时，由a 2＝a ＋2知，等式也成立． ②假设当n ＝k (k ≥2)时，等式成立， 即a k ＝a ＋2(k －1)． 那么当n ＝k ＋1时，
a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝a k ＋1＋a 2·(k ＋1)－a k ＋a
2·k ，
所以2a k ＋1＝(a k ＋1＋a )(k ＋1)－(a k ＋a )·k . 所以(k －1)a k ＋1＝ka k －a .
当k ≥2时，a k ＋1＝k k －1a k －a
k －1，
将a k ＝a ＋2(k －1)代入，得 a k ＋1＝k k －1－a
k －1
＝
(k －1)a ＋2k (k －1)
k －1
＝a ＋2．
所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．
由①②知，对任意n ∈N ＋，等式a n ＝a ＋2(n －1)都成立． 跟踪训练3 解 (1)因为a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )， 所以a 2＝f (a 1)＝f (1)＝a
a ＋1，
a 3＝f (a 2)＝f (a a ＋1)＝a ·a a ＋1a ＋a a ＋1＝a
a ＋2，
a 4＝f (a 3)＝f (a a ＋2)＝a ·a a ＋2a ＋a a ＋2＝a
a ＋3，
猜想a n ＝a
a ＋(n －1)(n ∈N ＋)．
(2)①易知当n ＝1时，结论成立；
②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，猜想成立，
即a k ＝
a
a ＋(k －1)
.
则当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝f (a k )＝a ×
a
a ＋(k －1)
a ＋
a
a ＋(k －1)
＝a a ＋(k －1)＋1＝a
a ＋k
＝
a
a ＋[(k ＋1)－1]
，
即当n ＝k ＋1时，猜想也成立．
由①②知，对一切n ∈N ＋，都有a n ＝a
a ＋(n －1).
当堂训练
1．C 2.C 3.A 4.2k
5．解 结论：1×3＋2×4＋3×5＋…＋n (n ＋2) ＝
n (n ＋1)(2n ＋7)
6
.
证明：①当n ＝1时，左边＝3，右边＝3，所以命题成立； ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，命题成立， 即1×3＋2×4＋3×5＋…＋k (k ＋2)＝k (k ＋1)(2k ＋7)
6，
则当n ＝k ＋1时，
1×3＋2×4＋…＋k (k ＋2)＋(k ＋1)(k ＋3) ＝k (k ＋1)(2k ＋7)
6＋(k ＋1)(k ＋3)
＝k ＋16
(2k 2
＋7k ＋6k ＋18) ＝k ＋16
(2k 2
＋13k ＋18) ＝(k ＋1)(k ＋2)(2k ＋9)
6
＝
(k ＋1)[(k ＋1)＋1][2(k ＋1)＋7]
6
，
所以当n ＝k ＋1时，命题成立． 由①②知，命题成立．。