2020版高二数学课时作业22基本不等式的应用习题课新人教A版必修5

课时作业22 基本不等式的应用习题课
[基础巩固](25分钟,60分)
一、选择题(每小题5分,共25分) 1．已知a ≥0,b ≥0,且a ＋b ＝2,则( ) A ．ab ≤12 B ．ab ≥1
2
C ．a 2
＋b 2
≥2 D．a 2
＋b 2
≤2
解析：由a ＋b ＝2,得ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1,排除A 、B ；又a 2＋b 2
2≥⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22,所以a 2＋b 2≥2.
答案：C
2．已知a >0,b >0,x ＝1为f (x )＝6x 2
－ax －b 的零点,则ab 的最大值为( ) A ．3 B ．2 3 C ．9 D ．36
解析：由题意得a ＋b ＝6,又a >0,b >0,a ＋b ≥2·ab ,∴ab ≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22＝9,当且仅当a ＝b ＝
3时,等号成立．
答案：C
3．已知x >0,y >0,lg 2x ＋lg 8y
＝lg 2,则1x ＋13y 的最小值是( )
A ．2
B ．2 2
C ．4
D ．2 3
解析：∵lg 2x
＋lg 8y
＝lg 2,∴lg(2x
·8y
)＝lg 2,∴2x ＋3y
＝2,∴x ＋3y ＝1.
又∵x >0,y >0,∴
1
x
＋
13y ＝(x ＋3y )·⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＋13y ＝2＋3y x ＋x 3y ≥2＋23y x ·x 3y
＝4⎝ ⎛⎭
⎪⎫当且仅当x ＝3y ＝12时取“＝”,故选C.
答案：C
4．已知直线mx －y ＋n ＝0过点(2,1),其中m ,n 是正数,则mn 的最大值为( ) A.12 B.1
4 C.18 D.16
解析：依题意得2m －1＋n ＝0,即2m ＋n ＝1,又已知m ,n 是正数,所以1＝2m ＋n ≥22mn ,
即mn ≤1
8
(当且仅当2m ＝n 时取等号)．故选C.
答案：C
5．制作一个面积为 1 m 2
,形状为直角三角形的铁支架框,有下列四种长度的铁管供选择,较经济(够用且耗材最少)的选法是( )
A ．4.6 m
B ．4.8 m
C ．5 m
D ．5.2 m
解析：设直角三角形支架框的一条直角边长为x m,则另一条直角边长为2
x
m,斜边长为
x 2＋4x 2 m,所以周长为l ＝x ＋2
x
＋
x 2＋4x 2≥22＋2,当且仅当x ＝2
x
,即x ＝2≈1.414时,
等号成立,
所以l ≈2.828＋2＝4.828 m,故选C. 答案：C
二、填空题(每小题5分,共15分)
6．某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费之和最小,则x 的值是________．
解析：总费用4x ＋600x
×6＝4⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋900x ≥4×2900＝240,当且仅当x ＝900x
,即x ＝30时等
号成立．
答案：30
7．建造一个容积为8 m 3
,深为2 m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元,那么水池的最低总造价为________元．
解析：设水池池底的一边长为x m,则另一边长为4x
m,总造价为y ＝480＋80×⎝ ⎛⎭
⎪
⎫2x ＋2×4x ×2＝480＋320⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋4x ≥480＋320×2
x ×4x ＝1 760,当且仅当x ＝4
x
,即x ＝2时,y 取最小值1 760.所以水池的最低总造价为1 760元．
答案：1 760
8．已知x >0,y >0,且32x ＋6y ＝2,若4x ＋y >7m －m 2
恒成立,则m 的取值范围为________．
解析：∵x >0,y >0,且32x ＋6
y
＝2,
∴4x ＋y ＝(4x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋6y ×12＝12·⎝
⎛⎭⎪⎫12＋3y 2x ＋24x y ≥12⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12＋23y 2x ·24x y ＝12, 当且仅当3y 2x ＝24x y 且32x ＋6y ＝2,即x ＝3
2
,y ＝6时,等号成立,即4x ＋y 取得最小值12.
∵4x ＋y >7m －m 2
恒成立, ∴12>7m －m 2
, 解得m <3或m >4,
∴m 的取值范围为(－∞,3)∪(4,＋∞)． 答案：(－∞,3)∪(4,＋∞) 三、解答题(每小题10分,共20分)
9．设a ,b ,c 均为正数,且a ＋b ＋c ＝1.证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤1
3
；
(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2
a
≥1.
解析：证明：(1)由a 2
＋b 2
≥2ab ,b 2
＋c 2
≥2bc ,c 2
＋a 2
≥2ca , 得a 2
＋b 2
＋c 2
≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2
＝1,
即a 2
＋b 2
＋c 2
＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1,即ab ＋bc ＋ca ≤1
3
.
(2)因为a 2b ＋b ≥2a ,b 2c ＋c ≥2b ,c 2
a ＋a ≥2c ,
故a 2b ＋b 2c ＋c 2
a ＋(a ＋
b ＋
c )≥2(a ＋b ＋c ), 即a 2b ＋b 2c ＋c 2
a ≥a ＋
b ＋
c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2
a
≥1.
10．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞,第一年需要各种费用12万元．从第二年起,包括维修费在内,每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入为50万元．
(1)问捕捞几年后总盈利最大？最大是多少？ (2)问捕捞几年后的平均利润最大？最大是多少？ 解析：(1)设捕捞n 年后的总盈利为y 万元,则
y ＝50n －98－⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤12×n ＋
n (n －1)2
×4 ＝－2n 2
＋40n －98 ＝－2(n －10)2
＋102,
所以捕捞10年后总盈利最大,最大是102万元．
(2)年平均利润为y n
＝－2⎝
⎛⎭
⎪⎫n ＋49n
－20
≤－2⎝
⎛
⎭⎪⎫
2
n ·49
n －20＝12,
当且仅当n ＝49
n
,即n ＝7时上式取等号．
所以,捕捞7年后的平均利润最大,最大是12万元．
[能力提升](20分钟,40分)
11．设OA →＝(1,－2),OB →＝(a ,－1),OC →
＝(－b,0)(a >0,b >0,O 为坐标原点), 若A ,B ,C 三点共线,则2a ＋1
b
的最小值是( )
A ．4 B.9
2
C ．8
D ．9
解析：由题得,AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1),AC →＝OC →－OA →
＝(－b －1,2)．∵A ,B ,C 三点共线, ∴AB →∥AC →,
∴(a －1)×2－1×(－b －1)＝0,∴2a ＋b ＝1,又a >0,b >0,∴2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2a ＋1b ·(2a ＋b )＝5
＋2b a ＋2a
b
≥5＋2
2b a ×2a
b
＝9,当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧
2b a ＝2a b ，2a ＋b ＝1，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝13
，
b ＝1
3
时,等号成立．
答案：D
12．已知x >0,y >0,x ＋y ＋3＝xy ,且不等式(x ＋y )2
－a (x ＋y )＋1≥0恒成立,则实数a 的取值范围是________．
解析：由(x ＋y )2
－a (x ＋y )＋1≥0恒成立,得(x ＋y )2
＋1≥a (x ＋y ),即a ≤(x ＋y )＋1
x ＋y
恒成立,只需a ≤⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
(x ＋y )＋
1x ＋y min 即可． 由x ＋y ＋3＝xy ,得x ＋y ＋3＝xy ≤⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋y 22,即(x ＋y )2－4(x ＋y )－12≥0,解得x ＋y ≥6或
x ＋y ≤－2(舍去)．
设t ＝x ＋y ,则t ≥6,(x ＋y )＋
1x ＋y ＝t ＋1t .设f (t )＝t ＋1
t
,则当t ∈[6,＋∞)时,f (t )单调
递增,所以f (t )＝t ＋1t 的最小值为6＋16＝376,所以a ≤376,即实数a 的取值范围是⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，376. 答案：⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，376
13．已知a ,b ,c 为不全相等的正实数,且abc ＝1.求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1
c
.
证明：因为a ,b ,c 都是正实数,且abc ＝1, 所以1a ＋1b ≥2
1
ab
＝2c ,
1b ＋1c ≥21
bc
＝2a , 1
a ＋1c
≥2
1
ac
＝2b ,
以上三个不等式相加,得
2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋1b ＋1c ≥2(a ＋b ＋c ), 又因为a ,b ,c 不全相等,所以不能取等号,
所以2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋1b ＋1c >2(a ＋b ＋c ),
即a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c
.
14．已知在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且tan A ,tan B 是关于x 的方程x 2
＋(1＋p )x ＋p ＋2＝0的两个实根,c ＝4.
(1)求角C 的大小．
(2)求△ABC 面积的取值范围．
解析：(1)由已知tan A ＋tan B ＝－1－p , tan A ·tan B ＝p ＋2,
所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－1－p
1－(p ＋2)＝1,
在△ABC 中,A ＋B ＝π
4,
所以C ＝3π
4
.
(2)由C ＝3π
4,c ＝4及余弦定理得
42
＝a 2
＋b 2
－2ab ×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－
22, 整理得16＝a 2
＋b 2
＋2ab ,即16－2ab ＝a 2
＋b 2
,
又a >0,b >0,所以16－2ab ＝a 2＋b 2
≥2ab , 得ab ≤16
2＋2,当且仅当a ＝b 时取等号,
所以△ABC 的面积S ＝1
2
ab sin C
＝12×ab ×22≤12×162＋2×22＝422＋2＝42－4,所以△ABC 面积的取值范围为(0,42－4]．。