图论模型
图论模型(最优连线问题最短路问题)PPT课件
（3）当（2）不能继续执行时停止。
（其思想是：在剩余边集中找边权最小的边添加到生成树中，同时又 不能产生回路即以局部的最优谋求全局的最优。）
上述的描述实际上是最小生成树的逐 步生长过程，上例的最小生成树如下：
A 5
1 3
D
8 E
水厂
9
B 7
6 10
著名数学家欧拉
七桥问题
图的基本概念
无 向 图
1 定义：由顶点和边组成的图形称为图。 有 向 图
赋
权
图
2 边e与顶点u、v相关联。顶点u与v相邻。
e
u
边e1与e2相邻。
e1
v
e2
u=v时，边e称为环。
3度
定义：与顶点v关联的边的数目称为顶点的度数， 记为d(v)。（注：环算2度。）
对于有向图的顶点的度数，还可分为出度 d ( v ) 和 入度 d ( v ) 。
u3
u6
0 8
1
6
u8
5
10
5
2
6
1
1
u4
10
u7
第五步：min{8,11,11,9,8,12,7,11,11}，u3。
u2
1
2
u5
3
2
7
5
3
9
u1
u3
u6
0
8
7
1
6
u8
5
10
5
2
6
1
1
u4
10
u7
第六步：min{11,12,11,11,9}，u7。
u2
1
2
05第5讲 图论模型
4
目标函数是使得 z wij xij 最小化。
i 1 j 1
n
n
约束条件分成如下 4 类： （1）根 v1 至少有一条边连接到其他的顶点，
v1
4 2 4 5 3
v2
1 3 4 4 2
v3
v1
1
v8
1
v0
1
v4
1
v8
v7
2
v2 1
v0
1
v3 1 v4 v5
5
v7
2 v6 (a)
5
v5
2 3
v6
2
图 5.4 生成的最小生成树
v0 , v1 ,
求最小生成树的 Kruskal 算法的 MATLAB 程序如下（用 MATLAB 计算时，顶点 ： , v8 分别编号为 1, 2, ,9 ） clc, clear a=zeros(9); a(1,[2:9])=[2 1 3 4 4 2 5 4]; a(2,[3 9])=[4 1]; a(3,4)=1; a(4,5)=1; a(5,6)=5; a(6,7)=2; a(7,8)=3; a(8,9)=5; a=a'; %转成 MATLAB 需要的下三角元素 a=sparse(a); %转换为稀疏矩阵 b=graphminspantree(a,'Method','Kruskal') %注意要写 Kruskal 算法，否则使用 Prim 算法 L=sum(sum(b)) %求最小生成树的权重 view(biograph(b,[],'ShowArrows','off','ShowWeights','on')) %画最小生成树,
数学建模-图论模型
思路分析
• 每学期任课老师都有一定工作量的要求往往可能要上不止一门课 程。
• 每位同学需要在学期内完成若干门课程的学习。 • 某些对上课设施有特殊要求的课程，也不可以安排在同一时间。 • 为了方便开展一些全校性的活动，有些时段不安排课程。 • 受到教室数量的限制，在同一时段无法安排太多的课程。
模型建立
• 以每个课程为顶点，任何两个顶点之间连一条边当且仅当两门课 程的任课老师为同一人，或有学生同时选了这两门课或上课教室 冲突。
• 那么一个合理的课程安排就是将图中的点进行分化，使得每一个 部分里的点为一个独立集。
• 通过极小覆盖找出图中的极 大独立集，然后删去该极大 独立集，在剩下的图中找出 极大独立集，直到剩下的图 为一个独立集。
匈牙利算法
• 饱和点：Ｍ是图Ｇ的一个匹配，若Ｇ中顶点ｖ是Ｍ中某条边的端 点，则称Ｍ饱和ｖ,否则称ｖ是Ｍ的非饱和点。
• 可扩路：一条连接两个非饱和点x和y的由Ｍ外的边和Ｍ的边交错 组成的路称为Ｍ的(x,y)可扩路。
• 算法基本步骤：
Kuhn-Munkres算法
1.2 图的独立集应用
• 问题描述：各大学学期临近结束时，需要根据老师任课 计划和学生选课情况，再结合教室资源情况安排下一学 期的课程及上课时间和地点。下表所示是某大学电信学 院的大三各专业部分课程情况。该学院每届学生按专业 分班，统一选课。另外，学院只有一间普通机房和一间 高级机房。那么应该如何合理地排这些课程呢?
则称其是双连通或强连通的。对于不是双连通的图，都可以分解成 若干个极大的双连通分支，且任意两分支之间的边是同向的。
举例：
• 右图所示竞赛图不是双连通的
•
为一条有向
的D哈密尔A顿路B。 C E
数学建模图论模型
任意两点均有通路的图称为连通图。
连通而无圈的图称为树，常用T=<V,E>表示树。
若图G’是图 G 的生成子图，且G’又是一棵树， 则称G’是图G 的生成树。
例 Ramsey问题
图1
图2
并且常记: V = v1, v2, … , vn, |V | = n ; E = {e1, e2, … , em}ek=vivj , |E | = m
称点vi , vj为边vivj的端点 在有向图中, 称点vi , vj分别为边vivj的 始点和终点. 该图称为n,m图
8
对于一个图G = V, E , 人们常用图形来表示它, 称其 为图解 凡是有向边, 在图解上都用箭头标明其方向.
4、P'代替P,T'代替T,重复步骤2,3
定理2 设 T为V的子集，P=V-T，设 (1)对P中的任一点p,存在一条从a到p的最短路径,这条路径仅有P中的
点构成, (2)对于每一点t,它关于P的指标为l(t),令x为最小指标所在的点, 即:
l(x)mli(tn )} t{ ,T
(3)令P’=P Ux,T’=T-{x},l’(t)表示T'中结点t关于P'的指标,则
解：用四维01向量表示人,狼,羊,菜例在过河西河岸问的题状态(在
岸则分量取1;否则取0)，共有24 =16 种状态; 在河东岸 态类似记作。
由题设，状态(0,1,1,0)，(0,0,1,1)，(0,1,1,1)是不允许的
其对应状态：(1,0,0,1)， (1,1,0,0)，(1,0,0,0)也是不允许
数学建模方法之图论模型
定理 d (v) 2.
vV
推论 任何图中奇点 的个数为偶数． d (v1) 4
d (u3) 1
d (u3) 2
一个顶点记为 ui1，置 Si1 Si {ui1}.
3) 若 i 1，则停Hale Waihona Puke ；若 i 1，则用 i+1 代
替i，并转2).
S0 {u0},l(u j ) , j 1,2,...,7.
u1 S0 l(u1) min{,0 1}
Dijkstra算法: 求G中从顶点u0到其余顶点的最短路.
G[{v1,v2,v3}] G[{e3,e4,e5,e6}]
3) 若 V V，且 V ，以 V 为顶点集，以两端点 均在V 中的边的全体为边集的图 G 的子图，称 为G的由V 导出的子图，记为 G[V ] .
4) 若E E，且 E ，以 E为边集，以 E 的端点 集为顶点集的图 G 的子图，称为 G 的由E 导出的
第二讲 图论模型
1. 问题引入与分析
2. 图论的基本概念
3. 最短路问题及算法
4. 最小生成树及算法
回
5. 旅行售货员问题
停
6. 模型建立与求解 下
1. 问题引入与分析
1) 98年全国大学生数学建模竞赛B题“最佳灾 情巡视路线”中的前两个问题是这样的：
今年(1998年)夏天某县遭受水灾. 为考察灾情、 组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到 全县各乡（镇）、村巡视. 巡视路线指从县政府 所在地出发，走遍各乡（镇）、村，又回到县政 府所在地的路线.
图论 模型
图论模型图论是运筹学的一个经典和重要分支，专门研究图与网络模型的特点、性质以及求解方法。
许多优化问题，可以利用图与网络的固有特性而形成的特定方法来解决，比用数学规划等其他模型来求解往往要简单且有效得多。
图论起源于1736年欧拉对柯尼斯堡七桥问题的抽象和论证。
1936年，匈牙利数学家柯尼希（D. Kӧnig ）出版的第一部图论专著《有限图与无限图理论》，树立了图论发展的第一座里程碑。
近几十年来，计算机科学和技术的飞速发展，大大地促进了图论研究和应用，其理论和方法已经渗透到物理、化学、计算机科学、通信科学、建筑学、生物遗传学、心理学、经济学、社会学各个学科中。
9.1 图的基础理论9.1.1 图的基本概念所谓图，概括地讲就是由一些点和这些点之间的连线组成的。
定义为(,)G V E =，V 是顶点的非空有限集合，称为顶点集。
E 是边的集合，称为边集。
边一般用(,)i j v v 表示，其中,i j v v 属于顶点集V 。
以下用V 表示图(,)G V E =中顶点的个数，E 表示边的条数。
如图9.1是几个图的示例，其中图9.1 (a)共有3个顶点、2条边，将其表示为(,)G V E =，123{,,}V v v v =，1213{(,),(,)}E v v v v =.23v 45v 34(a)(c)图9.1 图的示意图1.无向图和有向图如果图的边是没有方向的，则称此图为无向图（简称为图），无向图的边称为无向边（简称边）。
如图9.1 (a)和(b)都是无向图。
连接两顶点i v 和j v 的无向边记为(,)i j v v 或(,)j i v v 。
如果图的边是有方向（带箭头）的，则称此图为有向图，有向图的边称为弧（或有向边），如图9.1 (c)是一个有向图。
连接两顶点i v 和j v 的弧记为,i j v v 〈〉，其中i v 称为起点，j v 称为终点。
显然此时弧,i j v v 〈〉与弧,j i v v 〈〉是不同的两条有向边。
图论建模方法
• 称图G与图H同构.记为G= H.如果存在V (G)与V(H)的一一对应.同时存 在E(G)与E(H)的一一对应.且保持顶点与边的关联关系不变.例如.在图 10. 3中·图G与图H同构.同构的图可看成同一个图.只是顶点与边的标 号可能不同而已.
• 定义10. 3在无向图中.与顶点v关联的边的数目(环算两次)称为v的度. 记为dG (v).简记为d (v).对有向图.顶点v少的出关联边数称为出度.记 为dG' (v)或d' (v).人关联边数称为入度.记dG (v)或d(v).显然
• 我们可用定义或图形表示一个图.但注意到图的关联关系和邻接关系. 还可以用矩阵来表示一个图.从而更有利于计算机处理.
• 定义10. 5设G是(n.m)图·则以矩阵A = (aij) nx m表G的关联矩阵.其 中
• 以H=(hij )nx n表T邻接矩阵.其中hij为以顶点vi和vj为端点的边数(i,j =1.2...…n).
• 有n个顶点m条边的图称为(n,m)图.(n,0)图叫零图.特别地.(0,0)图叫空 图.(1 ,0)图叫平凡图.没有环与平行边的图称为简单图.任意两顶点都相 邻的简单图称为完全图.有n个顶点的完全图记为Kn.若V(G)能分解为 V1与V2,使得
美赛 7：图论模型、分类模型(十大模型篇)
目录五、图论模型1.迪杰斯特拉（Dijkstra）算法、贝尔曼-福特（Bellman-Ford）算法2.弗洛伊德（Floyd）算法六、分类模型1.逻辑回归2.Fisher线性判别分析五、图论模型图论模型主要解决最短路径问题，根据图的不同，对应采用迪杰斯特拉（Dijkstra）算法、贝尔曼-福特（Bellman-Ford）算法、弗洛伊德算法（Floyd）。
Matlab代码：% Matlab中的图节点要从1开始编号s = [9 9 1 1 2 2 2 7 7 6 6 5 5 4];t = [1 7 7 2 8 3 5 8 6 8 5 3 4 3];w = [4 8 3 8 2 7 4 1 6 6 2 14 10 9];G =graph(s,t,w);plot(G, 'EdgeLabel', G.Edges.Weight, 'linewidth', 2) set ( gca, 'XTick', [], 'YTick', [] );%% Matlab作无向图% （1）无权重（每条边的权重默认为1）% 函数graph(s,t)：可在 s 和 t 中的对应节点之间创建边，并生成一个图% s 和 t 都必须具有相同的元素数；这些节点必须都是从1开始的正整数，或都是字符串元胞数组% 注意：编号从1开始连续编号s1 = [1,2,3,4];t1 = [2,3,1,1];G1 = graph(s1, t1);plot(G1)% 注意字符串元胞数组是用大括号包起来s2 = {'学校','电影院','网吧','酒店'};t2 = {'电影院','酒店','酒店','KTV'};G2 = graph(s2, t2);% 设置线的宽度plot(G2, 'line width', 2) % 画图后不显示坐标set( gca, 'XTick', [], 'YTick', [] ); % （2）有权重% 函数graph(s,t,w)：可在 s 和 t 中的对应节点之间以w的权重创建边，并生成一个图s = [1,2,3,4];t = [2,3,1,1];w = [3,8,9,2];G = graph(s, t, w); plot(G, 'EdgeLabel', G.Edges.Weight, 'linewidth', 2) set( gca, 'XTick', [], 'YTick', [] ); %% Matlab作有向图% 无权图 digraph(s,t)s = [1,2,3,4, 1];t = [2,3,1,1,4];G = digraph(s, t);plot(G)set( gca, 'XTick', [], 'YTi ck', [] ); % 有权图 digraph(s,t,w)s = [1,2,3,4];t = [2,3,1,1];w = [3,8, 9,2];G = digraph(s, t, w);plot(G, 'EdgeLabel', G.Edges.Weight, 'linewidth', 2) set( gca, 'XTick', [], 'YTick', [] );1.迪杰斯特拉（Dijkstra）算法、贝尔曼-福特（Bellman-Ford）算法迪杰斯特拉算法是基于贪婪算法的思想，从起点出发逐步找到通向终点的最短距离。
初中八年级奥数课件：图论模型
那么这样我们就得到了一个由红边和蓝边组成的6阶完 全图
我们实际上要证明的就是这个图中或者存在一个红三 角形(认识)，或者存在一个蓝三角形(不认识)
任取一个顶点v0，由它连出5条边到其它的顶点，这五条边只有红 色和蓝色两种
V = {v1 , v2 , v3 , v4}, E = { v1v2 , v1v3 , v1v4 , v2v3 , v2v4 , v3v4}.
这两个图互为同构图,今后将不计较这种外形上的差 别,而用一个容易理解的、确定的图解去表示一个图.25
河
岸, 一旦随从的人数比商
人多, 就杀人越货.
小船(至多2人)
但是乘船渡河的方案由商人决定.
商人们怎样才能安全过河?
问题分析
多步决策过程
3名商人
3名随 从
决策~ 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员
要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有 限步使全体人员过河.
2、一个简单的例子
印刷电路板将布线区域划分为n×Байду номын сангаас个方 格阵列
精确的电路板布线问题要求确定连接方格 a的中点到方格b的中点的最短布线方案。
布线时电路只能沿直线或直角布线。 为避免线路相交，已布线方格做上封闭标
记，其他线路布线不允许穿过封闭区域。
a b
1
1a1
1
b
2
21
1a12
212
b
图
图
1
2
并且常记
V = {v1, v2, … , vn}, |V | = n ; E = {e1, e2, … , em}(ek=vivj ) , |E | = m.
【经典】建模-组合优化模型-图论模型
的路线，经过的总长度是不同的。例如，按照第一个线路，
总 长 度 是 3+6+3=12 单 位 ， 按 照 第 二 个 路 线 ， 总 长 度 是
3+1+1+6=11单位。 19
定义1 设P(vs, vt) 是赋权有向图D = (V, A) 中从点vs 到vt的路, 用E(a) 表示路径P(vs, vt)中全部弧的集合, w (a)
为弧a的权重，记： w(P) w(e) eE (a)
则称w (P)为路径P(vs, vt)的权。
定义2 若P0 是D 中连接vs到vt的路径, 它的权是D 中 连接vs到vt的所有路径P中最小的，即：
w(P0 ) min w(P)
P
则称P0 是D 中从vs到vt的最短路，其权称为8
例 如下图所示的单行线交通网，每个弧旁边的数字
表示这条单行线的长度。现在有一个人要从V1出发，经
过这个交通网到达V6，
v2
6
v4
要寻求总路程最短的
线路。
v1
3 14
5
3
2
v6
6
1
从v1到v6的路线是很多的。v3比如从V1出发，v5经过V2 ,V4
到达V6或者从V1出发，经过V2，V3，V5到达V6等等。但不同
已知设备在每年年初的购买费分别为11,11, 12,12,13。使用不同时间设备所需的维修费分别 为5,6,8,11,18（万元）。
年份 1
2
3
45
年初 价格
11
11
12
12 13
使用年
数
0-1 1-2 2-3 3-4 4-5
每年维
修费
5
6
图论模型
65
2 3 4 2 2 3 4 5 70 2 3 4 2 4 2 3 4 5 1 3 4 5
1 80
50 2 30
5
100
20
3
第三次迭代后得到：
130 0 50 0 80 ( 3) 30 0 20 110, D 0 70 65 115 100 120 0
2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5
2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5 1 3 4 5
3
第二次迭代后得到：
1 0 50 130 1 0 80 ( 2) ( 2) 30 0 20 110, P 1 D 0 70 1 0 65 115 100 1
1 1 ( 3) 1 P 1 1
2 3 4 2 2 3 4 5 2 3 4 2 2 3 4 5 1 3 3 5
第四次迭代后得到：
130 0 50 0 80 ( 4) 30 0 20 90 , D 0 70 65 115 100 120 0
65
1 1 ( 4) 1 P 1 1 2 3 4 2 2 3 4 5 2 3 4 4 2 3 4 5 1 3 3 5
1 80
50 2 30
5 70 4
100
20
3
第五次迭代后得到：
50 230 250 130 0 145 0 180 200 80 (5) 155 30 0 20 90 , D 135 185 170 0 70 65 115 100 120 0
图论模型及其解答
各种图论模型及其解答摘要：本文用另一种思路重新组织《图论及其应用》相关知识。
首先，用通俗化语言阐述了如何对事物间联系的问题进行图论建模；接着从现实例子出发，给出各种典型图论模型，每种图论模型对应于图论一个重要内容；再者，介绍相关知识对上述提到的图论模型涉及的问题进行解答；最后，补充一些图论其他知识，包括图论分支、易混概念。
符号约定：Q(Question)表示对问题描述，M(Modeling)表示数学建模过程，A(Answer)表示原问题转化为何种图论问题。
一、引言图论是研究点、线间关系的一门学科，属于应用数学的一部分。
现实生活中，凡是涉及到事物间的关系，都可以抽象为图论模型。
点表示事物，连线表示事物间的联系。
整个求解过程如下：原问题——>图论建模——>运用图论相关理论求解——>转化为原问题的解整个过程关键在于图论建模，所谓图论建模，就是明确点表示什么，连线表示什么，原问题转化为图论中的什么问题。
存在以下两种情况：①若事物间联系是可逆的(比如双行道，朋友)，则抽象成无向图②若事物间联系是不可逆的(比如单行道，状态转化不可逆)，则抽象成有向图如果需要进一步刻画事物间的联系（比如城市间的距离），就给连线赋一个权值，从而抽象成赋值图。
综上，根据实际问题，可建模成下列图论模型的一种：无向赋权图、有向赋权图、无向非赋权图、有向非赋权图。
例1.宴会定理：任何一宴会中，一定存在两个人有相同的数量朋友M：点表示人，连线表示当且仅当该两个人是朋友A：问题转化为任何一个图一定存在两个顶点的度相等二、图论模型接下来介绍若干典型的图论模型，每种模型几乎对应于图论的一个重要内容，这些内容将在第三章进行讨论，也就给出了这些模型的解答思路。
2.1 偶图模型凡涉及两类事物间的联系（即只考虑两类事物间的联系，而不考虑同类事物间的联系），均可抽象成偶图模型。
作图时，将两类事物分成两行或者两列。
这类模型通常被包含在后续的模型中，但因许多现实问题可抽象成该模型，所以单列出来讨论。
图论模型笔记
Graphical Model1.1 贝叶斯网络联合概率可以写成：()()()()P a,b,c =P c|a,b P b|a P a(0.1)那么用图形就可以表示成图 0-1所示，这是一个有向图，指向的箭头代表着条件概率。
图 0-1 表示(0.1)式的有向图图论模型表示概率的普通形式为(0.2)式。
其中k pa 为k x 的父节点1(x)(|)Kk k k p p x pa ==∏(0.2)这一类图称为有向无环图（Directed Acyclic Graphs ，简称DAG ）。
1.1.1 线性回归的图论模型线性回归的概率模型中的随机变量为参数W 以及观察数据12={t ,t t }T N t ，。
另外模型还包含了输入数据12{,,}T M x x x x =，噪声方差2σ以及W 的高斯概率先验中的超参数α（precision ），这些都只是模型的参数而非随机变量。
随机变量W 和t 的联合概率分布为1(,)()(|)Nn n p p p t ==∏W t W W(0.3)其图论模型对应为：图 0-2其中重复的n t 用如图的方框表示。
另外，我们可以将模型的参数加进来：221(,|,,)(|)(|,,)Nn n n p p p t x ασασ==∏W t x W W(0.4)得到的模型为图 0-3，其中n t 是被观察得到的节点，我们给它染上颜色并称之为observed variables 。
W 是未被观察到的，称之为隐藏变量（hidden variables ）。
图 0-3在通常情况下，我们的最终目的是当给定一个新的输入ˆx，以及在给定一组观察数据的时候得到ˆt 的概率。
首先有联合概率： 2221ˆˆˆˆ(,,|,,,)(|)(|,,)(|,,)Nn n n p tx p p t x p t x ασασσ=⎡⎤=⋅⎢⎥⎣⎦∏W t x W W W (0.5)用图论模型表示为：图 0-4要得到在输入ˆx以及已有模型下ˆt 的概率，将(0.5)式的W 积分出来即可：22ˆˆˆˆ(|,,,)(,,|,,,)p tx p t x d ασασ∝⎰x W t x W (0.6)1.2 条件独立多变量概率分布的一个重要概念就是条件独立（conditional independence ）。
08图论模型剖析
0 1 0 1 v1 1 0 1 1 v2 0 1 0 1 v3 1 1 1 0 v4
对有向图Ｇ＝（Ｖ，Ｅ） ，其邻接矩阵 A (aij ) ，其中：
1 aij 0
若（ vi，v j） E 若（ vi，v j） E
基 本 概 念
定义 在无向图 G=(V ,E, )中：
c
x
x1 j 1 v j V s.t. x ji 1 ，i 1 v j V x 0或1 ij
8.2
最短通路问题
8.2.1 问题的背景与提出
在各种网络的铺设、网络的输送、线路的安排等 问题中，经常涉及到确定一条最短路．如在输送网络 中，考虑最小运输路线、最省运输费用、最少运输时 间等，这些都是最短通路问题．最短通路问题有非常 广泛的背景和应用，它也是图论或组合优化中的一个 重要问题．1959年，E.W.Dijkstra给出了该问题的一个 解法．
1956年Kruskal给出了一种求最优树的算法，称为避 圈法，算法如下： 1. 选择边 e1 ，使得w(e1 ) 尽可能小； 2. 若已选边 e1 , e2, ...,ei ，则从边集
E \ {e1 , e2, ...,ei } 中选取 ei 1 ，使
（1） G[{e1 , e2 ,...,ei 1}] 为无圈图；
节点间的连线，表示 有关联 一般用 eij 表示
节点和边的集合 一般用 G(V,E) 表示 点集 V={v1,v2,…, vn} 边集E={eij }
图 (Graph)
所有边都没有方向的图称为无向图，如上图 在无向图中 eij=eji，或 (vi, vj)=(vj, vi) 当所有边都有方向时，称为有向图，用G(V,A) 表示 在有向图中，有向边又称为弧，用 aij表示，i, j 的顺序是不能颠倒的，图中弧的方向用箭头标 识 图中既有边又有弧，称为混合图
组合优化问题的图论模型及算法研究
组合优化问题的图论模型及算法研究组合优化问题是一类重要的数学问题，涉及到计算机科学、运筹学、统计学、图论等多个领域。
组合优化问题的特点是问题规模大、时间复杂度高，因此寻求高效的算法成为解决该类问题的重要手段。
本文将围绕组合优化问题的图论模型及算法展开探讨。
一、组合优化问题的图论模型图论是组合优化问题建模的重要工具。
组合优化问题一般可以转化为图论问题。
例如，求解一个集合覆盖问题可以转化为一个有向图中的最小路径问题，求解一个最大流问题可以转化为一个有向图中的最大路径问题。
以下将介绍两类常见的组合优化问题及其图论模型。
1.最小割问题最小割问题是求解图中分割成两部分的最小权和的边集的问题。
在图论中，最小割问题可以转化为最大流问题。
首先，将图中的每个点分为两类，一个为源点集合，一个为汇点集合，如下图所示：[图1]接下来，我们需要找出源点集合和汇点集合之间的最小割，也就是最小的边权和。
最小割算法的思路是不断增加割集合的边权，直到源点和汇点间的割为最小。
2.旅行商问题旅行商问题是指在一个完全图中，求解一条经过所有节点的路径，使得路径长度最小。
使用图论模型求解旅行商问题可以将其转化为一个精确覆盖问题。
即对于所有的点和边，选中一些点和边，满足以下条件：1.每个点必须且只能被选择一次。
2.每条边恰好连接两个选中的点。
3.选择的点和边的数量最小。
如下图所示：[图2]二、组合优化问题的算法研究1.贪心算法贪心算法是一种常见的组合优化问题求解方法。
贪心算法通过局部最优做法来构建最终解，通常得到的并不是最优解，但是可以得到较优近似解。
贪心算法具有高效性、易于理解等优点，但是由于贪心算法是自顶向下构造解决方案的，所以它并不能消除由于先前选择的决策引起的后果，因此在某些场景下，贪心算法并不是最优解或者无法得到较优近似解。
2.综合性算法综合性算法包括回溯法、分支定界法、车型搜索等，这类算法通过对解空间的搜索，不断剪枝和回溯，得出合适的解决方案。
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①
清洗 3
②
③
组装 8
• （与本题无关） • 表示清洗完之后再组装，所用时间分别 为3和8小时。
2、工序之间的交接以圆圈表示，称为事 项或结点，用以标志前面工序的结束和后 面工序的开始，是工序完成或开始的间符 号，具有承上起下，把工序衔接起来的作 用。
• 3、若工序A必须在工序B完成之后才有 条件进行，则称A是B的紧后工序，或 称B是A的紧前工序。
注意：并行工序外的其它工序组成的 工序路线显然不能随意改动的，称为 关键路线，关键路线上的各工序也称 为关键工序。 • 本项中关键路线为
1 2 3 4 6 8 9 11
• 其中各工序为关键工序，所用的时 间为整个工程完成的最短时间。
• 。
A
c
B
再反向追踪，可知
• 一共可有四种节目排序表可供选择。
二、存贮问题
• 有八种化学药品要放进贮藏室保管，代 号为A，B，C，D，P，R，S和T，出于安 全原因，下列各组药品不能贮藏在同一 室内。 • A–R，A–C，A–T，R–P，P–S，S–T， T–B，B–D，D–C，R–S，R–B，P–D， S–C，S–D。 • 试为这八种药品设计一个使用房间数最 少的贮藏方案。
模型分析与建立
• 1、以8种药品为研究对象而作为顶点出 现。 • 2、总共给出14个不配的药品对，不能 放在一室的连一条边，得到一个图模型。
如图
• 。
A T
B
C
S
R P
D
如图
• 。
A T
B
C
S
R P
D
模型求解
• T、C、P间无连线，A、B、S间无连线， R与D间无连线。 • 由此得到一个贮藏方案： • TCP一室，ABS一室，RD一室，故至少 需要三个贮藏室。 • 还有其它的选择吗？ • 大家自己找找吧。
如图
A B C D E F G H 1 √ √ 2 3 √ √ 4 5 √ √ √ √ √ √ √ 6 √ 7 √ 8 9 √ 10
√
√ √
√ √
√
√
√
√
√
若节目主办单位希望首尾两个节目为 A和H，并且希望每个演员不连续参加 两个节目的演出，试为主办单位安排 一个节目顺序表。
• 模型建立与分析 • 开头节目A（或H），结尾为H（或A）， 可以认定是一个图的出发点和结束点， 由此，可以8个节目为顶点构建图模型。
四、机床大修最短时间问题
• 机床的大修有如下工作项目： • 拆卸③，清洗④，电器检修④，部件检 查①，零件加工④，零件修理⑤，床身 和工作台研合②，部件组装（不含电器） ②，变压器组装①，试车③。 • 每个工作项目后面圆圈中给出的数字是 完成该项工作所需的时间（小时）
首先的工作是“拆卸”，然后才能 “清洗”和“电器检修”，这两项工 作可以独立地同时进行。 • “部件检查”要在“清洗”之后进 行，然后才可以“零件加工”和 “零件修理”，这两项工作也可以 独立地同时进行。
回答下列问题
• 1、画出工序的流程图，即用图表示出 各项工作的衔接关系。 • 2、假定大修期间没有耽误任何时间， 并把开始拆卸时记为0。 • 试问：大修完成时刻最短为多少？ • 3、在不影响最短时间完工的条件下， 每个工作项目最早和最迟开工时间各是 多少？
1、关于工序流程图画法的说明
• （1）拆卸情况等这些具体工作称为工 序，用实箭线来表示，工序名称写在箭 头上方，完成这项工序的时间写在箭线 的下方，箭线的方向代表了工序的流向。 • 比如：
• 其二是从一顶点出发走遍所有边一次后 到达另一顶点 • 其次，图中顶点可分为两种点，一种是 过路点，另一种是出发点或结束点，过 路点是指沿某条也到达该点后又从该点 沿另一条走向其它顶点。
因此与过路顶点相连接的边的个数必 为偶数，称这种顶点为偶点，非偶点 的顶点称奇点。
• 最后，若一笔画问题是第一种情况，那 么，其顶点均为偶点，即该图中无奇点， 如果一笔画问题属于第二种情况，则图 中奇点个数为2。
A
各工序衔接关系图
⑥④③②① ⑧⑨⑩⑤⑦
电器检修 ④
床身和 工作台 研合
B
10
零件修理 部件组装
1 2 3 4 6 8 9 11
拆卸 ③ 清洗 ④
部件检查
试车
①
零件加工 ④
⑤
②
②
③
变压器组装
①
5
7
2、关于并行工序的说明
• 在没有耽误任何时间条件下，在大修完成的 时刻最早是拆卸开始的第20个小时，即整个 大修最低需要20小时 • 这时因为未将工序“电器检修”，“零件加 工”和“变压器组装”的时间计9个小时在内。 • 道理是这三个工序分别与其它至少一个工序 可同时，称它们为并行工序，并行工序不影 响总工期。
如图
• 。
A
B
C
H
D
G
F
E
如图
• 。
A
B
C
H
D
G
F
E
模型求解
• 从A（或H）出发，寻求一条从A到H （或H到A）的并且经过所有顶点的线 路。 • 易得，A→H的两个节目表，为 • 方案Ⅰ：A → F → B → C → G → D → E→H • 方案Ⅱ：A → F → G → C → B → D → E→H
• 。
D
A
B
C
问题：能否从四块陆地A、B、C、D之 一出发，走遍每座桥一次且仅一次， 而后回到出发地？
• 。
A D
B
C
如果一个图能够从一个顶点出发，笔 不离纸地连续画出每一条边线一次且 仅一次，然后回到出发顶点，则记该 图为“一笔画”。
• 。 • 。
• 。
D
A
B
C
首先如果一个图能够一笔画出，则只 有两种情况出现，其一是从一顶点出 发走遍所有也一次而回到该顶点；
欧拉定理：一个连通图能够一笔画充分必 要条件是图中奇点个数为0或2。 • 一个图是否能够一笔画，只需要看图中 奇点个数是0或是2，则必可一笔画，否 为顶点， 相连接街路为边，邮路成为一个图，而 只要该图能一笔画出，则其长度必然最 短。
《数学建模》
图论模型
主讲 李华平
重庆城市管理职业学院 信息工程系
图论模型
• • • • • 节目排序问题 存贮问题 中国邮路问题 七桥问题 机床大修最短时间问题
1、节目排序问题
• 一场文艺演出共有8个节目，用大写字 母A，B，C，D，E，F，G，H代表。 全体演员有10人须参加两个以上节目演 出，情况如下表中的√号所示，如演员1 要参演三个节目A，B和H。
本例要求从A出发返回到A，故其 奇点个数应该为0
• 但本例中奇点个数计16，因此不能可能 一笔画出，即邮递员肯定要重复走某些 街路。 • 为力求得最短路程，因此将奇点都变为 偶点，就能求得最短路程而将奇点全部 变为 偶点。
因为图中各边长均相同，而在图模型 中边的曲直不加区别，
• 总长度最短为
5 6 2 8 68(km)
另外，同一对结点间不能表示两个及 其以上个工序。
• 如：
①
A a
②
③
C c
①
b
A a B
②
③
C c
④
为此引进了虚工序概念
• 其中到的虚箭头表示虚工序，虚工序用 来说明一项工序 • 图中的表示方法把三道工序关系画得十 分清楚 • A与B工序同时开工，C工序A，B工序 的紧后工序，工序A，B是C的紧前工序。
3、关于项目最早和开工时间概念
• （1）以下各项工作项目（工序）不能 提前也不能推后 • 0时拆卸，3时清洗，7时部件检查，8时 零件修理，13时床身与工作台研合，15 时部件组装，17时试车。
（2）以下工序开工时间可早可晚， 但有最早与最迟开工时间限制
• “电器检修”最早3时与“清洗”同时 开工。 • 最迟在13时开工，否则会影响下一工序 “试车” • “零件加工”最早8时与“零件修理” 同时开工，最迟9时必须开工 • 同理，“变压器组装”最早13时，最迟 16时。
三、中国邮路问题
• 一个邮递员每次送信都从邮局出发，必 须至少一次走过他负责投递范围的每一 第街道，待完成任务后回到邮局，问如 何选择一条投递路线，使他所走的路程 最短？ • （中国著名数学家管梅谷教授在1962年 提出）
设邮递员从邮局A出发，沿格形街道 路走遍所有街路后回到邮局，若方格 形路的每条路长为1（km），邮递员 至少要走多少路程？ •
• A.
关于七桥问题
• 问题的提出 • 18世纪，东普鲁士 有个城市叫哥尼斯 堡，城内有一条普 雷格尔河，这条河 有两条支流，在城 中心汇合成大河， 河中间有一小岛， 河上有七座桥，如 图 所示. 图
陆地D 半岛B
小岛A
陆地C
每天傍晚，人们总要在这七座桥之间散步.很多
人总想一次不重复地走过这七座桥，再回到出
发点.
这就是数学史上著名的哥尼斯堡七桥问题. 可是试来试去总是办不到，于是有人写 信给当时著名的数学家欧拉.欧拉于 1736年，建立了一个数学模型解决了这 个问题.
能否从四块陆地A、B、C、D之一出发，走遍每 座桥一次且仅一次，而后回到出发地？ 1
陆地D 半岛B
小岛A
2
D
A
B
陆地C
C
七桥问题的模型如图所示 • 其中顶点A、B、 C、D代表四块 陆地，其间的 连线（边）表 示相应陆地之 间有桥相连接, 所连边数表示 桥的个数，