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徐州市、宿迁市2019高三三模数学试题及答案

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2019届宿迁三模数学参考答案

2019届宿迁三模数学参考答案

结束Y输出y N （第3题）开始 输入x y ←3- xx ≤1y ←3+x宿迁市2019届高三第三次调研测试 数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1． 已知集合{1023}U =-，，，，{03}A =，，则U A =ð ▲ ．【答案】{12}-，2． 已知复数i 13i a z +=+（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】3-3． 右图是一个算法流程图．若输出y 的值为4，则输入x 的值为 ▲ ． 【答案】1-4． 已知一组数据6，6，9，x ，y 的平均数是8，且90xy =，则该组数据的方差为 ▲ ． 【答案】1455． 一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球．从中1次随机 摸出2只球，则2只球都是白球的概率为 ▲ ． 【答案】126． 已知函数2220()20x x x f x x x x ⎧-=⎨--<⎩，≥，，， 则不等式()()f x f x >-的解集为 ▲ ．【答案】(20)(2)-+∞U ，，7． 已知{}n a 是等比数列，前n 项和为n S ．若324a a -=，416a =，则3S 的值为 ▲ ．【答案】148． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221y x a b-=（00a b >>，）的右准线与两条渐近线分别交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为4ab ，则该双曲线的离心率为 ▲ ． 【答案】29． 已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB =3 cm ，BC =1 cm ，CD =2 cm ．将此直角梯形绕AB 边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体的体积为 ▲ cm 3． 【答案】73π10．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线sin 2y x =与1tan 8y x =在()2ππ，上交点的横坐标为α， 则sin 2α的值为 ▲ ．【答案】1511．如图，正六边形ABCDEF 中，若AD AC AE λμ=+u u u r u u u r u u u r（λμ∈，R ），则λμ+的值为 ▲ ．【答案】43ABDE（第11题）BC 623.5（第12题）θ12．如图，有一壁画，最高点A 处离地面6 m ，最低点B 处离地面3.5 m ．若从离地高2 m 的 C 处观赏它，则离墙 ▲ m 时，视角θ最大．613．已知函数2()23f x x x a =-+，2()1g x x =-．若对任意[]103x ∈，，总存在[]223x ∈，，使得 12()()f x g x ≤成立，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】13-14．在平面四边形ABCD 中，90BAD ∠=︒， 2AB =，1AD =．若43AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则12CB CD +的最小值为 ▲ ．26 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，(sin sin )()(sin sin )a A B c b B C -=-+．（1）求角C 的值；（2）若4a b =，求sin B 的值．【解】（1）在△ABC 中， 因为(sin sin )()(sin sin )a A B c b B C -=-+，由正弦定理sin sin sin a b c A B C==，所以()()()a a b b c c b -=+-． …… 3分即222a b c ab +-=，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得1cos 2C =． …… 5分又因为0πC <<，所以π3C =． …… 7分（2）方法一：因为4a b =及222a b c ab +-=，得2222216413c b b b b =+-=，即13c b ， …… 10分由正弦定理sin sin c b C B =13sin 3b b B =， 所以39sin B ． …… 14分方法二：由正弦定理sin sin =a b A B ，得sin 4sin =A B ．由++=πA B C ，得sin()4sin +=B C B ，因为3π=C ，所以31sin 4sin 2+=B B B，即7sin 3=B B ． …… 11分 又因为22sin cos 1+=B B ，解得，23sin 52=B ，因为在△ABC 中，sin 0>B ，所以39sin B . …… 14分A BDPEF（第16题）备注：1. 第（1）小题中“正弦定理sin sin sin a b c A B C==”必须交代，其中“正弦定理”与“sin sin sin a b c A B C==”交代之一即可，若都不写则扣一分； 第（1）小题中“余弦定理2222cos c a b ab C =+-”必须交代，其中“余弦定理”与“2222cos c a b ab C =+-”交代之一即可，若都不写则扣一分；2. 第（2）小题的法二中由7sin 3=B B 得出39sin =B 若无过程则扣三分。

江苏省苏北三市(连云港、徐州、宿迁)2019届高三年级第三次模拟考试【含答案及解析】

江苏省苏北三市(连云港、徐州、宿迁)2019届高三年级第三次模拟考试【含答案及解析】

江苏省苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2019届高三年级第三次模拟考试【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、填空题1. 已知集合，，则集合中元素的个数为____ ．2. 设，（为虚数单位），则的值为 ____ ．3. 在平面直角坐标系中，双曲线的离心率是 ____ ．4. 现有三张识字卡片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字．将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是 ____ ．5. 下图是一个算法流程图，则输出的的值是___________________________________ .6. 已知一组数据，，，，，则该组数据的方差是 ____ ．7. 已知实数，满足则的取值范围是 ____ ．8. 若函数的图象过点，则函数在上的单调减区间是 ____ ．9. 在公比为且各项均为正数的等比数列中，为的前项和．若，且，则的值为 ____ ．10. 如图，在正三棱柱中，已知，点在棱上，则三棱锥的体积为 ____ ．11. 如图，已知正方形的边长为，平行于轴，顶点，和分别在函数，和 ( ) 的图象上，则实数的值为 ____ ．12. 已知对于任意的，都有，则实数的取值范围是 ____ ．13. 在平面直角坐标系中，圆．若圆存在以为中点的弦，且，则实数的取值范围是 ____ ．14. 已知三个内角，，的对应边分别为，，，且，．当取得最大值时，的值为 ____ ．二、解答题15. 如图，在中，已知点在边上，，，，．（ 1 ）求的值；（ 2 ）求的长．16. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，点在棱上( 异于点， ) ，平面与棱交于点．（1）求证：；（2）若平面平面，求证：．17. 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点分别为，，过右焦点的直线与椭圆交于，两点 ( 点在轴上方 ) ．（ 1 ）若，求直线的方程；（ 2 ）设直线，的斜率分别为，．是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．18. 某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆的圆心与矩形对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切 ( 为上切点 ) ，与左右两边相交( ，为其中两个交点 ) ，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为 1m ，且．设，透光区域的面积为．（ 1 ）求关于的函数关系式，并求出定义域；（ 2 ）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，求边的长度．19. 已知两个无穷数列和的前项和分别为，，，，对任意的，都有．（ 1 ）求数列的通项公式；（ 2 ）若为等差数列，对任意的，都有．证明：；（ 3 ）若为等比数列，，，求满足的值．20. 已知函数，．（ 1 ）当时，求函数的单调增区间；（ 2 ）设函数，．若函数的最小值是，求的值；（ 3 ）若函数，的定义域都是，对于函数的图象上的任意一点，在函数的图象上都存在一点，使得，其中是自然对数的底数，为坐标原点．求的取值范围．21. [ 选修：几何证明选讲 ]如图，圆的弦，交于点，且为弧的中点，点在弧上．若，求的度数．22. [ 选修：矩阵与变换 ]已知矩阵，若，求矩阵的特征值．23. [选修：坐标系与参数方程]在极坐标系中，已知点，点在直线上．当线段最短时，求点的极坐标．24. [ 选修：不等式选讲 ] 已知，，为正实数，且．求证：．25. 在平面直角坐标系中，点，直线与动直线的交点为，线段的中垂线与动直线的交点为．（ 1 ）求动点的轨迹的方程；（ 2 ）过动点作曲线的两条切线，切点分别为，，求证：的大小为定值．26. 已知集合，对于集合的两个非空子集，，若，则称为集合的一组“ 互斥子集” ．记集合的所有“ 互斥子集” 的组数为 ( 视与为同一组“ 互斥子集”) ．（ 1 ）写出，，的值；（ 2 ）求．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】第25题【答案】第26题【答案】。

2019届高三数学三模考试试题(含解析)_3

2019届高三数学三模考试试题(含解析)_3

2019届高三数学三模考试试题（含解析）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.已知全集，集合，则______.【答案】.【解析】【分析】利用补集的概念得答案.【详解】因为全集，集合，所以，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关集合的运算问题，涉及到的知识点有求已知集合的补集，属于简单题目.2.四个数据：1，3，3，5的标准差是______.【答案】.【解析】【分析】先求出这组数据的平均数，再根据方差公式求出方差，再求出其算术平方根即为标准差.【详解】这组数据的平均数是：，方差为，标准差为，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关求一组数据的标准差的问题，正确使用公式是解题的关键，属于简单题目.3.已知函数偶函数，且，则______.【答案】5.【解析】【分析】设，利用函数的奇偶性建立方程即可得结果.【详解】因为是偶函数，所以设，则，即，因为，所以，即，故答案是：5.【点睛】该题考查的是有关根据条件求函数值的问题，涉及到的知识点有偶函数的定义和性质，以及整体思维的应用，属于简单题目.4.抛物线上一点到焦点的距离为5，则点的横坐标是______.【答案】【解析】试题分析：．考点：抛物线及其性质．5.已知一个半球的俯视图是半径为1的圆，则半球的表面积为______.【答案】.【解析】【分析】根据一个半球的俯视图是半径为1的圆，可以确定该半球对应的球的半径为1，结合半球的表面积由半球面和一个大圆的面积和求得结果.【详解】因为一个半球的俯视图是半径为1的圆，所以该半球对应的球的半径为1，所以该半球的表面积为，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关半球的表面积的问题，涉及到的知识点有俯视图，表面积公式，属于简单题目.6.对数不等式的解集是，则实数的值为______.【答案】2.【解析】【分析】先解出不等式，再结合已知解集，可得结果.【详解】将对数不等式两边同时乘以，得，即，所以此不等式的解为：或，因为其解集为，所以，故答案是：2.【点睛】该题考查的是有关根据不等式的解集求参数值的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法和对数不等式的解法，属于简单题目.7.若无穷等比数列的各项和为2，则首项的取值范围为______.【答案】.【解析】【分析】首先根据无穷等比数列的各项和为2，可以确定其公比满足，利用等比数列各项和的公式得到，得到，分和两种情况求得的取值范围，得到结果.【详解】因为无穷等比数列的各项和为2，所以其公比满足，且，所以，当时，，当时，，所以首项的取值范围为，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关等比数列各项和的问题，涉及到的知识点有等比数列存在各项和的条件，各项和的公式，注意分类讨论，属于简单题目.8.已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．【答案】【解析】试题分析：，由正弦定理得.考点：解三角形，三角形外接圆.9.已知关于的实系数方程的两虚数根为、，且满足，则的值为______.【答案】5.【解析】【分析】首先利用求根公式将两根和求出来，之后求得，最后利用复数模的公式，求得的值.详解】解方程，可得，所以，所以，所以，解得，故答案是：5.【点睛】该题考查的是有关实系数方程的根求解问题，涉及到的知识点有求根公式的应用，复数模的公式，属于简单题目.10.从集合中任取两个数，欲使取到的一个数大于，另一个数小于（其中）的概率是，则__.【答案】4或7.【解析】【分析】先求出所有的基本事件有45种，再求出取到的一个数大于，另一个数小于的基本事件有种，根据古典概型概率公式即可得到关于的方程解得即可.【详解】从集合中任取两个数的基本事件有种，取到的一个数大于，另一个数小于，比小的数有个，比大的数有个，故一共有个基本事件，由题意可得，即，整理得，解得或，故答案是：4或7.【点睛】该题考查的是有关古典概型概率求解问题，涉及到的知识点有实验对应的基本事件数的求解，古典概型概率公式，属于简单题目.11.若，，，且，，则的值为______．【答案】【解析】【分析】首先对所给的方程进行恒等变形，然后结合函数的单调性和角度的范围求得的值，然后求解三角函数值即可.【详解】∵，∴(−2β)3−2sinβcosβ−2λ=0，即(−2β)3+sin(−2β)−2λ=0.由可得.故−2β和是方程x3+sinx−2λ=0的两个实数解.再由，，，所以和的范围都是，由于函数x3+sinx在上单调递增，故方程x3+sinx−2λ=0在上只有一个解，所以，，∴，则的值为.【点睛】本题主要考查函数的单调性，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.已知，函数的图像的两个端点分别为、，设是函数图像上任意一点，过作垂直于轴的直线，且与线段交于点，若恒成立，则的最大值是______.【答案】.【解析】【分析】由的坐标可以将直线的方程找到，通过点的坐标可以得到的坐标，将其纵坐标作差可以得到关于的不等式，通过求范围可以将绝对值去掉，由基本不等式可以得到的最大值.【详解】因为，，所以，所以直线的方程为，设，所以，因为恒成立，所以恒成立，所以，因为在时小于等于0恒成立，所以，①当或时，显然成立；②当时，，所以由基本不等式得，此时，所以的最大值为，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关根据恒成立求对应参数的取值范围的问题，在解题的过程中，主意对题中条件的转化，应用基本不等式求最值，属于较难题目.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13.已知与均为单位向量，其夹角为，则命题：是命题：的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不是充分条件也不是必要条件【答案】C【解析】【分析】根据向量模长与向量数量积的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】由得，即，因为与均为单位向量，所以，即，则，即成立，反之，当时，，，从而可以得到，所以是的充要条件，故选C.【点睛】该题考查的是有关充分必要条件的问题，涉及到的知识点有向量的模的平方与向量的平方是相等的，单位向量的模为1，向量夹角的余弦公式，属于简单题目.14.设，则的值为（）A. 2B. 0C.D. 1【答案】C【解析】【分析】分别令和即可求得结果.【详解】令，可得：令，可得：本题正确选项：【点睛】本题考查二项展开式系数和的相关计算，关键是采用赋值的方式构造出所求式子的形式.15.已知，是关于的方程的两个实数根，则经过两点，的直线与双曲线公共点的个数是（）A. 2 B. 1 C. 0 D. 不确定【答案】D【解析】【分析】首先根据韦达定理，得到两根和与两根积，利用斜率坐标公式求得，利用点斜式将直线方程写出来，从而确定出直线过定点，再由判别式大于零，求得的范围，进而得到直线与双曲线焦点的个数有1个或两个，从而得到结果.【详解】因为，是关于的方程的两个实数根，所以，且，，又因为，所以直线的方程为：，即，即，即，所以直线恒过点，因为方程的两个实数根，所以，解得或，因为直线过点，且斜率为，所以当时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点，其余情况都有两个交点，所以直线与双曲线的交点的个数是不确定的，故选D.【点睛】该题考查的是有关判定直线与双曲线交点个数的问题，涉及到的知识点有直线的斜率公式，直线过定点问题，过某个点的直线与双曲线的交点个数，属于较难题目.16.在平面上，，，.若，则的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先由0得，再由推理得，再计算2－，最后根据推理得的取值范围.【详解】∵，∴＝＝0，∴.∵，∴，∴. ∴，∵，∴＋2＝2＋＋2(－)＝2－，∵，∴0≤，∴0≤，∴，即||∈.故答案：D【点睛】(1)本题主要考查向量的运算和向量的数量积的计算，考查向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题关键的地方有两点，其一是由0得，其二是由推理得，本题属于难题.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17.如图，已知正方体的棱长为2，、、分别为棱、、的中点.（1）求三棱锥的体积；（2）求直线与平面所成角的大小.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）观察分析几何体的特征，利用椎体的体积公式求得结果；（2）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用向量所成角的余弦值求得线面角的正弦值，利用反正弦求得结果.【详解】（1）根据题意，可得；（2）如图建立空间直角坐标系，则有，所以，，设平面的法向量为，所以有，即，取，则有，所以平面的一个法向量为，所以，所以求直线AB与平面PQR所成角的正弦值是，所以直线AB与平面PQR所成角的大小为.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有椎体的体积，应用空间向量求线面角的正弦值，利用反三角表示角的大小，属于简单题目.18.在中，角、、所对的边分别为、、.（1）若，，求面积的最大值；（2）若，试判断的形状.【答案】（1）；（2）直角三角形或等腰三角形.【解析】【分析】（1）利用余弦定理列出关系式，将，代入，整理后利用基本不等式求出的最大值，即可确定出三角形面积的最大值；（2）根据三角形内角和定理，得到，代入已知等式，展开化简合并，得，最后讨论当时与时，分别对的形状加以判断，可以得到结论.【详解】（1）因为，，所以由余弦定理得：，即，整理得，因为，所以，即，所以，当且仅当时取等号，则的最大值为.（2）由，所以，化简得，即，所以或，因为与都为三角形内角，所以或，所以是直角三角形或等腰三角形.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，利用基本不等式求最值，三角形的面积公式，三角形形状的判断，属于简单题目.19.某城市自2014年至2019年每年年初统计得到的人口数量如表所示.（1）设第年的人口数量为（2014年为第1年），根据表中的数据，描述该城市人口数量和2014年至2018年每年该城市人口的增长数量的变化趋势；（2）研究统计人员用函数拟合该城市的人口数量，其中的单位是年.假设2014年初对应，的单位是万.设的反函数为，求的值（精确到0.1），并解释其实际意义.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据表中的数据可得从2014年到2019年人口增加的数量，逐年增多，从2017年后，增加的人数逐年减少，但人口总数是逐年增加的；（2）根据函数的表达式，以及反函数的定义，代值计算即可.【详解】（1），，，，，由上述计算可知，该地区2014年至2019年每年人口增长数量呈先增后减的变化趋势，每一年任可总数呈逐渐递增的趋势；（2）因为为单调递减函数，则为单调递增函数，则，代入，解得，即，其实际意义为：可根据数学模型预测人口数量增长规律，及提供有效依据，到2022年人口接近2440万.【点睛】该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有利用表格判断其变化趋势，利用题中所给的函数解析式，计算相关的量，反函数的定义，属于中档题目.20.给定椭圆：，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“伴椭圆”，若椭圆的一个焦点为，其短轴上一个端点到的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）过点作椭圆的“伴随圆”的动弦，过点、分别作“伴随圆”的切线，设两切线交于点，证明：点的轨迹是直线，并写出该直线的方程；（3）设点是椭圆的“伴随圆”上的一个动点，过点作椭圆的切线、，试判断直线、是否垂直？并说明理由.【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.【解析】【分析】（1）由题意可得，，则，从而得到椭圆C的方程；（2）根据题意，求得，分直线的斜率存在与不存在两种情况，将斜率存在时求得的直线，对斜率不存在时求得的点P的坐标进行检验，最后求得结果.（3）讨论当P在直线上时，设出直线方程，联立椭圆方程，消去，得到关于的方程，运用判别式为0，化简整理，得到关于的方程，求出连根之积，判断是否为，即可判断垂直.【详解】（1）依题意得：，所以，所以椭圆方程为：；（2）由题意可得伴随圆的方程为，点为，所以，当过点P的直线斜率不存在时，则，可求得，此时，当过点P的直线斜率存在时，设直线方程为：，设，，则经过各自的切线方程为：，把代入，解得，消，得到，当不存在时，也满足方程，所以点的轨迹是一条直线，且方程为；（3）当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，因与椭圆只有一个公共点，则其方程为：，此时经过点或，则直线的方程为：，经检验，满足垂直关系；当斜率都存在时，设点，因为点P在伴随圆上，所以有，设经过点，且与椭圆只有一个公共点的直线方程为：，联立椭圆方程，，消化简得，因为相切，所以，即：，又因为，所以，所以，所以直线，从而得证.【点睛】该题考查的是与解析几何相关的创新的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解，新定义的问题，圆的方程，直线与圆的位置关系，两直线垂直的条件，属于难题.21.对于无穷数列，“若存在，必有”，则称数列具有性质.（1）若数列满足，判断数列是否具有性质？是否具有性质？（2）对于无穷数列，设，求证：若数列具有性质，则必为有限集；（3）已知是各项均为正整数的数列，且既具有性质，又具有性质，是否存在正整数，，使得，，，…，，…成等差数列.若存在，请加以证明；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】【分析】（1）根据题中所给条件，利用定义判断可得数列不具有性质，具有性质；（2）根据数列具有性质，得到数列元素个数，从而证得结果；（3）依题意，数列是各项为正数的数列，且既具有性质，又具有性质，可证得存在整数，使得是等差数列.【详解】（1）因为，，但，所以数列不具有性质，同理可得数列具有性质；（2）因为数列具有性质，所以一定存在一组最小的且，满足，即，由性质的含义可得，，，，所以数列中，从第项开始的各项呈现周期性规律：为一个周期中的各项，所以数列中最多有个不同的项，所以最多有个元素，即为有限集；（3）因为数列具有性质，又具有性质，所以存在，使得，其中分别是满足上述关系式的最小的正整数，由性质的含义可得，若，则取，可得，若，则取，可得，记，则对于，有，显然，由性质的含义可得：，所以，所以，又满足的最小的正整数，所以，，所以，所以，取，所以，若是偶数，则，若是奇数，则，所以，，所以是公差为1的等差数列.【点睛】该题考查的是有关与数列相关的创新题，涉及到的知识点有对新定义的理解，属于难题.2019届高三数学三模考试试题（含解析）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.已知全集，集合，则______.【答案】.【解析】【分析】利用补集的概念得答案.【详解】因为全集，集合，所以，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关集合的运算问题，涉及到的知识点有求已知集合的补集，属于简单题目.2.四个数据：1，3，3，5的标准差是______.【答案】.【解析】【分析】先求出这组数据的平均数，再根据方差公式求出方差，再求出其算术平方根即为标准差.【详解】这组数据的平均数是：，方差为，标准差为，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关求一组数据的标准差的问题，正确使用公式是解题的关键，属于简单题目.3.已知函数偶函数，且，则______.【答案】5.【解析】【分析】设，利用函数的奇偶性建立方程即可得结果.【详解】因为是偶函数，所以设，则，即，因为，所以，即，故答案是：5.【点睛】该题考查的是有关根据条件求函数值的问题，涉及到的知识点有偶函数的定义和性质，以及整体思维的应用，属于简单题目.4.抛物线上一点到焦点的距离为5，则点的横坐标是______.【答案】【解析】试题分析：．考点：抛物线及其性质．5.已知一个半球的俯视图是半径为1的圆，则半球的表面积为______.【答案】.【解析】【分析】根据一个半球的俯视图是半径为1的圆，可以确定该半球对应的球的半径为1，结合半球的表面积由半球面和一个大圆的面积和求得结果.【详解】因为一个半球的俯视图是半径为1的圆，所以该半球对应的球的半径为1，所以该半球的表面积为，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关半球的表面积的问题，涉及到的知识点有俯视图，表面积公式，属于简单题目.6.对数不等式的解集是，则实数的值为______.【答案】2.【解析】【分析】先解出不等式，再结合已知解集，可得结果.【详解】将对数不等式两边同时乘以，得，即，所以此不等式的解为：或，因为其解集为，所以，故答案是：2.【点睛】该题考查的是有关根据不等式的解集求参数值的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法和对数不等式的解法，属于简单题目.7.若无穷等比数列的各项和为2，则首项的取值范围为______.【答案】.【解析】【分析】首先根据无穷等比数列的各项和为2，可以确定其公比满足，利用等比数列各项和的公式得到，得到，分和两种情况求得的取值范围，得到结果.【详解】因为无穷等比数列的各项和为2，所以其公比满足，且，所以，当时，，当时，，所以首项的取值范围为，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关等比数列各项和的问题，涉及到的知识点有等比数列存在各项和的条件，各项和的公式，注意分类讨论，属于简单题目.8.已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．【答案】【解析】试题分析：，由正弦定理得.考点：解三角形，三角形外接圆.9.已知关于的实系数方程的两虚数根为、，且满足，则的值为______.【答案】5.【解析】【分析】首先利用求根公式将两根和求出来，之后求得，最后利用复数模的公式，求得的值.详解】解方程，可得，所以，所以，所以，解得，故答案是：5.【点睛】该题考查的是有关实系数方程的根求解问题，涉及到的知识点有求根公式的应用，复数模的公式，属于简单题目.10.从集合中任取两个数，欲使取到的一个数大于，另一个数小于（其中）的概率是，则__.【答案】4或7.【解析】【分析】先求出所有的基本事件有45种，再求出取到的一个数大于，另一个数小于的基本事件有种，根据古典概型概率公式即可得到关于的方程解得即可.【详解】从集合中任取两个数的基本事件有种，取到的一个数大于，另一个数小于，比小的数有个，比大的数有个，故一共有个基本事件，由题意可得，即，整理得，解得或，故答案是：4或7.【点睛】该题考查的是有关古典概型概率求解问题，涉及到的知识点有实验对应的基本事件数的求解，古典概型概率公式，属于简单题目.11.若，，，且，，则的值为______．【答案】【解析】【分析】首先对所给的方程进行恒等变形，然后结合函数的单调性和角度的范围求得的值，然后求解三角函数值即可.【详解】∵，∴(−2β)3−2sinβcosβ−2λ=0，即(−2β)3+sin(−2β)−2λ=0.由可得.故−2β和是方程x3+sinx−2λ=0的两个实数解.再由，，，所以和的范围都是，由于函数x3+sinx在上单调递增，故方程x3+sinx−2λ=0在上只有一个解，所以，，∴，则的值为.【点睛】本题主要考查函数的单调性，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.已知，函数的图像的两个端点分别为、，设是函数图像上任意一点，过作垂直于轴的直线，且与线段交于点，若恒成立，则的最大值是______.【答案】.【解析】【分析】由的坐标可以将直线的方程找到，通过点的坐标可以得到的坐标，将其纵坐标作差可以得到关于的不等式，通过求范围可以将绝对值去掉，由基本不等式可以得到的最大值.【详解】因为，，所以，所以直线的方程为，设，所以，因为恒成立，所以恒成立，所以，因为在时小于等于0恒成立，所以，①当或时，显然成立；②当时，，所以由基本不等式得，此时，所以的最大值为，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关根据恒成立求对应参数的取值范围的问题，在解题的过程中，主意对题中条件的转化，应用基本不等式求最值，属于较难题目.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13.已知与均为单位向量，其夹角为，则命题：是命题：的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不是充分条件也不是必要条件【答案】C【解析】【分析】根据向量模长与向量数量积的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】由得，即，因为与均为单位向量，所以，即，则，即成立，反之，当时，，，从而可以得到，所以是的充要条件，故选C.【点睛】该题考查的是有关充分必要条件的问题，涉及到的知识点有向量的模的平方与向量的平方是相等的，单位向量的模为1，向量夹角的余弦公式，属于简单题目.14.设，则的值为（）A. 2B. 0C.D. 1【答案】C【解析】【分析】分别令和即可求得结果.【详解】令，可得：令，可得：本题正确选项：【点睛】本题考查二项展开式系数和的相关计算，关键是采用赋值的方式构造出所求式子的形式.15.已知，是关于的方程的两个实数根，则经过两点，的直线与双曲线公共点的个数是（）A. 2B. 1C. 0D. 不确定【答案】D【解析】【分析】首先根据韦达定理，得到两根和与两根积，利用斜率坐标公式求得，利用点斜式将直线方程写出来，从而确定出直线过定点，再由判别式大于零，求得的范围，进而得到直线与双曲线焦点的个数有1个或两个，从而得到结果.【详解】因为，是关于的方程的两个实数根，所以，且，，又因为，所以直线的方程为：，即，即，即，所以直线恒过点，因为方程的两个实数根，所以，解得或，因为直线过点，且斜率为，所以当时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点，其余情况都有两个交点，所以直线与双曲线的交点的个数是不确定的，故选D.【点睛】该题考查的是有关判定直线与双曲线交点个数的问题，涉及到的知识点有直线的斜率公式，直线过定点问题，过某个点的直线与双曲线的交点个数，属于较难题目.16.在平面上，，，.若，则的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先由0得，再由推理得，再计算2－，最后根据推理得的取值范围.【详解】∵，∴＝＝0，∴.∵，∴，∴. ∴，∵，∴＋2＝2＋＋2(－)＝2－，∵，∴0≤，∴0≤，∴，即||∈.故答案：D【点睛】(1)本题主要考查向量的运算和向量的数量积的计算，考查向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题关键的地方有两点，其一是由0得，其二是由推理得，本题属于难题.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17.如图，已知正方体的棱长为2，、、分别为棱、、的中点.（1）求三棱锥的体积；（2）求直线与平面所成角的大小.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）观察分析几何体的特征，利用椎体的体积公式求得结果；（2）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用向量所成角的余弦值求得线面角的正弦值，利用反正弦求得结果.【详解】（1）根据题意，可得；（2）如图建立空间直角坐标系，则有，所以，，设平面的法向量为，所以有，即，取，则有，所以平面的一个法向量为，所以，所以求直线AB与平面PQR所成角的正弦值是，所以直线AB与平面PQR所成角的大小为.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有椎体的体积，应用空间向量求线面角的正弦值，利用反三角表示角的大小，属于简单题目.18.在中，角、、所对的边分别为、、.（1）若，，求面积的最大值；（2）若，试判断的形状.【答案】（1）；（2）直角三角形或等腰三角形.【解析】【分析】（1）利用余弦定理列出关系式，将，代入，整理后利用基本不等式求出的最大值，即可确定出三角形面积的最大值；（2）根据三角形内角和定理，得到，代入已知等式，展开化简合并，得，最后讨论当时与时，分别对的形状加以判断，可以得到结论.【详解】（1）因为，，所以由余弦定理得：，即，整理得，因为，所以，。

2019徐州市高三第三次调研数学试卷及答案

2019徐州市高三第三次调研数学试卷及答案

徐州市2019年高三第三次质量检测数学试卷徐州市2019年高三第三次质量检测数学附加题徐州市2019年高三年级第三次调研考试数学Ⅰ答案及评分标准一、填空题：1． 1i - 2．(4,3,7)-- 3．0 4．50 5．16 6．137．502 8．23 910．10 11．32π12．4y =或4091640x y --= 13.3π 14. [)2,2,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦二、解答题:15. (1)1cos(2)1cos(2)133()sin 2222x x f x x π2π--+-=++………………………………2分 11(sin 2cos2)2x x =+-)14x π-+，………………………………4分当2242x k ππ-=π+，即3,8x k k π=π+∈Z 时，……………………………………6分()f x1.………………………………………………………………8分 (2)由222242k x k ππππ--π+≤≤，即3,88k x k k πππ-π+∈Z ≤≤，又因为0x π≤≤，所以所求()f x 的增区间为3[0,],[,π]88π7π.……………………14分16.（1）连接EC ，交BF 于点O ，取AC 中点P ，连接,PO PD ，可得PO ∥AE ，且12PO AE =，而DF ∥AE ，且12DF AE =，所以DF ∥PO ， 且DF PO =，所以四边形DPOF 为平行四边形，所以FO ∥PD ，即BF ∥PD ，又PD ⊂平面ACD ，BF ⊄平面ACD ，所以BF ∥平面ACD .……………………………………………8分(2)二面角A EF C --为直二面角，且AE EF ⊥，所以AE ⊥平面BCFE ， 又BC ⊂平面BCFE ，所以AE BC ⊥，又BC BE ⊥，BE AE E =，所以BC ⊥平面AEB ，所以BC 是三棱锥C ABE -的高，同理可证CF 是四棱锥C AEFD -的高，……………………………………………10分B C F D E A OP所以多面体ADFCBE 的体积111110222(12)2232323C ABE C AEFD V V V --=+=⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯=.………………14分17. (1)连接RA ，由题意得，RA RP =，4RP RB +=，所以42RA RB AB +=>=，…………………………………………………………2分由椭圆定义得，点R 的轨迹方程是22143x y +=.……………………………………4分(2)设M 00(,)x y ，则00(,)N x y --，,QM QN 的斜率分别为,QM QN k k ， 则002QM y k x =-，002NQ y k x =+，………………………………………………………6分 所以直线QM 的方程为00(2)2y y x x =--，直线QN 的方程00(2)2y y x x =-+，…8分 令(2)x t t =≠，则001200(2),(2)22y y y t y t x x =-=--+，……………………………10分 又因为00(,)x y 在椭圆2200143x y +=，所以2200334y x =-， 所以222022********(3)(2)34(2)(2)444x t y y y t t x x --⋅=-==----，其中t 为常数.……14分 18.（1）因为29y x=，所以229y x '=-，所以过点P 的切线方程为222()99y x t t t -=--，即22499y x t t=-+，…………2分令0x =，得49y t=，令0y =，得2x t =.所以切线与x 轴交点(2,0)E t ，切线与y 轴交点4(0,)9F t .………………………4分①当21,41,912,33t tt ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤≤即4192t ≤≤时，切线左下方的区域为一直角三角形， 所以144()2299f t t t =⨯⨯=.…………………………………………………………6分②当21,41,912,33t tt ⎧⎪>⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤ 即1223t <≤时，切线左下方的区域为一直角梯形， 22144241()()12999t t f t t t t --=+⋅=，……………………………………………………8分 ③当21,41,912,33t tt ⎧⎪⎪⎪>⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤即1439t <≤时,切线左下方的区域为一直角梯形, 所以221499()(2)12224t t f t t t t -=+⋅=-.综上229142,,439441(),,9924112,.923t t t f t t t t t ⎧-<⎪⎪⎪=⎨⎪-⎪<⎪⎩≤≤≤≤……………………………………………………10分(2)当1439t <≤时, 29()24f t t t =- 29444()4999t =--+<，……………………………12分当1223t <≤时, 241()9t f t t -=21144(2)999t =--+<，………………………………14分所以max 49S =．…………………………………………………………………………16分19．（1）由2()ln f x x a x =-，得22()x a f x x-'=，………………………………………2分由1()g x x a ='()g x =(1)(1)f g ''=，即222aa a --=，故2a =，或12a =．………………………………………………4分 所以当2a =时，2()2ln f x x x =-,1()2g x x =当12a =时，21()ln 2f x x x =-，()2g x x =-6分（2）当1a >时，21()()()2ln 2h x f x g x x x x =-=--212(1)(1)'()22x xh x xx x-+=--+=1)=-⎣⎦，………………………………………8分由0x>，得4(1)2xx+>，故当(0,1)x∈时，()0h x'<,()h x递减，当(1,)x∈+∞时，()0h x'>,()h x递增,所以函数()h x的最小值为13(1)12ln1122h=--+=．…………………10分（3）12a=，21()ln2f x x x=-,()2g x x=当11[,)42x∈时,21()ln2f x x x=-,2141'()2022xf x xx x-=-=<，()f x在1142⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数，111()()ln20242f x f=+>≥，………………………12分当11[,)42x∈时，()2g x x=-'()20g x=>，()g x在1142⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数，1()()12g x g=≤，且1()()04g x g=≥．……14分要使不等式()()f x mg x⋅≥在11,42x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，当14x=时，m为任意实数；当11(,]42x∈时，()()f xmg x≤，而min1()()21()()2ff xg x g⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.所以(2ln(4e)4m≤.……………………………………………………………16分20.⑴由条件知：11-=nnqaa，12q<<，01>a，所以数列{}n a是递减数列，若有k a，m a，n a()k m n<<成等差数列，则中项不可能是ka（最大），也不可能是na（最小），………………………………2分若 k n k m n k m q q a a a --+=⇔+=122，（*）由221m k q q -<≤, 11>+-k h q ，知(* )式不成立，故k a ，m a ，n a 不可能成等差数列. ………………………………………………4分⑵(i)方法一： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=--=----++45)21()1(21121121q q a q q qa a a a k k k k k ，……6分 由)1,41(45)21(2∈++-q 知， 121k k k k k a a a a a ++---<<<， 且>>>--++++3221k k k k k a a a a a … ，………………………………………………8分所以121+++=--k k k k a a a a ，即0122=-+q q ，所以12-=q ，………………………………………………………………………10分方法二：设12k k k m a a a a ++--=，则21m k q q q ---=，…………………………………6分 由211,14q q ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭知1m k -=，即1m k =+， ……………………………………8分 以下同方法一. …………………………………………………………………………10分 (ii) nb n 1=，………………………………………………………………………………12分 方法一：nS n 131211++++= ， )131211()31211()211(1nT n +++++++++++= nn n n n n )1(3221--++-+-+= )1433221()131211(nn n n -++++-++++= )]11()411()311()211[(nnS n -++-+-+--= )]13121()1[(nn nS n +++---= )]131211([nn nS n ++++--= n n S n nS +-=(1)n n S n =+-，所以2011201120122011T S =-.…………………………………………………16分 方法二：11111312111++=++++++=+n S n n S n n 所以 1(1)(1)1n n n S n S ++-+=，所以1(1)1n n n n S nS S ++-=+，12112+=-S S S ，123223+=-S S S ，… …1)1(1+=-++n n n S nS S n ，累加得n T S S n n n +=-++11)1(，所以1(1)1(1)(1)()1n n n n n T n S n n S n n S b n +=+--=+-=++--1(1)()11n n S n n =++--+ (1)n n S n =+-， 所以2011201120122011T S =-. ……………………………………………………16分徐州市2011届高三年级第三次调研考试数学Ⅱ（附加题）答案及评分标准21．【选做题】A ．选修4－1：几何证明选讲(1)因为EF ∥CB ，所以BCE FED ∠=∠，又BAD BCD ∠=∠，所以BAD FED ∠=∠，又EFD EFD ∠=∠，所以△DEF ∽△EFA ．……………………………………6分（2）由（1）得，EF FD FA EF=，2EF FA FD =⋅． 因为FG 是切线，所以2FG FD FA =⋅，所以1EF FG ==．…………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换（1）1005⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ．………………………………………………………………………2分 设(,)x y ''是所求曲线上的任一点，1005x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以,5,x x y y '=⎧⎨'=⎩所以,1,5x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩代入4101x y -=得，421x y ''-=， 所以所求曲线的方程为124=-y x ．……………………………………………4分（2）矩阵M 的特征多项式10()(1)(5)005f λλλλλ-==--=-， 所以M 的特征值为5,121==λλ．………………………………………………6分当11=λ时，由111λ=M αα，得特征向量110⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α； 当52=λ时，由222λ=M αα，得特征向量201⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α．………………………10分 C ．选修4－4：坐标系与参数方程（1）228150x y y +-+=．…………………………………………………………4分（2）当34απ=时，得(2,1)Q -，点Q 到1C， 所以PQ1．………………………………………………10分D ．选修4—5：不等式选讲 由2()a b a bf x a+--≥，对任意的,a b ∈R ，且0a ≠恒成立， 而223a b a ba b a b a a +--++-=≤，()3f x ≥，即113x x -++≥， 解得32x -≤，或32x ≥，所以x 的范围为33,22x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤或≥． …………10分 22．(1)以1,,CA CB CC 分别为x y z ,,因为3AC =,4BC =，14AA =，所以(300)A ，，， (0,4,0)B ，(000)C ，，，1(0,0,4)C =，所以1(3,0,4)AC =-，因为AD AB λ=，所以点(33,4,0)D λλ-+，所以(33,4,0)CD λλ=-+，因为异面直线1AC 与CD 所成角的余弦值为925，所以19|cos ,|25AC CD <>==，解得12λ=．……………4分 (2)由（1）得1(044)B ，，，因为 D 是AB 的中点，所以3(20)2D ，，， 所以3(20)2CD =，，，1(044)CB =，，，平面11CBB C 的法向量 1n (1,0,0)=， 设平面1DB C 的一个法向量2000(,,)x y z =n ，则1n ，2n 的夹角（或其补角）的大小就是二面角1D CB B --的大小, 由2210,0,CD CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0000320,2440,x y y z ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩令04x =，则03y =-，03z =，所以2n (4,3,3)=-，121212cos ||||⋅<>===⋅，n n n n n n 所以二面角1D B C B --…………………………………10分 23.（1）要想组成的三位数能被3整除，把0,1,2,3，…，9这十个自然数中分为三组：0,3,6,9；1,4,7；2,5,8．若每组中各取一个数，含0，共有1112332236=C C C A 种；若每组中各取一个数不含0，共有11133333=162C C C A 种；若从每组中各取三个数，共有322233223=30A +C A A 种.所以组成的三位数能被3整除，共有36+162+30=228种.………………………6分（2）随机变量ξ的取值为0,1,2，ξ的分布列为：所以ξ的数学期望为77130121515155E ξ=⨯+⨯+⨯=.……………………………10分。

2019年江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学三模试卷

2019年江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学三模试卷

2019年江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学三模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A={x|x<1}，B={x|0<x<3}，则A∩B=________．【答案】(0,1)【考点】交集及其运算【解析】进行交集的运算即可．【解答】解：∵A={x|x<1}，B={x|0<x<3}，∴A∩B=(0,1)．故答案为：(0,1).2. 已知复数z=3+4i5i，其中i是虚数单位，则|z|=________．【答案】1【考点】复数的模【解析】直接由商的模等于模的商求解．【解答】解：∵z=3+4i5i，∴|z|=|3+4i5i |=|3+4i||5i|=55=1．故答案为：1.3. 已知双曲线C的方程为x24−y2=1，则其离心率为________．【答案】√52【考点】双曲线的离心率【解析】直接利用双曲线的标准方程，求出a，c，即可求解离心率．【解答】解：双曲线C的方程为x24−y2=1，可得a=2，b=1，则c=√a2+b2=√5，所以双曲线的离心率为e=ca =√52．故答案为：√52.4. 根据如图所示的伪代码，最后输出的i的值为________．【答案】8【考点】伪代码【解析】模拟程序的运行过程，即可得出程序结束后输出的i值．【解答】解：模拟程序的运行过程，如下，T=1，i=2，满足T<6；T=2，i=4，满足T<6；T=4，i=6，满足T<6；T=8，i=8，不满足T<6，输出i=8．故答案为：8.5. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4:4:3，现按年级用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级的学生数为15，则抽取的样本容量为________．【答案】55【考点】分层抽样方法【解析】根据分层抽样得特点知，抽取的样本中，高一，高二，高三的人数之比也为4:4:3可得．【解答】解：依题意得抽取的样本容量为：1534+4+3=55.故答案为：55.6. 口装中有形状大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4．若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之积大于6的概率为________．【答案】13【考点】排列、组合的应用古典概型及其概率计算公式从袋中随机抽取两个球，基本事件总数n =C 42=6，利用列举法取出的两个球的编号之积大于6包含的基本事件(a, b)有2个，由此能取出的两个球的编号之积大于6的概率． 【解答】解：口装中有形状大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4， 从袋中随机抽取两个球，基本事件总数n =C 42=6，取出的两个球的编号之积大于6包含的基本事件(a, b)有： (2, 4)，(3, 4)，共2个，∴ 取出的两个球的编号之积大于6的概率为P =26=13． 故答案为：13.7. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6=2a 2，则S12S 8=________．【答案】 73【考点】等比数列的前n 项和 【解析】设等比数列{a n }的公比是q ，所以a 6a 2=q 4＝2，所以S12S 8=a 1(1−q 12)1−q a 1(1−q 8)1−q=1−q 121−q 8=1+q 4+q 81+q 4，将q 4＝2代入即可． 【解答】解：因为数列{a n }是等比数列，设其公比为q ．所以a6a 2=q 4=2，所以q ≠1， 所以S 12S 8=a 1(1−q 12)1−q a 1(1−q 8)1−q=1−q 121−q 8=1−(q 4)31−(q 4)2=1−81−4=73．故答案为：73.8. 函数f(x)=cos(ωx −π3)(ω>0)的图象关于直线x =π2对称，则ω的最小值为________． 【答案】 23【考点】余弦函数的对称性根据函数的对称性建立方程关系，求出ω的表达式，进行求解即可．【解答】解：∵f(x)=cos(ωx−π3)(ω>0)的图象关于直线x=π2对称，∴π2ω−π3=kπ+π，即ω=2k+83，∵ω>0，∴当k=−1时，ω取得最小值为−2+83=23.故答案为：23.9. 已知正实数a，b满足a+b=1，则2a2+1a +2b2+4b的最小值为________．【答案】11【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】根据基本不等式即可求出最小值．【解答】解：∵a+b=1，∴2a2+1a +2b2+4b=2a+2b+1a+4b=2+1a+4b，∵1a +4b=(1a+4b)(a+b)=1+4+ba+4ab≥5+2√ba⋅4ab=5+4=9，当且仅当ba =4ab时，即a=13，b=23时取等号，故2a2+1a +2b2+4b≥2+9=11.故答案为：11.10. 已知偶函数f(x)的定义域为R，且在[0, +∞)上为增函数，则不等式f(3x)>f(x2+ 2)的解集为________．【答案】(−2, −1)∪(1, 2)【考点】抽象函数及其应用函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得，f(3x)>f(x2+2)⇒f(|3x|)>f(x2+2)⇒|3x|>x2+2，由绝对值的定义可得{3x>x 2+2x≥0或{−3x>x2+2x<0，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f(x)为偶函数且其定义域为R ，且在[0, +∞)上为增函数， 则f(3x)>f(x 2+2)⇒f(|3x|)>f(x 2+2)⇒|3x|>x 2+2，则有{3x >x 2+2x ≥0 或{−3x >x 2+2x <0，解得：−2<x <−1或1<x <2， 即不等式的解集为(−2, −1)∪(1, 2). 故答案为：(−2, −1)∪(1, 2).11. 过直线l:y =x −2上任意点P 作圆C:x 2+y 2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，当切线最小时，△PAB 的面积为________． 【答案】12【考点】 圆的切线方程 【解析】由题意画出图形，可得切线最小时的P 点，进一步求得PA ＝PB ＝1，∠APB ＝90∘，则答案可求． 【解答】解：根据题意，如图，要使切线长最小，则|OP|最小，过O 作直线y =x −2的垂线，则垂足为P ，可得|OP|=√2， ∴ A ，B 为圆C:x 2+y 2=1与两坐标轴的交点， 则PA =PB =1，∠APB =90∘， ∴ △PAB 的面积为12×1×1=12． 故答案为：12.12. 已知点P 在曲线C:y =12x 2上，曲线C 在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线C 的另一交点为Q ，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则点P 的纵坐标为________． 【答案】 1【考点】直线与抛物线结合的最值问题 简单复合函数的导数 平面向量数量积的运算【解析】 设P(m, m 22)，求出直线PQ 的方程，根据根与系数的关系和OP →⋅OQ →=0列方程计算m 的值即可得出答案． 【解答】 解：由y =x 22可得y′=x ，设P(m, m 22)，则切线l 的斜率为m ，故直线PQ 的方程为：y −m 22=−1m (x −m)联立方程组{y −m 22=−1m (x −m)y =x 22 ， 消去y 可得：x 2+2m x −m 2−2=0， 设Q(n, n 22)，则mn =−m 2−2，∵ OP ⊥OQ ， ∴ OP →⋅OQ →=0， 即mn +m 2n 24=0，∴ mn =0（舍）或mn =−4， ∴ −m 2−2=−4，即m 2=2． ∴ P 点纵坐标为m 22=1．故答案为：1.13. 如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠CAB =90∘，AB =2，以AB 为直径在△ABC 外作半圆O ，P 为半圆弧AB 上的动点，点Q 在斜边BC 上，若AB →⋅AQ →=83，则AQ →⋅CP →的最小值为________．【答案】−2√53【考点】两角和与差的余弦公式 三角函数的最值 数量积的坐标表达式平面向量的坐标运算 【解析】以O 为原点建立直角坐标系，求得A ，B ，C 的坐标，以及直线BC 的方程，设出Q 的坐标，由数量积的坐标表示，解得Q 的坐标，再设P(cosα, sinα)，0≤α≤π，由数量积的坐标表示和两角和的余弦公式，余弦函数的值域可得最小值． 【解答】解：如图，以O 为原点建立直角坐标系，可得A(−1, 0)，B(1, 0)，C(−1, −2)， 即有直线BC 的方程为y =x −1， 可设Q(m, m −1)，∵ AB →⋅AQ →=83，即(2, 0)⋅(m +1, m −1)=2(m +1)=83，解得m =13，即Q(13, −23)， 设P(cosα, sinα)，0≤α≤π，可得AQ →⋅CP →=(43, −23)⋅(cosα+1, sinα+2)=43cosα+43−23sinα−43=23(2cosα−sinα)=2√53cos(α+θ)，θ∈(0, π2)，当cos(α+θ)=−1即α+θ=π时， 可得AQ →⋅CP →的最小值为−2√53． 故答案为：−2√53.14. 已知e 为自然对数的底数，函数f(x)=e x −ax 2的图象恒在直线y =32ax 上方，则实数a 的取值范围为________． 【答案】(−2e, 0] 【考点】利用导数研究函数的最值 利用导数研究函数的单调性 【解析】将函数f(x)＝e x −ax 2的图象恒在直线y =32ax 上方转化为e x >ax 2+32ax 对一切实数x 恒成立，然后分a >0，a ＝0，a <0分别求解． 【解答】解：∵ 函数f(x)=e x −ax 2的图象恒在直线y =32ax 上方，∴ e x −ax 2−32ax >0对一切实数x 恒成立，即e x >ax 2+32ax 对一切实数x 恒成立， 设g(x)=e x ，ℎ(x)=ax 2+32ax ，则①当a >0时，ℎ(x)开口向上，根据ℎ(x)和g(x)的图象易知，当a >0时g(x)>ℎ(x)不恒成立，②当a =0时，g(0)=1>ℎ(0)=0，因此g(x)>ℎ(x)恒成立③当a <0时，e x >ax 2+32ax 对一切实数x 恒成立，即1a <x 2+32xe x对一切实数x 恒成立， 令F(x)=x 2+32xex ，则F ′(x)=−2x 2+x+32e x =−(2x−3)(x+1)2e x，令F(x)=0，则x =−1或x =32， ∴ 当x <−1或x >32时，F ′(x)<0， 当−1<x <32时，F ′(x)>0，∴ F(x)在(−∞, −1)和(32, +∞)上单调递减，在(−1, 32)上单调递增， 又当x >0时，F(x)>0， ∴ F(x)min =F(−1)=−e2， ∴ 要使1a<x 2+32xe x对一切实数x 恒成立，只需1a <F(x)min =−e2，∴ a >−2e ，又a <0，∴ −2e <a <0， 综上，a 的取值范围为(−2e , 0]． 故答案为：(−2e , 0].二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．如图，在三棱锥P −ABC 中，过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，E ，F 分别是PD ，PC 的中点，且平面PAB ⊥平面PCD ．(1)求证：EF // 平面ABC；(2)求证：CE⊥AB．【答案】证明：(1)∵E，F分别是PD，PC的中点，∴EF是△PCD的中位线，则有EF // CD，又EF平面ABC，CD⊂平面ABC，∴EF // 平面ABC．(2)∵平面PAB⊥平面PCD，平面PAB∩平面PCD=PD，AB⊥PD，AB⊂平面PAB，∴AB⊥平面PCD，又CE⊂平面PCD，则CE⊥AB．【考点】直线与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】（1）推导出EF是△PCD的中位线，从而EF // CD，由此能证明EF // 平面ABC．（2）推导出AB⊥PD，从而AB⊥平面PCD，由此能证明AB⊥CE．【解答】证明：(1)∵E，F分别是PD，PC的中点，∴EF是△PCD的中位线，则有EF // CD，又EF平面ABC，CD⊂平面ABC，∴EF // 平面ABC．(2)∵平面PAB⊥平面PCD，平面PAB∩平面PCD=PD，AB⊥PD，AB⊂平面PAB，∴AB⊥平面PCD，又CE⊂平面PCD，则CE⊥AB．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且√3ac =2−cosAsinC．(1)求角A的大小；(2)若cos(B+π6)=14，求cosC的值．【答案】解：(1)∵√3ac =2−cosAsinC，∴由正弦定理可得：√3sinAsinC =2−cosAsinC，∴整理可得：√3sinA+cosA=2，即2sin(A+π6)=2，解得：sin(A+π6)=1，∵A∈(0, π)，∴A+π6∈(π6, 7π6)，∴A+π6=π2，∴A=π3．(2)在△ABC中，∵A=π3，∴B∈(0, 2π3)，即B+π6∈(π6, 5π6)，可得：sin(B+π6)>0，又∵cos(B+π6)=14，∴sin(B+π6)=√1−cos2(B+π6)=√154，在△ABC中，A+B+C=π，∴可得：cosC=−cos(A+B)=−cos(B+π3)=−cos[(B+π6)+π6]=−cos(B+π6)cosπ6+sin(B+π6)sinπ6=−√32×14+12×√154=√15−√38．【考点】两角和与差的余弦公式正弦定理同角三角函数间的基本关系【解析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin(A+π6)＝1，结合范围A∈(0, π)，可得A+π6=π2，从而解得A的值．（2）利用同角三角函数基本关系式可求sin(B+π6)的值，利用三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式可求cosC的值．【解答】解：(1)∵√3ac =2−cosAsinC，∴由正弦定理可得：√3sinAsinC =2−cosAsinC，∴整理可得：√3sinA+cosA=2，即2sin(A+π6)=2，解得：sin(A+π6)=1，∵A∈(0, π)，∴A+π6∈(π6, 7π6)，∴A+π6=π2，∴A=π3．(2)在△ABC中，∵A=π3，∴B∈(0, 2π3)，即B+π6∈(π6, 5π6)，可得：sin(B+π6)>0，又∵cos(B+π6)=14，∴sin(B+π6)=√1−cos2(B+π6)=√154，在△ABC中，A+B+C=π，∴可得：cosC=−cos(A+B)=−cos(B+π3)=−cos[(B+π6)+π6]=−cos(B+π6)cosπ6+sin(B+π6)sinπ6=−√32×14+12×√154=√15−√38．某工厂拟制造一个如图所示的容积为36π立方米的有盖圆锥形容器．(1)若该容器的底面半径为6米，求该容器的表面积；(2)当容器的高为多少米时，制造该容器的侧面用料最省？【答案】解：(1)设圆锥形容器的高为ℎ，则容器的体积V=13⋅π⋅62⋅ℎ=36π，解得ℎ=3．∴圆锥容器的母线长为√9+36=3√5，∴圆锥容器的表面积为π⋅62+π⋅6⋅3√5=(36π+18√5π)平方米．(2)由V=13πr2ℎ=36π可得r2=108ℎ，故圆锥的母线l=√r2+ℎ2=√108ℎ+ℎ2，∴容器的侧面积S=πrl=π√108ℎ√108ℎ+ℎ2=π√108√108ℎ2+ℎ，∵108ℎ2+ℎ=108ℎ2+ℎ2+ℎ2≥3√108ℎ2⋅ℎ2⋅ℎ23=9，当且仅当108ℎ2=ℎ2即ℎ=6时取等号，∴ 当ℎ=6时，S 取得最小值，即制造该容器的侧面用料最省． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 【解析】（1）根据体积公式计算容器高，计算母线长，再计算出侧面积和第面积即可； （2）用高ℎ表示出侧面积，利用基本不等式得出侧面积最小时对应的ℎ的值即可． 【解答】解：(1)设圆锥形容器的高为ℎ，则容器的体积V =13⋅π⋅62⋅ℎ=36π， 解得ℎ=3．∴ 圆锥容器的母线长为√9+36=3√5，∴ 圆锥容器的表面积为π⋅62+π⋅6⋅3√5=(36π+18√5π)平方米． (2)由V =13πr 2ℎ=36π可得r 2=108ℎ，故圆锥的母线l =2+ℎ2=√108ℎ+ℎ2， ∴ 容器的侧面积S =πrl =π√108ℎ√108ℎ+ℎ2=π√108√108ℎ2+ℎ，∵ 108ℎ2+ℎ=108ℎ2+ℎ2+ℎ2≥3√108ℎ2⋅ℎ2⋅ℎ23=9，当且仅当108ℎ2=ℎ2即ℎ=6时取等号， ∴ 当ℎ=6时，S 取得最小值，即制造该容器的侧面用料最省．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1(−2, 0)，A 2(2, 0)，右准线方程为x =4．过点A 1的直线交椭圆C 于x 轴上方的点P ，交椭圆C 的右准线于点D ．直线A 2D 与椭圆C 的另一交点为G ，直线OG 与直线A 1D 交于点H ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若HG ⊥A 1D ，试求直线A 1D 的方程；(3)如果A 1H →=λA 1P →，试求λ的取值范围．【答案】解：(1)由椭圆的左、右顶点分别为A 1(−2, 0)，A 2(2, 0)， 右准线方程为x =4， 可得a =2，a 2c =4，43(2)设直线A 1D:y =k(x +2)，(k >0)，则与右准线x =4的交点D(4, 6k)， 又A 2(2, 0)，所以设直线A 2D:y =3k(x −2)， 则{y =3k(x −2)x 24+y 23=1 ，解得：G(24k 2−21+12k 2, −12k1+12k 2)， 则直线OG 的斜率为k OG =−6k12k 2−1， ∵ HG ⊥A 1D ，∴ −6k12k 2−1⋅k ＝−1，又k >0，解得k =√66，则直线A 1D 的方程为y =√66(x +2)．(3)由(2)中可知，设直线OG:y =−6k12k 2−1x ， 联立可得{y =−6k12k 2−1xy =k(x +2)，解得：H(−24k 2+212k 2+5, 12k12k 2+5)， 联立{x 24+y 23=1y =k(x +2) ，解得：P(6−8k 23+4k 2, 123+4k 2)， ∵ A 1H →=λA 1P →，∴ (x H +2, y H )=λ(x P +2, y P )， ∴ y H =λy P ， ∴ λ=y H y P =f(k)=12k 12k 2+512k 3+4k 2=3+4k 212k 2+5=112k 2+9−43+4k 2=13−43+4k 2，∵ f(k)在(0, +∞)为减函数， ∴ λ∈(13, 35)．【考点】椭圆的准线方程直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程 平面向量的坐标运算 直线的斜率 【解析】（1）由题意可得a ＝2，a 2c=4，故c ＝1，b 2＝a 2−c 2＝3，可得椭圆方程，（2）设直线A 1D:y ＝k(x +2)，再设直线A 2D:y ＝3k(x −2)，求出点G 的坐标，根据HG ⊥A 1D ，可求出k 的值，即可求出直线方程，（3）分别求出点H ，P 的坐标，根据向量的运算借助函数的单调性即可求出． 【解答】解：(1)由椭圆的左、右顶点分别为A 1(−2, 0)，A 2(2, 0)， 右准线方程为x =4， 可得a =2，a 2c=4，43(2)设直线A 1D:y =k(x +2)，(k >0)，则与右准线x =4的交点D(4, 6k)， 又A 2(2, 0)，所以设直线A 2D:y =3k(x −2)， 则{y =3k(x −2)x 24+y 23=1 ，解得：G(24k 2−21+12k 2, −12k1+12k 2)， 则直线OG 的斜率为k OG =−6k12k 2−1， ∵ HG ⊥A 1D ，∴ −6k12k 2−1⋅k ＝−1，又k >0，解得k =√66，则直线A 1D 的方程为y =√66(x +2)．(3)由(2)中可知，设直线OG:y =−6k12k 2−1x ， 联立可得{y =−6k12k 2−1xy =k(x +2)，解得：H(−24k 2+212k 2+5, 12k12k 2+5)， 联立{x 24+y 23=1y =k(x +2) ，解得：P(6−8k 23+4k 2, 123+4k 2)， ∵ A 1H →=λA 1P →，∴ (x H +2, y H )=λ(x P +2, y P )， ∴ y H =λy P ， ∴ λ=y H y P =f(k)=12k 12k 2+512k 3+4k 2=3+4k 212k 2+5=112k 2+9−43+4k 2=13−43+4k 2，∵ f(k)在(0, +∞)为减函数， ∴ λ∈(13, 35)．已知函数f(x)=x 2+(2−a)x −alnx ，其中a ∈R ．(1)如果曲线y =f(x)在x =1处的切线斜率为1，求实数a 的值；(2)若函数f(x)的极小值不超过a2，求实数a 的最小值；(3)对任意x 1∈[1, 2]，总存在x 2∈[4, 8]，使得f(x 1)=f(x 2)成立，求实数a 的取值范围． 【答案】解：(1)f(x)=x 2+(2−a)x −alnx(x >0)，则f ′(x)=(x+1)(2x−a)x．∵ 曲线y =f(x)在x =1处的切线斜率为1， ∴ f ′(1)=2(2−a)=1， ∴ a =32．(2)当a ≤0时，f ′(x)>0，∴ f(x)在(0, +∞)上单调递增， ∴ 函数f(x)在(0, +∞)上不存在极值； 当a >0时，令f ′(x)=0，则x =a2，∴ 当0<x <a2时，f ′(x)<0；当x >a2时，f ′(x)>0， ∴ f(x)在(0, a2)上单调递减，在(a2, +∞)上单调递增， ∴ f(x)=f(a2)=a 24+a −a 22−aln a 2≤a2．∵ a >0，∴ 12−a4−ln a2≤0，令g(a)=12−a4−ln a2(a >0)，则g ′(a)=−14−12a <0，∴ g(a)在(0, +∞)上单调递减，又g(2)=0，∴ 当a ≥2时，g(a)≤g(2)=0， ∴ 实数a 的最小值为2．(3)记f(x)在[1, 2]上的值域为A ，在[4, 8]上的值域为B ，由任意x 1∈[1, 2]，总存在x 2∈[4, 8]，使得f(x 1)=f(x 2)成立，知A ⊆B ． 当a2≤1或a 2≥8，即a ≤2或a ≥16时，f(x)在[1, 8]上为单调函数，不合题意； 当1<a 2≤2，即2<a ≤4时，由(2)知，f(x)在(0, a2)上单调递减，在(a2, +∞)上单调递增， ∴ f(a2)∈A ，但f(a2)∉B ，不合题意；当2<a 2≤4，即4<a ≤8时，A =[f(2), f(1)]，B =[f(4), f(8)]， 由A ⊆B ，得{f(2)≥f(4)f(1)≤f(8) ，即{8−2a −aln2≥24−4a −2aln23−a ≤80−8a −3aln2 ， ∴ {a ≥162+ln2a ≤777+3ln2 ，又4<a ≤8， ∴ 162+ln2≤a ≤8；当4<a 2<8，即8<a <16时，由A ⊆B ，得f(8)≥f(1)， ∴ a ≤777+3ln2<16， ∴ 8<a ≤777+3ln2，综上，a 的取值范围为[162+2ln2,777+3ln2]． 【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题利用导数研究曲线上某点切线方程 利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 【解析】（1）对f(x)求导后，由导数的几何意义可得f ′(1)＝2(2−a)＝1，从而求出a 的值； （2）根据函数f(x)的极小值不超过a2，对a 分类讨论，将问题转化为解关于a 的不等式，从而求出a 的最小值；（3）设f(x)在[1, 2]上的值域为A ，在[4, 8]上的值域为B ，根据任意x 1∈[1, 2]，总存在x 2∈[4, 8]，使得f(x 1)＝f(x 2)成立，知A ⊆B ，然后分情况求解可得a 的范围． 【解答】解：(1)f(x)=x 2+(2−a)x −alnx(x >0)，则f ′(x)=(x+1)(2x−a)x．∵ 曲线y =f(x)在x =1处的切线斜率为1， ∴ f ′(1)=2(2−a)=1， ∴ a =32．(2)当a ≤0时，f ′(x)>0，∴ f(x)在(0, +∞)上单调递增， ∴ 函数f(x)在(0, +∞)上不存在极值； 当a >0时，令f ′(x)=0，则x =a2，∴ 当0<x <a2时，f ′(x)<0；当x >a2时，f ′(x)>0， ∴ f(x)在(0, a2)上单调递减，在(a2, +∞)上单调递增， ∴ f(x)=f(a2)=a 24+a −a 22−aln a 2≤a2．∵ a >0，∴ 12−a4−ln a2≤0，令g(a)=12−a4−ln a2(a >0)，则g ′(a)=−14−12a <0，∴ g(a)在(0, +∞)上单调递减，又g(2)=0，∴ 当a ≥2时，g(a)≤g(2)=0， ∴ 实数a 的最小值为2．(3)记f(x)在[1, 2]上的值域为A ，在[4, 8]上的值域为B ，由任意x 1∈[1, 2]，总存在x 2∈[4, 8]，使得f(x 1)=f(x 2)成立，知A ⊆B ． 当a2≤1或a 2≥8，即a ≤2或a ≥16时，f(x)在[1, 8]上为单调函数，不合题意； 当1<a 2≤2，即2<a ≤4时，由(2)知，f(x)在(0, a2)上单调递减，在(a2, +∞)上单调递增， ∴ f(a2)∈A ，但f(a2)∉B ，不合题意；当2<a 2≤4，即4<a ≤8时，A =[f(2), f(1)]，B =[f(4), f(8)]， 由A ⊆B ，得{f(2)≥f(4)f(1)≤f(8) ，即{8−2a −aln2≥24−4a −2aln23−a ≤80−8a −3aln2，∴ {a ≥162+ln2a ≤777+3ln2 ，又4<a ≤8， ∴ 162+ln2≤a ≤8；当4<a2<8，即8<a <16时，由A ⊆B ，得f(8)≥f(1)， ∴ a ≤777+3ln2<16， ∴ 8<a ≤777+3ln2，综上，a 的取值范围为[162+2ln2,777+3ln2]．已知数列{a n }是各项都不为0的无穷数列，对任意的n ≥3，n ∈N ∗，a 1a 2+a 2a 3+...+a n−1a n =λ(n −1)a 1a n 恒成立． (1)如果1a 1，1a 2，1a 3成等差数列，求实数λ的值；(2)已知λ=1．①求证：数列{1a n}是等差数列；②已知数列{a n }中，a 1≠a 2，数列{b n }是公比为q 的等比数列，满足b 1=1a 1，b 2=1a 2，b 3=1a i(i ∈N ∗)．求证：q 是整数，且数列{b n }中的任意一项都是数列{1a n}中的项．【答案】(1)解：∵ n ≥3，且n ∈N ∗时，a 1a 2+a 2a 3+...+a n−1a n =λ(n −1)a 1a n 恒成立， 则n =3时，a 1a 2+a 2a 3=2λa 1a 3，∵ 数列{a n }各项都不为0，同除a 1a 2a 3，得：2λa 2=1a 1+1a 3，又∵ 1a 1,1a 2,1a 3成等差数列，则2a 2=1a 1+1a 3，联立得2λa 2=2a 2，∴ λ=1．(2)证明：①当λ=1，n =3时，a 1a 2+a 2a 3=2a 1a 3，① 整理，得：1a 1+1a 3=2a 2，∴ 1a 2−1a 1=1a 3−1a 2，②当n =4时，a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4=3a 1a 4，③③-①，得：a 3a 4=3a 1a 4−2a 1a 3，∴ 1a 1=3a 3−2a 4，∵1a1+1a3=2a2，∴1a4−1a3=1a3−1a2，④当n≥3时，a1a2+a2a3+...+a n−1a n=(n−1)a1a n，a1a2+a2a3+...+a n−1a n+a n a n+1=na1a n+1，两式相减，得：a n a n+1=na1a n+1−(n−1)a1a n，∵a n≠0，∴1a1=na n−n−1a n+1，∴1a1=n+1a n+1−na n+2，∴na n−n−1a n+1=n+1a n+1−na n+2，∵x=q k−1−q2q−1=q2(q k−3−1)q−1表示首项为q2，公比为q=i−2，(i≥4)，共k−3(k≥4)项的等比数列的和，∴x为正整数，∴{b n}中的每一项都是数列{c n}，即{1a n}中的项，整理，得1a n +1a n+2=2a n+1，即1a n+2−1a n+1=1a n+1−1a n，(n≥3)，⑤由②④⑤得：1a n+2−1a n+1=1a n+1−1a n对任意正整数n≥1恒成立，∴数列{1a n}成等差数列．②设数列{1a n }公差为d，令c n=1a n=c(c≠0)，则b1=c1=c，b2=c2=c+d，d=c2−c1=b2−b1=cq−c，当i=2时，b3=c2=b2，∴q=1，b2=b1，∴a1=a2，与已知不符，当i=3时，由b3=c3，cq2=c+2d=c+2c(q−1)，得q=1+2(q−1)，解得q=1，与已知不符．当i=1时，由b3=c1,cq2=c，得q2=1，由q≠1，得q=−1为整数，数列{b n}为：c，−c，c，…，数列{c n}中，c1=c，c2=−c，公差d=−2c，数列{b n}中每一项都是{c n}中的项，(c=c1, −c=c2)，当i≥4时，由b3=c i，cq2=c+(i−1)d=c+(i−1)c(q−1)，得q2−(i−1)q+(i−2)=0，得q=1，（舍），q=i−2，(i≥4)为正整数，∵cq=c+d，b3=c i，对任意的正整数k≥4，欲证明b k是数列{c n}中的项，只需b k=cq k−1=c i+xd=b3+x(cq−c)=cq2+x(cq−c)有正整数解x，等价于：q k−1=q2+x(q−1)，x=q k−1−q2q−1为正整数，∴q是整数，且数列{b n}中的任意一项都是数列{1a n}中的项．【考点】等比数列的通项公式等差数列的性质等差数列的通项公式等差数列【解析】（1）n≥3，且n∈N∗时，a1a2+a2a3+...+a n−1a n＝λ(n−1)a1a n恒成立，n＝3时，a1a2+a2a3＝2λa1a3，同除a1a2a3，得2λa2=1a1+1a3，由1a1⋅1a2⋅1a3成等差数列，得2a2=1 a1+1a3，由此能求出λ的值．（2）①当λ＝1，n＝3时，1a1+1a3=2a2，从而1a2−1a1=1a3−1a2，当n＝4时，1a1=3a3−2 a4，从而1a4−1a3=1a3−1a2，当n≥3时，推导出1a1=na n−n−1a n+1，由此能证明数列{1an}成等差数列．②设数列{1a n }公差为d，令c n=1a n=c(c≠0)，则b1＝c1＝c，b2＝c2＝c+d，d＝c2−c1＝b2−b1＝cq−c，推导出cq＝c+d，b3＝c i，对任意的正整数k≥4，欲证明b k是数列{c n}中的项，只需b k=cq k−1=c i+xd＝b3+x(cq−c)＝cq2+x(cq−c)有正整数解x，等价于：q k−1＝q2+x(q−1)，x=q k−1−q2q−1为正整数，由此能证明q是整数，且数列{b n}中的任意一项都是数列{1an}中的项．【解答】(1)解：∵n≥3，且n∈N∗时，a1a2+a2a3+...+a n−1a n=λ(n−1)a1a n恒成立，则n=3时，a1a2+a2a3=2λa1a3，∵数列{a n}各项都不为0，同除a1a2a3，得：2λa2=1a1+1a3，又∵1a1,1a2,1a3成等差数列，则2a2=1a1+1a3，联立得2λa2=2a2，∴λ=1．(2)证明：①当λ=1，n=3时，a1a2+a2a3=2a1a3，①整理，得：1a1+1a3=2a2，∴1a2−1a1=1a3−1a2，②当n=4时，a1a2+a2a3+a3a4=3a1a4，③③-①，得：a3a4=3a1a4−2a1a3，∴1a1=3a3−2a4，∵1a1+1a3=2a2，∴1a4−1a3=1a3−1a2，④当n≥3时，a1a2+a2a3+...+a n−1a n=(n−1)a1a n，a1a2+a2a3+...+a n−1a n+a n a n+1=na1a n+1，两式相减，得：a n a n+1=na1a n+1−(n−1)a1a n，∵a n≠0，∴1a1=na n−n−1a n+1，∴1a1=n+1a n+1−na n+2，∴na n−n−1a n+1=n+1a n+1−na n+2，∵x=q k−1−q2q−1=q2(q k−3−1)q−1表示首项为q2，公比为q=i−2，(i≥4)，共k−3(k≥4)项的等比数列的和，∴x为正整数，∴{b n}中的每一项都是数列{c n}，即{1a n}中的项，整理，得1a n +1a n+2=2a n+1，即1a n+2−1a n+1=1a n+1−1a n，(n≥3)，⑤由②④⑤得：1a n+2−1a n+1=1a n+1−1a n对任意正整数n≥1恒成立，∴数列{1a n}成等差数列．②设数列{1a n }公差为d，令c n=1a n=c(c≠0)，则b1=c1=c，b2=c2=c+d，d=c2−c1=b2−b1=cq−c，当i=2时，b3=c2=b2，∴q=1，b2=b1，∴a1=a2，与已知不符，当i=3时，由b3=c3，cq2=c+2d=c+2c(q−1)，得q=1+2(q−1)，解得q=1，与已知不符．当i=1时，由b3=c1,cq2=c，得q2=1，由q≠1，得q=−1为整数，数列{b n}为：c，−c，c，…，数列{c n}中，c1=c，c2=−c，公差d=−2c，数列{b n}中每一项都是{c n}中的项，(c=c1, −c=c2)，当i≥4时，由b3=c i，cq2=c+(i−1)d=c+(i−1)c(q−1)，得q2−(i−1)q+(i−2)=0，得q=1，（舍），q=i−2，(i≥4)为正整数，∵cq=c+d，b3=c i，对任意的正整数k≥4，欲证明b k是数列{c n}中的项，只需b k=cq k−1=c i+xd=b3+x(cq−c)=cq2+x(cq−c)有正整数解x，等价于：q k−1=q2+x(q−1)，x=q k−1−q2q−1为正整数，∴q是整数，且数列{b n}中的任意一项都是数列{1a n}中的项．【选做题】在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题0分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵A =[210a ]，其逆矩阵A −1=[b c01]，求A 2．【答案】解：由题意，根据公式AA −1=E ，可得： [210a ]⋅[b c01]=[1001]．即：[2b 2c +1a]=[1001]．∴ {a =12b =12c +1=0 ，解得：{a =1b =12c =−12．∴ A =[2101]．∴ A 2=[2101]⋅[2101]=[4301]．【考点】逆变换与逆矩阵 【解析】本题先根据公式AA −1＝E 可将具体矩阵进行代入计算得到a 、b 、c 的值，即可得到矩阵A ，则A 2即可求出． 【解答】解：由题意，根据公式AA −1=E ，可得： [210a ]⋅[b c01]=[1001]．即：[2b 2c +1a]=[1001]．∴ {a =12b =12c +1=0 ，解得：{a =1b =12c =−12．∴ A =[2101]．∴ A 2=[2101]⋅[2101]=[4301]．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2+2cosθy =−√3+2sinθ （θ为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 上两点M ，N 的极坐标分別为(2, 0)，(2√3, π6)，求直线l 被曲线C 截得的弦长． 【答案】解：由x =ρcosθ，y =ρsinθ，得M(2, 0)，N(3, √3)， 则直线l:y =√3(x −2)，曲线C ：(x −2)2+(y +√3)2=4， 则圆心C(2, −√3)，半径r =2，则圆心到直线l的距离为d=|0−√3|2=√32，则直线l被曲线C截得的弦长为2√r2−d2=√13．【考点】圆的极坐标方程点到直线的距离公式【解析】将直线和圆化成直角坐标方程后，利用圆中的勾股定理列式可得弦长．【解答】解：由x=ρcosθ，y=ρsinθ，得M(2, 0)，N(3, √3)，则直线l:y=√3(x−2)，曲线C：(x−2)2+(y+√3)2=4，则圆心C(2, −√3)，半径r=2，则圆心到直线l的距离为d=|0−√3|2=√32，则直线l被曲线C截得的弦长为2√r2−d2=√13．[选修4-5：不等式选讲]已知正数a，b，c满足a+b+c=2，求证：a2b+c +b2c+a+c2a+b≥1．【答案】证明：∵a，b，c都是正数，且a+b+c=2，∴2a+2b+2c=4，∴4(a2b+c +b2c+a+c2a+b)=[(b+c)+(c+a)+(a+b)](a2b+c+b2c+a+c2a+b)≥(√b+c⋅b+c √c+a⋅√c+a√a+ba+b)2=(a+b+c)2=4，∴a2b+c +b2c+a+c2a+b≥1．【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】不等式两边同乘(2a+2b+2c)，利用柯西不等式证明．【解答】证明：∵a，b，c都是正数，且a+b+c=2，∴2a+2b+2c=4，∴4(a2b+c +b2c+a+c2a+b)=[(b+c)+(c+a)+(a+b)](a2b+c+b2c+a+c2a+b)≥(√b+c⋅b+c √c+a⋅√c+a√a+ba+b)2=(a+b+c)2=4，∴a2b+c +b2c+a+c2a+b≥1．【必做题】第22，23题，每小题0分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线C 于A，B两点．(1)求线段AF的中点M的轨迹方程；(2)已知△AOB的面积是△BOF面积的3倍，求直线l的方程．【答案】解：(1)根据题意：抛物线的焦点为F(1, 0)，设M(x, y)，则A(2x−1, 2y)，把A(2x−1, 2y)代入y2=4x可得：4y2=8x−4，即y2=2x−1．(2)设直线l的方程为x=my+1，代入y2=4x可得y2−4my−4=0，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则y1y2=−4，①若A在第一象限，B在第四象限，则y1>0，y2<0，则S△AOB=12⋅OF⋅(y1−y2)，S△BOF=12⋅OF⋅(−y2)，∵S△AOB=3S△BOF，∴y1−y2=−3y2，∴y1=−2y2，又y1y2=−4，∴y1=2√2，y2=−√2．故x1=2，x2=12，把A(2, 2√2)代入x=my+1可得m=2√2=√24，∴直线l的方程为x−√24y−1=0，即4x−√2y−4=0．②若A在第四象限，B在第一象限，则y1<0，y2>0，S△AOB=12⋅OF⋅(y2−y1)，S△BOF=12⋅OF⋅y2，∵S△AOB=3S△BOF，∴y2−y1=3y2，∴y1=−2y2，又y1y2=−4，∴y1=−2√2，y2=√2．故x1=2，x2=12，把A(2, −2√2)代入x=my+1可得m=22=−√24，∴直线l的方程为x+√24y−1=0，即4x+√2y−4=0．综上，直线l的方程为：4x−√2y−4=0或4x+√2y−4=0．【考点】与抛物线有关的中点弦及弦长问题三角形的面积公式圆锥曲线的轨迹问题直线的斜率【解析】（1）设M(x, y)，表示出A点坐标，代入抛物线方程化简即可；（2）设A(x1, y1)，B(x2, y2)，直线l的方程为x＝my+1，联立方程组可得则y1y2＝−4，三角形的面积比得出y1＝−2y2，讨论A，B所在象限得出A的坐标，进而可得出直线l的方程．【解答】解：(1)根据题意：抛物线的焦点为F(1, 0)， 设M(x, y)，则A(2x −1, 2y)， 把A(2x −1, 2y)代入y 2=4x可得：4y 2=8x −4，即y 2=2x −1．(2)设直线l 的方程为x =my +1，代入y 2=4x 可得y 2−4my −4=0，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则y 1y 2=−4， ①若A 在第一象限，B 在第四象限，则y 1>0，y 2<0， 则S △AOB =12⋅OF ⋅(y 1−y 2)，S △BOF =12⋅OF ⋅(−y 2)， ∵ S △AOB =3S △BOF ， ∴ y 1−y 2=−3y 2，∴ y 1=−2y 2，又y 1y 2=−4，∴ y 1=2√2，y 2=−√2． 故x 1=2，x 2=12，把A(2, 2√2)代入x =my +1可得m =2√2=√24， ∴ 直线l 的方程为x −√24y −1=0，即4x −√2y −4=0．②若A 在第四象限，B 在第一象限，则y 1<0，y 2>0， S △AOB =12⋅OF ⋅(y 2−y 1)，S △BOF =12⋅OF ⋅y 2，∵ S △AOB =3S △BOF ， ∴ y 2−y 1=3y 2，∴ y 1=−2y 2，又y 1y 2=−4， ∴ y 1=−2√2，y 2=√2． 故x 1=2，x 2=12，把A(2, −2√2)代入x =my +1可得m =2√2=−√24， ∴ 直线l 的方程为x +√24y −1=0，即4x +√2y −4=0．综上，直线l 的方程为：4x −√2y −4=0或4x +√2y −4=0．已知数列{a n }，a 1=2，且a n+1=a n 2−a n +1对任意n ∈N ∗恒成立．(1)求证：a n+1=a n a n−1a n−2...a 2a 1+1(n ∈N ∗)；(2)求证：a n+1>n n +1(n ∈N ∗)． 【答案】证明：(1)∵ a 1=2，且a n+1=a n 2−a n +1对任意n ∈N ∗恒成立， ∴ 当n =1时，a 2=3=1+a 1成立，假设当n =k 时成立，即a k+1=a k a k−1a k−2...a 2a 1+1，当n =k +1时，a k+2=a k+12−a k+1+1 =(a k a k−1a k−2...a 2a 1)a k+1+1 =a k+1a k a k−1...a 2a 1+1， 则当n =k +1时，命题成立，综上可得，a n+1=a n a n−1a n−2...a 2a 1+1. (2)要证：a n+1>n n +1，由(1)a n+1=a n a n−1a n−2...a 2a 1+1， 只要证∴ a n a n−1a n−2...a 2a 1>n n ， 下面用数学归纳法证明：当n =1，2，3时，a 1=2，a 2=3，a 3=7， 则2>1，2×3>22，2×3×7>33，假设当n =k(k ≥3)时结论成立，即a k a k−1a k−2...a 2a 1>k k ， 则当n =k +1时，a k+1a k a k−1...a 2a 1+1=(a k a k−1...a 2a 1+1)a k a k−1...a 2a 1 >(a k a k−1...a 2a 1)2>k 2k ，设f(x)=2xlnx −(x +1)ln(x +1)，x ≥3， 则f ′(x)=lnx 2+1x+1+1>lnx 2−1x+1+1=ln(x −1)+1≥ln2+1>0，∴ f(x)单调递增，则f(x)≥f(3)=2(3ln3−2ln4)=2ln 2716>0，则2klnk >(k +1)ln(k +1)，∴ lnk 2k >ln(k +1)k+1，即k 2k >(k +1)k+1， ∴ a k+1a k a k−1...a 2a 1>(k +1)k+1， 则当n =k +1时，命题成立，综上可得，a n a n−1a n−2...a 2a 1>n n ， ∴ a n+1>n n +1. 【考点】 数列递推式对数函数的单调性与特殊点 【解析】（1）结合题意可用数学归纳法证明命题成立；（2）要证：a n+1>n n +1，由（1）a n+1＝a n a n−1a n−2...a 2a 1+1，只要证∴ a n a n−1a n−2...a 2a 1>n n ，可用数学归纳法证明． 【解答】证明：(1)∵ a 1=2，且a n+1=a n 2−a n +1对任意n ∈N ∗恒成立， ∴ 当n =1时，a 2=3=1+a 1成立，假设当n =k 时成立，即a k+1=a k a k−1a k−2...a 2a 1+1，当n =k +1时，a k+2=a k+12−a k+1+1 =(a k a k−1a k−2...a 2a 1)a k+1+1 =a k+1a k a k−1...a 2a 1+1， 则当n =k +1时，命题成立，综上可得，a n+1=a n a n−1a n−2...a 2a 1+1. (2)要证：a n+1>n n +1，由(1)a n+1=a n a n−1a n−2...a 2a 1+1， 只要证∴ a n a n−1a n−2...a 2a 1>n n ， 下面用数学归纳法证明：当n =1，2，3时，a 1=2，a 2=3，a 3=7， 则2>1，2×3>22，2×3×7>33，假设当n =k(k ≥3)时结论成立，即a k a k−1a k−2...a 2a 1>k k ， 则当n =k +1时，a k+1a k a k−1...a 2a 1+1=(a k a k−1...a 2a 1+1)a k a k−1...a 2a 1 >(a k a k−1...a 2a 1)2>k 2k ，设f(x)=2xlnx −(x +1)ln(x +1)，x ≥3，则f′(x)=ln x2+1x+1+1>ln x2−1x+1+1=ln(x−1)+1≥ln2+1>0，∴f(x)单调递增，则f(x)≥f(3)=2(3ln3−2ln4)=2ln2716>0，则2klnk>(k+1)ln(k+1)，∴lnk2k>ln(k+1)k+1，即k2k>(k+1)k+1，∴a k+1a k a k−1...a2a1>(k+1)k+1，则当n=k+1时，命题成立，综上可得，a n a n−1a n−2...a2a1>n n，∴a n+1>n n+1.。

江苏省七市(南通泰州扬州徐州淮安宿迁连云港)2019届高三第三次调研考试数学试题含解析

江苏省七市(南通泰州扬州徐州淮安宿迁连云港)2019届高三第三次调研考试数学试题含解析

13. 已知函数
，
．若对任意
立，则实数 的值为 ____．
【答案】
【解析】 【分析】
将“若对任意
，总存在
，使得
得 最大值为 ， 的最大值、最小值分别为：
【详解】不等式
可化为：
若对任意
，总存在
，使得
则：
，总存在
，使得
成立”等价于
，
，问题得解。
成立，
成 ，求
当
时，
的最大值为：
当
时，
最小值为：
的最大值为：
，E，F 分别
求证：（1）BE⊥CD；
（2）EF∥平面 PAB．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（ 1）证明 BE⊥PC，即可证得 BE⊥平面 PCD，问题得证。
（ 2）取 PB的中点 H，连结 EH， AH，证明四边形 AFEH是平行四边形，问题得证。
【详解】（1）在△ PBC中，因为
所以“从中 1 次随机摸出 2 只球，则 2 只球都是白球”的概率为
【点睛】本题主要考查了组合知识，还考查了古典概型概率计算公式，属于基础题。
6. 已知函数
则不等式
的解集为 ____．
【答案】
【解析】
【分析】
由题可得：函数 为奇函数，即可将不等式
转化为：
，对 分类解不等式即可。
【详解】由题可得：函数 为奇函数，
不等式
等价于
，即：
当 时，由
，解得：
当 时，由
，解得：
综上所述：
或
所以不等式
的解集为
【点睛】本题主要考查了函数奇偶性应用，还考查了分类思想及一元二次不等式的解法，考查转化

江苏省宿迁市2019届高三3月月考数学试题 含答案

江苏省宿迁市2019届高三3月月考数学试题 含答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．【答案】42．【答案】253．【答案】354.【答案】235．【答案】306.【答案】[2)，+∞7.【答案】8.【答案】29．【答案】10．【答案】29π11．【答案】512．【答案】13．【答案】11， 14．【答案】44二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15.【解】（1）因为a ∥b ， 所以ππcos cos()sin sin()066αααα+-+=，……………………………………………2分 所以πcos(2)06α+=． …………………………………………………………………4分 因为π02α<<，所以ππ7π2666α<+<． 于是ππ262α+=， 解得π6α=． ………………………………………………………6分 （2）因为π02α<<，所以02πα<<，又1tan 207α=-<，故π2π2α<<． 因为sin 21tan 2cos 27ααα==-，所以cos 27sin 20αα=-<， 又22sin 2cos 21αα+=， 解得sin 2cos2αα=．……………………………………………………10分 因此，⋅a b πππcos sin()+sin cos()sin(2)666ααααα=++=+ …………………………12分 ππsin 2cos cos2sin 66αα=+ (1=+⋅=． ……………………………………14分16.【证明】（1）因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以侧面ACC1 A1为平行四边形．又A1C与AC1交于点D，所以D为AC1的中点，同理，E为BC1的中点．所以DE∥AB．………………3分又AB⊂平面ABB1 A1，DE⊄平面ABB1 A1，所以DE∥平面ABB1A1．………………………………………………………………6分（2）因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1．又因为A1B1⊂平面A1B1C1，所以BB1⊥A1B1．………………………………………8分又A1B1⊥B1C1，BB1，B1C1⊂平面BCC1B1，BB1∩B1C1 = B1，所以A1B1⊥平面BCC1B1．……………………………………………………………10分又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1．………………………………………12分又因为侧面BCC1B1为正方形，所以BC1⊥B1C．又A1B1∩B1C = B1，A1B1，B1C ⊂平面A1B1C，所以BC1⊥平面A1B1C．………………………………………………………………14分17.【解】（1）由题意FH⊥平面ABCD，FM⊥BC，又因为HM ⊂平面ABCD，得FH⊥HM．…………2分在Rt △FHM 中，HM = 5，FMH θ∠=， 所以5cos FM θ=．……………………………………4分 因此△FBC 的面积为152510θθ⨯⨯=． 从而屋顶面积22=+V 梯形FBC ABFE S S S 252516022 2.2cos cos cos θθθ=⨯+⨯⨯=． 所以S 关于θ的函数关系式为160cos S θ=(π04θ<<)． ....................................6分 （2）在Rt △FHM 中，5tan =FH θ，所以主体高度为65tan =-h θ． (8)分所以别墅总造价为16=⋅+⋅y S k h k160(65tan )16cos =⋅+-⋅k k θθ 16080sin 96cos cos =-+k k k θθθ ()2sin 8096cos -=⋅+k k θθ …………………………………………10分 记2sin ()-=f θθθ，π0θ<<， 所以2sin 1()cos f θθθ-'=2， 令()0'=f θ，得1sin 2=θ，又π04θ<<，所以π6=θ．………………………………12分列表：所以当π=θ时，()f θ有最小值． 答：当θ为π6时该别墅总造价最低． …………………………………………………14分 18．【解】（1）设椭圆C 2的焦距为2c，由题意，a =，c a=，222a b c =+，解得b =，因此椭圆C 2的标准方程为22182y x +=． ……………………………3分 （2）①1°当直线OP 斜率不存在时，1PA =，1PB =，则3PA PB==- (4)分2°当直线OP 斜率存在时，设直线OP 的方程为y kx =， 代入椭圆C 1的方程，消去y ，得22(41)4k x +=， 所以22441A x k =+，同理22841P x k =+．………6分所以222P A x x =，由题意，P A x x 与同号，所以P A x ，从而||||3||||P A P A P B P A x x x x PA PBx x x x --====--+所以3PA PB=-值． ……………………………………………………………8分②设00()P x y ，，所以直线1l 的方程为010()y y k x x -=-，即1100y k x k y x =+-， 记100t k y x =-，则1l 的方程为1y k x t =+，代入椭圆C 1的方程，消去y ，得22211(41)8440k x k tx t +++-=， 因为直线1l 与椭圆C 1有且只有一个公共点， 所以22211(8)4(41)(44)0k t k t =-+-=V ，即221410k t -+=，将100t k y x =-代入上式，整理得，222010010(4)210x k x y k y --+-=， ……………12分同理可得，222020020(4)210x k x y k y --+-=，所以12k k ，为关于k 的方程2220000(4)210x k x y k y --+-=的两根， 从而20122014y k k x -⋅=-．……………………………………………………………………14分 又点在00()P x y ，椭圆C 2：221y x +=上，所以2200124y x =-，所以2012201211444x k k x --⋅==--为定值． ………………………………………………16分 19．【解】（1）当3a =时，函数21()2ln 32f x x x x =+-的定义域为()0+∞，．则2232()3x x f x x x x-+'=+-=，令()f x '0=得，1x =或2x =． ………………………………………………………2分列表：所以函数()f x 的极大值为5(1)2f =-；极小值为(2)2ln 24f =-． ………………4分（2）依题意，切线方程为0000()()()(0)y f x x x f x x '=-+>， 从而0000()()()()(0)g x f x x x f x x '=-+>， 记()()()p x f x g x =-，则000()()()()()p x f x f x f x x x '=---在()0+∞，上为单调增函数， 所以0()()()0p x f x f x '''=-≥在()0+∞，上恒成立，即0022()0p x x x '=-+-≥在()0+∞，上恒成立． …………………………………8分法一：变形得()002()0x x x x --≥在()0+∞，上恒成立 ，所以002x x =，又00x >，所以0x ………………………………………………10分法二：变形得0022x x ++≥在()0+∞，上恒成立 ，因为2x x+=≥x所以002x x +，从而(200x ≤，所以0x 10分（3）假设存在一条直线与函数()f x 的图象有两个不同的切点111()T x y ，，222()T x y ，，不妨120x x <<，则1T 处切线1l 的方程为：111()()()y f x f x x x '-=-，2T 处切线2l 的方程为：222()()()y f x f x x x '-=-．因为1l ，2l 为同一直线，所以12111222()()()()()().f x f x f x x f x f x x f x ''=⎧⎨''-=-⎩，……………………12分 即()()11212221111122222122212122ln 2ln .22x a x a x x ax x x a x x ax x x a x x ⎧+-=+-⎪⎪⎨⎪+--+-=+--+-⎪⎩，整理得，122211222112ln 2ln .22x x x x x x =⎧⎪⎨-=-⎪⎩，………………………………………………14分 消去2x 得，22112122ln 0x x x +-=．①令212x t =，由120x x <<与122x x =，得(01)t ∈，，记1()2ln p t t t t =+-，则222(1)21()10t p t t t t -'=--=-<，所以()p t 为(01)，上的单调减函数，所以()(1)0p t p >=． 从而①式不可能成立，所以假设不成立，从而不存在一条直线与函数()f x 的图象有两个不同的切点． ……………………………………………………………………………16分 20．【解】（1）因为2340n n n S S T -+=，*n ∈N ．令1n =，得22111340a a a -+=，因为10a ≠，所以11a =． 令2n =，得()()()22222314110a a a +-+++=，即22220a a +=，因为20a ≠，所以212a =-．……………………………………………………………3分（2）因为2340n n n S S T -+=， ① 所以2111340n n n S S T +++-+=， ② ②-①得，()21111340n n n n n S S a a a +++++-+=，因为10n a +≠，所以()11340n n n S S a +++-+=，③ …………………………………5分所以()1340(2)n n n S S a n -+-+=≥， ④当2n ≥时，③-④得，()1130n n n n a a a a ++++-=，即112n n a a +=-，因为0n a ≠，所以112n n a a +=-． 又由（1）知，11a =，212a =-，所以2112a a =-， 所以数列{}n a 是以1为首项，12-为公比的等比数列． ……………………………8分（3）由（2）知，()112n n a -=-．因为对任意的*n ∈N ，()()10n n na na λλ+--<恒成立，所以λ的值介于()112n n --和()12nn -之间．因为()()111022n nn n --⋅-<对任意的*n ∈N 恒成立，所以0λ=适合． ……………10分若0λ>，当n 为奇数时，()()111nn n n λ--<<-恒成立，从而有12n n λ-<恒成立． 记2()(4)2n n p n n =≥，因为22211(1)21(1)()0222n n n n n n n p n p n +++-+++-=-=<，所以()(4)1p n p =≤，即212n n ≤，所以12n n n ≤（*），从而当25n n λ≥且≥时，有122n n nλ-≥≥，所以0λ>不符． ………………………13分若0λ<，当n 为奇数时，()()11122nn n n λ--<<-恒成立，从而有2n n λ-<恒成立．由（*）式知，当15n n λ≥且≥-时，有12n n nλ-≥≥，所以0λ<不符．综上，实数λ的所有值为0． ………………………………………………………………16分 21．【解】由题意得，3=，M αα即11132123m m n n +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以2 1.m n ==，即矩阵1221⎡⎤⎢⎥⎣⎦=M . …………………………………………………5分 矩阵M 的特征多项式()212()14021f λλλλ--==--=--， 解得矩阵M 的另一个特征值为1λ-=.…………………………………………………10分B ．【解】由题意得，直线l 的普通方程为10x y --=．① 椭圆C 的普通方程为2212x y +=．② …………………………………………………4分 由①②联立，解得A (01)，-，B ()41，， ……………………………………………8分 所以AB ==．…………………………………………………10分 C ．【证】由柯西不等式得，()()()222222212112x y z x y z ⎡⎤⎡⎤++++++⎢⎥⎣⎦⎣⎦≥ ……………5分因为222416x y z ++=，所以()2916364x y z ++⨯=≤， 所以，6x y z ++≤，当且仅当“2x y z ==”时取等号． (10)分【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分． 22.【解】（1）由题意知，AB ，AD ，AP 两两垂直．以{}AB AD AP u u u r u u u r u u u r，，为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(100)(120)(020)(002)B C D P ，，，，，，，，，，，.从而(102)(122)(022)PB PC PD =-=-=-，，，，，，，，.u u r u u u r u u u r设平面PCD 的法向量()x y z =n ，，，则00PC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n uu u r uu u r，，即220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，， 不妨取1y =，则01x z ==，． 所以平面PCD 的一个法向量为(011)=n ，，． ………………………………………3分设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，所以sin cos PB PB PB θ⋅=〈〉==⋅n n nuu ruu ruu r， 即直线PB 与平面PCD所成角的正弦值为．……………………………………5分 （2）设(00)M a ，，，则(00)MA a =-，，，u u u r设PN PC λ=，u u u r u u u r 则()22PN λλλ=，，-，u u u r而(002)AP =，，，u u u r 所以(222)MN MA AP PN a λλλ=++=--u u u r u u u r u u u r u u u r，，． ……………………………………8分由（1）知，平面PCD 的一个法向量为(011)=n ，，， 因为MN ⊥平面PCD ，所以MN uuu r∥n ． 所以0222a λλλ-=⎧⎨=-⎩，，解得，1122a λ==，．所以M 为AB 的中点，N 为PC 的中点． …………………………………………10分 23.证明：（1）当4n =时，因为1a ，2a ，…，4a 均为非负实数，且12342a a a a +++=， 所以122334412134313124+++=(+)+(+)(+)(+)a a a a a a a a a a a a a a a a a a =………………………2分23124(+)+(+)=12a a a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦≤．………………………………………………………………4分（2）①当4n =时，由（1）可知，命题成立； ②假设当(4)n k k =≥时，命题成立，即对于任意的4k ≥，若1x ，2x ，…，k x 均为非负实数，且12+++2k x x x =L ， 则122311++++1k k k x x x x x x x x -≤L ．则当+1n k =时，设12+1++++2k k a a a a =…，并不妨设{}+112+1max k k k a a a a a =，，…，，． 令()1122311+k k k k x a a x a x a x a -+====，，，，则12+++2k x x x =…．由归纳假设，知122311++++1k k k x x x x x x x x -≤．………………………………………8分因为123a a a ，，均为非负实数，且+11k a a ≥， 所以121123112+()()k k x x x x a a a a a a +=+++23111312122311k k k a a a a a a a a a a a a a a +++=+++++≥．所以1212311223113411(+)+(++)()()k k k k k k x x x x x x x x a a a a a a a a a a -+++++++≥≥，即1223+1+11++++1k k k a a a a a a a a ≤， 也就是说，当+1n k =时命题也成立．所以，由①②可知，对于任意的4n ≥，122311++++1n n n a a a a a a a a -…≤．…………10分。

宿迁市2019年高三数学试题

宿迁市2019年高三数学试题

【答案】 2 3
6． 已知正四棱柱的底面边长是 3 cm，侧面的对角线长是
开始
a←0，b←1
a < 15 Y
a←4a+1
b←b＋2
N 输出 b 结束
3 5 cm，
则这个正四棱柱的体积为 ▲ cm3． 【答案】 54
（第 4 题）
7． 若实数 x，y 满足 x ≤≤y 2x + 3 ，则 x y 的最小值为 ▲ ．
11．已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，且 f (x 2) f (x) ．当 0 x ≤1 时， f (x)
x3 ax 1 ，则实数 a 的值为 ▲ ．
【答案】2
12．在平面四边形 ABCD 中， AB 1，DA DB ， AB AC 3，A，C AD 2
因为 a cos B 2b cos A ，
由正弦定理 a b ，得 sin Acos B 2 sin B cos A ． sin A sin B
所以 cos B sin B ． ………………………………………………………………… 4 分
若 cos B=0 ，则 sin B=0 ，与 sin2 B cos2 B 1 矛盾，故 cos B 0 ． 于是 tan B sin B 1 ．
分
即 (b c)(a b) 0 ．
因为 a b 0 ，所以 b c ．…………………………………………………………12 分
所以椭圆的离心率 e c c 2 ． ………………………………………14 分 a b2 c2 2
18．（本小题满分 16 分） 如图 1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形 ABCD ， AB ，AD 的长分别为 2 3 m 和 4 m ，上部是圆心为 O 的劣弧 CD ， COD = ． 3 （1）求图 1 中拱门最高点到地面的距离； （2）现欲以 B 点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形 ABCD 所在的平面始终与地面垂直，

【精编文档】江苏省七市2019届高三数学第三次调研考试试卷.doc

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江苏省七市2019届高三数学第三次调研考试试题(满分160分，考试时间120分钟)2019．5一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 已知集合U ＝{－1，0，2，3}，A ＝{0，3}，则∁U A ＝________． 2. 已知复数z ＝a ＋i1＋3i(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为________．3. 右图是一个算法流程图．若输出y 的值为4时，则输入x 的值为________．4. 已知一组数据6，6， 9，x ，y 的平均数是8，且xy ＝90，则该组数据的方差为________．5. 一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球．从中1次随机摸出2只球，则2只球都是白色的概率为________．6. 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0，则不等式f(x)＞f(－x)的解集为____________．7. 已知数列{a n }是等比数列，其前n 项和为S n .若a 3－a 2＝4，a 4＝16，则S 3的值为________．8. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右准线与两条渐近线分别交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为ab4，则该双曲线的离心率为________． 9. 在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝3 cm ，BC ＝1 cm ，CD ＝2 cm.将此直角梯形绕AB 边所在的直线旋转一周，由此形成几何体的体积为________cm 3.10. 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝sin 2x 与y ＝18tan x 在(π2，π)上交点的横坐标为α，则sin 2α的值为________．11. 如图，在正六边形ABCDEF 中，若AD →＝λAC →＋μAE →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．(第11题)(第12题)12. 如图，有一壁画，最高点A 处离地面6 m ，最低点B 处离地面3.5 m ．若从离地高2 m 的C 处观赏它，则离墙________m 时，视角θ最大．13. 已知函数f(x)＝x 2－2x ＋3a ，g(x)＝2x －1.若对任意x 1∈[0，3]，总存在x 2∈[2，3]，使得|f(x 1)|≤g(x 2)成立，则实数a 的值为________．14. 在平面四边形ABCD 中，∠BAD ＝90°，AB ＝2，AD ＝1.若AB →·AC →＋BA →·BC →＝4 3CA→·CB→，则CB＋12CD的最小值为________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，a(sin A－sin B)＝(c －b)(sin B＋sin C)．(1) 求角C的值；(2) 若a＝4b，求sin B的值．16.(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，平面BPC⊥平面DPC，BP＝BC，点E，F分别是PC，AD的中点．求证：(1) BE⊥CD；(2) EF∥平面PAB.(本小题满分14分)17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点为A(0，3)，圆O ：x 2＋y 2＝a 24经过点M(0，1)．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 过点M 作直线l 1交椭圆C 于P ，Q 两点，过点M 作直线l 1的垂线l 2交圆O 于另一点N.若△PQN 的面积为3，求直线l 1的斜率．南通风筝是江苏传统手工艺品之一．现用一张长2 m，宽1.5 m的长方形牛皮纸ABCD裁剪风筝面，裁剪方法如下：分别在边AB，AD上取点E，F，将三角形AEF 沿直线EF翻折到A′EF处，点A′落在牛皮纸上，沿A′E，A′F裁剪并展开，得到风筝面AEA′F，如图1.(1) 若点E恰好与点B重合，且点A′在BD上，如图2，求风筝面ABA′F的面积；(2) 当风筝面AEA′F的面积为 3 m2时，求点A′到AB距离的最大值．已知数列{an }满足(nan－1－2)an＝(2an－1)an－1(n≥2)，bn＝1an－n(n∈N*)．(1) 若a1＝3，求证：数列{bn}是等比数列；(2) 若存在k∈N*，使得1ak，1ak＋1，1ak＋2成等差数列．①求数列{an}的通项公式；②求证：ln n＋12an＞ln(n＋1)－12an＋1.已知函数f(x)＝ax21＋ln x(a≠0)，e是自然对数的底数．(1) 当a＞0时，求f(x)的单调增区间；(2) 若对任意的x≥12，f(x)≥2e b－1(b∈R)，求ba的最大值；(3) 若f(x)的极大值为－2，求不等式f(x)＋e x＜0的解集.2019届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知a ，b ，c ，d ∈R ，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －20 b 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1c d 1.若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到曲线y ＝2x ＋1，求曲线C 的方程．B. (选修44：坐标系与参数方程)在直角坐标平面内，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A ，B 的极坐标分别为(4，π2)，(22，5π4)，曲线C 的方程为ρ＝r(r>0)． (1) 求直线AB 的直角坐标方程；(2) 若直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，求r 的值．C.(选修45：不等式选讲)已知a∈R，若关于x的方程x2＋4x＋|a－1|＋|a|＝0有实根，求a的取值范围．【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 现有一款智能学习APP，学习内容包含文章学习和视频学习两类，且这两类学习互不影响．已知该APP积分规则如下：每阅读一篇文章积1分，每日上限积5分；观看视频累计3分钟积2分，每日上限积6分．经过抽样统计发现，文章学习积分的概率分布表如表1所示，视频学习积分的概率分布表如表2所示．表1(1) 现随机抽取1人了解学习情况，求其每日学习积分不低于9分的概率；(2) 现随机抽取3人了解学习情况，设积分不低于9分的人数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望．(1) 求2P2－Q2的值；(2) 化简nPn －Qn.2019届高三模拟考试试卷(南通、泰州、徐州等苏北七市联考)数学参考答案及评分标准1. {－1，2}2. －33. －14. 1455.126. (－2，0)∪(2，＋∞)7.14 8. 2 9. 7π310. －15811. 4312. 6 13. －1314.26215. 解：(1) 在△ABC中，因为a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin B＋sin C)，由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C，所以a(a－b)＝(b＋c)(c－b)，(3分) 即a2＋b2－c2＝ab.由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，得cos C＝12.(5分)因为0<C<π，所以C＝π3.(7分)(2) (解法1)因为a＝4b及a2＋b2－c2＝ab，得c2＝16b2＋b2－4b2＝13b2，即c＝13b.(10分)由正弦定理csin C＝bsin B，得13b32＝bsin B，所以sin B＝3926.(14分)(解法2)由正弦定理asin A＝bsin B，得sin A＝4sin B.由A＋B＋C＝π，得sin(B＋C)＝4sin B.因为C＝π3，所以12sin B＋32cos B＝4sin B，即7sin B＝3cos B．(11分)因为sin2B＋cos2B＝1，解得sin2B＝3 52 .在△ABC中，因为sin B>0，所以sin B＝3926.(14分)16. 证明：(1) 在△PBC中，因为BP＝BC，点E是PC的中点，所以BE⊥PC.(2分)因为平面BPC⊥平面DPC，平面BPC∩平面DPC＝PC，BE?平面BPC，所以BE⊥平面PCD.(5分)因为CD平面DPC，所以BE⊥CD.(7分)(2) 如图，取PB的中点H，连结EH，AH.在△PBC中，因为点E是PC的中点，所以HE∥BC，HE＝12BC.(9分)又底面ABCD是平行四边形，点F是AD的中点，所以AF∥BC，AF＝12 BC.所以HE∥AF，HE＝AF，所以四边形AFEH是平行四边形，所以EF∥HA.(12分)因为EF平面PAB，HA平面PAB，所以EF∥平面PAB.(14分) 17. 解：(1) 因为椭圆C的上顶点为A(0，3)，所以b＝ 3.又圆O：x2＋y2＝14a2经过点M(0，1)，所以a＝2.(2分)所以椭圆C的方程为x24＋y23＝1.(4分)(2) 若直线l 1的斜率为0，则PQ ＝463，MN ＝2， 所以△PQN 的面积为463，不合题意，所以直线l 1的斜率不为0.(5分) 设直线l 1的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋1消y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0.设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 1＝－4k －26·2k 2＋13＋4k 2，x 2＝－4k ＋26·2k 2＋13＋4k 2，所以PQ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝1＋k 2||x 1－x 2＝46·1＋k 2·2k 2＋13＋4k 2.(8分)由题可知，直线l 2的方程为y ＝－1k x ＋1，即x ＋ky －k ＝0，所以MN ＝21－k 21＋k 2＝21＋k2.(11分) 所以△PQN 的面积S ＝12PQ ·MN ＝12×46·1＋k 2·2k 2＋13＋4k 2·21＋k 2＝3， 解得k ＝±12，即直线l 1的斜率为±12.(14分)18. 解：(1) (解法1)建立如图所示的直角坐标系， 则B(2，0)，D(0，32)，直线BD 的方程为3x ＋4y －6＝0.(2分)设F(0，b)(b>0)，因为点F到AB与BD的距离相等，所以b＝|4b－6|5，解得b＝23或b＝－6(舍去)．(4分)所以△ABF的面积为12×2×23＝23m2，所以四边形ABA′F的面积为43m2.答：风筝面ABA′F的面积为43m2.(6分)(解法2)设∠ABF＝θ，则∠ABA′＝2θ.在直角三角形ABD中，tan 2θ＝ADAB＝34，(2分)所以2tan θ1－tan2θ＝34，解得tan θ＝13或tan θ＝－3(舍去)．所以AF＝ABtan θ＝23.(4分)所以△ABF的面积为12×2×23＝23m2，所以四边形ABA′F的面积为43m2.答：风筝面ABA′F的面积为43m2.(6分)(2) (解法1)建立如图所示的直角坐标系．设AE＝a，AF＝b，A′(x0，y)，则直线EF的方程为bx＋ay－ab＝0. 因为点A，A′关于直线EF对称，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0＝a b ，bx 02＋ay 02－ab ＝0，解得y 0＝2a 2ba 2＋b2.(10分)因为四边形AEA ′F 的面积为3，所以ab ＝3，所以y 0＝23a 3a 4＋3＝23a ＋3a 3.因为0<a ≤2，0<b ≤32，所以233≤a ≤2.(12分)设f(a)＝a ＋3a 3，233≤a ≤2，则f ′(a)＝1－9a4＝（a 2＋3）（a ＋3）（a －3）a 4.令f ′(a)＝0，得a ＝3或a ＝－3(舍去)． 列表如下：当a 所以y 0的最大值为32，此时点A ′在CD 上，a ＝3，b ＝1.答：点A ′到AB 距离的最大值为32m ．(16分)(解法2)设AE＝a，∠AEF＝θ，则AF＝atan θ.因为四边形AEA′F的面积为3，所以AE·AF＝3，即a2tan θ＝3，所以tan θ＝3 a2.过点A′作AB的垂线A′T，垂足为T，则A′T＝A′E·sin 2θ＝AE·sin 2θ＝asin 2θ(10分)＝a·2sin θcos θsin2θ＋cos2θ＝a·2tan θtan2θ＋1＝a·2×3a23a4＋1＝23a＋3a3.因为0<AE≤2，0<AF≤32，所以233≤a≤2.(12分)(下同解法1)19. (1) 证明：由(nan－1－2)an＝(2an－1)an－1，得1an＝2an－1＋2－n，得1an－n＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1an－1－（n－1），即bn＝2bn－1.因为a1＝3，所以b1＝1a1－1＝－23≠0，所以bnbn－1＝2(n≥2)，所以数列{bn }是以b1为首项，2为公比的等比数列．(4分)(2) ①解：设1a1－1＝λ，由(1)知bn＝2bn－1，所以bn ＝2bn－1＝22bn－2＝…＝2n－1b1，即1an－n＝λ·2n－1，所以1ak＝λ·2k－1＋k.(6分)因为1ak，1ak＋1，1ak＋2成等差数列，则(λ·2k－1＋k)＋(λ·2k＋1＋k＋2)＝2(λ·2k＋k＋1)，所以λ·2k－1＝0，所以λ＝0，所以1an＝n，即an＝1n.(10分)②证明：要证ln n＋12an>ln(n＋1)－12an＋1，即证12(an＋an＋1)>lnn＋1n，即证1n＋1n＋1>2lnn＋1n.设t＝n＋1n，则1n＋1n＋1＝t－1＋t－1t＝t－1t，且t>1，从而只需证：当t>1时，t－1t>2ln t．(12分)设f(x)＝x－1x－2ln x(x>1)，则f′(x)＝1＋1x2－2x＝(1x－1)2>0，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)>f(1)＝0，即x－1x>2ln x.因为t>1，所以t－1t>2ln t，所以原不等式得证．(16分)20. 解：(1) f(x)的定义域为(0，e－1)∪(e－1，＋∞)．由f′(x)＝2ax（1＋ln x）－ax2·1x（1＋ln x）2＝2ax（12＋ln x）（1＋ln x）2，(2分)令f′(x)>0，因为a>0，得x>e－1 2 .因为e－12>e－1，所以f(x)的单调增区间是(e－12，＋∞)．(4分)(2) 当a<0时，f(1)＝a<0<2e b－1，不合题意；当a>0时，令f′(x)<0，得0<x<e－1或e－1<x<e－1 2，所以f(x)在区间(0，e－1)和(e－1，e－12)上单调递减．因为12∈(e－1，e－12)，且f(x)在区间(e－12，＋∞)上单调递增，所以f(x)在x＝e－12处取极小值2ae，即最小值为2ae.(6分)若?x≥12，f(x)≥2e b－1，则2ae≥2e b－1，即a≥e b.不妨设b>0，则ba≤be b.(8分)设g(b)＝be b(b>0)，则g′(b)＝1－be b.当0<b<1时，g′(b)>0；当b>1时，g′(b)<0，所以g(b)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以g(b)≤g(1)，即be b≤1e，所以ba的最大值为1e.(10分)(3) 由(2)知，当a>0时，f(x)无极大值．当a<0时，f(x)在(0，e－1)和(e－1，e－12)上单调递增，在(e－12，＋∞)上单调递减，所以f(x)在x＝e－12处取极大值，所以f(e－12)＝2ae＝－2，即a＝－e.(12分)设F(x)＝f(x)＋e x，即F(x)＝e x－ex21＋ln x，当x∈(0，e－1)，1＋ln x<0，所以F(x)>0；当x∈(e－1，＋∞)，F′(x)＝e x－ex（1＋2ln x）（1＋ln x）2，由(2)知ex≤e x，又1＋2ln x≤(1＋ln x)2，所以F′(x)≥0，且F(x)不恒为零，所以F(x)在(e－1，＋∞)上单调递增．不等式f(x)＋e x<0，即为F(x)<0＝F(1)，所以e－1<x<1，即不等式的解集为(e －1，1)．(16分)2019届高三模拟考试试卷(南通、泰州、徐州等苏北七市联考)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解： 由题意，得AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －20 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1c d 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －2d ac －2bdb ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，所以a ＝1，b ＝1，c ＝2，d ＝0，即矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－20 1.(5分)设P(x ，y)为曲线C 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换作用下变为点P ′(x ′，y ′)，则 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎨⎧x ′＝x －2y ，y ′＝y.(8分) 由已知条件可知P ′(x ′，y ′)满足y ＝2x ＋1，整理得2x －5y ＋1＝0， 所以曲线C 的方程为2x －5y ＋1＝0.(10分)B. 解：(1) 分别将A(4，π2)，B(22，5π4)转化为直角坐标，即A(0，4)，B(－2，－2)，所以直线AB 的直角坐标方程为3x －y ＋4＝0.(4分)(2) 曲线C 的方程为ρ＝r(r>0)，其直角坐标方程为x 2＋y 2＝r 2. 又直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，即直线与圆相切，所以圆心到直线AB 的距离为432＋12＝2105，即r 的值为2105.(10分) C. 解：因为关于x 的方程x 2＋4x ＋|a －1|＋|a|＝0有实根， 所以Δ＝16－4(|a －1|＋|a|)≥0，即|a －1|＋|a|≤4.(4分) 当a ≥1时，2a －1≤4，得1≤a ≤52；当0<a<1时，1≤4，恒成立，即0<a<1；当a≤0时，1－2a≤4，得－32≤a≤0.综上，所求a的取值范围是－32≤a≤52.(10分)22. 解：(1) 由题意，获得的积分不低于9分的情形有所以概率P＝19×12＋16×12＋12×13＋12×12＝59，所以每日学习积分不低于9分的概率为59.(4分)(2) 随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3.由(1)知每个人积分不低于9分的概率为59，则P(ξ＝0)＝(49)3＝64729；P(ξ＝1)＝C13(59)(49)2＝240729；P(ξ＝2)＝C23(59)2(49)＝300729；P(ξ＝3)＝(59)3＝125729.所以随机变量ξ的概率分布列为(8分)所以E(ξ)＝0×64729＋1×240729＋2×300729＋3×125729＝53.5 3.(10分)所以随机变量ξ的数学期望为。

2019年江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学三模试卷

2019年江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学三模试卷

2019年江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学三模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A={x|x<1}，B={x|0<x<3}，则A∩B=________．【答案】(0,1)【考点】交集及其运算【解析】进行交集的运算即可．【解答】解：∵A={x|x<1}，B={x|0<x<3}，∴A∩B=(0,1)．故答案为：(0,1).2. 已知复数z=3+4i5i，其中i是虚数单位，则|z|=________．【答案】1【考点】复数的模【解析】直接由商的模等于模的商求解．【解答】解：∵z=3+4i5i，∴|z|=|3+4i5i |=|3+4i||5i|=55=1．故答案为：1.3. 已知双曲线C的方程为x24−y2=1，则其离心率为________．【答案】√52【考点】双曲线的离心率【解析】直接利用双曲线的标准方程，求出a，c，即可求解离心率．【解答】解：双曲线C的方程为x24−y2=1，可得a=2，b=1，则c=√a2+b2=√5，所以双曲线的离心率为e=ca =√52．故答案为：√52.4. 根据如图所示的伪代码，最后输出的i的值为________．【答案】8【考点】伪代码【解析】模拟程序的运行过程，即可得出程序结束后输出的i值．【解答】解：模拟程序的运行过程，如下，T=1，i=2，满足T<6；T=2，i=4，满足T<6；T=4，i=6，满足T<6；T=8，i=8，不满足T<6，输出i=8．故答案为：8.5. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4:4:3，现按年级用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级的学生数为15，则抽取的样本容量为________．【答案】55【考点】分层抽样方法【解析】根据分层抽样得特点知，抽取的样本中，高一，高二，高三的人数之比也为4:4:3可得．【解答】解：依题意得抽取的样本容量为：1534+4+3=55.故答案为：55.6. 口装中有形状大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4．若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之积大于6的概率为________．【答案】13【考点】排列、组合的应用古典概型及其概率计算公式从袋中随机抽取两个球，基本事件总数n =C 42=6，利用列举法取出的两个球的编号之积大于6包含的基本事件(a, b)有2个，由此能取出的两个球的编号之积大于6的概率． 【解答】解：口装中有形状大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4， 从袋中随机抽取两个球，基本事件总数n =C 42=6，取出的两个球的编号之积大于6包含的基本事件(a, b)有： (2, 4)，(3, 4)，共2个，∴ 取出的两个球的编号之积大于6的概率为P =26=13． 故答案为：13.7. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6=2a 2，则S12S 8=________．【答案】 73【考点】等比数列的前n 项和 【解析】设等比数列{a n }的公比是q ，所以a 6a 2=q 4＝2，所以S12S 8=a 1(1−q 12)1−q a 1(1−q 8)1−q=1−q 121−q 8=1+q 4+q 81+q 4，将q 4＝2代入即可． 【解答】解：因为数列{a n }是等比数列，设其公比为q ．所以a6a 2=q 4=2，所以q ≠1， 所以S 12S 8=a 1(1−q 12)1−q a 1(1−q 8)1−q=1−q 121−q 8=1−(q 4)31−(q 4)2=1−81−4=73．故答案为：73.8. 函数f(x)=cos(ωx −π3)(ω>0)的图象关于直线x =π2对称，则ω的最小值为________． 【答案】 23【考点】余弦函数的对称性根据函数的对称性建立方程关系，求出ω的表达式，进行求解即可．【解答】解：∵f(x)=cos(ωx−π3)(ω>0)的图象关于直线x=π2对称，∴π2ω−π3=kπ+π，即ω=2k+83，∵ω>0，∴当k=−1时，ω取得最小值为−2+83=23.故答案为：23.9. 已知正实数a，b满足a+b=1，则2a2+1a +2b2+4b的最小值为________．【答案】11【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】根据基本不等式即可求出最小值．【解答】解：∵a+b=1，∴2a2+1a +2b2+4b=2a+2b+1a+4b=2+1a+4b，∵1a +4b=(1a+4b)(a+b)=1+4+ba+4ab≥5+2√ba⋅4ab=5+4=9，当且仅当ba =4ab时，即a=13，b=23时取等号，故2a2+1a +2b2+4b≥2+9=11.故答案为：11.10. 已知偶函数f(x)的定义域为R，且在[0, +∞)上为增函数，则不等式f(3x)>f(x2+ 2)的解集为________．【答案】(−2, −1)∪(1, 2)【考点】抽象函数及其应用函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得，f(3x)>f(x2+2)⇒f(|3x|)>f(x2+2)⇒|3x|>x2+2，由绝对值的定义可得{3x>x 2+2x≥0或{−3x>x2+2x<0，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f(x)为偶函数且其定义域为R ，且在[0, +∞)上为增函数， 则f(3x)>f(x 2+2)⇒f(|3x|)>f(x 2+2)⇒|3x|>x 2+2，则有{3x >x 2+2x ≥0 或{−3x >x 2+2x <0，解得：−2<x <−1或1<x <2， 即不等式的解集为(−2, −1)∪(1, 2). 故答案为：(−2, −1)∪(1, 2).11. 过直线l:y =x −2上任意点P 作圆C:x 2+y 2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，当切线最小时，△PAB 的面积为________． 【答案】12【考点】 圆的切线方程 【解析】由题意画出图形，可得切线最小时的P 点，进一步求得PA ＝PB ＝1，∠APB ＝90∘，则答案可求． 【解答】解：根据题意，如图，要使切线长最小，则|OP|最小，过O 作直线y =x −2的垂线，则垂足为P ，可得|OP|=√2， ∴ A ，B 为圆C:x 2+y 2=1与两坐标轴的交点， 则PA =PB =1，∠APB =90∘， ∴ △PAB 的面积为12×1×1=12． 故答案为：12.12. 已知点P 在曲线C:y =12x 2上，曲线C 在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线C 的另一交点为Q ，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则点P 的纵坐标为________． 【答案】 1【考点】直线与抛物线结合的最值问题 简单复合函数的导数 平面向量数量积的运算【解析】 设P(m, m 22)，求出直线PQ 的方程，根据根与系数的关系和OP →⋅OQ →=0列方程计算m 的值即可得出答案． 【解答】 解：由y =x 22可得y′=x ，设P(m, m 22)，则切线l 的斜率为m ，故直线PQ 的方程为：y −m 22=−1m (x −m)联立方程组{y −m 22=−1m (x −m)y =x 22 ， 消去y 可得：x 2+2m x −m 2−2=0， 设Q(n, n 22)，则mn =−m 2−2，∵ OP ⊥OQ ， ∴ OP →⋅OQ →=0， 即mn +m 2n 24=0，∴ mn =0（舍）或mn =−4， ∴ −m 2−2=−4，即m 2=2． ∴ P 点纵坐标为m 22=1．故答案为：1.13. 如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠CAB =90∘，AB =2，以AB 为直径在△ABC 外作半圆O ，P 为半圆弧AB 上的动点，点Q 在斜边BC 上，若AB →⋅AQ →=83，则AQ →⋅CP →的最小值为________．【答案】−2√53【考点】两角和与差的余弦公式 三角函数的最值 数量积的坐标表达式平面向量的坐标运算 【解析】以O 为原点建立直角坐标系，求得A ，B ，C 的坐标，以及直线BC 的方程，设出Q 的坐标，由数量积的坐标表示，解得Q 的坐标，再设P(cosα, sinα)，0≤α≤π，由数量积的坐标表示和两角和的余弦公式，余弦函数的值域可得最小值． 【解答】解：如图，以O 为原点建立直角坐标系，可得A(−1, 0)，B(1, 0)，C(−1, −2)， 即有直线BC 的方程为y =x −1， 可设Q(m, m −1)，∵ AB →⋅AQ →=83，即(2, 0)⋅(m +1, m −1)=2(m +1)=83，解得m =13，即Q(13, −23)， 设P(cosα, sinα)，0≤α≤π，可得AQ →⋅CP →=(43, −23)⋅(cosα+1, sinα+2)=43cosα+43−23sinα−43=23(2cosα−sinα)=2√53cos(α+θ)，θ∈(0, π2)，当cos(α+θ)=−1即α+θ=π时， 可得AQ →⋅CP →的最小值为−2√53． 故答案为：−2√53.14. 已知e 为自然对数的底数，函数f(x)=e x −ax 2的图象恒在直线y =32ax 上方，则实数a 的取值范围为________． 【答案】(−2e, 0] 【考点】利用导数研究函数的最值 利用导数研究函数的单调性 【解析】将函数f(x)＝e x −ax 2的图象恒在直线y =32ax 上方转化为e x >ax 2+32ax 对一切实数x 恒成立，然后分a >0，a ＝0，a <0分别求解． 【解答】解：∵ 函数f(x)=e x −ax 2的图象恒在直线y =32ax 上方，∴ e x −ax 2−32ax >0对一切实数x 恒成立，即e x >ax 2+32ax 对一切实数x 恒成立， 设g(x)=e x ，ℎ(x)=ax 2+32ax ，则①当a >0时，ℎ(x)开口向上，根据ℎ(x)和g(x)的图象易知，当a >0时g(x)>ℎ(x)不恒成立，②当a =0时，g(0)=1>ℎ(0)=0，因此g(x)>ℎ(x)恒成立③当a <0时，e x >ax 2+32ax 对一切实数x 恒成立，即1a <x 2+32xe x对一切实数x 恒成立， 令F(x)=x 2+32xex ，则F ′(x)=−2x 2+x+32e x =−(2x−3)(x+1)2e x，令F(x)=0，则x =−1或x =32， ∴ 当x <−1或x >32时，F ′(x)<0， 当−1<x <32时，F ′(x)>0，∴ F(x)在(−∞, −1)和(32, +∞)上单调递减，在(−1, 32)上单调递增， 又当x >0时，F(x)>0， ∴ F(x)min =F(−1)=−e2， ∴ 要使1a<x 2+32xe x对一切实数x 恒成立，只需1a <F(x)min =−e2，∴ a >−2e ，又a <0，∴ −2e <a <0， 综上，a 的取值范围为(−2e , 0]． 故答案为：(−2e , 0].二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．如图，在三棱锥P −ABC 中，过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，E ，F 分别是PD ，PC 的中点，且平面PAB ⊥平面PCD ．(1)求证：EF // 平面ABC；(2)求证：CE⊥AB．【答案】证明：(1)∵E，F分别是PD，PC的中点，∴EF是△PCD的中位线，则有EF // CD，又EF平面ABC，CD⊂平面ABC，∴EF // 平面ABC．(2)∵平面PAB⊥平面PCD，平面PAB∩平面PCD=PD，AB⊥PD，AB⊂平面PAB，∴AB⊥平面PCD，又CE⊂平面PCD，则CE⊥AB．【考点】直线与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】（1）推导出EF是△PCD的中位线，从而EF // CD，由此能证明EF // 平面ABC．（2）推导出AB⊥PD，从而AB⊥平面PCD，由此能证明AB⊥CE．【解答】证明：(1)∵E，F分别是PD，PC的中点，∴EF是△PCD的中位线，则有EF // CD，又EF平面ABC，CD⊂平面ABC，∴EF // 平面ABC．(2)∵平面PAB⊥平面PCD，平面PAB∩平面PCD=PD，AB⊥PD，AB⊂平面PAB，∴AB⊥平面PCD，又CE⊂平面PCD，则CE⊥AB．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且√3ac =2−cosAsinC．(1)求角A的大小；(2)若cos(B+π6)=14，求cosC的值．【答案】解：(1)∵√3ac =2−cosAsinC，∴由正弦定理可得：√3sinAsinC =2−cosAsinC，∴整理可得：√3sinA+cosA=2，即2sin(A+π6)=2，解得：sin(A+π6)=1，∵A∈(0, π)，∴A+π6∈(π6, 7π6)，∴A+π6=π2，∴A=π3．(2)在△ABC中，∵A=π3，∴B∈(0, 2π3)，即B+π6∈(π6, 5π6)，可得：sin(B+π6)>0，又∵cos(B+π6)=14，∴sin(B+π6)=√1−cos2(B+π6)=√154，在△ABC中，A+B+C=π，∴可得：cosC=−cos(A+B)=−cos(B+π3)=−cos[(B+π6)+π6]=−cos(B+π6)cosπ6+sin(B+π6)sinπ6=−√32×14+12×√154=√15−√38．【考点】两角和与差的余弦公式正弦定理同角三角函数间的基本关系【解析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin(A+π6)＝1，结合范围A∈(0, π)，可得A+π6=π2，从而解得A的值．（2）利用同角三角函数基本关系式可求sin(B+π6)的值，利用三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式可求cosC的值．【解答】解：(1)∵√3ac =2−cosAsinC，∴由正弦定理可得：√3sinAsinC =2−cosAsinC，∴整理可得：√3sinA+cosA=2，即2sin(A+π6)=2，解得：sin(A+π6)=1，∵A∈(0, π)，∴A+π6∈(π6, 7π6)，∴A+π6=π2，∴A=π3．(2)在△ABC中，∵A=π3，∴B∈(0, 2π3)，即B+π6∈(π6, 5π6)，可得：sin(B+π6)>0，又∵cos(B+π6)=14，∴sin(B+π6)=√1−cos2(B+π6)=√154，在△ABC中，A+B+C=π，∴可得：cosC=−cos(A+B)=−cos(B+π3)=−cos[(B+π6)+π6]=−cos(B+π6)cosπ6+sin(B+π6)sinπ6=−√32×14+12×√154=√15−√38．某工厂拟制造一个如图所示的容积为36π立方米的有盖圆锥形容器．(1)若该容器的底面半径为6米，求该容器的表面积；(2)当容器的高为多少米时，制造该容器的侧面用料最省？【答案】解：(1)设圆锥形容器的高为ℎ，则容器的体积V=13⋅π⋅62⋅ℎ=36π，解得ℎ=3．∴圆锥容器的母线长为√9+36=3√5，∴圆锥容器的表面积为π⋅62+π⋅6⋅3√5=(36π+18√5π)平方米．(2)由V=13πr2ℎ=36π可得r2=108ℎ，故圆锥的母线l=√r2+ℎ2=√108ℎ+ℎ2，∴容器的侧面积S=πrl=π√108ℎ√108ℎ+ℎ2=π√108√108ℎ2+ℎ，∵108ℎ2+ℎ=108ℎ2+ℎ2+ℎ2≥3√108ℎ2⋅ℎ2⋅ℎ23=9，当且仅当108ℎ2=ℎ2即ℎ=6时取等号，∴ 当ℎ=6时，S 取得最小值，即制造该容器的侧面用料最省． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 【解析】（1）根据体积公式计算容器高，计算母线长，再计算出侧面积和第面积即可； （2）用高ℎ表示出侧面积，利用基本不等式得出侧面积最小时对应的ℎ的值即可． 【解答】解：(1)设圆锥形容器的高为ℎ，则容器的体积V =13⋅π⋅62⋅ℎ=36π， 解得ℎ=3．∴ 圆锥容器的母线长为√9+36=3√5，∴ 圆锥容器的表面积为π⋅62+π⋅6⋅3√5=(36π+18√5π)平方米． (2)由V =13πr 2ℎ=36π可得r 2=108ℎ，故圆锥的母线l =2+ℎ2=√108ℎ+ℎ2， ∴ 容器的侧面积S =πrl =π√108ℎ√108ℎ+ℎ2=π√108√108ℎ2+ℎ，∵ 108ℎ2+ℎ=108ℎ2+ℎ2+ℎ2≥3√108ℎ2⋅ℎ2⋅ℎ23=9，当且仅当108ℎ2=ℎ2即ℎ=6时取等号， ∴ 当ℎ=6时，S 取得最小值，即制造该容器的侧面用料最省．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1(−2, 0)，A 2(2, 0)，右准线方程为x =4．过点A 1的直线交椭圆C 于x 轴上方的点P ，交椭圆C 的右准线于点D ．直线A 2D 与椭圆C 的另一交点为G ，直线OG 与直线A 1D 交于点H ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若HG ⊥A 1D ，试求直线A 1D 的方程；(3)如果A 1H →=λA 1P →，试求λ的取值范围．【答案】解：(1)由椭圆的左、右顶点分别为A 1(−2, 0)，A 2(2, 0)， 右准线方程为x =4， 可得a =2，a 2c =4，43(2)设直线A 1D:y =k(x +2)，(k >0)，则与右准线x =4的交点D(4, 6k)， 又A 2(2, 0)，所以设直线A 2D:y =3k(x −2)， 则{y =3k(x −2)x 24+y 23=1 ，解得：G(24k 2−21+12k 2, −12k1+12k 2)， 则直线OG 的斜率为k OG =−6k12k 2−1， ∵ HG ⊥A 1D ，∴ −6k12k 2−1⋅k ＝−1，又k >0，解得k =√66，则直线A 1D 的方程为y =√66(x +2)．(3)由(2)中可知，设直线OG:y =−6k12k 2−1x ， 联立可得{y =−6k12k 2−1xy =k(x +2)，解得：H(−24k 2+212k 2+5, 12k12k 2+5)， 联立{x 24+y 23=1y =k(x +2) ，解得：P(6−8k 23+4k 2, 123+4k 2)， ∵ A 1H →=λA 1P →，∴ (x H +2, y H )=λ(x P +2, y P )， ∴ y H =λy P ， ∴ λ=y H y P =f(k)=12k 12k 2+512k 3+4k 2=3+4k 212k 2+5=112k 2+9−43+4k 2=13−43+4k 2，∵ f(k)在(0, +∞)为减函数， ∴ λ∈(13, 35)．【考点】椭圆的准线方程直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程 平面向量的坐标运算 直线的斜率 【解析】（1）由题意可得a ＝2，a 2c=4，故c ＝1，b 2＝a 2−c 2＝3，可得椭圆方程，（2）设直线A 1D:y ＝k(x +2)，再设直线A 2D:y ＝3k(x −2)，求出点G 的坐标，根据HG ⊥A 1D ，可求出k 的值，即可求出直线方程，（3）分别求出点H ，P 的坐标，根据向量的运算借助函数的单调性即可求出． 【解答】解：(1)由椭圆的左、右顶点分别为A 1(−2, 0)，A 2(2, 0)， 右准线方程为x =4， 可得a =2，a 2c=4，43(2)设直线A 1D:y =k(x +2)，(k >0)，则与右准线x =4的交点D(4, 6k)， 又A 2(2, 0)，所以设直线A 2D:y =3k(x −2)， 则{y =3k(x −2)x 24+y 23=1 ，解得：G(24k 2−21+12k 2, −12k1+12k 2)， 则直线OG 的斜率为k OG =−6k12k 2−1， ∵ HG ⊥A 1D ，∴ −6k12k 2−1⋅k ＝−1，又k >0，解得k =√66，则直线A 1D 的方程为y =√66(x +2)．(3)由(2)中可知，设直线OG:y =−6k12k 2−1x ， 联立可得{y =−6k12k 2−1xy =k(x +2)，解得：H(−24k 2+212k 2+5, 12k12k 2+5)， 联立{x 24+y 23=1y =k(x +2) ，解得：P(6−8k 23+4k 2, 123+4k 2)， ∵ A 1H →=λA 1P →，∴ (x H +2, y H )=λ(x P +2, y P )， ∴ y H =λy P ， ∴ λ=y H y P =f(k)=12k 12k 2+512k 3+4k 2=3+4k 212k 2+5=112k 2+9−43+4k 2=13−43+4k 2，∵ f(k)在(0, +∞)为减函数， ∴ λ∈(13, 35)．已知函数f(x)=x 2+(2−a)x −alnx ，其中a ∈R ．(1)如果曲线y =f(x)在x =1处的切线斜率为1，求实数a 的值；(2)若函数f(x)的极小值不超过a2，求实数a 的最小值；(3)对任意x 1∈[1, 2]，总存在x 2∈[4, 8]，使得f(x 1)=f(x 2)成立，求实数a 的取值范围． 【答案】解：(1)f(x)=x 2+(2−a)x −alnx(x >0)，则f ′(x)=(x+1)(2x−a)x．∵ 曲线y =f(x)在x =1处的切线斜率为1， ∴ f ′(1)=2(2−a)=1， ∴ a =32．(2)当a ≤0时，f ′(x)>0，∴ f(x)在(0, +∞)上单调递增， ∴ 函数f(x)在(0, +∞)上不存在极值； 当a >0时，令f ′(x)=0，则x =a2，∴ 当0<x <a2时，f ′(x)<0；当x >a2时，f ′(x)>0， ∴ f(x)在(0, a2)上单调递减，在(a2, +∞)上单调递增， ∴ f(x)=f(a2)=a 24+a −a 22−aln a 2≤a2．∵ a >0，∴ 12−a4−ln a2≤0，令g(a)=12−a4−ln a2(a >0)，则g ′(a)=−14−12a <0，∴ g(a)在(0, +∞)上单调递减，又g(2)=0，∴ 当a ≥2时，g(a)≤g(2)=0， ∴ 实数a 的最小值为2．(3)记f(x)在[1, 2]上的值域为A ，在[4, 8]上的值域为B ，由任意x 1∈[1, 2]，总存在x 2∈[4, 8]，使得f(x 1)=f(x 2)成立，知A ⊆B ． 当a2≤1或a 2≥8，即a ≤2或a ≥16时，f(x)在[1, 8]上为单调函数，不合题意； 当1<a 2≤2，即2<a ≤4时，由(2)知，f(x)在(0, a2)上单调递减，在(a2, +∞)上单调递增， ∴ f(a2)∈A ，但f(a2)∉B ，不合题意；当2<a 2≤4，即4<a ≤8时，A =[f(2), f(1)]，B =[f(4), f(8)]， 由A ⊆B ，得{f(2)≥f(4)f(1)≤f(8) ，即{8−2a −aln2≥24−4a −2aln23−a ≤80−8a −3aln2 ， ∴ {a ≥162+ln2a ≤777+3ln2 ，又4<a ≤8， ∴ 162+ln2≤a ≤8；当4<a 2<8，即8<a <16时，由A ⊆B ，得f(8)≥f(1)， ∴ a ≤777+3ln2<16， ∴ 8<a ≤777+3ln2，综上，a 的取值范围为[162+2ln2,777+3ln2]． 【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题利用导数研究曲线上某点切线方程 利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 【解析】（1）对f(x)求导后，由导数的几何意义可得f ′(1)＝2(2−a)＝1，从而求出a 的值； （2）根据函数f(x)的极小值不超过a2，对a 分类讨论，将问题转化为解关于a 的不等式，从而求出a 的最小值；（3）设f(x)在[1, 2]上的值域为A ，在[4, 8]上的值域为B ，根据任意x 1∈[1, 2]，总存在x 2∈[4, 8]，使得f(x 1)＝f(x 2)成立，知A ⊆B ，然后分情况求解可得a 的范围． 【解答】解：(1)f(x)=x 2+(2−a)x −alnx(x >0)，则f ′(x)=(x+1)(2x−a)x．∵ 曲线y =f(x)在x =1处的切线斜率为1， ∴ f ′(1)=2(2−a)=1， ∴ a =32．(2)当a ≤0时，f ′(x)>0，∴ f(x)在(0, +∞)上单调递增， ∴ 函数f(x)在(0, +∞)上不存在极值； 当a >0时，令f ′(x)=0，则x =a2，∴ 当0<x <a2时，f ′(x)<0；当x >a2时，f ′(x)>0， ∴ f(x)在(0, a2)上单调递减，在(a2, +∞)上单调递增， ∴ f(x)=f(a2)=a 24+a −a 22−aln a 2≤a2．∵ a >0，∴ 12−a4−ln a2≤0，令g(a)=12−a4−ln a2(a >0)，则g ′(a)=−14−12a <0，∴ g(a)在(0, +∞)上单调递减，又g(2)=0，∴ 当a ≥2时，g(a)≤g(2)=0， ∴ 实数a 的最小值为2．(3)记f(x)在[1, 2]上的值域为A ，在[4, 8]上的值域为B ，由任意x 1∈[1, 2]，总存在x 2∈[4, 8]，使得f(x 1)=f(x 2)成立，知A ⊆B ． 当a2≤1或a 2≥8，即a ≤2或a ≥16时，f(x)在[1, 8]上为单调函数，不合题意； 当1<a 2≤2，即2<a ≤4时，由(2)知，f(x)在(0, a2)上单调递减，在(a2, +∞)上单调递增， ∴ f(a2)∈A ，但f(a2)∉B ，不合题意；当2<a 2≤4，即4<a ≤8时，A =[f(2), f(1)]，B =[f(4), f(8)]， 由A ⊆B ，得{f(2)≥f(4)f(1)≤f(8) ，即{8−2a −aln2≥24−4a −2aln23−a ≤80−8a −3aln2，∴ {a ≥162+ln2a ≤777+3ln2 ，又4<a ≤8， ∴ 162+ln2≤a ≤8；当4<a2<8，即8<a <16时，由A ⊆B ，得f(8)≥f(1)， ∴ a ≤777+3ln2<16， ∴ 8<a ≤777+3ln2，综上，a 的取值范围为[162+2ln2,777+3ln2]．已知数列{a n }是各项都不为0的无穷数列，对任意的n ≥3，n ∈N ∗，a 1a 2+a 2a 3+...+a n−1a n =λ(n −1)a 1a n 恒成立． (1)如果1a 1，1a 2，1a 3成等差数列，求实数λ的值；(2)已知λ=1．①求证：数列{1a n}是等差数列；②已知数列{a n }中，a 1≠a 2，数列{b n }是公比为q 的等比数列，满足b 1=1a 1，b 2=1a 2，b 3=1a i(i ∈N ∗)．求证：q 是整数，且数列{b n }中的任意一项都是数列{1a n}中的项．【答案】(1)解：∵ n ≥3，且n ∈N ∗时，a 1a 2+a 2a 3+...+a n−1a n =λ(n −1)a 1a n 恒成立， 则n =3时，a 1a 2+a 2a 3=2λa 1a 3，∵ 数列{a n }各项都不为0，同除a 1a 2a 3，得：2λa 2=1a 1+1a 3，又∵ 1a 1,1a 2,1a 3成等差数列，则2a 2=1a 1+1a 3，联立得2λa 2=2a 2，∴ λ=1．(2)证明：①当λ=1，n =3时，a 1a 2+a 2a 3=2a 1a 3，① 整理，得：1a 1+1a 3=2a 2，∴ 1a 2−1a 1=1a 3−1a 2，②当n =4时，a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4=3a 1a 4，③③-①，得：a 3a 4=3a 1a 4−2a 1a 3，∴ 1a 1=3a 3−2a 4，∵1a1+1a3=2a2，∴1a4−1a3=1a3−1a2，④当n≥3时，a1a2+a2a3+...+a n−1a n=(n−1)a1a n，a1a2+a2a3+...+a n−1a n+a n a n+1=na1a n+1，两式相减，得：a n a n+1=na1a n+1−(n−1)a1a n，∵a n≠0，∴1a1=na n−n−1a n+1，∴1a1=n+1a n+1−na n+2，∴na n−n−1a n+1=n+1a n+1−na n+2，∵x=q k−1−q2q−1=q2(q k−3−1)q−1表示首项为q2，公比为q=i−2，(i≥4)，共k−3(k≥4)项的等比数列的和，∴x为正整数，∴{b n}中的每一项都是数列{c n}，即{1a n}中的项，整理，得1a n +1a n+2=2a n+1，即1a n+2−1a n+1=1a n+1−1a n，(n≥3)，⑤由②④⑤得：1a n+2−1a n+1=1a n+1−1a n对任意正整数n≥1恒成立，∴数列{1a n}成等差数列．②设数列{1a n }公差为d，令c n=1a n=c(c≠0)，则b1=c1=c，b2=c2=c+d，d=c2−c1=b2−b1=cq−c，当i=2时，b3=c2=b2，∴q=1，b2=b1，∴a1=a2，与已知不符，当i=3时，由b3=c3，cq2=c+2d=c+2c(q−1)，得q=1+2(q−1)，解得q=1，与已知不符．当i=1时，由b3=c1,cq2=c，得q2=1，由q≠1，得q=−1为整数，数列{b n}为：c，−c，c，…，数列{c n}中，c1=c，c2=−c，公差d=−2c，数列{b n}中每一项都是{c n}中的项，(c=c1, −c=c2)，当i≥4时，由b3=c i，cq2=c+(i−1)d=c+(i−1)c(q−1)，得q2−(i−1)q+(i−2)=0，得q=1，（舍），q=i−2，(i≥4)为正整数，∵cq=c+d，b3=c i，对任意的正整数k≥4，欲证明b k是数列{c n}中的项，只需b k=cq k−1=c i+xd=b3+x(cq−c)=cq2+x(cq−c)有正整数解x，等价于：q k−1=q2+x(q−1)，x=q k−1−q2q−1为正整数，∴q是整数，且数列{b n}中的任意一项都是数列{1a n}中的项．【考点】等比数列的通项公式等差数列的性质等差数列的通项公式等差数列【解析】（1）n≥3，且n∈N∗时，a1a2+a2a3+...+a n−1a n＝λ(n−1)a1a n恒成立，n＝3时，a1a2+a2a3＝2λa1a3，同除a1a2a3，得2λa2=1a1+1a3，由1a1⋅1a2⋅1a3成等差数列，得2a2=1 a1+1a3，由此能求出λ的值．（2）①当λ＝1，n＝3时，1a1+1a3=2a2，从而1a2−1a1=1a3−1a2，当n＝4时，1a1=3a3−2 a4，从而1a4−1a3=1a3−1a2，当n≥3时，推导出1a1=na n−n−1a n+1，由此能证明数列{1an}成等差数列．②设数列{1a n }公差为d，令c n=1a n=c(c≠0)，则b1＝c1＝c，b2＝c2＝c+d，d＝c2−c1＝b2−b1＝cq−c，推导出cq＝c+d，b3＝c i，对任意的正整数k≥4，欲证明b k是数列{c n}中的项，只需b k=cq k−1=c i+xd＝b3+x(cq−c)＝cq2+x(cq−c)有正整数解x，等价于：q k−1＝q2+x(q−1)，x=q k−1−q2q−1为正整数，由此能证明q是整数，且数列{b n}中的任意一项都是数列{1an}中的项．【解答】(1)解：∵n≥3，且n∈N∗时，a1a2+a2a3+...+a n−1a n=λ(n−1)a1a n恒成立，则n=3时，a1a2+a2a3=2λa1a3，∵数列{a n}各项都不为0，同除a1a2a3，得：2λa2=1a1+1a3，又∵1a1,1a2,1a3成等差数列，则2a2=1a1+1a3，联立得2λa2=2a2，∴λ=1．(2)证明：①当λ=1，n=3时，a1a2+a2a3=2a1a3，①整理，得：1a1+1a3=2a2，∴1a2−1a1=1a3−1a2，②当n=4时，a1a2+a2a3+a3a4=3a1a4，③③-①，得：a3a4=3a1a4−2a1a3，∴1a1=3a3−2a4，∵1a1+1a3=2a2，∴1a4−1a3=1a3−1a2，④当n≥3时，a1a2+a2a3+...+a n−1a n=(n−1)a1a n，a1a2+a2a3+...+a n−1a n+a n a n+1=na1a n+1，两式相减，得：a n a n+1=na1a n+1−(n−1)a1a n，∵a n≠0，∴1a1=na n−n−1a n+1，∴1a1=n+1a n+1−na n+2，∴na n−n−1a n+1=n+1a n+1−na n+2，∵x=q k−1−q2q−1=q2(q k−3−1)q−1表示首项为q2，公比为q=i−2，(i≥4)，共k−3(k≥4)项的等比数列的和，∴x为正整数，∴{b n}中的每一项都是数列{c n}，即{1a n}中的项，整理，得1a n +1a n+2=2a n+1，即1a n+2−1a n+1=1a n+1−1a n，(n≥3)，⑤由②④⑤得：1a n+2−1a n+1=1a n+1−1a n对任意正整数n≥1恒成立，∴数列{1a n}成等差数列．②设数列{1a n }公差为d，令c n=1a n=c(c≠0)，则b1=c1=c，b2=c2=c+d，d=c2−c1=b2−b1=cq−c，当i=2时，b3=c2=b2，∴q=1，b2=b1，∴a1=a2，与已知不符，当i=3时，由b3=c3，cq2=c+2d=c+2c(q−1)，得q=1+2(q−1)，解得q=1，与已知不符．当i=1时，由b3=c1,cq2=c，得q2=1，由q≠1，得q=−1为整数，数列{b n}为：c，−c，c，…，数列{c n}中，c1=c，c2=−c，公差d=−2c，数列{b n}中每一项都是{c n}中的项，(c=c1, −c=c2)，当i≥4时，由b3=c i，cq2=c+(i−1)d=c+(i−1)c(q−1)，得q2−(i−1)q+(i−2)=0，得q=1，（舍），q=i−2，(i≥4)为正整数，∵cq=c+d，b3=c i，对任意的正整数k≥4，欲证明b k是数列{c n}中的项，只需b k=cq k−1=c i+xd=b3+x(cq−c)=cq2+x(cq−c)有正整数解x，等价于：q k−1=q2+x(q−1)，x=q k−1−q2q−1为正整数，∴q是整数，且数列{b n}中的任意一项都是数列{1a n}中的项．【选做题】在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题0分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵A =[210a ]，其逆矩阵A −1=[b c01]，求A 2．【答案】解：由题意，根据公式AA −1=E ，可得： [210a ]⋅[b c01]=[1001]．即：[2b 2c +1a]=[1001]．∴ {a =12b =12c +1=0 ，解得：{a =1b =12c =−12．∴ A =[2101]．∴ A 2=[2101]⋅[2101]=[4301]．【考点】逆变换与逆矩阵 【解析】本题先根据公式AA −1＝E 可将具体矩阵进行代入计算得到a 、b 、c 的值，即可得到矩阵A ，则A 2即可求出． 【解答】解：由题意，根据公式AA −1=E ，可得： [210a ]⋅[b c01]=[1001]．即：[2b 2c +1a]=[1001]．∴ {a =12b =12c +1=0 ，解得：{a =1b =12c =−12．∴ A =[2101]．∴ A 2=[2101]⋅[2101]=[4301]．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2+2cosθy =−√3+2sinθ （θ为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 上两点M ，N 的极坐标分別为(2, 0)，(2√3, π6)，求直线l 被曲线C 截得的弦长． 【答案】解：由x =ρcosθ，y =ρsinθ，得M(2, 0)，N(3, √3)， 则直线l:y =√3(x −2)，曲线C ：(x −2)2+(y +√3)2=4， 则圆心C(2, −√3)，半径r =2，则圆心到直线l的距离为d=|0−√3|2=√32，则直线l被曲线C截得的弦长为2√r2−d2=√13．【考点】圆的极坐标方程点到直线的距离公式【解析】将直线和圆化成直角坐标方程后，利用圆中的勾股定理列式可得弦长．【解答】解：由x=ρcosθ，y=ρsinθ，得M(2, 0)，N(3, √3)，则直线l:y=√3(x−2)，曲线C：(x−2)2+(y+√3)2=4，则圆心C(2, −√3)，半径r=2，则圆心到直线l的距离为d=|0−√3|2=√32，则直线l被曲线C截得的弦长为2√r2−d2=√13．[选修4-5：不等式选讲]已知正数a，b，c满足a+b+c=2，求证：a2b+c +b2c+a+c2a+b≥1．【答案】证明：∵a，b，c都是正数，且a+b+c=2，∴2a+2b+2c=4，∴4(a2b+c +b2c+a+c2a+b)=[(b+c)+(c+a)+(a+b)](a2b+c+b2c+a+c2a+b)≥(√b+c⋅b+c √c+a⋅√c+a√a+ba+b)2=(a+b+c)2=4，∴a2b+c +b2c+a+c2a+b≥1．【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】不等式两边同乘(2a+2b+2c)，利用柯西不等式证明．【解答】证明：∵a，b，c都是正数，且a+b+c=2，∴2a+2b+2c=4，∴4(a2b+c +b2c+a+c2a+b)=[(b+c)+(c+a)+(a+b)](a2b+c+b2c+a+c2a+b)≥(√b+c⋅b+c √c+a⋅√c+a√a+ba+b)2=(a+b+c)2=4，∴a2b+c +b2c+a+c2a+b≥1．【必做题】第22，23题，每小题0分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线C 于A，B两点．(1)求线段AF的中点M的轨迹方程；(2)已知△AOB的面积是△BOF面积的3倍，求直线l的方程．【答案】解：(1)根据题意：抛物线的焦点为F(1, 0)，设M(x, y)，则A(2x−1, 2y)，把A(2x−1, 2y)代入y2=4x可得：4y2=8x−4，即y2=2x−1．(2)设直线l的方程为x=my+1，代入y2=4x可得y2−4my−4=0，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则y1y2=−4，①若A在第一象限，B在第四象限，则y1>0，y2<0，则S△AOB=12⋅OF⋅(y1−y2)，S△BOF=12⋅OF⋅(−y2)，∵S△AOB=3S△BOF，∴y1−y2=−3y2，∴y1=−2y2，又y1y2=−4，∴y1=2√2，y2=−√2．故x1=2，x2=12，把A(2, 2√2)代入x=my+1可得m=2√2=√24，∴直线l的方程为x−√24y−1=0，即4x−√2y−4=0．②若A在第四象限，B在第一象限，则y1<0，y2>0，S△AOB=12⋅OF⋅(y2−y1)，S△BOF=12⋅OF⋅y2，∵S△AOB=3S△BOF，∴y2−y1=3y2，∴y1=−2y2，又y1y2=−4，∴y1=−2√2，y2=√2．故x1=2，x2=12，把A(2, −2√2)代入x=my+1可得m=22=−√24，∴直线l的方程为x+√24y−1=0，即4x+√2y−4=0．综上，直线l的方程为：4x−√2y−4=0或4x+√2y−4=0．【考点】与抛物线有关的中点弦及弦长问题三角形的面积公式圆锥曲线的轨迹问题直线的斜率【解析】（1）设M(x, y)，表示出A点坐标，代入抛物线方程化简即可；（2）设A(x1, y1)，B(x2, y2)，直线l的方程为x＝my+1，联立方程组可得则y1y2＝−4，三角形的面积比得出y1＝−2y2，讨论A，B所在象限得出A的坐标，进而可得出直线l的方程．【解答】解：(1)根据题意：抛物线的焦点为F(1, 0)， 设M(x, y)，则A(2x −1, 2y)， 把A(2x −1, 2y)代入y 2=4x可得：4y 2=8x −4，即y 2=2x −1．(2)设直线l 的方程为x =my +1，代入y 2=4x 可得y 2−4my −4=0，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则y 1y 2=−4， ①若A 在第一象限，B 在第四象限，则y 1>0，y 2<0， 则S △AOB =12⋅OF ⋅(y 1−y 2)，S △BOF =12⋅OF ⋅(−y 2)， ∵ S △AOB =3S △BOF ， ∴ y 1−y 2=−3y 2，∴ y 1=−2y 2，又y 1y 2=−4，∴ y 1=2√2，y 2=−√2． 故x 1=2，x 2=12，把A(2, 2√2)代入x =my +1可得m =2√2=√24， ∴ 直线l 的方程为x −√24y −1=0，即4x −√2y −4=0．②若A 在第四象限，B 在第一象限，则y 1<0，y 2>0， S △AOB =12⋅OF ⋅(y 2−y 1)，S △BOF =12⋅OF ⋅y 2，∵ S △AOB =3S △BOF ， ∴ y 2−y 1=3y 2，∴ y 1=−2y 2，又y 1y 2=−4， ∴ y 1=−2√2，y 2=√2． 故x 1=2，x 2=12，把A(2, −2√2)代入x =my +1可得m =2√2=−√24， ∴ 直线l 的方程为x +√24y −1=0，即4x +√2y −4=0．综上，直线l 的方程为：4x −√2y −4=0或4x +√2y −4=0．已知数列{a n }，a 1=2，且a n+1=a n 2−a n +1对任意n ∈N ∗恒成立．(1)求证：a n+1=a n a n−1a n−2...a 2a 1+1(n ∈N ∗)；(2)求证：a n+1>n n +1(n ∈N ∗)． 【答案】证明：(1)∵ a 1=2，且a n+1=a n 2−a n +1对任意n ∈N ∗恒成立， ∴ 当n =1时，a 2=3=1+a 1成立，假设当n =k 时成立，即a k+1=a k a k−1a k−2...a 2a 1+1，当n =k +1时，a k+2=a k+12−a k+1+1 =(a k a k−1a k−2...a 2a 1)a k+1+1 =a k+1a k a k−1...a 2a 1+1， 则当n =k +1时，命题成立，综上可得，a n+1=a n a n−1a n−2...a 2a 1+1. (2)要证：a n+1>n n +1，由(1)a n+1=a n a n−1a n−2...a 2a 1+1， 只要证∴ a n a n−1a n−2...a 2a 1>n n ， 下面用数学归纳法证明：当n =1，2，3时，a 1=2，a 2=3，a 3=7， 则2>1，2×3>22，2×3×7>33，假设当n =k(k ≥3)时结论成立，即a k a k−1a k−2...a 2a 1>k k ， 则当n =k +1时，a k+1a k a k−1...a 2a 1+1=(a k a k−1...a 2a 1+1)a k a k−1...a 2a 1 >(a k a k−1...a 2a 1)2>k 2k ，设f(x)=2xlnx −(x +1)ln(x +1)，x ≥3， 则f ′(x)=lnx 2+1x+1+1>lnx 2−1x+1+1=ln(x −1)+1≥ln2+1>0，∴ f(x)单调递增，则f(x)≥f(3)=2(3ln3−2ln4)=2ln 2716>0，则2klnk >(k +1)ln(k +1)，∴ lnk 2k >ln(k +1)k+1，即k 2k >(k +1)k+1， ∴ a k+1a k a k−1...a 2a 1>(k +1)k+1， 则当n =k +1时，命题成立，综上可得，a n a n−1a n−2...a 2a 1>n n ， ∴ a n+1>n n +1. 【考点】 数列递推式对数函数的单调性与特殊点 【解析】（1）结合题意可用数学归纳法证明命题成立；（2）要证：a n+1>n n +1，由（1）a n+1＝a n a n−1a n−2...a 2a 1+1，只要证∴ a n a n−1a n−2...a 2a 1>n n ，可用数学归纳法证明． 【解答】证明：(1)∵ a 1=2，且a n+1=a n 2−a n +1对任意n ∈N ∗恒成立， ∴ 当n =1时，a 2=3=1+a 1成立，假设当n =k 时成立，即a k+1=a k a k−1a k−2...a 2a 1+1，当n =k +1时，a k+2=a k+12−a k+1+1 =(a k a k−1a k−2...a 2a 1)a k+1+1 =a k+1a k a k−1...a 2a 1+1， 则当n =k +1时，命题成立，综上可得，a n+1=a n a n−1a n−2...a 2a 1+1. (2)要证：a n+1>n n +1，由(1)a n+1=a n a n−1a n−2...a 2a 1+1， 只要证∴ a n a n−1a n−2...a 2a 1>n n ， 下面用数学归纳法证明：当n =1，2，3时，a 1=2，a 2=3，a 3=7， 则2>1，2×3>22，2×3×7>33，假设当n =k(k ≥3)时结论成立，即a k a k−1a k−2...a 2a 1>k k ， 则当n =k +1时，a k+1a k a k−1...a 2a 1+1=(a k a k−1...a 2a 1+1)a k a k−1...a 2a 1 >(a k a k−1...a 2a 1)2>k 2k ，设f(x)=2xlnx −(x +1)ln(x +1)，x ≥3，则f′(x)=ln x2+1x+1+1>ln x2−1x+1+1=ln(x−1)+1≥ln2+1>0，∴f(x)单调递增，则f(x)≥f(3)=2(3ln3−2ln4)=2ln2716>0，则2klnk>(k+1)ln(k+1)，∴lnk2k>ln(k+1)k+1，即k2k>(k+1)k+1，∴a k+1a k a k−1...a2a1>(k+1)k+1，则当n=k+1时，命题成立，综上可得，a n a n−1a n−2...a2a1>n n，∴a n+1>n n+1.。

徐州市、宿迁市2019高三三模数学试题及答案

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徐州市、宿迁市2019高三三模数学试题及答案(总11页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除徐州市、宿迁市高三年级第三次模拟考试 数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑；锥体的体积公式：1=3V Sh 锥体，其中S 为锥体的底面面积，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答．题卡相应位置上．．．．．．．． 1. 已知i 是虚数单位，若3ii(,)ia b a b =∈++R ，则ab 的值为 ▲ ．2. 某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7,9.9,10.1,则这组数据的方差为 ▲ ．3. 右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ ．4. 若集合{}1,0,1A =-，{}|cos(),B y y x x A ==π∈，则A B = ▲ ．5. 方程22115x y k k =-++表示双曲线的充要条件是k ∈ ▲ ．6．在ABC △中，已知4cos 5A =，1tan()2A B -=-，则tan C 7. 已知实数,x y 满足1,3,10,x y x y -⎧⎪⎨⎪-⎩+≥≤≤则222x y x -+的最小值是 ▲ ．8. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若77S =，1575S =，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前20项和为 ▲ ．9. 已知三棱锥P ABC -的所有棱长都相等，现沿PA ，PB ，PC 三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为棱锥P ABC -的体积为 ▲ ．10．已知O 为ABC △的外心，若51213OA OB OC +-=0，则C ∠等于 ▲ ． 11. 已知数字发生器每次等可能地输出数字1或2中的一个数字，则连续输出的4个数字之和能被3整除的概率是 ▲ ． 12. 若0,0a b >>，且11121a b b =+++，则2a b +的最小值为 ▲ ． （第3题图）13．已知函数2,01,()12, 1.2x x x f x x +<⎧⎪=⎨+⎪⎩≤≥若0a b >≥，且()()f a f b =，则()bf a 的取值范围是 ▲ ．14. 已知曲线C ：()(0)af x x a x=>+，直线l ：y x =，在曲线C 上有一个动点P ，过点P 分别作直线l 和y 轴的垂线，垂足分别为,A B .再过点P 作曲线C 的切线，分别与直线l 和y 轴相交于点,M N ，O 是坐标原点.若ABP △的面积为12，则OMN △的面积为 ▲ ．二、解答题: 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答．．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明．．．．．．．．．．、．证．明．过程或．．．演算步骤．．．．．CE .求证：BCEF ⊥平面平面ACE16．已知ABC △的面积为S ，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，32AB AC S =．⑴求cos A 的值；⑵若,,a b c 成等差数列，求sin C 的值．17．已知一块半径为r 的残缺的半圆形材料ABC ，O 为半圆的圆心，12OC r =，残缺部分位于过点C 的竖直线的右侧．现要在这块材料上截出一个直角三角形，有两种设计方案：如图甲，以BC 为斜边；如图乙，直角顶点E 在线段OC 上，且另一个顶点D 在AB 上．要使截出的直角三角形的面积最大，应该选择哪一种方案？请说明理由，并求出截得直角三角形面BO C （第17题甲图）BO C（第17题乙图）E （第15题图）18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =12,A A 分别是椭圆E 的左、右两个顶点，圆2A 的半径为a ，过点1A 作圆2A 的切线，切点为P ，在x 轴的上方交椭圆E 于点Q ．⑴求直线OP 的方程； ⑵求1PQQA 的值； ⑶设a 为常数．过点O 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆E 于点,B C ，分别交圆2A 于点,M N ，记OBC △和OMN △的面积分别为1S ，2S ，求12S S ⋅的最大值．19．已知数列{}n a 满足：12(0)a a a =+≥，1n a +=*n ∈N ． ⑴若0a =，求数列{}n a 的通项公式；⑵设1n n n b a a +=-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：1n S a <．20．已知函数2()ln f x x ax x =--，a ∈R ．⑴若函数()y f x =在其定义域内是单调增函数，求a 的取值范围；（第18题图）⑵设函数()y f x=的图象被点(2,(2))P f分成的两部分为12,c c（点P除外），该函数图象在点P处的切线为l，且12,c c分别完全位于直线l的两侧，试求所有满足条件的a的值．徐州市、宿迁市高三年级第三次模拟考试数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本大题包括A、B、C、D共4小题，请从这4题中选做2小题．每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4-1：几何证明选讲如图，已知圆A，圆B都经过点C，BC是圆A的切线，圆B交AB于点D，连结CD并延长交圆A于点E，连结AE.求证2DE DC AD DB⋅=⋅.B．选修4-2：矩阵与变换已知,a b∈R，若矩阵13ab-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M所对应的变换把直线l：23x y-=变换为自身，求1-M.EA B CD（第21—A题图）C ．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知直线2cos sin 0(0)a a ρθρθ=>++被圆4sin ρθ=截得的弦长为2，求a 的值.D ．选修4-5：不等式选讲已知,,x y z ∈R ，且234x y z --=，求222x y z ++的最小值．22．【必做题】本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知16AA =，2AB =，,M N 分别是棱1BB ，1CC 上的点，且4BM =，2CN =.⑴求异面直线AM 与11A C 所成角的余弦值； ⑵求二面角1M AN A --的正弦值.23．【必做题】本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 已知函数021*********()C C C C (1)C (1)n n n r r n r n n n n n n n n f x x x x x x------=-+-+-++-,n *∈N ． ⑴当2n ≥时，求函数()f x 的极大值和极小值；⑵是否存在等差数列{}n a ，使得01121C C C (2)nn n n n a a a nf ++++=对一切n *∈N 都成立？并说明理由．徐州市、宿迁市高三年级第三次模拟考试数学参考答案与评分标准一、填空题1.3-；2. 0.032；3. 58； 4. {1,1}-； 5.(1,5)-； 6.112； ； ； 9.9； 10.3π4； 11. 38； 12.； 13.5[,3)4； 14. 4（第22题图） A BC A 1 B 1 C 1 M N二、解答题15.⑴因为CE ⊥圆O 所在的平面，BC ⊂圆O 所在的平面，所以CE BC ⊥，………………………………………………………………………………2分因为AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上，所以AC BC ⊥， ……………………………3分 因为AC CE C =，,AC CE ⊂平面ACE ，所以BC ⊥平面ACE ，………………………………………………………………………5分因为BC ⊂平面BCEF ，所以平面BCEF ⊥平面ACE ．…………………………………7分 ⑵由⑴AC BC ⊥，又因为CD 为圆O 的直径， 所以BD BC ⊥，因为,,AC BC BD 在同一平面内，所以AC BD ，…………………………………………9分 因为BD ⊄平面ACE ，AC ⊂平面ACE ，所以BD 平面ACE ．………………………11分因为BF CE ，同理可证BF 平面ACE ， 因为BD BF B =，,BD BF ⊂平面BDF ， 所以平面BDF 平面ACE ，因为DF ⊂平面BDF ，所以DF 平面ACE ．……………………………………………14分 16.⑴由32AB AC S =，得31cos sin 22bc A bc A =⨯，即4sin cos 3A A =．……………2分 代入22sin cos 1A A =+，化简整理得，29cos 25A =．……………………………………4分 由4sin cos 3A A =，知cos 0A >，所以3cos 5A =．………………………………………6分⑵由2b a c =+及正弦定理，得2sin sin sin B A C =+，即2sin()sin sin A C A C =++，………………………………………………………………8分所以2sin cos 2cos sin sin sin A C A C A C =++．①由3cos 5A =及4sin cos 3A A =，得4sin 5A =，……………………………………………10分代入①，整理得4sin cos 8CC -=． 代入22sin cos 1C C =+，整理得265sin 8sin 480C C --=，……………………………12分解得12sin 13C =或4sin 5C =-．因为(0,)C ∈π，所以12sin 13C =．…………………………………………………………14分17．如图甲，设DBC α∠=，则3cos 2r BD α=，3sin 2rDC α=， ………………………………………………2分所以29sin 216BDC S r α=△………………………………………………………………………4分2916r ≤， 当且仅当π4α=时取等号， …………………………………………………6分此时点D 到BC 的距离为34r ，可以保证点D 在半圆形材料ABC 内部，因此按照图甲方案得到直角三角形的最大面积为2916r ． …………………………………………………7分如图乙，设EOD θ∠=，则cos OE r θ=，sin DE r θ=，所以21(1cos )sin 2BDE S r θθ=+△，ππ[,]32θ∈ ． …………………………………10分设21()(1cos )sin 2f r θθθ=+，则21()(1cos )(2cos 1)2f r θθθ'=+-，当ππ[,]32θ∈时，()0f θ'≤，所以π3θ=时，即点E 与点C 重合时，BDE △的面积最大值为2． ………………………………………………………13分因为22916r >，2．…………14分18．⑴连结2A P ，则21A P A P ⊥，且2A P a =， 又122A A a =，所以1260A A P ∠=.所以260POA ∠=，所以直线OP的方程为y =.……………………………………3分 ⑵由⑴知，直线2A P的方程为)y x a =-，1A P的方程为)y x a +， 联立解得2P a x =. ………………………………………………………………………5分因为e =c a =2234c a =，2214b a =，故椭圆E 的方程为222241x y a a =+.由2222),41,y x a x y a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩+解得7Q a x =-，…………………………………………………………7分所以1()3274()7a a PQ a QA a --==---． ………………………………………………………………8分 ⑶不妨设OM 的方程为(0)y kx k =>，联立方程组2222,41,y kx x y aa =⎧⎪⎨=⎪⎩+解得B ，B O C（第17题甲图）B OC （第17题乙图） E所以OB =10分用1k-代替上面的k，得OC =．同理可得，OM =，ON =．…………………………………………13分所以41214S S OB OC OM ON a ⋅=⋅⋅⋅⋅=．………………………14分15， 当且仅当1k =时等号成立，所以12S S ⋅的最大值为45a ．………………………………16分19．⑴若0a =时，12a =，1n a +=212n n a a +=，且0n a >． 两边取对数，得1lg 22lg lg n n a a +=+，……………………………………………………2分化为11lg lg 2(lg lg 2)2n n a a +=++，因为1lg lg22lg2a =+，所以数列{lg lg2}n a +是以2lg2为首项，12为公比的等比数列．……………………4分 所以11lg lg22()lg2n n a -=+，所以2212n n a --=．………………………………………6分⑵由1n a +212n n a a a +=+，① 当2n ≥时，212n n a a a -=+，②①-②，得1112()()n n n n n n a a a a a a ++--=-+，…………………………………………8分 由已知0n a >，所以1n n a a +-与1n n a a --同号．…………………………………………10分因为2a =0a >，所以222212(2)(1)330a a a a a a -=-=>++++恒成立， 所以210a a -<，所以10n n a a +-<．………………………………………………………12分 因为1n n n b a a +=-，所以1()n n n b a a +=--， 所以21321[()()()]n n n S a a a a a a +=----+++11111()n n a a a a a ++=--=-<．…………………………………………………………16分20．⑴2121()21(0)ax x f x ax x x x-'=--=->+，………………………………………2分只需要2210ax x +-≤，即22111112()24a x x x -=--≤，所以18a -≤．…………………………………………………………………………………4分⑵因为1()21f x ax x'=--．所以切线l 的方程为1(4)(2)ln 2422y a x a =---+--．令21()ln (4)(2)ln 2422g x x ax x a x a ⎡⎤=------+--⎢⎥⎣⎦，则(2)0g =．212(4)1112()242ax a x g x ax a x x---'=-+-=-．………………………………………6分 若0a =，则2()2xg x x-'=，当(0,2)x ∈时，()0g x '>；当(2,)x ∈∞+时，()0g x '<，所以()(2)0g x g =≥，12,c c 在直线l 同侧，不合题意；…………………………………8分若0a ≠，12(2)()4()a x x a g x x-+'=-，若18a =-，2(1)2()0xg x x -'=≥，()g x 是单调增函数， 当(2,)x ∈∞+时，()(2)0g x g >=；当(0,2)x ∈时，()(2)0g x g <=，符合题意； (10)分若18a <-，当1(,2)4x a∈-时，()0g x '<，()(2)0g x g >=，当(2,)x ∈+∞时，()0g x '>，()(2)0g x g >=，不合题意； …………………………12分若108a -<<，当1(2,)4x a∈-时，()0g x '<，()(2)0g x g <=，当(0,2)x ∈时，()0g x '>，()(2)0g x g <=，不合题意； ……………………………14分 若0a >，当(0,2)x ∈时，()0g x '>，()(2)0g x g <=， 当(2.)x ∈+∞时，()0g x '<，()(2)0g x g <=，不合题意．故只有18a =-符合题意． ………………………………………………………………16分附加题21．A ．由已知，AC BC ⊥，因为90ACD BCD ∠∠=︒+，AC AE =，BC BD =，所以ACD E ∠=∠，BCD BDC ∠=∠，因为ADE BDC ∠=∠，所以90E ADE ∠∠=︒+， 所以AE AB ⊥.……………………………………………5分延长DB 交B 于点F ，连结FC ，则2DF DB =，90DCF ∠=︒， 所以ACD F ∠=∠，所以E F ∠=∠，所以Rt ADE △∽Rt CDF △， 所以AD DECD DF=，所以DE DC AD DF ⋅=⋅，因为2DF DB =， 所以2DE DC AD DB ⋅=⋅.…………………………………………………………………10分B ．对于直线l 上任意一点(),x y ，在矩阵M 对应的变换作用下变换成点(),x y ''，则133a x x ay x b y bx y y '--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦++， 因为23x y ''-=，所以2()(3)3x ay bx y --=++， ………………………………………4分FEA BC D （第21—A 题图）所以22,231,b a --=⎧⎨-=-⎩解得1,4.a b =⎧⎨=-⎩所以1143-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ， …………………………………………………………………………7分 所以13141--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M . ………………………………………………………………10分 C ．直线的极坐标方程化为直角坐标方程为20x y a =++， …………………………3分圆的极坐标方程化为直角坐标方程为224x y y =+，即22(2)4x y -=+ ，…………6分因为截得的弦长为2，所以圆心(0,2)0a >，所以2a =. ………………………………………10分D ．由柯西不等式，得2222222[(2)(3)][1(2)(3)]()x y z x y z ----++++++≤， 即2222(23)14()x y z x y z --++≤， ……………………………………………………5分 即2221614()x y z ++≤.所以22287x y z ++≥，即222x y z ++的最小值为87. …………………………………10分 22．⑴以AC 的中点为原点O ，分别以,OA OB 所在直线为,x z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -（如图）. 则(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(1,0,0)C -，B ，(1,2,0)N -，M ，1(1,6,0)A ，1(C -所以(AM =-，11(2,0,0)A C =-. 所以111111cos ,2AM A C AM A C AM A C <>===所以异面直线AM 与11A C ⑵平面1ANA 的一个法向量为(0,0,1)=m . 设平面AMN 的法向量为(,,)x y z =n ，因为由,,AM AN ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 得40,220,x y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩++令1x =，则(1,1,=n .所以3cos ,5-<>===m n m n m n ， 所以二面角1M AN A --. ……………………………………………10分 23．（1）101122()[C C C C (1)(1)C ]n n n n r r n rn n n n n n n f x x x x x x ----=-+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-=1(1)n n x x --，211()(1)(1)(1)n n n n f x n x x x n x ---'=--+⋅-=21(1)[(1)(1)]n n x x n x nx -----+，令()0f x '=得12310,,121n x x x n -===-， 因为2n ≥，所以123x x x <<．…………………………………………………2分 当n 为偶数时()f x 的增减性如下表：x(,0)-∞1(0,)21n n --121n n --1(,1)21n n --1(1,)+∞()f x '++-+()f x无极值极大值极小值所以当121n x n -=-时，121(1)()(21)n n n n n y n ---⋅--极大；当1x =时，0y =极小．………4分当n 为奇数时()f x 的增减性如下表：所以0x =时，0y =极大；当121n x n -=-时，121(1)()(21)n n n n n y n ---⋅-=-极小．…………6分 （2）假设存在等差数列{}n a 使01211231C C C C 2n n n n n n n a a a a n -++++⋅⋅⋅+=⋅成立， 由组合数的性质C C m n mn n-=， 把等式变为0121111C C C C 2n n n n n n n n n a a a a n -+-+++⋅⋅⋅+=⋅， 两式相加，因为{}n a 是等差数列，所以1123111n n n n a a a a a a a a +-++=+=+==+，故0111()(C C C )2nn n n n n a a n +++++=⋅， 所以11n a a n ++=． …………………………………………………………………8分 再分别令12n n ==，，得121a a +=且132a a +=，进一步可得满足题设的等差数列{}n a 的通项公式为1()n a n n *=-∈N ．………10分x(,0)-∞1(0,)21n n --121n n --1(,1)21n n --1(1,)+∞()f x '+-++()f x极大值极小值无极值。

徐州市、宿迁市2019高三三模数学试题及答案

徐州市、宿迁市2019高三三模数学试题及答案

市、宿迁市高三年级第三次模拟考试 2018.05.02数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑；锥体的体积公式：1=3V Sh 锥体，其中S 为锥体的底面面积，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1. 已知i 是虚数单位，若3ii(,)ia b a b =∈++R ，则ab 的值为 ▲ ． 2. 某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7,9.9,10.1,10.2,10.1，则这组数据的方差为 ▲ ．3. 右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ ．4. 若集合{}1,0,1A =-，{}|cos(),B y y x x A ==π∈，则A B = ▲ ．5. 方程22115x y k k =-++表示双曲线的充要条件是k ∈ ▲ ．6．在ABC △中，已知4cos 5A =，1tan()2A B -=-，则tan C 的值是 ▲ ．7. 已知实数,x y 满足1,3,10,x y x y -⎧⎪⎨⎪-⎩+≥≤≤则222x y x -+的最小值是 ▲ ．8. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若77S =，1575S =，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前20项和为▲ ．9. 已知三棱锥P ABC -的所有棱长都相等，现沿PA ，PB ，PC 三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为则三棱锥P ABC -的体积为 ▲ ．10．已知O 为ABC △的外心，若51213OA OB OC +-=0，则C ∠等于 ▲ ． 11. 已知数字发生器每次等可能地输出数字1或2中的一个数字，则连续输出的4个数字之和能被3整除的概率是 ▲ ．12. 若0,0a b >>，且11121a b b =+++，则2a b +的最小值为 ▲ ． 13．已知函数2,01,()12, 1.2x x x f x x +<⎧⎪=⎨+⎪⎩≤≥若0a b >≥，且()()f a f b =，则()bf a 的取值围是▲ ．（第3题图）14. 已知曲线C ：()(0)af x x a x=>+，直线l ：y x =，在曲线C 上有一个动点P ，过点P 分别作直线l 和y 轴的垂线，垂足分别为,A B .再过点P 作曲线C 的切线，分别与直线l和y 轴相交于点,M N ，O 是坐标原点.若ABP △的面积为12，则OMN △的面积为▲ ．二、解答题: 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明．．．．．．．．．．、．证．明．过程或演算步骤．．．．．．．．CE .求证：BCEF ⊥平面ACE DF 平面ACE16．已知ABC △的面积为S ，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，32AB AC S =． ⑴求cos A 的值；⑵若,,a b c 成等差数列，求sin C 的值．17．已知一块半径为r 的残缺的半圆形材料ABC ，O 为半圆的圆心，12OC r =，残缺部分位于过点C 的竖直线的右侧．现要在这块材料上截出一个直角三角形，有两种设计方案：如图甲，以BC 为斜边；如图乙，直角顶点E 在线段OC 上，且另一个顶点D 在AB 上．要使截出的直角三角形的面积最大，应该选择哪一种方案？请说明理由，并求出截得直角三角形面积的最大值．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率2e =，12,A A 分别是椭圆E 的左、右两个顶点，圆2A 的半径为a ，过点1A 作圆2A 的切线，切点为P ，在x 轴的上方交椭圆E 于点Q ． ⑴求直线OP 的方程；⑵求1PQ QA 的值；（第17题甲图） （第17题乙图）（第15题图）⑶设a 为常数．过点O 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆E 于点,B C ，分别交圆2A 于点,M N ，记OBC △和OMN △的面积分别为1S ，2S ，求12S S ⋅的最大值．19．已知数列{}n a 满足：12(0)a a a =+≥，1n a +=*n ∈N ． ⑴若0a =，求数列{}n a 的通项公式；⑵设1n n n b a a +=-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：1n S a <．20．已知函数2()ln f x x ax x =--，a ∈R ．⑴若函数()y f x =在其定义域是单调增函数，求a 的取值围；⑵设函数()y f x =的图象被点(2,(2))P f 分成的两部分为12,c c （点P 除外），该函数图象在点P 处的切线为l ，且12,c c 分别完全位于直线l 的两侧，试求所有满足条件的a 的值．（第18题图）市、宿迁市高三年级第三次模拟考试数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本大题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请从这4题中选做2小题．每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4-1：几何证明选讲如图，已知圆A ，圆B 都经过点C ，BC 是圆A 的切线，圆B 交AB 于点D ，连结CD 并延长交圆A 于点E ，连结AE .求证2DE DC AD DB ⋅=⋅.B ．选修4-2：矩阵与变换已知,a b ∈R ，若矩阵13a b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 所对应的变换把直线l ：23x y -=变换为自身，求1-M .C ．选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知直线2cos sin 0(0)a a ρθρθ=>++被圆4sin ρθ=截得的弦长为2，求a 的值.D ．选修4-5：不等式选讲已知,,x y z ∈R ，且234x y z --=，求222x y z ++的最小值．22．【必做题】本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知16AA =，2AB =，,M N 分别是棱1BB ，1CC 上的点，且4BM =，2CN =.EA B C D （第21—A 题图）⑴求异面直线AM 与11A C 所成角的余弦值； ⑵求二面角1M AN A --的正弦值.23．【必做题】本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知函数021*********()C C C C (1)C (1)n n n r r n rn n n n n n n n f x x x x x x------=-+-+-++-,n *∈N ． ⑴当2n ≥时，求函数()f x 的极大值和极小值；⑵是否存在等差数列{}n a ，使得01121C C C (2)nn n n n a a a nf ++++=对一切n *∈N 都成立？并说明理由．市、宿迁市高三年级第三次模拟考试数学参考答案与评分标准一、填空题1.3-；2. 0.032；3.58； 4. {1,1}-； 5.(1,5)-； 6.112； 7.1； 8.55； 9.9； 10.3π4； 11. 38； 12.13.5[,3)4； 14. 4二、解答题15.⑴因为CE ⊥圆O 所在的平面，BC ⊂圆O 所在的平面，所以CE BC ⊥，………………………………………………………………………………2分 因为AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上，所以AC BC ⊥， ……………………………3分 因为AC CE C =，,AC CE ⊂平面ACE ，所以BC ⊥平面ACE ，………………………………………………………………………5分 因为BC ⊂平面BCEF ，所以平面BCEF ⊥平面ACE ．…………………………………7分 ⑵由⑴AC BC ⊥，又因为CD 为圆O 的直径， 所以BD BC ⊥，因为,,AC BC BD 在同一平面，所以AC BD ，…………………………………………9分 因为BD ⊄平面ACE ，AC ⊂平面ACE ，所以BD 平面ACE ．………………………11分 因为BF CE ，同理可证BF 平面ACE ， 因为BD BF B =，,BD BF ⊂平面BDF ， 所以平面BDF 平面ACE ，因为DF ⊂平面BDF ，所以DF 平面ACE ．……………………………………………14分16.⑴由32AB AC S =，得31cos sin 22bc A bc A =⨯，即4sin cos 3A A =．……………2分（第22题图） A B C A 1B 1C 1 M N代入22sin cos 1A A =+，化简整理得，29cos 25A =．……………………………………4分 由4sin cos 3A A =，知cos 0A >，所以3cos 5A =．………………………………………6分 ⑵由2b a c =+及正弦定理，得2sin sin sinB AC =+，即2sin()sin sin A C A C =++，………………………………………………………………8分 所以2sin cos 2cos sin sin sin A C A C A C =++．①由3cos 5A =及4sin cos 3A A =，得4sin 5A =，……………………………………………10分代入①，整理得4sin cos 8CC -=．代入22sin cos 1C C =+，整理得265sin 8sin 480C C --=，……………………………12分解得12sin 13C =或4sin 5C =-．因为(0,)C ∈π，所以12sin 13C =．…………………………………………………………14分17．如图甲，设DBC α∠=，则3cos 2r BD α=，3sin 2rDC α=， ………………………………………………2分所以29sin 216BDC S r α=△ (4)分 2916r ≤， 当且仅当π4α=时取等号， …………………………………………………6分此时点D 到BC 的距离为34r ，可以保证点D 在半圆形材料ABC 部，因此按照图甲方案得到直角三角形的最大面积为2916r ． …………………………………………………7分如图乙，设EOD θ∠=，则cos OE r θ=，sin DE r θ=，所以21(1cos )sin 2BDE S r θθ=+△，ππ[,]32θ∈ ． …………………………………10分设21()(1cos )sin 2f r θθθ=+，则21()(1cos )(2cos 1)2f r θθθ'=+-，当ππ[,]32θ∈时，()0f θ'≤，所以π3θ=时，即点E 与点C 重合时，BDE △2． ………………………………………………………13分22916r >，（第17题甲图）（第17题乙图）2．…………14分 18．⑴连结2A P ，则21A P A P ⊥，且2A P a =， 又122A A a =，所以1260A A P ∠=.所以260POA ∠=，所以直线OP的方程为y =.……………………………………3分 ⑵由⑴知，直线2A P的方程为)y x a =-，1A P的方程为)y x a =+， 联立解得2P ax =. ………………………………………………………………………5分因为e，即c a =2234c a =，2214b a =，故椭圆E 的方程为222241x y a a =+.由2222),41,y x a x y a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩+解得7Q a x =-，…………………………………………………………7分 所以1()3274()7a a PQ a QA a --==---． ………………………………………………………………8分 ⑶不妨设OM 的方程为(0)y kx k =>，联立方程组2222,41,y kx x y aa =⎧⎪⎨=⎪⎩+解得B ，所以OB =10分用1k-代替上面的k，得OC =．同理可得，OM =，ON =．…………………………………………13分所以41214S S OB OC OM ON a ⋅=⋅⋅⋅⋅=．………………………14分15=，当且仅当1k =时等号成立，所以12S S ⋅的最大值为45a ．………………………………16分19．⑴若0a =时，12a =，1n a +=212n n a a +=，且0n a >．两边取对数，得1lg 22lg lg n n a a +=+，……………………………………………………2分化为11lg lg 2(lg lg 2)2n n a a +=++，因为1lg lg22lg2a =+，所以数列{lg lg2}n a +是以2lg2为首项，12为公比的等比数列．……………………4分 所以11lg lg22()lg22n n a -=+，所以2212n n a --=．………………………………………6分⑵由1n a +=212n n a a a +=+，① 当2n ≥时，212n n a a a -=+，②①-②，得1112()()n n n n n n a a a a a a ++--=-+，…………………………………………8分 由已知0n a >，所以1n n a a +-与1n n a a --同号．…………………………………………10分因为2a =，且0a >，所以222212(2)(1)330a a a a a a -=-=>++++恒成立， 所以210a a -<，所以10n n a a +-<．………………………………………………………12分 因为1n n n b a a +=-，所以1()n n n b a a +=--， 所以21321[()()()]n n n S a a a a a a +=----+++11111()n n a a a a a ++=--=-<．…………………………………………………………16分20．⑴2121()21(0)ax x f x ax x x x-'=--=->+，………………………………………2分只需要2210ax x +-≤，即22111112()24a x x x -=--≤，所以18a -≤．…………………………………………………………………………………4分⑵因为1()21f x ax x'=--．所以切线l 的方程为1(4)(2)ln 2422y a x a =---+--．令21()ln (4)(2)ln 2422g x x ax x a x a ⎡⎤=------+--⎢⎥⎣⎦，则(2)0g =．212(4)1112()242ax a x g x ax a x x---'=-+-=-．………………………………………6分 若0a =，则2()2xg x x-'=，当(0,2)x ∈时，()0g x '>；当(2,)x ∈∞+时，()0g x '<，所以()(2)0g x g =≥，12,c c 在直线l 同侧，不合题意；…………………………………8分若0a ≠，12(2)()4()a x x a g x x -+'=-， 若18a =-，2(1)2()0xg x x -'=≥，()g x 是单调增函数， 当(2,)x ∈∞+时，()(2)0g x g >=；当(0,2)x ∈时，()(2)0g x g <=，符合题意；…10分若18a <-，当1(,2)4x a∈-时，()0g x '<，()(2)0g x g >=，当(2,)x ∈+∞时，()0g x '>，()(2)0g x g >=，不合题意； …………………………12分若108a -<<，当1(2,)4x a ∈-时，()0g x '<，()(2)0g x g <=，当(0,2)x ∈时，()0g x '>，()(2)0g x g <=，不合题意； ……………………………14分 若0a >，当(0,2)x ∈时，()0g x '>，()(2)0g x g <=， 当(2.)x ∈+∞时，()0g x '<，()(2)0g x g <=，不合题意．故只有18a =-符合题意． ………………………………………………………………16分附加题21．FA BC DA ．由已知，AC BC ⊥，因为90ACD BCD ∠∠=︒+，AC AE =，BC BD =，所以ACD E ∠=∠，BCD BDC ∠=∠，因为ADE BDC ∠=∠，所以90E ADE ∠∠=︒+， 所以AE AB ⊥.……………………………………………5分 延长DB 交B 于点F ，连结FC ，则2DF DB =，90DCF ∠=︒，所以ACD F ∠=∠，所以E F ∠=∠，所以Rt ADE △∽Rt CDF △， 所以AD DECD DF=，所以DE DC AD DF ⋅=⋅，因为2DF DB =， 所以2DE DC AD DB ⋅=⋅.…………………………………………………………………10分 B ．对于直线l 上任意一点(),x y ，在矩阵M 对应的变换作用下变换成点(),x y ''，则133a x x ay x b y bx y y '--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦++， 因为23x y ''-=，所以2()(3)3x ay bx y --=++， ………………………………………4分 所以22,231,b a --=⎧⎨-=-⎩解得1,4.a b =⎧⎨=-⎩所以1143-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ， …………………………………………………………………………7分 所以13141--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M . ………………………………………………………………10分 C ．直线的极坐标方程化为直角坐标方程为20x y a =++， …………………………3分圆的极坐标方程化为直角坐标方程为224x y y =+，即22(2)4x y -=+ ，…………6分 因为截得的弦长为2，所以圆心(0,2)=0a >，所以2a . ………………………………………10分D ．由柯西不等式，得2222222[(2)(3)][1(2)(3)]()x y z x y z ----++++++≤，即2222(23)14()x y z x y z --++≤， ……………………………………………………5分 即2221614()x y z ++≤.所以22287x y z ++≥，即222x y z ++的最小值为87. …………………………………10分 22．⑴以AC 的中点为原点O ，分别以,OA OB 所在直线为,x z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -（如图）. 则(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(1,0,0)C -，B ，(1,2,0)N -，M ，1(1,6,0)A ，1(1,6,0)C -.所以(AM =-，11(2,0,0)A C =-.所以111111cos ,102AM A C AM AC AM A C <>===所以异面直线AM 与11A C .⑵平面1ANA 的一个法向量为(0,0,1)=m .设平面AMN 的法向量为(,,)x y z =n，因为(AM =-，(2,2,0)AN =-，由,,AM AN ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n得40,220,x y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩+++令1x =，则(1,1,=n .所以3cos ,5-<>===m n m n m n ，所以二面角1M AN A --. ……………………………………………10分 23．（1）101122()[C C C C (1)(1)C ]n n n n r r n r n n n n n n n f x x x x x x ----=-+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+- =1(1)n n xx --， 211()(1)(1)(1)n n n n f x n x x x n x ---'=--+⋅-=21(1)[(1)(1)]n n x x n x nx -----+，令()0f x '=得12310,,121n x x x n -===-， 因为2n ≥，所以123x x x <<．…………………………………………………2分 当n 为偶数时()f x 的增减性如下表：x(,0)-∞1(0,)21n n --121n n --1(,1)21n n --1(1,)+∞()f x '+ 0+-+()f x无极值极大值极小值所以当121n x n -=-时，121(1)()(21)n n n n n y n ---⋅--极大；当1x =时，0y =极小．………4分当n 为奇数时()f x 的增减性如下表：所以0x =时，0y =极大；当121n x n -=-时，121(1)()(21)n n n n n y n ---⋅-=-极小．…………6分 （2）假设存在等差数列{}n a 使01211231C C C C 2n n n n n n n a a a a n -++++⋅⋅⋅+=⋅成立， 由组合数的性质C C m n mn n-=， x(,0)-∞1(0,)21n n --121n n --1(,1)21n n --1(1,)+∞()f x '+ 0-++()f x极大值极小值无极值把等式变为0121111C C C C 2n n n n n n n n n a a a a n -+-+++⋅⋅⋅+=⋅， 两式相加，因为{}n a 是等差数列，所以1123111n n n n a a a a a a a a +-++=+=+==+，故0111()(C C C )2n n n n n n a a n +++++=⋅，所以11n a a n ++=． …………………………………………………………………8分 再分别令12n n ==，，得121a a +=且132a a +=， 进一步可得满足题设的等差数列{}n a 的通项公式为1()n a n n *=-∈N ．………10分。

江苏省徐州市20192019学年度高三年级第三次调研考试word版含答案

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徐州市2019/2019学年度高三年级第三次调研考试数 学 试 题正题部分 (总分160分,考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上. 1．若复数21(1)i z a a =-+-(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数a . 1- 2．已知函数y =的定义域为集合P ,N 为自然数集,则集合P N 中元素的个数为 . 33．若函数()sin()(f x A x A ωϕ=+>的部分图象如图所示，则ω4．在矩形ABCD 中，2AB =， 3BC =，以BC 边所在直线为轴旋转一周，则形成的几何体的侧面积为 . 12π5．已知向量(sin ,cos ),(1,2)x x ==-a b ，且//a b ，则tan x = . 12-6．已知变量,x y 满足236y x x y y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≥≥，则2z x y =+的最大值是 .97．下面是一个算法的程序框图，当输入值x 为8时，则其输出的结果是 .28．在某次数学小测验后，老师统计了所任两个班级的数学成绩，并制成下面的频率分布表，请你估计这两个班的本次数学测验的平均分为 . 82第7题图 第8题图9．一颗正方体骰子，其六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列的概率为________．11210．已知p ：112x ≤≤，q ：()(1)0x a x a --->，若p 是q ⌝的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 . 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．在数列{}n a 中，若对任意的n 均有12n n n a a a ++++为定值（n *∈N ），且79982,3,4a a a ===，则此数列{}n a 的前100项的和100S = .29912．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率是3过椭圆上一点M 作直线,MA MB 交椭圆于,A B 两点，且斜率分别为12,k k ，若点,A B 关于原点对称，则12k k ⋅的值为 .13-13．已知扇形的圆心角为2α（定值），半径为R （定值），分别按图一、二作扇形的内接矩形，若按图一作出的矩形面积的最大值为21tan 2R α，则按图二作出的矩形面积的最大值为 . 2tan 2R α14．设函数2()21f x x x =+-，若1,a b <<-且()(),f a f b =则ab a b ++的取值范围为 .()1,1-二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.15．在三角形ABC 中，已知2AB AC AB AC ⋅=⋅，设CAB α∠=， （1）求角α的值；（2）若cos(-βα5(,)36βππ∈，求cos β的值.图一第13题图图二解：（1）由2AB AC AB AC ⋅=⋅，得2cos AB AC AB AC α⋅=⋅ 所以1cos 2α=，又因为0α<<π为三角形ABC 的内角，所以3απ=， …………………………………………6分（2）由（1）知：sin α=，且(0,)2βαπ-∈，所以1sin()7βα-= …………………………………………8分故cos cos()cos()cos sin()sin ββααβααβαα=-+=---＝11727214-⨯=. …………………………………………14分 16．如图，平面ABCD ⊥平面PAD ,△APD 是直角三角形，090APD ∠=，四边形ABCD 是直角梯形,其中//BC AD ,90BAD ∠=,BC AD 2=,的中点是AD O (1)求证：//CD PBO 平面；(2)求证:PAB PCD ⊥平面平面.16．证明：（1）因为2AD BC =,且O 是AD 中点， 所以OD BC =，又//AD BC ， 所以//OD BC ， 所以四边形BCDO 为平行四边形， …………………………………………2分 所以//,CD BO CD ⊄平面PBO , 且BO ⊂平面PBO ,故//CD 平面PBO , …………………………………………6分 (2)因为90BAD ∠=，所以BA AD ⊥， 又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD平面ABCD AD =,AB ⊂平面ABCD ,所以AB ⊥平面PAD , …………………………………………8分 PD ⊂平面PAD ，所以AB PD ⊥,,AP PD ABAP A ⊥=，所以PD ⊥平面PAB , …………………………………………12分 PD ⊂平面PCD ，故平面PAB ⊥平面PCD . …………………………………………14分ADCBPO第16题图ADCBPO第16题图17．已知圆M 的方程为22(2)1x y +-=，直线l 的方程为20x y -=，点P 在直线l 上，过P点作圆M 的切线,PA PB ，切点为,A B ． （1）若60APB ∠=，试求点P 的坐标；（2）若P 点的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于,C D 两点，当CD =求直线CD的方程；（3）求证：经过,,A P M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.解：（1）设(2,)P m m ，由题可知2MP =，所以22(2)(2)4m m +-=，解之得：40,5m m == 故所求点P 的坐标为(0,0)P 或84(,)55P ． …………………………………………4分 （2）设直线CD 的方程为：1(2)y k x -=-，易知k 存在，由题知圆心M 到直线CD 的距离为2，所以2=， …………………………………………6分 解得，1k =-或17k =-， 故所求直线CD 的方程为：30x y +-=或790x y +-=．………………………8分 （3）设(2,)P m m ，MP 的中点(,1)2mQ m +，因为PA 是圆M 的切线 所以经过,,A P M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆， 故其方程为：2222()(1)(1)22m mx m y m -+--=+-……………………………10分 化简得：222(2)0x y y m x y +--+-=，此式是关于m 的恒等式，故2220,20,x y y x y ⎧+-=⎨+-=⎩解得02x y =⎧⎨=⎩或1,1.x y =⎧⎨=⎩所以经过,,A P M 三点的圆必过定点(0,2)或(1,1).…………………………………14分18．已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，n S 为其前n 项和，且满足221n n a S -=，令11n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T .（1）求数列{}n a 的通项公式及数列{}n b 的前n 项和为n T ；（2）是否存在正整数,m n (1)m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有的,m n的值；若不存在，请说明理由.17．解：（1）因为{}n a 是等差数列，由212121()(21)(21)2n n n n a a n a S n a --+-===-，又因为0n a ≠，所以21n a n =-， ……2分 由111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===--+-+， 所以111111(1)2335212121n nT n n n =-+-++-=-++． ……6分 (2)由(1)知，21n n T n =+， 所以11,,32121m n m nT T T m n ===++， 若1,,m n T T T 成等比数列，则21()()21321m nm n =++，即2244163m n m m n =+++．……8分 解法一：由2244163m n m m n =+++， 可得223241m m n m-++=， 所以22410m m -++>， ……12分 从而：11m <<+m ∈N ，且1m >，所以2m =，此时12n =． 故可知：当且仅当2m =， 12n =使数列{}n T 中的1,,m n T T T 成等比数列。

江苏省宿迁市2019届高三第三次调研测试数学试题(含答案)

江苏省宿迁市2019届高三第三次调研测试数学试题(含答案)

（第3题） y ←3- xy ←3+x宿迁市2019届高三第三次调研测试数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1． 已知集合{1023}U =-，，，，{03}A =，，则U A =ð ▲ ． 2． 已知复数i 13i a z +=+（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a3． 右图是一个算法流程图．若输出y 的值为4，则输入x 的值为 ▲ ．4． 已知一组数据6，6，9，x ，y 的平均数是8，且90xy =，则该组数据的方差为 ▲ ．5． 一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球．从中1次随机摸出2只球，则2只球都是白球的概率为 ▲ ．6． 已知函数2220()20x x x f x x x x ⎧-=⎨--<⎩，≥，，，则不等式()()f x f x >-的解集为 ▲ ．7． 已知{}n a 是等比数列，前n 项和为n S ．若324a a -=，416a =，则3S 的值为 ▲ ．8． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221y x a b-=（00a b >>，）的右准线与两条渐近线分别 交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为4ab ，则该双曲线的离心率为 ▲ ． 9． 已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB =3 cm ，BC =1 cm ，CD =2 cm ．将此直角梯形绕AB 边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体的体积为 ▲ cm 3．10．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线sin 2y x =与1tan 8y x =在()ππ，上交点的横坐标为α，则sin 2α的值为 ▲ ．11．如图，正六边形ABCDEF 中，若AD AC AE λμ=+（λμ∈，R ），则λμ+的值为 ▲ ．E（第16题）12．如图，有一壁画，最高点A 处离地面6 m ，最低点B 处离地面3.5 m ．若从离地高2 m 的 C 处观赏它，则离墙 ▲ m 时，视角θ最大．13．已知函数2()23f x x x a =-+，2()1g x x =-．若对任意[]103x ∈，，总存在[]223x ∈，，使得12()()f x g x ≤成立，则实数a 的值为 ▲ ．14．在平面四边形ABCD 中，90BAD ∠=︒， 2AB =，1AD =．若43AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅，则12CB CD +的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，(sin sin )()(sin sin )a A B c b B C -=-+． （1）求角C 的值；（2）若4a b =，求sin B 的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，平面BPC ⊥平面DPC ，BP BC =，E ，F 分别是PC ，AD 的中点．求证：（1）BE ⊥CD ； （2）EF ∥平面P AB ．（第11题）A（第12题）17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221y x C a b+=：（0a b >>）的上顶点为(0A ，圆2224a O x y +=：经过点()01M ，． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点M 作直线1l 交椭圆C 于P ，Q 两点，过点M 作直线1l 的垂线2l 交圆O 于另一点N ． 若△PQN 的面积为3，求直线1l 的斜率． 18．（本小题满分16分）南通风筝是江苏传统手工艺品之一．现用一张长2 m ，宽1.5 m 的长方形牛皮纸ABCD 裁剪 风筝面，裁剪方法如下：分别在边AB ，AD 上取点E ，F ，将三角形AEF 沿直线EF 翻折到A EF '处，点A '落在牛皮纸上，沿AE'，AF '裁剪并展开，得到风筝面AEA F '，如图1． （1）若点E 恰好与点B 重合，且点A '在BD 上，如图2，求风筝面ABA F '的面积； （2）当风筝面AEA F '2m 时，求点A '到AB 距离的最大值．（第17题）（图1）C（图2）（E ）C19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足11(2)(21)n n n n na a a a ---=-（2n ≥），1n n b n =-（n *∈N ）．（1）若1=3a ，证明：{}n b 是等比数列；（2）若存在k *∈N ，使得1k a ，11k a +，21k a +成等差数列．① 求数列{}n a 的通项公式；② 证明：111ln ln(1)n n n a n a ++>+-．20．（本小题满分16分）已知函数2()1ln ax f x x=+（0a ≠），e 是自然对数的底数．（1）当0a >时，求()f x 的单调增区间；（2）若对任意的12x ≥，1()2e b f x -≥（b ∈R ），求b a 的最大值；（3）若()f x 的极大值为2-，求不等式()e 0x f x +<的解集．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在．．．．．．．．．答题卡．．．相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．． A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知a b c d ∈，，，R ，矩阵20a b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的逆矩阵111c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ．若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到曲线21y x =+，求曲线C 的方程．B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标平面内，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A，B的极坐标分别为()π42，，()5π4，，曲线C的方程为rρ=（0r>）．（1）求直线AB的直角坐标方程；（2）若直线AB和曲线C有且只有一个公共点，求r的值．C．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a∈R，若关于x的方程2410x x a a++-+=有实根，求a的取值范围．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）现有一款智能学习APP，学习内容包含文章学习和视频学习两类，且这两类学习互不影响．已知该APP积分规则如下：每阅读一篇文章积1分，每日上限积5分；观看视频累计3分钟积2分，每日上限积6分．经过抽样统计发现，文章学习积分的概率分布表如表1所示，视频学习积分的概率分布表如表2所示．表1 表2（1）现随机抽取1人了解学习情况，求其每日学习积分不低于9分的概率；（2）现随机抽取3人了解学习情况，设积分不低于9分的人数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望．23．（本小题满分10分）设202(1)i nn i i nP C =-=∑，212(1)j nn jj n jQ C =-⋅=∑． （1）求222P Q -的值； （2）化简n n nP Q -．宿迁市2019届高三第三次调研测试一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．【答案】{12}-，2．【答案】3-3．【答案】1-4．【答案】1455．【答案】126．【答案】(20)(2)-+∞，，7．【答案】148．【答案】29．π【答案】7310．【答案】11．【答案】4312．13．【答案】1-314．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．【解】（1）在△ABC 中， 因为(sin sin )()(sin sin )a A B c b B C -=-+，由正弦定理a b c ==，所以()()()a a b b c c b -=+-． …… 3分即222a b c ab +-=，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得1cos 2C =． …… 5分又因为0πC <<，所以π3C =． …… 7分（2）方法一：因为4a b =及222a b c ab +-=，得2222216413c b b b b =+-=，即c ， …… 10分 由正弦定理sin sin c b C B =sin b B =，所以sin B ． …… 14分方法二：由正弦定理sin sin =a b A B ，得sin 4sin =A B ．由++=πA B C ，得sin()4sin +=B C B ， 因为3π=C，所以1sin 4sin 2+=B B B ，即7sin =B B ． …… 11分 又因为22sin cos 1+=B B ，解得，23sin =B ，因为在△ABC 中，sin 0>B ，所以39sin 26=B . …… 14分备注：1. 第（1）小题中“正弦定理sin sin sin a b c A B C==”必须交代，其中“正弦定理”与“sin sin sin a b c A B C==”交代之一即可，若都不写则扣一分； 第（1）小题中“余弦定理2222cos c a b ab C =+-”必须交代，其中“余弦定理”与“2222cos c a b ab C =+-”交代之一即可，若都不写则扣一分；2. 第（2）小题的法二中由7sin B B 得出sin =BCEH16．【证】（1）在△PBC 中，因为BP BC =，E 是PC 的中点， 所以BE ⊥PC ． …… 2分 又因为平面BPC ⊥平面DPC ， 平面BPC平面DPC PC =，BE ⊂平面BPC ，所以BE ⊥平面PCD ． …… 5分 又因为CD ⊂平面DPC ，所以BE ⊥CD ． …… 7分 （2）取PB 的中点H ，连结EH ，AH ． 在△PBC 中，又因为E 是PC 的中点， 所以HE ∥BC ，12HE BC =．…… 9分又底面ABCD 是平行四边形，F 是AD 的中点， 所以AF ∥BC ，12AF BC =．所以HE ∥AF ，HE AF =， 所以四边形AFEH 是平行四边形，所以EF ∥HA ． …… 12分 又因为EF ⊄平面P AB ，HA ⊂平面P AB ，所以EF ∥平面P AB ． …… 14分 备注：1. 证明过程中每一逻辑段若缺少条件，则该逻辑段不给分； 2. 第（2）小题证明方法比较多，其他方法酌情给分。

徐州宿迁三模含答案9页

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徐州市2019届高三第三次质量检测数学Ⅰ．{}4N==N▲的虚部是．，2，2，3，．若连续抛掷该玩具两次，则567．已知点P C8．的前n项和．若3n nS tT=，则实数t的值为▲．9．已知实数x,y满足条件0,0,1,x yx yx-⎧⎪+⎨⎪⎩≥≥≤则1()2xy-的最大值为▲．10．在平面直角坐标系xOy中，直线1y=与函数π3sin(010)2y x x=≤≤的图象所有交点的横坐标之和为▲．11．已知111(,)P x y，222(,)P x y是以原点O为圆心的单位圆上的两点，12POPθ∠=（θ为钝角）．若π3sin()45θ+=，则1212x x y y+的值为▲．12．已知函数()f x是定义在R上的奇函数，且当0x≤时，2()3f x x x=--，则不等式(1)4f x x->-+的解集是▲．13．如图，在△ABC中，已知π3BAC∠=，2AB=，3AC=，2DC BD=，3AE ED=，则BE=▲．14．已知函数1()()e xaf x ax=-∈R．若存在实数m，n，使得()0f x≥的解集恰为[],m n，则a的取值范围是▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本小题满分14分）（第5题图）a（第4题图）（第13题图）ACEB14题)、解答题15题～第分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在△ABC 中，已知π6C =，向量(sin ,1)A =m ，(1,cos )B =n ，且⊥m n ． （1）求A 的值；（2）若点D 在边BC 上，且3BD BC =，AD =ABC 的面积． 16．（本小题满分14分）如图，在五面体ABCDEF 中，已知DE ⊥平面ABCD ，//AD BC ，o 60BAD ∠=，2AB =，1DE EF ==．（1）求证：//BC EF ；（2）求三棱锥B DEF -的体积．17．（本小题满分14分）根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件，每日产品废品率p 与日产量x (件)之间近似地满足关系式*2*219,,1560 1020,540x x xp x x x ⎧∈⎪⎪-=⎨+⎪∈⎪⎩N N , ≤≤,　≤≤(日产品废品率=日废品量日产量×100％)．已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元．（该车间的日利润y =日正品赢利额-日废品亏损额）（1）将该车间日利润y (千元)表示为日产量x (件)的函数；（2）当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？ 18．（本小题满分16分）如图，已知1A ，2A ，1B ，2B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的四个顶点，△112A B B 是一个边长为2的等边三角形，其外接圆为圆M ．（1）求椭圆C 及圆M 的方程；（2）若点D 是圆M 劣弧12A B 上一动点（点D 异于端点1A ，2B ），直线1B D 分别交线段12A B ，椭圆C 于点E ，G ，直线2B G 与11A B 交于点F ． （i ）求11GB EB 的最大值； （ii ）试问：E ，F 两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a ，{}n b 满足13a =，n a （1）求证：数列1{}nb （2）设数列{}nc 满足25n n c a =-r (p q r <<)，使得1p c ，1q c r不存在，说明理由．（第16题图） FA CDE B20．（本小题满分16分）已知函数2()(12)ln ()f x ax a x x a =+--∈R ． （1）当0a >时，求函数()f x 的单调增区间；（2）当0a <时，求函数()f x 在区间1[,1]2上的最小值；（3）记函数()y f x =图象为曲线C ，设点11(,)A x y ，22(,)B x y 是曲线C 上不同的两点，点M 为线段AB 的中点，过点M 作x 轴的垂线交曲线C 于点N ．试问：曲线C 在点N 处的切线是否平行于直线AB ？并说明理由．徐州市2019届高三第三次质量检测数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两题评分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A ．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE =AC ， DE 交AB 于点F ．求证：△PDF ∽△POC ．B ．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分） 已知矩阵12c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A （c ，d 为实数）．若矩阵A 属于特征值2，3的一个特征向量分别为21⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 的逆矩阵1-A ．C ．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆A 的圆心为(4,0)，半径为4，点M 为圆A 上异于极点O 的动点，求弦OM 中点的轨迹的极坐标方程．D ．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知x ，y ，z ∈R ，且2380x y z +++=．求证：222(1)(2)(3)14x y z -+++-≥． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知1CA CB ==，12AA =，o 90BCA ∠=． （1）求异面直线1BA 与1CB 夹角的余弦值； （2）求二面角1B AB C --平面角的余弦值． 23．（本小题满分10分）（第21-A 题） A B P F O E D C · A 1B 1C 1注 意 事 项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共2页，均为非选择题(第21题～第23题)。

宿迁市2019年高三年级模拟试卷(三)(数学)

宿迁市2019年高三年级模拟试卷(三)(数学)

绝密★启用前宿迁市2019年高三年级高考模拟试卷（三）数 学 Ⅰ 试 卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．. 1．已知集合[1,5)A =，(,)B a =-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 2．已知样本3，4，5，x ，y 的平均数是3，则xy 的值为 ▲ ． 3．已知流程图如图所示，为使输出的b 值为16，则判断框内①处应填 ▲ ． 4．函数log ()a y x b =+的图象如图所示，则a b +的值为 ▲ ．5．若复数z 满足34i 1(i z -+=是虚数单位)，则z 最大值为 ▲ ．6．已知向量(3,1)=-a ，(1,2)=-b ，若()k ⊥+a a b ，则实数k = ▲ ．7．函数2cos y x x =+在区间[]0,π上的最大值为 ▲ ．第3题图8．设βα,为两个不重合的平面，n m ,是两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若α⊂m ，α⊂n ，mβ，n β，则αβ；②若,,βα⊂⊂m n βα与相交且不垂直，则m n 与不垂直； ③若n m m ⊥=⊥,,βαβα ，则n ⊥β；④若βαα//,,//⊥n n m ，则β⊥m ．其中所有真命题的序号是 ▲ ． 9．直径为2的半圆上一点到直径两端点距离之和的最大值为 ▲ ．10．投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，第一次出现向上的点数为a ，第二次出现向上的点数为b ，直线1l 的方程为ax －by －3＝0，直线2l 的方程为x －2y －2＝0，则直线1l 与直线2l 有交点的概率为 ▲ ．11．用大小一样的钢珠可以排成正三角形、正方形与正五边形数组，其排列的规律如下图所示：已知m 个钢珠恰好可以排成每边n 个钢珠的正三角形数组与正方形数组各一个；且知若用这m 个钢珠去排成每边n 个钢珠的正五边形数组时，就会多出9个钢珠，则 m ＝ ▲ ．12．若函数21()ln 2f x x ax x =-+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 13．已知⊙A ：221x y +=，⊙B: 22(3)(4)4x y -+-=，P 是平面内一动点，过P 作⊙A 、⊙B 的切线，切点分别为D 、E ，若PE PD =，则P 到坐标原点距离的最小值为 ▲ ．14．设{}n a 是一个公差为d （d >０）的等差数列．若12233411134a a a a a a ++=，且其前6项的和621S =，则n a = ▲ ．二、解答题: 本大题共6小题， 15-17每题14分，18-20每题16分，共计90分．请在答题．．卡指定的区域内作答．．．．．．．．．， 解答时应写出文字说明， 证明过程或演算步骤． 15．在ABC ∆中，已知()()3a b c a c b ac +++-=.（1）求角B 的度数；（2）求22cos cos()A A C +-的取值范围.16.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，F 为1DC 的中点. （1）求证：1BD 平面1C DE ；（2）求三棱锥A BDF -的体积.17.如图， 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴为AB ，过点B 的直线l 与x 轴垂直．直线(2)(12)(12)0()k x k y k k R --+++=∈所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点,且椭圆的离心率e . （1）求椭圆的标准方程；（2）设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，PH x ⊥轴，H 为垂足，延长HP 到点Q 使得HP PQ =，连结AQ 延长交直线l 于点M ，N 为MB 的中点．试判断直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系．18.某地区共有100户农民从事蔬菜种植，据调查，每户年均收入为3万元．为了调整产业 结构，当地政府决定动员部分种植户从事蔬菜加工．据估计，如果能动员x (x ＞0)户农民从 事蔬菜加工，那么剩下从事蔬菜种植的农民每户年均收入有望提高2x %，从事蔬菜加工的农 民每户年均收入为33()50xa -（0a >）万元。

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19．已知数列an 满足： a1 a + 2(a ≥0) ， an1
an + a ， n N* ． 2
⑴若 a 0 ，求数列an 的通项公式；
⑵设 bn an1 an ，数列bn 的前 n 项和为 Sn ，证明： Sn a1 ．
20．已知函数 f (x) ln x ax2 x ， a R ． ⑴若函数 y f (x) 在其定义域内是单调增函数，求 a 的取值范围； ⑵设函数 y f (x) 的图象被点 P(2, f (2)) 分成的两部分为 c1, c2 （点 P 除外），该函数 图象在点 P 处的切线为 l ，且 c1, c2 分别完全位于直线 l 的两侧，试求所有满足条件的 a 的值．
i 1
4. 若集合 A 1,0,1 ， B y | y cos(x), x A，则 A B ▲ ．
5. 方程 x2 + y2 1 表示双曲线的充要条件是 k ▲ ． k +1 k 5
S
S
1 1
i i 1
6．在 △ABC 中，已知 cos A 4 ， tan(A B) 1 ，则 tanC 的值是 ▲
分别作直线 l 和 y 轴的垂线，垂足分别为 A, B .再过点 P 作曲线 C 的切线，分别与直线 l
和 y 轴相交于点 M , N ， O 是坐标原点.若 △ABP 的面积为 1 ，则 △OMN 的面积为 2
▲．
二、解答题: 本大题共 6 小题， 15~17 每小题 14 分，18~20 每小题 16 分，共计 90 分．请
所以 BC 平面 ACE ，………………………………………………………………………5 分
因为 BC 平面 BCEF ，所以平面 BCEF 平面 ACE ．…………………………………7 分
⑵由⑴ AC BC ，又因为 CD 为圆 O 的直径，
所以 BD BC ， 因为 AC, BC, BD 在同一平面内，所以 AC BD ，…………………………………………9 分
位于过点 C 的竖直线的右侧．现要在这块材料上截出一个直角三角形，有两种设计方 案：如图甲，以 BC 为斜边；如图乙，直角顶点 E 在线段 OC 上，且另一个顶点 D 在 AB 上．要使截出的直角三角形的面积最大，应该选择哪一种方案请说明理由，并求出截得 直角三角形面积的最大值．
D A
D A
B
OC
（第 17 题甲图）
展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为 2 6 ，则三棱锥 P ABC 的体积
为▲．
10．已知 O 为 △ABC 的外心，若 5OA 12OB 13OC 0 ，则 C 等于 ▲ ．
11. 已知数字发生器每次等可能地输出数字1 或 2 中的一个数字，则连续输出的 4 个数字之
和能被 3 整除的概率是 ▲ ．
在答．题．卡．指．定．的．区．域．内．作．答．，解．答．时．应．写．出．文．字．说．明．、．证．明．过．程．或．演．算．步．骤．．
15. 如图， AB ， CD 均为圆 O 的直径， CE 圆 O 所在的平面， BF
⑴平面 BCEF 平面 ACE ；
E
⑵直线 DF 平面 ACE ．
CE .求证：
12. 若 a 0,b 0 ，且 1 + 1 1，则 a + 2b 的最小值为 ▲ ． 2a + b b +1
x 2, 0≤ x 1,
13．已知函数
f
(x)
2x
1, 2
若 a b≥0 ，且 f (a) f (b) ，则 bf (a) 的取值范围 x≥1.
是▲．
14. 已知曲线 C ： f (x) x + a (a 0) ，直线 l ： y x ，在曲线 C 上有一个动点 P ，过点 P x
5
3
5
代入①，整理得 cosC 4 sin C ． 8
代入 sin2 C + cos2 C 1 ，整理得 65sin2 C 8sin C 48 0 ，……………………………12 分
解得 sin C 12 或 sin C 4 ．
13
5
因为 C (0, ) ，所以 sin C 12 ．…………………………………………………………14 分 13
⑵求二面角 M AN A1 的正弦值. C
B N
M
B1
C1
A
（第 22 题图）
A1
23．【必做题】本小题 10 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
已知函数 f (x) C0n x2n1 C1n x2n2 C2n x2n3 Crn (1)r x2n1r Cnn (1)n xn1 , n N ． ⑴当 n≥2 时，求函数 f (x) 的极大值和极小值；
参考公式：样本数据 x1, x2 ,
, xn
的方差
s2
1 n
n i 1
( xi
x)2
，其中
x
1 n
n i 1
xi
；
锥体的体积公式：
V锥体
=
1 3
Sh
，其中
S
为锥体的底面面积，
h
是高．
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答．题．卡．相．应．位．置．
上．．
B
O EC
（第 17 题乙图）
18．如图，在平面直角坐标系
xOy 中，已知椭圆 E
：x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的的左、右两个顶点，圆 A2 的半径为 a ，过点 A1 作圆 A2 的切线，切
点为 P ，在 x 轴的上方交椭圆 E 于点 Q ．
⑵是否存在等差数列{an} ，使得 a1C0n a2C1n
an
Cn
1 n
nf
(2)
对一切
nN 都成立并
说明理由．
徐州市、宿迁市高三年级第三次模拟考试
数学参考答案与评分标准
一、填空题
1. 3 ； 2. 0.032； 3. 5 ； 4. {1,1} ； 5. (1, 5) ； 6. 11 ； ；
8
2
徐州市、宿迁市高三年级第三次模拟考试 数学Ⅰ
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共 4 页，包含填空题（共 14 题）、解答题（共 6 题），满分为 160 分，考试时间 为 120 分钟。考试结束后，请将答题卡交回。 2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在答题 卡上，并用 2B 铅笔正确涂写考试号。 3．作答试题必须用书写黑色字迹的毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一 律无效。如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。
5
2
x ≥ 1,
7.
已知实数
x,
y
满足
y
≤
3
,
则 x2 + y2 2x 的最小值是 ▲ ．
． i3 Y
输出 S
N
x
y
+ 1≤ 0 ,
结束
8.
已知 Sn 是等差数列an 的前 n 项和，若 S7
7 ， S15
75
，则数列
Sn n
（第 3 题图）
的前 20 项和为
▲．
9. 已知三棱锥 P ABC 的所有棱长都相等，现沿 PA， PB ， PC 三条侧棱剪开，将其表面
徐州市、宿迁市高三年级第三次模拟考试 数学Ⅱ（附加题）
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共 2 页，均为解答题（第 21 题~第 23 题）。本卷满分为 40 分，考试时间为 30 分 钟。考试结束后，请将答题卡交回。 2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在答题 卡上，并用 2B 铅笔正确涂写考试号。 3．作答试题必须用书写黑色字迹的毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一 律无效。如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。
17．如图甲，设 DBC ，
则 BD 3r cos ， DC 3r sin ，
2
2
………………………………………………2 分
所以
S△BDC
9 r2 16
sin 2
………………………………………………………………………4
F
C
A
O
B
D
（第 15 题图）
16．已知 △ABC 的面积为 S ，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ， AB AC 3 S ． 2
⑴求 cos A 的值； ⑵若 a,b,c 成等差数列，求 sinC 的值．
17．已知一块半径为 r 的残缺的半圆形材料 ABC ，O 为半圆的圆心， OC 1 r ，残缺部分 2
1. 已知 i 是虚数单位，若 a + 3i b + i (a,bR) ，则 ab 的值为 ▲ ． i
开始
2. 某射击选手连续射击 5 枪命中的环数分别为： 9.7 , 9.9 ,10.1,10.2 ,10.1，
S
1 2
则这组数据的方差为 ▲ ．
3. 右图是一个算法流程图，则输出的 S 的值是 ▲ ．
3
5
⑵由 2b a + c 及正弦定理，得 2sin B sin A+ sinC ，
即 2sin(A + C) sin A + sin C ，………………………………………………………………8 分
所以 2sin AcosC + 2cos AsinC sin A+ sinC ．①
由 cos A 3 及 sin A 4 cos A ，得 sin A 4 ，……………………………………………10 分
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