江苏版高考数学一轮复习：专题3.4导数的实际应用练习题附答案.doc
高考数学一轮复习讲练测(江苏版)：专题3.3导数的综合应用(测)(含答案解析)
班级 __________姓名 _____________学号 ___________得分 __________(满分100 分，测试时间 50分钟)一、填空题： 请把答案直接填写在答题卡相应的地点 上(共．．．．．．．．10 题，每题6 分，合计60 分)．1. 【2016 河北衡水四调，理11】设过曲线f xe xx （ e 为自然对数的底数）上随意一点处的切线为l 1 ，总存在过曲线g xax2cos x上一点处的切线l 2 ，使得l 1l 2 ，则实数a 的取值范围为 ________．【答案】1,22. 【 2016 云南统测一，理 16】已知实数 a, b 都是常数，若函数ya x 1 be2 x 1的图象x2在切点 0,1处的切线方程为 3x4 y 20, y a x 1 be2 x1与 yk x 3x 21 的图2象有三个公共点，则实数 k 的取值范围是.【答案】 (, 1)(0, )4【分析】当 x1时， ya | x 1| be 2 x 1a(1 x) be 2 x 1 ，则x 2x 2f ' (x)3a2be 2x 1 ，(x 2)2因为函数 ya x 11的图象在切点0,13x 4 y 2 0 ，xbe2 x处的切线方程为22f (0)1a b1a 1| x 1| ；22e 2，即 y所以，即，解得f ' (x)3 3a 2b 3 b 0 x 244 e4| x1|k (x 1)3，适当x1时，方程建立，x2当 x1时，得x1k (x1)3，即1( x2)( x1)2，x2k当 x1时，得(x1)k( x1)3，即1( x2)( x 1)2，x2k令 y 1， f ( x)( x2)( x1)2 , x13( x1)( x1), x1( x2)( x1)2 , x，则 f '( x)1)( x1), x，k13( x113.已知 y＝ f(x)是奇函数，当x∈ (0,2)时， f(x)＝ ln x－ ax a>2，当 x∈(－2,0)时， f(x)的最小值为 1，则 a 的值等于 ________．【答案】 1【分析】由题意知，当x∈ (0,2)时， f(x)的最大值为－ 1.令 f′(x)＝1－ a＝ 0，得 x＝1，x a当 0<x<1a时，f′(x)>0 ；当 x>1时，f ′(x)<0.a1∴ f(x)max＝ f a＝－ ln a－ 1＝－ 1，解得 a＝ 1.4.函数 f(x)＝ x3－3x－ 1，若关于区间 [ － 3,2] 上的随意 x1，x2，都有 |f(x1) －f(x2)| ≤t，则实数 t 的最小值是 ________．【答案】 20【分析】因为f′(x)＝3x2－ 3＝ 3(x－ 1)(x＋ 1)，令 f′(x)＝ 0，得 x＝±1，所以－ 1， 1 为函数的极值点．又 f(－ 3)＝－ 19，f(－ 1)＝ 1，f(1)＝－ 3，f(2)＝ 1，所以在区间 [－ 3,2] 上 f(x)max＝ 1，f(x) min＝－ 19.又由题设知在区间[ － 3,2] 上 f(x)max－ f(x) min≤t，进而 t≥ 20，所以 t 的最小值是20.5.f(x)是定义在 (0，＋∞)上的非负可导函数，且知足 xf′(x)＋ f( x) ≤0，对随意正数 a，b，若 a<b，则 af(b)与 bf(a)的大小关系为________．【答案】 af(b) ≤bf(a)【分析】∵ xf′(x)≤－ f(x) ，f(x) ≥0，∴f x′＝xf x － f x－2f x x2≤2≤ 0.x x则函数f x在(0，＋∞)上是单一递减的，因为0<a<b，则f a f b.即 af(b) ≤bf(a)．x a≥b6.设 D 是函数 y＝ f(x)定义域内的一个区间，若存在x0∈ D，使 f(x0)＝－ x0，则称 x0是 f(x)的一个“次不动点”，也称 f(x)在区间 D 上存在“次不动点”，若函数f(x)＝ax2－3x－ a＋52在区间[1,4] 上存在“次不动点”，则实数 a 的取值范围是 ________．【答案】－∞，12133927.电动自行车的耗电量y 与速度 x 之间相关系y＝3x －2 x － 40x(x>0) ，为使耗电量最小，则速度应定为 ________．【答案】 40【分析】由y′＝ x2－ 39x－ 40＝0，得 x＝－ 1 或x＝ 40，因为0<x<40 时， y′<0；当x>40时， y′>0.所以当x＝40 时， y 有最小值．8. 【 2015 济南模拟】函数f(x)＝ ax3＋ x 恰有三个单一区间，则 a 的取值范围是________．【答案】(－∞，0)【分析】 f(x)＝ ax3＋ x 恰有三个单一区间，即函数f(x)恰有两个极值点，即 f ′(x)＝ 0 有两个不等实根．∵ f(x)＝ ax3＋ x，∴ f′(x)＝ 3ax2＋ 1.要使f′(x)＝ 0 有两个不等实根，则a<0.9.函数y＝x2 (x>0)的图象在点(a k， a2k)处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k＋1，此中k∈ N* .若 a1＝ 16，则a1＋ a3＋ a5的值是 ________．【答案】2122212e x ＋ 1 e xf xg x10.设函数 f(x)＝x， g(x)＝e x，对随意 x1、 x2∈ (0，＋∞)，不等式k≤k＋ 1恒成立，则正数k 的取值范围是________．【答案】 [1，＋∞)分析】因为对随意x1、x2∈ (0，＋∞)，不等式g x1f x2恒建立，所以kg x1max.k≤k＋1k＋ 1≥f x2因为 g(x)＝e2x x ，e所以 g′(x)＝( xe2－x) ＝′ e2－x＋ xe2－x·(－ 1)＝ e2－x(1－ x)．当 0<x<1 时， g′(x)>0 ；当 x>1 时， g′(x)<0 ，所以 g(x)在 (0,1] 上单一递加，在[1，＋∞)上单一递减．所以当 x＝1 时， g(x)取到最大值，即g(x) max＝ g(1) ＝e；e2 x2＋ 1因为 f( x)＝，当x∈ (0，＋∞)时，x2121，f(x)＝ e x＋x≥ 2e，当且仅当e x＝x1即 x ＝ e 时取等号，故 f(x)min ＝ 2e. 所以 g x 1 max ＝ e ＝ 1.f x 2 2e 2所以 k 1≥ .又因为 k 为正数，所以 k ≥ 1.k ＋ 1 2 二、解答题：解答应写出必需的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定地区内 。
(江苏专用)高三数学一轮总复习 第三章 导数及其应用 第二节 导数的应用 第一课时 导数与函数的单调
课时跟踪检测（十四） 导数与函数的单调性一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2015·某某模拟)函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是________．解析：函数f (x )＝(x －3)e x的导数为f ′(x )＝[(x －3)e x]′＝e x＋(x －3)e x＝(x －2)e x.由函数导数与函数单调性的关系，得当f ′(x )＞0时，函数f (x )单调递增，此时由不等式f ′(x )＝(x －2)e x ＞0，解得x ＞2.答案：(2，＋∞)2．设函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋5x ＋6在区间[1,3]上是单调函数，则实数a 的取值X 围是________．解析：依题意，知当x ∈[1,3]时，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5的值恒不小于0或恒不大于0. 若当x ∈[1,3]时，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5≥0，即有－2a ≤x ＋5x在[1,3]上恒成立，而x ＋5x≥2x ·5x＝25(当且仅当x ＝5时取等号)，故－2a ≤25，解得a ≥－ 5. 若当x ∈[1,3]时，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5≤0，即有－2a ≥x ＋5x恒成立，注意到函数g (x )＝x ＋5x 在[1，5]上是减函数，在[5，3]上是增函数，且g (1)＝6>g (3)＝143，因此－2a ≥6，解得a ≤－3.综上所述，实数a 的取值X 围是(－∞，－3]∪[－5，＋∞)． 答案：(－∞，－3]∪[－5，＋∞)3．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上的单调情况是________．解析：在(0,2π)上有f ′(x )＝1－cos x ＞0，所以f (x )在(0,2π)上单调递增． 答案：单调递增4．(2016·启东模拟)已知a ≥1，f (x )＝x 3＋3|x －a |，若函数f (x )在[－1,1]上的最大值和最小值分别记为M ，m ，则M －m 的值为________．解析：当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 3＋3(a －x )＝x 3－3x ＋3a (a ≥1)，∴f ′(x )＝3(x －1)(x ＋1)．当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0，所以原函数f (x )在区间[－1,1]上单调递减，所以M ＝f (－1)＝3a ＋2，m ＝f (1)＝3a －2，所以M －m ＝4.答案：45．(2016·某某测试)已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值X 围为________．解析：f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立， 即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，∵⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋1x max ＝83， ∴2a ≥83，即a ≥43.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ 二保高考，全练题型做到高考达标1．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________．解析：由f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6得f ′(x )＝3x 2－30x －33，令f ′(x )＜0，即3(x －11)(x ＋1)＜0，解得－1＜x ＜11，所以函数f (x )的单调减区间为(－1,11)．答案：(－1,11)2．若幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，12，则函数g (x )＝e xf (x )的单调递减区间为________．解析：设幂函数f (x )＝x α，因为图象过点⎝⎛⎭⎪⎫22，12，所以12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22α，α＝2，所以f (x )＝x 2，故g (x )＝e x x 2，令g ′(x )＝e x x 2＋2e xx ＝e x(x 2＋2x )＜0，得－2＜x ＜0，故函数g (x )的单调递减区间为(－2,0)．答案：(－2,0)3．(2016·某某、某某、某某、某某调研)设f (x )＝4x 3＋mx 2＋(m －3)x ＋n (m ，n ∈R)是R 上的单调增函数，则实数m 的值为________．解析：因为f ′(x )＝12x 2＋2mx ＋m －3，又函数f (x )是R 上的单调增函数，所以12x2＋2mx ＋m －3≥0在R 上恒成立，所以(2m )2－4×12(m －3)≤0，整理得m 2－12m ＋36≤0，即(m －6)2≤0.又因为(m －6)2≥0，所以(m －6)2＝0，所以m ＝6.答案：64．已知函数f (x )＝x ＋1ax在(－∞，－1)上单调递增，则实数a 的取值X 围是________．解析：函数f (x )＝x ＋1ax 的导数为f ′(x )＝1－1ax2，由于f (x )在(－∞，－1)上单调递增，则f ′(x )≥0在(－∞，－1)上恒成立，即1a≤x 2在(－∞，－1)上恒成立．由于当x ＜－1时，x 2＞1，则有1a≤1，解得a ≥1或a ＜0.答案：(－∞，0)∪[1，＋∞)5．(2015·某某、某某、某某、某某三调)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋m ，0≤x ≤1，mx ＋5，x >1.若函数f (x )的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则实数m 的取值X 围为________．解析：由f (x )＝2x 3＋3x 2＋m ，得f ′(x )＝6x 2＋6x ，所以f (x )在[0,1]上单调递增，即f (x )＝2x 3＋3x 2＋m 与x 轴至多有一个交点，要使函数f (x )的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋5>0，m <0，从而可得m ∈(－5,0)．答案：(－5,0)6．若函数f (x )＝ax 3－3x 在(－1,1)上为单调递减函数，则实数a 的取值X 围是________． 解析：f ′(x )＝3ax 2－3，∵f (x )在(－1,1)上为单调递减函数，∴f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立，即3ax 2－3≤0在(－1,1)上恒成立．当x ＝0时，a ∈R ；当x ≠0时，a ≤1x2，∵x∈(－1,0)∪(0,1)，∴a ≤1.综上，实数a 的取值X 围为(－∞，1]．答案：(－∞，1]7．(2016·某某中学模拟)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为________．解析：设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R 上单调递减．∵f (x 2)<x 22＋12，∴f (x 2)－x 22<f (1)－12，∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减，∴x 2>1，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)8．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值X 围是________．解析：对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a .当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a .令29＋2a ＞0，解得a ＞－19.所以a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞9．(2016·某某五校联考)已知函数f (x )＝ln x ＋ke x(k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间．解：(1)由题意得f ′(x )＝1x－ln x －k e x， 又f ′(1)＝1－ke ＝0，故k ＝1.(2)由(1)知，f ′(x )＝1x－ln x －1ex. 设h (x )＝1x －ln x －1(x ＞0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x＜0，即h (x )在(0，＋∞)上是减函数．由h (1)＝0知，当0＜x ＜1时，h (x )＞0，从而f ′(x )＞0； 当x ＞1时，h (x )＜0，从而f ′(x )＜0. 综上可知，f (x )的单调递增区间是(0,1)， 单调递减区间是(1，＋∞)．10．(2016·某某调研)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax ＋b .(1)若f (x )与g (x )在x ＝1处相切，求g (x )的表达式； (2)若φ(x )＝m x －1x ＋1－f (x )在[1，＋∞)上是减函数，某某数m 的取值X 围．解：(1)由已知得f ′(x )＝1x ，∴f ′(1)＝1＝12a ，a ＝2.又∵g (1)＝0＝12a ＋b ，∴b ＝－1，∴g (x )＝x －1.(2)∵φ(x )＝m x －1x ＋1－f (x )＝m x －1x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减函数．∴φ′(x )＝－x 2＋2m －2x －1x x ＋12≤0在[1，＋∞)上恒成立．即x 2－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立， 则2m －2≤x ＋1x，x ∈[1，＋∞)，∵x ＋1x∈[2，＋∞)，∴2m －2≤2，m ≤2.故实数m 的取值X 围是(－∞，2]． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x，若f (x )在[－1,1]上是单调减函数，则a 的取值X 围是________．解析：f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x ＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x，由题意知当x ∈[－1,1]时，f ′(x )≤0恒成立，即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0恒成立．令g (x )＝x 2＋(2－2a )x －2a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧g －1≤0，g1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12＋2－2a ·－1－2a ≤0，12＋2－2a －2a ≤0，解得a ≥34.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 2．(2016·某某模拟)若函数f (x )＝x 2|x －a |在区间[0,2]上单调递增，则实数a 的取值X 围是________．解析：当a ≤0时，f (x )＝x 3－ax 2，f ′(x )＝3x 2－2ax ≥0在[0，＋∞)上恒成立，所以f (x )在[0，＋∞)上单调递增，则也在[0,2]上单调递增，成立；当a >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x 3，0≤x ≤a ，x 3－ax 2，x >a .①当0≤x ≤a 时，f ′(x )＝2ax －3x 2， 令f ′(x )＝0，则x ＝0或x ＝23a ，则f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，23a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，a 上单调递减； ②当x >a 时，f ′(x )＝3x 2－2ax ＝x (3x －2a )>0，所以f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，所以当a >0时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，23a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．要使函数在区间[0,2]上单调递增，则必有23a ≥2，解得a ≥3.综上，实数a 的取值X 围是(－∞，0]∪[3，＋∞)． 答案：(－∞，0]∪[3，＋∞)3．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′x ＋m 2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值X围．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a 1－xx.当a ＞0时，f (x )的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)；当a ＜0时，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)； 当a ＝0时，f (x )不是单调函数．(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x.∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2＋2x 2－2x ，∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数， 即g ′(x )＝0在区间(t,3)上有变号零点．由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′t ＜0，g ′3＞0.当g ′(t )＜0，即3t 2＋(m ＋4)t －2＜0 对任意t ∈[1,2]恒成立， 由于g ′(0)＜0，故只要g ′(1)＜0且g ′(2)＜0， 即m ＜－5且m ＜－9，即m ＜－9； 由g ′(3)＞0，即m ＞－373.所以－373＜m ＜－9.即实数m 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－9.。
(江苏版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)： 专题3.4 导数的实际应用(练)-数学备课大师【全免费】
专题3.4 导数的实际应用1.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．【答案】(1) a＝2. (2) x＝42.某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1 000万元的投资收益．现准备制订一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(万元)随投资收益x(万元)的增加而增加，且资金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.(1)若建立函数f(x)模型制订奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数f(x)模型的基本要求；(2)现有两个奖励函数模型：①y ＝x150＋2；②y ＝4lg x －3.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？ 【答案】(1)详见解析(2) ①不符合②符合则f (x )max ＝f (1 000)＝4lg 1 000－3＝9. 所以f (x )≤9恒成立．设g (x )＝4lg x －3－x 5，则g ′(x )＝4x ln 10－15.当x ≥10时，g ′(x )＝4x ln 10－15≤2－ln 105ln 10<0， 所以g (x )在[10,1 000]上是减函数， 从而g (x )≤g (10)＝－1<0.所以4lg x －3－x 5<0，即4lg x －3<x5，所以f (x )≤x5恒成立． 故该函数模型符合公司要求．3.某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R 与年产量x 的年关系是R ＝R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 x，x ，则总利润最大时，每年生产的产品是_______． 【答案】3004.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0<x ≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 【答案】(1) 17.5(2) 80千米/小时，11.25升【解析】(1)当x ＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040小时，共耗油10040×(1128 000×403－380×40＋8)＝17.5(升)．因此，当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油17.5升． (2)当速度为x 千米/小时时， 汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为h (x )升，依题意得h (x )＝(1128 000x 3－380x ＋8)·100x＝11 280x 2＋800x －154(0<x ≤120)， h ′(x )＝x640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x ≤120)．令h ′(x )＝0，得x ＝80.当x ∈(0,80)时，h ′(x )<0，h (x )是减函数； 当x ∈(80,120)时，h ′(x )>0，h (x )是增函数， ∴当x ＝80时，h (x )取得极小值h (80)＝11.25. 易知h (80)是h (x )在(0,120]上的最小值．故当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，为11.25升． 5.把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为________． 【答案】2∶1【解析】设圆柱高为x ，底面半径为r ，则r ＝6－x 2π，圆柱体积V ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫6－x 2π2x ＝14π(x 3－12x 2＋36x )(0<x <6)，V ′＝34π(x －2)(x －6)． 当x ＝2时，V 最大．此时底面周长为6－x ＝4,4∶2＝2∶1.6.用长为90cm ，宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折900角，再焊接而成，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大的容积是多少？【答案】该容器的高为10cm 时，容器有最大容积196003cm7.某厂生产某种产品x 件的总成本37521200)(x x c +=（万元），已知产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为多少时总利润最大？ 【答案】258.某公司为一家制冷设备厂设计生产某种型号的长方形薄板，其周长为4 m ，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，四边形ABCD (AB >AD )为长方形薄板，沿AC 折叠后AB ′交DC 于点P .当△ADP 的面积最大时最节能，凹多边形ACB ′PD 的面积最大时制冷效果最好．(1)设AB ＝x m ，用x 表示图中DP 的长度，并写出x 的取值范围； (2)若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？ (3)若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？【答案】(1) y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ，1<x <2. (2) 长为32 m ，宽为(2－32)m【解析】(1)由题意AB ＝x ，BC ＝2－x . 因为x >2－x ，所以1<x <2. 设DP ＝y ，则PC ＝x －y .因为△ADP ≌△CB ′P ，所以PA ＝PC ＝x －y .9.轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动．如图，助跑道ABC是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1 m的平台上E处，飞行的轨迹是一段抛物线CDE(抛物线CDE与抛物线ABC在同一平面内)，D为这段抛物线的最高点．现在运动员的滑行轮迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系，x轴在地面上，助跑道一端点A(0,4)，另一端点C(3,1)，点B(2,0)，单位：m.(1)求助跑道所在的抛物线方程；(2)若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C处有相同的切线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在4 m到6 m之间(包括4 m和6 m)，试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围．(注：飞行距离指点C与点E的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值)【答案】(1) f (x )＝x 2－4x ＋4，x ∈[0,3]． (2) 在2 m 到3 m 之间【解析】(1)设助跑道所在的抛物线方程为f (x )＝a 0x 2＋b 0x ＋c 0，依题意⎩⎪⎨⎪⎧c 0＝4，4a 0＋2b 0＋c 0＝0，9a 0＋3b 0＋c 0＝1，解得 a 0＝1，b 0＝－4，c 0＝4，所以助跑道所在的抛物线方程为10. 一位创业青年租用了一块边长为1百米的正方形田地ABCD 来养蜂、产蜜与售蜜，他在正方形的边,BC CD 上分别取点,E F （不与正方形的顶点重合），连接,,AE EF FA ，使得45EAF ∠=︒. 现拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区，AEF ∆部分规划为蜂巢区，CEF ∆部分规划为蜂蜜交易区. 若蜂源植物生长区的投入约为5210⨯元/百米2，蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约为510元/百米2，则这三个区域的总投入最少需要多少元？510从而三个区域的总投入T510元. ...............14分 （说明：这里S 的最小值也可以用导数来求解：因为2(1))(1))2(1)x x S x +-'=+，则由0S '=，得1x =.C E第17题图当1)x ∈时，0S '<，S递减；当1,1)x ∈时，0S '>，S 递增.所以当1x =时，S取得最小值为1).）解法二：设阴影部分面积为S ，三个区域的总投入为T . 则55521010(1)10(1)T S S S =⨯⋅+⋅-=⋅+，从而只要求S 的最小值. ...............2分因为9045EAF αβ+=︒-∠=︒，所以tan tan tan()11tan tan αβαβαβ++==-，........8分 所以2tan tan tan tan 1tan tan 1()2αβαβαβ++=-≥-， ..............10分即221S S ≥-，解得1S ≥，即S 取得最小值为1)，从而三个区域的总投入T 510元. ...............14分11. 经市场调查，某商品每吨的价格为(114)x x <<百元时，该商品的月供给量为1y 万吨，217(0)2y ax a a a =+->；月需求量为2y 万吨，22111224112y x x =--+. 当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量，该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积.（1）若17a =，问商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？ （2）记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，求实数a 的取值范围.【答案】（1）8（2）1(0,]7【解析】 (1) 若17a =，由21y y >，得221117111()2241127277x x x --+>+-． 解得406x -<< ． …………………………………………………………………3分 因为114x <<，所以16x <<．（2）若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，实数a 的取值范围是1(0,]7．12. 某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x （单位：元，0x >）时，销售量()q x （单位：百台）与x 的关系满足：若x 不超过20，则1260()1q x x =+；若x 大于或等于180，则销售量为零；当20180x ≤≤时，()q x a =-a ，b 为实常数）． （1）求函数()q x 的表达式；（2）当x 为多少时，总利润（单位：元）取得最大值，并求出该最大值．【答案】（1）1260,020,1()90180,0,180x x q x x x ⎧<⎪+⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎪⎩≤＝≤（2）当x 等于80元时，总利润取得最大值240000元当20180x <≤时，()9000f x x -＝()9000f x '-＝令()0f x '＝，得80x =． …………10分 当2080x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增，当8080x <≤1时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以当80x =时，()f x 有最大值240000． …………12分 当180x <时，()0f x =﹒答：当x 等于80元时，总利润取得最大值240000元． …………14分13.如图，已知海岛A 到海岸公路BC 的距离AB 为50㎞，B ，C 间的距离为100㎞，从A 到C必须先坐船到BC 上的某一点D ，船速为25㎞/h ，再乘汽车到C ，车速为50㎞/h ，记∠BDA ＝θ．（1）试将由A 到C 所用的时间t 表示为θ的函数t (θ)；（2）问θ为多少时，由A 到C 所用的时间t 最少？【答案】（1）t (θ)＝2cos sin θθ-＋2（θ0＜θ＜2π，其中tan θ0＝12）（2）θ＝3π14.植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m 的围墙．现有两种方案： 方案① 多边形为直角三角形AEB （90AEB ∠=），如图1所示，其中30m AE EB +=； 方案② 多边形为等腰梯形AEFB （AB EF >），如图2所示，其中10m AE EF BF ===． 请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．BACD θ【答案】方案①，②苗圃的最大面积分别为222252m ，建苗圃时用方案②，且3BAE π∠=所以当3θ=时，()2max S = ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分因为2252<3BAE π∠=．答：方案①，②苗圃的最大面积分别为222252m ，建苗圃时用方案②，且3BAE π∠=．。
高考数学一轮复习导数及其应用多选题练习题及答案
高考数学一轮复习导数及其应用多选题练习题及答案一、导数及其应用多选题1．已知偶函数()y f x =对于任意的0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式中不成立的是（ ）A34f ππ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B34f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()04f π⎛⎫>- ⎪⎝⎭ D．63f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】ABC 【分析】 构造函数()()cos f x g x x =，结合导数和对称性可知()g x 为偶函数且在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递增，即可得23643f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，从而可判断ABD 选项，由()04g g π⎛⎫< ⎪⎝⎭可判断C 选项.【详解】因为偶函数()y f x =对于任意的0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>， 所以构造函数()()cos f x g x x =，则()()2cos sin ()0cos f x x f x x g x x'+'=>， ∴()g x 为偶函数且在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递增，32333cos 3f g g f πππππ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭∴-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，4444cos 4f g g πππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，666cos 6f g f ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由函数单调性可知643g g g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2643f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 对于AB，4343f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=- ⎪ ⎪⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎝⎭⎝ ⎪⎭⎭⎝，故AB 错误； 对于C ，()04g g π⎛⎫<⎪⎝⎭，()044f ππ⎛⎫⎛⎫<=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对于D 263f fππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确； 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性，解题的关键是利用已知条件构造对应的新函数()()cos f x g x x=，利用导数研究函数的单调性，从而比较大小，考查学生的逻辑推理能力与转化思想，属于较难题.2．下列不等式正确的有（ ）A 2ln 3<B ．ln π<C ．15<D ．3ln 2e <【答案】CD 【分析】构造函数()ln xf x x=，利用导数分析其单调性，然后由()2f f >、ff >、(4)f f >、()f f e <得出每个选项的正误.【详解】 令()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=，令()0f x '=得x e = 易得()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减所以①()2f f>，即ln 22>22ln ln 3>=，故A 错误；②ff >>，所以可得ln π>B 错误；③(4)f f >ln 4ln 242>=，即ln152ln 2=>所以ln15ln >15<，故C 正确；④()f f e <ln e e <3ln 21e<，即3ln 22e <所以3eln 2<，故D 正确； 故选：CD 【点睛】关键点点睛：本题考查的是构造函数，利用导数判断函数的单调性，解题的关键是函数的构造和自变量的选择.3．若函数()f x 满足对于任意1x ，2(0,1)x ∈，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，则称函数()f x 为“中点凸函数”．则下列函数中为“中点凸函数”的是（ ）A ．2()2f x x x =-B ．()tan f x x =C ．()sin cos f x x x =-D ．()e ln x f x x =-【答案】ABD 【分析】 用计算()()121222f x f x x x f ++⎛⎫-⎪⎝⎭的正负值来解，运算量大，比较复杂.我们可分析“中点凸函数”的几何特征，结合图像作答.由已知“中点凸函数”的定义，可得“中点凸函数”的图象形状可能为：【详解】由“中点凸函数”定义知：定义域内12,x x 对应函数值的平均值大于或等于122x x +处的函数值，∴下凸函数：任意连接函数图象上不同的两点所得直线一定在图象上方或与图象重合. 设()()11,Ax f x ，()()22,B x f x 为曲线()f x 在(0,1)上任意两点A 、B 、C 、D 选项对应的函数图象分别如下图示： ①2()2f x x x =-符合题意 ②()tan f x x =符合题意③()sin cos 2sin 4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭放大局部图像可见，在,14段，并不满足12,x x 对应函数值的平均值大于或等于122x x +处的函数值.不合题意④()e ln x f x x =-'1()e x f x x =-，''21()e 0x f x x+=>根据导函数作出图像如下符合题意. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查了函数的新定义及其应用，其中解答中正确理解函数的新定义，以及结合函数的图象求解是解答的关键，学生可利用数形结合求解，需要较强的推理与运算能力.4．（多选）已知函数()ln ()f x ax x a =-∈R ，则下列说法正确的是（ ） A ．若0a ≤，则函数()f x 没有极值 B ．若0a >，则函数()f x 有极值C ．若函数()f x 有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．若函数()f x 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是1(,0]e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭【答案】ABD 【分析】先对()f x 进行求导，再对a 进行分类讨论，根据极值的定义以及零点的定义即可判断. 【详解】解：由题意得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且11()ax f x a x x'-=-=， 当0a ≤时，()0f x '<恒成立，此时()f x 单调递减，没有极值， 又当x 趋近于0时，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于-∞， ∴()f x 有且只有一个零点，当0a >时，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，()f x 单调递减，在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上，()0f x '>，()f x 单调递增， ∴当1x a=时，()f x 取得极小值，同时也是最小值， ∴min 1()1ln f x f a a ⎛⎫==+⎪⎝⎭， 当x 趋近于0时，ln x 趋近于-∞，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于+∞， 当1ln 0a +=，即1a e=时，()f x 有且只有一个零点； 当1ln 0a +<，即10a e<<时，()f x 有且仅有两个零点， 综上可知ABD 正确，C 错误． 故选：ABD ． 【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x ＝，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且()()·0f a f b ＜，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．5．设函数()()1x af x a x a =->的定义域为()0,∞+，已知()f x 有且只有一个零点，下列结论正确的有（ ） A ．a e =B ．()f x 在区间()1,e 单调递增C ．1x =是()f x 的极大值点D ．()f e 是()f x 的最小值【答案】ACD 【分析】()f x 只有一个零点，转化为方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，即ln ln x ax a=只有一个正根．利用导数研究函数ln ()xh x x=的性质，可得a e =，判断A ，然后用导数研究函数()x e f x e x =-的性质，求出()'f x ，令()0f x '=，利用新函数确定()'f x 只有两个零点1和e ，并证明出()'f x 的正负，得()f x 的单调性，极值最值．判断BCD ．【详解】()f x 只有一个零点，即方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，x a a x =，取对数得ln ln x a a x =，即ln ln x ax a=只有一个正根． 设ln ()xh x x =，则21ln ()x h x x-'=，当0x e <<时，()0h x '>，()h x 递增，0x →时，()h x →-∞，x e >时，()0h x '<，()h x 递减，此时()0h x >，max 1()()h x h e e==． ∴要使方程ln ln x ax a =只有一个正根．则ln 1a a e =或ln 0a a<，解得a e =或0a <，又∵1a >，∴a e =．A 正确；()x e f x e x =-，1()x e f x e ex -'=-，1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．设()(1)ln 1p x e x x =--+，1()1e p x x-'=-，当01x e <<-时，()0p x '>，()p x 递增，1x e >-时，()0p x '<，()p x 递减，(1)p e -是极大值，又(1)()0p p e ==， 所以()p x 有且只有两个零点，01x <<或x e >时，()0p x <，即(1)ln 1e x x -<-，11e x x e --<，1e x ex e -<，()0f x '>，同理1x e <<时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)和(,)e +∞上递增，在(1,)e 上递减，所以极小值为()0f e =，极大值为(1)f ，又(0)1f =，所以()f e 是最小值．B 错，CD 正确． 故选：ACD ． 【点睛】关键点点睛：本题考用导数研究函数的零点，极值，单调性．解题关键是确定()'f x 的零点时，利用零点定义解方程，1()0xe f x e ex-'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．然后证明方程只有这两个解即可．6．已知()2sin x f x x x π=--.（ ）A ．()f x 的零点个数为4B ．()f x 的极值点个数为3C ．x 轴为曲线()y f x =的切线D ．若()12()f x f x =，则12x x π+=【答案】BC 【分析】首先根据()0f x '=得到21cos xx π-=，分别画出21xy π=-和cos y x =的图像，从而得到函数的单调性和极值，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】()21cos xf x x π'=--，令()0f x '=，得到21cos xx π-=.分别画出21xy π=-和cos y x =的图像，如图所示：由图知：21cos xx π-=有三个解，即()0f x '=有三个解，分别为0，2π，π. 所以(),0x ∈-∞，()21cos 0xf x x π'=-->，()f x 为增函数，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=--<，()f x 为减函数，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=-->，()f x 为增函数，(),x π∈+∞，()21cos 0xf x x π'=--<，()f x 为减函数.所以当0x =时，()f x 取得极大值为0，当2x π=时，()f x 取得极小值为14π-，当x π=时，()f x 取得极大值为0，所以函数()f x 有两个零点，三个极值点，A 错误，B 正确.因为函数()f x 的极大值为0，所以x 轴为曲线()y f x =的切线，故C 正确. 因为()f x 在(),0-∞为增函数，0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数， 所以存在1x ，2x 满足1202x x π<<<，且()()12f x f x =，显然122x x π+<，故D 错误.故选：BC 【点睛】本题主要考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的零点，极值点和切线，属于难题.7．下列命题正确的有（ ） A ．已知0,0a b >>且1a b +=，则1222a b -<<B ．34a b ==a bab+= C ．323y x x x =--的极大值和极小值的和为6-D ．过(1,0)A -的直线与函数3y x x =-有三个交点，则该直线斜率的取值范围是1(,2)(2,)4-+∞ 【答案】ACD 【分析】由等式关系、指数函数的性质可求2a b -的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求a b ab+；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与3y x x =-有三个交点，即可知2()h x x x k =--有两个零点且1x =-不是其零点即可求斜率范围.【详解】A 选项，由条件知1b a =-且01a <<，所以21(1,1)a b a -=-∈-，即1222a b -<<；B 选项，34a b ==log a =4log b =1212112(log 3log 4)2a b ab a b+=+=+=； C 选项，2361y x x '=--中>0∆且开口向上，所以存在两个零点12,x x 且122x x +=、1213x x =-，即12,x x 为y 两个极值点，所以2212121212121212()[()3]3[()2]()6y y x x x x x x x x x x x x +=++--+--+=-；D 选项，令直线为(1)y k x =+与3y x x =-有三个交点，即2()()(1)g x x x k x =--+有三个零点，所以2()h x x x k =--有两个零点即可∴140(1)20k h k ∆=+>⎧⎨-=-≠⎩，解得1(,2)(2,)4k ∈-+∞ 故选：ACD【点睛】本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范围，属于难题.8．已知实数a ，b ，c ，d 满足2111a a e cb d --==-，其中e 是自然对数的底数，则()()22a c b d -+-的值可能是（ ） A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】BCD【分析】 由题中所给的等式，分别构造函数()2xf x x e =-和()2g x x =-+，则()()22a c b d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),N c d 的距离的平方，利用导数的几何意义可知当()01f x '=-时，切点到直线的距离最小，再比较选项.【详解】 由212a a a e b a e b-=⇒=-，令()2x f x x e =-，()12x f x e '∴=- 由1121c d c d -=⇒=-+-，令()2g x x =-+ 则()()22a c b d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),N c d 的距离的平方，设()y f x =上与()y g x =平行的切线的切点为()000,M x y由()0001210xf x e x '=-=-⇒=，∴切点为()00,2M -所以切点为()00,2M -到()y g x =的距离的平方为28=的距离为(),M a b 与(),N c d 的距离的平方的最小值.故选：BCD.【点睛】本题考查构造函数，利用导数的几何意义求两点间距离的最小值，重点考查转化思想，构造函数，利用几何意义求最值，属于偏难题型.。
创新设计数学文江苏专用一轮复习 第三章 导学案 导数及其应用 含答案
第1讲 导数的概念及其运算考试要求 1.导数概念及其实际背景，A 级要求；2.导数的几何意义，B 级要求；3.根据导数定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝1x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数，A 级要求；4.利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，B 级要求；知 识 梳 理1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数①定义：设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．②几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)称函数f ′(x )＝ f (x ＋Δx )－f (x )Δx 为f (x )的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a xf ′(x )＝a x ln a (a >0)3.导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．诊 断 自 测1．思考辨析(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．(×) (2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(√) (3)若f (x )＝a 3＋2ax －x 2，则f ′(x )＝3a 2＋2x .(×)(4)物体的运动方程是s ＝－4t 2＋16t ，在某一时刻的速度为0，则相应时刻t ＝2.( ×) 2．(2015·镇江调研)已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为________．解析 y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0)，则y ′|x ＝x 0＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e .答案 1e3．(苏教版选修1－1P82T4改编)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值等于______．解析依题意知，y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ＋b ＝33×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1. 答案 14．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e x)＝x＋e x，则f′(1)＝________.解析设e x＝t，则x＝ln t(t＞0)，∴f(t)＝ln t＋t，∴f′(t)＝1t＋1，∴f′(1)＝2.答案 25．(2014·江西卷)若曲线y＝x ln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P 的坐标是________．解析令f (x)＝x ln x，则f′(x)＝ln x＋1，设P(x0，y0)，则f′(x0)＝ln x0＋1＝2，∴x0＝e，此时y0＝x0ln x0＝eln e＝e，∴点P的坐标为(e，e)．答案(e，e)考点一利用定义求函数的导数【例1】利用导数的定义求函数f(x)＝x3的导数．解Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)3－x3＝x3＋3x·(Δx)2＋3x2·Δx＋(Δx)3－x3＝Δx[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]，∴ΔyΔx＝3x2＋3x·Δx＋(Δx)2，∴f′(x)＝ΔyΔx＝[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.规律方法定义法求函数的导数的三个步骤一差：求函数的改变量Δy＝f(x＋Δx)－f(x)．二比：求平均变化率ΔyΔx ＝f(x＋Δx)－f(x)Δx.三极限：取极限，得导数y′＝f′(x)＝ΔyΔx.【训练1】函数y＝x＋1x在[x，x＋Δx]上的平均变化率ΔyΔx＝________；该函数在x＝1处的导数是________．答案 1－1x (x ＋Δx )考点二 导数的计算【例2】分别求下列函数的导数：(1)(2015·苏州调研)已知f (x )＝12x 2＋2xf ′(2 014)＋2 014ln x ，则f ′(2 014)＝________. 解析 由题意得f ′(x )＝x ＋2f ′(2 014)＋2 014x ， 所以f ′(2 014)＝2 014＋2f ′(2 014)＋2 0142 014， 即f ′(2 014)＝－(2 014＋1)＝－2 015. 答案 －2 015(2)分别求下列函数的导数： ①y ＝e x ·cos x ；②y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；③y ＝x －sin x 2cos x 2；④y ＝ln xe x解 ①y ′＝(e x )′cos x ＋e x (cos x )′＝e x cos x －e x sin x . ②∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3. ③∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12sin x ′＝1－12cos x .④y ′＝错误!＝错误! ＝1x －ln x e x ＝1－x ln x x e x .规律方法 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量． 【训练2】 分别求下列函数的导数： (1)y ＝11＋x ＋11－x；(2)y ＝sin 2x2；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)． 解 (1)∵y ＝11＋x ＋11－x ＝21－x， ∴y ′＝0－2(1－x )′(1－x )2＝2(1－x )2.(2)∵y ＝sin 2x 2＝12(1－cos x )，∴y ′＝－12(cos x )′＝－12·(－sin x )＝12sin x .(3)法一 ∵y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.法二 y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′ ＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(2x ＋3)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝3x 2＋12x ＋11.考点三 导数的几何意义【例3】 (2013·北京卷改编)已知曲线C ：y ＝ln xx . (1)求曲线C 在点(1,0)处的切线l 1的方程； (2)求过原点与曲线C 相切的直线l 2的方程． 解 设f (x )＝ln xx ，则f ′(x )＝1－ln x x 2. (1)∴f ′(1)＝1－ln 112＝1，即切线l 1的斜率k ＝1.由l 1过点(1,0)，得l 1的方程为y ＝x －1. (2)设l 2与曲线C 切于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，ln x 0x 0，则切线l 2方程为y －ln x 0x 0＝1－ln x 0x 20(x －x 0)，∵l 2过原点．∴－ln x 0x 0＝1－ln x 0x 20·(－x 0)，化简得ln x 0＝12，∴x 0＝e ， ∴l 2：y －12e＝12e (x －e)，整理得y ＝12e x .即为l 2的方程.规律方法 求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．【训练3】 (1)(2015·南京调研)曲线y ＝x ＋sin x 在点(0,0)处的切线方程是________． (2)(2015·惠州调研)已知函数f (x )＝x 3－3x ，若过点A (0,16)且与曲线y ＝f (x )相切的切线方程为y ＝ax ＋16，则实数a 的值是________．解析 (1)∵y ＝x ＋sin x ，∴y ′＝1＋cos x ，当x ＝0时，y ′＝1＋cos 0＝2，故曲线y ＝x ＋sin x 在点(0,0)处的切线方程是y －0＝2(x －0)，即2x －y ＝0.(2)先设切点为M (x 0，y 0)，则切点在曲线y 0＝x 30－3x 0上．①求导数得到切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3， 又切线l 过点A 、M 两点，所以k ＝y 0－16x 0，则3x 20－3＝y 0－16x 0②联立①、②可解得x 0＝－2，y 0＝－2， 从而实数a 的值为a ＝k ＝－2－16－2＝9.答案 (1)2x －y ＝0 (2)9[思想方法]1．f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值，即f′(x)在x＝x0处的函数值．(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．[易错防范]1．利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(x n)′＝nx n－1与指数函数的求导公式(a x)′＝a x ln x混淆．2．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．3．曲线与直线相切并不一定只有一个公共点．例如，y＝x3在(1,1)处的切线l与y ＝x3的图象还有一个交点(－2，－8).基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(2014·苏北四市模拟)曲线y＝x e x＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为________．解析根据导数运算法则可得y′＝e x＋x e x＋2＝(x＋1)e x＋2，则曲线y＝x e x＋2x＝1＋2＝3.故曲线y＝x e x＋2x－1在点(0，－1在点(0，－1)处的切线斜率为y′|x＝0－1)处的切线方程为y＋1＝3x，即3x－y－1＝0.答案3x－y－1＝02．(2015·苏、锡、常、镇四市调研)直线y＝kx与曲线y＝2e x相切，则实数k＝________. 解析设直线y＝kx与曲线y＝2e x相切的切点坐标为(x0,2e x0)，且y′＝2e x，则切线方程为y－2e x0＝2e x0(x－x0)，切线经过坐标原点，代入点(0,0)，解得x0＝1，则实数k＝2e x0＝2e.答案2e3．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________．解析 ∵f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin π4＋cos π4，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝(2－1)cos π4＋sin π4＝1. 答案 14．已知曲线y ＝14x 2－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点横坐标为________． 解析 设切点坐标为(x 0，y 0)(x 0＞0)，∵y ′＝12x －3x ，∴y ′|x ＝x 0＝12x 0－3x 0＝－12，即x 20＋x 0－6＝0，解得x 0＝2或－3(舍)． 答案 25．(2014·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是______．解析 y ＝ax 2＋b x 的导数为y ′＝2ax －b x 2，直线7x ＋2y ＋3＝0的斜率为－72.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b 2＝－5，4a －b 4＝－72，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.答案 －3 6.如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.解析 如图可知，f (5)＝3，f ′(5)＝－1，因此f (5)＋f ′(5)＝2.答案 27．(2015·扬州调研)若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝x －a ＋1x .∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，∴x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x ≥2(x ＞0)．答案 [2，＋∞)8．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f ′2(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 015(x )＝________.解析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，∴f n (x )是以4为周期的函数，∴f 2 015(x )＝f 3(x )＝－sin x －cos x ，故选A. 答案 －sin x －cos x 二、解答题9．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．解 (1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2， ∴在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4. ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝x 20.∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20·x －23x 30＋43.∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.10．设抛物线C: y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限． (1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标． 解 (1)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，① y 1＝－x 21＋92x 1－4，② ①代入②得x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k －92x 1＋4＝0. ∵P 为切点，∴Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k －922－16＝0得k ＝172或k ＝12.当k ＝172时，x 1＝－2，y 1＝－17.当k ＝12时，x 1＝2，y 1＝1.∵P 在第一象限，∴所求的斜率k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5.③ 将③代入抛物线方程得x 2－132x ＋9＝0. 设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，即2x 2＝9， ∴x 2＝92，y 2＝－4.∴Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－4.能力提升题组 (建议用时：25分钟)1．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．解析 y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e xe 2x ＋2e x ＋1.设t ＝e x∈(0，＋∞)，则y ′＝－4t t 2＋2t ＋1＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ＋2，∵t ＋1t ≥2，∴y ′∈[－1,0)，α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π2．(2014·武汉中学月考)已知曲线f (x )＝x n ＋1(n ∈N *)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 016x 1＋log 2 016x 2＋…＋log 2016x 2 015的值为________．解析 f ′(x )＝(n ＋1)x n ，k ＝f ′(1)＝n ＋1， 点P (1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)， 令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝nn ＋1， ∴x 1·x 2·…·x 2 015＝12×23×34×…×2 0142 015×2 0152 016＝12 016，则log 2 016x 1＋log 2 016x 2＋…＋log 2 016x 2 015＝log 2 016(x 1x 2…x 2 015)＝－1. 答案 －13．已知f (x )＝x (x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，则f ′(0)＝________.解析 令g (x )＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，则f (x )＝xg (x )，∴f ′(x )＝g (x )＋x ·g ′(x )．∴f ′(0)＝g (0)＝(－1)·(－2)·(－3)·(－4)·(－5)＝－120. 答案 －1204．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．(1)解 方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以曲线在点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容. 考试要求 1.函数单调性与导数的关系，A 级要求；2.利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)，B 级要求；3.函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，A 级要求；4.利用导数求函数的极大值、极小值，闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)，B 级要求．知 识 梳 理1．函数的导数与单调性的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增．(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减．(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数．2．函数的极值与导数3.(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．诊断自测1．思考辨析(在括号中打“√”或“×”)(1)f′(x)＞0是f(x)为增函数的充要条件．(×)(2)函数的极大值不一定比极小值大．(√)(3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．(×)(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(√)2.(2015·北京海淀区模拟)函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是________．解析∵f′(x)＝2x－2x＝2(x＋1)(x－1)x(x＞0)．∴当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，f(x)为递减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)为递增函数．答案(0,1)3．(苏教版选修2－2P34T8(2)改编)函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是________．解析∵f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.∴f(x)在[－1,0)上是增函数，f(x)在(0,1]上是减函数．∴f(x)max＝f(x)极大值＝f(0)＝2.答案 24．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为________．解析由题意知在x＝－1处f′(－1)＝0，且其左右两侧导数符号左负右正．答案 15．(2014·新课标全国Ⅱ卷改编)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是________．解析依题意得f′(x)＝k－1x≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥1x在(1，＋∞)上恒成立，∵x＞1，∴0＜1x＜1，∴k≥1.答案[1，＋∞)考点一利用导数研究函数单调性【例1】已知f(x)＝ln x－ax. (1)讨论f(x)的单调性；(2)若f (x )在(1,2)上单调递减，求实数a 的范围． 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －a .①当a ≤0时，∵x ＞0，∴f ′(x )＞0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②当a ＞0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1a ∈(0，＋∞)， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减． 综上：当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ＞0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)法一 ∵f (x )在(1,2)上为减函数， 由(1)知a ＞0，且(1,2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞. 故⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1a≤1，∴a ≥1.法二 f (x )在(1,2)上单调递减， ∴f ′(x )＝1x －a ≤0在(1,2)上恒成立，即a ≥1x 在(1,2)上恒成立， ∵x ∈(1,2)时，1x ＜1，∴a ≥1，即a 的范围为[1，＋∞)．规律方法 (1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f (x )含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)若可导函数f (x )在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到． 【训练1】 (2014·山东卷)设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数． (1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调性．解 (1)由题意知a ＝0时，f (x )＝x －1x ＋1，此时f ′(x )＝2(x ＋1)2. 可得f ′(1)＝12，又f (1)＝0，所以曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为x －2y －1＝0. (2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝a x ＋2(x ＋1)2＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a x (x ＋1)2.当a ≥0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 当a ＜0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a ， 由于Δ＝(2a ＋2)2－4a 2＝4(2a ＋1)， ①当a ＝－12时，Δ＝0，f ′(x )＝－12(x －1)2x (x ＋1)2≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．②当a ＜－12时，Δ＜0，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减． ③当－12＜a ＜0时，Δ＞0.设x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数g (x )的两个零点， 则x 1＝－(a ＋1)＋2a ＋1a ，x 2＝－(a ＋1)－2a ＋1a.由x 1＝a ＋1－2a ＋1－a ＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1－a＞0，所以x ∈(0，x 1)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减， x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增， x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减． 综上可得：当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当－12＜a ＜0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－(a ＋1)＋2a ＋1a ， ⎝ ⎛⎭⎪⎫－(a ＋1)－2a ＋1a ，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－(a ＋1)＋2a ＋1a ，－(a ＋1)－2a ＋1a 上单调递增． 考点二 利用导数求函数的极值【例2】 (2014·重庆卷)已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x . (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值． 解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x ，由f (x )在点(1，f (1)处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32， 则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x ∈(0,5)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数． 由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5.规律方法 (1)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．【训练2】 设函数f (x )＝ax 3－2x 2＋x ＋c (a ＞0)． (1)当a ＝1，且函数图象过(0,1)时，求函数的极小值； (2)若f (x )在R 上无极值点，求a 的取值范围． 解 由题得f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1. (1)函数图象过(0,1)时，有f (0)＝c ＝1. 当a ＝1时，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1. 令f ′(x )＞0，解得x ＜13或x ＞1； 令f ′(x )＜0，解得13＜x ＜1.所以函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13和(1，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1上单调递减，极小值是f (1)＝13－2×12＋1＋1＝1. (2)若f (x )在R 上无极值点，则f (x )在R 上是单调函数，即f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立．①当a ＝0时，f ′(x )＝－4x ＋1，显然不满足条件；②当a ≠0时，f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立的充要条件是Δ＝(－4)2－4×3a ×1≤0， 即16－12a ≤0，解得a ≥43. 综上，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞.考点三 利用导数求函数的最值【例3】 (2014·江西卷)已知函数f (x )＝(4x 2＋4ax ＋a 2)x ，其中a ＜0. (1)当a ＝－4时，求f (x )的单调递增区间； (2)若f (x )在区间[1,4]上的最小值为8，求a 的值． 解 (1)当a ＝－4时，由f ′(x )＝2(5x －2)(x －2)x＝0得x ＝25或x ＝2， 由f ′(x ) ＞0得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25或x ∈(2，＋∞)，故函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25和(2，＋∞)．(2)f ′(x )＝(10x ＋a )(2x ＋a )2x，a ＜0，由f ′(x )＝0得x ＝－a 10或x ＝－a2. 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 10时，f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a10，－a 2时，f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f (x )单调递增．易知f (x )＝(2x ＋a )2x ≥0，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝0.深度思考 对于第(2)小问，已知函数f (x )在某个闭区间上的最值，求参数值，一般解法你了解吗？(先求f (x )的最值再解方程求参数)①当－a2≤1，即－2≤a ＜0时，f (x )在[1,4]上的最小值为f (1)，由f (1)＝4＋4a ＋a 2＝8，得a ＝±22－2，均不符合题意．②当1＜－a 2≤4，即－8≤a ＜－2时，f (x )在[1,4]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝0，不符合题意．③当－a2＞4，即a ＜－8时，f (x )在[1,4]上的最小值可能在x ＝1或x ＝4处取得，而f (1)≠8，由f (4)＝2(64＋16a ＋a 2)＝8得a ＝－10或a ＝－6(舍去)，当a ＝－10时，f (x )在(1,4)上单调递减，f (x )在[1,4]上的最小值为f (4)＝8，符合题意．综上，a ＝－10.规律方法(1)不含参数求f(x)在[a，b]上的最值时，只需把f(x)的极值与端点函数值进行比较．其中最大的是最大值，最小的是最小值．(2)含参数时，应注意讨论f(x)在相应区间上的单调性，进而求最值．【训练3】已知函数f(x)＝(x－k)e x.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．解(1)由题意知f′(x)＝(x－k＋1)e x.令f′(x)＝0，得x＝k－1.当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：x (－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↓－e k－1↑所以f(x))．(2)当k－1≤0，即k≤1时，f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时，f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－e k－1；当k－1≥1，即k≥2时，f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.综上，当k≤1时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当1＜k＜2时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－e k－1；当k≥2时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.[思想方法]1．最值与极值的区别与联系(1)“最值”是整体概念，是比较整个定义域或区间内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．(2)从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的，而极值不唯一．(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能一个也没有．2．求极值、最值时，要求步骤规范；含参数时，要按一定标准讨论参数．3．在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．[易错防范]1．注意定义域优先的原则，求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行．2．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．3．解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．函数y＝12x2－ln x的单调递减区间为________．解析f(x)＝12x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－1x＝x2－1x，令f′(x)＞0，得x＞1，令f′(x)＜0，得0＜x＜1，所以f(x)的递增区间是(1，＋∞)，递减区间是(0,1)．答案(0,1)2．(2015·扬州模拟)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝________.解析 由题意得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋3a －b －1＝0，b －6a ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9，经检验当a ＝1，b ＝3时，函数f (x )在x ＝－1处无法取得极值，而a ＝2，b ＝9满足题意，故a －b ＝－7. 答案 －73．f (x )＝x 3－12x ，x ∈[－3,3]的最大值为________，最小值为________． 解析 f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝±2， ∵f (－3)＝9，f (3)＝－9， f (－2)＝16，f (2)＝－16， ∴f (x )最大值为16，最小值为－16. 答案 16 －164．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围是________．解析 ∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a . ∵函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点， 则方程y ′＝e x ＋a ＝0有大于零的解， ∵x ＞0时，－e x ＜－1，∴a ＝－e x ＜－1. 答案 (－∞，－1)5．(2013·福建卷改编)设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是________(填序号)． ①∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)； ②－x 0是f (－x )的极小值点； ③－x 0是－f (x )的极小值点；④－x 0是－f (－x )的极小值点．解析 ①错，因为极大值未必是最大值；②错，因为函数y ＝f (x )与函数y ＝ f (－x )的图象关于y 轴对称，－x 0应是f (－x )的极大值点；③错，函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (x )的图象关于x 轴对称，x 0应为－f (x )的极小值点；④正确，函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点对称，－x 0应为y ＝－f (－x )的极小值点． 答案 ④6．(2015·成都诊断)已知函数f (x )＝x 2＋ax(x ≠0，a ∈R )在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围为________． 解析 由已知可得f ′(x )＝2x －ax 2，要使f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，只需当x ≥2时， f ′(x )≥0恒成立，即2x －ax 2≥0，则a ≤2x 3恒成立，又当x ≥2时，2x 3≥16， 故当a ≤16时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数． 答案 (－∞，16]7．已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则f (－4)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π4的大小关系为________(用“<”连接)．解析 ∵f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，4π3时，sin x <0，cos x <0，∴f ′(x )＝sin x ＋x cos x <0，则函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，4π3上为减函数，∵5π4<4<4π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3<f (4)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，又函数f (x )为偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3<f (－4)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π4.答案 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3<f (－4)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π48．若函数y ＝x 3－3ax 在区间[1,2]上单调，则实数a 的范围为________． 解析 y ′＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )， 由题意x 2－a ＝0在(1,2)内无解． 即a ＝x 2，x ∈(1,2)无解， ∵x ∈(1,2)时，1＜x 2＜4，∴a ＝x 2无解的a 范围为a ≤1或a ≥4. 答案 (－∞，1]∪[4，＋∞) 二、解答题9．(2014·湘潭检测)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx ＋c 在点P (1，f (1))处的切线方程为y ＝－3x ＋1.(1)若函数f (x )在x ＝－2时有极值，求f (x )的解析式； (2)函数f (x )在区间[－2,0]上单调递增，求实数b 的取值范围．解 f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，函数f (x )在x ＝1处的切线斜率为－3，所以f ′(1)＝－3＋2a ＋b ＝－3， 即2a ＋b ＝0 ①，又f (1)＝－1＋a ＋b ＋c ＝－2得a ＋b ＋c ＝－1 ②.(1)函数f (x )在x ＝－2时有极值，所以f ′(－2)＝－12－4a ＋b ＝0 ③，由①②③解得a ＝－2，b ＝4，c ＝－3， 所以f (x )＝－x 3－2x 2＋4x －3.(2)因为函数f (x )在区间[－2,0]上单调递增，所以导函数f ′(x )＝－3x 2－bx ＋b 在区间[－2,0]上的值恒大于或等于零，则⎩⎨⎧f ′(－2)＝－12＋2b ＋b ≥0，f ′(0)＝b ≥0，得b ≥4，所以实数b 的取值范围是[4，＋∞)． 10．设函数f (x )＝x －1x －a ln x (a ∈R )． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个极值点x 1，x 2，记过点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))的直线的斜率为k ，是否存在a ，使得k ＝2－a ？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝1＋1x 2－a x ＝x 2－ax ＋1x 2.令g (x )＝x 2－ax ＋1，其判别式Δ＝a 2－4，①当|a |≤2时，Δ≤0，f ′(x )≥0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当a ＜－2时，Δ＞0，g (x )＝0的两根都小于0，在(0，＋∞)上，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．③当a ＞2时，Δ＞0，g (x )＝0的两根为x 1＝a －a 2－42＞0，x 2＝a ＋a 2－42＞1，当0＜x ＜x 1时，f ′(x )＞0；当x 1＜x ＜x 2时，f ′(x )＜0；当x ＞x 2时，f ′(x )＞0， 故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递减． (2)由(1)知，a ＞2.因为f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋x 1－x 2x 1x 2－a (ln x 1－ln x 2)，所以k ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝1＋1x 1x 2－a ·ln x 1－ln x 2x 1－x 2，又由(1)知，x 1x 2＝1， 于是k ＝2－a ·ln x 1－ln x 2x 1－x 2，若存在a ，使得k ＝2－a ，则ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝1，即ln x 1－ln x 2＝x 1－x 2， 即x 2－1x 2－2ln x 2＝0(x 2＞1)，(*)令h (t )＝t －1t －2ln t ，t ＞1，易知函数h (t )＝t －1t －2ln t 在(1，＋∞)上单调递增，则h (t )＞h (1)，即x 2－1x 2－2ln x 2＞1－11－2ln 1＝0.这与(*)式矛盾．故不存在a ，使得k ＝2－a .能力提升题组 (建议用时：25分钟)1．(2014·泰州检测)函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是________． 解析 因为f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)令f ′(x )＝0得x ＝±1，可知－1,1为函数的极值点．又f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，所以在区间[－3,2]上f (x )max ＝1，f (x )min ＝－19.由题设知在区间[－3,2]上f (x )max －f (x )min ≤t ，从而t ≥20，所以t 的最小值是20. 答案 202．已知f (x )＝x 22＋ln x －ax ，x ∈(0,2)，若f (x )存在两个极值点，则实数a 的范围为________．解析 f ′(x )＝x ＋1x －a ，由题意，f ′(x )有两个变号零点，即x ＋1x －a ＝0在(0,2)内有两不等根， 亦即a ＝x ＋1x 在x ∈(0,2)内时有两不等根，所以动直线y ＝a 与曲线y ＝x ＋1x ，x ∈(0,2)有两不同交点，结合y ＝x ＋1x ，x ∈(0,2)的图象可知a 的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，523．(2014·新课标全国Ⅰ卷改编)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是________．解析 (1)当a ＝0时，显然f (x )有两个零点，不符合题意．(2)当a ≠0时，f ′(x )＝3ax 2－6x ，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a . 当a ＞0时，2a ＞0，所以函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1在(－∞，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，＋∞上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 上为减函数，因为f (x )存在唯一零点x 0，且x 0＞0，则f (0)＜0， 即1＜0，不成立．当a ＜0时，2a ＜0，所以函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a 和(0，＋∞)上为减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，0上为增函数，因为f (x )存在唯一零点x 0，且x 0＞0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＞0，即a ·8a 3－3·4a 2＋1＞0，解得a ＞2或a ＜－2，又因为a ＜0，故a 的取值范围为(－∞， －2)．答案 (－∞，－2)4．(2014·安徽卷)设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a >0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0,1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． 解 (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2. 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a 3，x 2＝－1＋4＋3a3，x 1<x 2. 所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)． 当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0； 当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)内单调递减，在(x 1，x 2)内单调递增． (2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0. ①当a ≥4时，x 2≥1，由(1)知，f (x )在[0,1]上单调递增．所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．②当0<a<4时，x2<1，由(1)知，f(x)在[0，x2]上单调递增，在[x2,1]上单调递减，所以f(x)在x＝x2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f(0)＝1，f(1)＝a，所以当0<a<1时，f(x)在x＝1处取得最小值；当a＝1时，f(x)在x＝0处和x＝1处同时取得最小值；当1<a<4时，f(x)在x＝0处取得最小值.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.第3讲导数的综合应用考试要求 1.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，解决与之有关的方程(不等式)问题，B级要求；2.利用导数解决某些简单的实际问题，B级要求．知识梳理1．生活中的优化问题通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点．2．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤3．不等式的证明与不等式恒成立问题(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题．(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题．诊 断 自 测1．思考辨析(请在括号中打“√”或“×”) (1)连续函数在闭区间上必有最值．(√) (2)f (x )＝x －sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上有3个零点．(×)(3)对R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有f (0)＋f (2)＞2f (1)．(×) (4)实际问题中函数定义域要由实际问题的意义和函数解析式共同确定．(√) 2．若函数 f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是________． 解析 由于函数f (x )是连续的，故只需要两个极值异号即可．f ′(x )＝3x 2－3，令3x 2－3＝0，得x ＝±1，只需f (－1)·f (1)＜0，即(a ＋2)(a －2)＜0，故a ∈(－2,2)． 答案 (－2,2)3．设直线x ＝t ，与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当MN 达到最小时t 的值为________． 解析 当x ＝t 时，f (t )＝t 2，g (t )＝ln t ， ∴y ＝MN ＝t 2－ln t (t ＞0)．∴y ′＝2t －1t ＝2t 2－1t ＝2⎝⎛⎭⎪⎫t ＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫t －22t.当0＜t ＜22时，y ′＜0；当t ＞22时，y ′＞0. ∴y ＝MN ＝t 2－ln t 在t ＝22时有最小值． 答案 224．若f (x )＝ln xx ，0<a <b <e ，则f (a )，f (b )的大小关系为________． 解析 f ′(x )＝1－ln xx 2，当x ∈(0，e)时，1－ln xx 2>0，即f ′(x )>0， ∴f (x )在(0，e)上为增函数，又∵0<a <b <e ，∴f (a )<f (b )． 答案 f (a )<f (b )5．(苏教版选修2－2P35例1改编)从边长为10 cm ×16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为________cm 3. 解析 设盒子容积为y cm 3，盒子的高为x cm ，则x ∈(0,5)．则y ＝(10－2x )(16－2x )x ＝4x 3－52x 2＋160 x ，∴y ′＝12x 2－104x ＋160.令y ′＝0，得x ＝2或203(舍去)，∴y max ＝6×12×2＝144 (cm 3)． 答案 144考点一 利用导数解决不等式问题【例1】 (2014·南京、盐城模拟)已知函数f (x )＝ax ＋b x e x，a ，b ∈R ，且a ＞0. (1)若a ＝2，b ＝1，求函数f (x )的极值； (2)设g (x )＝a (x －1)e x －f (x )．①当a ＝1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )≥1成立，求b 的最大值； ②设g ′(x )为g (x )的导函数，若存在x ＞1，使g (x )＋g ′(x )＝0成立，求ba 的取值范围．解 (1)当a ＝2，b ＝1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1x e x ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．所以f ′(x )＝(x ＋1)(2x －1)x 2e x.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝12，列表如下：x (－∞，－1) －1(－1,0)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ f ′(x )＋－－＋↑↑由表知f (x )的极大值是f (－1)＝e －1，f (x )的极小值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4 e.(2)①因为g (x )＝(ax －a )e x－f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －b x －2a e x ， 当a ＝1时，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b x －2e x .因为g (x )≥1在x ∈(0，＋∞)上恒成立， 所以b ≤x 2－2x －xe x 在x ∈(0，＋∞)上恒成立．记h (x )＝x 2－2x －xe x (x ＞0)，则h ′(x )＝(x －1)(2e x ＋1)e x.当0＜x ＜1时，h ′(x )＜0，h (x )在(0,1)上是减函数； 当x ＞1时，h ′(x )＞0，h (x )在(1，＋∞)上是增函数． 所以h (x )min ＝h (1)＝－1－e －1. 所以b 的最大值为－1－e －1. ②因为g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －b x －2a e x ， 所以g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b x 2＋ax －b x －a e x .由g (x )＋g ′(x )＝0得⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －b x －2a e x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫bx 2＋ax －b x －a e x ＝0，整理得2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0. 存在x ＞1，使g (x )＋g ′(x )＝0成立，等价于存在x ＞1,2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0成立． 因为a ＞0，所以b a ＝2x 3－3x 22x －1.设u (x )＝2x 3－3x 22x －1(x ＞1)，则u ′(x )＝8x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －342＋316(2x －1)2.因为x ＞1，u ′(x )＞0恒成立，所以u (x )在(1，＋∞)上是增函数，所以u (x )＞u (1)＝－1，所以b a ＞－1，即ba 的取值范围为(－1，＋∞).规律方法 “恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f (x )≥g (a )对于x ∈D 恒成立，应求f (x )的最小值；若存在x ∈D ，使得f (x )≥g (a )成立，应求f (x )的最大值．在具体问题中究竟是求最大值还是最小值，可以先联想“恒成立”是求最大值还是最小值，这样也就可以解决相应的“存在性”问题是求最大值还是最小值．特别需要关注等号是否成立问题，以免细节出错．【训练1】 (2014·新课标全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝a ln x ＋1－a2x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为0. (1)求b ；(2)若存在x 0≥1，使得f (x 0)＜aa －1，求a 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝ax ＋(1－a )x －b . 由题设知f ′(1)＝0，解得b ＝1. (2)f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知，f (x )＝a ln x ＋1－a2x 2－x ， f ′(x )＝ax ＋(1－a )x －1 ＝1－a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 1－a (x －1)．①若a ≤12，则a 1－a≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(1，＋∞)上单调递增． 所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)＜a a －1的充要条件为f (1)＜a a －1，即1－a 2－1＜aa －1，解得－2－1＜a ＜2－1.②若12＜a ＜1，则a 1－a ＞1，故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 时，f ′(x )＜0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞时，f ′(x )＞0.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞上单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)＜a a －1的充要条件为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ＜a a －1. 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ＝a ln a 1－a ＋a 22(1－a )＋a a －1＞a a －1，所以不合题意．③若a ＞1，则f (1)＝1－a 2－1＝－a －12＜aa －1.综上，a 的取值范围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞)． 考点二 导数在方程(函数零点)中的应用 【例2】 设函数f (x )＝ln x ＋mx ，m ∈R .(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值； (2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x3零点的个数； (3)若对任意b ＞a ＞0，f (b )－f (a )b －a＜1恒成立，求m 的取值范围． 解 (1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋ex ，则f ′(x )＝x －e x 2(x ＞0)， ∴当x ∈(0，e)，f ′(x )＜0，f (x )在(0，e)上单调递减， 当x ∈(e ，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增， ∴当x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋ee ＝2， ∴f (x )的极小值为2.(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x3(x ＞0)， 令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x ＞0)． 设φ(x )＝－13x 3＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0,1)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(0,1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减．∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点． ∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23.又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图象(如图)，可知①当m ＞23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点； ③当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点； ④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点． 综上所述，当m ＞23时，函数g (x )无零点； 当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点； 当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点． (3)对任意的b ＞a ＞0，f (b )－f (a )b －a＜1恒成立， 等价于f (b )－b ＜f (a )－a 恒成立．(*) 设h (x )＝f (x )－x ＝ln x ＋mx －x (x ＞0)， ∴(*)等价于h (x )在(0，＋∞)上单调递减． 由h ′(x )＝1x －mx 2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立， 得m ≥－x 2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14(x ＞0)恒成立，∴m ≥14(对m ＝14，h ′(x )＝0仅在x ＝12时成立)， ∴m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞.规律方法 (1)研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点归根到底是研究函数的单调性、极值、最值等性质．(2)用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合建立所含参数的方程(或不等式)来解决．【训练2】(2013·北京卷)已知函数f(x)＝x2＋x sin x＋cos x.(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．解由f(x)＝x2＋x sin x＋cos x，得f′(x)＝2x＋sin x＋x(sin x)′－sin x＝x(2＋cos x)．(1)因为曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，所以f′(a)＝a(2＋cos a)＝0，b＝f(a)．解得a＝0，b＝f(0)＝1.(2)设g(x)＝f(x)－b＝x2＋x sin x＋cos x－b.令g′(x)＝f′(x)－0＝x(2＋cos x)＝0，得x＝0.当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：所以函数g(x)g(x)的最小值为g(0)＝1－b.①当1－b≥0时，即b≤1时，g(x)＝0至多有一个实根，曲线y＝f(x)与y＝b最多有一个交点，不合题意．②当1－b<0时，即b>1时，有g(0)＝1－b<0，g(2b)＝4b2＋2b sin 2b＋cos 2b－b>4b－2b－1－b>0.∴y＝g(x)在(0,2b)内存在零点，又y＝g(x)在R上是偶函数，且g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴y＝g(x)在(0，＋∞)上有唯一零点，在(－∞，0)也有唯一零点．故当b>1时，y ＝g(x)在R上有两个零点，则曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点．。
江苏版高考数学一轮复习：专题3.1导数概念及其运算讲解附答案.doc
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】专题3.1 导数概念及其运算【考纲解读】内 容要 求备注A B C导数及其应用导数的概念√导数的几何意义√导数的运算√【直击考点】题组一 常识题1．[教材改编] 某斜抛物体抛出后相对于水平面的高度h ()m 与抛出后的时间t ()s 的函数关系是h (t )＝－t 2＋6t ＋10，则在3≤t ≤4这段时间内的平均速度为________m/s.【解析】 平均速度为h （4）－h （3）4－3＝18－191＝－1(m/s)．2．[教材改编] 已知函数f (x )＝5－3x ＋2x 2，且f ′(a )＝－1，则a ＝________． 【解析】 由题意可知，f ′(x )＝－3＋4x ，所以f ′(a )＝－3＋4a ＝－1，解得a ＝12.3．[教材改编] 曲线y ＝2x 3－3x ＋5在点(2，15)处的切线的斜率为________． 【解析】 因为y ′＝6x 2－3，所以在点(2，9)处切线的斜率k ＝6×22－3＝21. 题组二 常错题4．若函数f (x )＝4x 3＋a 2＋a ，则f ′(x )＝__________．【解析】 f ′(x )＝(4x 3＋a 2＋a )′＝12x 2.本题易出现一种求导错解：f ′(x )＝12x 2＋2a ＋1，没弄清函数中的变量是x ，而a 只是一个字母常量，其导数为0.5．函数y ＝ln xex 的导函数为____________．【解析】y′＝1x·e x－e x·ln x（e x）2＝1－x ln xx e x.本题易出现用错商的求导法则的情况．题组三常考题6．已知函数f(x)＝ax3－x＋2的图像在点(1，f(1))处的切线过点(2，6)，则a＝________．7．函数y＝e xx在其极值点处的切线方程为________________．【解析】y′＝e x（x－1）x2，令y′＝0，得x＝1，此时y＝e，即极值点为(1，e)，函数在该点处的切线斜率为零，故切线方程为y＝e.【知识清单】1．导数的运算1．基本初等函数的导数公式(sin x)′＝cosx，(cos x)′＝－sinx，(ax)′＝axlna，(ex)′＝ex，(logax)＝1xln a，(ln x)′＝1x.2．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)•g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)f x g x′＝f′x g x－f x g′x[g x]2(g(x)≠0)．3．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′•ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．考点2 导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x －x0)．【考点深度剖析】【重点难点突破】考点1 导数的运算 【1-1】求下列函数的导数．(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝e x＋1e x －1；(3)y ＝ln(2x －5)．【答案】(1) 2x sin x ＋x 2cos x . (2) －2exe x－12.(3) 22x －5.【1-2】已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n∈N *，n ≥2)，则f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋…＋f 2 014⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝________.【答案】0【解析】f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ，以此类推，可得出f n (x )＝f n ＋4(x )，又∵f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0，∴f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋…＋f 2 014⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝503f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 4⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0. 【思想方法】1． 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．2． 复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导．【温馨提醒】区别“积的导数”与“复合函数的导数”的差异 考点2 导数的几何意义【2-1】 已知函数f (x )＝3x ＋cos 2x ＋sin 2x ，a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，f ′(x )是f (x )的导函数，则过曲线y ＝x 3上一点P (a ，b )的切线方程为________.【答案】3x －y －2＝0.【2-2】已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图像都相切，且与f (x )图像的切点为(1，f (1))，则m 等于________. 【答案】－2【解析】∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1，又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图像的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，于是解得m ＝－2【思想方法】导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)； (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f x 1－f x 0x 1－x 0求解．【温馨提醒】在解决曲线的切线问题时要注意辨别是求“曲线上某点(一定在曲线上)处的切线方程”，还是求“过某点(可能在曲线上、也可能不在曲线上)的切线方程，前者只有一条，而后者包括了前者，后者可能不止一条【易错试题常警惕】1、知曲线的切线求参数问题，一定要注意所给的点是否是切点． 如：若存在过点()1,0的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则a = ． 【分析】设过点()1,0的直线与曲线3y x =相切于点()300,x x ，所以切线方程为()320003y x x x x -=-，即230032y x x x =-，又()1,0在切线上，所以2300320x x -=，解得00x =或032x =，当00x =时，由0y =与21594y ax x =+-相切可得2564a =-，当032x =时，由272744y x =-与21594y ax x =+-相切可得1a =-．综上可得，2564a =-或1-． 【易错点】在解题中，未对()1,0的位置进行判断，误认为()1,0是切点．2、函数的求导问题，一定要先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导．如：若()132y x =，则y '= ． 【分析】()1133322y x x ==，所以23332233x y x x-'==． 【易错点】容易出现()()12331223x x -'⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的错误．高中数学知识点三角函数1、以角的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点P 到原点的距离记为，则sin =，cos = ，tg = ，ctg = ，sec = ，csc = 。
(江苏版)高考数学一轮复习(讲 练 测)： 专题3.3 导数的综合应用(测)
专题3.3 导数的综合应用班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________(满分100分，测试时间50分钟)一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分，共计60分)． 1. 【2017课标3，理11改编】已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =_________【答案】12【解析】2. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考】已知函数()()31,ln 4f x x mxg x x =++=-.{}min ,a b 表示,a b 中的最小值，若函数()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．【答案】()53,44--【解析】试题分析：()23f x x m '=+，因为()10g =，所以要使()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，须满足()10,0,0f f m ><<，解得51534244m m >-⇒-<<- 3. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测】若函数()y f x =的定义域为R ，对于x R ∀∈，'()()f x f x <，且(1)f x +为偶函数，(2)1f =，则不等式()x f x e <的解集为 ． 【答案】(0,)+∞ 【解析】试题分析：令()()x f x g x e =，则()()()0xf x f xg x e'-'=<，因为(1)f x +为偶函数，所以(1)(1)(0)(2)1g(0)1f x f x f f +=-+⇒==⇒=，因此()()1(0)0x f x e g x g x <⇒<=⇒>4. 【2017届高三七校联考期中考试】若()1ln ,(),0xexf x x a xg x a e =--=<，且对任意[]()1212,3,4,x x x x ∈≠121211|()()|||()()f x f xg x g x -<-的恒成立，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 【答案】22[3,0)3e - 【解析】则()'21()10xe x a h x x ex-=--≤在(3,4)x ∈上恒成立，[]11,3,4x x e a x e x x --∴≥-+∈恒成立 令[]11(),3,4x x e u x x ex x--=-+∈，[]21112(1)113'()11,3,424x x x e x u x ee x x x ---⎡⎤-⎛⎫∴=-+=--+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦21211331,'()0244x ee u x x -⎡⎤⎛⎫-+>>∴<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦Q ，()u x ∴为减函数，()u x ∴在[]3,4x ∈的最大值为22(3)33u e =-综上，实数a 的取值范围为22[3,0)3e -.5. f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a ，b ，若a <b ，则af (b )与bf (a )的大小关系为________． 【答案】af (b )≤bf (a )【解析】∵xf ′(x )≤－f (x )，f (x )≥0， ∴⎝⎛⎭⎪⎫f x x ′＝xfx －f x x 2≤－2f xx 2≤0. 则函数f x x 在(0，＋∞)上是单调递减的，由于0<a <b ，则f a a ≥f bb.即af (b )≤bf (a )． 6.设D 是函数y ＝f (x )定义域内的一个区间，若存在x 0∈D ，使f (x 0)＝－x 0，则称x 0是f (x )的一个“次不动点”，也称f (x )在区间D 上存在“次不动点”，若函数f (x )＝ax 2－3x －a ＋52在区间[1,4]上存在“次不动点”，则实数a 的取值范围是________． 【答案】⎝⎛⎦⎥⎤－∞，127.电动自行车的耗电量y 与速度x 之间有关系y ＝13x 3－392x 2－40x (x >0)，为使耗电量最小，则速度应定为________． 【答案】40【解析】由y ′＝x 2－39x －40＝0， 得x ＝－1或x ＝40， 由于0<x <40时，y ′<0；当x >40时，y ′>0.所以当x ＝40时，y 有最小值．8.函数f (x )＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，则a 的取值范围是________． 【答案】(－∞，0)【解析】f (x )＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，即函数f (x )恰有两个极值点，即f ′(x )＝0有两个不等实根．∵f (x )＝ax 3＋x ，∴f ′(x )＝3ax 2＋1. 要使f ′(x )＝0有两个不等实根，则a <0.9.函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．【答案】2110.设函数f (x )＝e 2x 2＋1x ，g (x )＝e 2x e x ，对任意x 1、x 2∈(0，＋∞)，不等式g x 1k ≤f x 2k ＋1恒成立，则正数k 的取值范围是________． 【答案】[1，＋∞)解析】因为对任意x 1、x 2∈(0，＋∞)， 不等式g x 1k ≤f x 2k ＋1恒成立，所以k k ＋1≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤g x 1f x 2max. 因为g (x )＝e 2xe x ，所以g ′(x )＝(x e2－x)′＝e2－x＋x e2－x·(－1)＝e2－x(1－x )．当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0,1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减． 所以当x ＝1时，g (x )取到最大值，即g (x )max ＝g (1)＝e ； 因为f (x )＝e 2x 2＋1x，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝e 2x ＋1x ≥2e，当且仅当e 2x ＝1x，即x ＝1e 时取等号，故f (x )min ＝2e.所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤g x 1f x 2max ＝e 2e ＝12.所以kk ＋1≥12.又因为k 为正数，所以k ≥1. 二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指．定区域内．．．．。
江苏版高考数学一轮复习：专题3.3导数的综合应用练习题附答案.doc
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】专题3.3 导数的综合应用1．(2017·南通调研)已知函数f(x)＝a＋x ln x(a∈R)．(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)的零点个数．解(1)由函数f(x)＝a＋x ln x∈(a∈R)得f′(x)＝12x(ln x＋2)．令f′(x)＝0，得x＝e－2，列表如下：x (0，e－2)e－2(e－2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值因此，函数f(x)所以当a≤0时，函数f(x)零点个数为1.②当0<a<2e－1时，2．(2016·天津卷节选)设函数f (x )＝x 3－ax －b ，x ∈R ，其中a ，b ∈R . (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )存在极值点x 0，且f (x 1)＝f (x 0)，其中x 1≠x 0，求证：x 1＋2x 0＝0. (1)解 由f (x )＝x 3－ax －b ，可得f ′(x )＝3x 2－a . 下面分两种情况讨论：①当a ≤0时，有f ′(x )＝3x 2－a ≥0恒成立， 所以f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)． ②当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝3a 3或x ＝－3a 3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3－3a3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 33a3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞ f′(x) ＋0 －0 ＋f(x)极大值极小值所以f (x )的单调递减区间为 ⎛⎪⎫－3a ，3a ，单调递增区间为 ⎛⎪⎫－∞，－3a ， ⎛⎪⎫3a ，＋∞. (2)证明 因为f (x )存在极值点， 所以由(1)知a >0，且x 0≠0.由题意，得f ′(x 0)＝3x 20－a ＝0，即x 20＝a3，进而f (x 0)＝x 30－ax 0－b ＝－2a3x 0－b . 又f (－2x 0)＝－8x 30＋2ax 0－b ＝－8a 3x 0＋2ax 0－b ＝－2a3x 0－b ＝f (x 0)，且－2x 0≠x 0， 由题意及(1)知，存在唯一实数x 1满足f (x 1)＝f (x 0)，且x 1≠x 0，因此x 1＝－2x 0，所以x 1＋2x 0＝0.3．(2017·南京、盐城模拟)已知函数f (x )＝axe x 在x ＝0处的切线方程为y ＝x .(1)求实数a 的值；(2)若对任意的x ∈(0,2)，都有f (x )<1k ＋2x －x 2成立，求实数k 的取值范围；(3)若函数g (x )＝ln f (x )－b 的两个零点为x 1，x 2，试判断g ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22的正负，并说明理由．由题意得函数g (x )＝ln f (x )－b ＝ln x －x －b ， 所以g ′(x )＝1x －1＝1－xx，易得函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以要证g ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<0，只需证明x 1＋x 22>1即可．因为x 1，x 2是函数g (x )的两个零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋b ＝ln x 1，x 2＋b ＝ln x 2，4．(2016·江苏卷)已知函数f (x )＝a x＋b x(a ＞0，b ＞0，a ≠1，b ≠1)． (1)设a ＝2，b ＝12.①求方程f (x )＝2的根；②若对任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，求实数m 的最大值； (2)若0＜a ＜1，b ＞1，函数g (x )＝f (x )－2有且只有1个零点，求ab 的值．解 (1)①由已知可得2x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝2，即2x＋12x ＝2.∴(2x )2－2·2x＋1＝0， 解得2x ＝1，∴x ＝0.②f (x )＝2x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝2x ＋2－x ，令t ＝2x ＋2－x，则t ≥2. 又f (2x )＝22x＋2－2x＝t 2－2，故f (2x )≥mf (x )－6可化为t 2－2≥mt －6， 即m ≤t ＋4t ，又t ≥2，t ＋4t≥2t ·4t＝4. (当且仅当t ＝2时等号成立)．∴m ≤⎝⎛⎭⎪⎫t ＋4t min ＝4.即m 的最大值为4.(2)∵0＜a ＜1，b ＞1，∴ln a ＜0，ln b ＞0.g (x )＝f (x )－2＝a x ＋b x －2.g ′(x )＝a x ln a ＋b x ln b 且g ′(x )为单调递增，值域为R 的函数．∴g ′(x )一定存在唯一的变号零点． ∴g (x )为先减后增且有唯一极值点． 由题意g (x )有且仅有一个零点．， 则g (x )的极值一定为0，而g (0)＝a 0＋b 0－2＝0，故极值点为0. ∴g ′(0)＝0，即ln a ＋ln b ＝0.∴ab ＝1. 5．(2017·衡水中学质检)已知函数f (x )＝x ＋aex.(1)若f (x )在区间(－∞，2)上为单调递增函数，求实数a 的取值范围；(2)若a ＝0，x 0<1，设直线y ＝g (x )为函数f (x )的图象在x ＝x 0处的切线，求证：f (x )≤g (x )．6．(2016·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝(x －2)e x＋a (x －1)2. (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围．解(1)f′(x)＝(x－1)e x＋2a(x－1)＝(x－1)(e x＋2a)．(ⅰ)设a≥0，则当x∈(－∞，1)时，f′ (x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(ⅱ)设a<0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a)．。
【最新】江苏省高三数学一轮典型专题训练：《导数及其应用》(含解析)
江苏省高三数学一轮复习典型题专题训练专题一、导数及其应用一、填空题1、（盐城上期中）若函数x x a x x f ln )3()(2+++=在区间(1,2)上存在唯一的极值点，则实数a 的取值范围为 ▲ ．2、（南京市高三学情调研）若函数f (x )＝12ax 2－e x ＋1在x ＝x 1和x ＝x 2两处取到极值， 且 x 2x 1≥2，则实数a 的取值范围是＿＿＿3、（南京市六校联合体高三上学期12月联考）设直线l 是曲线x x y ln +=22的切线，则直线l 的斜率的最小值是 ▲ ．4、（江苏省常州一中、泰兴中学、南菁高中高三10月月考）函数在点A （2，1）处切线的斜率为 ▲ ．5、（江苏省常州一中、泰兴中学、南菁高中高三月考）若函数f(x)=kx-cosx 在区间()单调递增，则 k 的取值范围是 ▲ .6、（南师附中高三年级5月模拟）在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：3103y x x =-+上，且在第四象限内．已知曲线C 在点P 处的切线为2y x b =+，则实数b 的值为 ．7、（徐州市高三上期中考试）已知函数32()2f x x x a =--，若存在(]0,x a ∈-∞，使0()0f x ，则实数a 的取值范围为 ▲8、（常州上期末）已知函数()ln f x bx x =+，其中b ∈R ．若过原点且斜率为k 的直线与曲线()y f x =相切，则k b -的值为 ▲ ．9、（盐城市高三上学期期中）已知()f x 为奇函数，当0x <时，()2xf x e x =+，则曲线()y f x =在1x =处的切线斜率为 ▲ ．10、（苏州市高三上学期期末）曲线2xy x e =+在0x =处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为 ．11、（盐城市高三上学期期中）在平面直角坐标系中，曲线21xy e x =++在x ＝0处的切线方程是 ．12、（盐城市高三上学期期中）已知函数21()()(1)2xf x x m e x m x =+--+在R 上单调递增，则实数m 的取值集合为 ．13、（南京市、镇江市高三上学期期中）已知e 为自然对数的底数，函数y ＝e x －lnx 在［1，e ］的最小值为＿＿14、（苏锡常镇四市高三教学情况调查（二））已知点P 在曲线C ：212y x =上，曲线C 在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线C 的另一交点为Q ，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则点P 的纵坐标为 ．15、（苏锡常镇四市高三教学情况调查（二））已已知e 为自然对数的底数，函数2()xf x e ax =-的图像恒在直线32y ax =上方，则实数a 的取值范围为 ．二、解答题1、（南京市高三9月学情调研）已知函数f (x )＝2x 3－3(a +1)x 2＋6ax ，a ∈R ． （1）曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为3，求a 的值；（2）若对于任意x ∈(0，+∞)，f (x )＋f (－x )≥12ln x 恒成立，求a 的取值范围； （3）若a ＞1，设函数f (x )在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M (a )、m (a )， 记h (a )＝M (a )－m (a )，求h (a )的最小值． 2、（南京市高三9月学情调研） 已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x 2．（1）求过原点(0，0)，且与函数f (x )的图象相切的直线l 的方程；（2）若a ＞0，求函数φ(x )＝|g (x )－2a 2f (x )|在区间[1，＋∞) 上的最小值． 3、（南京市六校联合体高三上学期12月联考）已知函数ln (),()xx xf xg x e x==. (1)求()f x 的极大值；(2)当0a >时，不等式()xg x ax b ≤+恒成立，求ba的最小值； (3)是否存在实数k N ∈，使得方程()(1)()f x x g x =+在(,1)k k +上有唯一的根，若存在，求出所有k 的值，若不存在，说明理由.4、（江苏省常州一中、泰兴中学、南菁高中高三10月月考）已知函数，a ∈R.⑴函数y= f(x)在点(2,f(2))处的切线与直线x-2y+1=0垂直，求a 的值； ⑵讨论函数f(x)的单调性； ⑶当a=1时，证明：不等式成立.（其中n!=1×2×3×…×n ，n ∈N*,n ≥2）5、（南京市高三12月联合调研）已知函数21()ln 2f x ax x =+，()g x bx =-，设()()()h x f x g x =-.（1）若()f x 在x 处取得极值，且(1)(1)2f g '=--，求函数()h x 的单调区间； （2）若0a =时函数()h x 有两个不同的零点12,x x .①求b 的取值范围；②求证：1221x x e >. 6、（南京市、盐城市高三上学期期末）若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f (x )的极值点．设函数f (x )＝x 3－tx 2＋1(t ∈R )． （1）若函数f (x )在(0，1)上无极值点，求t 的取值范围；（2）求证：对任意实数t ，在函数f (x )的图象上总存在两条切线相互平行；（3）当t ＝3时，若函数f (x )的图象上存在的两条平行切线之间的距离为4，问：这样的平行切线共有几组？请说明理由．7、（如皋市高三上学期期末）已知函数()ln 2f x x ax a =-+，其中a ∈R ．（I ）若函数()f x 的图象在1x =处的切线与直线20x ay --=垂直，求实数a 的值； （II ）设函数()()22g x f x ax a =++． (1).求函数()g x 的单调区间；(2)若不等式()0g x >对任意的实数()1x ∈+∞，恒成立，求实数a 的取值范围． 8、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）已知函数()()ln f x x a x =-()a ∈R ． （1）若1a =，求()f x 在1x =处的切线方程；（2）若对于任意的正数x ，()0f x ≥恒成立，求实数a 的值； （3）若函数()f x 存在两个极值点，求实数a 的取值范围．9、（苏州市高三上学期期中）设函数()1ln f x ax x =--，a 为常数． （1）当2a =时，求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若12,x x 为函数()f x 的两个零点，12x x >． ①求实数a 的取值范围； ②比较12x x +与2a的大小关系，并说明理由．10、（南京市高三第三次模拟）已知函数f (x )＝ln x ＋a x ＋1，a ∈R ．（1）若函数f (x )在x ＝1处的切线为y ＝2x ＋b ，求a ，b 的值；（2）记g (x )＝f (x )＋ax ，若函数g (x )在区间(0，12)上有最小值，求实数a 的取值范围；（3）当a ＝0时，关于x 的方程f (x )＝bx 2有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围． 11、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）高三第一次模拟（2月）） 已知函数()()ln a f x x a x =+∈R ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）设()f x 的导函数为()f x '，若()f x 有两个不相同的零点12x x ，． ① 求实数a 的取值范围；② 证明：1122()()2ln 2x f x x f x a ''+>+．12、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟） 已知函数21()2ln 2f x x x ax a =+-∈，R ．（1）当3a =时，求函数()f x 的极值；（2）设函数()f x 在0x x =处的切线方程为()y g x =，若函数()()y f x g x =-是()0+∞，上 的单调增函数，求0x 的值；（3）是否存在一条直线与函数()y f x =的图象相切于两个不同的点？并说明理由．13、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟（5月））已知函数2()1ln ax f x x =+（0a ≠），e 是自然对数的底数．（1）当0a >时，求()f x 的单调增区间；（2）若对任意的12x ≥，1()2e b f x -≥（b ∈R ），求b a 的最大值；（3）若()f x 的极大值为2-，求不等式()e 0x f x +<的解集．14、（苏锡常镇四市高三教学情况调查（一））已知函数()(1)ln (R)f x x x ax a =++∈． （1）若()y f x =在(1，(1)f )处的切线方程为0x y b ++=，求实数a ，b 的值； （2）设函数()()f x g x x=，x ∈[1，e]（其中e 为自然对数的底数）．①当a ＝﹣1时，求()g x 的最大值；②若()()exg x h x =是单调递减函数，求实数a 的取值范围．15、（盐城市2019届高三第三次模拟） 设函数x ae x x f -=)(（e 为自然对数的底数，R a ∈）. （1）当1=a 时，求函数)(x f 的图象在1=x 处的切线方程； （2）若函数)(x f 在区间(0,1)上具有单调性，求a 的取值范围；（3）若函数)()()(x f e e x g x -=有且仅有3个不同的零点321,,x x x ，且321x x x <<，113≤-x x ,求证: 1131-+≤+e e x x16、（南师附中高三年级5月模拟）设a 为实数，已知函数()xf x axe =，()lng x x x =+．（1）当a ＜0时，求函数()f x 的单调区间；（2）设b 为实数，若不等式2()2f x x bx ≥+对任意的a ≥1及任意的x ＞0恒成立，求b 的取值范围；（3）若函数()()()h x f x g x =+(x ＞0，x ∈R)有两个相异的零点，求a 的取值范围．参考答案一、填空题 1、 15(,6)2-- 2、[ 2ln2，＋∞） 3、44、122㏑ 5、［－12∞，＋） 6、－13 7、[1,0][2,)-+∞ 8、1e 9、12e-10、2311、32y x =+ 12、{}1- 13、e14、1 15、二、解答题1、解：（1）因为f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ，所以f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ，所以曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线斜率k ＝f ′(0)＝6a ，所以6a ＝3，所以a ＝12． ………………………2分（2）f (x )＋f (－x )＝－6(a ＋1)x 2≥12ln x 对任意x ∈(0，+∞)恒成立，所以－(a ＋1)≥2ln xx 2． ………………………4分令g (x )＝2ln xx 2，x ＞0，则g '(x )＝2(1－2ln x )x 3．令g '(x )＝0，解得x ＝e ．当x ∈(0，e)时，g '(x )＞0，所以g (x )在(0，e)上单调递增；当x ∈(e ，＋∞)时，g '(x )＜0，所以g (x )在(e ，＋∞)上单调递减．所以g (x )max ＝g (e)＝1e ， ………………………6分所以－(a ＋1)≥1e ，即a ≤－1－1e，所以a 的取值范围为(－∞，－1－1e ]． ………………………8分（3）因为f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ，所以f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a )，f (1)＝3a －1，f (2)＝4．令f ′(x )＝0，则x ＝1或a ． ………………………10分 f (1)＝3a －1，f (2)＝4．①当1＜a ≤53时，当x ∈(1，a )时，f '(x )＜0，所以f (x )在(1，a )上单调递减； 当x ∈(a ，2)时，f '(x )＞0，所以f (x )在(a ，2)上单调递增．又因为f (1)≤f (2)，所以M (a )＝f (2)＝4，m (a )＝f (a )＝－a 3＋3a 2， 所以h (a )＝M (a )－m (a )＝4－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋4． 因为h ' (a )＝3a 2－6a ＝3a (a －2)＜0， 所以h (a )在(1，53]上单调递减，所以当a ∈(1，53]时，h (a )最小值为h (53)＝827．………………………12分②当53＜a ＜2时，当x ∈(1，a )时，f '(x )＜0，所以f (x )在(1，a )上单调递减； 当x ∈(a ，2)时，f '(x )＞0，所以f (x )在(a ，2)上单调递增．又因为f (1)＞f (2)，所以M (a )＝f (1)＝3a －1，m (a )＝f (a )＝－a 3＋3a 2， 所以h (a )＝M (a )－m (a )＝3a －1－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋3a －1． 因为h ' (a )＝3a 2－6a ＋3＝3(a －1)2≥0． 所以h (a )在(53，2)上单调递增，所以当a ∈(53，2)时，h (a )＞h (53)＝827． ………………………14分③当a ≥2时，当x ∈(1，2)时，f '(x )＜0，所以f (x )在(1，2)上单调递减， 所以M (a )＝f (1)＝3a －1，m (a )＝f (2)＝4， 所以h (a )＝M (a )－m (a )＝3a －1－4＝3a －5， 所以h (a )在[2，＋∞)上的最小值为h (2)＝1．综上，h (a )的最小值为827． ………………………16分2、解：（1）因为f (x )＝ln x ，所以f ′(x )＝1x (x ＞0)．设直线l 与函数f (x )的图象相切于点(x 0，y 0)，则直线l 的方程为 y －y 0＝1x 0(x －x 0)，即 y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)．…………………… 3分因为直线l 经过点(0，0)，所以0－ln x 0＝1x 0(0－x 0)，即ln x 0＝1，解得x 0＝e ．因此直线l 的方程为 y ＝1e x ，即x －e y ＝0． …………………… 6分 （2）考察函数H (x )＝g (x )－2a 2f (x )＝x 2－2a 2ln x ．H ′(x )＝2x －2a 2x ＝2(x －a )( x ＋a )x(x ＞0)． 因为a ＞0，故由H ′(x )＝0，解得x ＝a ． …………………… 8分 ① 当0＜a ≤1时，H ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，H (x )在区间[1，＋∞)上递增，所以 H (x )min ＝H (1)＝1＞0，所以φ(x )min ＝1． …………………… 11分 ② 当a ＞1时，H (x )在区间[1，a ]上递减，在区间[a ，＋∞)上递增， 所以 H (x )min ＝H (a )＝a 2(1－2ln a ) ．(ⅰ) 当1－2ln a ≤0，即a ∈[e ，＋∞) 时，H (x )min ＝a 2(1－2ln a )≤0， 又H (1)＝1＞0，所以φ(x )min ＝0．(ⅱ) 当1－2ln a ＞0，a ∈(1，e) 时，H (x )min ＝a 2(1－2ln a )＞0， 所以φ(x )min ＝a 2(1－2ln a ) ．综上 φ(x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， 0＜a ≤1，a 2(1－2ln a )，1＜a ＜e ，0， a ≥e ． …………………… 16分3、（1）1()x xf x e-'=，令()0f x '=，得1x =. …………………………………2分当1x <时，()0f x '>，则()f x 在(,1)-∞上单调递增，当1x >时，()0f x '>，则()f x 在(1,)+∞上单调递减，故当1x =时，()f x 的极大值为1e．………………………4分 （2）不等式()xg x ax b ≤+恒成立，即ln 0x ax b --≤恒成立，记()ln (0)m x x ax b x =-->，则1()(0)axm x x x -'=>，当0a >时，令()0m x '=，得1x a=，………………………………………………6分 当1(0,)x a ∈时，()0m x '>，此时()m x 单调递增，当1(,)x a∈+∞时，()0m x '<，此时()m x 单调递减，则max 1()()ln 10m x m a b a==---≤，即ln 1b a ≥--，…8分则ln 1b a a a +≥-， 记ln 1()a n a a+=-，则2ln ()(0)a n a a a '=>，令()0n a '=，得1a =当(0,1)a ∈时，()0n a '<，此时()n a 单调递减，当(1,)a ∈+∞时，()0n a '>，此时()n a 单调递增，min ()(1)1n a n ==-，故ba的最小值为1-. ………………………10分 （3）记(1)ln ()x x x x s x e x +=-，由2123ln 2(1)0,(2)1102s s e e =>=-<-=，……12分故存在1k =，使()(1)()f x x g x =+在(1,2)上有零点，下面证明唯一性：① 当01x <≤时，()0,(x 1)()0f x g x >+<，故()0s x >，0=)(x s 在(0,1]上无解…………………………………………………………………14分②当1x >时，211ln ()x x x x s x e x -+-'=-，而2110,1ln 0,0x x x x e x -<+->>，此时()0s x '<，()s x 单调递减，所以当1k=符合题意．……………………………16分4、5、解：(1)因为1()f x axx'=+，所以(1)1f a'=+,由(1)(1)2f g'=--可得a=b-3.又因为()f x在2x=处取得极值，所以22(20f'=，所以a= -2,b=1 . …………………………………2分所以2()lnh x x x x=-++，其定义域为（0，+∞）2121(21)(1)()21=x x x x h x x x x x-++-+-'=-++=令()0h x '=得121,12x x =-=，当x ∈（0,1）时，()>0h x '，当x ∈（1,+∞）()<0h x '，所以函数h (x )在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+∞）上单调减. …………………………4分 （2）当0a =时，()ln h x x bx =+，其定义域为（0，+∞）.①'1()h x b x=+,当0b ≥,则'()0h x >，()h x 在(0,)+∞上单调递增，不合题意。
高考数学一轮复习 第3章 导数及其应用3.3导数的综合应用练习(含解析)苏教版
高考数学一轮复习 第3章 导数及其应用3．3导数的综合应用练习（含解析）苏教版一、填空题1．函数f (x )＝12x －x 3在区间[－3,3]上的最小值是__________．2．(2012江苏溧水中学模拟)已知f (x )＝x ＋cos x (x ∈R )，则不等式f (e x－1)＞f (0)的解集为__________．3．已知函数y ＝3x 3＋2x 2－1在区间(m,0)内为减函数，则m 的取值范围是__________．4．(2012江苏南通高三第一次调研)已知f (x )＝x 4－4x 3＋(3＋m )x 2－12x ＋12，m ∈R .若对于任意实数x ，f (x )≥0恒成立，则m 的取值范围为________．5．已知函数f (x )＝x ＋sin x ．设P ，Q 是函数f (x )图象上相异的两点，则直线PQ 的斜率________0(填“＞”、“＜”)．6．已知：三次函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，在(－∞，－1)，(2，＋∞)上单调递增，在(－1,2)上单调递减，当且仅当x ＞4时，f (x )＞x 2－4x ＋5.则函数f (x )的解析式为________．7．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有f (0)＋f (2)________2f (1)．8．(2012江苏淮安四校联考)挖一条隧道，截面下方为矩形，上方为半圆(如图)，如果截面积为20 m 2，当宽为__________时，使截面周长最小．9．(2012江苏盐城三模)若不等式|ax 3－ln x |≥1对任意x ∈ (0,1]都成立，则实数a 的取值范围是________．二、解答题10．设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .(1)若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，求实数a 的值；(2)是否存在实数a ，使得f (x )是(－∞，＋∞)上的单调函数？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．11．某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查投入广告费t (百万元)，可增加销售额约为－t 2＋5t (百万元)(0≤t ≤5)．(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x (百万元)，可增加的销售额约为－13x 3＋x 2＋3x (百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大？(注：收益＝销售额－投放)．12．(2012江苏泰州月考)已知f (x )＝2x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3. (1)求函数f (x )的最小值；(2)若存在x ∈ (0，＋∞)，使f (x )≤g (x )成立，求实数a 的取值范围；(3)证明对一切x ∈ (0，＋∞)，都有f (x )＞2⎝ ⎛⎭⎪⎫x e x －2e 成立．参考答案一、填空题1．－16 解析：由f ′(x )＝12－3x 2＝0，得x ＝－2或x ＝2. 又f (－3)＝－9，f (－2)＝－16，f (2)＝16，f (3)＝9， ∴函数f (x )在[－3,3]上的最小值为－16.2．(0，＋∞) 解析：f (x )＝x ＋cos x ，f ′(x )＝1－sin x ≥0，∴f (x )(x ∈R )是增函数．若f (e x －1)＞f (0)，则e x－1＞0，e x ＞1，即x ＞0.∴解集为(0，＋∞)．3.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－49，0 解析：由y ′＝9x 2＋4x ≤0得－49≤x ≤0，而y ＝3x 3＋2x 2－1在区间(m,0)内为减函数，所以－49≤m ＜0.4．[4，＋∞) 解析：f (x )＝x 4－4x 3＋(3＋m )x 2－12x ＋12＝(x 2＋3)(x －2)2＋(m －4)x 2. 当m ＜4时，f (2)＝4(m －4)＜0，不合题意；当m ≥4时，f (x )＝(x 2＋3)(x －2)2＋(m －4)x 2≥0，对一切实数x 恒成立． 所以m 的取值范围是[4，＋∞)． 5．＞6．f (x )＝x 3－32x 2－6x －11解析：∵f (x )在(－∞，－1)，(2，＋∞)上单增，(－1,2)上单减，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝0有两根－1,2.∴2312,,326,12,3a a b b ⎧-+⎧⎪=-⎪⎪∴⎨⎨⎪⎪=--⨯=⎩⎪⎩∴f (x )＝x 3－32x 2－6x ＋c .令H (x )＝f (x )－x 2＋4x －5＝x 3－52x 2－2x ＋c －5，H ′(x )＝3x 2－5x －2＝(3x ＋1)(x －2)，H (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13，(2，＋∞)上单调递增，⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2上单调递减， 故(4)0,11.1()0.3H c H =⎧⎪∴=-⎨-<⎪⎩∴f (x )＝x 3－32x 2－6x －11.7．≥ 解析：当x ≥1时，f ′(x )≥0，故f (2)≥f (1)；当x ＜1时，f ′(x )≤0，故f (0)≥f (1)，又f (2)≥f (1)，所以f (0)＋f (2)≥2f (1)．8．4104＋π解析：如图所示，设半圆的半径为r ，矩形的高为h ，则截面积S ＝2rh ＋πr22＝20，截面周长C ＝2r ＋2h ＋πr ＝2r ＋20－πr 22r ＋πr ＝2r ＋20r －πr 2＋πr ＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋π2r ＋20r . 设C ′(r )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋π2－20r 2，令C ′(r )＝0，解得r ＝2104＋π. 故当r ＝2104＋π时，周长C 最小，即宽为4104＋π时，截面周长最小． 9．a ≥e 23解析：显然x ＝1时，有|a |≥1，则a ≤－1或a ≥1.令g (x )＝ax 3－ln x ，g ′(x )＝3ax 2－1x ＝3ax 3－1x.①当a ≤－1时，对任意x ∈(0,1]，g ′(x )＝3ax 3－1x＜0，g (x )在(0,1]上递减，g (x )min ＝g (1)＝a ≤－1，此时g (x )∈[a ，＋∞)，|g (x )|的最小值为0，不适合题意．②当a ≥1时，对任意x ∈(0,1]，g ′(x )＝3ax 3－1x＝0⇒x ＝313a， |g (x )|的最小值为g ⎝⎛⎭⎪⎫313a ＝13＋13ln(3a )≥1，解得：a ≥e 23，故所求a ≥e23.二、解答题10．解：(1)f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a ，令f ′(x )＝0，得18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a ＝0两根为x 1，x 2，且x 1x 2＝1＝2a18，所以a ＝9.(2)由f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a 开口向上，且Δ＝36(a ＋2)2－8×18a ＝36(a 2＋4)＞0恒成立，得方程18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a ＝0有两个相异实根，故不存在a 使f (x )是单调函数．11．解：(1)设投入t (t 百万元)的广告费后增加的收益为f (t )(百万元)，则有f (t )＝(－t 2＋5t )－t ＝－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋4(0＜t ≤3)， 所以当t ＝2百万元时，f (t )取得最大值4百万元．即投入2百万元时的广告费时，该公司由此获得的收益最大．(2)设用技术改造的资金为x (百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x )(百万元)，则有g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x 2＋3x ＋[－(3－x )2＋5(3－x )]－3＝－13x 3＋4x ＋3(0≤x ≤3)，所以g ′(x )＝－x 2＋4.令g ′(x )＝0，解得x ＝2，或x ＝－2(舍去)． 又当0≤x ＜2时，g ′(x )＞0，当2＜x ≤3时，g ′(x )＜0. 故g (x )在[0,2]上是增函数，在[2,3]上是减函数． 所以当x ＝2时，g (x )取最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大．12．(1)解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2(ln x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝1e.当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )＜0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e，＋∞时，f ′(x )＞0，所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减；在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增．故当x ＝1e 时，f (x )取最小值为－2e.(2)解：存在x ∈∈(0，＋∞)，使f (x )≤g (x )成立，即存在x ∈ (0，＋∞)使2x ln x ≤－x 2＋ax －3能成立，等价于存在x ∈ (0，＋∞)使a ≥2ln x ＋x ＋3x能成立．等价于a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫2ln x ＋x ＋3x min .记h (x )＝2ln x ＋x ＋3x，x ∈ (0，＋∞)，则h ′(x )＝2x ＋1－3x 2＝x 2＋2x －3x 2＝(x ＋3)(x －1)x2. 当x ∈ (0,1)时，h ′(x )＜0； 当x ∈ (1，＋∞)时，h ′(x )＞0，所以当x ＝1时，h (x )取最小值为4，故a ≥4.(3)证明：记j (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x e x －2e ，x ∈ (0，＋∞)，则j ′(x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x e x .当x ∈ (0,1)时，j ′(x )＞0；当x ∈ (1，＋∞)时，j ′(x )＜0，所以当x ＝1时，j (x )取最大值为－2e.又由(1)知当x ＝1e时，f (x )取最小值为－2e，故对一切x ∈ (0，＋∞)，都有f (x )＞2⎝ ⎛⎭⎪⎫x e x －2e 成立．。
江苏版高考数学一轮复习：专题3.1导数概念及其运算练习题附答案.doc
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】专题3.1 导数概念及其运算基础巩固题组一、填空题1．设y ＝x 2e x，则y ′＝________. 【答案】(2x ＋x 2)ex【解析】y ′＝2x e x ＋x 2e x ＝(2x ＋x 2)e x.2．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝________. 【答案】－1【解析】由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.3．曲线y ＝sin x ＋e x在点(0,1)处的切线方程是________．【解析】y ′＝cos x ＋e x ，故切线斜率为k ＝2，切线方程为y ＝2x ＋1，即2x －y ＋1＝0. 【答案】2x －y ＋1＝04．(2017·苏州调研)已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为________． 【答案】1e5．若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝________. 【答案】12【解析】因为y ′＝2ax －1x，所以y ′|x ＝1＝2a －1.因为曲线在点(1，a )处的切线平行于x 轴，故其斜率为0，故2a －1＝0，解得a ＝12.6．(2017·南师附中月考)如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.【答案】0【解析】由图形可知：f (3)＝1，f ′(3)＝－13，∵g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)＝1－1＝0.7．(2017·苏北四市模拟)设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a ＝________. 【答案】－1【解析】∵y ′＝－1－cos xsin 2x ，∴由条件知1a＝－1，∴a ＝－1.8．(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________． 【答案】8二、解答题9．已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l 的倾斜角α的取值范围． 解 (1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1， 所以当x ＝2时，y ′＝－1，y ＝53，所以斜率最小的切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53，斜率k ＝－1， 所以切线方程为3x ＋3y －11＝0. (2)由(1)得k ≥－1，所以tan α≥－1，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.10．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限． (1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程．能力提升题组11．(2016·山东卷改编)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质，下列函数： ①y ＝sin x ；②y ＝ln x ；③y ＝e x；④y ＝x 3. 其中具有T 性质的是________(填序号)． 【答案】①【解析】若y ＝f (x )的图象上存在两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))， 使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.对于①：y ′＝cos x ，若有cos x 1·cos x 2＝－1，则当x 1＝2k π，x 2＝2k π＋π(k ∈Z )时，结论成立；对于②：y ′＝1x ，若有1x 1·1x 2＝－1，即x 1x 2＝－1，∵x 1＞0，x 2>0，∴不存在x 1，x 2，使得x 1x 2＝－1；对于③：y ′＝e x ，若有e x 1·e x 2＝－1，即ex 1＋x 2＝－1.显然不存在这样的x 1，x 2；对于④：y ′＝3x 2，若有3x 21·3x 22＝－1，即9x 21x 22＝－1，显然不存在这样的x 1，x 2. 12．(2017·合肥模拟改编)点P 是曲线x 2－y －ln x ＝0上的任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为________． 【答案】 2【解析】点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，当过点P 的切线和直线y ＝x －2平行时， 点P 到直线y ＝x －2的距离最小，直线y ＝x －2的斜率为1，令y ＝x 2－ln x ， 得y ′＝2x －1x ＝1，解得x ＝1或x ＝－12(舍去)，故曲线y ＝x 2－ln x 上和直线y ＝x －2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)， 点(1,1)到直线y ＝x －2的距离等于2， ∴点P 到直线y ＝x －2的最小距离为 2.13．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．【答案】[2，＋∞)14．已知函数f (x )＝x －2x，g (x )＝a (2－ln x )(a >0)．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率相同，求a 的值，并判断两条切线是否为同一条直线． 解 根据题意有f ′(x )＝1＋2x 2，g ′(x )＝－ax.曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为f ′(1)＝3， 曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率为g ′(1)＝－a ， 所以f ′(1)＝g ′(1)，即a ＝－3.曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －f (1)＝3(x －1)． 所以y ＋1＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －4＝0. 曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程为y －g (1)＝3(x －1)， 所以y ＋6＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －9＝0，所以，两条切线不是同一条直线. 高中数学知识点三角函数1、以角的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点P 到原点的距离记为，则sin =，cos = ，tg = ，ctg = ，sec = ，csc = 。
(江苏版)高考数学一轮复习(讲 练 测)： 专题3.4 导数的实际应用(测)
专题3.4 导数的实际应用班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________(满分100分，测试时间50分钟)一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分，共计60分)． 1.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．若该商品的成本为3元/千克，则销售价格x =________时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 【答案】42. 某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R 与年产量x 的年关系是R ＝R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 x，x ，则总利润最大时，每年生产的产品是_______．【答案】300【解析】由题意得，总成本函数为C ＝C (x )＝20 000＋100x ，总利润P (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －x 22－20 000 x，60 000－100x x，又P ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300－xx ，－x，令P ′(x )＝0，得x ＝300，易知x ＝300时，总利润P (x )最大3.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0<x ≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．当汽车以________千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？ 【答案】804. 把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为________． 【答案】2∶1【解析】设圆柱高为x ，底面半径为r ，则r ＝6－x 2π，圆柱体积V ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫6－x 2π2x ＝14π(x 3－12x 2＋36x )(0<x <6)，V ′＝34π(x －2)(x －6)． 当x ＝2时，V 最大．此时底面周长为6－x ＝4,4∶2＝2∶1.5.用长为90cm ，宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折900角，再焊接而成，问该容器的高为________时，容器的容积最大？ 【答案】106.某厂生产某种产品x 件的总成本37521200)(x x c +=（万元），已知产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为_________时总利润最大？ 【答案】25【解析】设产品的单价P 元，据已知，250000,50,100,2=∴===k P x xkP ，,2500002x P =∴0,500>=∴x xP 设利润为y 万元，则 ,1200752500752120050033--=--⋅=x x x x xy=-='2252250x x y x x 2552255⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-，,0,25='=∴y xy y x ,0),25,0(>'∈∴递增；y y x ,0),,25(<'+∞∈∴递减， y x ,25=∴极大=y 最大.答：当产量为25万件时，总利润最大7.某公司为一家制冷设备厂设计生产某种型号的长方形薄板，其周长为4 m ，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，四边形ABCD (AB >AD )为长方形薄板，沿AC 折叠后AB ′交DC 于点P .当△ADP 的面积最大时最节能，凹多边形ACB ′PD 的面积最大时制冷效果最好．若要求制冷效果最好，则薄板的长AB ＝___________【答案】328.轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动．如图，助跑道ABC是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1 m的平台上E处，飞行的轨迹是一段抛物线CDE(抛物线CDE与抛物线ABC在同一平面内)，D为这段抛物线的最高点．现在运动员的滑行轮迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系，x轴在地面上，助跑道一端点A(0,4)，另一端点C(3,1)，点B(2,0)，单位：m. 若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C处有相同的切线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在4 m到 6 m之间(包括 4 m和 6 m)，试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围为__________．(注：飞行距离指点C与点E的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值)【答案】在2 m到3 m之间9.如图，现要在边长为100m 的正方形ABCD 内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为xm （x 不小于9）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为215x m 的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于60m ，绕岛行驶的路宽均不小于10m .若中间草地的造价为a 元2/m ，四个花坛的造价为433ax 元2/m ，其余区域的造价为1211a元2/m ，当x =____________时，可使“环岛”的整体造价最低？【答案】10x列表如下：所以当10x =，y 取最小值.答：当10x m =时，可使“环岛”的整体造价最低.10.甲、乙两地相距1000km ，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80km/h ，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的14倍，固定成本为a 元．为了使全程运输成本最小，货车应以_________km/h 的速度行驶？【答案】当01600a <<（元）时，v =1600a ≥（元）时，80v =.【解析】可变成本为214v ，固定成本为a 元，所用时间为1000v .210001()4y v a v ∴=+，即11000()4ay v v=+ 定义域为 (0,80] 222141000()250.4a v ay v v -'=-=⋅令0y '=得v = 因为(0,80],v ∈二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指．定区域内．．．．。
江苏高考数学理一轮复习课件3.4导数的综合应用
考向一 运用导数解决恒成立及求参数范围
a 【例 1】 (理)已知函数 f(x)＝ln x－x.
(1)若a＞0，试判断f(x)在定义域内的单调性； 3 (2)若 f(x)在[1，e]上的最小值为 ，求 a 的值； 2 (3)若f(x)＜x2在(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．
审题视点
解析 大． 答案
y′＝－x2＋81，令y′＝0解得x＝9(－9舍去)．当0＜x
＜9时，y′＞0；当x＞9时，y′＜0，则当x＝9时，y取得最
9
2．从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相 同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的 最大值为________cm3.
解析 设盒子容积为 y cm3，盒子的高为 x cm.
Байду номын сангаас
x＋a (2)由(1)可知，f′(x)＝ 2 . x ①若 a≥－1，则 x＋a≥0，即 f′(x)≥0 在[1，e]上恒成 立，此时 f(x)在[1，e]上为增函数，∴f(x)min＝f(1)＝－a 3 ＝ ， 2 3 ∴a＝－ (舍去)． 2 ②若 a≤－e，则 x＋a≤0，即 f′(x)≤0 在[1，e]上恒成
还原到实际问题中作答．
2．研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点，归根
到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通
过数形结合的思想找到解题思路，因此使用的知识还 是函数的单调性和极值的知识．
【助学· 微博】 一个防范 实际问题中的函数定义域一般是受实际问题制约的，不可
盲目地从建立的函数关系中确定函数的定义域．
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∴h(x)<h(1)＝－2<0，即g′(x)<0， ∴g(x)在(1，＋∞)上也是减函数．g(x)<g(1)＝－1， ∴当a≥－1时，f(x)<x2在(1，＋∞)上恒成立．
新苏教版数学(选修1-1)同步练测：3.4导数在实际生活中的应用(含答案)
3.4 导数在实际生活中的应用（苏教版选修1-1）一、填空题（每小题5分，共15分）1.福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x 小时时，原油温度为)50(831)(23≤≤+-=x x x x f ，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是.2.某产品的销售收入1y (万元)是产量x (千台)的函数：2117x y =，生产总成本2y (万元)也是产量x (千台)的函数：)0(2232>-=x x x y ，为使利润最大，应生产千台.3.电动自行车的耗电量y 与速度x 之间的关系为，为使耗电量最小，则其速度应定为.二、解答题（共85分）4.（20分）某年某日生效的一年期个人贷款利率为7.29%,小陈准备购买一部汽车,购车一年后一次性付清车款,这时正好某商业银行推出一种一年期优惠贷款业务,年利率为x ，且x ∈（0.045,0.062）,贷款量与利率的平方成正比,因此,小陈申请这种一年期优惠贷款.(1)写出小陈应支付的利息)(x h ;(2)一年期优惠利率x 为多少时,两款贷款方式的利息差最大?5.（20分）一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？6.（20分）某银行准备新设一种定期存款业务，经预测存款量与利率的平方成正比，比例系数为k(k＞0)，贷款的利率为4.8 %，且银行吸收的存款能全部放贷出去.求：(1)若存款的利率为x,x∈(0，0.048),试写出存款量()g x及银行应支付给储户的利息()h x关于x的函数表达式；(2)存款利率定为多少时,银行可获得最大收益？7.（25分）已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)3.4 导数在实际生活中的应用答题纸（苏教版选修1-1）得分：一、填空题1． 2． 3．二、解答题4.5.6.7.3.4 导数在实际生活中的应用参考答案（苏教版选修1-1）一、填空题'=-≤≤最小值为-1.1.-1 解析：2()2(05),f x x x x2.6 解析：利润y=-2，利润取得最大值.3.40 解析：由题设知，令＞0，解得x＞40，或x＜-1，故函数在上递增，在上递减.当x=40时，y 取得最小值．所以，为使耗电量最小，则其速度应定为40．二、解答题4.解：（1）由题意，贷款量为2kx (k )0>，应支付利息)(x h =32kx x kx =⋅.（2）小陈的两种贷款方式的利息差为)062.0,045.0(,0729.032∈-=x kx kx y ,231458.0kx kx y -='. 令y '=0，解得0=x 或0486.0=x .当x ∈（0.045,0.0486）时，y '＞0；当x ∈（0.0486，0.062）时，y '＜0.所以x =0.0486时，两种贷款方式的利息差取得最大值，即一年期优惠利率x 为4.86%时,两种贷款方式的利息差最大.5.解：设小正方形的边长为x cm ，则盒子底面长为82x -，宽为52x -,高为x ， 32(82)(52)42640V x x x x x x =--=-+,'2'10125240,0,1,3V x x V x x =-+===令得或（舍去）. 当x =1时V 取极大值，即(1)18V V ==极大值，在定义域内仅有一个极大值，18V ∴=最大值.故小正方形的边长为1 cm 时，盒子容积最大.6.解：(1)由题意，存款量2()g x kx =，银行应支付的利息h （x ）=xg （x ）=k(2)设银行可获得收益为y ，则y =0.048·23,(0,0.048)kx kx x -∈.所以220.0963,0,0.09630,y kx kx y kx kx ''=-=-=令即解得x =0. 032(x =0不合题意,舍去).又当x ∈(0，0.032)时，y '＞0；当x ∈(0.032，0.048)时，y '＜0，故当x =0.032时，y 在(0，0.048)内取得极大值，即最大值，即银行存款利率定为3.2%时，银行可获得最大收益.7.解：(1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －－10；当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－－2.7x .∴W＝(2)①当0<x≤10时，由W′＝8.1－＝0，得x＝9，且当x∈(0,9)时，W′>0；当x∈(9,10］时，W′<0，∴当x＝9时，W取最大值，且＝8.1×9－×－10＝38.6.②当x>10时，W＝98－(＋2.7x)≤98－2＝38，当且仅当＝2.7x，即x＝时，W＝38，故当x＝时，W取最大值38.综合①②知当x＝9时，W取最大值38.6万元.故年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．。
高考数学一轮复习之导数的应用 苏教版
导数的应用1.已知函数()x f 的导函数为()x f '，且满足()()2'232xf x x f +=，则()=5'f 6 。
2.曲线sin y x =在点（3π）处的切线方程为203x y π-= 3．已知函数322()3f x x mx nx m =+++在x ＝－1时有极值0，则m ＝____2_____；n ＝______9_______；4.如图为函数32()f x ax bx cx d =+++的图象，'()f x 为函数()f x 的导函数，则不等式'()0x f x ⋅<的解集为___(,-∞⋃___ ______．5.已知关于x 的函数bc cx bx x x f +++-=2331)(.若函数)(x f 在1=x 处有极值，则b =，=c6.已知函数x a x x x f ln 2)(2++=在区间]1,0(上恒为单调函数，则实数的取值X 围是 1.利用导数处理方程问题例1（2009某某卷文）设函数329()62f x x x x a =-+-． （1）对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值； （2）若方程()0f x =有且仅有一个实根，求a 的取值X 围． 解：(1) '2()3963(1)(2)f x x x x x =-+=--,因为(,)x ∈-∞+∞,'()f x m ≥, 即 239(6)0x x m -+-≥恒成立, 所以 8112(6)0m ∆=--≤, 得34m ≤-，即m 的最大值为34- (2) 因为 当1x <时, '()0f x >;当12x <<时, '()0f x <;当2x >时, '()0f x >; 所以 当1x =时,()f x 取极大值 5(1)2f a =-; 当2x =时,()f x 取极小值 (2)2f a =-;故当(2)0f > 或(1)0f <时, 方程()0f x =仅有一个实根. 解得 2a <或52a >.2利用导数研究函数的图像变化规律例3(2009某某卷文）已知函数3()31,0f x x ax a =--≠()I 求()f x 的单调区间；()II 若()f x 在1x =-处取得极值，直线y=m 与()y f x =的图象有三个不同的交点，求m的取值X 围。
(江苏版)高考数学一轮复习 专题3.3 导数的综合应用(测)-江苏版高三全册数学试题
专题3.3 导数的综合应用班级__________ 某某_____________ 学号___________ 得分__________(满分100分，测试时间50分钟)一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分，共计60分)． 1. 【2017课标3，理11改编】已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =_________【答案】12【解析】2.【某某省某某市如东县、某某市丰县2017届高三10月联考】已知函数()()31,ln 4f x x mx g x x =++=-.{}min ,a b 表示,a b 中的最小值，若函数()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，则实数m 的取值X 围是▲．【答案】()53,44--【解析】试题分析：()23f x x m '=+，因为()10g =，所以要使()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，须满足()10,()0,03m f f m -><<，解得5153,43244m m m ->->⇒-<<- 3. 【某某中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测】若函数()y f x =的定义域为R ，对于x R ∀∈，'()()f x f x <，且(1)f x +为偶函数，(2)1f =，则不等式()xf x e <的解集为．【答案】(0,)+∞ 【解析】试题分析：令()()x f x g x e =，则()()()0xf x f xg x e'-'=<，因为(1)f x +为偶函数，所以(1)(1)(0)(2)1g(0)1f x f x f f +=-+⇒==⇒=，因此()()1(0)0x f x e g x g x <⇒<=⇒>4. 【2017届高三七校联考期中考试】若()1ln ,(),0x exf x x a xg x a e=--=<，且对任意[]()1212,3,4,x x x x ∈≠121211|()()|||()()f x f xg x g x -<-的恒成立，则实数a 的取值X 围为 ▲ ． 【答案】22[3,0)3e - 【解析】则()'21()10xe x a h x x ex-=--≤在(3,4)x ∈上恒成立，[]11,3,4x x e a x e x x --∴≥-+∈恒成立 令[]11(),3,4x x e u x x ex x--=-+∈，[]21112(1)113'()11,3,424x x x e x u x ee x x x ---⎡⎤-⎛⎫∴=-+=--+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦21211331,'()0244x e e u x x -⎡⎤⎛⎫-+>>∴<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，()u x ∴为减函数，()u x ∴在[]3,4x ∈的最大值为22(3)33u e =-综上，实数a 的取值X 围为22[3,0)3e -.5.f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a ，b ，若a <b ，则af (b )与bf (a )的大小关系为________． 【答案】af (b )≤bf (a )【解析】∵xf ′(x )≤－f (x )，f (x )≥0， ∴⎝⎛⎭⎪⎫f x x ′＝xf ′x －f x x 2≤－2f x x 2≤0.则函数f x x 在(0，＋∞)上是单调递减的，由于0<a <b ，则f a a ≥f b b.即af (b )≤bf (a )． 6.设D 是函数y ＝f (x )定义域内的一个区间，若存在x 0∈D ，使f (x 0)＝－x 0，则称x 0是f (x )的一个“次不动点”，也称f (x )在区间D 上存在“次不动点”，若函数f (x )＝ax 2－3x －a ＋52在区间[1,4]上存在“次不动点”，则实数a 的取值X 围是________． 【答案】⎝⎛⎦⎥⎤－∞，127.电动自行车的耗电量y 与速度x 之间有关系y ＝13x 3－392x 2－40x (x >0)，为使耗电量最小，则速度应定为________． 【答案】40【解析】由y ′＝x 2－39x －40＝0， 得x ＝－1或x ＝40， 由于0<x <40时，y ′<0； 当x >40时，y ′>0.所以当x ＝40时，y 有最小值．8.函数f (x )＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，则a 的取值X 围是________． 【答案】(－∞，0)【解析】f (x )＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，即函数f (x )恰有两个极值点，即f ′(x )＝0有两个不等实根．∵f (x )＝ax 3＋x ，∴f ′(x )＝3ax 2＋1. 要使f ′(x )＝0有两个不等实根，则a <0.9.函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．【答案】2110.设函数f (x )＝e 2x 2＋1x ，g (x )＝e 2x e x ，对任意x 1、x 2∈(0，＋∞)，不等式g x 1k ≤f x 2k ＋1恒成立，则正数k 的取值X 围是________． 【答案】[1，＋∞)解析】因为对任意x 1、x 2∈(0，＋∞)， 不等式g x 1k ≤f x 2k ＋1恒成立，所以k k ＋1≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤g x 1f x 2max. 因为g (x )＝e 2xe x ，所以g ′(x )＝(x e2－x)′＝e2－x＋x e2－x·(－1)＝e2－x(1－x )．当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0,1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减． 所以当x ＝1时，g (x )取到最大值，即g (x )max ＝g (1)＝e ； 因为f (x )＝e 2x 2＋1x，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝e 2x ＋1x ≥2e，当且仅当e 2x ＝1x，即x ＝1e 时取等号，故f (x )min ＝2e.所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤g x 1f x 2max ＝e 2e ＝12.所以kk ＋1≥12.又因为k 为正数，所以k ≥1. 二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指．定区域内．．．．。
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】专题3.4 导数的实际应用1.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．【答案】(1) a＝2. (2) x＝42.某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1 000万元的投资收益．现准备制订一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(万元)随投资收益x(万元)的增加而增加，且资金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.(1)若建立函数f(x)模型制订奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数f(x)模型的基本要求；(2)现有两个奖励函数模型：①y＝x150＋2；②y＝4lg x－3.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？【答案】(1)详见解析(2) ①不符合②符合则f(x)max＝f(1 000)＝4lg 1 000－3＝9. 所以f(x)≤9恒成立．设g (x )＝4lg x －3－x 5，则g ′(x )＝4x ln 10－15.当x ≥10时，g ′(x )＝4x ln 10－15≤2－ln 105ln 10<0， 所以g (x )在[10,1 000]上是减函数， 从而g (x )≤g (10)＝－1<0.所以4lg x －3－x 5<0，即4lg x －3<x5，所以f (x )≤x5恒成立． 故该函数模型符合公司要求．3.某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R 与年产量x 的年关系是R ＝R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 0≤x ≤400，80 000 x >400，则总利润最大时，每年生产的产品是_______． 【答案】3004.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0<x ≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 【答案】(1) 17.5(2) 80千米/小时，11.25升【解析】(1)当x ＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040小时，共耗油10040×(1128 000×403－380×40＋8)＝17.5(升)．因此，当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时， 从甲地到乙地要耗油17.5升． (2)当速度为x 千米/小时时， 汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为h (x )升，依题意得h (x )＝(1128 000x 3－380x ＋8)·100x＝11 280x 2＋800x －154(0<x ≤120)， h ′(x )＝x640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x ≤120)．令h ′(x )＝0，得x ＝80.当x ∈(0,80)时，h ′(x )<0，h (x )是减函数； 当x ∈(80,120)时，h ′(x )>0，h (x )是增函数， ∴当x ＝80时，h (x )取得极小值h (80)＝11.25. 易知h (80)是h (x )在(0,120]上的最小值．故当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，为11.25升． 5.把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为________． 【答案】2∶1【解析】设圆柱高为x ，底面半径为r ，则r ＝6－x 2π，圆柱体积V ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫6－x 2π2x ＝14π(x 3－12x 2＋36x )(0<x <6)，V ′＝34π(x －2)(x －6)． 当x ＝2时，V 最大．此时底面周长为6－x ＝4,4∶2＝2∶1.6.用长为90cm ，宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折900角，再焊接而成，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大的容积是多少？【答案】该容器的高为10cm 时，容器有最大容积196003cm7.某厂生产某种产品x 件的总成本37521200)(x x c +=（万元），已知产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为多少时总利润最大？ 【答案】258.某公司为一家制冷设备厂设计生产某种型号的长方形薄板，其周长为4 m ，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，四边形ABCD (AB >AD )为长方形薄板，沿AC 折叠后AB ′交DC 于点P .当△ADP 的面积最大时最节能，凹多边形ACB ′PD 的面积最大时制冷效果最好．(1)设AB ＝x m ，用x 表示图中DP 的长度，并写出x 的取值范围； (2)若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？ (3)若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？【答案】(1) y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ，1<x <2. (2) 长为32 m ，宽为(2－32)m【解析】(1)由题意AB ＝x ，BC ＝2－x . 因为x >2－x ，所以1<x <2. 设DP ＝y ，则PC ＝x －y .因为△ADP ≌△CB ′P ，所以PA ＝PC ＝x －y .9.轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动．如图，助跑道ABC是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1 m的平台上E处，飞行的轨迹是一段抛物线CDE(抛物线CDE与抛物线ABC在同一平面内)，D为这段抛物线的最高点．现在运动员的滑行轮迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系，x轴在地面上，助跑道一端点A(0,4)，另一端点C(3,1)，点B(2,0)，单位：m.(1)求助跑道所在的抛物线方程；(2)若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C处有相同的切线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在4 m到6 m之间(包括4 m和6 m)，试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围．(注：飞行距离指点C与点E的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值)【答案】(1) f (x )＝x 2－4x ＋4，x ∈[0,3]． (2) 在2 m 到3 m 之间【解析】(1)设助跑道所在的抛物线方程为f (x )＝a 0x 2＋b 0x ＋c 0，依题意⎩⎪⎨⎪⎧c 0＝4，4a 0＋2b 0＋c 0＝0，9a 0＋3b 0＋c 0＝1，解得 a 0＝1，b 0＝－4，c 0＝4，所以助跑道所在的抛物线方程为10. 一位创业青年租用了一块边长为1百米的正方形田地ABCD 来养蜂、产蜜与售蜜，他在正方形的边,BC CD 上分别取点,E F （不与正方形的顶点重合），连接,,AE EF FA ，使得45EAF ∠=︒. 现拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区，AEF ∆部分规划为蜂巢区，CEF ∆部分规划为蜂蜜交易区. 若蜂源植物生长区的投入约为5210⨯元/百米2，蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约为510元/百米2，则这三个区域的总投入最少需要多少元？【答案】5210⨯从而三个区域的总投入T 5210元. ...............14分 （说明：这里S 的最小值也可以用导数来求解： 因为2((21))((21))2(1)x x S x +-'=+，则由0S '=，得21x =. AC EF第17题图当(0,21)x ∈-时，0S '<，S 递减；当(21,1)x ∈-时，0S '>，S 递增. 所以当21x =-时，S 取得最小值为(21)-.）解法二：设阴影部分面积为S ，三个区域的总投入为T . 则55521010(1)10(1)T S S S =⨯⋅+⋅-=⋅+，从而只要求S 的最小值. ...............2分A B C DEFxy因为9045EAF αβ+=︒-∠=︒，所以tan tan tan()11tan tan αβαβαβ++==-，........8分所以2tan tan tan tan 1tan tan 1()2αβαβαβ++=-≥-， ..............10分即221S S ≥-，解得21S ≥，即S 取得最小值为(21)，从而三个区域的总投入T 5210元. ...............14分 11. 经市场调查，某商品每吨的价格为(114)x x <<百元时，该商品的月供给量为1y 万吨，217(0)2y ax a a a =+->；月需求量为2y 万吨，22111224112y x x =--+. 当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量，该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积.（1）若17a =，问商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？ （2）记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，求实数a 的取值范围.【答案】（1）8（2）1(0,]7【解析】 (1) 若17a =，由21y y >，得221117111()2241127277x x x --+>+-． 解得406x -<< ． …………………………………………………………………3分 因为114x <<，所以16x <<．（2）若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，实数a 的取值范围是1(0,]7．12. 某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x （单位：元，0x >）时，销售量()q x （单位：百台）与x 的关系满足：若x 不超过20，则1260()1q x x =+；若x 大于或等于180，则销售量为零；当20180x ≤≤时，()q x a b x =-a ，b 为实常数）． （1）求函数()q x 的表达式；（2）当x 为多少时，总利润（单位：元）取得最大值，并求出该最大值．【答案】（1）1260,020,1()9035,20180,0,180x x q x x x x ⎧<⎪+⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎪⎩≤＝≤（2）当x 等于80元时，总利润取得最大值240000元当20180x <≤时，()90003005f x x x x -＝()90004505f x x '-＝令()0f x '＝，得80x =． …………10分 当2080x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当8080x <≤1时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以当80x =时，()f x 有最大值240000． …………12分 当180x <时，()0f x =﹒答：当x 等于80元时，总利润取得最大值240000元． …………14分 13.如图，已知海岛A 到海岸公路BC 的距离AB 为50㎞，B ，C 间的距离为100㎞，从A 到C必须先坐船到BC 上的某一点D ，船速为25㎞/h ，再乘汽车到C ，车速为50㎞/h ，记∠BDA ＝θ．（1）试将由A 到C 所用的时间t 表示为θ的函数t (θ)； （2）问θ为多少时，由A 到C 所用的时间t 最少？【答案】（1）t(θ)＝2cossinθθ-＋2（θ0＜θ＜2π，其中tanθ0＝12）（2）θ＝3π14.植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙．现有两种方案：方案①多边形为直角三角形AEB（90AEB∠=），如图1所示，其中30mAE EB+=；方案②多边形为等腰梯形AEFB（AB EF>），如图2所示，其中10mAE EF BF===．请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．BACDθ【答案】方案①，②苗圃的最大面积分别为22225,7532m m ，建苗圃时用方案②，且3BAE π∠=θ0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭3π,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭2S ' +0 -2S极大值所以当3θ=时，()2max 753S = ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分因为2257532<3BAE π∠=．答：方案①，②苗圃的最大面积分别为22225,7532m m ，建苗圃时用方案②，且3BAE π∠=． 高中数学知识点三角函数 1、 以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点 P 到原点的距离记为，则 sin=， cos = ， tg = ， ctg = ， sec = ， csc = 。