高中数学第3章数系的扩充与复数的引入阶段复习课学案新人教A版选修12

第三课 数系的扩充与复数的引入
[核心速填]
1．复数的有关概念及分类
(1)代数形式为z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，其中实部为a ，虚部为b ； (2)共轭复数为z ＝a －b i(a ，b ∈R )． (3)复数的分类 复数a ＋b
a ，
b ∈
R
⎩
⎪⎨⎪⎧
实数
b ＝
⎩⎨
⎧
有理数⎩⎪⎨⎪⎧
整数分数无理数无限不循环小数虚数b
⎩
⎪⎨
⎪⎧
纯虚数a
＝非纯虚数
a
①若 z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是实数，则z 与z 的关系为z ＝z .
②若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数，则z 与z 的关系为z ＋z ＝0(z ≠0)． 2．与复数运算有关的问题 (1)复数相等的充要条件
a ＋
b i ＝
c ＋
d i ⇔⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝c ，
b ＝d
(a ，b ，c ，d ∈R )．
(2)复数的模
复数z ＝a ＋b i 的模|z |
z ·z ＝|z |2
＝a 2
＋b 2
.
(3)复数的四则运算，若两个复数z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R ) ①加法：z 1＋z 2＝(a 1＋a 2)＋(b 1＋b 2)i ； ②减法：z 1－z 2＝(a 1－a 2)＋(b 1－b 2)i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ； ④除法：z 1
z 2＝
a 1a 2＋
b 1b 2＋a 2b 1－a 1b 2i a 22＋b 2
2
＝a 1a 2＋b 1b 2a 22＋b 22＋a 2b 1－a 1b 2
a 22＋
b 22i(z 2≠0)； 3．复数的几何意义
(1)任何一个复数z ＝a ＋b i 一一对应着复平面内一个点Z (a ，b )，也一一对应着一个从原点出发的向量OZ →
.
(2)复数加法的几何意义
若复数z 1、z 2对应的向量OZ →1、OZ →2不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ →1、OZ →
2为两邻边的平行
四边形的对角线OZ →
所对应的复数．
(3)复数减法的几何意义
复数z 1－z 2是连接向量OZ →
1、OZ →
2的终点，并指向Z 1的向量所对应的复数．
[题型探究]
(1)为实数；(2)为纯虚数； (3)对应的点在第一象限内； (4)复数z 对应的点在直线x －y ＝0.
【导学号：48662162】
[解] (1)z ∈R ⇔a 2
－3a ＋2＝0，解得a ＝1或a ＝2.
(2)z 为纯虚数，⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2－2a ＝0，
a 2
－3a ＋2≠0，
即⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝0或a ＝2，a ≠1且a ≠2.
故a ＝0.
(3)z 对应的点在第一象限，则⎩⎪⎨⎪
⎧
a 2
－2a >0，a 2
－3a ＋2>0，
∴⎩⎪⎨
⎪
⎧
a <0，或a >2，a <1，或a >2，
∴a ＜0，或a ＞2.
∴a 的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)． (4)依题设(a 2
－2a )－(a 2
－3a ＋2)＝0，∴a ＝2. a ，的形式时，要通过变形化为求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根1．(1)若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z 2
＋z 2
的虚部为( ) A ．0 B ．－1 C ．1
D ．－2
(2)设i 是虚数单位，若复数a －
10
3－i
(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( )
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
(1)A (2)D [(1)因为z ＝1＋i ，所以z ＝1－i ，所以z 2
＋z 2
＝(1＋i)2
＋(1－i)2
＝2i ＋(－2i)＝0.故选A.
(2)因为a －10
3－i
＝a －
＋－
＋
＝a －
＋10
＝(a －3)－i ，由纯虚数的定
义，知a －3＝0，所以a ＝3.]
(1)在复平面内，复数3－4i (i 是虚数单位)所对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
(2)已知复数z 1＝2＋3i ，z 2＝a ＋b i ，z 3＝1－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C .若OC →＝2OA →＋OB →
，则a ＝________，b ＝________.
[解析] (1)－2＋3i
3－4i
＝
－2＋
＋
25
＝－18＋i 25
＝－1825＋125i ，∴复数－2＋3i 3－4i 对应的点位于第二象限．
(2)∵OC →＝2OA →＋OB →
∴1－4i ＝2(2＋3i)＋(a ＋b i)
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
1＝4＋a ，－4＝6＋b ，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝－3，
b ＝－10.]
[答案] (1)B (2)－3 －10 [跟踪训练]
2．若i 为虚数单位，如3­1图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z
1＋i
的点是( )
图3­1
A ．E
B ．F
C ．G
D ．H
D [∵点Z (3,1)对应的复数为z ，
∴z ＝3＋i ，z 1＋i ＝3＋i
1＋i
＝
＋－＋－＝4－2i 2
＝2－i ，该复数对应的点的坐标是
(2，－1)，即H 点．]
(1) 已知z 是z 的共轭复数，若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i
D ．－1－i
(2)已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝3＋2i ＋2，则z 1
z 2
＝( ) A ．－4＋3i B ．3＋4i C ．3－4i
D ．4－3i
(1)[解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，代入z ·z i ＋2＝2z 中得，(a ＋
b i)(a －b i)i ＋2＝2(a ＋b i)，∴2＋(a 2＋b 2)i ＝2a ＋2b i ，
由复数相等的条件得，⎩⎪⎨⎪⎧
2a ＝2，
a 2＋
b 2
＝2b ，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝1.∴z ＝1＋i ，故选A.
(2)z 1z 2
＝－
＋2
3＋2i
＝
－
－
＋
2
＋
－
＝－
＋413
＝4－3i.
[答案] (1)A (2)D
－
＋
＋2
－－＋
－
＝
1625－63
25
i.] a ，
的结构形式(3)利用复数相等，可实现复数问题的实数化
已知z 是复数，z ＋2i ，2－i
均为实数，且(z ＋a i)2
的对应点在第一象限，求
实数a 的取值范围.
【导学号：48662164】
[解] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，
则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i 为实数，∴y ＝－2. 又
z
2－i ＝x －2i 2－i ＝15
(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋1
5
(x －4)i 为实数， ∴x ＝4.∴z ＝4－2i ，又∵(z ＋a i)2
＝(4－2i ＋a i)2
＝(12＋4a －a 2
)＋8(a －2)i 在第一象限．
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
12＋4a －a 2
>0a －，解得2<a <6.
∴实数a 的取值范围是(2,6)．
y
x ，，则涉及复数的分
类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数3．已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2
－3xy i ＝4－6i ，求x ，y . [解] 设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则y ＝a －b i.
又(x ＋y )2
－3xy i ＝4－6i ， ∴4a 2
－3(a 2
＋b 2
)i ＝4－6i ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
4a 2＝4，a 2＋b 2
＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1
b ＝1
，或⎩⎪⎨
⎪⎧ a ＝1，b ＝－1
或⎩
⎪⎨
⎪⎧ a ＝－1，b ＝1或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝－1，
b ＝－1.∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋i y ＝1－i
或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1－i ，y ＝1＋i 或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1＋i ，y ＝－1－i 或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1－i ，
y ＝－1＋i.。