重庆市2020-2021学年高三上学期12月诊断性考试数学试题

重庆市2020-2021学年高三上学期12月诊断性考试数学
试题
一、单选题（本大题共8小题）
1. 已知集合 2
340A x x x ，
12B x x ，则 R A B ð（ ）
A． 11x x B． 13x x C． 13x x
D． 11x x
2. 已知复数z 满足((2)55i z i ，则z （ ） A．33i
B．13i
C．13i
D．33i
3. 已知a ，b 都是实数，则“2211
log log a b
”是“22a b ”的（ ） A．充要条件
4. 若tan 3 A．
110
310
5. 点P C 于M ，N 两点，若PMN
A．1
6. 函数 f x
A．
C． D．
7. 已知点P 是边长为2的菱形ABCD 内的一点(包含边界)，且120BAD ，AP AB
的取值范围是（ ） A．[2,4]
B．(2,4)
C．[2,2]
D．(2,2)
8. 某流行病调查中心的疾控人员针对该地区某类只在人与人之间相互传染的疾病，通过现场调查与传染源传播途径有关的蛛丝马迹，根据传播链及相关数据，建立了与传染源相关确诊病例人数 H t 与传染源感染后至隔离前时长t （单位：天）的模型： kt H t e
.已知甲传染源感染后至隔离前时长为5天，与之相关确诊病例人数
为8；乙传染源感染后至隔离前时长为8天，与之相关确诊病例人数为20.若某传染源感染后至隔离前时长为两周，则与之相关确诊病例人数约为（ ） A．44
B．48
C．80
D．125
二、多选题（本大题共4小题）
A． 2a b C．a c
10. 已知x A．9
，则下列A．()f x B．函数y C．()f x D．将函数2sin 21y x 的图象向左平移
12
个单位长度，可得到()f x 的图象
12. 经研究发现：任意一个三次多项式函数32()(0)f x ax bx cx d a 的图象都只有一个对称中心点 00,x f x ，其中0x 是()0f x 的根，() f x 是()f x 的导数，()f x 是() f x 的导数.若函数32()f x x ax x b 图象的对称点为(1,2) ，且不等式
(ln 1)x e e mx x 32()3e
f x x x e x 对任意(1,)x 恒成立，则（ ）
A．3a B．1b
C．m 的值可能是e D．m 的值可能是
1e
三、填空题（本大题共4小题）
13. 在等差数列 n a 中，1242,8a a a ，则数列 n a 的公差为 .
14. 在平行四边形ABCD 中，7CD ED
，且BE AD DE ，则 .
15. 若函数 991log 2log 4f x x x x
，则 f x 的值域为 .
16. 已知双曲线22
18:8
x y C 的左焦点为F ，点M 在双曲线C 的右支上，(0,4)A ，当
M A F
△的周长最小时，M A F △的面积为 .
四、解答题（本大题共6小题）
17. ABC 的内角A ，B ，C 的对边分別为a ，b ，c .已知 3
cos22cos 2
C A B .
（1）求C ；
（2）若ABC 的周长为15，且a ，b ，c 成等差数列，求ABC 的面积.
18. 在①1120(2)n n n a a a n 且151,25a S ，②2
5,a S n tn ，③
121,3a a 中，并作答.
问题：设数列 n b 的前n 项和为n T .
19. 已知函数（1）求
f x （2）若函数
a 有解，求
m 20. 已知函数
（1）求()f x 的解析式；
（2）将函数()y f x 的图象向右平移
π
3
个单位长度后，得到函数()y g x 的图象，若函数()g x 在[0,]m 上的最小值为2 ，且最小值点（取得最小值对应的自变量）唯一，求m 的取值范围.
21. 已知12,F F 分别是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b 的左，右焦点，过点1F 的直线l 与
椭圆C 交于A ，B 两点，点M 在椭圆C 上，且当直线l 垂直于x 轴时，||2AB . （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）是否存在实数t ，使得1111AF BF t AF BF 恒成立.若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由
22. 已知函数1
2
1()(1)e (0)2
x f x x a x ax x
. （1）讨论 f x 的单调性.
（2）当2a 时，若 f x 无最小值，求实数a 的取值范围.
参考答案
1.【答案】A 【分析】
求出集合A 、B ，利用补集和交集的定义可求得集合 A B R ð. 【详解】
因为
2
3404A x x x x x 或 1x ，所以 41R A x x ð.
因为
1221213B x x x x x x ， 因此， R 11A B x x ð. 故选：A. 2.【答案】B
【分析】 由条件可得z 【详解】
因为 2i z 故选：B 3.【答案】C 【分析】 由由2
1log a 【详解】 由2
1log log a 反之当22a b 2211
log a b
不成立 故“2
211
log <log a b
”是“22a b ”的充分不必要条件. 故选：C 4.【答案】A 【分析】
根据题中条件，利用同角三角函数基本关系，将弦化切，即可得出结果. 【详解】 因为tan 3 ， 所以
sin 2cos tan 21
3sin cos 3tan 110
.
故选：A.
5.【答案】C 【分析】
求得,M N 两点的坐标，根据PMN 的面积列方程，解方程求得p 的值. 【详解】
由题意不妨设2222M p p N p p （，）,（，），则PMN 的面积为1542022p
p
，解得2p .
故选：C 6.【答案】A 【分析】
先判断函数奇偶性，再结合函数单调性即可得答案. 【详解】
解： ∵ 函数的定义域为： 2,2 ，22()ln
ln ()x x f x f x ， ∴ ()f x ()f x B. x 的
设(,)P x y ，则12x ，故(,)(2[24]20)AP AB x y x
，，， 即AP AB
的取值范围是[24] ，
. 故选：A 8.【答案】D 【分析】
根据 58,820H H 求得3k e ，由此求得 14H 的值. 【详解】
依题意得5(5)8 k H e
，8(8)20 k H e
，
853(8)205
(5)82
k k k H e e H e ，所以
133
3
455(14)81252
k k k H e
e
e
.故若某传染源感染后至隔离前时长为两
周，则相关确诊病例人数约为125. 故选：D 9.【答案】AD 【分析】
根据向量的线性运算和向量的模的计算可得选项.
【详解】
因为 1,3,2,1,3,5c a b ，所以 325a b ，，所以2a b c ，所以
2//a b c
，故A 正确，B 不正确；
又 4a c ，2a c b
故选：AD. 【分析】
将原式变形为25
1
x x
【详解】
因为1x 当且仅当1 x 故选：CD. 11.【答案】CD 【分析】
用辅助角公式化简：()2sin 216f x x
，再逐项带入验证即可.
【详解】
2()2cos 2cos 2212sin 216f x x x x x x
因为22T
，所以1 ， 所以()2sin 216f x x
令2()6
x k k
Z ，得()12
2
k x k
Z ，
则()f x 图象的对称中心为,1()122k k
Z ，故A 错误. 由()20f x ，可得1sin 262x
，
则226
6
x k
或522()6
6
x k k
Z ， 即x k 或()3
x k k
Z .
所以函数()20f x 在 0, 上有三个零点0，3
， ，故B 错误.
令
222()2
6
2
k x k k
Z ，得()3
6
k x k k
Z ，
所以()f x 的单调递增区间为 ,36k k k
Z ，故C 正确.
将2sin 2y x
得到曲线y 故选:CD 【分析】
求导得 f x 2 ，即3,1a b 1x
e x ，故e ，即m e 【详解】
由题意可得f 因为 2
321x ax f x ，所以 62f x x a ，
所以 1620f a ，
解得3,1a b ，故 32
31f x x x x .
因为1x ，所以 3
2
ln []13x
e
e
e mx x
f x x x e x 等价于
1ln 1
e x x e x e m x .
设 10x g x e x x ，则 10x
g x e ，
从而 g x 在 0, 上单调递增.
因为 00g ，所以 0g x ，即1x e x ， 则ln ln 1e
e x x
x
x e e x e x （当且仅当x e 时，等号成立），
从而 1ln ln 1ln 1
e x x e x e e x e e x x ，故m e .
故选：ABC. 13.【答案】3 【分析】
设数列 n a 的公差为d .，根据等差数列下标和性质得到3a ，再根据n m
a a d n m
计算可得； 【详解】
解：设数列 n a 的公差为d .因为248a a ，所以34a ，则3142
3312
a a d
. 故答案为：3 14.【答案】5 【分析】
根据题意可得
【详解】
因为7CD 则BE BC 所以1 故答案为：5 15.【答案】 【分析】
求得 f x f x 【详解】 因为 f x 由于内层函数1u x 在区间,4
上为减函数，外层函数9log y u 为增函数，
所以 f x 在1,4
上单调递减，当14x 时，2119x ，则920log 11x
，
所以 f x 的值域为 0,1. 故答案为： 0,1. 16.【答案】12 【分析】
M A F
△的周长为MA MF AF ，其中AF 为定值，所以即求MA MF ，利
用定义可得MF MF ，所以周长为MA MF ，作图当A F M 、、三点共线时周长最短，利用面积分割求得面积. 【详解】
如图，设双曲线C 的右焦点为F
.由题意可得4040a F F （，）,（，）
. 因为点M
在右支上，所以2MF MF a
MF MF ，则M A F △
的周长为
MA MF AF MA MF AF 即当M 在M 处时，M A F △的周长最小，此时直线AF 的方程为4y x . 联立224
18
8y x x y
，整理得10y ，则1M y ，
故M A F △的面积为111
'84112222
M FF OA FF y （）. 故答案为：12
【分析】
c ，a ，从而【详解】
（1）由题意又cos 22C 2
解得1
cos 2
C ，
因为0C ，所以23
C
. （2）由题意可得2,
15,
b a
c a b c
则5,10.b a
c
根据余弦定理可得222a b c ab ， 则222(10)55(10) c c c ， 解得7,103 c a c ，
故ABC
的面积1sin 24
S ab C .
18.【答案】选择见解析；21
n
n . 【分析】
若选①，由1120n n n a a a 得数列 n a 是等差数列，进而得21n a n ，11122121n b n n
，再根据裂项相消求和法求和即可；若选②，由33255a S S t 得0t ，进而根据,n n a S 之间的关系得21n a n ，再根据裂项相
消求和法求和即可；若选③，由122n n n S S S ，，成等差数列，得212n n a a .由于121,3a a ，故数列 n a 是首项为1，公差为2的等差数列，故21n a n ，再根据
裂项相消求和法求和即可. 【详解】
因为a 因为a 解得a 故n a 因为b 则n T
112 因为2
n S n tn ，所以223233392224S t t S t t ，，
所以33255a S S t ，解得0t ， 则 2
211212n n n a S S n n n n . 因为111a S 满足上式，所以21n a n . 因为11n n n b a a
，所以 1111212122121n b n n n n
.
则1231111111
123355721211n n T b b b b n n
11122121
n
n n
若选③，
因为122n n n S S S ，，成等差数列，所以1222n n n S S S ，
所以 2112n n n n S S S S ，即212n n a a .
因为121,3a a ，所以212a a ，则数列 n a 是首项为1，公差为2的等差数列， 故 1121n a a n d n . 因为11n n n b a a
，所以 1111212122121n b n n n n
.
则1231111111
123355721211n n T b b b b n n
11122121
n
n n
. 19.【答案】（1）答案见解析；（2） 0,4. 【分析】
（1）分0m 和0m 两种情况讨论，通过解不等式20x m 可求得函数 f x 的定义域；
已知条件得出【详解】
（1）当0m 当0m
. 综上所述，当 2log ,m （2）因为
g 因为 f x 在 2 224m ，
当 2,x 时，f x a 2 ，解得0m ，04m . 因此，m 的取值范围为 0,4.
20.【答案】（1）2n 2)3(si f x x ；（2）1123,1212
. 【分析】
（1）根据图象先求解出,A T 的值，然后根据最小正周期公式计算出 的值，再根据特殊点,212
求解出 的值，由此求解出 f x 的解析式；
（2）根据图象平移先求解出 g x 的解析式，然后采用整体替换法根据条件列出关于
m 的不等式，由此求解出m 的取值范围.
【详解】
（1）由图可知2A ，4312T
，所以22
.
将点,212
代入()f x ，得2()62k k Z ，又||2 ，所以3
.
故2n 2)3(si f x x
；
（2）()2sin 233g x f x x
，
因为[0,]x m ，所以2,2333x m
. 依题意得372232
m
， 解得
11231212m ，故m 的取值范围为1123,1212
. 21.【答案】（1）22
142x y ；（2）存在；2t .
【分析】
线l 表示出t 【详解】
解得224,a b 故椭圆C
（2）由（1）可知
12
F F ，.
当直线l
的斜率不存在时，2
111b AF BF a ，则
11
112AF BF t AF BF . 当直线l 的斜率存在时，设其斜率为k ，则直线l 的方程为 1122,,,,y k x A x
y B x y
.
联立 22142y k x x y ，整理得 22
22
21440k x x k ，
则2212122244,2121
k x x x x k k ，从而12x x
故21112244
21
k AF BF AB x x k
由题意可得
1112
AF BF
则
2
2
1112122
21
12
21
k
AF BF k x x x x
k
.
因为1111
AF BF t AF BF
，所以
2
2
11
2
11
2
44
212
21
21
k
AF BF k
t
AF BF k
k
.
综上，存在实数2
t ，使得
1111
AF BF t AF BF
恒成立.
22.【答案】（1）当0
a 时，
f x在()
0,1上单调递减，在()
1,+?上单调递增； 当01
a
时，
f x在 ,1a上单调递减，在
0,a和()
1,+?上单调递增；
当1
a 时，
f x在()
0,+?上单调递增；
当1
a 时，
f x在
1,a上单调递减，在(0,1),(,)
a 上单调递增.；
（2）1,2
2
e
【分析】
（1）对
f x
于a
【详解】
解：
（1）因为(f1)(0)
x
. 令()0
f x
¢=
①当0
a
则
f x在(
②当01
a
时，由()0
f x
¢>，得0x a
或1
x ；由()0
f x
¢<，得1
a x.
则
f x在 ,1a上单调递减，在
0,a和()
1,+?上单调递增.
③当1
a 时，()0
f x
¢³恒成立，则
f x在()
0,+?上单调递增.
④当1
a 时，由()0
f x
¢>，得01
x
或x a
；由()0
f x
¢<，得1x a
.
则
f x在
1,a上单调递减，在(0,1)和(,)
a 上单调递增.
综上，当0
a 时，
f x在()
0,1上单调递减，在()
1,+?上单调递增；
当01
a
时，
f x在 ,1a上单调递减，在
0,a和()
1,+?上单调递增；
当1
a 时，
f x在()
0,+?上单调递增；
当1
a 时，
f x在
1,a上单调递减，在(0,1)和(,)
a 上单调递增.
（2）①当0
a 时，由（1）可知
f x在()
0,1上单调递减，在()
1,+?上单调递增，
则 f x 有最小值 112
f ，故0a 不符合题意.
②当01a 时，由（1）可知 f x 在 ,1a 上单调递减，在 0,a 和()1,+?上单调递
增，因为 f x 无最小值，所以 01f f ，即11
<2a e ，解得112
e a ； ③当1a 时，由（1）可知
f x 在()0,+?
上单调递增，
所以 f x 无最小值，所以1a 符合题意；
④当12a 时，由（1）可知 f x 在 1,a 上单调递减，在 0,1,,a 上单调递增. 因为 f x 无最小值，所以 0f f a ，即21
11<2a a a e e ，即121102a a e a e
. 设 1
211122x x g x e
x x e
，则 11
12x g x e x x e
设 1
1
12x h x g x e x x
，则 110x h x e 在 1,2上恒成立.
故 h x 在 1,因为 1g 00g x .
故 g x 在 1,因为 1g 即1
212a e
a 综上，实数。