湖北恩施市第一中学立体几何多选题试题含答案

湖北恩施市第一中学立体几何多选题试题含答案
一、立体几何多选题
1．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E ，F 在平面1111D C B A 内，若
||5AE =，AC DF ⊥，则（ ）
A ．点E 的轨迹是一个圆
B ．点F 的轨迹是一个圆
C ．EF 21-
D ．A
E 与平面1A BD 所成角的正弦值的最大值为1530
15
【答案】ACD 【分析】
对于A 、B 、C 、D 四个选项，需要对各个选项一一验证. 选项A ：由2211||5AE AA A E =
+=1||1A E =，分析得E 的轨迹为圆；
选项B ：由AC DBF ⊥，而点F 在11B D 上，即F 的轨迹为线段11B D ，； 选项C ：由E 的轨迹为圆，F 的轨迹为线段11B D ，可分析得min ||EF d r =-； 选项D ：建立空间直角坐标系，用向量法求最值. 【详解】 对于A:2211||5AE AA A E =
+=221|25A E +=1||1A E =，即点E 为在面
1111D C B A 内，以1A 为圆心、半径为1 的圆上；故A 正确；
对于B: 正方体1111ABCD A B C D -中，AC ⊥BD ，又AC DF ⊥，且BD ∩DF=D ，所以
AC DBF ⊥，所以点F 在11B D 上，即F 的轨迹为线段11B D ，故B 错误；
对于C:在平面1111D C B A 内，
1A 到直线11B D 的距离为2,d
=当点E ，F 落在11A C 上时，min ||21EF =-；故C 正
确； 对于D:
建立如图示的坐标系，则()()()()10,0,0,2,0,0,0,0,2,0,2,0A B A D
因为点E 为在面1111D C B A 内，以1A 为圆心、半径为1 的圆上，可设()cos ,sin ,2E θθ 所以()()()1cos ,sin ,2,2,0,2,2,2,0,AE A B BD θθ==-=-
设平面1A BD 的法向量(),,n x y z =，则有1
·
220·220n BD x y n A B x z ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩
不妨令x =1，则()1,1,1n =， 设AE 与平面1A BD 所成角为α，则：
22|
||sin |cos ,|||||5315
n AE n AE n AE πθα⎛
⎫++ ⎪⎝⎭====⨯⨯当且仅当4
π
θ=时，sin α221530
1515
=
， 故D 正确
故选：CD 【点睛】
多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．
2．如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是60，下列说法中正确的是（ ）
A ．()
()
2
2
12AA AB AD
AC ++=
B ．1A 在底面ABCD 上的射影是线段BD 的中点
C ．1AA 与平面ABC
D 所成角大于45 D ．1BD 与AC 所成角的余弦值为63
【答案】AC 【分析】
对A ，分别计算()
2
1++AA AB AD 和2
AC ，进行判断；对B ，设BD 中点为O ，连接
1A O ，假设1A 在底面ABCD 上的射影是线段BD 的中点，应得10⋅=O AB A ，计算
10⋅≠O AB A ，即可判断1A 在底面ABCD 上的射影不是线段BD 的中点；对C ，计算
11
,,A A AC AC ，根据勾股定理逆定理判断得11⊥A A AC ，1AA 与平面ABCD 所成角为1A AC ∠，再计算1tan ∠A AC ；对D ，计算1,AC BD 以及1BD AC ⋅，再利用向量的夹角
公式代入计算夹角的余弦值. 【详解】
对A ，由题意，111
11cos602
⋅=⋅=⋅=⨯⨯=
AA AB AA AD AD AB ，所以(
)
2
222
111112*********
++=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯
=AA AB AD
AA AB AD AA AB AB AD AA AD ，AC AB AD =+，所以()2
2
2
2
21113=+=+⋅+=++=AC AB AD
AB AB AD AD ，
所以()()2
2
1
26++==AA AB AD AC ，故A 正确；对B ，设BD 中点为O ，连接1
A O ，
1
111111
222
=+=+=++AO A A AO A A AC A A AD AB ，若1A 在底面ABCD 上的射影是
线段BD 的中点，则1A O ⊥平面ABCD ，则应10
⋅=O AB A ，又因为21111111111110
222222224⎛⎫
⋅=++⋅=-⋅+⋅+=-+⨯+=≠
⎪⎝⎭
O AB A A AD AB AB AA AB AD AB AB A ，故B 错误；对D ，11,BD AD AA AB AC AB AD =+-=+，
所以()()2
2
11
=2,=3=
+-=+AD A B A AB AC AB AD D ，
()()2
2
1
1
1
1
1
⋅=+-⋅+=⋅++⋅+⋅--⋅=AC AD AA AB AB AD AD AB AD AA AB AA AD AB
AB AD BD ，1116
cos ,23
⋅<>=
=
=⋅B AC D BD BD AC AC
，故D 不正确；对C ，112==AC BD ，在
1A AC 中，111,2,3===A A AC AC ，所以2
2
2
11+=A A AC AC ，所以11⊥A A AC ，所以1AA 与平面ABCD 所成角为1A AC ∠，又1tan 21∠=>A AC ，即145∠>A AC ，故C 正确；
故选：AC
【点睛】
方法点睛：用向量方法解决立体几何问题，需要树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算，要理解空间向量概念、性质、运算，注意和平面向量类比；同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，利用向量的夹角公式求解.
3．如图，矩形ABCD 中， 22AB AD ==，E 为边AB 的中点.将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △（点1A 不落在底面BCDE 内），若M 在线段1A C 上（点M 与1A ，C 不重合），则在ADE 翻转过程中，以下命题正确的是（ ）
A ．存在某个位置，使1DE A C ⊥
B ．存在点M ，使得BM ⊥平面1A D
C 成立 C ．存在点M ，使得//MB 平面1A DE 成立
D ．四棱锥1A BCD
E -体积最大值为24
【答案】CD 【分析】
利用反证法可得A 、B 错误，取M 为1A C 的中点，取1A D 的中点为I ，连接,MI IE ，可证明//MB 平面1A DE ，当平面1A DE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -体积最大值，利用公式可求得此时体积为24
. 【详解】
如图（1），取DE 的中点为F ，连接1,A F CF ， 则45CDF ∠=︒，22DF =
，故212254222222
CF =+-⨯⨯=，
故222DC DF CF ≠+即2
CFD π
∠≠
．
若1CA DE ⊥，因为11,A D A E DF FE ==，故1A F DE ⊥，而111A F A C A ⋂=， 故DE ⊥平面1A FC ，因为CF ⊂平面1A FC ，故DE CF ⊥，矛盾，故A 错． 若BM ⊥平面1A DC ，因为DC ⊂平面1A DC ，故BM DC ⊥， 因为DC CB ⊥，BM CB B ⋂=，故CD ⊥平面1A CB ，
因为1
AC ⊂平面1A CB ，故1CD A C ⊥，但1A D CD <，矛盾，故B 错． 当平面1A DE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -体积最大值， 由前述证明可知1A F DE ⊥，而平面1A DE
平面BCDE DE =，
1A F ⊂平面1A DE ，故1A F ⊥平面BCDE ，
因为1A DE △为等腰直角三角形，111A D A E ==，故12
2
A F =， 又四边形BCDE 的面积为13211122
⨯-⨯⨯=， 故此时体积为1322
3224
⨯
⨯=
，故D 正确． 对于C ，如图（2），取M 为1A C 的中点，取1A D 的中点为I ，连接,MI IE ，
则1//,2IM CD IM CD =
，而1
//,2
BE CD BE CD =， 故//,IM BE IM BE =即四边形IEBM 为平行四边形，
故//IE BM ，因为IE ⊂平面1A DE ，BM ⊄平面1A DE ，故//MB 平面1A DE ， 故C 正确． 故选：CD.
【点睛】
本题考查立体几何中的折叠问题，注意对于折叠后点线面的位置的判断，若命题的不成立，往往需要利用反证法来处理，本题属于难题.
4．如图，线段AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆O 上，//EF AB ，矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直，且2AB =，1EF AD ==，则下述正确的是（ ）
A ．//OF 平面BCE
B ．BF ⊥平面ADF
C ．点A 到平面CDFE 的距离为
217
D ．三棱锥C BEF -5π 【答案】ABC 【分析】
由1EF OB ==，//EF OB ，易证//OF 平面BCE ，A 正确；
B ， 由所矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直， 易证AD ⊥平面ABEF ，所以
AD BF ⊥，由线段AB 为圆O 的直径，所以BF FA ⊥，易证故B 正确.
C ，由C DAF A CDF V V --=可求点A 到平面CDFE 21
，C 正确. D ，确定线段DB 的中点M 是三棱锥C BEF -外接球心，进一步可求其体积，可判断D 错误. 【详解】
解：1EF OB ==，//EF OB ，四边形OFEB 为平行四边形，所以//OF BE ，
OF ⊄平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，所以//OF 平面BCE ，故A 正确.
线段AB 为圆O 的直径，所以BF FA ⊥，
矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直，平面ABCD 平面ABEF AB =，AD ⊂平
面
ABCD ，所以AD ⊥平面ABEF ，BF ⊂平面ABEF ，所以AD BF ⊥ AD ⊂平面ADF ，AF ⊂平面ADF ，AD AF A =， 所以BF ⊥平面ADF ，故B 正确.
1OF OE EF ===，OFE △是正三角形，所以1EF BE AF ===， //DA BC ，所以BC ⊥平面ABEF ，BC BF ⊥，
3BF =22312CF CB BF +=+=，
22112DF DA AF =+=+=
2AB CD ==，CDF 是等腰三角形，CDF 的边DF 上的高
2
2
22
2142222DF CF ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 1147
2222
CDF S =⨯⨯=
△， //DA BC ，AD ⊂平面ADF ，BC ⊄平面ADF ， //BC 平面ADF ，点C 到平面ADF 的距离为3BF =， 11
1122
DAF S =⨯⨯=△，C DAF A CDF V V --=，
设点A 到平面CDFE 的距离为h ，
1133ADF CFD S FB S h ⨯⨯=⨯⨯△△，111733232
h ⨯⨯=⨯⨯， 所以21
h =
，故C 正确. 取DB 的中点M ，则//MO AD ，1
2
MO =
，所以MO ⊥平面CDFE ，
所以2
15122ME MF MB MC ⎛⎫====+= ⎪⎝⎭
所以M 是三棱锥C BEF -5
， 三棱锥C BEF -外接球的体积为3
344
5553326V r ππ⎛==⨯= ⎝⎭
，故D 错误， 故选：ABC. 【点睛】
综合考查线面平行与垂直的判断，求点面距离以及三棱锥的外接球的体积求法，难题.
5．如图，点O 是正四面体P ABC -底面ABC 的中心，过点O 的直线交AC ，BC 于点
M ，N ，S 是棱PC 上的点，平面SMN 与棱PA 的延长线相交于点Q ，与棱PB 的延长
线相交于点R ，则（ ）
A ．若//MN 平面PA
B ，则//AB RQ B ．存在点S 与直线MN ，使P
C ⊥平面SRQ
C ．存在点S 与直线MN ，使()
0PS PQ PR ⋅+= D ．
1
11PQ
PR
PS
+
+
是常数
【答案】ABD 【分析】
对于选项A ，根据线面平行的性质定理，进行推理判断即可；
对于选项B ，当直线MN 平行于直线AB ， 1
3
SC PC =
时，通过线面垂直的判定定理，证明此时PC ⊥平面SRQ ，即可证明，存在点S 与直线MN ，使PC ⊥平面SRQ ；
对于选项C ，假设存在点S 与直线MN ，使()
0PS PQ PR ⋅+=，利用线面垂直的判定定理可证得PC ⊥平面PAB ，此时通过反证法说明矛盾性，即可判断； 对于选项D ，利用S PQR O PSR O PSQ O PQR V V V V ----=++，即可求得111PQ
PR
PS
+
+
是常数.
【详解】 对于选项A ， 若//MN 平面PAB ，
平面SMN 与棱PA 的延长线相交于点Q ，与棱PB 的延长线相交于点R ,
∴平面SMN 平面PAB =RQ ，
又MN ⊂平面SMN ，//MN 平面PAB ，
∴//MN RQ ，
点O 在面ABC 上，过点O 的直线交AC ，BC 于点M ，N ，
∴MN ⊂平面ABC ，
又//MN 平面PAB ，平面ABC
平面PAB AB =，
∴//MN AB ， ∴//AB RQ ，
故A 正确； 对于选项B ，
当直线MN 平行于直线AB ，S 为线段PC 上靠近C 的三等分点，即1
3
SC PC =， 此时PC ⊥平面SRQ ，以下给出证明： 在正四面体P ABC -中，设各棱长为a ，
∴ABC ，PBC ，PAC △，PAB △均为正三角形，
点O 为ABC 的中心，//MN AB ，
∴由正三角形中的性质，易得23
CN CM a ==
， 在CNS 中，
2
3CN a =，13SC a =，3
SCN π∠=，
∴由余弦定理得，3SN a ==， ∴222
249
SC SN a CN +=
=，则SN PC ⊥， 同理，SM PC ⊥，
又SM SN S =，SM ⊂平面SRQ ，SN ⊂平面SRQ ，
∴PC ⊥平面SRQ ，
∴存在点S 与直线MN ，使PC ⊥平面SRQ ，
故B 正确； 对于选项C ，
假设存在点S 与直线MN ，使()
0PS PQ PR ⋅+=， 设QR 中点为K ，则2PQ PR PK +=，
∴PS PK ⊥，即PC PK ⊥，
()
cos cos 0PC AB PC PB PA PC PB CPB PC PA CPA ⋅=⋅-=⋅∠-⋅∠=，
∴PC AB ⊥，
又易知AB 与PK 为相交直线，AB 与PK 均在平面PQR 上，
∴PC ⊥平面PQR ，即PC ⊥平面PAB ，
与正四面体P ABC -相矛盾，所以假设不成立， 故C 错误； 对于选项D ，
易知点O 到面PBC ，面PAC ，面PAB 的距离相等，记为d ， 记PC 与平面PAB 所处角的平面角为α，α为常数，则sin α也为常数， 则点S 到PQR 的距离为sin PS α，
又13sin 234
PQR
S
PQ PR PQ PR π=
⋅=⋅ ∴
()
()
1
133sin sin sin 3
3412
S PQR PQR
V PS S PS PQ PR PQ PR PS ααα-=
⋅=
⋅⋅=⋅⋅， 又13
sin 234
PSR
S
PS PR PS PR π=
⋅=⋅， 13sin 234PSQ
S PS PQ PS PQ π=⋅=⋅， 13sin 234
PQR
S
PQ PR PQ PR π=
⋅=⋅， ()
3
12
S PQR O PSR O PSQ O PQR V V V V d PS PR PS PQ PQ PR ----=++=
⋅+⋅+⋅， ∴
()
33sin 1212
PQ PR PS d PS PR PS PQ PQ PR α⋅⋅=⋅+⋅+⋅， ∴
111sin d PQ
PR
PS
α
+
+
=
为常数，
故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】
本题考查了线面平行的性质定理、线面垂直的判定定理，考查了三棱锥体积的计算，考查了向量的运算，考查了转化能力与探究能力，属于较难题.
6．M ，N 分别为菱形ABCD 的边BC ，CD 的中点，将菱形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，下列结论正确的有（ ）
A ．MN ∥平面ABD
B ．异面直线A
C 与MN 所成的角为定值
C ．在二面角
D AC B --逐渐变小的过程中，三棱锥D ABC -外接球的半径先变小后变大
D ．若存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直，则ABC ∠的取值范围是0,2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
【答案】ABD 【分析】
利用线面平行的判定即可判断选项A ；
利用线面垂直的判定求出异面直线AC 与MN 所成的角即可判断选项B ；
借助极限状态，当平面DAC 与平面ABC 重合时，三棱锥D ABC -外接球即是以ABC ∆外接圆圆心为球心，外接圆的半径为球的半径，当二面角D AC B --逐渐变大时，利用空间想象能力进行分析即可判断选项C;
过A 作AH BC ⊥,垂足为H ,分ABC ∠为锐角、直角、钝角三种情况分别进行分析判断即可判断选项D. 【详解】
对于选项A:因为M ，N 分别为菱形ABCD 的边BC ，CD 的中点，所以MN 为BCD ∆的中位线，所以//MN BD ,因为MN ⊄平面ABD ,BD ⊂平面ABD ，所以MN ∥平面ABD ,故选项A 正确；
对于选项B ：取AC 的中点O ，连接,DO BO ,作图如下：
则,AC DO AC BO ⊥⊥,BO DO O =,由线面垂直的判定知，AC ⊥平面BOD ,所以
AC BD ⊥,因为//MN BD ,所以AC MN ⊥,即异面直线AC 与MN 所成的角为定值90，
故选项B 正确；
对于选项C:借助极限状态，当平面DAC 与平面ABC 重合时，三棱锥D ABC -外接球即是以ABC ∆外接圆圆心为球心，外接圆的半径为球的半径，当二面角D AC B --逐渐变大时，球心离开平面ABC ，但是球心在底面的投影仍然是ABC ∆外接圆圆心，故二面角
D AC B --逐渐变小的过程中，三棱锥D ABC -外接球的半径不可能先变小后变大，
故选项C 错误；
对于选项D:过A 作AH BC ⊥,垂足为H ,若ABC ∠为锐角，H 在线段BC 上；若ABC ∠为直角，H 与B 重合；若ABC ∠为钝角，H 在线段BC 的延长线上；
若存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直，因为AH BC ⊥，所以CB ⊥平面AHD ,由线面垂直的性质知,CB HD ⊥,
若ABC ∠为直角，H 与B 重合，所以CB BD ⊥,在CBD ∆中，因为CB CD =, 所以CB BD ⊥不可能成立，即ABC ∠为直角不可能成立；
若ABC ∠为钝角，H 在线段BC 的延长线上，则在原平面图菱形ABCD 中，DCB ∠为锐角，由于立体图中DB DO OB <+,所以立体图中DCB ∠一定比原平面图中更小，，所以
DCB ∠为锐角，CB HD ⊥，故点H 在线段BC 与H 在线段BC 的延长线上矛盾，因此ABC ∠不可能为钝角；综上可知，ABC ∠的取值范围是0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
.故选项D 正确;
故选：ABD 【点睛】
本题考查异面垂直、线面平行与线面垂直的判定、多面体的外接球问题；考查空间想象能力和逻辑推理能力；借助极限状态和反证法思想的运用是求解本题的关键；属于综合型强、难度大型试题.
7．如图，已知P 为棱长为1的正方体对角线1BD 上的一点，且()()10,1BP BD λλ=，下
面结论中正确结论的有（ ）
A ．11A D C P ⊥；
B ．当1A P PD +取最小值时，23λ=；
C ．若()0,1λ∈，则7,312APC ππ⎛⎫∠∈
⎪⎝
⎭
； D ．若P 为1BD 的中点，四棱锥11P AA D D -的外接球表面积为9
4
π． 【答案】ABD 【分析】
以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，利用向量关系可判断ABC ；根据几何体外接球关系建立方程求出球半径即可判断D. 【详解】
以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系， 则()1,1,0B ，()10,0,1D ，设(),,P x y z ，
()()
10,1BP BD λλ=，1BP BD λ∴=，即()()1,1,1,1,1x y z λ--=--，
则可解得()1,1,P λλλ--， 对A ，
()()()111,0,1,0,0,0,0,1,1A D C ，()11,0,1A D ∴=--，
()11,,1C P λλλ=---，则()()()()11110110A D C P λλλ⋅=-⨯-+⨯-+-⨯-=，则
11A D C P ⊥，故A 正确；
对B ，()
()()()
()2
22
2
2
21111111A P PD λλλλλλ+=
--+-+--+-+2
2
2223422333λλλ⎛
⎫=-+=-+ ⎪⎝
⎭
则当2
3
λ=时，1A P PD +取最小值，故B 正确； 对C ，
()()1,0,0,0,1,0A C ，(),1,PA λλλ∴=--，()1,,PC λλλ=--，
则22
2321
cos 1321
321PA PC
APC PA PC λλλλλλ⋅-∠===--+-+⋅， 01λ<<，则2232123λλ≤-+<，则2
111
123212
λλ-≤-<-+， 即11cos 22APC -
≤∠<，则2,33APC ππ⎛⎤
∠∈ ⎥⎝⎦
，故C 错误； 对于D ，当P 为1BD 中点时，四棱锥11P AA D D -为正四棱锥，设平面11AA D D 的中心为
O ，四棱锥11P AA D D -的外接球半径为R ，所以2
2
2
122R R ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭⎝⎭
，解得34R =， 故四棱锥11P AA D D -的外接球表面积为9
4
π，所以D 正确. 故选：ABD.
【点睛】
关键点睛：本题考查空间相关量的计算，解题的关键是建立空间直角坐标系，利用向量建立关系进行计算.
8．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，过对角线1BD 的一个平面交棱
1AA 于点E ，交棱1CC 于点F ，得四边形1BFD E ，在以下结论中，正确的是（ ）
A ．四边形1BFD E 有可能是梯形
B ．四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形
C ．四边形1BF
D
E 有可能垂直于平面11BB D D D ．四边形1BFD E 面积的最小值为62
【答案】BCD 【分析】
四边形1BFD E 有两组对边分别平行知是一个平行四边形四边形；1BFD E 在底面ABCD 内的投影是四边形ABCD ；当与两条棱上的交点是中点时，四边形1BFD E 垂直于面
11BB D D ；当E ，F 分别是两条棱的中点时，四边形1BFD E 6
【详解】
过1BD 作平面与正方体1111ABCD A B C D -的截面为四边形1BFD E ， 如图所示，因为平面11//ABB A 平面11DCC D ，且平面1BFD E 平面11ABB A BE =.
平面1BFD E
平面1111,//DCC D D F BE D F =，因此，同理1//D E BF ，
故四边形1BFD E 为平行四边形，因此A 错误；
对于选项B ，四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形ABCD ，因此B 正确； 对于选项C ，当点E F 、分别为11,AA CC 的中点时，EF ⊥平面11BB D D ，又EF ⊂平面
1BFD E ，则平面1BFD E ⊥平面11BB D D ，因此C 正确；
对于选项D ，当F 点到线段1BD 的距离最小时，此时平行四边形1BFD E 的面积最小，此
时点E F 、分别为11,AA CC 的中点，此时最小值为16
232⨯⨯=
，因此D 正确. 故选：BCD
【点睛】关键点睛：解题的关键是理解想象出要画的平面是怎么样的平面，有哪些特殊的性质，考虑全面即可正确解题.。