数值积分

在数值分析中，数值积分是计算定积分数值的方法和理论。在数学分析中，给定函数的定积分的计算不总是可行的。许多定积分不能用已知的积分公式得到精确值。数值积分是利用黎曼积分等数学定义，用数值逼近的方法近似计算给定的定积分值。借助于电子计算设备，数值积分可以快速而有效地计算复杂的积分。

必要性

数值积分的必要性源自计算函数的原函数的困难性。利用原函数计算定积分的方法建立在牛顿-莱布尼兹公式之上。然而，原函数可以用初等函数表示的函数为数不多，大部分的可积函数的积分无法用初等函数表示，甚至无法有解析表达式（俗称“积不出来”）。例如常见的正态分布函数：

的原函数就无法用初等函数表示。

不仅如此，在很多实际应用中，只能知道积分函数在某些特定点的取值，比如天气测量中的气温、湿度、气压等，医学测量中的血压、浓度等等。另外，积分函数有可能是某个微分方程的解。由于很多微分方程只能数值求解，因此只能知道函数在某些点上的取值。这时是无法用求原函数的方法计算函数的积分的。

另外，当积分区域是曲面、三维形体以至于高维流形时，牛顿-莱布尼兹公式不再适用，只能使用更广泛的格林公式或斯托克斯公式，以转化为较低维数上的积分，但只能用于少数情况。因此，只能使用数值积分计算函数的近似值。

矩形法

用一系列矩形的和来逼近积分的精确值。

矩形法是一种常见的数值积分方法，用来计算一维定积分的近似值。矩形法的主要思想是将

积分区间分割成许多足够小的分区间的总和：

，

，使得能够假设积分函数在各个

小区间上的取值变化不大。这时，可以在每个分区间上取一个代表性的点

（称为节点），并将分区间的长度乘以积分函数在这一点上的值，以近似得到函数在这一段小区间上的积分。直观上来看，就是取一个矩形，用它的面积来代替积分

函数的曲线在这一小段区间上围出来的曲边梯形的面积。总体上，将所有这样的矩形面积加起来（这个和称为黎曼和），就近似地等于函数在这个区间上的定积分。

根据黎曼积分的定义，只要区间被分得足够精细，那么这样的分割所得到的黎曼和会无限趋近于函数的积分。

公式

根据每个小区间中节点的选取方式，可以得到不同的数值积分公式。

∙上矩形公式：取每个小区间中的“最高点”（的最大值或上确界）作为节点。

∙下矩形公式：取每个小区间中的“最低点”（的最小值或下确界）作为节点。

∙中矩形公式：取每个小区间中央的一点作为节点。

插值法

另一种数值积分的思路是用一个容易计算积分而又与原来的函数“相近”的函数来代替原来的函数。这里的“相近”是指两者在积分区间上定积分的值比较接近。最自然的想法是采用多

项式函数。比如说，给定一个函数后，在积分区间中取

，就可以对原来的函数进行拉格朗

日插值。得到拉格朗日插值多项式以后，计算这个多项式的积分。

其中是拉格朗日插值的基本多项式。

牛顿-科茨公式

牛顿-科茨公式是一种插值型公式。假设中取,可以写成：

其中的

如果，那么牛顿-寇次公式就变成梯形公式（取每个小区间两端点，做成梯形，梯形的值也和矩形一样，趋于原来的函数的积分）。