多元统计分析课程设计女性空腹及摄入食糖后体内血糖含量主成分分析

《多元统计分析》课程设计报告学生姓名:学号：学院:班级:题目: 女性空腹及摄入食糖后体内血糖含量主成分分析指导教师：职称:2015 年 5 月 21 日目录目录 (I)一、问题分析 (1)1.1 问题重述 (1)1.2 问题分析 (1)二、主成分分析方法基本原理 (2)2.1 主成分分析基本思想 (2)2.2 主成分分析的数学模型 (2)2.3 主成分分析的计算步骤 (3)三、问题求解 (5)四、结果分析 (6)4.1 相关系数矩阵 (6)4.2 协方差阵 (7)五、总结 (8)六、课程设计心得体会 (8)参考文献 (9)一、问题分析1.1 问题重述49位女性在空腹情况下三个不同时刻的血糖含量（用321,,X X X 表示）和摄入等量食糖一小时后的三个时刻的血糖含量（用小654,,X X X 表示）的观测值（单位：mg/100ml ）.问题：分别从样本协方差阵S 和样本相关系数矩阵R 出发做主成分分析，求主成分的贡献率和各个主成分. 在两种情况下，你认为应保留几个主成分？其意义如何解释？就此而言，你认为基于S 和R 的分析那个结果更为合理？1.2 问题分析我们根据主成分分析的基本思想，设法将原来众多的具有一定相关性的指标，重新组合成一组新的互不相关的综合指标来代替原来指标。

通常数学上的处理就是将原来p 个指标作线性组合，作为新的综合指标。

然后，在所有的线性组合中分别从样本协方差阵S 和样本相关系数矩阵R 出发做主成分分析，计算出各个主成分，进而代表原来p 个指标的信息。

进一步，建立主成分分析的数学模型。

最后利用sas 统计软件来求解出各个主成分和各主成分的贡献率。

二、主成分分析方法基本原理2.1 主成分分析基本思想主成分分析是数学上对数据降维的一种方法。

其基本思想是设法将原来众多的具有一定相关性的指标（比如p 个指标），重新组合成一组新的互不相关的综合指标来代替原来指标。

通常数学上的处理就是将原来p 个指标作线性组合，作为新的综合指标。

但是这种线性组合，如果不加限制，则可以有很多，应该如何去选取呢？在所有的线性组合中所选取的1F 应该是方差最大的，故称1F 为第一主成分。

如果第一主成分不足以代表原来p 个指标的信息，再考虑选取2F 即选第二个线性组合。

为了有效地反映原有信息，1F 已有的信息就不需要再出现在2F 中，用数学语言表达就是要求0),(21=F F Cov 。

称2F 为第二主成分，依此类推可以构造出第三、第四、…、第p 个主成分。

2.2 主成分分析的数学模型设有n 个样品（多元观测值），每个样品观测p 项指标（变量）：p X X X 21,，得到原始数据资料阵：其中p ,,2,1 i ),,(1⋯==ni i i x x X .用数据矩阵X 的p 个列向量（即p 个指标向量）p X X X 21,作线性组合，得综合指标向量：p pp p p p X a X a X a F +++= 2211简写成：AX F =为了加以限制，对组合系数T pi i i a a a ),(1 =作如下要求：即：i a 为单位向量：1=i T i a a ，且由下列原则决定：1) i F 与j F 互不相关，即0),(=∑=i Ti j i a a F F Cov ，其中∑是X 的协方差阵。

2) 1F 是p X X X 21,的一切线性组合（系数满足上述要求）中方差最大的，即:，其中T p c c c c ),,,(21 = 2F 是与1F 不相关的p X X X 21,一切线性组合中方差最大的，p F F ,,1 是与1F ，2F ,1,-p F 都不相关的p X X X 21,的一切线性组合中方差最大的。

满足上述要求的综合指标向量1F ,2F ,1,-p F 就是主成分，这p 个主成分从原始指标所提供的信息总量中所提取的信息量依次递减，每一个主成分所提取的)(max )(11'1∑===p i i i c c X c Var F Var信息量用方差来度量，主成分方差的贡献就等于原指标相关系数矩阵相应的特征值i λ，每一个主成分的组合系数:),,,(21pi i i Ti a a a a =就是相应特征值i λ所对应的单位特征向量i t 。

方差的贡献率为其中，i α越大，说明相应的主成分反映综合信息的能力越强。

2.3 主成分分析的计算步骤(1) 计算协方差矩阵计算样品数据的协方差矩阵：p p ij s ⨯=∑)(其中,∑==---=nk j kj i ki ij p j i x x x x n s 1),,2,1,(),)((11 (2) 求出∑的特征值及相应的特征向量求出协方差矩阵∑的特征值021>≥≥p λλλ 及相应的正交化单位特征向量：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=pp p p p p p a a a a a a a a a a a a 21222122121111...,,, 则X 的第i 个主成分为p i X a F Ti i ,,2,1, ==(3) 选择主成分在已确定的全部p 个主成分中合理选择m 个来实现最终的评价分析。

一般用方差贡献率 ∑==pk k i i 1/λλα解释主成分i F 所反映的信息量的大小，m 的确定以累计贡献率∑∑===pk k m i i m G 11/)(λλ达到足够大（一般在85%以上）为原则。

(4) 计算主成分得分计算n 个样品在m 个主成分上的得分：m i X a X a X a F p pi i i i ,,2,1,...2211 =+++=∑==pk k i i 1/λλα(5) 标准化实际应用时，指标的量纲往往不同，所以在主成分计算之前应先消除量纲的影响。

消除数据的量纲有很多方法，常用方法是将原始数据标准化，即做如下数据变换：p j n i s x x x j jij ij ,...,2,1;,...,2,1*==-=其中，∑==n i ij j x n x 11， p j x x n s n i j ij j ,,2,1,)(11122 =--=∑=， 标准化后的数据阵记为*X ，其中每个列向量（标准化变量）的均值为0， 标准差为1，数据无量纲。

标准化后变量的协方差矩阵（Covariance Matrix ）p p ij s ⨯=∑)(，即原变量的相关系数矩阵（Correlation Matrix ）p p ij r R ⨯=)(),,2,1,()()())((1)(1)(1212111212p j i r x x x x x x x x n x x x x n x xx x ij n t j tj n t i ti n k j kj i ki n k n t j tj j kj n t i ti i ki ==----=------∑∑∑∑∑∑======此时n 个样品在m 个主成分上的得分应为：m j X a X a X a F p pj j j j ,,2,1,**22*11 =++=三、问题求解1. 利用中文版SAS 9.2使用“分析家”做主成分分析的步骤1) 在“分析家”中打开数据集Aaaaaaaaa.xydj；2) 选择菜单“统计”→“多元统计”→“主成分分析”；3) 在对话框中输入主成分分析的变量，如图所示。

图1 主成分分析输入图4) 在对话框中点击Statistics，选择“correlations”跳转到以下界面：图2 选择主成分分析方式（1）确定完毕后输出样本相关系数等结果5) 在对话框中点击Statistics，选择“Covariances”跳转到以下界面：图3 选择主成分分析方式（2）确定完毕后输出样本协方差阵等结果四、结果分析4.1 相关系数矩阵下图为各变量的简单统计量图4 变量简单统计量从上图可以看出在没有进食的前三个不同时刻血糖含量都比较低，在进食后三个时刻血糖含量都偏高。

下面是相关系数矩阵和相关系数特征值等。

图5 相关系数矩阵图6 相关系数关系矩阵的特征值从上图可以看出。

第一主成分的贡献率为35.36%，直到第四主成分的累积贡献率已达到84.59%。

图7 特征向量主成分分析：AF X =,其中，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=4321,62561.0300440.0388389.0463241.0096822.0552875.0085830.0491950.0153628.0395013.0325477.0469630.0643235.0487105.0050250.0361841.0051728.0066937.0843332.0261813.0739380.0454179.0148721.0344625.0F F F F F A 4.2 协方差阵图8 协方差矩阵图9特征值从上图可以看出。

第一主成分的贡献率为54.23%，直到第三主成分的累积贡献率已达到89.38%。

图10 特征向量主成分分析：AF X =,其中，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=321,199257.0878784.0385221.0834850.0025888.0513429.0462969.0450482.003758211018842.0123097.0073061.0205320.0009438.0034375.0080439.0094302.0081187.0F F F F A意义：利用特征向量各分量的值可以对各个主成分进行解释，前三个时刻因为没进食的原因导致血糖含量偏低，摄入等量食糖一小时后的三个时刻的血糖含量才有所高。

由此可知食物消化转化为血糖需要时间为一个小时左右。

结论：R 的分析更为合理,因为R 的分析包括四个主成份，能充分概括进食前和进食后的血糖含量。

五、总 结本次课程设计，我们运用sas 统计软件，来分析“女性空腹及摄入食糖后体内血糖含量主成分分析”，我们从样本协方差阵S 和样本相关系数矩阵R 出发来做主成分分析，进一步来求出主成分的贡献率和各个主成分的模型.同时，在应用软件操作时，我们求解出了相应的协方差系数矩阵，特征值以及特征向量，从而写出了主成分的模型和各个主成分的贡献率。

与此同时，我们亦讨论了在从样本协方差阵S 和样本相关系数矩阵R 出发来做主成分分析的这两种情况下，我们应保留的主成分是什么。

六、课程设计心得体会通过本次课程设计，使我们对多元统计分析的主成分分析有了进一步了解。

主成分分析是将多指标化为少数几个综和指标的一种统计分析方法。

在实际问题中，研究多指标的问题是经常遇到的问题，多元统计分析处理的是多变量(多指标)问题。