湘教版九年级上册数学学案：2.3一元二次方程的根的判别式(无答案)

【学习课题】一元二次方程的根的判别式
【学习目标】1、经历探索一元二次方程的根的判别式的过程，进一步理解根的判别式；
2、能利用判别式判定根的情况以及在已知根的情况时，能求出未知系数的值。

【学习重点】能正确地运用判别式解决有关问题。

【学习难点】已知根的情况时，能求出未知系数的值。

【学习过程】
一、学习准备：
1、回忆△与一元二次方程的关系：
△＞0 ⇔__________ △= 0 ⇔_____________
△＜0 ⇔__________ △≥0 ⇔_____________
2、不解方程，判别下列方程根的情况。

（1）2x2+3x-4=0 (2) 16y2+9=24y (3) 5(x2+1)-7x=0
二、典例示范：
3、已知方程的根的情况，求未知系数的值。

例1：k取何值时，方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0 （1）有两个不相等的实数根（2）有两个相等的实数根（3）方程有实根（4）方程没有实数根分析：用△列出方程或不等式解题。

解：a=__________; b=__________; c=__________
△=b2-4ac=［］2-4×2×（）=_____________
（1）∵方程有两个不相等的实数根。

∴△_____0 ; 即___________0 ; 解之得：k______（2）∵方程有两个相等的实数根。

∴△____0；即____________0；解之得：k______（3）∵方程有实数根。

∴△____0；即____________0；解之得：k______（4）∵方程没有实数根
∴△_____0；即____________0；解之得：k______即时练习：m为何值时，关于x的方程(m2-4)x2+2(m+1)x+1=0有实根。

4、应用判别式证明方程的根的情况
例2 求证：方程x(x+2a)+4(a-1)=0一定有实数根。

分析：列出△的代数式，证其恒大于零。

证明：原方程可化为：x2+2ax+4(a-1)=0
∵△=(2a)2-4×1×4(a-1)=4a2-16a+16=4(a2-4a+4)=4(a-2)2≥0
∴原方程一定有实数根。

即时练习：
求证：不论m为何值时，方程2x2-6x+m2+7=0没有实数根。

例3：已知关于x 的方程mx 2
+2（m-1）x+m-3=0 ⑴有一个实数根； ⑵有两个不相等的实数； ⑶有两个相等的实数根；⑷有两个实数根；⑸有实数根；⑹没有实数根时，求m 分析：用△列出方程或不等式解题。

解：a=__________; b=__________; c=__________
△=b 2-4ac=
［ ］2-4×（ ）×（ ）=_____________ （1）∵方程有一个实数根 ∴此方程为一元一次方程
∴m =0且2（m-1）≠0; 解之得：m______ （2）∵方程有两个不相等的实数根
∴m ≠0且△____0；解之得：m ______ （3）∵方程有两个相等的实数根
∴m ≠0且△____0；解之得：m______ （4）∵方程有两个实数根
∴m ≠0且△_____0；解之得：m ______ （5）∵方程有实数根
∴m ≠0且△_____0或 ____________________ 解之得：m ___________ （6）∵方程没有实数
∴m ≠0且△_____0；解之得：m ______
特别提醒【达标检测】
.1、一元二次方程x 2
+x+2=0的根的情况为（ ） A 、有两个不相等的正根。

B 、没有实数根。

C 、有两个不相等的负根 D 、有两个相等的实数根。

2、关于x 的方程ax 2-2x+1=0中，a<0，方程实根的情况是（ ）。

A ．有两个相等的实数根； B ．有两个不相等的实数根； C ．没有实数根； D ．不能确定。

3、在一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中,若a 与c 异号,则方程（ ） A 、有两个不相等的实数根 B 、有两个相等的实数根 C 、没有实数根 D 、根的情况无法确定
4、若关于x 的方程x 2
+2（k-1）x+k 2
=0有实数根，则k 的取值范围是：（ ） A 、k<21 B 、k ≤2
1 C 、
k ＞
21 D 、k ≥2
1
5、下列关于x 的方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） A 、x 2
+4=0 B 4x 2
-4x+1=0 C x 2
+x+3=0 D x 2
+2x-1=0 6、已知方程x 2
-3x+k=0有两个相等的实数根，则k= 。

7、请写出一个值k=____,使一元二次方程x 2
-7x+k=0 有两个不相等的非0实数根（答案不唯一） 8、已知：关于x 的一元二次方程kx 2
+2x+1=0有两个实数根，试求k 的取值范围。

9、若关于x 的一元二次方程mx 2
-2(m+2)x+m+5=0没有实根，试确定关于x 的方程 （m-5）x 2
+2（m+2）x+m=0的根的情况。