2018届广东省中山市高三下学期第二次模拟考试理科数学试题及答案精品

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2018年广东省高考数学二模试卷(理科)

2018年广东省高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知x，y∈R，集合A={2, log3x}，集合B={x, y}，若A∩B={0}，则x+y=()A.13B.0C.1D.32. 若复数z1=1+i，z2=1−i，则下列结论错误的是（）A.z1⋅z2是实数B.z1z2是纯虚数C.|z14|=2|z2|2D.z12+z22=4i3.已知a→=(−1, 3)，b→=(m, m−4)，c→=(2m, 3)，若a→ // b→，则b→⋅c→=( )A.−7B.−2C.5D.84. 如图，AD^是以正方形的边AD为直径的半圆，向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影区域内的概率为（）A.π16B.316C.π4D.145. 已知等比数列{a n}的首项为1，公比q≠−1，且a5+a4=3(a3+a2)，则√a1a2a3⋯a99=()A.−9B.9C.−81D.816. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一个焦点坐标为(4, 0)，且双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的方程为（）A.x28−y28=1B.x2 16−y216=1C.y28−x28=1D.x28−y28=1或y28−x28=17. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.8π+6B.6π+6C.8π+12D.6π+128. 设x ，y 满足约束条件{xy ≥0|x +y|≤2，则z =2x +y 的取值范围是（）A.[−2, 2]B.[−4, 4]C.[0, 4]D.[0, 2]9. 在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人–宰相宰相西萨•班•达依尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍．请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒．当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求．那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？下面是四位同学为了计算上面这个问题而设计的程序框图，其中正确的是（） A. B.C. D.10. 已知数列{a n }前n 项和为S n ，a 1=15，且满足(2n −5)a n+1=(2n −3)a n +4n 2−16n+15，已知n，m∈N+，n>m，则S n−S m的最小值为（）A.−494B.−498C.−14D.−2811. 已知菱形ABCD的边长为2√3，∠BAD＝60∘，沿对角线BD将菱形ABCD折起，使得二面角A−BD−C的余弦值为−13，则该四面体ABCD外接球的体积为（）A.28√73π B.8√6π C.20√53π D.36π12. 已知函数f(x)=e x−ln(x+3)，则下面对函数f(x)的描述正确的是（）A.∀x∈(−3, +∞)，f(x)≥13B.∀x∈(−3, +∞)，f(x)>−12C.∃x0∈(−3, +∞)，f(x0)=−1D.f(x)min∈(0, 1)二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）将函数f(x)=2sin(2x+φ)(φ<0)的图象向左平移π3个单位长度，得到偶函数g(x)的图象，则φ的最大值是________．已知a>0，b>0，(ax+bx )6展开式的常数项为52，则a+2b的最小值为________．已知函数f(x)=log2(4x+1)+mx，当m>0时，关于x的不等式f(log3x)<1的解集为________．设过抛物线y2=2px(p>0)上任意一点P（异于原点O）的直线与抛物线y2=8px(p>0)交于A，B两点，直线OP与抛物线y2=8px(p>0)的另一个交点为Q，则S△ABQS△ABO=________．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B=60∘，c=8．（1）若点M，N是线段BC的两个三等分点，BM=13BC，ANBM=2√3，求AM的值；（2）若b=12，求△ABC的面积．如图，在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，AD=DE，∠ADE=90∘，∠ADC=∠DCB=120∘．（1）证明：平面ABCD⊥平面EDCF；（2）求直线AF与平面BDF所成角的最正弦值．经销商第一年购买某工厂商品的单价为a （单位：元），在下一年购买时，购买单价与其上年度销售额（单位：万元）相联系，销售额越多，得到的优惠力度越大，具体情况如下表：为了研究该商品购买单价的情况，调查并整理了50个经销商一年的销售额，得到下面的柱状图．已知某经销商下一年购买该商品的单价为x （单位：元），且以经销商在各段销售额的频率作为概率．（1）求x 的平均估计值．（2）该工厂针对此次的调查制定了如下奖励方案：经销商购买单价不高于平均估计单价的获得两次抽奖活动，高于平均估计单价的获得一次抽奖活动．每次获奖的金额和对应的概率为已知椭圆C 1:x 28+y 2b 2=1(b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点F 2也为抛物线C 2:y 2=8x的焦点．（1）若M，N为椭圆C1上两点，且线段MN的中点为(1, 1)，求直线MN的斜率；（2）若过椭圆C1的右焦点F2作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，设线段AB，CD的长分别为m，n，证明1m +1n是定值．已知f′(x)为函数f(x)的导函数，f(x)=e2x+2f(0)e x−f′(0)x．（1）求f(x)的单调区间；（2）当x>0时，af(x)<e x−x恒成立，求a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=34+√3ty=a+√3t（t为参数），圆C的标准方程为(x−3)2+(y−3)2=4．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l和圆C的极坐标方程；（2）若射线θ=π3与l的交点为M，与圆C的交点为A，B，且点M恰好为线段AB的中点，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]已知f(x)=|mx+3|−|2x+n|．（1）当m=2，n=−1时，求不等式f(x)<2的解集；（2）当m=1，n<0时，f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于24，求n的取值范围．参考答案与试题解析2018年广东省高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】根据A∩B={0}即可得出0∈A，0∈B，这样即可求出x，y的值，从而求出x+y的值．【解答】A∩B={0}；∴0∈A，0∈B；∴log3x=0；∴x=1，y=0；∴x+y=1．2.【答案】D【考点】复数的运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算及复数模的求法逐一判断得答案．【解答】∵z1=1+i，z2=1−i，∴z1⋅z2=1−i2=2，故A正确；z1 z2=1+i1−i=(1+i)2(1−i)(1+i)=−i，故B正确；|z14|=|z1|4=4，2|z2|2=4，故C正确；z12+z22=(1+i)2+(1−i)2=0，故D错误．3.【答案】A【考点】平行向量的性质【解析】根据平面向量的坐标运算与共线定理、数量积运算法则，计算即可．【解答】解：a→=(−1, 3)，b→=(m, m−4)，c→=(2m, 3)，若a→ // b→，则−1×(m−4)−3×m=0，解得m =1， ∴ b →=(1, −3)c →=(2, 3)，b →⋅c →=1×2+(−3)×3=−7．故选A . 4.【答案】 D【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】根据图象的关系，求出阴影部分的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】连结AE ，结合图象可知弓形①与弓形②面积相等，将弓形①移动到②的位置，则阴影部分将构成一个直角三角形，则阴影部分的面积为正方形面积的14，则向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影区域内的概率P =14， 5.【答案】 B【考点】等比数列的性质【解析】等比数列{a n }的首项为1，公比q ≠−1，且a 5+a 4=3(a 3+a 2)，可得a 2q 3+a 2q 2=3(a 2q +a 2)，化为：q 2=3．由等比数列的性质可得：a 1a 2……a 9=q 1+2+⋯…+8=q 4×9，代入√a 1a 2a 3⋯a 99=q 4．即可得出．【解答】等比数列{a n }的首项为1，公比q ≠−1，且a 5+a 4=3(a 3+a 2)， ∴ a 2q 3+a 2q 2=3(a 2q +a 2)，化为：q 2=3．由等比数列的性质可得：a 1a 2……a 9=q 1+2+⋯…+8=q8×(8+1)2=q 4×9则√a 1a 2a 3⋯a 99=√q 4×99=q 4=9．6.【答案】 A【考点】双曲线的特性【解析】由题意可得c =4，由双曲线的渐近线方程和两直线垂直的条件：斜率之积为−1，可得a =b ，解方程可得a ，b 的值，即可得到所求双曲线的方程．【解答】双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的一个焦点坐标为(4, 0)，可得c =4，即有a 2+b 2=c 2=16，双曲线的两条渐近线互相垂直，即直线y =ba x 和直线y =−ba x 垂直，可得a =b ，解方程可得a =b =2√2，则双曲线的方程为x 28−y 28=1．7.【答案】 B【考点】由三视图求体积【解析】由题意判断几何体的形状，然后求解几何体的表面积即可．【解答】几何体是组合体，上部是半圆柱，下部是半球，圆柱的底面半径与球的半径相同为1，圆柱的高为3，几何体的表面积为：2π×12+12×π+2×3+3π=6+6π． 8.【答案】 B【考点】简单线性规划【解析】作出约束条件{xy ≥0|x +y|≤2 所对应的可行域，变形目标函数，平移直线y =2x 可得结论．【解答】作出约束条件{xy ≥0|x +y|≤2所对应的可行域（如图阴影）变形目标函数可得y =−2x +z ，平移直线y =−2x 可知当直线经过点A(−2, 0)时，目标函数取最小值−4 当直线经过点B(2, 0)时，目标函数取最大值4，故z =−2x +y 的取值范围为[−4, 4]． 9.【答案】 C【考点】程序框图【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】由已知中程序的功能，可得循环变量的初值为1，终值为64，由于四个答案均为直到条件不满足时退出循环，故循环条件应为n ≤64，而每次累加量构造一个以1为首项，以2为公式的等比数列，由S n =2n −1得：S n+1=2n+1−1=2S n +1，故循环体内S =1+2S ， 10.【答案】 C【考点】数列递推式【解析】由等式变形，可得{an2n−5}为等差数列，公差为1，首项为−5，运用等差数列的通项公式可得a n ，再由自然数和的公式、平方和公式，可得S n ，讨论n 的变化，S n 的变化，僵尸可得最小值．【解答】∵ (2n −5)a n+1=(2n −3)a n +4n 2−16n +15，∴ a n+12n−3−a n 2n−5=1，a1−3=−5．可得数列{an2n−5}为等差数列，公差为1，首项为−5．∴ a n2n−5=−5+n −1=n −6，∴ a n =(2n −5)(n −6)=2n 2−17n +30．∴ S n =2(12+22+……+n 2)−17(1+2+……+n)+30n =2×n(n +1)(2n +1)6−17×n(n +1)2+30n=4n 3−45n 2+131n6．可得n =2，3，4，5，S n 递减；n >5，S n 递增，∵ n ，m ∈N +，n >m ，S 1=15，S 2=19，S 5=S 6=5，S 7=14，S 8=36， S n −S m 的最小值为5−19=−14， 11.【答案】 B【考点】二面角的平面角及求法【解析】正确作出图形，利用勾股定理建立方程，求出四面体的外接球的半径，即可求出四面体的外接球的体积．【解答】如图所示，取BD 中点F ，连结AF 、CF ，则AF ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴ ∠AFC 是二面角A −BD −C 的平面角，过A 作AE ⊥平面BCD ，交CF 延长线于E ，∴ cos∠AFC =−13，cos∠AFE =13，AF ＝CF =√(2√3)2−(√3)2=3， ∴ AE ＝2√2，EF ＝1，设O 为球，过O 作OO′⊥CF ，交F 于O′，作OG ⊥AE ，交AE 于G ，设OO′＝x ，∵ O′B =23CF ＝2，O′F =13CF =1，∴ 由勾股定理得R 2＝O′B 2+OO ′2＝4+x 2＝OG 2+AG 2＝(1+1)2+(2√2−x)2，解得x =√2，∴ R 2＝6，即R =√6，∴ 四面体的外接球的体积为V =43πR 3=43π×6√6=8√6π．12.【答案】 B【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】本题首先要对函数f(x)=e x −ln(x +3)进行求导，确定f′(x)在定义域上的单调性为单调递增函数，然后再利用当x ∈(a, b)时，利用f′(a)f′(b)<0确定导函数的极值点x 0∈(−1, −12)从而．得到x =x 0时是函数f(x)的最小值点．【解答】因为函数f(x)=e x −ln(x +3)，定义域为(−3, +∞)，所以f′(x)=e x −1x+3，易知导函数f′(x)在定义域(−3, +∞)上是单调递增函数，又f′(−1)<0，f′(−12)>0，所以f′(x)=0在(−3, +∞)上有唯一的实根，不妨将其设为x 0，且x 0∈(−1, −12)，则x =x 0为f(x)的最小值点，且f′(x 0)=0，即e x 0=1x 0+3，两边取以e 为底的对数，得x 0=−ln(x 0+3) 故f(x)≥f(x 0)=ex 0−ln(x 0+3)=1x+3−ln(x 0+3)=1x 0+3+x 0，因为x 0∈(−1, −12)，所以2<x 0+3<52，故f(x)≥f(x 0)=1x 0+3+(x 0+3)−3>2+12−3=−12，即对∀x ∈(−3, +∞)，都有f(x)>−12．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）【答案】 −π 【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】根据三角函数图象平移法则，结合函数的奇偶性求出φ的最大值．【解答】函数f(x)=2sin(2x +φ)(φ<0)的图象向左平移π3个单位长度，得f(x +π3)=2sin[2(x +π3)+φ]=2sin(2x +φ+2π3)的图象，∴ g(x)=2sin(2x +2π3+φ)；又g(x)是偶函数，∴ 2π3+φ=π2+kπ，k ∈Z ； ∴ φ=−π6+kπ，k ∈Z ；又φ<0，∴ φ的最大值是−π6．【答案】 2【考点】二项式定理的应用【解析】写出二项展开式的通项，由x 的指数为0求得r 值，可得ab =12，再由基本不等式求a +2b 的最小值．【解答】(ax +bx )6展开式的通项为T r+1=C 6r ∗(ax)6−r ∗(bx )r =a 6−r ∗b r ∗C 6r∗x 6−2r ，由6−2r =0，得r =3．∴ a 3b 3∗C 63=52，即ab =12．∴ a +2b ≥2√2ab =2，当且仅当a =2b ，即a =1，b =12时，取“=”． ∴ a +2b 的最小值为2．【答案】 (0, 1) 【考点】对数函数的图象与性质【解析】利用单调性求解即可．【解答】函数f(x)=log 2(4x +1)+mx ，当m >0时，可知f(x)时单调递增函数，当x =0时，可得f(0)=1，那么不等式f(log 3x)<f(0)的解集，即{x >0log 3x <0 ，解得：0<x <1．【答案】 3【考点】抛物线的求解【解析】此题暂无解析【解答】解：方法一：画出对应的图，设AB 与OP 的夹角为θ，则△ABQ 中AB 边上的高与△ABO 中AB 边上的高之比为PQsin θOPsin θ=PQOP ， ∴ S △ABQS△ABO =PQ OP =y Q −y P y P=y Q y P−1．设P (y 122p ,y 1)，则直线OP:y =y 1y 122px ，即y =2p y 1x ，与y 2=8px 联立，可得y Q =4y 1，从而得到面积比为4y1y 1−1=3．故答案为：3．方法二：记d(X,YZ)表示点X 到线段YZ 的距离，则S △ABQS△ABO=d(Q,AB)d(O,AB)=|PQ||OP|，设|OQ||OP|=m ，P (x 0,y 0)，则OQ →=mOP →，即Q (mx 0,my 0)．于是y 02=2px 0，(my 0)2=8pmx 0，故m =4，则|PQ||OP|=|OQ|−|OP||OP|=4−1=3，从而S △ABQS△ABO=3．故答案为：3．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）【答案】∵在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=60∘，c=8点M，N是线段BC的两个三等分点，BM=13BC，ANBM=2√3，∴设BM=x，则AN=2√3x，在△ABN中，由余弦定理得12x2=64+4x2−2×8×2xcos60∘，解得x=4（负值舍去），则BM=4，∴AM=√82+42−2×8×4×cos60∘=4√3．在△ABC中，由正弦定理得bsinB =csinC，∴sinC=csinBb =8×√3212=√33，又b=12>c，∴B>C，则C为锐角，∴cosC=√63，则sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=√32×√63+12×√33=3√2+√36，∴△ABC的面积S=12bcsinA=48×3√2+√36=24√2+8√3．【考点】三角形求面积【解析】（1）设BM=x，则AM=2√3x，由余弦定理求出BM=4，由此利用余弦定理能求出b．（2）由正弦定理得bsinB =csinC，从而sinC=√33，由b=12>c，得B>C，cosC=√63，从而sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=3√2+√36，由此能求出△ABC的面积．【解答】∵在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=60∘，c=8点M，N是线段BC的两个三等分点，BM=13BC，ANBM=2√3，∴设BM=x，则AN=2√3x，在△ABN中，由余弦定理得12x2=64+4x2−2×8×2xcos60∘，解得x=4（负值舍去），则BM=4，∴AM=√82+42−2×8×4×cos60∘=4√3．在△ABC中，由正弦定理得bsinB =csinC，∴sinC=csinBb =8×√3212=√33，又b=12>c，∴B>C，则C为锐角，∴cosC=√63，则sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=√32×√63+12×√33=3√2+√36，∴△ABC的面积S=12bcsinA=48×3√2+√36=24√2+8√3．【答案】因为AD ⊥DE ，DC ⊥DE ，AD 、CD ⊂平面ABCD ，且AD ∩CD =D ，所以DE ⊥平面ABCD ．又DE ⊂平面EDCF ，故平面ABCD ⊥平面EDCF ．由已知DC // EF ，所以DC // 平面ABFE ．又平面ABCD ∩平面ABFE =AB ，故AB // CD ．所以四边形ABCD 为等腰梯形．又AD =DE ，所以AD =CD ，由题意得AD ⊥BD ，令AD =1，如图，以D 为原点，以DA 为x 轴，建立空间直角坐标系D −xyz ，则D(0, 0, 0)，A(1, 0, 0)， F(−12, √32, 1)，B(0, √3, 0)， ∴ FA →=(32, −√32, −1)，DB→=(0, √3, 0)，DF →=(−12, √32, 1)．设平面BDF 的法向量为n →=(x, y, z)，则{n →∗DB →=√3y =0n →∗DF →=−12x +√32y +z =0 ，取x =2，得n →=(2, 0, 1)， cos <FA →，n →>=FA →∗n→|FA →|∗|n →|=2×√5=√55．设直线与平面BDF 所成的角为θ，则sinθ=√55．所以直线AF 与平面BDF 所成角的正弦值为√55．【考点】平面与平面垂直直线与平面所成的角【解析】（1）推导出AD ⊥DE ，DC ⊥DE ，从而DE ⊥平面ABCD ．由此能证明平面ABCD ⊥平面EDCF ．（2）以D 为原点，以DA 为x 轴，建立空间直角坐标系D −xyz ，利用向量法能求出直线AF 与平面BDF 所成角的正弦值．【解答】因为AD ⊥DE ，DC ⊥DE ，AD 、CD ⊂平面ABCD ，且AD ∩CD =D ，所以DE ⊥平面ABCD ．又DE ⊂平面EDCF ，故平面ABCD ⊥平面EDCF ．由已知DC // EF ，所以DC // 平面ABFE ．又平面ABCD ∩平面ABFE =AB ，故AB // CD ．所以四边形ABCD 为等腰梯形．又AD =DE ，所以AD =CD ，由题意得AD ⊥BD ，令AD =1，如图，以D 为原点，以DA 为x 轴，建立空间直角坐标系D −xyz ，则D(0, 0, 0)，A(1, 0, 0)， F(−12, √32, 1)，B(0, √3, 0)， ∴ FA →=(32, −√32, −1)，DB →=(0, √3, 0)，DF →=(−12, √32, 1)．设平面BDF 的法向量为n →=(x, y, z)，则{n →∗DB →=√3y =0n →∗DF →=−12x +√32y +z =0，取x =2，得n →=(2, 0, 1)， cos <FA →，n →>=FA →∗n→|FA →|∗|n →|=2×5=√55．设直线与平面BDF 所成的角为θ，则sinθ=√55．所以直线AF 与平面BDF 所成角的正弦值为√55．【答案】解：（1）由题可知：a ×0.2+0.9a ×0.36+0.85a ×0.24+0.8a ×0.12+ 0.75a ×0.1+0.7a ×0.04=0.873a ．（2）购买单价不高于平均估计单价的概率为 0.24+0.12+0.1+0.04=0.5=12．Y 的所有可能取值为5000，10000，15000，20000． P(Y =5000)=12×34=38，P(Y=10000)=12×14+12×34×34=1332，P(Y=15000)=12×C21×14×34=316，P(Y=20000)=12×14×14=132．∴Y的分布列为E(Y)=5000×38+10000×1332+15000×316+20000×132=9375．【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）由题可知：a×0.2+0.9a×0.36+0.85a×0.24+0.8a×0.12+ 0.75a×0.1+0.7a×0.04=0.873a．（2）购买单价不高于平均估计单价的概率为0.24+0.12+0.1+0.04=0.5=12．Y的取值为5000，10000，15000，20000．P(Y=5000)=12×34=38，P(Y=10000)=12×14+12×34×34=1332，P(Y=15000)=12×C21×14×34=316，P(Y=20000)=12×14×14=132．∴Y的分布列为E(Y)=5000×38+10000×1332+15000×316+20000×132=9375．【答案】（1）解：因为抛物线C2:y2=8x的焦点(2, 0)，则c=2，b2=a2−c2=4，所以C1：x28+y24=1，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，则{x 128+y 124=1,x 228+y 224=1, 两式相减得(x 1+x 2)(x 2−x 2)8+(y 1+y 2)(y 1−y 2)4=0，由MN 的中点为(1, 1)，所以x 1+x 2=2，y 1+y 2=2，所以y 2−y 1x2−x 1=−12.显然,点(1,1)在椭圆内部,所以直线MN 的斜率为−12. （2）证明：由椭圆的右焦点F 2(2, 0)，当直线AB 的斜率不存在或为0时，1m +1n =4√22√2=3√28. 当直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为y =k(x −2)(k ≠0)，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立{y =k(x −2)x 2+2y 2=8 ，消去y 化简整理得(1+2k 2)x 2−8k 2x +8k 2−8=0， Δ=(−8k 2)2−4(1+2k 2)(8k 2−8)=32(k 2+1)>0，所以x 1+x 2=8k 21+2k2，x 1x 2=8(k 2−1)1+2k 2，所以m =√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√2(1+k 2)1+2k 2，同理可得n =4√2(1+k 2)k 2+2. 所以1m+1n =4√2(1+2k 21+k 2+k 2+21+k 2)=3√28，为定值. 【考点】椭圆的定义【解析】此题暂无解析【解答】（1）解：因为抛物线C 2:y 2=8x 的焦点(2, 0)，则c =2，b 2=a 2−c 2=4，所以C 1：x 28+y 24=1，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，则{x 128+y 124=1,x 228+y 224=1, 两式相减得(x 1+x 2)(x 2−x 2)8+(y 1+y 2)(y 1−y 2)4=0，由MN 的中点为(1, 1)，所以x 1+x 2=2，y 1+y 2=2，所以y 2−y 1x2−x 1=−12.显然,点(1,1)在椭圆内部,所以直线MN 的斜率为−12. （2）证明：由椭圆的右焦点F 2(2, 0)，当直线AB 的斜率不存在或为0时，1m +1n =4√22√2=3√28.当直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为y =k(x −2)(k ≠0)，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立{y =k(x −2)x 2+2y 2=8 ，消去y 化简整理得(1+2k 2)x 2−8k 2x +8k 2−8=0， Δ=(−8k 2)2−4(1+2k 2)(8k 2−8)=32(k 2+1)>0，所以x 1+x 2=8k 21+2k 2，x 1x 2=8(k 2−1)1+2k 2，所以m =√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√2(1+k 2)1+2k 2，同理可得n =4√2(1+k 2)k 2+2. 所以1m +1n =4√2(1+2k 21+k 2+k 2+21+k 2)=3√28，为定值. 【答案】由f(0)=1+2f(0)，得f(0)=−1．因为f′(x)=2e 2x −2e x −f′(0)，所以f′(0)=2−2−f′(0)，解得f′(0)=0．所以f(x)=e 2x −2e x ，f′(x)=2e x (e x −1)，当x ∈(−∞, 0)时，f′(x)<0，则函数f(x)在(−∞, 0)上单调递减；当x ∈(0, +∞)时，f′(x)>0，则函数f(x)在(0, +∞)上单调递增．令g(x)=af(x)−e x +x =ae 2x −(2a +1)e x +x ，根据题意，当x ∈(0, +∞)时，g(x)<0恒成立． g′(x)=(2ae x −1)(e x −1)．①当0<a <12，x ∈(−ln2a, +∞)时，g′(x)>0恒成立，所以g(x)在(−ln2a, +∞)上是增函数，且g(x)∈(g(−ln2a)，+∞)，所以不符合题意；②当a ≥12，x ∈(0, +∞)时，g′(x)>0恒成立，所以g(x)在(0, +∞)上是增函数，且g(x)∈(g(0)，+∞)，所以不符合题意； ③当a ≤0时，因为x ∈(0, +∞)，所有恒有g′(x)<0，故g(x)在(0, +∞)上是减函数，于是“g(x)<0对任意x ∈(0, +∞)都成立”的充要条件是g(0)≤0，即a −(2a +1)≤0，解得：a ≥−1，故−1≤a ≤0．综上，a 的取值范围是[−1, 0]．【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】（1）求出函数的导数，计算f(0)，求出f′(0)的值，求出函数的单调区间即可；（2）令g(x)=af(x)−e x +x ，求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的最值，从而确定a 的范围即可．【解答】由f(0)=1+2f(0)，得f(0)=−1．因为f′(x)=2e 2x −2e x −f′(0)，所以f′(0)=2−2−f′(0)，解得f′(0)=0．所以f(x)=e 2x −2e x ，f′(x)=2e x (e x −1)，当x ∈(−∞, 0)时，f′(x)<0，则函数f(x)在(−∞, 0)上单调递减；当x∈(0, +∞)时，f′(x)>0，则函数f(x)在(0, +∞)上单调递增．令g(x)=af(x)−e x+x=ae2x−(2a+1)e x+x，根据题意，当x∈(0, +∞)时，g(x)<0恒成立．g′(x)=(2ae x−1)(e x−1)．①当0<a<12，x∈(−ln2a, +∞)时，g′(x)>0恒成立，所以g(x)在(−ln2a, +∞)上是增函数，且g(x)∈(g(−ln2a)，+∞)，所以不符合题意；②当a≥12，x∈(0, +∞)时，g′(x)>0恒成立，所以g(x)在(0, +∞)上是增函数，且g(x)∈(g(0)，+∞)，所以不符合题意；③当a≤0时，因为x∈(0, +∞)，所有恒有g′(x)<0，故g(x)在(0, +∞)上是减函数，于是“g(x)<0对任意x∈(0, +∞)都成立”的充要条件是g(0)≤0，即a−(2a+1)≤0，解得：a≥−1，故−1≤a≤0．综上，a的取值范围是[−1, 0]．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】∵直线l的参数方程为{x=34+√3ty=a+√3t（t为参数），∴在直线l的参数方程中消去t可得直线l的普通方程为x−y−34+a=0，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入以上方程中，得到直线l的极坐标方程为ρcosθ−ρsinθ−34+a=0．∵圆C的标准方程为(x−3)2+(y−3)2=4，∴圆C的极坐标方程为ρ2−6ρcosθ−6ρsinθ+14=0．在极坐标系中，由已知可设M(ρ1,π3)，A(ρ2,π3)，B(ρ3, π3)．联立{θ=π3ρ2−6ρcosθ−6ρsinθ+14=0，得ρ2−(3+3√3)ρ+14=0，∴ρ2+ρ3=3+3√3．∵点M恰好为AB的中点，∴ρ1=3+3√32，即M(3+3√32, π3)．把M(3+3√32, π3)代入ρcosθ−ρsinθ−34+a=0，得3(1+√3)2×1−√32−34+a=0，解得a=94．【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】（1）直线l的参数方程消去t可得直线l的普通方程，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，能求出直线l 的极坐标方程．由圆的标准方程能求出圆C 的极坐标方程．（2）设M(ρ1,π3)，A(ρ2,π3)，B(ρ3, π3)．联立{θ=π3ρ2−6ρcosθ−6ρsinθ+14=0 ，得ρ2−(3+3√3)ρ+14=0，从而ρ2+ρ3=3+3√3，进而M(3+3√32, π3)．把M(3+3√32, π3)代入ρcosθ−ρsinθ−34+a =0，能求出a 的值．【解答】∵ 直线l 的参数方程为{x =34+√3t y =a +√3t（t 为参数），∴ 在直线l 的参数方程中消去t 可得直线l 的普通方程为x −y −34+a =0，将x =ρcosθ，y =ρsinθ代入以上方程中，得到直线l 的极坐标方程为ρcosθ−ρsinθ−34+a =0． ∵ 圆C 的标准方程为(x −3)2+(y −3)2=4，∴ 圆C 的极坐标方程为ρ2−6ρcosθ−6ρsinθ+14=0．在极坐标系中，由已知可设M(ρ1,π3)，A(ρ2,π3)，B(ρ3, π3)．联立{θ=π3ρ2−6ρcosθ−6ρsinθ+14=0 ，得ρ2−(3+3√3)ρ+14=0，∴ ρ2+ρ3=3+3√3． ∵ 点M 恰好为AB 的中点， ∴ ρ1=3+3√32，即M(3+3√32, π3)．把M(3+3√32, π3)代入ρcosθ−ρsinθ−34+a =0，得3(1+√3)2×1−√32−34+a =0，解得a =94．[选修4-5：不等式选讲]【答案】当m =2，n =−1时，f(x)=|2x +3|−|2x −1|，不等式f(x)<2等价于{x <−32−(2x +3)+(2x −1)<2或{−32≤x ≤12(2x +3)+(2x −1)<2或{x >12(2x +3)−(2x −1)<2，解得：x <−32或−32≤x <0，即x <0．所以不等式f(x)<2的解集是(−∞, 0)．由题设可得，f(x)=|x +3|−|2x +n|={x +n −3,x <−33x +3+n,−3≤x ≤−n2−x +3−n,x >−n2 ，所以函数f(x)的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为：试卷第21页，总21页 A(−3+n 3, 0)，B(3−n, 0)，C(−n 2, 3−n 2)，所以三角形ABC 的面积为12(3−n +3+n 3)(3−n 2)=(6−n)26，由(6−n)26>24，解得：n >18或n <−6．【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）代入m ，n 的值，得到关于x 的不等式组，解出即可；（2）求出A ，B ，C 的坐标，表示出三角形的面积，得到关于n 的不等式，解出即可．【解答】当m =2，n =−1时，f(x)=|2x +3|−|2x −1|，不等式f(x)<2等价于{x <−32−(2x +3)+(2x −1)<2 或{−32≤x ≤12(2x +3)+(2x −1)<2 或{x >12(2x +3)−(2x −1)<2，解得：x <−32或−32≤x <0，即x <0．所以不等式f(x)<2的解集是(−∞, 0)．由题设可得，f(x)=|x +3|−|2x +n|={x +n −3,x <−33x +3+n,−3≤x ≤−n 2−x +3−n,x >−n 2，所以函数f(x)的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为：A(−3+n 3, 0)，B(3−n, 0)，C(−n 2, 3−n 2)，所以三角形ABC 的面积为12(3−n +3+n 3)(3−n 2)=(6−n)26，由(6−n)26>24，解得：n >18或n <−6．。

广东省六校2018届高三第二次联考(理数)

广东省六校2018届高三第二次联考数学（理科）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{}{}2|430,|,0xA x x xB y y e x =-+<==≤，则A B = （）A.(),1-∞B.()0,3C.()1,3D.()3,+∞2.已知()(47)5m ni i ++=，其中,m n 是实数，则复平面内，复数z m ni =+所对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式11111+++…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11+x x=求得x =（） A.3C. 6D. 4.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( )A.a 5a 3B.S 5S 3 C.a n ＋1a n D.S n ＋1S n5.已知命题p ⌝:存在x ∈(1,2)使得0x e a ->,若p 是真命题，则实数a 的取值范围为（）A.(-∞,e )B.(-∞, e ]C.(2e ,+∞)D.[2e ,+∞)6.直线y x =与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的焦点，则椭圆C 的离心率为( )A.－1＋52B.1＋52C.3－52D.127.已知数列{}n a 满足7128,38,n n a n n a a n -⎧⎛⎫-+>⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≤⎩若对于任意的*n N ∈都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是( )A.10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.11,32⎛⎫⎪⎝⎭ D. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭8.将函数()2cos 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间[0,]3a 和7[2,]6a π上均单调递增，则实数a 的取值范围是（）A.[,]32ππB.[,]62ππC.[,]63ππD.3[,]48ππ9.在平行四边形ABCD 中，4,2,,3AB AD A M π==∠=为DC 的中点，N为平面ABCD-=-，则=⋅AN AM （） A. 16 B. 12 C. 8 D. 610.若函数()1sin 2sin 3f x x x a x =-+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（） A ．[]1,1- B ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦11．在正方体1111ABCD A BC D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱1AA 于点F ．给出下列四个结论，错误的是（） A ．存在点E ，使得11C A //平面F BED 1； B ．对于任意的点E ，平面⊥D C A 11平面F BED 1； C ．存在点E ，使得⊥D B 1平面F BED 1； D ．对于任意的点E ，四棱锥F BED B 11-的体积均不变.12．若曲线()()()2111ln 1f x e x e a x =-<<-+和()()320g x x x x =-+<上分别存在点,A B ，使得AOB ∆是以原点O 为直角顶点的直角三角形，且斜边AB 的中点y 轴上，则实数a 的取值范围是（） A.()2,e eB. 2,2e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()21,eD.[)1,e二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省中山市第一中学2018届高三第二次统测数学(理)试题 Word版含解析

广东省中山市第一中学2018届高三第二次统测数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得：，结合交集的定义可得：.本题选择D选项.2. 若复数在复平面内对应的点在轴上，则（）A. 1B. 3C. 2D. 4【答案】C【解析】由题意结合复数的运算法则有：，其对应的点在y轴上，则：，则：.本题选择C选项.3. 设，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，据此可得：.本题选择B选项.点睛：在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小．4. 已知均为单位向量，它们的夹角为，那么（）A. B. C. 4 D. 13【答案】A【解析】试题分析：由条件可知，，所以.故本题答案选A.考点：向量的数量积．5. 已知角的终边过点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，则：.本题选择B选项.6. 已知等差数列中，.若，则数列的前5项和等于（）A. 30B. 45C. 90D. 186【答案】C【解析】试题分析：因为，等差数列中，，所以，其公差为，通项公式为，即，所以，数列的前5项和等于90，选C。

考点：等差数列的通项公式点评：简单题，由等差数列中的任意两项，可确定得到其通项公式，进一步研究其相关数列问题。

7. 下列选项中，说法正确的是（）A. 若，则B. 向量垂直的充要条件是C. 命题“”的否定是“”D. 已知函数在区间上的图象是连续不断的，则命题“若，则在区间内至少有一个零点”的逆命题为假命题【答案】D【解析】解:A，y=lnx 是增函数，a>b，所以lna>lnb,故A不对．B，两个向量垂直的充要条件为，所以,m=0．故B不对．C，该命题的否定是“，．D，逆命题为若在区间内至少有一个零点，则若．是假命题，例如正弦函数在（0，上，有一个零点但是．故选D.8. 函数满足对任意都有成立，且函数的图象关于点对称，，则（）A. 12B. 8C. 4D. 0【答案】C【解析】∵函数y=f(x)满足对任意x∈R都有f(x+2)=f(−x)成立，且函数y=f(x−1)的图象关于点(1,0)对称∴f(x+4)=−f(x+2)=−[−f(x)]=f(x).∴函数的周期为4.∵函数f(x)为奇函数,∴f(0)=0,∴f(2)=−f(0)=0.∵f(1)=4,∴f(−1)=−f(1)=−4,f(2)=f(0)=0，f(2016)+f(2017)+f(2018)=f(0)+f(1)+f(2)=0+4+0=4，本题选择C选项.9. 设函数在处取得极值，则的值为（）A. 1B.C.D. 2【答案】D【解析】由题意可得：f′(x)=sinx+xcosx；∵f(x)在x=x0处取得极值；∴f′(x0)=sinx0+x0cosx0=0；∴，则：.本题选择D选项.点睛：处理三角函数问题时要注意公式的变形应用，如sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α及sin α＝tan α·cos α等．这是解题中常用到的变形，也是解决问题时简化解题过程的关键所在．10. 如图可能是下列哪个函数的图象（）A. B. C. D.【答案】C【解析】逐一考查所给的选项：A选项中：当时，不合题意；B选项中：当时，，不合题意；D选项中：当时，无意义，不合题意；本题选择C选项.11. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为（）A. 3B. 2C.D.【答案】C【解析】函数的图象向右平移个单位，可得在上为增函数，∴,(k∈Z)解得：ω⩽3−12k且,(k∈Z)∵ω>0，∴当k=0时,ω取得最大值为.本题选择C选项.12. 已知函数（为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题可知在上有根，等价于，令，则，若则，若，则，所以在单调增，在单调减，又，，，所以的取值范围是，故选A．考点：1、利用导数求值域;2、参变分离．【方法点睛】本题考查利用导数求值域，属于难题.首先将题目转化为方程在有根，再根据参数分离可得，的取值范围就是的值域，利用导数求值域，分别令，解出的范围，可以得到在单调增，在单调减，可知的范围是，即求得的取值范围.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数（且）恒过定点，则__________. 【答案】【解析】令指数，则：，据此可得定点的坐标为：，则：.14. 已知函数的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为，且过点，则函数__________.【答案】【解析】由题意可得,∴,函数.再把点代入函数的解析式可得，∴.再由,,可得,据此可得函数的解析式为：.点睛：已知f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象(性质)求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象(性质)上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.15. 已知与的夹角为,，，且，则的值为__________.【答案】【解析】由题意，建立平面直角坐标系，如图所示，则，则：，结合可得：，结合可得：.故答案为：.16. 已知数列中，，，记.若，则__________.【答案】1343【解析】∵a1=a(0<a⩽2),，∴a2=−a1+3=3−a∈[1,3).①当a∈[1,2]时,3−a∈[1,2],∴a3=−a2+3=a，∴当n=2k−1,k∈N∗时,a1+a2=a+3−a=3,∴S2k−1=3(k−1)+a=2015，a=1时舍去，a=2时，k=672，此时n=1343；当n=2k,k∈N∗时,a1+a2=a+3−a=3,∴S2k=3k=2015,k=671+，不是整数，舍去；②当a∈(0,1)时,3−a∈(2,3),∴a3=a2−2=1−a∈(0,1),∴a4=−a3+3=a+2∈(2,3),a5=a4−2=a∈(2,3)，当n=4k,k∈N∗时,=a+3−a+1−a+a+2=6,∴S4k=6k=2015，k不为整数，舍去；当n=4k−1,k∈N∗时,=a+3−a+1−a=4−a,∴S4k−1=6(k−1)+(4−a)=2015，舍去；当n=4k−2,k∈N∗时,a1+a2=3,∴S4k−2=6(k−1)+3=2015，舍去。

广东二模高三数学考试(理科)-含答案

广东二模高三数学考试（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合2{|321},{|320}A x x B x x x =-<=-≥，则A B =（）A ．(1,2]B ．91,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．(1,)+∞2．已知复数z 满足(3)(1i)64i z +-=-（i 为虚数单位），则z 的共轭复数所对应的点在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知72sin cos ,2sin cos 55αααα+=--=-，则cos2α=（） A ．725B ．725-C ．1625D ．1625-4．如图1为某省2018年1~4月快递义务量统计图，图2是该省2018年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误．．的是（）A ．2018年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B ．2018年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C ．从两图来看，2018年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．从1~4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长 5．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若,4,24ABC C a S π===△，则232sin 3sin sin a c bA C B+-=+- （）AB ．C ．D ．6．已知平面向量,a b 满足2,1a b ==，且()()432a b a b -⋅+=，则向量,a b 的夹角θ为（） A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π7．为了得到2cos 2y x =-的图象，只需把函数2cos 2y x x =-的图象（）A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度D ．向右平移6π个单位长度8．已知抛物线21:2(0)C x py y =>的焦点为1F ，抛物线22:(42)C y p x =+的焦点为2F ，点01(,)2P x 在1C 上，且134PF =，则直线12F F 的斜率为（） A ．12-B ．14-C ．13-D ．15-9．如图，B 是AC 上一点，分别以,,AB BC AC 为直径作半圆．从B 作BD AC ⊥，与半圆相交于D ．6,AC BD == ）A ．29B ．13C ．49D ．2310．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各条棱中，最长的棱与最短的棱所在直线所成角的正切值为（） ABCD．11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，点(,0)M a -，(0,)N b ，点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅取得最小值和最大值时，12PF F △的面积分别为12,S S ，则12S S =（）A ．4B ．8C． D．12．已知函数()ln (0,1)x xf x a e x a a a =+->≠，对任意12,[0,1]x x ∈，不等式21()()2f x f x a --≤恒成立，则a 的取值范围为（） A ．21,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[,)ee +∞C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．2[,]ee e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．在42x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，含2x -的项的系数是．14．已知实数,x y 满足12,3321,14,2y x y x y x ⎧-+⎪⎪--⎨⎪⎪+⎩≥≤≤ 则目标函数3z x y =-的最大值为．15．已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且(0)0g =，当0x ≥时，()()f x g x -=222x x x b +++（b 为常数），则(1)(1)f g -+-= ．16．在四面体A BCD -中，2AB AC AD BC BD =====，若四面体A BCD -的外接球的体积V =，则CD = ． CABDMN O三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11S =，且对任意正整数n ，都有111n n n S n S S n +++=-+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．（12分）某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的1200名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取20名学生，对他们的课外阅读时间进行问卷调查．现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类：A 类（不参加课外阅读），B 类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时），C 类（参加课外（1）求出表中x ，y （2）根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关；（3）从抽出的女生中再随机抽取3人进一步了解情况，记X 为抽取的这3名女生中A 类人数和C 类人数差的绝对值，求X的数学期望．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．19．（12分）如图，在五面体ABCDFE 中，底面ABCD 为矩形，//EF AB ，BC FD ⊥，过BC 的平面交棱FD 于P ，交棱FA 于Q ．（1）证明：//PQ 平面ABCD ；（2）若,,2,CD BE EF EC CD EF BC tEF ⊥===，求平面ADF 与平面BCE 所成锐二面角的大小．ABCDEF PQ20．（12分）已知F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，点(2,3)P 在C 上，且PF x ⊥轴．（1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 交C 于,A B 两点，交直线8x =于点M ．判定直线,,PA PM PB 的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．21．（12分）设函数()(1)1xxf x xe a e =+-+．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在(0,)+∞上存在零点，证明：2a >． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为5cos 55sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）．M 是曲线1C 上的动点，将线段OM 绕O 点顺时针旋转90︒得到线段ON ，设点N 的轨迹为曲线2C ．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线12,C C 的极坐标方程；（2）在（1）的条件下，若射线(0)3πθρ=≥与曲线12,C C 分别交于,A B 两点（除极点外），且有定点(4,0)T ，求TAB △的面积．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()22(0)f x x m x m m =+-->．（1）当12m =时，求不等式1()2f x ≥的解集；（2）对于任意的实数x ，存在实数t ，使得不等式()34f x t t +-<+成立，求实数m 的取值范围．高三数学考试（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合2{|321},{|320}A x x B x x x =-<=-≥，则A B =（）A ．(1,2]B ．91,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．(1,)+∞1．答案：C解析：因为3{|1},02A x x B x x ⎧⎫=>=⎨⎬⎩⎭≤≤，所以312AB x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭≤．2．已知复数z 满足(3)(1i)64i z +-=-（i 为虚数单位），则z 的共轭复数所对应的点在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．答案：D 解析：因为64i32i 1iz -=-=+-，所以2i z =-． 3．已知72sin cos ,2sin cos 55αααα+=--=-，则cos2α=（）A ．725B ．725-C ．1625D ．1625-3．答案：A解析：因为7sin cos 522sin cos 5αααα⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，所以3sin 5α=-，从而27cos 212sin 25αα=-=．4．如图1为某省2018年1~4月快递义务量统计图，图2是该省2018年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误．．的是（）A ．2018年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B ．2018年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C ．从两图来看，2018年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．从1~4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长 4．答案：D解析：选项A ，B 显然正确；对于选项C ，2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C 是正确的；对于选项D ，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D 错误．5．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若,4,24ABC C a S π===△，则232sin 3sin sin a c bA C B+-=+- （）A B ．C ．D ．5．答案：B解析：11,4,sin 424222ABC C a S ab C b π====⨯⨯⨯=△，得b =，又根据余弦定理得：2222cos 10c a b ab C =+-=，即c =，所以2322sin 3sin sin sin a c b cR A C B C+-===+-6．已知平面向量,a b 满足2,1a b ==，且()()432a b a b -⋅+=，则向量,a b 的夹角θ为（） A ．6πB ．3π C ．2π D ．23π 6．答案：D解析：因为()()224343112,2,1a b a b a b a b a b -⋅+=-+⋅===，所以1a b ⋅=-，由cos 2cos 1a b a b θθ⋅=⋅==-，得1cos 2θ=-，所以23πθ=．7．为了得到2cos 2y x =-的图象，只需把函数2cos 2y x x =-的图象（）A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度D ．向右平移6π个单位长度7．答案：D解析：因为2cos 22cos 22cos 236y x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，要得到函数2cos 2y x =-，只需将2cos 2y x x =-的图象向右平移6π个单位长度即可． 8．已知抛物线21:2(0)C x py y =>的焦点为1F ，抛物线22:(42)C y p x =+的焦点为2F ，点01(,)2P x 在1C 上，且134PF =，则直线12F F 的斜率为（） A ．12-B ．14-C ．13-D ．15-8．答案：B解析：因为134PF =，所以13224p +=，解得22121211.:,:4,(0,),(1,0)24p C x y C y x F F ===，所以直线12F F 的斜率为114014=--．9．如图，B 是AC 上一点，分别以,,AB BC AC 为直径作半圆．从B 作BD AC ⊥，与半圆相交于D ．6,AC BD == ）A ．29B ．13C ．49D ．239．答案：C解析：连接,AD CD ，可知ACD △是直角三角形，又BD AC ⊥，所以2BD AB BC =⋅，设(06)AB x x =<<，则有8(6)x x =-，得2x =，所以2,4AB BC ==，由此可得图中阴影部分的面积等于2223122222ππππ⎛⎫⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭，故概率241992P ππ==⨯． 10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各条棱中，最长的棱与最短的棱所在直线所成角的正切值为（） ABCD．10．答案：C解析：如图，可知最长的棱为长方体的体对角线AC =最短的棱为1BD =，异面直线AC 与BD 所成的角为ACE ∠，由三视图中的线段长度可得，1,AB BD CE CD AE =====tan ACE ∠=．ABCD E11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，点(,0)M a -，(0,)N b ，点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅取得最小值和最大值时，12PF F △的面积分别为12,S S ，则12S S =（） A ．4 B ．8C．D．11．答案：A 解析：由2ce a==，得2,c a b ==，故线段MN所在直线的方程为)y x a =+，又点P 在线段MN上，可设()P m +，其中[,0]m a ∈-，由于12(,0),(,0)F c F c -，即12(2,0),(2,0)F a F a -，得12(2,33),(2,)PF a m m a PF a m =----=-，所以221246PF PF m ma a ⋅=+-223134()44m a a =+-．由于[,0]m a ∈-，可知当34m a =-时，12PF PF ⋅取得最小值，此时4P y a =，当0m =时，12PFPF ⋅取得最大值，此时P y ，则214S S ==． 12．已知函数()ln (0,1)x xf x a e x a a a =+->≠，对任意12,[0,1]x x ∈，不等式21()()2f x f x a --≤恒成立，则a 的取值范围为（）A ．21,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[,)ee +∞C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．2[,]ee e12．答案：B解析：因为()ln x x f x a e x a =+-，所以()ln ln (1)ln x x x xf x a a e a a a e '=+-=-+．当1a >时，对任意的[0,1]x ∈，10,ln 0x a a ->≥，恒有()0f x '>；当01a <<时，10,ln 0xa a -<≤，恒有()0f x '>，所以()f x 在[0,1]x ∈是单调递增的．那么对任意的12,[0,1]x x ∈，不等式21()()f x f x -2a -≤恒成立，只要max min ()()2f x f x a --≤，max ()(1)ln f x f a e a ==+-，min ()(0)112f x f ==+=，所以2ln 2a a e a -+--≥，即ln ,e a e a e ≥≥．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．在42x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，含2x -的项的系数是．13．答案：32 解析：44214422rr rr r rr T C xC x x --+⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭，令422r -=-，得3r =，所以含2x -的项的系数为334232C ⋅= 14．已知实数,x y 满足12,3321,14,2y x y x y x ⎧-+⎪⎪--⎨⎪⎪+⎩≥≤≤ 则目标函数3z x y =-的最大值为．14．答案：4-解析：作可行域如图所示，由图可知，当3z x y =- 过点(1,1)B -时，z 取得最大值4-．15．已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且(0)0g =，当0x ≥时，()()f x g x -=222x x x b +++（b 为常数），则(1)(1)f g -+-= ．15．答案：4-解析：由()f x 为定义在R 上的奇函数可知(0)0f =，所以0(0)(0)20f g b -=+=，得1b =-，所以(1)(1)4f g -=，于是(1)(1)(1)(1)[(1)(1)]4f g f g f g -+-=-+=--=-．16．在四面体A BCD -中，2AB AC AD BC BD =====，若四面体A BCD -的外接球的体积V =，则CD = ． 16．答案：解析：设CD 的中点为M ，AB 的中点为N ，则四面体A BCD -的外接球球心O 在线段MN 上，设四面体A BCD -的外接球半径为r，由3433V r π==，得r =2CD x =，在Rt OAN △中，1ON ==，在Rt ADN △中，DN =，在Rt DMN △中，MN ==1OM MN ON =-=，在Rt ODM △中，222OM OD DM =-，由221)2x =-，解得x =CD =CABDMN O三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11S =，且对任意正整数n ，都有111n n n S n S S n +++=-+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2nn n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 17．解析：（1）由11S =，得11a =．……………………………………………………………………1分又对任意正整数n ，111n n n S n S S n +++=-+都成立，即11(1)(1)(1)n n n S n n n S n S ++++=+-+，所以1(1)(1)n n nS n S n n +-+=+，所以111n nS S n n+-=+，………………………………………………3分即数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为公差，1为首项的等差数列．……………………………………………………4分所以nS n n=，即2n S n =，得121(2)n n n a S S n n -=-=-≥，………………………………………5分又由11a =，所以21()n a n n N *=-∈．…………………………………………………………………6分解法2：由1111n n n n S n S S a n ++++=-=+，可得11(1)(1)n n S n n n a ++++=+，当2n ≥时，(1)n n S n n na +-=，两式相减，得112(1)n n n a n n a na +++=+-，整理得12n n a a +-=，在111n n S n a n +++=+中，令2n =，得2212Sa +=，即22122a a ++=，解得23a =，212a a ∴-=，所以数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，12(1)21n a n n ∴=+-=-．（2）由（1）可得2122n n n n a n b -==，……………………………………………………………………7分所以231135232122222n n nn n T ---=+++++， ①……………………………………………………8分则234111352321222222n n n n n T +--=+++++， ②……………………………………………………9分 -①②，得2341112222212222222n n n n T +-=+++++-，……………………………………………10分整理得1113221323222222n n n n n n T ++-+=--=-，…………………………………………………………11分所以2332n nn T +=-．……………………………………………………………………………………12分18．（12分）某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的1200名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取20名学生，对他们的课外阅读时间进行问卷调查．现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类：A 类（不参加课外阅读），B 类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时），C 类（参加课外阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过3小时）．调查结果如下表：（1）求出表中x ，y （2）根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关；（3）从抽出的女生中再随机抽取3人进一步了解情况，记X 为抽取的这3名女生中A 类人数和C 类人数差的绝对值，求X 的数学期望．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．18．解析：（1）设抽取的20人中，男、女生人数分别为12,n n ，则122012001220002080082000n n ⨯⎧==⎪⎪⎨⨯⎪==⎪⎩,……1分所以12534x =--=，………………………………………………………………………………2分8332y =--=．………………………………………………………………………………………3分（2）列联表如下：5分2K 的观测值220(4628)100.159 2.70612814663k ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以没有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关．……………………………………………7分（3）X 的可能取值为0，1，2，3，则311132333819(0)56C C C C P X C +===，……………………………………………………………………8分 3121122133322323383(1)7C C C C C C C C P X C +++===，………………………………………………………9分 21212333383(2)14C C C C P X C +===，………………………………………………………………………10分 33381(3)56C P X C ===，……………………………………………………………………………………11分所以193131510123567145656EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．………………………………………………………12分 19．（12分）如图，在五面体ABCDFE 中，底面ABCD 为矩形，//EF AB ，BC FD ⊥，过BC 的平面交棱FD 于P ，交棱FA 于Q ．（1）证明：//PQ 平面ABCD ；（2）若,,2,CD BE EF EC CD EF BC tEF ⊥===，求平面ADF 与平面BCE 所成锐二面角的大小．ABCDEF PQ19．（1）证明：因为底面ABCD 为矩形，所以//AD BC ，又因为AD ⊂平面ADF ，BC ⊄平面ADF ，所以//BC 平面ADF ，……………………………………………………………………………………2分又因为BC ⊂平面BCPQ ，平面BCPQ平面ADF PQ =，所以//BC PQ ，…………………………4分又因为PQ ⊄平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以//PQ 平面ABCD ．…………………………6分（2）解：,,CD BE CD CB BE CB B ⊥⊥=，CD ∴⊥平面BCE ，又因为CE ⊂平面BCE ，所以CD CE ⊥；因为,,BC CD BC FD CD FD D ⊥⊥=，所以BC ⊥平面CDFE ，所以BC CE ⊥，以C为坐标原点，,,CD CB CE 所在方向为,,x y z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系C xyz -，设1EF CE ==，则(2,,0),(2,0,0),(1,0,1)A t D F ，所以(0,,0),(1,,1)AD t AF t =-=--…………7分设平面ADF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0n AD ty n AF x ty z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令1x =，得(1,0,1)n =…9分易知平面BCE 的一个法向量为(1,0,0)m =，…………………………………………………………10分设平面ADF 与平面BCE 所成的锐二面角为θ，则2cos 2n m n mθ⋅==⋅，……………………………11分所以4πθ=，故平面ADF 与平面BCE 所成锐二面角为4π．20．（12分）已知F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，点(2,3)P 在C 上，且PF x ⊥轴．（1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 交C 于,A B 两点，交直线8x =于点M ．判定直线,,PA PM PB 的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．20．解：（1）因为点(2,3)P 在C 上，且PF x ⊥轴，所以2c =………………………………………1分由22224914a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，得221612a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，…………………………………………………………………………4分故椭圆C 的方程为2211612x y +=．…………………………………………………………………………5分（2）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的的方程为(2)y k x =-，令8x =，得M 的坐标为(8,6)k ．……………………………………………………………………6分由2211612(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(43)1616(3)0k x k x k +-+-=．…………………………………………7分设1122(,),(,)A x y B x y ，则有221212221616(3),4343k k x x x x k k -+==++．①…………………………8分设直线,,PA PM PB 的斜率分别为123,,k k k ，从而121231233631,,22822y y k k k k k x x ---====----．……………………………………………………9分因为直线AB 的方程为(2)y k x =-，所以1122(2),(2)y k x y k x =-=-，所以12121212121233113222122y y y y k k x x x x x x ⎛⎫--+=+=+-+ ⎪------⎝⎭1212124232()4x x k x x x x +-=-⨯-++． ②……………………………………………………………………10分把①代入②，得2212222216443232116(3)3244343k k k k k k k kk k -++=-⨯=---+++．………………………………11分又312k k =-，所以1232k k k +=，故直线,,PA PM PB 的斜率成等差数列．…………………………12分21．（12分）设函数()(1)1xxf x xe a e =+-+．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在(0,)+∞上存在零点，证明：2a >．21．（1）解：函数()f x 的定义域为(,)-∞+∞，…………………………………………………………1分因为()(1)1xxf x xe a e =+-+，所以()(1)xf x x a e '=+-．…………………………………………2分所以当1x a >-时，()0f x '>，()f x 在(1,)a -+∞上是增函数；当1x a <-时，()0f x '<，()f x 在(,1)a -∞-上是减函数．……………………………………4分所以()f x 在(1,)a -+∞上是增函数，在(,1)a -∞-上是减函数．…………………………………5分（2）证明：由题意可得，当0x >时，()0f x =有解，即1(1)11111x x x x x xe x e x x a x e e e +-+-+===+---有解．………………………………………………6分令1()1x x g x x e +=+-，则221(2)()1(1)(1)x x x x x xe e e x g x e e ----'=+=--．…………………………………………7分设函数()2,()10xxh x e x h x e '=--=->，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增．又2(1)30,(2)20h e h e =-<=->，所以()h x 在(0,)+∞上存在唯一的零点．………………………8分故()g x '在(0,)+∞上存在唯一的零点．设此零点为k ，则(1,2)k ∈．………………………………9分当(0,)x k ∈时，()0g x '<；当(,)x k ∈+∞时，()0g x '>．所以()g x 在(0,)+∞上的最小值为()g k ．………………………………………………………………10分又由()0g k '=，可得2ke k =+，所以1()1(2,3)1kk g k k k e +=+=+∈-，…………………………11分因为()a g x =在(0,)+∞上有解，所以()2a g k >≥，即2a >．………………………………12分解法2：（2）证明：由题意可得，当0x >时，()0f x =有解，由（1）可知()f x 在(1,)a -+∞上是增函数，在(,1)a -∞-上是减函数，且(0)1f =．①当10a -<，即1a <时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以当0x >时，()(1)1f x f >=，不符合题意； ②当10a ->，即1a >时，()f x 在(0,1)a -上单调递减，在(1,)a -+∞上单调递增，所以当1x a =-时，()f x 取得最小值(1)f a -，由题意可知111(1)(1)(1)110≤a a a f a a e a e a e ----=-+-+=-+，设1()1(1)x g x x ex -=-+>，则1()10x g x e -'=-<，所以函数()g x 在(1,)+∞上单调递减，又(2)30g e =->，而()≤0g a ，所以2a >．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为5cos 55sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）．M 是曲线1C 上的动点，将线段OM 绕O 点顺时针旋转90︒得到线段ON ，设点N 的轨迹为曲线2C ．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线12,C C 的极坐标方程；（2）在（1）的条件下，若射线(0)3πθρ=≥与曲线12,C C 分别交于,A B 两点（除极点外），且有定点(4,0)T ，求TAB △的面积．22．解：（1）由题设，得1C 的直角坐标方程为22(5)25x y +-=，即22100x y y +-=，…………2分故1C 的极坐标方程为210sin 0ρρθ-=，即10sin ρθ=．………………………………………………3分设点(,)(0)N ρθρ≠，则由已知得,2M πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，代入1C 的极坐标方程得10sin()2πρθ=+，即10cos (0)ρθρ=≠．……………………………………………………………………………………5分（2）将3πθ=代入12,C C的极坐标方程得,5,33A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，………………………………7分又因为(4,0)T ，所以1sin 1523TOA S OA OT π=⋅=△，………………………………………………8分1sin 23TOB S OB OT π=⋅=△，……………………………………………………………………9分所以15TAB TOA TOB S S S =-=-△△△10分 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()22(0)f x x m x m m =+-->．（1）当12m =时，求不等式1()2f x ≥的解集；（2）对于任意的实数x ，存在实数t ，使得不等式()34f x t t +-<+成立，求实数m 的取值范围．23．解：因为0m >，所以3,()223,3,x m x mf x x m x m x m m x m x m x m --⎧⎪=+--=--<<⎨⎪-+⎩≤≥．……………………1分（1）当12m =时，31,22111()3,,22231,22x x f x x x x x ⎧--⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-+⎪⎩≤≥ …………………………………………………………2分所以由1()2f x ≥，可得31,2212x x ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩≥≤或113,221122x x ⎧-⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩≥ 或312212x x ⎧-+⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥≥ ，…………………………3分解得1132x <≤或112x ≤≤，………………………………………………………………………………4分故原不等式的解集为113xx ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭≤．………………………………………………………………………5分（2）因为()34()43f x t t f x t t +-<+⇔+--≤，令()43g t t t =+--，则由题设可得max max ()()≤f x g t ．…………………………………………6分由3,()3,3,x m x m f x x m m x m x m x m --⎧⎪=--<<⎨⎪-+⎩≤≥，得max ()()2f x f m m ==．……………………………………7分因为43(4)(3)7t t t t +--+--=≤，所以7()7g t -≤≤．……………………………………8分故max ()7g t =，从而27m <，即72m <，………………………………………………………………9分又已知0m >，故实数m 的取值范围是70,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．…………………………………………………………10分。

广东省中山市第一中学2018届高三第二次统测理数试题含答案精品

广东省中山市第一中学2018届高三第二次统测数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2230,2A x x x B x x =--<=<，则A B ⋂=（）A ．{}22x x -<<B ．{}23x x -<< C. {}13x x -<< D ．{}12x x -<<2.若复数()()2z a i a R =+∈在复平面内对应的点在y 轴上，则z =（） A ．1 B ．3 C. 2 D ．4 3设43322log 3,2,3a b c -===，则（）A ．b a c <<B ．c a b << C. c b a << D ．a c b << 4.已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b +=（）A ．135.已知角α的终边过点()4,3P -，则cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A ．B C. D6.已知等差数列{}n a 中，256,15a a ==.若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于（） A ．30 B ．45 C. 90 D ．1867.下列选项中，说法正确的是（） A 若0a b >>，则ln ln a b <B.向量()()()1,,,21a m b m m m R ==-∈垂直的充要条件是1m =C 命题“()*1,322n n n N n -∀∈>+⋅”的否定是“()*1,322n n n N n -∀∈≥+⋅”D.已知函数()f x 在区间[],a b 上的图象是连续不断的，则命题“若()()0f a f b ⋅<，则()f x 在区间(),a b 内至少有一个零点”的逆命题为假命题8.函数()y f x =满足对任意x R ∈都有()()2f x f x +=-成立，且函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，()14f =，则()()()201620172018f f f ++=（） A ．12 B ． 8 C. 4 D ．09.设函数()sin f x x x =在0x x =处取得极值，则()()20011cos2x x ++的值为（） A ．1 B ．1- C. 2- D ．2 10.如图可能是下列哪个函数的图象（）A ．221xy x =-- B ．2sin 41x x xy =+ C. ()22x y x x e =- D ．ln x y x =11.将函数()()2sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移4πω个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()y g x = 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的最大值为（）A ．3B ．2 C.32 D ．5412.已知函数()2g x a x =-（1,x e e e ≤≤为自然对数的底数）与()2ln h x x =的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a 的取值范围是（）A ．21,2e ⎡⎤-⎣⎦ B ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ C.2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D ．)22,e ⎡-+∞⎣ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数941x y a -=-（0a >且1a ≠）恒过定点(),A m n ，则log m n = ．14．已知函数()()sin 0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-≤≤ ⎪⎝⎭的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，则函数()f x = ．15.已知AB 与AC 的夹角为90︒,2,1AB AC ==，(),AM AB AC R λμλμ=+∈，且0AM BC ⋅=，则λμ的值为． 16.已知数列{}n a 中，()102a a a =<≤，()()()*12232n n n nn a a a n N a a +⎧->⎪=∈⎨-+≤⎪⎩，记12n n S a a a =+++.若2015n S =，则n = ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知()113cos ,cos 714ααβ=-=，且02πβα<<<.（1）求tan 2α的值. （2）求β.18. 已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()2234a c b ac -=-.（1）求cos B 的值；（2）若b =sin ,sin ,sin A B C 成等差数列，求ABC ∆的面积. 19.已知正数数列{}n a 的前n 项和n S 满足()*11n n a a S S n N =+∈. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n nnb a =，求证：122n b b b +++<.20.张老师开车上班，有路线①与路线②两条路线可供选择. 路线①：沿途有,A B 两处独立运行的交通信号灯，且两处遇到绿灯的概率依次为12,23，若A 处遇红灯或黄灯，则导致延误时间2分钟；若B 处遇红灯或黄灯，则导致延误时间3分钟；若两处都遇绿灯，则全程所花时间为20分钟.路线②：沿途有,a b 两处独立运行的交通信号灯，且两处遇到绿灯的概率依次为32,45，若a 处遇红灯或黄灯，则导致延误时间8分钟；若b 处遇红灯或黄灯，则导致延误时间5分钟；若两处都遇绿灯，则全程所花时间为15分钟.（1）若张老师选择路线①，求他20分钟能到校的概率；（2）为使张老师日常上班途中所花时间较少，你建议张老师选择哪条路线？并说明理由. 21. 已知函数()()211ln 2f x x a x a x =+--. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设0a >，证明：当0x a <<时，()()f a x f a x +<-；（3）设12,x x 是()f x 的两个零点，证明：1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭.22. 已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程是x y ⎧⎪⎪⎨⎪+⎪⎩（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）判断直线l 与曲线C 的位置关系；（2）设(),M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: DCBAB 6-10: CDCDC 11、12：CA 二、填空题 13.12 14.sin 26x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 15. 14 16. 1343三、解答题17.（1）由1cos ,072παα=<<得sin α.∴sin 7tan cos 1ααα===于是22tan tan 21tan1ααα==--.（2）由02πβα<<<得02παβ<-<.又∵()13cos 14αβ-=，∴()sin αβ-.由()βααβ=--，得：()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()cos cos sin sin ααβααβ=-+-113714=⨯+12=所以3πβ=.18.（1）由()2234a c b ac -=-，可得22254a c b ac +-=.所以222528a cb ac +-=，即5cos 8B =.（2）因为b =5cos 8B =，所以()22225131344b ac ac a c ac ==+-=+-，又sin ,sin ,sin A B C 成等差数列，由正弦定理，得2a c b +== 1313524ac =-，所以12ac =.由5cos 8B =，得sinB =ABC ∆的面积11sin 1222ABC S ac B ∆==⨯=19.（1）当1n =，2111a a a =+，又0n a >所以12a =；当2n ≥时，()()112222n n n n n a S S a a --=-=---，所以12n n a a -= 因此{}n a 是以12a =为首项，2为公比的等比数列. 故()*2n n a n N =∈. （2）令12231232222n n nn T b b b =+++=++++，则234111*********n n n n nT +-=+++++，两式相减得23111111222222n nn nT +=++++-，所以2311111122222n n n n T -=+++++-()12222nn ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭. 20. （1）走路线①，20分钟能到校意味着张老师在,A B 两处均遇到绿灯，记该事件为A ，则121233P =⨯=.（2）设选择路线①的延误时间为随机变量ξ,则ξ的所有可能取值为 0， 2， 3， 5.则()()1211210,2233233P P ξξ==⨯===⨯=，()()1111113,5236236P P ξξ==⨯===⨯=.ξ的数学期望()1111023523366E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.设选择路线②的延误时间为随机变量η，则η的可能取值为0， 8， 5， 13.则()()3261220,845204520P P ηη==⨯===⨯=，()()3391335,1345204520P P ηη==⨯===⨯=. η的数学期望()629308513520202020E η=⨯+⨯+⨯+⨯=. 因此选择路线①平均所花时间为20222+=分钟，选择路线②平均所花时间为15520+=分钟，所以为使张老师日常上班途中所花时间较少，建议张老师选择路线②.21. （1）()f x 的定义域为()0,+∞.由已知，得()()()()2111x a x a x x a a f x x a x x x+--+-'=+--==，若0a ≤，则()0f x '>，此时()f x 在()0,+∞上单调递增. 若0a >，则由()0f x '=，得x a =.当0x a <<时，()0f x '<；当x a >时，()0f x '>. 此时()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增. （2）令()()()g x f a x f a x =+--，则()()()()()()()()()22111ln 1ln 22g x a x a a x a a x a x a a x a a x ⎡⎤=++-+-+--+----⎢⎥⎣⎦()()2ln ln x a a x a a x =-++-所以()22222a a x g x a x a x a x -'=--=+--. 当0x a <<时，()0g x '<，所以()g x 在()0,a 上是减函数.而()00g =，所以()()00g x g <=.故当0x a <<时，()()f a x f a x +<-.（3）由（1）可知，当0a ≤时，函数()f x 至多有一个零点，故a >0，从而()f x 的最小值为()f a ，且()0f a <.不妨设120x x <<，则120x a x <<<，所以10a x a <-<. 由（2），得()()()()111220f a x f a a x f x f x -=+-<==. 从而212x a x >-，于是122x x a +>. 由（1）知，1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭.22．（1）直线l 的普通方程为0x y -+=.曲线C 的直角坐标方程为221x y ⎛⎛+= ⎝⎭⎝⎭.圆心⎝⎭到直线0x y -+的距离51d ==>，所以直线l 与曲线C 的位置关系是相离.（2）设cos ,sin M θθ⎫++⎪⎪⎝⎭，（θ为MC 与x 轴正半轴所成的角）则4x y πθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.因为02θπ≤<所以x y ⎡+∈⎣.。

【高三数学试题精选】2018年高三数学二模理科试卷(广州市含答案)

2018年高三数学二模理科试卷(广州市含答案)
5 c 广东省广州市2=0的位置关系是
A相交B相切c相离D取决于的值
3若1-i(i是虚数单位）是关于x的方程x2+2px +q=0(p、q∈R)的一个解，则p+q=
A-3 B -1 c 1D 3
4已知函数=f(x)的图象如图l所示，则其导函数=f’(x)的图象可能是
5若函数的一个对称中心是( ,则ω的最小值为
A1B 2c 4D 8
6一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图2所示若一个平行于圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为l7的上、下两部分，则截面的面积为
A B
c B
7某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为15万元年维修保养费用第一年3000元，以后逐年递增3000元，则这辆汽车报废的最佳年限（即使用多少年的年平均费用最少）是
A 8 年
B I 年c 12 年D 15 年
9记实数x1，x2,…，xn中的最大数为ax{x1，x2,…，xn} ,最小数为in{x1，x2,…，xn}则ax{in{x+1，x2 - x + 1, -x +6}}=
A B 1 c 3 D
二、填空题本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分
(-)必做题（9-13题）
9某商场销售甲、乙、丙三种不同型号的钢笔，甲、乙、丙三种型号钢笔数量之比依次为 234 现用分层抽样的方法抽出一个容量为。

2018届广东省中山市普通高中毕业班高考数学复习模拟试题(11) Word版含答案

2018届广东省中山市普通高中毕业班高考数学复习模拟试题（11）一、选择题：本大题共１０小题，每小题５分，共５０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项正确，每小题选出答案后．１．“α＝β＝π/2”是“ｓｉｎαｓｉｎβ＝１”的Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件２．已知集合Ａ＝｛ｘ│≥０｝，集合Ｂ＝｛ｙ│ｙ＝ｓｉｎｘ，ｘ∈Ｒ｝，则Ｂ∩ＣＲＡ＝Ａ．ΦＢ．｛１｝Ｃ．｛－１｝Ｄ．｛－１，１｝３．的展开式中第五项是Ａ．８０Ｂ．２４０Ｃ．－３２Ｄ．－１９２４．函数ｆ（ｘ）＝ｘ＋ｌｇｘ－３的零点所在区间为Ａ．（３，＋∞）Ｂ．（２，３）Ｃ．（１，２）Ｄ．（０，１）５．在△ＡＢＣ中，内角Ａ、Ｂ、Ｃ所对边的长分别为ａ，ｂ，ｃ，２ａｓｉｎＡ＝（２ｂ＋ｃ）ｓｉｎＢ＋（２ｃ＋ｂ）ｓｉｎＣ，则角Ａ的大小为Ａ．３０°Ｂ．６０°Ｃ．１２０°Ｄ．１５０°６．在△ＡＢＣ中，Ｏ是中线ＡＭ上一个动点，若ＡＭ＝４，则的最小值是Ａ．－４Ｂ．－８Ｃ．－１０Ｄ．－１２７．在半径为Ｒ的球内有一内接圆柱，设该圆柱底面半径为ｒ，当圆柱的侧面积最大时，ｒＲ为Ａ．１/４Ｂ．１/２Ｃ．Ｄ．８．已知ａ１，ａ２，…，ａｎ∈（０，＋∞），且＝２０１３，则的最小值是Ａ．２０１３/４Ｂ．２０１３/２Ｃ．２０１３Ｄ．４０２６９．设平面点集Ａ＝｛（ｘ，ｙ）│（ｙ－ｘ）（ｙ－１/ｘ）≥０｝，Ｂ＝｛（ｘ，ｙ）│０≤ｙ≤｝，则Ａ∩Ｂ所表示的平面图形的面积为Ａ．π/２Ｂ．Ｃ．Ｄ．１０．已知函数ｆ（ｘ）在Ｒ上可导，下列四个选项中正确的是Ａ．若ｆ（ｘ）＞ｆ＇（ｘ）对ｘ∈Ｒ恒成立，则ｅｆ（１）＜ｆ（２）Ｂ．若ｆ（ｘ）＜ｆ＇（ｘ）对ｘ∈Ｒ恒成立，则ｆ（－１）＞ｆ（１）Ｃ．若ｆ（ｘ）＋ｆ＇（ｘ）＞０对ｘ∈Ｒ恒成立，则ｅｆ（２）＜ｆ（１）Ｄ．若ｆ（ｘ）＋ｆ＇（ｘ）＜０对ｘ∈Ｒ恒成立，则ｆ（－１）＞ｆ（１）二、填空题：本大题共５小题，每小题５分，共２５分，把答案填在答题卡中相应的横线上．１１．已知复数ｚ＝１－ｉ，则＝．１２．某程序的流程图如图所示，若使输出的结果不大于３８，则输入的整数ｉ的最大值为．１３．抛物线＝２ｐｘ（ｐ＞０）的焦点为Ｆ，过Ｆ的直线与抛物线交于Ａ、Ｂ两点，抛物线的准线与ｘ轴交于点Ｋ，则（１）以ＡＢ为直径的圆与抛物线准线的位置关系为（填“相交”、“相切”或“相离”）；（２）△ＫＡＢ的面积的最小值为．１４．如图，为美化环境，某地决定在一个大型广场建一个同心圆形花坛，花坛分为两部分，中间小圆部分种植草坪，周围的圆环分为ｎ（ｎ≥３，ｎ∈）部分；现将红、黄、蓝三种不同颜色的花种植在圆环中的各部分，要求三种花色齐全且相邻两部分花色不同。

广东省中山市第一中学2018届高三第二次统测理数试题含答案

广东省中山市第一中学2018届高三第二次统测数学（理)试题第Ⅰ卷（共60分)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}{}2230,2A x x x B x x =--<=<，则A B ⋂=（）A ．{}22x x -<<B ．{}23x x -<< C. {}13x x -<< D ．{}12x x -<< 2。

若复数()()2z a i a R =+∈在复平面内对应的点在y 轴上,则z =( ）A ．1B ．3C 。

2D ．4 3设43322log3,2,3a b c -===，则（ )A ．b a c <<B ．c a b << C. c b a<< D ．a c b <<4.已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60︒,那么3a b +=( ）A 13B 10C 。

4D ．135。

已知角α的终边过点()4,3P -，则cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A ．72B 72C 。

2 D 26。

已知等差数列{}na 中,256,15a a ==。

若2nnba =，则数列{}nb 的前5项和等于（ )A ．30B ．45C 。

90D ．186 7。

下列选项中，说法正确的是( ） A 若0a b >>，则ln ln a b <B.向量()()()1,,,21a m b m m m R ==-∈垂直的充要条件是1m =C 命题“()*1,322n n n N n -∀∈>+⋅"的否定是“()*1,322n n n N n -∀∈≥+⋅”D 。

已知函数()f x 在区间[],a b 上的图象是连续不断的，则命题“若()()0f a f b ⋅<，则()f x 在区间(),a b 内至少有一个零点”的逆命题为假命题8。

2018届广东省高三下学期模拟考试(二)数学(理)试题(解析版)

2018年普通高等学校招生全国统一考试广东省理科数学模拟试卷（二）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知，集合，集合，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：首先应用确定出，从而求出的值，再进一步确定出的值，最后求得结果即可.详解：因为，所以，解得，所以，所以，故选C.点睛：该题考查的是有关集合的知识点，涉及到集合的交集中元素的特征，从而找到等量关系式，最后求得结果.2. 若复数，，则下列结论错误的是（）A. 是实数B. 是纯虚数C.D.【答案】D【解析】分析：根据题中所给的条件，将两个复数进行相应的运算，对选项中的结果一一对照，从而选出满足条件的项.详解：，是实数，故A正确，，是纯虚数，故B正确，，，故C正确，，所以D项不正确，故选D.点睛：该题考查的是复数的有关概念和运算，在做题的时候，需要对选项中的问题一一检验，从而找到正确的结果.3. 已知，，，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用，结合向量共线时坐标所满足的关系，求出的值，从而确定出的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得的值.详解：由，得到，即，从而求得，则，从而求得，故选A.点睛：该题考查了向量共线的条件，以及向量数量积的坐标公式，在解题的过程中，求的值是先决条件，这就要求我们不要将公式混淆.4. 如图，是以正方形的边为直径的半圆，向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影区域内的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先由圆的对称性得到图中阴影部分的面积，再用几何概型的概率公式进行求解.详解：连接，由圆的对称性得阴影部分的面积等于的面积，易知，由几何概型的概率公式，得该点落在阴影区域内的概率为.故选D..点睛：本题的难点是求阴影部分的面积，本解法利用了圆和正方形的对称性，将阴影部分的面积转化为求三角形的面积.5. 已知等比数列的首项为，公比，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先利用等比数列的项之间的关系，求得公比的值，之后判断根式的特征，化简求得是有关数列的第几项，再结合题中所给的数列的首项得出结果.详解：根据题意可知，而，故选B.点睛：该题考查的是等比数列的有关问题，涉及到项与项之间的关系，还有就是数列的性质，两项的脚码和相等，则数列的两项的积相等，将式子化简，利用首项和公比求出结果.6. 已知双曲线的一个焦点坐标为，且双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的方程为（）A. B. C. D. 或【答案】A【解析】分析：先利用双曲线的渐近线相互垂直得出该双曲线为等轴双曲线，再利用焦点位置确定双曲线的类型，最后利用几何元素间的等量关系进行求解.详解：因为该双曲线的两条渐近线互相垂直，所以该双曲线为等轴双曲线，即，又双曲线的一个焦点坐标为，所以，即，即该双曲线的方程为.故选D.点睛：本题考查了双曲线的几何性质，要注意以下等价关系的应用：等轴双曲线的离心率为，其两条渐近线相互垂直.7. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先利用三视图得到该组合体的结构特征，再分别利用球的表面积公式、圆柱的侧面积公式求出各部分面积，再求和即可.详解：由三视图可得该几何体是由圆柱的一半（沿轴截面截得，底面半径为1，母线长为3）和一个半径为1的半球组合而成（部分底面重合），则该几何体的表面积为.点睛：处理几何体的三视图和表面积、体积问题时，往往先由三视图判定几何体的结构特征，再利用相关公式进行求解.8. 设，满足约束条件则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先根据题中所给的约束条件画出相应的可行域，是两个三角形区域，结合目标函数的属性，可知其为截距型的，从而确定出在哪个点处取得最小值，哪个点处取得最大值，从而确定出目标函数的范围.详解：直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与交于点，题中约束条件对应的可行域为两个三角形区域，移动直线，可知直线过点A时截距取得最小值，过点C时截距取得最大值，从而得到，从而确定出目标函数的取值范围是，故选B点睛：该题属于线性规划的问题，需要首先根据题中所给的约束条件画出相应的可行域，判断目标函数的类型，属于截距型的，从而判断出动直线过哪个点时取得最小值，过哪个点时取得最大值，最后求得对应的范围，在求解的时候，判断最优解最关键.9. 在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人——宰相西萨·班·达依尔.国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第个小格里，赏给我粒麦子，在第个小格里给粒，第小格给粒，以后每一小格都比前一小格加一倍.请您把这样摆满棋盘上所有的格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒.当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求.那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？下面是四位同学为了计算上面这个问题而设计的程序框图，其中正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：先分析这个传说中涉及的等比数列的前64项的和，再对照每个选项对应的程序框图进行验证.详解：由题意，得每个格子所放麦粒数目形成等比数列，且首项，公比，所设计程序框图的功能应是计算，经验证，得选项B符合要求.故选B.点睛：本题以数学文化为载体考查程序框图的功能，属于基础题.10. 已知数列的前项和为，，且满足，已知，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：首先对题中所给的数列的递推公式进行变形，整理得出数列为等差数列，确定首项和公差，从而得到新数列的通项公式，接着得到的通项公式，利用其通项公式，可以得出哪些项是正的，哪些项是负的，哪些项等于零，从而能够判断出在什么情况下取得最小值，并求出最小值的结果.详解：根据题意可知，式子的每一项都除以，可得，即，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以，即，由此可以判断出这三项是负数，从而得到当时，取得最小值，且，故选C.点睛：该题考查的是数列的有关问题，需要对题中所给的递推公式变形，构造出新的等差数列，从而借助于等差数列求出的通项公式，而题中要求的的值表示的是连续若干项的和，根据通项公式判断出项的符号，从而确定出哪些项，最后求得结果.11. 已知菱形的边长为，，沿对角线将菱形折起，使得二面角的余弦值为，则该四面体外接球的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先根据题中所给的菱形的特征，结合二面角的平面角的定义，先找出二面角的平面角，之后结合二面角的余弦值，利用余弦定理求出翻折后的长，借助勾股定理，得到该几何体的两个侧面是共用斜边的两个直角三角形，从而得到该四面体的外接球的球心的位置，从而求得结果.详解：取中点,连结，根据二面角平面角的概念，可知是二面角的平面角，根据图形的特征，结合余弦定理，可以求得，此时满足，从而求得，，所以是共斜边的两个直角三角形，所以该四面体的外接球的球心落在中点，半径，所以其体积为，故选B.点睛：该题所考查的是有关几何体的外接球的问题，解决该题的关键是弄明白外接球的球心的位置，这就要求对特殊几何体的外接球的球心的位置以及对应的半径的大小都有所认识，并且归类记忆即可.12. 已知函数，则下面对函数的描述正确的是（）A. ，B. ，C. ，D.【答案】B【解析】分析：首先应用导数研究函数的单调性，借助于二阶导来完成，在求函数的极值点的时候，发现对应的方程，在中学阶段是解不出来的，所以用估算的办法求出来，之后进行比较，对题中各项的结果进行对比，排除不正确的，最后得到正确答案.详解：根据题意，可以求得函数的定义域为，，，可以确定恒成立，所以在上是增函数，又，，所以，满足，所以函数在上是减函数，在上是增函数，是最小值，满足，在上是增函数，从而有，结合该值的大小，可知最小值是负数，可排除A,D，且，从而排除C项，从而求得结果，故选B.点睛：该题考查的是利用导数研究函数的性质，本题借着二阶导来得到一阶导函数是增函数，从而利用零点存在性定理对极值点进行估算，最后不是求出的确切值，而是利用估算值对选项进行排除，从而求得最后的结果.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到偶函数的图象，则的最大值是__________．【答案】【解析】分析：先利用三角函数的变换得到的解析式，再利用诱导公式和余弦函数为偶函数进行求解.详解：函数的图象向左平移个单位长度，得到，即，又为偶函数，所以，即，又因为，所以的最大值为.点睛：本题的易错点是：函数的图象向左平移个单位长度得到的解析式时出现错误，要注意平移的单位仅对于自变量而言，不要得到错误答案“”.14. 已知，，展开式的常数项为，则的最小值为__________．【答案】【解析】分析：由题意在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于零，求得的值，可得展开式的常数项，再根据展开式的常数项为，确定出，再利用基本不等式求得的最小值.详解：展开式的通项公式为，令，得，从而求的，整理得，而，故答案是.点睛：该题考查的是有关二项式定理以及基本不等式的问题，解题的关键是要清楚二项展开式的通项公式以及确定项的求法，之后是有关利用基本不等式求最值的问题，注意其条件是一正二定三相等.15. 已知函数，当时，关于的不等式的解集为__________．【答案】【解析】分析：首先应用条件将函数解析式化简，通过解析式的形式确定函数的单调性，解出函数值1所对应的自变量，从而将不等式转化为，进一步转化为，求解即可，要注意对数式中真数的条件即可得结果.详解：当时，是上的增函数，且，所以可以转化为，结合函数的单调性，可以将不等式转化为，解得，从而得答案为.点睛：解决该题的关键是将不等式转化，得到所满足的不等式，从而求得结果，挖掘题中的条件就显得尤为重要.16. 设过抛物线上任意一点（异于原点）的直线与抛物线交于，两点，直线与抛物线的另一个交点为，则__________．【答案】【解析】分析：画出图形，将三角形的面积比转化为线段的长度比，之后转化为坐标比，设出点的坐标，写出直线的方程，联立方程组，求得交点的坐标，最后将坐标代入，求得比值,详解：画出对应的图就可以发现，设，则直线，即，与联立，可求得，从而得到面积比为，故答案是3.点睛：解决该题的关键不是求三角形的面积，而是应用面积公式将面积比转化为线段的长度比，之后将长度比转化为坐标比，从而将问题简化，求得结果.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，.（1）若点，是线段的两个三等分点，，，求的值；（2）若，求的面积.【答案】（1）（2）.【解析】分析：第一问根据题意得出两个点的位置，从而设出对应的边长，在三角形中，应用余弦定理求得所满足的等量关系式，求得对应的值，再放在三角形中应用余弦定理求得对应的边长，第二问根据正弦定理找出角所满足的条件，最后利用面积公式求得三角形的面积.详解：（1）由题意得，是线段的两个三等分点，设，则，，又，，在中，由余弦定理得，解得（负值舍去），则.在中，.(2）在中，由正弦定理，得.又，所以，则为锐角，所以.则，所以的面积.点睛：该题所考查的是有关利用正余弦定理解三角形的问题，在解题的过程中，需要时刻关注正余弦定理的内容，在求解的过程中，注意边长所满足的条件，对解出的结果进行相应的取舍，将面积公式要用活.18. 如图：在五面体中，四边形是正方形，，，.（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：第一问证明面面垂直，在证明的过程中，利用常规方法，抓住面面垂直的判定定理，找出相应的垂直关系证得结果，第二问求的是线面角的正弦值，利用空间向量，将其转化为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值，从而求得结果.详解：（1）证明：因为，，，平面，且，所以平面.又平面，故平面平面.（2）解：由已知，所以平面.又平面平面，故.所以四边形为等腰梯形.又，所以，易得，令，如图，以为原点，以的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，.设平面的法向量为，由所以取，则，，得，.设直线与平面所成的角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.点睛：该题在解题的过程中，第一问用的是常规法，第二问用的是空间向量法，既然第二问要用空间向量，则第一问也可以用空间向量的数量积等于零来达到证明垂直的条件，所以解题方法是不唯一的.19. 经销商第一年购买某工厂商品的单价为（单位：元），在下一年购买时，购买单价与其上年度销售额（单位：万元）相联系，销售额越多，得到的优惠力度越大，具体情况如下表：为了研究该商品购买单价的情况，为此调查并整理了个经销商一年的销售额，得到下面的柱状图.已知某经销商下一年购买该商品的单价为（单位：元），且以经销商在各段销售额的频率作为概率.（1）求的平均估计值.（2）该工厂针对此次的调查制定了如下奖励方案：经销商购买单价不高于平均估计单价的获得两次抽奖活动，高于平均估计单价的获得一次抽奖活动.每次获奖的金额和对应的概率为记（单位：元）表示某经销商参加这次活动获得的资金，求的分布及数学期望.【答案】（1）0.873a（2）见解析【解析】分析：第一问根据题意，列出对应的变量的分布列，利用离散型随机变量的期望公式求得对应的平均值；第二问也是分析题的条件，将事件对应的情况找全，对应的概率值算对，最后列出分布列，利用公式求得其数学期望.详解：（1）由题可知：的平均估计值为：.（2）购买单价不高于平均估计单价的概率为.的取值为，，，.，，，.所以的分布列为（元）.点睛：该题属于离散型随机变量的分布列及其期望值的运算，在解题的过程中，一定要对题的条件加以分析，正确理解，那些量有用，会提示我们得到什么样的结果，还有就是关于离散型随机变量的期望公式一定要熟记并能灵活应用.20. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点也为抛物线的焦点.（1）若，为椭圆上两点，且线段的中点为，求直线的斜率；（2）若过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，和，，设线段，的长分别为，，证明是定值.【答案】（1）（2）见解析【解析】分析：（1）先利用抛物线的焦点是椭圆的焦点求出，进而确定椭圆的标准方程，再利用点差法求直线的斜率；（2）设出直线的方程，联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解.详解：因为抛物线的焦点为，所以，故.所以椭圆.（1）设，，则两式相减得，又的中点为，所以，.所以.显然，点在椭圆内部，所以直线的斜率为.（2）椭圆右焦点.当直线的斜率不存在或者为时，.当直线的斜率存在且不为时，设直线的方程为，设，，联立方程得消去并化简得，因为，所以，.所以，同理可得.所以为定值.点睛：在处理直线与椭圆相交的中点弦问题，往往利用点差法进行求解，比联立方程的运算量小，另设直线方程时，要注意该直线的斜率不存在的特殊情况，以免漏解.21. 已知为函数的导函数，.（1）求的单调区间；（2）当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：第一问给自变量赋值求得解析式，利用导数研究函数的单调性即可，第二问关于恒成立问题可以转化为求函数最值问题来解决，最值也离不开函数图像的走向，所以离不开求导确定函数的单调区间.详解：（1）由，得.因为，所以，解得.所以，，当时，，则函数在上单调递减；当时，，则函数在上单调递增.（2）令，根据题意，当时，恒成立..①当，时，恒成立，所以在上是增函数，且，所以不符合题意；②当，时，恒成立，所以在上是增函数，且，所以不符合题意；③当时，因为，所有恒有，故在上是减函数，于是“对任意都成立”的充要条件是，即，解得，故.综上，的取值范围是.点睛：该题属于导数的综合应用问题，在解题的过程中，确定函数解析式就显得尤为重要，在这一步必须保持头脑清醒，第二问在证明不等式恒成立的时候，可以构造新函数，恒成立问题转化为最值来处理即可，需要注意对参数进行讨论.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），圆的标准方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线和圆的极坐标方程；（2）若射线与的交点为，与圆的交点为，，且点恰好为线段的中点，求的值.【答案】（1）,（2）【解析】分析：（1）将直线的参数方程利用代入法消去参数，可得直线的直角坐标方程，利用，可得直线的极坐标方程，圆的标准方程转化为一般方程，两边同乘以利用利用互化公式可得圆的极坐标方程；（2）联立可得，根据韦达定理，结合中点坐标公式可得，将代入，解方程即可得结果.详解：（1）在直线的参数方程中消去可得，，将，代入以上方程中，所以，直线的极坐标方程为.同理，圆的极坐标方程为.（2）在极坐标系中，由已知可设，，.联立可得，所以.因为点恰好为的中点，所以，即.把代入，得，所以.点睛：消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可.23. 选修4-5：不等式选讲已知.（1）当，时，求不等式的解集；（2）当，时，的图象与轴围成的三角形面积大于，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）利用零点分段讨论法去掉绝对值符号转化为几个不等式组的解集的并集；（2）利用零点分段讨论法去掉绝对值符号，得到分段函数，利用数形结合思想和三角形的面积公式进行求解.详解：（1）当，时，.不等式等价于或或解得或，即.所以不等式的解集是.（2）由题设可得，所以函数的图象与轴围成的三角形的三个顶点分别为，，.所以三角形的面积为.由题设知，，解得.点睛：求解含两个绝对值的不等式时，往往利用零点分段讨论法去掉绝对值符号，将问题转化为分段函数对应的不等式组进行求解.。

高考数学试题-2018年中山市最后模拟考试数学试题最新

2018年中山市高考模拟试题理科数学本卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签宇笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：锥体的体积公式13V sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 的实部为1-，虚部为2，则5iz= （） A ．2i - B ．2i + C ．2i -- D ．2i -+2．已知某几何体的三视图如右图所示，根据图中的数据，则该几何体的体积是（）A . 6B . 8C . 18D . 243．已知{}n a 为等差数列，105531=++a a a ，99642=++a a a .以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是 ( )A . 21B . 20C . 19D . 18俯视图侧视图正视图42243第2题4．某市10000名考生参加某次模拟考试，他们的数学成绩近似地服从正态分布2(85,10)N ，则数学成绩在65~75分之间的考生人数约为（参考数据为:()0.6826P x u σ-<=, (2)0.9544P x u σ-<=，其中u 为均值，σ为标准差）（） A ．1259 B ．1359 C ．1459 D ．15595. 在下列四个命题中（1）命题“若p ，则q ”与命题“若,q ⌝则p ⌝”互为逆否命题; （2）“若22,am bm <则a b <”的逆命题为真命题;（3）命题:[0,1],1x p x e ∀∈≥，命题2:,10,q x R x x ∃∈++<则p q ∨为真; （4）若实数,[0,1]x y ∈，则满足221x y +>的概率为4π.其中错误的．．．个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．36. 已知实数y x ,满足不等式组242y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2222t x y x y =++-的最小值是( )A . 0B .1-C . 1D .37．在第16届广州亚运会中，某国家队从6名运动员中选4名运动员参加4100⨯米接力赛，且这6人中甲、乙两人不跑第一棒，则不同的选择方案共有（）A ．300种B ．240种C ．144种D ．96种8. 定义在R 上的函数1,22() 1 ,2x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩, 若关于x 的方程2()()3f x af x b ++=有3个不同实数解1x 、2x 、3x ，且123x x x <<，则下列结论错误的．．．是( )A ．22212314x x x ++=B . 2a b +=C . 1322x x x +>D .134x x +=二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，本题满分30分．（一）必做题（９～13题）9．n x )1(+的展开式中，只有第六项的系数最大，则4x 的系数是 .10．已知函数)20,0(),sin()(πωϕω<<>+=A x A x f 的图象如图所示，则函数的解析式()f x = .11．椭圆122=+ky x 的两个焦点在圆422=+y x 上，则此椭圆的离心率e = .12. 对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次, 得到如下表所示的数据.在上述统计数据的分析中,其中一部分的计算见右图所示的算法流程图(其中a 是这8个数据的平均数), 则输出的S 的值是 .13. 定义向量运算“⨯”：b a ⨯的结果为一个向量，其模为><,sin ||||，且b a ⨯与向量,均垂直．则右图平行六面体1111ABCD A BC D -的体积用1,,AA AD AB 表示为．（用运算符号“⨯”及数量积“∙”表示）（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题.若两题都做，只计算14题的得分） 14. 在极坐标中，圆4cos ρθ=的圆心C 到直线sin()4πρθ+=的距离为 .15．如右图，直线PC 与圆O 相切于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E ，4PC =，8PB =，则CE = ..第13题第12题P第15题三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤， 16．(本题满分12分)2018年上海世博会上展馆A 与展馆B 位于观光路的同侧,,C D 两点分别测得75,45,30,45ACB DCB ADC ADB ︒︒︒︒∠=∠=∠=∠=，（,,,ABCD 在同一平面内），求展馆,A B 之间的距离.17. (本题满分12分)第19届南非世界杯的主办城市开普敦有甲乙两个相邻的观光景点，某日甲景点内有2个美国旅游团和2个日本旅游团，乙景点内有2个美国旅游团和3个日本旅游团 . 现从甲景点中的4个旅游团选出其中一个旅游团，与从乙景点中的5个旅游团中选出的其中一个旅游团进行互换. （1）求互换后甲景点恰有2个美国旅游团的概率；（2）求互换后甲景点内美国旅游团数的期望.18．(本题满分14分)如图，PA ⊥平面ABC ， AB BC ⊥．AD 垂直于PB 于D ， AE 垂直于PC 于E．PA =1AB BC ==．（1）求证：PC ⊥平面ADE ；（2）求AB 与平面ADE 所成的角；19． (本题满分14分)已知数列{}n a 是以首项为114a =，公比14q =的等比数列，设*)(log 3241N n a b n n ∈=+，数列n n n n b a c c ⋅=满足}{. （1）求证：}{n b 是等差数列；（2）求数列}{n c 的前n 项和n S ；（3）若对1412-+≤m m c n 一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围. ACPDE第18题ABCD第16题20．(本题满分14分)设,A B 分别为椭圆22221(,0)x y a b a b+=>的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且24a c =.（1）求椭圆的方程；（2）设P 为直线4x =上不同于点(4,0)若直线,AP BP 分别与椭圆相交于异于,A B 的点M 、证明点B 在以MN 为直径的圆内.21．(本题满分14分)已知函数.0)0,(,2)(,)()(22<-∞∈=-=a x x a x g a x x x f 且（I ）（i ）求函数)()(x g y x f y ==与的图象的交点的坐标；（ii ）设函数)(),(x g y x f y ==的图象在交点处的切线分别为,,21l l 是否存在这样的实数a ，使得21l l ⊥？若存在，请求出a 的值和相应交点的坐标；若不存在，请说明理由.（II ）求函数()f x 在[1,0)-上最小值()F a .第20题2018年中山市模拟考试数学试题理科数学参考答案一．选择题ABBBC ABC二．填空题9． 45； 10. 2sin()84x ππ+；12. 7； 13．1()AA AB AD ⋅⨯，或1()AB AD AA ⋅⨯，或1()AD AB AA ⋅⨯；； 15. 125三．解答题16．(本题满分12分)解：在ACD ∆中，18030DAC ACB BCD ADC ∠=︒-∠-∠-∠=︒，30ADC ∠=︒，---------------------------------------------1分在ACD ∆中，3sin sin DC ADAD DAC ACD=⇒=∠∠-----------5分在BCD ∆中，18060CBD DCB ADB ADC ∠=︒-∠-∠-∠=︒，45BCD ∠=︒，-------6分在BCD∆中，s i n sDBDBD CBDBCD =⇒=∠∠分在ABD ∆中，2222o A BD=+-⨯.-----------------11分答：展馆,A B 米.---------------------------------------------------------------------12分17. (本题满分12分)解．（Ⅰ）令{A =互换后甲景点恰有2个美国旅游团}，则甲乙两个景点各有一个旅游团互换后，甲景点恰有2个美国旅游团有下面两种情况：①互换的都是美国旅游团，则此时甲景点恰有2个美国旅游团事件1A 的概率ABCD第16题.51)(151412121==C C C C A P -----------------------------------------------------------------------------2分②互换的都是日本旅游团，则此时甲景点恰有2个美国旅游团事件2A 的概率1123211453().10C C P A C C ==--------------------------------------------------------------------------4分又12A A A =+，12,A A 互斥，则12131()()().5102P A P A P A =+=+=---------------------5分答：互换后甲景点恰有2个美国旅游团的概率为12.------------------------------------------6分（Ⅱ）设互换后甲景点内美国旅游团数为ξ，则ξ的取值为1,2,3------------------------7分112311453(1)10C C P C C ξ===， 1(2)2P ξ==， 112211451(3)5C C P C C ξ=== 所以ξ的分布列为： ---------------------------------------10分---------------------------------------------11分所以 .10193512211103=⨯+⨯+⨯=ξE答：互换后甲景点内美国旅游团数的期望19.10------------------------------------------------------12分 18．(本题满分14分) 解：解法一：（1）证明：因为PA ⊥平面ABC ，所以BC PA ⊥,----------------------------------------------------2分又BC AB ⊥,PA AB A ⋂=CAD EPF所以BC ⊥平面PAB ,又AD ⊂平面PAB ，则 AD BC ⊥,------------------------------------------------------4分又PB AD ⊥，PB BC B ⋂=，所以AD ⊥平面PBC ,-----------------------5分得AD PC ⊥-------------------------------------------------------6分又AE PC ⊥,AE AD A ⋂=，所以PC ⊥平面ADE ．--------------------7分 (2)在平面PBC 上，过点B 作BF 平行于PC 交ED 延长线于点F ，连结AF ,因为PC ⊥平面ADE , 所以BF ⊥平面ADE , 所以BAF ∠为直线AB 和平面ADE 所成的角．……………10分在三角形PBC中，PD =，则3BD =，由PED ∆与BFD ∆相似可得12BF =-----------------------------12分在BFA RT ∆中， 1sin 2BF BAF BA ∠==，------------------13分所以直线AB 与平面ADE 所成的角为30．---------------------------14分解法二：（1）同解法一（2）过点B 作//BZ AP ,则BZ ⊥平面ABC ,,,BA BC BZ 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系则(1,0,0)A ,(0,1,0)C , (1P ，故有(1,0,0), (1,1,AB PC =-=-，--------9分因为PC ⊥平面ADE ．-------------------------------10设向量与所成的角为θ，则(1,1,1sin 2PC AB PC ABθ-⋅===⋅，------12则直线AB 与平面ADE 所成的角为30．-----------------14分 19． (本题满分14分)解：（1）由题意知，*)()41(N n a n n ∈= ，1111443log 2,3log 21n n b a b a ∴=-=-=----------------------------2分第18题1111111444413log 3log 3log 3log 34n n n n n n a b b a a a +++∴-=-===，----------------------------3分∴数列{}n b 是首项为11b =，公差为3d =的等差数列.--------------------------------------4分（2）由（1）知，*)(23,)41(N n n b a n nn ∈-==*)(,)41()23(N n n c n n ∈⨯-=∴-----------------------------------------------------------------------6分,)41()23()41)53()41(7)41(4411132n n n n n S ⨯-+(⨯-++⨯+⨯+⨯=∴- 于是1432)41()23()41)53()41(7)41(4)41(141+⨯-+(⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n S ---------7分两式相减得132)41()23(])41()41()41[(34143+⨯--++++=n n n n S --------------------------8分 .)41()23(211+⨯+-=n n *)()41(3812321N n n S n n ∈⨯+-=∴+-----------------------------9分（3）n n n n n n c c )41()23()41()13(11⋅--⋅+=-++ *)(,)41()1(91N n n n ∈⋅-=+------------10分∴当1n =，4112==c c ，当2n ≥时，1n n c c +<，所以1234n c c c c c =<<<<；---11分∴当1n =时，n c 取最大值是41 ，又2114n c m m ≤+-对任意*n N ∈成立， -----13分411412≥-+∴m m 即2450m m +-≥，所以1,m ≥或5m ≤-.-------------------14分20．(本题满分14分)解：（1）依题意得 2a c =，24a c =，解得2,1a c ==，从而b =分故椭圆的方程为 13422=+y x .-------------------------------------------4分（2）由（1）得(2,0)A -，(2,0)B ，设00(,)M x y ， ∵M 点在椭圆上， ∴02203(4)4y x =-又点M 异于顶点,A B ，∴022x -<<，由,,P A M 三点共线可以得006(4,)2y P x +.------7分从而00(2,)BM x y =-，006(2,)2y BP x =+.----8分∴⋅＝20006242y x x -++022002(43)2x y x =-++…………………○2-------9分将○1代入○2，化简得⋅＝05(2)2x -. -------------------------11分 ∵020x ->，∴BM ⋅0BP >， ------------------------------------12分则MBP ∠为锐角，从而MBN ∠为钝角，---------------------------------13分故点B 在以MN 为直径的圆内. ----------------------------------------14分21．(本题满分14分)解：（I ）（i ）设交点的坐标为0)22(,2)(),,(2222=++-=-a x aa x x a a x x y x 得由，解得.2,2;8,2,2,232231121a y a x a y a x a x a x ======时当时且当故函数)(x f y =与)(x g y =图象的交点的坐标为33(,), (2,2)28a a A B a a --------- 2分（ii ）,43)(',)('22a ax x x f ax x g +-==若存在a ，使得.21l l ⊥-------------------3分第20题（1）在点3(,)28a a A 处，有//()()122a a g f =-，又8)243(2)2(')2('4222a a a a a a a f a g -=+-⨯⋅⋅=⋅，则8,0,1844-=<=a a a 故又，此时点A 坐标为)22,28(44------------- 5分（2）在点3(2,2)A a a 处，有//(2)(2)1g a f a =-，又422210)843()2()2(')2('a a a a a a a f a g =+-⨯⋅⋅=⋅，则1104-=a ，无解.-----7分综上，存在)22,28(,,844214--⊥-=A l l a 此时使得-------------------------8分（II ）令,2742,3.,30)('322321a x a ax x a x a x a x x f =+-====时当得上式整理得， )(274,0)3)(34(32x f y a y a x a x ===--与即直线图象另一交点横坐标.34a x =-------------------------------------------------10分结合图象可得：（1）若;)1()1()()(,3,132m i n +-=-==-<-<a f x f a F a a 时即------------------------11分（2）若4133a a <-≤，即334a -≤<-时，3min 4()()()327a F a f x f a ===-----------12分（3）若.)1()1()()(,043,1342m i n +-=-==<≤--≥a f x f a F a a 时即--------- ------13分综上⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫⎢⎣⎡--∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡---∞∈+-=43,3,2740,43)3,(,)1()(32a a a a a F ---------------------------14分。

【高三数学试题精选】2018年中山市高考数学模拟试题2(有答案)

(A) (B)
(c) (D)
第Ⅱ卷
二、填空题本大题共6小题，每小题5分，共30分．
(9)已知集合,
则________．
11图
(10)一个几何体的三视图如图所示（单位），
则该几何体的体积为_______．
(11)如图，内接于圆，过点c的切线交
AB的延长线于点D，若，
则切线Dc的长为____．
(12)若在圆上，则直线与圆相交所得弦的长为_____________。
①用以上志愿者的表示方法，用列举法列出上述所有可能情况；
(17)（本小题满分13分）
如图，四边形ABcD为矩形，SA平面ABcD，E、F分别是Sc、SD的中点，,
(I)求证EF∥平面SAB；
(Ⅱ)求证。SD平面AEF；
(Ⅲ)求直线BF与平面SAD所成角的大小．
(18)（本小题满分13分）
已知等差数列中，差d 0，前n项和为，且成等比
(B)必要而不充分条
(c)充分必要条
(D)既不充分也不必要条
(6)函数在区间上零点的个数为
(A)0 (B)l
(c)2 (D)3
(7)直角三角形ABc中，，点D在斜边AB上，且, ,若，则
(A) (B)
(c) (D）
(8)下列函数中，同时具有性质①图象过点(0，1)②在区间上是减函数；
③是偶函数。这样的函数是
…………6分
又点P在椭圆E上
所以cP和DP的斜率之积为定值…………9分
（Ⅲ）cD的斜率为，
平行于直线
由
消去，整理得
设
由
当且仅当时取等号，即时取等号
所以面积的最大值为2
此时直线的方程………………………………14分
5 c数列．(I)求源自列的通项式及；(Ⅱ)设，证明．

广东省中山市2018～2019学年度高2021届高2018级高二第二学期期末考试数学理科数学试题及参考答案解析

中山市高中二年级级2018～2019学年度第二学期期末统一考试数学试题(理科)一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.i 是虚数单位,则12ii-的虚部是( ) A. -2B. -1C. i -D. 2i -【试题参考答案】B根据复数的除法运算把复数化为代数形式后可得其虚部.【试题解答】由题意得221222i i i i i i--==--,所以复数12ii-的虚部是1-. 故选B.本题考查复数的运算和复数的基本概念,解答本题时容易出现的错误是认为复数z a bi =+的虚部为bi ,对此要强化对基本概念的理解和掌握,属于基础题.2.用反证法证明“方程()200++=≠ax bx c a 至多有两个解”的假设中,正确的是( )A. 至少有两个解B. 有且只有两个解C. 至少有三个解D. 至多有一个解【试题参考答案】C分析:把要证的结论进行否定,得到要证的结论的反面,即为所求. 详解:由于用反证法证明数学命题时,应先假设命题的否定成立,命题:“方程ax 2＋bx ＋c=0(a≠0)至多有两个解”的否定是:“至少有三个解”, 故选:C.点睛:本题主要考查用命题的否定,反证法证明数学命题的方法和步骤,把要证的结论进行否定,得到要证的结论的反面,是解题的突破口,属于中档题.3.已知函数()f x 的导函数为'()f x ,且满足2()'(2)ln f x x f x =+,则'(2)f 的值为( )A. 6B. 7C. 8D. 9【试题参考答案】C求出''1()2(2)f x x f x=+⋅,再把2x =代入式子,得到'(2)8f =. 【试题解答】因为''1()2(2)f x x f x =+⋅,所以'''1(2)4(2)(2)82f f f =+⋅⇒=.选C.本题考查对'(2)f 的理解,它是一个常数,通过构造关于'(2)f 的方程,求得'(2)f 的值.4.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性做试验,并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如表:则哪位同学的试验结果体现A 、B 两变量有更强的线性相关性( ) A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【试题参考答案】D由题表格;相关系数越大,则相关性越强。

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． 1.设随机变量ξ服从正态分布(3,4)N ，若(23)(2)P a P a ξξ<-=>+，则a =（）A ． 3B ．53C ．5D ．732．在△ABC 中，已知b ＝4 ，c ＝2 ，∠A＝120°，则a = （）A ．2 B ．6 C ．2 或6 D ．273．设a ＞1＞b ＞0，则下列不等式中正确的是（A ）(-a)7＜(-a)9 （B ）b- 9＜b- 7 （C ）11lglg a b > （D ）11ln ln a b >4. 设抛物线的顶点在原点,准线方程为-2,x =则抛物线的方程是( )A.28y x =B. 28y x =-C. 24y x =-D. 24y x =5．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（A ）若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则m n ⊥ （B ）若,m n αβ⊥⊥且m n ⊥，则αβ⊥（C ）若/,/n m αβ⊥且n β⊥，则//m α（D ）若,m n αβ⊂⊂且//m n ，则//αβ6．已知某锥体的三视图（单位：正视图侧视图如图所示，则该锥体的体积为（A ）23cm （B ）43cm （C ）63cm （D ）83cm7．251(1)(2)x x --的展开式的常数项是（A ）48 （B ）﹣48 （C ）112 （D ）﹣1128．袋子里有3颗白球，4颗黑球，5颗红球．由甲、乙、丙三人依次各抽取一个球，抽取后不放回．若每颗球被抽到的机会均等，则甲、乙、丙三人所得之球颜色互异的概率是（A ）14 （B ）13 （C ）27 （D ）311二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9．已知复数z 满足22z z +-= i （其中i 是虚数单位），则z =．10．设25z x y =+，其中实数,x y 满足68x y ≤+≤且20x y -≤-≤，则z 的取值范围是．11．已知抛物线23x y =上两点,A B 的横坐标恰是方程2510x x ++=的两个实根，则直线AB 的方程是．12．口袋中装有大小质地都相同、编号为1，2，3，4，5，6的球各一只．现从中一次性随机地取出两个球，设取出的两球中较小的编号为X ，则随机变量X 的数学期望是． 13．在△ABC 中，∠C=90︒，点M 满足3BM MC =，则sin ∠BAM的最大值是．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题． 14．（坐标系与参数方程选做题）若直线的极坐标方程为cos()4πρθ-=，曲线C ：1ρ=上的点到直线的距离为d ，则d 的最大值为 .15.(几何证明选讲选做题) 如图圆O 的直径6AB =,P 是AB 的延长线上一点,过点P 作圆O 的切线,切点为C ,连接AC ,若30CPA ∠=︒,则PC = .三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分13分) 在某校高三学生的数学校本课程选课过程中，规定每位同学只能选一个科目。

已知某班第一小组与第二小组各有六位同学选择科目甲或科目乙，情况如下表：科目甲科目乙总计第一小组 1 5 6第二小组 2 4 6总计 3 9 12现从第一小组、第二小组中各任选2人分析选课情况. （1）求选出的4 人均选科目乙的概率；（2）设ξ为选出的4个人中选科目甲的人数，求ξ的分布列和数学期望．18．（本题满分14分）如图所示，PA⊥平面ABCD，△ABC为等边三角形，PA AB，AC⊥CD，M为AC中点．（I）证明：BM∥平面PCD；（II）若PD与平面PAC所成角的正切值C-PD-M的正切值．P AB C DM（第20题图）19．（本小题满分14分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且248,40a S ==错误！未找到引用源。

．数列{}n b 的前n 项和为n T ，且230n n T b -+=，n N *∈．（I ）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（II ）设⎩⎨⎧=为偶数为奇数n b n a c n nn ，求数列{}n c 的前n 项和n P ．20．（本题满分14分）已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，其右焦点F 与椭圆Γ的左顶点的距离是3．两条直线12,l l交于点F ，其斜率12,k k 满足1234k k =-2l 交椭圆Γ于B 、D 两点．（I ）求椭圆Γ的方程；（II ）写出线段AC 的长AC 关于1k 的函数表达式，并求四边形ABCD 面积S 的最大值．21．（本小题满分14分）设函数2()ln (),f x x x a a R =+-∈.（Ⅰ）若0a =，求函数()f x 在[1，e]上的最小值；（Ⅱ）若函数()f x 在1[,2]2上存在单调递增区间，试求实数a 的取值范围；16．（本题满分14分）解：（Ⅰ）由11cos 14B =，得sin B =……………………1分又sin 5B c =，代入得37a c =，由sin sin a cA C=，得3sin 7sin A C =， (3)分3sin 7sin()A AB =+，3sin 7sin cos 7cos sin A A B A B =+ (5)分得tan A =，23A π=……………………7分（Ⅱ）22192cos 4AB BD AB BD B +-= ， ……………………9分22771119()266144c c c c +-=，3c =，则7a = (11)分11sin 322S ac B === ……………………14分17. （本小题满分12分）解：（1）设“从第一小组选出的2人选科目乙”为事件A ， “从第二小组选出的2人选科目乙””为事件B .由于事件A 、B 相互独立，且25262()3C P A C ==,24262()5C P B C ==.………………………………4分所以选出的4人均选科目乙的概率为224()()()3515P A B P A P B ⋅=⋅=⨯= (6)分（2）设ξ可能的取值为0,1,2,3.得 4(0)15P ξ==,21112524542222666622(1)45C C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=,15226611(3)45C P C C ξ==⋅=， 2(2)1(0)(1)(3)9P P P P ξξξξ==-=-=-==… 9分ξ的分布列为∴ξ的数学期望42221012311545945E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= …………13分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，1184640a d a d +=⎧⎨+=⎩，得14,44n a a n d =⎧∴=⎨=⎩． …………3分230n n T b -+= ，113n b ∴==当时，，112230n n n b --≥-+=当时，T ，两式相减，得12,(2)n n b b n -=≥数列{}n b 为等比数列，132n n b -∴=⋅． (7)分（Ⅱ）14 32n n nn c n -⎧=⎨⋅⎩为奇数为偶数．当n 为偶数时，13124()()n n n P a a a b b b -=+++++++=212(444)6(14)222214nn n n n ++-⋅-+=+--． ……………10分当n 为奇数时，（法一）1n -为偶数，1n n n P P c -=+(1)1222(1)24221n n n n n n -+=+--+=++-……………13分（法二）132241()()n n n n P a a a a b b b --=++++++++1221(44)6(14)2221214n n n n n n -++⋅-=+=++-- ． ……………13分12222,221n n nn n P n n n +⎧+-∴=⎨++-⎩为偶数，为奇数……………14分18．（本题满分15分）解：（Ⅰ）证明：因为M 为等边△ABC 的AC 边的中点，所以BM ⊥AC ．依题意CD ⊥AC ，且A 、B 、C 、D 四点共面，所以BM∥CD ． …………3分又因为BM ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以BM ∥平面PCD ． …………5分（Ⅱ）因为CD ⊥AC ，CD ⊥PA ，所以CD ⊥平面PAC ，故PD 与平面PAC 所成的角即为∠CPD ．……………7分不妨设PA =AB =1，则PC．由于tan CD CPD PC∠==，所以CD． (9)分（方法一）在等腰Rt △PAC 中，过点M 作ME ⊥PC 于点E ，再在Rt △PCD 中作EF ⊥PD 于点F ．因为ME ⊥PC ，ME ⊥CD ，所PABCDM（第18题图） FE以ME ⊥平面PCD ，可得ME ⊥PD ．又EF ⊥PD ，所以∠EFM 即为二面角C -PD -M 的平面角． ……………12分易知PE =3EC ，MEEF=34所以tan ∠EFM=ME EF ==，即二面角C -PD -M 的正切值是．……………15分（方法二）以A 点为坐标原点，AC 为x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A ﹣xyz ．则P （0,0,1），M （1,0,02），C （1,0,0），D ．则(1,0,1)PC =-，1)PD =-，1(,0,1)2PM =- ．若设1111(,,)n x y z = 和2222(,,)n x y z =分别是平面PCD和平面PMD的法向量，则11111110000x z n PC x z n PD ⎧-=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨+-=⋅=⎪⎪⎩⎩，可取1(1,0,1)n = ．由2222222100200x z n PM n PD x z ⎧⎧-=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩-=⎩ ，可取2(2,n = ． ………12分所以121212cos ,||||n n n n n n ⋅<>===，故二面角C-PD-M，其正切值是． ……………15分21．（本题满分14分）解：（Ⅰ）设右焦点(,0)F c（其中c =），依题意12c a =，3a c +=，所以2,1a c ==． ……………3分所以b ==，故椭圆Γ的方程是22143x y +=． ……………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F （1,0）．将通过焦点F 的直线方程(1)y k x =-代入椭圆Γ的方程22143x y +=，可得2222(34)8(412)0k x k x k +-+-=，其判别式22222(8)16(3)(34)144(1)k k k k ∆=--+=+．特别地，对于直线1l ，若设1122(,),(,)A x y C x y ，则12|||AC x x ==-=，11k R k∈≠且. ………………10分又设3344(,),(,)B x y D x y，由于B、D位于直线1l的异侧，所以133(1)k x y--与144(1)k x y--异号．因此B、D到直线1l的距离之和21．（本小题满分14分）解: (1) f'(x)=2ax+b，……………1分依题设，有`(3)5(3)7ff=⎧⎨=⎩，即659317a ba b+=⎧⎨++=⎩，……………2分解得11ab=⎧⎨=-⎩……………3分2()=1f x x x∴-+．……………4分(2)方程()=k xf x e∴，即21k xx x e-+=，得2k(1)xx x e-=-+， (5)分记2F(x)(1)xx x e-=-+，则22F'(x)=(21)(1)(32)(1)(2)x x x xx e x x e x x e x x e-------+=--+=---. (6)分令F'(x)=0，得121,2x x==………7分当x变化时，F'(x)、F(x)的变化情况如下表：∴当1x=时，F(x)取极小值1e；当2x=时，F(x)取极大值23e…………8分作出直线y x =和函数2F(x)(1)x x x e -=-+的大致图象，可知当1k e =或23k e =时，它们有两个不同的交点，因此方程()x f x k e =恰有两个不同的实根， ………9分 (3) 12(2)3a f ==,得1312a >>，又21()1n n n n a f a a a +==-+。