最新高考全国卷1理科数学试题及答案-(word版)

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2021年高考全国卷一理科数学(含答案)

2021年高考全国卷一理科数学(含答案)绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷)理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号1．设，则（）A．0 B．C．D．2．已知集合，则（）A．B．C．D．3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．记为等差数列的前项和．若，，则（）A．B．C．D．125．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．6．在中，为边上的中线，为的中点，则（）A．B．C．D．7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（）A．B．C．D．28．设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两点，则（）A．5 B．6 C．7D．89．已知函数，，若存在2个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，，的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，，，则（）A．B．C．D．11．已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，．若为直角三角形，则（）A．B．3 C．D．4 12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若满足约束条件，则的最大值为________．14．记为数列的前项和．若，则________．15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．（用数字填写答案）16．已知函数，则的最小值是________．三、解答题（共70分。

新课标全国高考理科数学试题(Word版)

普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第（22）-（24）题为选考题，其他题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2、选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。

5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差锥体体积公式222121[()()()]n s x x x x x x n =-+-++- 13V Sh =其中x 为样本平均数其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式球的表面积，体积公式V Sh = 24S R π= 343V R π=其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{||2,}A x x R =≤∈},{|4,}B x x x Z =≤∈,则A B ⋂=(A)(0,2) (B)[0,2] (C){0,2] (D){0,1,2}(2)已知复数23(13)iz i +=-z 是z 的共轭复数，则z z •=A.14 B.12C.1D.2 (3)曲线2xy x =+在点（-1，-1）处的切线方程为（A ）y=2x+1 (B)y=2x-1 C y=-2x-3 D.y=-2x-2(4)如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0（2，-2），角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为（5）已知命题1p ：函数22x x y -=-在R 为增函数， 2p ：函数22x x y -=+在R 为减函数，则在命题1q ：12p p ∨，2q ：12p p ∧，3q ：()12p p -∨和4q ：()12p p ∧-中，真命题是（A ）1q ，3q （B ）2q ，3q （C ）1q ，4q （D ）2q ，4q（6）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为（A ）100 （B ）200 （C ）300 （D ）400 （7）如果执行右面的框图，输入5N =，则输出的数等于（A ）54 （B ）45（C ）65（D ）56（8）设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则{|(2)0}x f x ->= (A) {|24}x x x <->或 (B) {|04}x x x <>或 (C) {|06}x x x <>或(D) {|22}x x x <->或（9）若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则1tan21tan 2αα+=- (A) 12- (B) 12(C) 2 (D) -2（10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 (A) 2a π(B) 273a π(C)2113a π (D) 25a π（11）已知函数|lg |,010,()16,10.2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则abc 的取值范围是 (A) (1,10)(B) (5,6)(C) (10,12)(D) (20,24)（12）已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为(A)22136x y -= (B)22145x y -=(C) 22163x y -= (D)22154x y -= 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。

2020年高考理科数学全国1卷(word版,含答案)

1.【ID:4002604】若，则()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：，则．故选D．2.【ID:4002605】设集合，，且，则()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：易求得：，，则由，得，解得．故选B．3.【ID:4002606】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：如图，设正四棱锥的底面边长为，斜高，则，两边同时除以，得：，解得：，故选C．4.【ID:4002607】已知为抛物线：上一点，点到的焦点的距离为，到轴的距离为，则()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由题意知，，则．故选C．5.【ID:4002608】某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率和温度(单位：)的关系，在个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：由此散点图，在至之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率和温度的回归方程类型的是()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：由图易知曲线特征：非线性，上凸，故选D．6.【ID:4002609】函数的图象在点处的切线方程为()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：，则切线斜率，又，则切线方程为．故选B．7.【ID:4002610】设函数在的图象大致如下图，则的最小正周期为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由图可估算，则．故选C．由图可知：，由单调性知：，解得，又由图知，则，当且仅当时满足题意，此时，故最小正周期．8.【ID:4002611】的展开式中的系数为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：，要得到项，则应取项，则其系数为．故选C．9.【ID:4002612】已知，且，则()A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由，得，解得：或(舍)，又，则．故选A．10.【ID:4002613】已知，，为球的球面上的三个点，为的外接圆．若的面积为，，则球的表面积为()A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由条件易得：，由，则，则，所以球的表面积为．故选A．11.【ID:4002614】已知：，直线：，为上的动点．过点作的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：：，则，如图，由圆的切线性质，易知：，则，所以最小时，最短，即最短，此时，易求得：，则直线：，整理，得：．故选D．12.【ID:4002615】若，则()A.B.C.D.【答案】B【解析】根据题意，有，若，则，不符合题意，因此．13.【ID:4002616】若，满足约束条件，则的最大值为________．【答案】1【解析】解：作不等式组满足的平面区域如图：易得：，，，因为区域为封闭图形，分别将点的坐标代入，得最大值为．14.【ID:4002617】设，为单位向量，且，则________．【答案】【解析】解：因为，，则，则．15.【ID:4002618】已知为双曲线：的右焦点，为的右顶点，为上的点，且垂直于轴．若的斜率为，则的离心率为________．【答案】2【解析】解：如图，，，则由题意得：，解得：，(舍)，所以的离心率为．16.【ID:4002619】如图，在三棱锥的平面展开图中，，，，，，则________．【答案】【解析】在中，；在中，，由展开图的生成方式可得，在中，由余弦定理可得，于是，因此在中，由余弦定理可得．17. 设是公比不为的等比数列，为，的等差中项．（1）【ID:4002620】求的公比．【答案】【解析】解：设数列的公比为，则，，即，解得或(舍去)，的公比为．（2）【ID:4002621】若，求数列的前项和．【答案】【解析】解：记为的前项和．由及题设可得，．所以，．可得．所以．18. 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．（1）【ID:4002622】证明：平面．【答案】见解析【解析】方法：以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则有，，，，，．，，，则，，，平面．方法：设，由题设可得，，，．因此，从而．又，故．所以平面．（2）【ID:4002623】求二面角的余弦值．【答案】【解析】由知，，，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，即，解得，，二面角的余弦值为．19. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为．（1）【ID:4002624】求甲连胜四场的概率．【答案】【解析】解：．（2）【ID:4002625】求需要进行第五场比赛的概率．【答案】【解析】(甲连胜场)(乙连胜场)(丙连胜场)．（3）【ID:4002626】求丙最终获胜的概率．【答案】【解析】丙最终获胜，有两种情况，丙连胜或输一场．(丙连胜)，丙输一场，则共进行场，丙可以在①第场输，、场胜；②第、场胜，场输；③第、、场胜，第场输，(丙第场输，，场胜)；(丙第，场胜，第场输)；(丙第，，场胜，第场输)，(丙胜)．20. 已知，分别为椭圆：的左、右顶点．为的上顶点，，为直线上的动点，与的另一交点为，与的另一交点为．（1）【ID:4002627】求的方程．【答案】【解析】由题意知，，，故，，，故椭圆的方程为．（2）【ID:4002628】证明：直线过定点．【答案】见解析【解析】方法：设，，故：，，故：，联立，，同理可得，，①当时，：，②当时，，：，③当且时，，：，令，故直线恒过定点．方法：设，，．若，设直线的方程为，由题意可知．因为直线的方程为，所以．直线的方程为，所以．可得．又，故，可得，即．①将代入得．所以，．代入①式得．解得(舍去)，．故直线的方程为，即直线过定点．若，则直线的方程为，过点．综上，直线过定点．21. 已知函数．（1）【ID:4002629】当时，讨论的单调性．【答案】当时，函数单调递减；当时，函数单调递增．【解析】当时，，其导函数，又函数为单调递增函数，且，于是当时，函数单调递减；当时，函数单调递增．（2）【ID:4002630】当时，，求的取值范围．【答案】【解析】方法：根据题意，当时，不等式显然成立；当时，有，记右侧函数为，则其导函数，设，则其导函数，当时，函数单调递减，而，于是．因此函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，也为最大值．因此实数的取值范围是，即．方法：等价于．设函数，则．(i)若，即，则当时，．所以在上单调递增，而，故当时，，不合题意．(ii)若，即，则当时，；当时，．所以在，上单调递减，在上单调递增．又，所以当且仅当，即．所以当时，．(iii)若，即，则．由于，故由(ii)可得．故当，．综上，的取值范围是．22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）【ID:4002631】当时，是什么曲线？【答案】为以坐标原点为圆心，半径为的圆．【解析】解：，的参数方程为，则的普通方程为：，是以坐标原点为圆心，半径为的圆．（2）【ID:4002632】当时，求与的公共点的直角坐标．【答案】【解析】解：当时，：，消去参数，得的直角坐标方程为：，的直角坐标方程为：，联立得，其中，，，解得，与的公共点的直角坐标为．23. 已知函数．（1）【ID:4002633】画出的图象．【答案】见解析【解析】解：如图，．（2）【ID:4002634】求不等式的解集．【答案】【解析】解：方法：由题意知，结合图象有，当时，不等式恒成立，故舍去；当，即时，不等式恒成立；当时，由，得，，解得，综上，．方法：函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象．的图象与的图象的交点坐标为．由图象可知当且仅当时，的图象在的图象上方．故不等式的解集为．。

2022年高考全国卷1理科数学试题及参考答案

普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}42M x x =-<<，{}260N x x x =--<，则M N =A ．{}43x x -<<B ．{}42x x -<<-C ．{}22x x -<<D ．{}23x x <<2．设复数z 满足1z i -=，z 在复平面内对应的点为(),x y ，则A ．()2211x y ++=B ．()2211x y -+=C ．()2211x y +-=D ．()2211x y ++=3．已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是51-（510.618-≈，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-。

若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是 A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm5．函数()2sin cos x xf x x x+=+在[],ππ-的图象大致为6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。

每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，右图就是一重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A．516B ．1132C ．2132D ．11167．已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为（）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 8．右图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．12A A =+B ．12A A=+C ．112A A=+D ．112A A=+9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知4=0S ，55a =，则A ．25n a n =-B ．310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-10．已知椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21,0F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点，若222AF F B =，1AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=11．关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论：①()f x 是偶函数②()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 ③()f x 在[],ππ-有4个零点④()f x 的最大值为2 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③12．已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，PB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为A ．86πB ．46πC ．26πD 6π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年高考理科数学(全国卷Ⅰ真题)——(含答案和解析)

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
18.如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．
【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
7.设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由图可得：函数图象过点，即可得到，结合是函数图象与轴负半轴的第一个交点即可得到，即可求得，再利用三角函数周期公式即可得解.
【详解】由图可得：函数图象过点，
将它代入函数可得：
又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，
所以，解得：
所以函数的最角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.
8. 的展开式中x3y3的系数为（）
A.5B.10
C.15D.20
【答案】C
据此结合目标函数几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，
联立直线方程：，可得点A的坐标为：，
据此可知目标函数的最大值为： .
故答案为：1．
【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.
A.0B.1C. D.2

全国高考新课标1卷理科数学试题和答案

全国新课标1卷高考理科数学试题，本试题适用于河南、河北、山西几个省份。

绝密★启封并使用完毕前普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

全卷满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题共12小题。

每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1、已知集合A=｛x |x 2－2x ＞0｝， B=｛x |－5＜x ＜5｝，则 ( B )A 、A ∩B=B 、A ∪B=RC 、B ⊆AD 、A ⊆B2、若复数z 满足 (3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为 ( D )A 、－4 （B ）－45 （C ）4 （D ）45 3、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( C )A 、简单随机抽样B 、按性别分层抽样C 、按学段分层抽样D 、系统抽样4、已知双曲线C:x2a2－y2b2＝1(a ＞0， b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为 ( C ) A 、y =±14x （B ）y =±13x （C ）y =±12x （D ）y =±x5、执行右面的程序框图，如果输入的t ∈[－1， 3]，则输出的s 属于 ( A )A 、[－3,4]B 、[－5,2]C 、[－4,3]D 、[－2,5]6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( A )A 、500π3cm 3B 、866π3cm 3C 、1372π3cm 3D 、2048π3cm 37、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ， S m －1＝－2， S m ＝0， S m ＋1＝3，则m ＝ ( C )A 、3B 、4C 、5D 、68、某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为( A )A 、18+8πB 、8+8πC 、16+16πD 、8+16π 开始输入tt <1 s =3t s = 4t －t 2输出s结束是否9、设m 为正整数， (x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ， (x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a =7b ，则m ＝ ( B )A 、5B 、6C 、7D 、810、已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点。

(完整)高考全国卷1理科数学试题及,文档

2021 年一般高等学校招生全国一致考试理科数学本卷须知：1．答卷前，考生务必然自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定地址上。

2．答复选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答复非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：此题共12小题，每题5 分，共 60 分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的。

1i，那么| z |1．设z2i1i1A ．0C．1 D ．2B ．22．会集A x x2x 2 0 ，那么 e R AA ．x 1 x 2B．x 1 x 2C．x | x 1 U x | x 2D．x | x 1 U x | x 23．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地认识该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比率，获取以下饼图：建设前经济收入构成比率那么下面结论中不正确的选项是建设后经济收入构成比率A ．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和高出了经济收入的一半4．设 S n 为等差数列a n 的前 n 项和，假设 3S 3 S 2 S 4 ， a 1 2，那么 a 5A ． 12B ． 10C ． 10D ． 125．设函数 f (x) x 3(a1)x 2 ax ，假设 f ( x) 为奇函数，那么曲线 yf ( x) 在点 (0,0) 处的切线方程为A ． y 2xB ．yxC ． y 2xD ．y x6．在 △ ABC 中， AD 为 BC 边上的中线，uuurE 为 AD 的中点，那么 EB3 uuur 1 uuur1 uuur 3 uuur 3 uuur 1 uuur1 uuur 3 uuurA ． ABACB ． ABACC ．AB AC D ． ABAC4 444 4 4 4 47．某圆柱的高为 2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为 A ，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为B ，那么在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为A ．2 17B ．2 5C ．3D ． 28．设抛物线 C ： y 2=4x 的焦点为 F ，过点〔 –2，0uuuur uuur〕且斜率为2的直线与 C 交于 M ，N 两点，那么 FMFN =3A ． 5B ．6C ．7D ． 8e x， x 0，x a．假设 g 〔 x 〕存在 2 个零点，那么 a 的取值范围是9．函数 f ( x)g( x) f ( x)ln x ， x0，A ．[–1，0〕B ．[0， +∞〕C ．[ –1， +∞〕D ． [1， +∞〕10 ．以下列图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边 BC ，直角边AB ，AC ． △ABC的三边所围成的地区记为I ，黑色局部记为II ，其他局部记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自 I ， II ， III的概率分别记为p 1， p 2， p 3，那么A ．p 1 =p 2B ．p 1=p 3C ． p 2=p 3D ． p 1=p 2+p 311．双曲线C： x2y2 1 ，O为坐标原点，F为C的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点3分别为 M、N.假设△ OMN 为直角三角形，那么 |MN|=A ．3B ．3C．2 3D． 4 212．正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，那么α截此正方体所得截面面积的最大值为A．3 3B．2 3C．3 2D．3 4342二、填空题：此题共 4 小题，每题 5 分，共20 分。

新课标Ⅰ高考数学理科真题试卷(含答案)

绝密(juémì)★启封(qǐ fēnɡ)并使用完毕前试题(shìtí)类型：A 2021年普通高等学校招生全国(quán ɡuó)统一考试理科(lǐkē)数学考前须知：1.本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部.第一卷1至3页，第二卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第一卷一.选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.〔1〕设集合，，那么〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔2〕设，其中x，y是实数，那么〔A〕1〔B〕〔C〕〔D〕2〔3〕等差数列前9项的和为27，，那么〔A〕100〔B〕99〔C〕98〔D〕97〔4〕某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，学.科网小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，那么他等车时间不超过10分钟的概率是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔5〕方程–=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，那么n的取值范围是〔A〕(–1,3) 〔B〕(–1,3) 〔C〕(0,3) 〔D〕(0,3)〔6〕如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.假设该几何体的体积是，那么它的外表积是〔A〕17π〔B〕18π〔C〕20π〔D〕28π〔7〕函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔8〕假设(jiǎshè)，那么(nà me)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔9〕执行右面(yòumiàn)的程序图，如果输入的，那么(nà me)输出x，y的值满足(mǎnzú)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕(10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的标准线于D、E两点.|AB|=，|DE|=，那么C的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8(11)平面a过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，a//平面CB1D1，平面ABCD=m，a 平面ABA1B1=n，那么m、n所成角的正弦值为(A)(B) (C) (D)12.函数(hánshù)为的零点(línɡ diǎn)，为图像(tú xiànɡ)的对称轴，且()f x在单调(dāndiào)，那么的最大值为〔A〕11 〔B〕9 〔C〕7 〔D〕5第II卷本卷包括必考题(kǎo tí)和选考题两局部.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每题5分(13)设向量a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，那么m=.(14)的展开式中，x3的系数是.〔用数字填写答案〕〔15〕设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，那么a1a2…a n的最大值为。

2021年高考试题真题——数学(新高考全国Ⅰ卷) Word版含解析

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型(A )填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B =（）A. {}2B. {}2,3C. {}3,4D.{}2,3,42. 已知2i z =-，则()i z z +=（） A. 62i -B. 42i -C. 62i +D. 42i +3. ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A. 2B. C. 4D. 4. 下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭单调递增的区间是（） A. 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B. ,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C. 3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭5. 已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（） A. 13B. 12C. 9D. 66. 若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（）A. 65-B. 25-C.25D.657. 若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（） A. e b a < B. e a b < C. 0e b a <<D. 0e a b <<8. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 有一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，n y ，其中i i y x c =+(1,2,,),i n c =⋅⋅⋅为非零常数，则（）A. 两组样本数据的样本平均数相同B. 两组样本数据样本中位数相同C. 两组样本数据的样本标准差相同D. 两组样数据的样本极差相同10. 已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则（）A. 12OP OP =B. 12AP AP =C. 312OA OP OP OP ⋅=⋅ D. 123OA OP OP OP ⋅=⋅ 11. 已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（） A. 点P 到直线AB 的距离小于10 B. 点P 到直线AB 的距离大于2 C. 当PBA ∠最小时，PB =D. 当PBA ∠最大时，PB =12.正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（）A. 当1λ=时，1AB P △的周长为定值B. 当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C. 当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥ D. 当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数()()322xx xa f x -=⋅-是偶函数，则a =______.14. 已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______.15. 函数()212ln f x x x =--的最小值为______.16. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm 12dm ⨯的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm ⨯，20dm 6dm ⨯两种规格的图形，它们的面积之和21240dm S =，对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，它们的面积之和22180dm S =，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n 次，那么1nkk S==∑______2dm .四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n n a n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数（1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；（2）求{}n a 的前20项和.18. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A 类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.19. 记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.20. 如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积.21. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F 、)2122F MF MF -=，点M的轨迹为C . （1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.22. 已知函数()()1ln f x x x =-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<.2021年普通高等学校招生全国统一考试数学答案解析一､选择题：1. B 解析：由题设有{}2,3A B ⋂=，故选B . 2. C 解析：因为2z i =-，故2z i =+，故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i +=-+--=+故选C. 3. B 解析：设圆锥的母线长为l ，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则2l ππ=，解得l =故选B.4. A 解析：因为函数sin y x =的单调递增区间为()22,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，对于函数()7sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，由()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，解得()22233k x k k Z ππππ-<<+∈，取0k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为2,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，则20,,233πππ⎛⎫⎛⎫⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 选项满足条件，B 不满足条件；取1k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为58,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭， 32,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且358,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，358,2,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，CD 选项均不满足条件故选A. 5. C 解析：由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）．故选C ． 6. C 解析：将式子进行齐次化处理得：()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++．故选：C ． 7. D 解析：在曲线xy e =上任取一点(),tP t e，对函数xy e=求导得e x y '=，所以，曲线xy e =在点P 处的切线方程为()tty e e x t -=-，即()1tty e x t e =+-，由题意可知，点(),a b 在直线()1tty e x t e =+-上，可得()()11tttb ae t e a t e =+-=+-，令()()1t f t a t e =+-，则()()t f t a t e '=-.当t a <时，()0f t '>，此时函数()f t 单调递增，当t a >时，()0f t '<，此时函数()f t 单调递减，所以，()()max af t f a e ==，由题意可知，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点，则()max ab f t e <=，当1t a <+时，()0f t >，当1t a >+时，()0f t <，作出函数()f t 的图象如下图所示：由图可知，当0a b e <<时，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点. 故选D.解法二：画出函数曲线xy e =的图象如图所示，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0a b e <<.故选D. 8. B 解析：11561()()()()6636366P P P P =====甲，乙，丙，丁，，1()0()()()()()36P P P P P P =≠==甲丙甲丙，甲丁甲丁，1()()()()0()()36P P P P P P =≠=≠乙丙乙丙，丙丁丁丙，故选B二､选择题：9. CD 解析：()()()()D y D x D c D x =+=，故方差相同，C 正确；由极差的定义知：若第一组的极差为max min x x -，则第二组的极差为max min max min max min ()()y y x c x c x x -=+-+=-，故极差相同，D 正确；故选CD 10. AC 解析：A 项，1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以1||cos 1OP ==，2||(cos 1OP ==，故12||||OP OP =，正确；C 项，由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确；故选AC 11. ACD 解析：圆()()225516x y -+-=的圆心为()5,5M ，半径为4，直线AB 的方程为142x y+=，即240x y +-=，圆心M 到直线AB45==>，所以，点P 到直线AB 的距离的最小值为425-<410<，A 选项正确；如下图所示：当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM PB ⊥，()()22052534BM =-+-=，4MP =，由勾股定理可得2232BP BM MP =-=，CD 选项正确.故选ACD. 12. BD 解析：易知，点P 在矩形11BCC B 内部（含边界）．对于B ，当1μ=时，1111=BP BC BB BB BC λλ=++，故此时P 点轨迹为线段11B C ，而11//B C BC ，11//B C 平面1A BC ，则有P 到平面1A BC 的距离为定值，所以其体积为定值，故B 正确．对于D ，当12μ=时，112BP BC BB λ=+，取1BB ，1CC 中点为,M N ．BP BM MN λ=+，所以P 点轨迹为线段MN ．设010,,2P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为0,02A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以01,22AP y ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，11,122A B ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以00311104222y y +-=⇒=-，此时P 与N 重合，故D 正确．故选BD ．三､填空题：13. 答案：1 解析：因为()()322xx xa f x -=⋅-，故()()322x x f x x a --=-⋅-，因为()f x 为偶函数，故()()f x f x -=，时()()332222xx x x xa x a --⋅-=-⋅-，整理得到()()12+2=0x x a --，故1a =，故答案为1 14. 答案：32x =- 解析：抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭, ∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，所以P 的横坐标为2p，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±, 不妨设(,)2pP p , 因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧，又||6FQ =，(6,0),(6,)2pQ PQ p ∴+∴=- 因为PQ OP ⊥，所以PQ OP ⋅=2602pp ⨯-=, 0,3p p >∴=，所以C 的准线方程为32x =- 故答案为32x =-. 15. 答案：1 解析：由题设知：()|21|2ln f x x x =--定义域为(0,)+∞， ∴当102x <≤时，()122ln f x x x =--，此时()f x 单调递减；当112x <≤时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x'=-≤，此时()f x 单调递减；当1x >时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x'=->，此时()f x 单调递增；又()f x 在各分段的界点处连续，∴综上有：01x <≤时，()f x 单调递减，1x >时，()f x 单调递增； ∴()(1)1f x f ≥= 故答案为1. 16.答案： (1). 5 (2). ()41537202n n -+-解析：（1）由对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，所以对着三次的结果有：5312561032022⨯⨯⨯⨯，，；，共4种不同规格（单位2dm )；故对折4次可得到如下规格：5124⨯，562⨯，53⨯，3102⨯，3204⨯，共5种不同规格；（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为12的等比数列，首项为120()2dm ,第n 次对折后的图形面积为111202n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，对于第n 此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为1n +种（证明从略），故得猜想1120(1)2n n n S -+=，设()0121112011202120312042222nk n k n S S -=+⨯⨯⨯==++++∑，则121112021203120120(1)22222n nn n S -⨯⨯+=++++，两式作差得：()211201111124012022222n nn S -+⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ ()11601120122401212n n n -⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+-- ()()112011203120360360222n n nn n -++=--=-，因此，()()4240315372072022n n n n S -++=-=-. 故答案为5；()41537202n n -+-. 四､解答题：17.答案：（1）122,5b b ==；（2）300. 解析：（1）由题设可得121243212,1215b a a b a a a ==+===+=++=又22211k k a a ++=+，2122k k a a +=+，*()k N ∈故2223k k a a +=+，即13n n b b +=+，即13n n b b +-= 所以{}n b 为等差数列，故()21331n b n n =+-⨯=-.（2）设{}n a 的前20项和为20S ，则2012320S a a a a =++++，因为123419201,1,,1a a a a a a =-=-=-，所以()20241820210S a a a a =++++-()1291091021021023103002b b b b ⨯⎛⎫=++++-=⨯⨯+⨯-= ⎪⎝⎭.18.答案：（1）见解析；（2）B 类．解析：（1）由题可知，X 的所有可能取值为0，20，100．()010.80.2P X ==-=； ()()200.810.60.32P X ==-=； ()1000.80.60.48P X ==⨯=．所以X 的分布列为（2）由（1）知，()00.2200.321000.4854.4E X =⨯+⨯+⨯=．若小明先回答B 问题，记Y 为小明的累计得分，则Y 的所有可能取值为0，80，100．()010.60.4P Y ==-=； ()()800.610.80.12P Y ==-=； ()1000.80.60.48P X ==⨯=．所以()00.4800.121000.4857.6E Y =⨯+⨯+⨯=．因为54.457.6<，所以小明应选择先回答B 类问题． 19.答案：（1）证明见解析；（2）7cos 12ABC ∠=.（1）由题设，sin sin a C BD ABC =∠，由正弦定理知：sin sin c b C ABC =∠，即sin sin C cABC b=∠，∴acBD b=，又2b ac =， ∴BD b =，得证.（2）由题意知：2,,33b b BD b AD DC ===， ∴22222241399cos 24233b b b c c ADB b b b +--∠==⋅，同理2222221099cos 2233b b b a a CDB b b b +--∠==⋅， ∵ADB CDB π∠=-∠，∴2222221310994233b bc a b b --=，整理得2221123b a c +=，又2b ac =， ∴42221123b b a a +=，整理得422461130a a b b -+=，解得2213a b =或2232a b =，由余弦定理知：222224cos 232a c b a ABC ac b+-∠==-，当2213a b =时，7cos 16ABC ∠=>不合题意；当2232a b =时，7cos 12ABC ∠=；综上，7cos 12ABC ∠=.答案：(1)详见解析(2) 36解析：（1）因为AB=AD,O 为BD 中点，所以AO ⊥BD因为平面ABD 平面BCD =BD ,平面ABD ⊥平面BCD ，AO ⊂平面ABD ，因此AO ⊥平面BCD ，因为CD ⊂平面BCD ，所以AO ⊥CD (2)作EF ⊥BD 于F, 作FM ⊥BC 于M,连FM 因为AO ⊥平面BCD ，所以AO ⊥BD, AO ⊥CD所以EF ⊥BD, EF ⊥CD, BD CD D ⋂=,因此EF ⊥平面BCD ，即EF ⊥BC 因为FM ⊥BC ，FMEF F =,所以BC ⊥平面EFM ，即BC ⊥MF则EMF ∠为二面角E-BC-D 的平面角, 4EMF π∠=因为BO OD =,OCD 为正三角形,所以OCD 为直角三角形因为2BE ED =,1112(1)2233FM BF ∴==+= 从而EF=FM=213AO ∴=AO ⊥平面BCD,所以11131133326BCD V AO S ∆=⋅=⨯⨯⨯⨯=21.答案：（1）()221116y x x -=≥；（2）0. 解析：因为12122MF MF F F -=<=所以，轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则22a =，可得1a =，4b ==，所以，轨迹C 的方程为()221116y x x -=≥；（2）设点1,2T t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若过点T 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C 无公共点，不妨直线AB 的方程为112y t k x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，即1112y k x t k =+-，联立1122121616y k x t k x y ⎧=+-⎪⎨⎪-=⎩，消去y 并整理可得()()222111111621602k x k t k x t k ⎛⎫-+-+-+= ⎪⎝⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则112x >且212x >. 由韦达定理可得2111221216k k t x x k -+=-，211221116216t k x x k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-，所以，()()()()22122121121122112111*********t k x x TA TB k x x k x x k +++⎛⎫⋅=+⋅-⋅-=+⋅-+= ⎪-⎝⎭，设直线PQ 的斜率为2k ，同理可得()()2222212116t k TP TQ k ++⋅=-，因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，即()()()()22221222121211211616tk t k k k ++++=--，整理可得2212k k =，即()()12120k k k k -+=，显然120k k -≠，故120k k +=. 因此，直线AB 与直线PQ 的斜率之和为0.22.答案：（1）()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞；（2）证明见解析. 解析：（1）函数的定义域为()0,∞+，又()1ln 1ln f x x x '=--=-，当()0,1x ∈时，()0f x '>，当()1,+x ∈∞时，()0f x '<，故()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞.（2）因为ln ln b a a b a b -=-，故()()ln 1ln +1b a a b +=，即ln 1ln +1a b a b+=，故11f f a b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设1211,x x a b==，由（1）可知不妨设1201,1x x <<>. 因为()0,1x ∈时，()()1ln 0f x x x =->，(),x e ∈+∞时，()()1ln 0f x x x =-<，故21x e <<. 先证：122x x +>，若22x ≥，122x x +>必成立.若22x <，要证：122x x +>，即证122x x >-，而2021x <-<，故即证()()122f x f x >-，即证：()()222f x f x >-，其中212x <<. 设()()()2,12g x f x f x x =--<<，则()()()()2ln ln 2g x f x f x x x '''=+-=---()ln 2x x =--⎡⎤⎣⎦，因为12x <<，故()021x x <-<，故()ln 20x x -->，所以()0g x '>，故()g x 在()1,2为增函数，所以()()10g x g >=，故()()2f x f x >-，即()()222f x f x >-成立，所以122x x +>成立，综上，122x x +>成立.设21x tx =，则1t >，结合ln 1ln +1a b a b+=，1211,x x a b ==可得：()()11221ln 1ln x x x x -=-，即：()111ln 1ln ln x t t x -=--，故11ln ln 1t t tx t --=-，要证：12x x e +<，即证()11t x e +<，即证()1ln 1ln 1t x ++<，即证：()1ln ln 111t t tt t --++<-，即证：()()1ln 1ln 0t t t t -+-<，令()()()1ln 1ln ,1S t t t t t t =-+->，则()()112ln 11ln ln 111t S t t t t t t -⎛⎫'=++--=+- ⎪++⎝⎭，先证明一个不等式：()ln 1x x ≤+. 设()()ln 1u x x x =+-，则()1111xu x x x -'=-=++，当10x -<<时，()0u x '>；当0x >时，()0u x '<，故()u x 在()1,0-上为增函数，在()0,+∞上为减函数，故()()max 00u x u ==，故()ln 1x x ≤+成立由上述不等式可得当1t >时，112ln 11t t t ⎛⎫+≤< ⎪+⎝⎭，故()0S t '<恒成立，故()S t 在()1,+∞上为减函数，故()()10S t S <=，故()()1ln 1ln 0t t t t -+-<成立，即12x x e +<成立. 综上所述，112e a b<+<.。

(word版)高考全国1卷理科数学和答案详解(word版)

绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5页，23小题，总分值150分。

考试用时120分钟。

本卷须知：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型〔B〕填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处〞。

2．作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1．集合A={x|x<1}，B={x|3x1}，那么A．AI B{x|x0}B．AUB R C．AUB{x|x1}D．AIB2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色局部和白色局部关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，那么此点取自黑色局部的概率是1B ．π A ．84C ．1D ．π423．设有下面四个命题p 1：假设复数z 满足1R ，那么z R ；zp 2：假设复数z 满足z 2 R ，那么zR ；p 3：假设复数z 1,z 2满足z 1z 2R ，那么z 1 z 2；p4：假设复数z R，那么zR.其中的真命题为A．p1,p3B．p1,p4C．p2,p3D．p2,p4 4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．假设a4a524，S648，那么{a n}的公差为A．1B．2C．4D．85．函数f(x)在(,)单调递减，且为奇函数．假设f(1)1，那么满足1f(x2)1的x的取值范围是A．[2,2]B．[1,1]C．[0,4]D．[1,3]6．(112)(1x)6展开式中x2的系数为xA．15B．20C．30D．357．某多面体的三视图如以下图，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有假设干个是梯形，这些梯形的面积之和为A．10B．12C．14D．168．右面程序框图是为了求出满足3n-2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入A．A>1000和n=n+1B．A>1000和n=n+2C．A1000和n=n+1D．A1000和n=n+29．曲线122πC：y=cosx，C：y=sin(2x+)，那么下面结论正确的选项是3A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π个单位长度，得6到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π个单位长度，得12到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的1倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π个单位长度，得26到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的1倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π个单位长度，212得到曲线C210．F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，那么|AB|+|DE|的最小值为A．16B．14C．12D．1011．设xyz为正数，且2x3y5z，那么A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码〞的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，，其中第一项为哪一项20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的学科网&最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是A．440B．330C．220D．110二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。

2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题文档版(word版含答案)

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=A．{x|2<x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4}D．{x|1<x<4}2．2i 12i -= +A．1B．−1C．i D．−i3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有A．120种B．90种C．60种D．30种4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为A ．20°B ．40°C ．50°D ．90°5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 A ．62% B ．56% C ．46%D ．42%6．基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) A ．1.2天 B ．1.8天 C ．2.5天D ．3.5天7．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是 A ．()2,6- B ．()6,2- C ．()2,4-D ．()4,6-8．若定义在R 的奇函数f (x )在(0),-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是 A ．[)1,1][3,-+∞ B ．3,1][,[01]-- C ．[)1,0][1,-+∞ D ．1,0]3][[1,-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

全国统一高考数学试卷(全国卷ⅰ)(含解析版)(1)

全国统一高考数学试卷（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）sin585°的值为（）A．B．C．D．2．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个3．（5分）不等式＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}4．（5分）已知tana=4，cotβ=，则tan（a+β）=（）A．B．﹣C．D．﹣5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．6．（5分）已知函数f（x）的反函数为g（x）=1+2lgx（x＞0），则f（1）+g（1）=（）A．0B．1C．2D．47．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种8．（5分）设非零向量、、满足，则=（）A．150°B．120°C．60°D．30°9．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．10．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1B．2C．D．412．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF交C于点B，若=3，则||=（）A．B．2C．D．3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于．14．（5分）设等差数列{a n}的前n的和为S n，若S9=72，则a2+a4+a9=．15．（5分）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M．若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于．16．（5分）若直线m被两平行线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是（写出所有正确答案的序号）三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，公比是正数的等比数列{b n}的前n项和为T n，已知a1=1，b1=3，a3+b3=17，T3﹣S3=12，求{a n}，{b n}的通项公式．18．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．20．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率．21．（12分）已知函数f（x）=x4﹣3x2+6．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设点P在曲线y=f（x）上，若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点，求l的方程．22．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D 四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．全国统一高考数学试卷（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）sin585°的值为（）A．B．C．D．【考点】GE：诱导公式．【分析】由sin（α+2kπ）=sinα、sin（α+π）=﹣sinα及特殊角三角函数值解之．【解答】解：sin585°=sin（585°﹣360°）=sin225°=sin（45°+180°）=﹣sin45°=﹣，故选：A．【点评】本题考查诱导公式及特殊角三角函数值．2．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．【解答】解：A∪B={3，4，5，7，8，9}，A∩B={4，7，9}∴∁U（A∩B）={3，5，8}故选A．也可用摩根律：∁U（A∩B）=（∁U A）∪（∁U B）故选：A．【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．3．（5分）不等式＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值．【解答】解：∵＜1，∴|x+1|＜|x﹣1|，∴x2+2x+1＜x2﹣2x+1．∴x＜0．∴不等式的解集为{x|x＜0}．故选：D．【点评】本题主要考查解绝对值不等式，属基本题．解绝对值不等式的关键是去绝对值，去绝对值的方法主要有：利用绝对值的意义、讨论和平方．4．（5分）已知tana=4，cotβ=，则tan（a+β）=（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】GP：两角和与差的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】由已知中cotβ=，由同角三角函数的基本关系公式，我们求出β角的正切值，然后代入两角和的正切公式，即可得到答案．【解答】解：∵tana=4，cotβ=，∴tanβ=3∴tan（a+β）===﹣故选：B．【点评】本题考查的知识点是两角和与差的正切函数，其中根据已知中β角的余切值，根据同角三角函数的基本关系公式，求出β角的正切值是解答本题的关键．5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．【考点】KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题．【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得．【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a2=0，即，故选：C．【点评】本小题考查双曲线的渐近线方程直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题．6．（5分）已知函数f（x）的反函数为g（x）=1+2lgx（x＞0），则f（1）+g（1）=（）A．0B．1C．2D．4【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】将x=1代入即可求得g（1），欲求f（1），只须求当g（x）=1时x的值即可．从而解决问题．【解答】解：由题令1+2lgx=1得x=1，即f（1）=1，又g（1）=1，所以f（1）+g（1）=2，故选：C．【点评】本小题考查反函数，题目虽然简单，却考查了对基础知识的灵活掌握情况，也考查了运用知识的能力．7．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种【考点】D1：分类加法计数原理；D2：分步乘法计数原理．【专题】5O：排列组合．【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型．【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有C51•C31•C62=225种选法；（2）乙组中选出一名女生有C52•C61•C21=120种选法．故共有345种选法．故选：D．【点评】分类加法计数原理和分类乘法计数原理，最关键做到不重不漏，先分类，后分步！8．（5分）设非零向量、、满足，则=（）A．150°B．120°C．60°D．30°【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据向量加法的平行四边形法则，两个向量的模长相等可构成菱形的两条相邻边，三个向量起点处的对角线长等于菱形的边长，这样得到一个含有特殊角的菱形．【解答】解：由向量加法的平行四边形法则，∵两个向量的模长相等∴、可构成菱形的两条相邻边，∵∴、为起点处的对角线长等于菱形的边长，∴两个向量的夹角是120°，故选：B．【点评】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题．向量知识，向量观点在数学．物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体．9．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】首先找到异面直线AB与CC1所成的角（如∠A1AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A1B的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．【解答】解：设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知θ=∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角；并设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，则|AD|=，|A1D|=，|A1B|=，由余弦定理，得cosθ==．故选：D．【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理．10．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．【考点】HB：余弦函数的对称性．【专题】11：计算题．【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选：A．【点评】本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题．11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1B．2C．D．4【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则∠ACQ=∠PBD=60°，在三角形APQ中将PQ表示出来，再研究其最值即可．【解答】解：如图分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则∠ACQ=∠PDB=60°，，又∵当且仅当AP=0，即点A与点P重合时取最小值．故选：C．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．12．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF交C于点B，若=3，则||=（）A．B．2C．D．3【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】过点B作BM⊥x轴于M，设右准线l与x轴的交点为N，根据椭圆的性质可知FN=1，进而根据，求出BM，AN，进而可得|AF|．【解答】解：过点B作BM⊥x轴于M，并设右准线l与x轴的交点为N，易知FN=1．由题意，故FM=，故B点的横坐标为，纵坐标为±即BM=，故AN=1，∴．故选：A．【点评】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，属基础题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于﹣240．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】首先要了解二项式定理：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n，各项的通项公式为：T r=C n r a n﹣r b r．然后根据题目已知求解即可．+1【解答】解：因为（x﹣y）10的展开式中含x7y3的项为C103x10﹣3y3（﹣1）3=﹣C103x7y3，含x3y7的项为C107x10﹣7y7（﹣1）7=﹣C107x3y7．由C103=C107=120知，x7y3与x3y7的系数之和为﹣240．故答案为﹣240．【点评】此题主要考查二项式定理的应用问题，对于公式：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n，属于重点考点，同学们需要理解记忆．14．（5分）设等差数列{a n}的前n的和为S n，若S9=72，则a2+a4+a9=24．【考点】83：等差数列的性质．【分析】先由S9=72用性质求得a5，而3（a1+4d）=3a5，从而求得答案．【解答】解：∵∴a5=8又∵a2+a4+a9=3（a1+4d）=3a5=24故答案是24【点评】本题主要考查等差数列的性质及项与项间的内在联系．15．（5分）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M．若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于16π．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】由题意求出圆M的半径，设出球的半径，二者与OM构成直角三角形，求出球的半径，然后可求球的表面积．【解答】解：∵圆M的面积为3π，∴圆M的半径r=，设球的半径为R，由图可知，R2=R2+3，∴R2=3，∴R2=4．=4πR2=16π．∴S球故答案为：16π【点评】本题是基础题，考查球的体积、表面积的计算，理解并能够应用小圆的半径、球的半径、以及球心与圆心的连线的关系，是本题的突破口，解题重点所在，仔细体会．16．（5分）若直线m被两平行线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是①或⑤（写出所有正确答案的序号）【考点】I2：直线的倾斜角；N1：平行截割定理．【专题】11：计算题；15：综合题；16：压轴题．【分析】先求两平行线间的距离，结合题意直线m被两平行线l1与l2所截得的线段的长为，求出直线m与l1的夹角为30°，推出结果．【解答】解：两平行线间的距离为，由图知直线m与l1的夹角为30°，l1的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角等于30°+45°=75°或45°﹣30°=15°．故填写①或⑤故答案为：①或⑤【点评】本题考查直线的斜率、直线的倾斜角，两条平行线间的距离，考查数形结合的思想．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，公比是正数的等比数列{b n}的前n项和为T n，已知a1=1，b1=3，a3+b3=17，T3﹣S3=12，求{a n}，{b n}的通项公式．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】11：计算题．【分析】设{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q＞0，由题得，由此能得到{a n}，{b n}的通项公式．【解答】解：设{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q＞0，由题得，解得q=2，d=2∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，bn=3•2n﹣1．【点评】本小题考查等差数列与等比数列的通项公式、前n项和，基础题．18．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．【考点】HR：余弦定理．【分析】根据正弦定理和余弦定理将sinAcosC=3cosAsinC化成边的关系，再根据a2﹣c2=2b即可得到答案．【解答】解：法一：在△ABC中∵sinAcosC=3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有：，化简并整理得：2（a2﹣c2）=b2．又由已知a2﹣c2=2b∴4b=b2．解得b=4或b=0（舍）；法二：由余弦定理得：a2﹣c2=b2﹣2bccosA．又a2﹣c2=2b，b≠0．所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin（A+C）=4cosAsinC，即sinB=4cosAsinC由正弦定理得，故b=4ccosA②由①，②解得b=4．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．属基础题．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（Ⅰ）法一：要证明M是侧棱SC的中点，作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB 于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，解RT △MNE即可得x的值，进而得到M为侧棱SC的中点；法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，并求出S点的坐标、C点的坐标和M点的坐标，然后根据中点公式进行判断；法三：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，构造空间向量，然后数乘向量的方法来证明．（Ⅱ）我们可以以D为坐标原点，分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，我们可以利用向量法求二面角S﹣AM﹣B的大小．【解答】证明：（Ⅰ）作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，在RT△MEB中，∵∠MBE=60°∴．在RT△MNE中由ME2=NE2+MN2∴3x2=x2+2解得x=1，从而∴M为侧棱SC的中点M．（Ⅰ）证法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则．设M（0，a，b）（a＞0，b＞0），则，，由题得，即解之个方程组得a=1，b=1即M（0，1，1）所以M是侧棱SC的中点．（I）证法三：设，则又故，即，解得λ=1，所以M是侧棱SC的中点．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，设分别是平面SAM、MAB的法向量，则且，即且分别令得z1=1，y1=1，y2=0，z2=2，即，∴二面角S﹣AM﹣B的大小．【点评】空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值；空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值；空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值；20．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】12：应用题．【分析】根据题意，记“第i局甲获胜”为事件A i（i=3，4，5），“第j局甲获胜”为事件B i（j=3，4，5），（1）“再赛2局结束这次比赛”包含“甲连胜3、4局”与“乙连胜3、4局”两个互斥的事件，而每局比赛之间是相互独立的，进而计算可得答案，（2）若“甲获得这次比赛胜利”，即甲在后3局中，甲胜2局，包括3种情况，根据概率的计算方法，计算可得答案．【解答】解：记“第i局甲获胜”为事件A i（i=3，4，5），“第j局甲获胜”为事件B i（j=3，4，5）．（Ⅰ）设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则A=A3•A4+B3•B4，由于各局比赛结果相互独立，故P（A）=P（A3•A4+B3•B4）=P（A3•A4）+P（B3•B4）=P（A3）P（A4）+P（B3）P（B4）=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52．（Ⅱ）记“甲获得这次比赛胜利”为事件H，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B=A3•A4+B3•A4•A5+A3•B4•A5，由于各局比赛结果相互独立，故P（H）=P（A3•A4+B3•A4•A5+A3•B4•A5）=P（A3•A4）+P（B3•A4•A5）+P（A3•B4•A5）=P（A3）P（A4）+P（B3）P（A4）P（A5）+P（A3）P（B4）P（A5）=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648【点评】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率，解题之前，要分析明确事件间的关系，一般先按互斥事件分情况，再由相互独立事件的概率公式，进行计算．21．（12分）已知函数f（x）=x4﹣3x2+6．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设点P在曲线y=f（x）上，若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点，求l的方程．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】16：压轴题．【分析】（1）利用导数求解函数的单调性的方法步骤进行求解．（2）根据已知，只需求出f（x）在点P处的导数，即斜率，就可以求出切线方程．【解答】解：（Ⅰ）令f′（x）＞0得或；令f′（x）＜0得或因此，f（x）在区间和为增函数；在区间和为减函数．（Ⅱ）设点P（x0，f（x0）），由l过原点知，l的方程为y=f′（x0）x，因此f（x0）=f′（x0）x0，即x04﹣3x02+6﹣x0（4x03﹣6x0）=0，整理得（x02+1）（x02﹣2）=0，解得或．所以的方程为y=2x或y=﹣2x【点评】本题比较简单，是一道综合题，主要考查函数的单调性、利用导数的几何意义求切线方程等函数基础知识，应熟练掌握．22．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D 四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．【考点】IR：两点间的距离公式；JF：圆方程的综合应用；K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）先联立抛物线与圆的方程消去y，得到x的二次方程，根据抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出r的范围．（2）先设出四点A，B，C，D的坐标再由（1）中的x二次方程得到两根之和、两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）将抛物线E：y2=x代入圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）的方程，消去y2，整理得x2﹣7x+16﹣r2=0（1）抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根∴即．解这个方程组得，．（II）设四个交点的坐标分别为、、、．则直线AC、BD的方程分别为y﹣=•（x﹣x1），y+=（x﹣x1），解得点P的坐标为（，0），则由（I）根据韦达定理有x1+x2=7，x1x2=16﹣r2，则∴令，则S2=（7+2t）2（7﹣2t）下面求S2的最大值．由三次均值有：当且仅当7+2t=14﹣4t，即时取最大值．经检验此时满足题意．故所求的点P的坐标为．【点评】本题主要考查抛物线和圆的综合问题．圆锥曲线是高考必考题，要强化复习．。

_全国I卷理科数学(原卷答案)

2021 年全国一致高考数学试卷〔理科〕〔新课标 Ⅰ 〕一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的 .1．〔5 分〕设会集 A={ x| x 2﹣ 4x+3＜ 0} ，B={ x| 2x ﹣＞30} ，那么 A ∩ B=〔〕A ．〔﹣3，﹣ 〕B ．〔﹣3，〕C ．〔1，〕D ．〔，3〕2．〔5 分〕设〔 1+i 〕x=1+yi ，其中 x ， y 是实数，那么 | x+yi| =〔〕 A ．1B ．C ．D ．23．〔5 分〕等差数列 { a n } 前 9 项的和为27， a10=8，那么 a 100=〔〕A ．100B ．99C ．98D ．974．〔5 分〕某公司的班车在 7：00， 8： 00，8：30 发车，小明在 7：50 至8：30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时辰是随机的，那么他等车时间不高出 10 分钟的概率是〔〕A ．B ．C ．D ．5．〔5 分〕方程 ﹣=1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，那么 n 的取值范围是〔〕A ．〔﹣1，3〕B ．〔﹣1，〕C ．〔0，3〕D ．〔0，〕6．〔5 分〕如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．假设该几何体的体积是，那么它的表面积是〔〕A ．17 πB ．18 πC ．20 πD ．28 π| x|的图象大体为〔〕7．〔5 分〕函数 y=2x 2﹣e 在[ ﹣2， 2]第1页〔共 6页〕A．B．C．D．8．〔5 分〕假设 a＞b＞1，0＜c＜1，那么〔〕A．a c＜ b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜ log b c9．〔5 分〕执行如图的程序框图，若是输入的x=0， y=1，n=1，那么输出 x，y 的值满足〔〕A．y=2xB．y=3xC．y=4xD．y=5x10．〔 5 分〕以抛物线 C 的极点为圆心的圆交C 于 A、 B 两点，交 C 的准线于D、E 两点． | AB| =4，| DE| =2，那么C的焦点到准线的距离为〔〕A．2B．4C．6D．811．〔 5 分〕平面α过正方体 ABCD﹣A B C D 的极点 A，α∥平面CB D ，α∩平111111面ABCD=m，α∩平面ABA1B1 =n，那么 m、n 所成角的正弦值为〔〕A．B．C．D．第2页〔共 6页〕12．〔 5 分〕函数 f〔x〕=sin〔ωx+φ〕〔ω＞0，| φ| ≤〕，x= f 〔x〕的零点， x=y=f〔x〕象的称，且f〔x〕在〔，〕，ω的最大〔〕A．11 B．9C．7D．5二、填空：本大共 4 小，每小 5 分，共 25 分.13．〔 5 分〕向量=〔m，1〕， =〔 1， 2〕，且 |+ |2=| |2+| | 2， m=．14．〔 5 分〕〔2x+〕5的张开式中， x3的系数是．〔用数字填写答案〕15．〔 5分〕等比数列 { a n }足a1+a3=10，a2+a4=5， a1a2⋯a n的最大．16．〔 5分〕某高科技企生品 A 和品 B 需要甲、乙两种新式资料．生一件品 A 需要甲资料，乙资料 1kg，用 5 个工；生一件品 B 需要甲资料，乙资料，用3 个工，生一件品 A 的利 2100 元，生一件品 B 的利 900 元．企有甲资料150kg，乙资料 90kg，在不超 600 个工的条件下，生品 A、品 B 的利之和的最大元．三、解答：本大共 5 小，分 60 分，解答写出文字明、明程或演算步 .17．〔 12 分〕△ ABC的内角 A，B，C 的分 a，b，c，2cosC〔 acosB+bcosA〕=c．〔Ⅰ〕求 C；〔Ⅱ〕假设 c=，△ ABC的面，求△ ABC的周．18．〔 12 分〕如，在以A， B，C，D，E，F 点的五面体中，面ABEF正方形， AF=2FD，∠ AFD=90°，且二面角 D AF E与二面角 C BE F都是 60°．〔Ⅰ〕明平面 ABEF⊥平面 EFDC；〔Ⅱ〕求二面角 E BC A的余弦．第3页〔共 6页〕19．〔 12 分〕某公司方案购置2 台机器，该种机器使用三年后即被裁汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购置这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，若是备件缺乏再购置，那么每个500 元．现需决策在购置机器时应同时购置几个易损零件，为此采集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购置 2 台机器的同时购置的易损零件数．〔Ⅰ〕求 X 的分布列；〔Ⅱ〕假设要求 P〔X≤n〕≥，确定 n 的最小值；〔Ⅲ〕以购置易损零件所需花销的希望值为决策依照，在n=19 与 n=20 之中选其一，应采纳哪个？20．〔12分〕设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为 A，直线 l 过点 B〔1，0〕且与 x 轴不重合， l 交圆 A 于 C， D 两点，过 B 作 AC的平行线交 AD 于点 E．〔Ⅰ〕证明 | EA|+| EB| 为定值，并写出点E 的轨迹方程；〔Ⅱ〕设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1于 M ，N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．21．〔 12 分〕函数 f〔x〕=〔x ﹣〕2e x+a〔 x﹣1〕2有两个零点．〔Ⅰ〕求 a 的取值范围；第4页〔共 6页〕〔Ⅱ〕设 x1，x2是 f〔 x〕的两个零点，证明： x1+x2＜2．请考生在 22、23、24 题中任选一题作答，若是多做，那么按所做的第一题计分.[ 选修 4-1：几何证明选讲 ]22．〔 10 分〕如图，△ OAB 是等腰三角形，∠ AOB=120°．以 O 为圆心，OA 为半径作圆．〔Ⅰ〕证明：直线 AB 与⊙ O 相切；〔Ⅱ〕点 C，D 在⊙ O 上，且 A，B，C，D 四点共圆，证明： AB∥ CD．[ 选修 4-4：坐标系与参数方程 ]23．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为〔t 为参数，a＞0〕．在以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．〔Ⅰ〕说明 C1是哪一种曲线，并将 C1的方程化为极坐标方程；〔Ⅱ〕直线 C的极坐标方程为θ=α，其中α满足 tan α与 C 的3000=2，假设曲线C12公共点都在 C3上，求 a．[ 选修 4-5：不等式选讲 ]24．函数 f 〔x〕=| x+1| ﹣| 2x ﹣|3．〔Ⅰ〕在图中画出 y=f〔x〕的图象；〔Ⅱ〕求不等式 | f〔x〕 | ＞ 1 的解集．第5页〔共 6页〕第6页〔共 6页〕2021 年全国一致高考数学试卷〔理科〕〔新课标Ⅰ 〕参照答案与试题解析一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的.1．〔5 分〕〔2021?新课标Ⅰ〕设会集 A={ x| x2﹣ 4x+3＜0} ， B={ x| 2x ﹣＞30} ，那么A∩B=〔〕A．〔﹣3，﹣〕 B．〔﹣3，〕C．〔1，〕D．〔，3〕【解析】解不等式求出会集A，B，结合交集的定义，可得答案．【解答】解：∵会集 A={ x| x2﹣4x+3＜0} =〔1，3〕，B={ x| 2x ﹣＞30} =〔，+∞〕，∴A∩B=〔，3〕，应选： D2．〔5 分〕〔2021?新课标Ⅰ〕设〔 1+i〕 x=1+yi，其中 x，y 是实数，那么 | x+yi| =〔〕A．1B．C．D．2【解析】依照复数相等求出x，y 的值，结合复数的模长公式进行计算即可．【解答】解：∵〔 1+i〕 x=1+yi，∴x+xi=1+yi，即，解得，即| x+yi| =| 1+i| =，应选： B．3．〔5 分〕〔2021?新课标Ⅰ〕等差数列 { a n }前9项的和为27，a10=8，那么a100=〔〕A．100 B．99 C．98D．97【解析】依照可得 a5=3，进而求出公差，可得答案．第 1页〔共 24页〕【解答】解：∵等差数列 { a n} 前 9 项的和为 27，∴9a5=27， a5=3，又∵ a10=8，∴d=1，∴a+95d=98，100=a5应选： C4．〔5 分〕〔2021?新课标Ⅰ〕某公司的班车在7： 00，8：00， 8： 30 发车，小明在 7：50 至 8：30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时辰是随机的，那么他等车时间不高出10 分钟的概率是〔〕A．B．C．D．【解析】求出小明等车时间不高出 10 分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：设小明到达时间为y，当 y 在 7：50 至 8： 00，或 8：20 至 8：30 时，小明等车时间不高出 10 分钟，故P= =，应选： B5．〔5 分〕〔2021?新课标Ⅰ〕方程﹣=1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，那么 n 的取值范围是〔〕A．〔﹣1，3〕B．〔﹣1，〕C．〔0，3〕 D．〔0，〕【解析】由可得 c=2，利用 4=〔m2+n〕+〔3m2﹣n〕，解得 m2=1，又（m2+n〕〔3m2﹣n〕＞ 0，进而可求 n 的取值范围．【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为 4，∴ c=2，当焦点在 x 轴上时，可得： 4=〔m2+n〕+〔3m2﹣n〕，解得：m2=1，第 2页〔共 24页〕∵方程﹣=1 表示双曲线，∴〔m2+n〕〔3m2﹣n〕＞ 0，可得：〔 n+1〕〔3﹣n〕＞0，解得：﹣1＜n＜3，即 n 的取值范围是：〔﹣1， 3〕．当焦点在 y 轴上时，可得：﹣4=〔 m2+n〕 +〔 3m2﹣n〕，解得： m2=﹣，1无解．应选： A．6．〔5 分〕〔2021?新课标Ⅰ〕如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．假设该几何体的体积是，那么它的表面积是〔〕A．17 πB．18 πC．20 πD．28 π【解析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，尔后求解几何体的表面积．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π?2+=17π．应选： A．第 3页〔共 24页〕| x|的图象大体为〔〕7．〔5 分〕〔2021?新课标 Ⅰ 〕函数 y=2x 2﹣e 在[ ﹣2，2]A ．B ．C ．D ．【解析】依照中函数的解析式，解析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用消除法，可得答案．【解答】解：∵ f 〔x 〕=y=2x 2﹣e |x|，| ﹣x | | x|∴ f 〔﹣x 〕=2〔﹣x 〕2﹣e =2x 2﹣e ，故函数为偶函数，当 x=±2 时， y=8﹣e 2∈〔0，1〕，故消除 A ， B ；当 x ∈[ 0，2] 时， f 〔 x 〕 =y=2x 2﹣e x ，∴ f 〔′ x 〕=4x ﹣e x =0 有解，故函数 y=2x 2﹣e |x|在[ 0，2] 不是单调的，故消除 C ，8．〔5 分〕〔2021?新课标 Ⅰ 〕假设 a ＞ b ＞ 1， 0＜ c ＜1，那么〔〕A ．a c＜ b cB ．ab c＜bacC ．alog b c ＜blog a cD ．log a c ＜ log b c第 4页〔共 24页〕【解析】依照中 a＞b＞1，0＜c＜1，结合对数函数和幂函数的单调性，分析各个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵ a＞b＞1，0＜c＜1，∴函数 f〔x〕=x c在〔 0，+∞〕上为增函数，故a c＞ b c，故 A 错误；函数 f〔x〕 =x c﹣1在〔 0，+∞〕上为减函数，故a c﹣＜1b c﹣，1故 ba c＜ab c，即ab c＞ba c；故 B 错误；log a c＜0，且 log b c＜ 0， log a b＜ 1，即=＜1，即log a c＞log b c．故D 错误；0＜﹣ log a c＜﹣ log b c，故﹣ blog a c＜﹣ alog b c，即 blog a c＞alog b c，即 alog b c＜blog a c，故C正确；应选： C9．〔5 分〕〔2021?新课标Ⅰ〕执行如图的程序框图，若是输入的x=0，y=1， n=1，那么输出 x，y 的值满足〔〕A．y=2xB．y=3xC．y=4xD．y=5x【解析】由中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y 的值，模拟程序的运行过程，解析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：输入 x=0，y=1， n=1，那么 x=0，y=1，不满足 x2+y2≥ 36，故 n=2，那么x= ，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3，第 5页〔共 24页〕那么 x= ，y=6，满足 x2+y2≥ 36，故 y=4x，应选： C10．〔 5 分〕〔2021?新课标Ⅰ〕以抛物线 C 的极点为圆心的圆交C 于 A、B 两点，交 C 的准线于 D、 E 两点． | AB| =4，| DE| =2，那么C的焦点到准线的距离为〔〕A．2B．4C．6D．8【解析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可．【解答】解：设抛物线为 y2=2px，如图： | AB| =4，| AM| =2，|DE|=2，|DN|=，|ON|=，x A==，| OD| =| OA| ，=+5，解得： p=4．C 的焦点到准线的距离为：4．应选： B．第 6页〔共 24页〕11．〔 5 分〕〔2021?新课标Ⅰ〕平面α过正方体 ABCD﹣A1B1C1D1的极点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，那么 m、 n 所成角的正弦值为〔〕A．B．C．D．【解析】画出图形，判断出m、 n 所成角，求解即可．【解答】解：如图：α∥平面 CB1D1，α∩平面 ABCD=m，α∩平面 ABA1B1=n，可知： n∥CD1， m∥B1D1，∵△ CB1D1是正三角形． m、 n 所成角就是∠CD1B1=60 °．那么 m、n 所成角的正弦值为：．应选： A．12．〔 5 分〕〔2021?新课标Ⅰ〕函数 f 〔x〕=sin〔ωx+φ〕〔ω＞ 0，| φ| ≤〕，x= ﹣为 f〔x〕的零点， x=为y=f〔x〕图象的对称轴，且f〔x〕在〔，〕单调，那么ω的最大值为〔〕A．11 B．9C．7D．5【解析】依照可得ω为正奇数，且ω≤12，结合 x=﹣为f〔x〕的零点，x= 为 y=f〔x〕图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f〔x〕在〔，〕单调，可得ω的最大值．【解答】解：∵ x=﹣为f〔x〕的零点，x=为y=f〔x〕图象的对称轴，第 7页〔共 24页〕∴，即，〔 n∈N〕即ω=2n+1，〔n∈N〕即ω为正奇数，∵ f〔x〕在〔，〕那么﹣= ≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ| ≤，∴φ=﹣，此时 f〔x〕在〔，〕不只一，不满足题意；当ω=9时，﹣ +φ=kπ，k∈Z，∵|φ| ≤，∴φ= ，此时 f〔x〕在〔，〕单调，满足题意；故ω的最大值为9，应选： B二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 25 分.13．〔 5 分〕〔2021?新课标Ⅰ〕设向量=〔m， 1〕， =〔1，2〕，且| + | 2=| | 2+| | 2，那么 m=﹣2．【解析】利用条件，经过数量积判断两个向量垂直，尔后列出方程求解即可．【解答】解：| + | 2=| | 2+|| 2，可得? =0．向量=〔 m，1〕，=〔 1，2〕，可得 m+2=0，解得 m=﹣2．第 8页〔共 24页〕故答案： 2．14．〔5分〕〔2021?新Ⅰ〕〔2x+〕5的张开式中，x3的系数是10．〔用数字填写答案〕【解析】利用二张开式的通公式求出第 r+1 ，令 x 的指数 3，求出 r，即可求出张开式中 x3的系数．【解答】解：〔 2x+〕5的张开式中，通公式：T r+1==25 r，令 5 =3，解得 r=4∴ x3的系数 2 =10．故答案： 10．15．〔 5 分〕〔2021?新Ⅰ〕等比数列 { a n} 足 a1+a3=10， a2 +a4=5， a a ⋯a的最大 64 ．1 2n【解析】求出数列的等比与首，化a1a2⋯a n，尔后求解最．【解答】解：等比数列 { a n} 足 a1+a3=10，a2+a4=5，可得 q〔a1+a3〕=5，解得 q=．a1+q2a1=10，解得 a1=8．a ⋯a n1+2+3+⋯+〔n〕1n==，1a2n=a1?q=8 ?当 n=3 或 4，表达式获取最大：=26=64．故答案：64．16．〔 5 分〕〔2021?新Ⅰ〕某高科技企生品 A 和品 B 需要甲、乙两种新式资料．生一件品 A 需要甲资料，乙资料 1kg，用 5 个工；生一件品 B 需要甲资料，乙资料，用 3 个工，生一件品A 的利 2100 元，生一件品 B 的利 900 元．企有甲资料第 9页〔共 24页〕150kg，乙资料 90kg，那么在不高出 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为216000元．【解析】设 A、B 两种产品分别是 x 件和 y 件，依照题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，经过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；【解答】解：〔 1〕设 A、B 两种产品分别是x 件和 y 件，盈利为 z 元．由题意，得，z=2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A〔60， 100〕，目标函数 z=2100x+900y．经过 A 时，直线的截距最大，目标函数获取最大值：2100×60+900× 100=216000元．故答案为： 216000．三、解答题：本大题共 5 小题，总分值 60 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 .17．〔 12 分〕〔2021?新课标Ⅰ〕△ ABC的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b，c， 2cosC〔 acosB+bcosA〕=c．第 10 页〔共 24 页〕〔Ⅰ〕求 C；〔Ⅱ〕假设 c=，△ ABC的面积为，求△ ABC的周长．【解析】〔Ⅰ 〕等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及引诱公式化简，依照sinC 不为 0 求出 cosC的值，即可确定出出 C 的度数；〔 2〕利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b 的值，即可求△ ABC的周长．【解答】解：〔Ⅰ〕等式利用正弦定理化简得：2cosC〔 sinAcosB+sinBcosA〕=sinC，整理得： 2cosCsin〔A+B〕=sinC，∵ sinC≠0，sin〔A+B〕=sinC∴ cosC= ，又 0＜C＜π，∴C=；〔Ⅱ〕由余弦定理得 7=a2+b2﹣ 2ab? ，∴〔 a+b〕2﹣ 3ab=7，∵ S= absinC= ab=，∴ ab=6，∴〔 a+b〕2﹣ 18=7，∴ a+b=5，∴△ ABC的周长为 5+．18．〔 12 分〕〔2021?新课标Ⅰ〕如图，在以 A，B，C，D，E，F 为极点的五面体中，面 ABEF为正方形， AF=2FD，∠ AFD=90°，且二面角 D﹣AF﹣E与二面角C﹣ BE﹣都F是 60°．〔Ⅰ〕证明平面 ABEF⊥平面 EFDC；第 11 页〔共 24 页〕〔Ⅱ〕求二面角 E﹣BC﹣A的余弦值．【解析】〔Ⅰ 〕证明 AF⊥平面 EFDC，利用平面与平面垂直的判判定理证明平面ABEF⊥平面 EFDC；〔Ⅱ〕证明四边形 EFDC为等腰梯形，以 E 为原点，建立以以下图的坐标系，求出平面BEC、平面ABC的法向量，代入向量夹角公式可得二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【解答】〔Ⅰ 〕证明：∵ ABEF为正方形，∴ AF⊥ EF．∵∠ AFD=90°，∴ AF⊥ DF，∵DF∩EF=F，∴AF⊥平面 EFDC，∵AF? 平面 ABEF，∴平面 ABEF⊥平面 EFDC；〔Ⅱ〕解：由 AF⊥DF，AF⊥ EF，可得∠ DFE为二面角 D﹣AF﹣E的平面角；由 CE⊥ BE，BE⊥EF，可得∠ CEF为二面角 C﹣BE﹣的F平面角．可得∠ DFE=∠CEF=60°．∵AB∥EF，AB? 平面 EFDC，EF? 平面 EFDC，∴AB∥平面 EFDC，∵平面 EFDC∩平面 ABCD=CD，AB? 平面 ABCD，∴AB∥CD，∴CD∥EF，∴四边形 EFDC为等腰梯形．第 12 页〔共 24 页〕以 E 为原点，建立以以下图的坐标系，设FD=a，那么 E〔0，0，0〕，B〔0，2a，0〕， C〔，0，a〕， A〔 2a，2a，0〕，∴=〔0，2a， 0〕，=〔，﹣2a，a〕，=〔﹣2a， 0，0〕设平面 BEC的法向量为=〔x1， y1，z1〕，那么，那么，取=〔，0，﹣1〕．设平面 ABC的法向量为=〔x2， y2，z2〕，那么，那么，取 =〔0，，4〕．设二面角 E﹣BC﹣A的大小为θ，那么 cosθ===﹣，那么二面角 E﹣BC﹣A的余弦值为﹣．19．〔 12 分〕〔2021?新课标Ⅰ〕某公司方案购置 2 台机器，该种机器使用三年后即被裁汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购置这种零件作为备件，每个 200 元．在机器使用期间，若是备件缺乏再购置，那么每个500元．现需决策在购置机器时应同时购置几个易损零件，为此采集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生第 13 页〔共 24 页〕的概率，记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购置 2 台机器的同时购置的易损零件数．〔Ⅰ〕求 X 的分布列；〔Ⅱ〕假设要求 P〔X≤n〕≥，确定 n 的最小值；〔Ⅲ〕以购置易损零件所需花销的希望值为决策依照，在n=19 与 n=20 之中选其一，应采纳哪个？【解析】〔Ⅰ 〕由得 X 的可能取值为 16，17，18，19，20， 21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列．〔Ⅱ〕由 X 的分布列求出 P〔X≤18〕 =，P〔X≤19〕= ．由此能确定满足P〔X≤n〕≥ 0.5 中 n 的最小值．〔Ⅲ〕由 X 的分布列得 P〔 X≤ 19〕=．求出买 19 个所需花销希望 EX1和买20 个所需花销希望 EX2，由此能求出买19 个更合适．【解答】解：〔Ⅰ〕由得 X 的可能取值为 16， 17，18， 19，20，21， 22，P〔X=16〕=〔〕2= ，P〔X=17〕=，P〔X=18〕=〔〕2+2〔〕2= ，P〔X=19〕== ，P〔X=20〕==，P〔X=21〕== ，P〔X=22〕=，第 14 页〔共 24 页〕∴ X 的分布列为：X16171819202122 P〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知：P〔X≤18〕=P〔 X=16〕 +P〔X=17〕+P〔 X=18〕==．P〔X≤19〕=P〔 X=16〕 +P〔X=17〕+P〔 X=18〕 +P〔X=19〕=+ =．∴ P〔 X≤ n〕≥ 0.5 中， n 的最小值为 19．〔Ⅲ〕由〔Ⅰ〕得 P〔X≤19〕 =P〔X=16〕+P〔X=17〕+P〔 X=18〕 +P〔X=19〕=+ =．买 19 个所需花销希望：EX1=200×+〔200× 19+500〕×+〔200×19+500× 2〕×+〔200× 19+500×3〕× =4040，买 20 个所需花销希望：EX2=+〔200× 20+500〕×+〔200×20+2×500〕×=4080，∵EX＜EX，12∴买 19 个更合适．20．〔12分〕〔2021?新课标Ⅰ〕设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为 A，直线 l 过点B〔1，0〕且与 x 轴不重合， l 交圆 A 于 C，D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E．〔Ⅰ〕证明 | EA|+| EB| 为定值，并写出点E 的轨迹方程；〔Ⅱ〕设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1于 M ，N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P，Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围．【解析】〔Ⅰ 〕求得圆 A 的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性第 15 页〔共 24 页〕质，可得 EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得 E 的轨迹为以 A， B 为焦点的椭圆，求得 a，b，c，即可获取所求轨迹方程；〔Ⅱ〕设直线 l：x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得| MN| ，由 PQ⊥l ，设 PQ：y=﹣m〔 x﹣1〕，求得 A 到 PQ 的距离，再由圆的弦长公式可得 | PQ| ，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可获取所求范围．【解答】解：〔Ⅰ〕证明：圆 x2+y2+2x﹣15=0即为〔 x+1〕2+y2=16，可得圆心 A〔﹣1， 0〕，半径 r=4，由 BE∥ AC，可得∠ C=∠EBD，由 AC=AD，可得∠ D=∠ C，即为∠ D=∠EBD，即有 EB=ED，那么 | EA|+| EB| =| EA|+| ED| =| AD| =4，故 E 的轨迹为以 A，B 为焦点的椭圆，且有 2a=4，即 a=2，c=1，b==，那么点 E 的轨迹方程为+=1〔y≠0〕；〔Ⅱ〕椭圆 C1：+ =1，设直线 l：x=my+1，由 PQ⊥ l，设 PQ：y=﹣m〔x﹣1〕，由可得〔 3m2 +4〕 y2+6my﹣9=0，设 M〔x1， y1〕， N〔x2，y2〕，可得 y1+y2=﹣， y1y2=﹣，那么| MN| =?| y| =?1﹣y2=?=12?，A 到 PQ 的距离为 d==，第 16 页〔共 24 页〕|PQ|=2=2=，那么四边形 MPNQ 面积为 S= | PQ| ?| MN| = ??12?=24?=24，当 m=0 时， S 获取最小值 12，又＞0，可得S＜24?=8，即有四边形 MPNQ 面积的取值范围是 [ 12， 8〕．21．〔 12 分〕〔2021?新课标Ⅰ〕函数 f〔 x〕 =〔 x ﹣〕2e x+a〔x﹣1〕2有两个零点．〔Ⅰ〕求 a 的取值范围；〔Ⅱ〕设 x1，x2是 f〔 x〕的两个零点，证明： x1+x2＜2．【解析】〔Ⅰ 〕由函数 f〔 x〕 =〔 x﹣〕2 e x+a〔x﹣1〕2可得： f ′〔x〕=〔x﹣1〕e x+2a〔 x﹣〕1 =〔 x﹣1〕〔 e x+2a〕，对 a 进行分类谈论，综合谈论结果，可得答案．〔Ⅱ〕设 x1，x2是 f〔 x〕的两个零点，那么﹣a==，令g〔x〕=，那么g〔x1〕=g〔x2〕=﹣a，解析g〔x〕的单调性，令第 17 页〔共 24 页〕m＞ 0，那么 g〔1+m〕﹣g〔1﹣m〕=，设 h〔m〕=，m＞0，利用导数法可得h〔 m〕＞ h〔0〕=0 恒建立，即 g〔1+m〕＞ g〔 1﹣m〕恒建立，令 m=1﹣x＞ 0，可得结论．1【解答】解：〔Ⅰ〕∵函数 f〔x〕=〔x﹣2〕e x+a〔 x﹣1〕2，∴ f ′〔 x〕=〔x﹣1〕 e x+2a〔x﹣1〕=〔x﹣1〕〔e x+2a〕，①假设 a=0，那么 f 〔x〕=0? 〔x﹣2〕e x=0? x=2，函数 f〔x〕只有唯一的零点2，不合题意；②假设 a＞0，那么 e x+2a＞0 恒建立，当 x＜1 时， f ′〔x〕＜ 0，此时函数为减函数；当 x＞1 时， f ′〔x〕＞ 0，此时函数为增函数；此时当 x=1 时，函数 f〔x〕取极小值﹣e，由 f〔 2〕 =a＞0，可得：函数 f〔 x〕在 x＞1 存在一个零点；当 x＜1 时， e x＜ e， x﹣2＜﹣1＜ 0，∴ f〔x〕=〔x﹣2〕e x+a〔x﹣1〕2＞〔 x﹣2〕e+a〔 x﹣1〕2=a〔x﹣〕12+e〔x﹣1〕﹣e，令 a〔x﹣1〕2+e〔x﹣1〕﹣e=0的两根为 t1，t2，且 t1＜t 2，那么当 x＜t 1，或 x＞t2时， f〔x〕＞ a〔x﹣1〕2+e〔 x﹣1〕﹣e＞0，故函数 f〔x〕在 x＜ 1 存在一个零点；即函数 f〔x〕在 R 是存在两个零点，满足题意；③假设﹣＜a＜0，那么 ln〔﹣2a〕＜ lne=1，当 x＜ln〔﹣2a〕时， x﹣1＜ln〔﹣2a〕﹣1＜lne ﹣1=0，e x+2a＜ e ln〔﹣2a〕+2a=0，即 f ′〔x〕 =〔 x﹣1〕〔 e x+2a〕＞ 0 恒建立，故 f 〔x〕单调递加，当 ln〔﹣2a〕＜ x＜ 1 时， x﹣1＜ 0，e x+2a＞ e ln〔﹣2a〕+2a=0，即 f ′〔x〕 =〔 x﹣1〕〔 e x+2a〕＜ 0 恒建立，故 f 〔x〕单调递减，当 x＞1 时， x﹣1＞ 0， e x+2a＞e ln〔﹣2a〕+2a=0，即 f ′〔x〕 =〔 x﹣1〕〔 e x+2a〕＞ 0 恒建立，故 f 〔x〕单调递加，故当 x=ln〔﹣2a〕时，函数取极大值，第 18 页〔共 24 页〕由 f〔 ln〔﹣2a〕〕=[ ln〔﹣2a〕﹣2]〔﹣2a〕+a[ ln〔﹣2a〕﹣1]2=a{[ ln〔﹣2a〕﹣2]+1}＜0 得：函数 f〔x〕在 R 上至多存在一个零点，不合题意；④假设 a=﹣，那么 ln〔﹣2a〕 =1，当 x＜1=ln〔﹣2a〕时， x﹣1＜0，e x+2a＜ e ln〔﹣2a〕+2a=0，即 f ′〔x〕 =〔 x﹣1〕〔 e x+2a〕＞ 0 恒建立，故 f 〔x〕单调递加，当 x＞1 时， x﹣1＞ 0， e x+2a＞e ln〔﹣2a〕+2a=0，即 f ′〔x〕 =〔 x﹣1〕〔 e x+2a〕＞ 0 恒建立，故 f 〔x〕单调递加，故函数 f〔x〕在 R 上单调递加，函数 f〔x〕在 R 上至多存在一个零点，不合题意；⑤假设 a＜﹣，那么 ln〔﹣2a〕＞ lne=1，当 x＜1 时， x﹣1＜ 0， e x+2a＜e ln〔﹣2a〕+2a=0，即 f ′〔x〕 =〔 x﹣1〕〔 e x+2a〕＞ 0 恒建立，故 f 〔x〕单调递加，当 1＜x＜ ln〔﹣2a〕时， x﹣1＞0，e x+2a＜e ln〔﹣2a〕+2a=0，即 f ′〔x〕 =〔 x﹣1〕〔 e x+2a〕＜ 0 恒建立，故 f 〔x〕单调递减，当 x＞ln〔﹣2a〕时， x﹣1＞0，e x+2a＞e ln〔﹣2a〕+2a=0，即 f ′〔x〕 =〔 x﹣1〕〔 e x+2a〕＞ 0 恒建立，故 f 〔x〕单调递加，故当 x=1 时，函数取极大值，由 f〔 1〕 =﹣e＜0 得：函数 f〔x〕在 R 上至多存在一个零点，不合题意；综上所述， a 的取值范围为〔 0，+∞〕证明：〔Ⅱ〕∵ x1， x2是 f〔x〕的两个零点，∴f〔x1〕 =f〔x2〕=0，且 x1≠1，且 x2≠1，∴ ﹣a==，令 g〔x〕 =，那么g〔x1〕=g〔x2〕=﹣a，第 19 页〔共 24 页〕∵ g′〔x〕 =，∴当 x＜1 时， g′〔x〕＜ 0，g〔x〕单调递减；当 x＞1 时， g′〔 x〕＞ 0，g〔 x〕单调递加；设 m＞0，那么 g〔 1+m〕﹣g〔1﹣m〕 =﹣=，设 h〔m〕=，m＞0，那么 h′〔m〕 =＞0恒建立，即 h〔m〕在〔 0，+∞〕上为增函数，h〔m〕＞ h〔0〕=0 恒建立，即 g〔1+m〕＞ g〔 1﹣m〕恒建立，令 m=1﹣x＞0，1那么 g〔1+1﹣x〕＞ g〔1﹣1+x 〕? g〔2﹣x〕＞ g〔x 〕 =g〔x 〕? 2﹣x＞x ，1111212即 x1+x2＜2．请考生在 22、23、24 题中任选一题作答，若是多做，那么按所做的第一题计分. [ 选修 4-1：几何证明选讲 ]22．〔 10 分〕〔2021?新课标Ⅰ〕如图，△ OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以 O 为圆心， OA 为半径作圆．〔Ⅰ〕证明：直线 AB 与⊙ O 相切；〔Ⅱ〕点 C，D 在⊙ O 上，且 A，B，C，D 四点共圆，证明： AB∥ CD．【解析】〔Ⅰ 〕设 K 为 AB 中点，连结 OK．依照等腰三角形AOB 的性质知第 20 页〔共 24 页〕OK⊥AB，∠ A=30 °， OK=OAsin30 °=OA，那么 AB 是圆 O 的切线．〔Ⅱ〕设圆心为 T，证明 OT为 AB 的中垂线， OT为 CD 的中垂线，即可证明结论．【解答】证明：〔Ⅰ〕设 K 为 AB 中点，连结 OK，∵OA=OB，∠ AOB=120°，∴OK⊥AB，∠ A=30°，OK=OAsin30°= OA，∴直线 AB 与⊙ O 相切；〔Ⅱ〕因为 OA=2OD，所以 O 不是 A，B，C，D 四点所在圆的圆心．设 T 是A，B，C，D 四点所在圆的圆心．∵OA=OB， TA=TB，∴OT为 AB 的中垂线，同理，OC=OD，TC=TD，∴OT为 CD的中垂线，∴AB∥CD．[ 选修 4-4：坐标系与参数方程 ]23．〔 2021?新课标Ⅰ〕在直角坐标系xOy 中，曲线 C1的参数方程为〔t 为参数， a＞0〕．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ=4cosθ．〔Ⅰ〕说明 C1是哪一种曲线，并将 C1的方程化为极坐标方程；〔Ⅱ〕直线 C的极坐标方程为θ=α，其中α满足 tan α与 C 的3000=2，假设曲线C12公共点都在 C3上，求 a．【解析】〔Ⅰ 〕把曲线 C1的参数方程变形，尔后两边平方作和即可获取一般方程，可知曲线C1是圆，化为一般式，结合222x +y =ρ，y=ρsin θ化为极坐标方程；〔Ⅱ〕化曲线 C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x 为圆 C1与C2的公共弦所在直线方程，把 C1与 C2的方程作差，结合公共弦所在直线方程为 y=2x 可得 1﹣a2=0，那么a值可求．第 21 页〔共 24 页〕【解答】解：〔Ⅰ〕由，得，两式平方相加得，x2+〔y﹣1〕2=a2．∴ C1为以〔 0，1〕为圆心，以 a 为半径的圆．化为一般式： x2+y2﹣ 2y+1﹣2a=0．①由 x2+y2=ρ2， y=ρsin ，θ得ρ2﹣ 2ρ sin+1﹣θ2a=0；〔Ⅱ〕C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcos，θ∴x2+y2=4x，②即〔 x﹣2〕2+y2=4．由 C ：θ=α，其中α满足 tan α3000=2，得 y=2x，∵曲线 C1与 C2的公共点都在 C3上，∴ y=2x为圆 C1与 C2的公共弦所在直线方程，① ﹣②得： 4x﹣2y+1﹣a2=0，即为 C3，∴1﹣a2=0，∴a=1〔a＞ 0〕．[ 选修 4-5：不等式选讲 ]24．〔 2021?新课标Ⅰ〕函数 f〔 x〕 =| x+1| ﹣| 2x ﹣|3．〔Ⅰ〕在图中画出 y=f〔x〕的图象；〔Ⅱ〕求不等式 | f〔x〕 | ＞ 1 的解集．第 22 页〔共 24 页〕【解析】〔Ⅰ 〕运用分段函数的形式写出 f〔x〕的解析式，由分段函数的画法，即可获取所求图象；〔Ⅱ〕分别谈论当 x≤﹣1时，当﹣1＜x＜时，当 x≥时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可获取所求解集．【解答】解：〔Ⅰ〕f〔 x〕 =，由分段函数的图象画法，可得f〔x〕的图象，如右：〔Ⅱ〕由 | f〔x〕 | ＞ 1，可得当 x≤﹣1时， | x﹣4|＞ 1，解得 x＞5 或 x＜3，即有 x≤ ﹣1；当﹣1＜x＜时， | 3x﹣2|＞1，解得 x＞ 1 或 x＜，即有﹣1＜ x＜或1＜x＜；当 x≥时， | 4﹣x|＞1，解得 x＞5 或 x＜3，即有 x＞5 或≤ x＜ 3．综上可得， x＜或 1＜x＜3 或 x＞ 5．那么 | f〔x〕| ＞1 的解集为〔﹣∞，〕∪〔1，3〕∪〔5，+∞〕．第 23 页〔共 24 页〕第 24 页〔共 24 页〕。

2021年高考真题——数学(新高考全国Ⅰ卷)+Word版含解析

2021年高考真题——数学(新高考全国Ⅰ卷)+Word版含解析2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷，共22小题，满分150分，考试用时120分钟。

请考生注意以下事项：1.在答题卡上填写姓名、考生号、考场号和座位号，并用2B铅笔填涂试卷类型（A）。

2.选择题答案用2B铅笔在答题卡上涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后再涂其他答案。

非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液。

3.考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合$A=x-2<x<4$，$B=\{2,3,4,5\}$，则$A$为（）A。

$\{2\}$。

B。

$\{2,3\}$。

C。

$\varnothing$。

D。

$\{3,4\}$2.已知$z=2-i$，则$z(z+i)$为（）A。

$6-2i$。

B。

$4-2i$。

C。

$6+2i$。

D。

$4+2i$3.已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A。

2.B。

2$\sqrt{2}$。

C。

4.D。

4$\sqrt{2}$4.下列区间中，函数$f(x)=7\sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)$单调递增的区间是（）A。

$\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$。

B。

$\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)$。

C。

$\left(\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right)$。

D。

$\left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right)$5.已知$F_1,F_2$是椭圆$C:x^2+y^2=1$的两个焦点，点$M$在$C$上，则$MF_1\cdot MF_2$的最大值为（）A。

(精校版)2020年全国卷Ⅰ理数高考试题文档版(含答案)

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若z=1+i，则|z2–2z|=A．0 B．1 C D．22．设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=A．–4 B．–2 C．2 D．43．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A B C D4．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p= A．2 B．3 C．6 D．95．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是 A ．y a bx =+ B ．2y a bx =+ C ．e x y a b =+D ．ln y a b x =+6．函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为 A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =-D ．21y x =+7．设函数()cos π()6f x x ω=+在[]π,π-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为A ．10π9 B ．7π6 C ．4π3D ．3π28．25()()x x y xy ++的展开式中x 3y 3的系数为A ．5B ．10C ．15D ．209．已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α= A．3B ．23C ．13D．910．已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π11．已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为 A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=12．若242log 42log a ba b +=+，则A ．2a b >B ．2a b <C ．2a b >D ．2a b <二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年高考全国Ⅰ卷理科数学试题及解答

普通高等学校招生全国统一考试(必修+选修II)理科数学本试卷分第【卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两局部。

第【卷1至2页。

第II 卷3至4页。

考试结朿后，将本试卷和答题卡一并交回。

第【卷考前须知：1 •答题前.考生在答题卡上务必用直径0.5亳米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写淸楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号.姓名和科目。

2•每题选岀答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

3•本卷共12小题，每题5分，共60分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A + B) = P(A) + P(B)如果事件A 、B 相互独立，那么P(A ・B) = P(A)・ P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是那么"次独立重复试验中事件A 恰好发生?次的概率卩伙)=以八(1一〃)1仗=0,1,2・・・」?) 球的表而积公式 S = 4欣2 其中R 表示球的半径 4球的体积公式V —加3其中R 表示球的半径(1)"是第四象限角,tan d =贝 ijsin 0 =12(A) 1(B) -1(C )£5513(2)设"是实数，且"+是实数，那么“=1 +/ 2(A)(B) 1(C)22(D) 2(B)不垂直也不平行(C)平行且同向(D)平行且反向(4) 焦点是(-4, 0), (4, 0),那么双曲线方程为(A)•> I • 2-—=1 (B)T 12724 (C) •> :r -—=1 (D)* -——=1(5)一、选择题(D)(3) 向M a= (-5, 6)t b= (6,5), 那么“与b (A)垂直双曲线的离心率为2,设合仏+恥｝」诙—a =(A) (1, 1) (B) (-b 1) (C) (-b -1) (D) (b -1)(7) 如图,正四棱柱ABCD — A/CD 中,A41 =2AB,那么异面直线佔与的(8)设GA1,函数f(x) = log 9x 在区间［a.2a ］上的最大值与最小值之差为_ ,2 那么a =(A) V2 (B) 2 (C) 2>J2 (D) 4(9) /(x), g(x)是定义在R 上的函数，/心)=f(x) + g(x),那么“ f(x\ g(x)均为偶函数〞是“ h(x)为偶函数〞的(A)充要条件(B)充分而不必要的条件(C)必要而不充分的条件 (D)既不充分也不必要的条件(10) (x 2-b 2的展开式中，常数项为15,那么n=(A) 3(B) 4(C) 5(D) 6(ID 抛物线y 2=4x 的焦点为F,准线为1,经过F 且斜率为、疗的直线与抛物线在x 轴上方的局部相交于点A ,AK 丄/,垂足为K ,且厶AKF 的面积是(A)4(B)3A /3(C)4-X /3(D)8(12) 函数f(x) = cos 5 — 2 cos 芒的一个单调增区间是2(A)(上t)(B)(二仝)(C) (0,1)(D ) (-^，^3 36 236 62007年普通高等学校招生全国统一考试数学(理科)第n 卷(非选择题共95分)考前须知：1・答题前，考生先在答题卡上用直径0.5亳米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写淸楚，然后贴好条形码。