三角形旋转全等常见模型(1)
模型 全等三角形中的常见五种基本模型(学生版)
模型介绍全等三角形的模型种类多，其中有关中点的模型与垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解，这里就不在重复.模型一、截长补短模型①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段。
如图所示，在BF上截取BM=DF，易证△BMC≌△DFC（SAS），则MC=FC=FG，∠BCM=∠DCF，可得△MCF为等腰直角三角形，又可证∠CFE=45°，∠CFG=90°，∠CFG=∠MCF，FG∥CM，可得四边形CGFM为平行四边形，则CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG.②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破。
如图所示，延长GC至N，使CN=DF，易证△CDF≌△BCN（SAS），可得CF=FG=BN，∠DFC=∠BNC=135°，又知∠FGC=45°，可证BN∥FG，于是四边形BFGN为平行四边形，得BF=NG，所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.模型二、平移全等模型模型三、对称全等模型模型四、旋转全等模型模型五、手拉手全等模型例题精讲模型一、截长补短模型【例1】.如图，AD⊥BC，AB+BD＝DC，∠B＝54°，则∠C＝．变式训练【变式1-1】．如图，点P是△ABC三个内角的角平分线的交点，连接AP、BP、CP，∠ACB＝60°，且CA+AP＝BC，则∠CAB的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．90°【变式1-2】．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C＝180°．【变式1-3】．如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段AB上，连接CD，∠ADC＝60°，AD＝2，过C作CE⊥CD，且CE＝CD，连接DE，交BC于F．（1）求△CDE的面积；（2）证明：DF+CF＝EF．模型二、平移全等模型【例2】．如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD∥EC，∠AED＝∠B．（1）求证：△AED≌△EBC．（2）当AB＝6时，求CD的长．变式训练【变式2-1】．如图1，A，B，C，D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF，求证：△AFC≌△DEB．如果将BD 沿着AD边的方向平行移动，如图2，3时，其余条件不变，结论是否成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．【变式2-2】．如图，AD，BF O，AB∥DF，AB＝DF，点E与点C在BF上，且BE＝CF．（1）求证：△ABC≌△DFE；（2）求证：点O为BF的中点．【变式2-3】．如图，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，D在AB上．（1）求证：△AOC≌△BOD；（2）若AD＝1，∠ADC＝60°，求CD的长．模型三、对称全等模型【例3】．如图，AD∥BC，∠D＝90°，∠CPB＝30°，∠DAB的角平分线与∠CBA的角平分线相交于点P，且D，P，C 在同一条直线上．（1）求∠PAD的度数；（2）求证：P是线段CD的中点．变式训练【变式3-1】．如图，AB＝AC，D、E分别是AB、AC的中点，AM⊥CD于M，AN⊥BE干N．求证：AM＝AN．【变式3-2】．如图，已知点E、F分别是正方形ABCD中边AB、BC上的点，且AB＝12，AE＝6，将正方形分别沿DE、DF向内折叠，此时DA与DC重合为DG，求CF的长度．【变式3-3】．如图，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．模型四、旋转全等模型【例4】．如图，已知：AD＝AB，AE＝AC，AD⊥AB，AE⊥AC．猜想线段CD与BE之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想．变式训练【变式4-1】．已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE．（1）如图1，点E在BC上，求证：BC＝BD+BE；（2）如图2，点E在CB的延长线上，求证：BC＝BD﹣BE．【变式4-2】．如图所示，已知P是正方形ABCD外一点，且PA＝3，PB＝4，则PC的最大值是3+4．模型五、手拉手全等模型【例5】．如图，△ABC与△ADE是以点A为公共顶点的两个三角形，且AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠CAB＝90°，且线段BD、CE交于F．（1）求证：△AEC≌△ADB．（2）猜想CE与DB之间的关系，并说明理由．变式训练【变式5-1】．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②AP＝BQ；③DE＝DP；④∠AOB＝60°．恒成立的结论有几个（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式5-2】．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度数；（3）求证：CD＝2BF+DE．【变式5-3】．（1）如图1，等腰△ABC与等腰△DEC有公共点C，且∠BCA＝∠ECD，连接BE、AD，若BC＝AC，EC＝DC，求证：BE＝AD．（2）若将△DEC绕点C旋转至图2、图3、图4情形时，其余条件不变，BE与AD还相等吗？为什么？实战演练1.如图，已知AB AD =，BC DE =，且10CAD ∠=︒，25B D ∠=∠=︒，120EAB ∠=︒，则EGF ∠的度数为（）A．120︒B．135︒C．115︒D．125︒2．如图，在△AOB 和△COD 中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD 交于点M，连接OM．下列结论：①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM 平分∠AOD，④MO 平分∠AMD．其中正确的结论个数有（）个．A．4B．3C．2D．13．如图，在△ABC 中，∠BAC＝30°，且AB＝AC，P 是△ABC 内一点，若AP+BP+CP 的最小值为4，则BC 2＝．4．正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，CE＝2DE，将△ADE沿AE折叠至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG，＝6；③EG＝DE+BG；④BG＝GC．其中正确的有（填序号）．CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②S△FGC5．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿对角线AC折叠，点D落在D′处．（1）求证：AF＝CF（2）求AF的长度．6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，延长AB至点D，使DB＝AB，连接CD，以CD为直角边作等腰三角形CDE，其中∠DCE＝90°，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）若AB＝3cm，则BE＝cm．（3）BE与AD有何位置关系？请说明理由．7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是AB的中点，连接CD，过B作BE⊥CD交CD的延长线于点E，连接AE，过A作AF⊥AE交CD于点F．（1）求证：AE＝AF；（2）求证：CD＝2BE+DE．8．如图：在等腰直角三角形中，AB＝AC，点D是斜边BC上的中点，点E、F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF．（1）若设BE＝a，CF＝b，满足+|b﹣5|＝+，求BE及CF的长．（2）求证：BE2+CF2＝EF2．（3）在（1）的条件下，求△DEF的面积．9．如图1，点C为线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝30°，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接CP．（1）线段AE与DB的数量关系为；请直接写出∠APD＝；（2）将△BCE绕点C旋转到如图2所示的位置，其他条件不变，探究线段AE与DB的数量关系，并说明理由；求出此时∠APD的度数；（3）在（2）的条件下求证：∠APC＝∠BPC．10．阅读与理解：折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在△ABC中，AB＞AC（如图），怎样证明∠C＞∠B呢？分析：把AC沿∠A的角平分线AD翻折，因为AB＞AC，所以点C落在AB上的点C'处，即AC＝AC'，据以上操作，易证明△ACD≌△AC'D，所以∠AC'D＝∠C，又因为∠AC'D＞∠B，所以∠C＞∠B．感悟与应用：（1）如图（a），在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD平分∠ACB，试判断AC和AD、BC之间的数量关系，并说明理由；（2）如图（b），在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AC＝16，AD＝8，DC＝BC＝12，①求证：∠B+∠D＝180°；②求AB的长．11．如图甲，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．（1）李明同学作了如图乙的辅助线，将△BPC绕点B逆时针旋转60°，如图乙所示，连接PP'，可说明△APP'是直角三角形从而问题得到解决．请你说明其中理由并完成问题解答．（2）如图丙，在正方形ABCD内有一点P，且AP＝，BP＝，PC＝1：类比第一小题的方法求∠BPC的度数，并直接写出正方形ABCD的面积．12．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM＝∠ACB，点D为射线BC上任意一点，在射线CM上截取CE＝BD，连接AD、DE、AE．（1）如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，∠ADE的度数为．（2）如图2，当点D落在线段BC（不含边界）上时，AC与DE交于点F，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若AB＝12，求CF的最大值．。
全等三角形旋转模型知识点总结附解析
全等三角形旋转模型知识点总结附解析一、全等三角形旋转模型1．（课题研究）旋转图形中对应线段所在直线的夹角（小于等于90°的角）与旋转角的关系．（问题初探）线段AB 绕点O 顺时针旋转得到线段CD ，其中点A 与点C 对应，点B 与点D 对应，旋转角的度数为α，且0°＜α＜180°．（1）如图①，当α＝60°时，线段AB 、CD 所在直线夹角（锐角）为 ；（2）如图②，当90°＜α＜180°时，直线AB 与直线CD 所夹锐角与旋转角α存在怎样的数量关系？请说明理由；（形成结论）旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的夹角与旋转角 ．（运用拓广）运用所形成的结论解决问题：（3）如图③，四边形ABCD 中，∠ABC ＝60°，∠ADC ＝30°，AB ＝BC ，CD ＝3，BD ＝19，求AD 的长．解析：（1）60°；（2）互补，理由见解析；【形成结论】相等或互补；（310【分析】（1）由旋转的性质可得AB CD =，OA OC =，BO DO =，可证()AOB COD SSS ，可得B D ∠=∠，由三角形内角和定理可求解；（2）由旋转的性质可得AB CD =，OA OC =，BO DO =，可证()AOBCOD SSS ，可得B D ∠=∠，由平角的定义和四边形内角和定理可求解； 【形成结论】由（1）（2）可知对应线段所在直线的所夹锐角角与旋转角：相等或互补；【运用拓广】（3）将BCD ∆绕点B 顺时针旋转60︒，得到BAF ∆，连接FD ，由旋转的性质可得BF BD =，3AF CD ==，由三角形内角和定理可求90FAD ∠=︒，由勾股定理可求解．【详解】解：（1）如图1，延长DC 交AB 于F ，交BO 于E ，α=︒，60∴∠=︒，60BOD线段AB绕点O顺时针旋转得线段CD，=，AB CD=，BO DO∴=，OA OCAOB COD SSS，()B D∴∠=∠，∠=∠，OED BEF，B DBFE EOD，60故答案为：60︒；（2）直线AB与直线CD所夹锐角角与旋转角α互补，理由如下：如图2，延长AB，DC交于点E，线段AB绕点O顺时针旋转得线段CD，=，=，BO DO∴=，OA OCAB CDAOB COD SSS，()ABO D，ABO EBO，180D EBO，180360EBO E D BOD，E BOD，180∴直线AB与直线CD所夹锐角角与旋转角α互补．形成结论由（1）（2）（3）可知：旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的所夹锐角角与旋转角：相等或互补．故答案为：相等或互补．运用拓广（3）如图3，将BCD ∆绕点B 顺时针旋转60︒，得到BAF ∆，连接FD ，延长FA ，DC 交于点E ，∴旋转角60ABC ∠=︒，BCD BAF ，60AED ABC ∴∠=∠=︒，3AF CD ==，BD BF =，30ADC ∠=︒，90FAD AED ADC ，又60FBD ABC ，BF BD =， BFD ∴∆是等边三角形，BF BD DF ，∴在Rt DAF 中，2219910ADDF AF ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是本题的关键．2．发现规律：（1）如图①，ABC 与ADE 都是等边三角形，直线,BD CE 交于点F ．直线BD ，AC 交于点H ．求BFC ∠的度数（2）已知：ABC 与ADE 的位置如图②所示，直线,BD CE 交于点F ．直线BD ，AC 交于点H ．若ABC ADE α∠=∠=，ACB AED β∠=∠=，求BFC ∠的度数 应用结论：（3）如图③，在平面直角坐标系中，点O 的坐标为(0,0)，点M 的坐标为(3,0)，N 为y 轴上一动点，连接MN ．将线段MN 绕点M 逆时针旋转60得到线段MK ，连接NK ，OK ，求线段OK 长度的最小值答案：A解析：（1）BFC ∠的度数为60︒；（2）BFC ∠的度数为180αβ︒--；（3）线段OK 长度的最小值为32 【分析】（1）通过证明BAD CAE ≅△△可得ABD ACE ∠=∠，再由三角形内角和定理进行求解即可；（2）通过证明ABC ADE 可得BAC DAE ∠=∠，AB AC AD AE=，可证ABD ACE ，可得ABD ACE ∠=∠，由外角性质可得BFC BAC ∠=∠，再有三角形内角和定理进行求解即可；（3）由旋转的性质可得MNK △是等边三角形，可得MK MN NK ==，60NMK NKM KNM ∠=∠=∠=︒，如图③将MOK 绕点M 顺时针旋转60︒，得到MQN △，连接OQ ，可得60OMQ ∠=︒，OK =NQ ，MO =MQ ，则当NQ 为最小值时，OK 有最小值，由垂线段最短可得当QN y ⊥轴时，NQ 有最小值，由直角三角形的性质即可求解．【详解】 （1）∵ABC 与ADE 是等边三角形∴AB=AC ，AD=AE ，60BAC DAE ABC ACB ∠=∠=∠=∠=︒∴BAD CAE ∠=∠∴()BAD CAE SAS ≅ ∴ABD ACE ∠=∠∵60ABD DBC ABC ∠+∠=∠=︒∴60ACE DBC ∠+∠=︒∴18060BFC DBC ACE ACB ∠=︒-∠-∠-∠=︒；（2）∵ABC ADE α∠=∠=，ACB AED β∠=∠=∴ABC ADE∴BAC DAE ∠=∠，AB AC AD AE= ∴BAD CAE ∠=∠，AB AD AC AE = ∴ABD ACE ∴ABD ACE ∠=∠ ∵BHC ABD BAC BFC ACE ∠=∠+∠=∠+∠ ∴BFC BAC ∠=∠ ∵180BAC ABC ACB ∠+∠+∠=︒ ∴180BFC αβ∠++=︒∴180BFC αβ∠=︒--；（3）∵将线段MN 绕点M 逆时针旋转60︒得到线段MK∴MN MK =，60NMK ∠=︒∴MNK △是等边三角形∴MK MN NK ==，60NMK NKM KNM ∠=∠=∠=︒如下图，将MOK 绕点M 顺时针旋转60︒，得到MQN △，连接OQ∴MOK MQN ≅，60OMQ ∠=︒∴OK =NQ ，MO =MQ∴MOQ △是等边三角形∴60QOM ∠=︒∴30NOQ ∠=︒∵OK =NQ∴当NQ 为最小值时，OK 有最小值，由垂线段最短可得当QN y ⊥轴时，NQ 有最小值 ∵点M 的坐标为(3,0)∴3OM OQ ==∵QN y ⊥轴，30NOQ ∠=︒∴1322NQ OQ == ∴线段OK 长度的最小值为32． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形内角和定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是解决本题的关键．3．如图1，在等腰Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝6，过点B 作BD ⊥AC 交AC 于点D ，点E 、F 分别是线段AB 、BC 上两点，且BE ＝BF ，连接AF 交BD 于点Q ，过点E 作EH ⊥AF 交AF 于点P ，交AC 于点H ．（1）若BF ＝4，求△ADQ 的面积；（2）求证：CH ＝2BQ ；（3）如图2，BE ＝3，连接EF ，将△EBF 绕点B 在平面内任意旋转，取EF 的中点M ，连接AM ，CM ，将线段AM 绕点A 逆时针旋转90°得线段AN ，连接MN 、CN ，过点N 作NR ⊥AC 交AC 于点R ．当线段NR 的长最小时，直接写出△CMN 的周长．答案：A解析：（1）1.8；（2）证明见解析；（3）3263351022+． 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质求出1322BD AD CD AC ====积相等和勾股定理分别求出AQ 和QD ，最后利用三角形面积公式即可求解；（2）如图，先作辅助线构造()AEH CFG ASA ∆∆≌，得到AH CG =，再通过转化得到2AH DQ =，最后利用AC ，得到一个相等关系，即()2AH HC BQ QD +=+，利用等式性质即可得到所求；（3）如图，通过做辅助线构造全等三角形确定出当HN ⊥AC ，且N 点位于H 、R 之间时，此时NR 的长最小，接着利用勾股定理和等腰直角三角形的性质，分别求出CM 、MN 、CN 的长，相加即可．【详解】解：6AB BC ==，°90ABC =∠，AC ==∴又∵AC BD ⊥∴BD 平分AC ，且BD 是∠ABC 的角平分线∴12BD AD CD AC ====Q 点到BA 和BC 边的距离相等； ∵4BF =， ∴6342ABQBFQ S S ∆∆==， ∴32AQ FQ =，∵AF ===∴35AQ AF ==∴5QD ===，∴1 1.825ADQ S ∆=⨯⨯=， ∴△ADQ 的面积为1.8．（2）如图，作CG ⊥AC ，垂足为C ，交AF 的延长线于点G ，∴°90ACG =∠∵°45ACB CAB ==∠∠，∴°45GCB CAB ==∠∠，∵EH ⊥AF ，∴°90EAP AEP +=∠∠,又∵°90EAP AFB +=∠∠∴AEP AFB =∠∠，∴AEP CFG =∠∠∵BE BF =，BA BC =∴AE CF =，在AEH ∆和CFG ∆中，AEH CFG AE CFEAH FCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()AEH CFG ASA ∆∆≌∴AH CG =；∵BD ⊥AC ，CG ⊥AC ，∴BD ∥CG ，∵D 点是AC 的中点，且BD ∥CG ，∴DQ 是ACG ∆的中位线， ∴12DQ CG =， ∴2DQ CG AH ==； ∵AC =2BD ，∴()2AH HC BQ QD +=+，∵2AH DQ =，∴CH ＝2BQ ．（3）如图①，作AH ⊥AB ,且AH =AB ，∴∠NAH +∠HAM =∠HAM +∠BAM =90°，∴∠BAM =∠NAH ，∵AB =AH ，AM =AN ，∴()ABM AHN SAS ∆∆≌， ∴HN =BM ，∵BE =BF =3，∠EBF =90°， ∴232EF BE ==∴由M 点是EF 的中点，可得1322BM EF == ∴322NH =， ∴N 点在以H 点为圆心，322为半径的圆上，如图②，当HN ⊥AC ，且N 点位于H 、R 之间时，此时NR 的长最小，为NR HR HN HR =-=-∵∠BAC =45°，∴∠HAC =45°，∴∠AHN =45°，HR =AR ，∵222HR AR AH +=，∴HR AR ===，∴22NR HR =-=， ∵AC == ∴CR AC AR =-=∴CN AN === ∵∠MAN =90°，AM =AN ，∴MN ==∴∠ABM =45°，∴∠EBM =45°，∴F 点在BA 上，E 点在CB 延长线上，如图，作MP ⊥EC ，垂足为P ，∴1322BP MP EB ===， ∴315622PC PB BC =+=+=，∴2MC ==∴MC MN CN ++=∴△CMN+．【点睛】本题综合考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、圆等知识，要求学生熟练掌握相关概念并能灵活应用它们，本题的综合性较强，难点在于作辅助线构造全等三角形以及线段之间的关系转化等，考查了学生综合分析和推理论证以及计算的能力，本题属于压轴题，蕴含了数形结合和转化的思想方法等． 4．如图，已知ABC 和ADE 均为等腰三角形，AC ＝BC ，DE ＝AE ，将这两个三角形放置在一起．（1）问题发现：如图①，当60ACB AED ∠∠︒＝＝时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，则CEB ∠＝ °，线段BD 、CE 之间的数量关系是 ；（2）拓展探究：如图②，当90ACB AED ∠∠︒＝＝时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，请判断CEB ∠的度数及线段BD 、CE 之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图③，90ACB AED ∠∠︒＝＝，25AC ＝，AE ＝2，连接CE 、BD ，在AED 绕点A 旋转的过程中，当DE BD ⊥时，请直接写出EC 的长．答案：C解析：（1）60BD CE ，＝；（2）452CEB BD CE ∠︒＝，＝，理由见解析；（3）CE 的长为2或2【分析】（1）证明ACE ABD ≌，得出CE ＝BD ，AEC ADB ∠=∠，即可得出结论； （2）证明ACE ABD ∽，得出AEC ADB ∠=∠，BD =，即可得出结论； （3）先判断出BD =，再求出AB =：①当点E 在点D 上方时，先判断出四边形APDE 是矩形，求出AP ＝DP ＝AE ＝2，再根据勾股定理求出，BP ＝6，得出BD ＝4；②当点E 在点D 下方时，同①的方法得，AP ＝DP ＝AE ＝1，BP ＝6，进而得出BD ＝BP +DP ＝8，即可得出结论．【详解】解：（1）ABC 为等腰三角形，60AC BC ACB ∠︒＝，＝，∴ABC 是等边三角形，同理可得ADE 是等边三角形6018012060BAD DAC DAC CAE BAD CAE AD AE AB ACEAC DAB ACE ABD SAS BD CEAEC ADB ADE AEC AED CEBCEB ∠+∠=∠+∠=︒∴∠=∠=⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩∴∴=∠=∠=︒-∠=︒∠=∠+∠∴∠=︒＝≌（）故答案为：60CEB BD CE ∠=︒=；．（2）45CEB BD ∠︒＝，，理由如下：在等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ，90ACB ∠︒＝，45AB CAB ∴∠︒，＝ ，同理，45AD ADE DAE ∠∠︒，＝＝， ∴AE AC AD AB =，DAE CAB ∠∠＝， EAC DAB ∴∠∠＝，ACE ABD ∴∽ ，∴BD AD CE AE==∴AEC ADB BD ∠∠＝，，点B 、D 、E 在同一条直线上:180135ADB ADE ∴∠︒-∠︒＝＝135AEC ∴∠︒＝45CEB AEC AED ∴∠∠-∠︒＝＝；（3）由（2）知，ACE ABD ∽， 2BD CE ∴＝， 在Rt ABC 中，25AC ＝，2210AB AC ∴＝＝ ，①当点E 在点D 上方时，如图③，过点A 作AP BD ⊥交BD 的延长线于P ，DE BD ⊥，PDE AED APD ∴∠∠∠＝＝，∴四边形APDE 是矩形，AE DE ＝ ，∴矩形APDE 是正方形，2AP DP AE ∴＝＝＝，在Rt APB △中，根据勾股定理得，226BP AB AP -＝＝，4BD BP AP ∴-＝＝，1222CE BD ∴＝＝； ②当点E 在点D 下方时，如图④同①的方法得，AP ＝DP ＝AE ＝2，BP ＝6，∴BD ＝BP +DP ＝8，122CE BD ∴＝＝4， 综上CE 的长为22或42．【点睛】本题是几何变换的综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质，判断出三角形ACE 和三角形ABD 相似是关键．5．如图，ABD △和ACE △都是等边三角形．（1）连接CD 、BE 交于点P ，求∠BPD ；（2）连接PA ，判断线段PA 、PB 、PD 之间的数量关系并证明；（3）如图，等腰ABC 中AB ＝AC ，∠BAC ＝α（0＜α＜90），在ABC 内有一点M ，连接MA 、MB 、MC ．当MA ＋MB ＋MC 最小时，∠ABM ＝ （用含α的式子表示）答案：D解析：（1）60BPD ∠=︒（2）PD PB PA =+，证明见详解（3）1602α︒-【分析】（1）证明()DAC BAE SAS ≅，得ADC ABE ∠=∠，就可以证明60BPD DAB ∠=∠=︒；（2）在DP 上截取PF=PB ，连接BF ，证明()DBF ABP SAS ≅，得DF PA =，即可证明PD PB PA =+；（3）分别以AB 和AC 为边，向两边作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接BE 和CD ，交于点M ，连接AM ，此时MA MB MC ++最小，然后利用等腰三角形ADC ，求出ADC ∠的度数，即可得到ABM ∠的度数．【详解】解：（1）∵ABD △和ACE △是等边三角形，∴AD AB =，AC AE =，60DAB CAE ∠=∠=︒，∵DAB BAC CAE BAC ∠+∠=∠+∠，∴DAC BAE ∠=∠，在DAC △和BAE △中，AD AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()DAC BAE SAS ≅，∴ADC ABE ∠=∠，∵ADC DAB ABE BPD ∠+∠=∠+∠，∴60BPD DAB ∠=∠=︒；（2）如图，在DP 上截取PF=PB ，连接BF ，∵60BPD ∠=︒，PF PB =，∴PFB △是等边三角形，∴BF BP =，60FBP ∠=︒，∴DBA FBP ∠=∠，∵DBA FBA FBP FBA ∠-∠=∠-∠，∴DBF ABP ∠=∠，在DBF 和ABP △中，DB AB DBF ABP BF BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()DBF ABP SAS ≅，∴DF PA =，∵PD PF FD =+，∴PD PB PA =+；（3）如图，分别以AB 和AC 为边，作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接BE 和CD ，交于点M ，连接AM ，此时MA MB MC ++最小，由（2）中的结论可得MD MA MB =+，则当D 、M 、C 三点共线时MA MB MC ++最小，即CD 的长，由（1）得ADC ABM ∠=∠，∵AD AB AC ==，60DAC α∠=︒+，∴()1806016022ADC αα︒-︒+∠==︒-， ∴1602ABM α∠=︒-，故答案是：1602α︒-．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，解题的关键是做辅助线构造全等三角形来进行证明求解．6．探究：（1）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若∠B＝28°，则∠ACD的度数是．拓展：（2）如图②，∠MCN＝90°，射线CP在∠MCN的内部，点A、B分别存CM、CN 上，分别过点A、B作AD⊥CP、BE⊥CP于点D、E，若AC＝CB，则AD、DE、BE三者间的数量关系为．请说明理由；应用：（3）如图③，点A、B分别在∠MCN的边CM、CN上，射线CP在∠MCN的内部，点D、E在射线CP上，连结AD、BE、AE，且使∠MCN＝∠ADP＝∠BEP．当AC＝BC 时，△≌△；此时如果CD＝2DE，且S△CBE＝6，则△ACE的面积是．答案：D解析：（1）28°（2）DE＝AD﹣BE；理由见解析（3）ACD；CBE；9【分析】（1）利用直角三角形的两锐角互余，即可得出结论；（2）利用同角的余角相等判断出∠CAD＝∠BCE，进而判断出△ACD≌△CBE，即可得出结论；（3）利用等式的性质判断出∠ADC＝∠CEB，进而判断出△ACD≌△CBE，得出S△ACD＝S△CBE，再求出S△ADE＝3，即可得出结论．【详解】解：探究：∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∵∠B＝28°，∴∠BCD＝90°﹣∠B＝68°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠BCD＝28°，故答案为：28°；拓展：(2)∵∠MCN＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∵AD⊥CP，BE⊥CP，∴∠ADC ＝∠BEC ＝90°，∴∠ACD+∠CAD ＝90°，∴∠CAD ＝∠BCE ，在△ACD 和△CBE 中，ADC CEB CAD BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴CD ＝BE ，AD ＝CE ，∴DE ＝CE ﹣CD ＝AD ﹣BE ，故答案为：DE ＝AD ﹣BE ；应用：(3)∵∠MCN ＝∠ACD+∠BCD ，∠MCN ＝∠ADP ，∴∠ADP ＝∠ACD+∠BCD ，∵∠ADP ＝∠ACD+∠CAD ，∴∠CAD ＝∠BCE ，∵∠ADP ＝∠BEP ，∴∠ADC ＝∠CEB ，在△ACD 和△CBE 中，ADC CEB CAD BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴S △ACD ＝S △CBE ，∵S △CBE ＝6，∴S △ACD ＝6，∵CD ＝2DE ，∴S △ACD ＝2S △ADE ，∴S △ADE ＝12S △ACD ＝3， ∴S △ACE ＝S △ACD +S △ADE ＝9，故答案为：ACD ，CBE ，9．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质，同角的余角相等，等式的性质，全等三角形的判定和性质，判断出△ACD ≌△CBE 是解本题的关键．7．问题解决一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图①，点P 是等边ABC 内的一点，6PA =，8PB = ，10PC =．你能求出APB ∠的度数和等边ABC 的面积吗？ 小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：如图①将BPC △绕点B 逆时针旋转60°，得到BPA △，连接PP '，可得BPP '是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得AP P '是直角三角形，从而使问题得到解决．（1）结合小明的思路完成填空：PP '=_____________，APP '∠=_______________，APB ∠=_____________ ，ABC S = ______________．（2）类比探究 Ⅰ如图②，若点P 是正方形ABCD 内一点，1PA = ，2PB =，3PC =，求APB ∠的度数和正方形的面积．Ⅱ如图③，若点P 是正方形ABCD 外一点，3PA = ，1PB =， 11PC =，求APB ∠的度数和正方形的面积．答案：B解析：（1）8，90˚，150˚，25336；（2）Ⅰ135APB ∠=︒，722ABCD S =+正方形；Ⅱ45APB ∠=︒， 1032ABCD S =-正方形【分析】（1）根据小明的思路，然后利用等腰三角形和直角三角形性质计算即可；（2）Ⅰ将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，求出∠APB 的度数；先利用旋转求出∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，利用勾股定理求出PP'，进而判断出△APP'是直角三角形，得出∠APP'=90°，即可得出结论；过B 作BE ⊥AP 于点E ，然后利用勾股定理求出AB 的长度即可求出正方形面积；Ⅱ将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，求出∠APB 的度数；先利用旋转求出∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，利用勾股定理求出PP'，进而判断出△APP'是直角三角形，得出∠APP'=90°，即可得出结论；过B 作BF ⊥AP 于点F ，然后利用勾股定理求出AB 的长度即可求出正方形面积；【详解】解:（1）由题易有P BP '∆是等边三角形，AP P '∆是直角三角形∴PP '=BP=8，90?APP '=∠，60?P PB '=∠，∴APB ∠=APP '∠+=P PB '∠150˚，如图1，过B 作BD ⊥AP 于点D∵APB ∠=150°∴30?BPD =∠在Rt △BPD 中，30?BPD =∠，BP=8∴BD=4，PD=43 ∴AD=6+43∴AB 2=AD 2+BD 2=100+483∴ABC S =234AB =25336+ （2）Ⅰ．如图2，将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，∴△ABP'≌△CBP ，∴∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，在Rt △PBP'中，BP=BP'=2，∴∠BPP'=45°，根据勾股定理得，PP'=2BP=22，∵AP=1，∴AP 2+PP'2=1+8=9，∵AP'2=32=9，∴AP 2+PP'2=AP'2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°，∴∠APB=∠APP'+∠BPP'=90°+45°=135°；过B 作BE ⊥AP 于点E ，∵∠APB=135°∴∠BPE=45°∴△BPE 是等腰直角三角形∴BE=BP=22BP =2 ∴AE=1+2∴AB 2=AE 2+BE 2=7+22 ∴2722ABCD S AB ==+正方形Ⅱ．如图3，将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，∴△ABP'≌△CBP ，∴∠PBP'=90°，BP'=BP=1，AP'=CP=11，在Rt △PBP'中，BP=BP'=1，∴∠BPP'=45°，根据勾股定理得，PP'=2BP=2，∵AP=3，∴AP 2+PP'2=9+2=11，∵AP'2=（11）2=11，∴AP 2+PP'2=AP'2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°，∴∠APB=∠APP'-∠BPP'=90°-45°=45°．过B 作BF ⊥AP 于点F∵∠APB=45°∴△BPF 为等腰直角三角形∴PF=BF=22BP =22 ∴2 ∴AB 2=AF 2+BF 2=1032-∴21032ABCD S AB ==-正方形【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．8．在等腰Rt ABC △中，AB AC =、90BAC ∠=︒．（1）如图1，D ，E 是等腰Rt ABC △斜边BC 上两动点，且45DAE ∠=︒，将ABE △绕点A 逆时针旋转90后，得到AFC △，连接DF ．①求证：AED AFD ≌．②当3BE =，9CE =时，求DE 的长．（2）如图2，点D 是等腰Rt ABC △斜边BC 所在直线上的一动点，连接AD ，以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △（E 点在直线BC 的上方），当3BD =，9BC =时，求DE 的长．答案：D解析：（1）①证明见解析；②5；（2）35或317【分析】（1）①证明∠DAE=∠DAF=45°即可利用SAS 证明全等；②由①中全等可得DE=DF ，再在Rt △FDC 中利用勾股定理计算即可；（2）连接BE ，根据共顶点等腰直角三角形证明全等，再利用勾股定理计算即可。
初中数学全等三角形旋转模型知识归纳总结含答案
初中数学全等三角形旋转模型知识归纳总结含答案一、全等三角形旋转模型1．如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．解析：（1）PM ＝PN ，PM ⊥PN ；（2）△PMN 是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S △PMN 最大＝492． 【分析】（1）由已知易得BD CE =，利用三角形的中位线得出12PM CE =，12PN BD =，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出//PM CE 得出DPM DCA ∠=∠，最后用互余即可得出位置关系；（2）先判断出ABD ACE ∆≅∆，得出BD CE =，同（1）的方法得出12PM BD =，12PN BD =，即可得出PM PN =，同（1）的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠，即可得出结论；（3）方法1：先判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN 最大AM AN =+，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD 最大时，PMN ∆的面积最大，而BD 最大是14AB AD +=，即可得出结论．【详解】解：（1）点P ，N 是BC ，CD 的中点，//PN BD ∴，12PN BD =， 点P ，M 是CD ，DE 的中点， //PM CE ∴，12PM CE =，AB AC =，AD AE =，BD CE ∴=，PM PN ∴=，//PN BD ，DPN ADC ∴∠=∠，//PM CE ，DPM DCA ∴∠=∠，90BAC ∠=︒，90ADC ACD ∴∠+∠=︒，90MPN DPM DPN DCA ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，PM PN ∴⊥，故答案为：PM PN =，PM PN ⊥；（2）PMN ∆是等腰直角三角形．由旋转知，BAD CAE ∠=∠，AB AC =，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，ABD ACE ∴∠=∠，BD CE =， 利用三角形的中位线得，12PN BD =，12PM CE =， PM PN ∴=，PMN ∴∆是等腰三角形，同（1）的方法得，//PM CE ，DPM DCE ∴∠=∠，同（1）的方法得，//PN BD ，PNC DBC ∴∠=∠，DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠，MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠，90BAC ∠=︒，90ACB ABC ∴∠+∠=︒，90MPN ∴∠=︒，PMN ∴∆是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，PMN ∆是等腰直角三角形，MN ∴最大时，PMN ∆的面积最大，//DE BC ∴且DE 在顶点A 上面，MN ∴最大AM AN =+，连接AM ，AN ，在ADE ∆中，4AD AE ==，90DAE ∠=︒，22AM ∴=在Rt ABC ∆中，10AB AC ==，52AN =22522MN ∴=最大，222111149(72)22242PMN S PM MN ∆∴==⨯=⨯=最大． 方法2：由（2）知，PMN ∆是等腰直角三角形，12PM PN BD ==， PM ∴最大时，PMN ∆面积最大，∴点D 在BA 的延长线上，14BD AB AD ∴=+=，7PM ∴=，2211497222PMN S PM ∆∴==⨯=最大． 【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出12PM CE =，12PN BD =，解（2）的关键是判断出ABD ACE ∆≅∆，解（3）的关键是判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大．2．问题提出：（1）如图1，在ABC 中，AB AC BC =≠，点D 和点A 在直线BC 的同侧，BD BC =，90BAC ∠=︒，30DBC ∠=︒，连接AD ，将ABD △绕点A 逆时针旋转90︒得到ACD '，连接BD '（如图2），可求出ADB ∠的度数为______．问题探究：（2）如图3，在（1）的条件下，若BAC α∠=，DBC β∠=，且120αβ+=︒，DBC ABC ∠<∠ ，①求ADB ∠的度数．②过点A 作直线AE BD ⊥，交直线BD 于点E ，7,2BC AD ==．请求出线段BE 的长．答案：A解析：（1）30°；（2）①30︒；②73-【分析】（1）由旋转的性质，得△ABD ≌ACD '∆，则ADB AD C '∠=∠，然后证明BCD '∆是等边三角形，即可得到30ADB AD C '∠=∠=︒；（2）①将ABD △绕点A 逆时针旋转，使点B 与点C 重合，得到'ACD △，连接'BD ．与（1）同理证明D BC '∆为等边三角形，然后利用全等三角形的判定和性质，即可得到答案；②由解直角三角形求出3DE =【详解】解：（1）根据题意，∵AB AC BC =≠，90BAC ∠=︒，∴ABC ∆是等腰直角三角形，∴45ABC ACB ∠=∠=︒，∵30DBC ∠=︒，∴15ABD ∠=︒，由旋转的性质，则△ABD ≌ACD '∆，∴ADB AD C '∠=∠，15ABD ACD '∠=∠=︒，BC CD '=，∴60BCD '∠=︒，∴BCD '∆是等边三角形，∴60BD C '∠=︒，BD CD ''=∵AB AC =，AD AD ''=，∴ABD '∆≌ACD '∆，∴30AD B AD C ''∠=∠=︒，∴30ADB AD C '∠=∠=︒；（2）①DBC ABC ∠<∠，60120α︒︒∴<<．如图1，将ABD △绕点A 逆时针旋转，使点B 与点C 重合，得到'ACD △，连接'BD ．AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠，BAC α∠=， ()111809022ABC αα︒︒∴∠=-=-， 1902ABD ABC DBC αβ︒∴∠=∠-∠=--， 119090180()22D CB ACD ACB αβααβ''︒︒︒∴∠=∠+∠=--+-=-+． 120,αβ︒+=60D CB '︒∴∠=．,BD BC BD CD '==，,BC CD '∴=D BC '∴为等边三角形，D B D C ''∴=，AD B AD C ''∴≌，AD B AD C ''∴∠=∠，1302AD B BD C ''︒∴∠=∠=， 30ADB ︒∴∠=．②如图2，由①知，30ADB ︒∠=，在Rt ADE △中，30,2ADB AD ︒∠==， 3DE ∴=．BCD '是等边三角形，7BD BC '∴==，7BD BD '∴==，73BE BD DE ∴=-=-．【点睛】本题考查了解直角三角形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确利用旋转模型进行解题．3．如图，点B ，C ，D 在同一条直线上，△BCF 和△ACD 都是等腰直角三角形，连接AB ，DF ，延长DF 交AB 于点E ．（1）如图1，若AD ＝BD ，DE 是∠ADB 的平分线，BC ＝1，求CD 的长度；（2）如图2，连接CE ，求证：DE ＝2CE ＋AE ；（3）如图3，改变△BCF 的大小，始终保持点在线段AC 上（点F 与点A ，C 不重合）．将ED 绕点E 顺时针旋转90°得到EP ，取AD 的中点O ，连接OP ．当AC ＝2时，直接写出OP 长度的最大值．解析：（1）21CD =；（2）证明见解析；（3）22+【分析】 （1）根据等腰直角三角形的性质，求出1FC BC ==，再判断出FA FB =，即可得出结论；（2）先判断出ABC DFC ≅△△，得出BAC CDF ∠=∠，进而判断出ACE DCH ≅△△，得出AE DH =，CE CH =，即可得出结论；（3）先判断出2OE OQ ==，再判断出OED QEP ≅△△，进而求出2PQ OD ==得出结论．【详解】（1）解：BCF 和ACD △都是等腰直角三角形，AC CD ∴=，1FC BC ==，2FB =，AD BD =，DE 是ABD ∆的平分线，DE ∴垂直平分AB ，2FA FB ∴==，21AC FA FC ∴=+=，21CD ∴=；（2）证明：如图2，过点C 作CH CE ⊥交ED 于点H ，BCF 和ACD △都是等腰直角三角形，AC DC ∴=，FC BC =，90ACB DCF ∠=∠=︒；()ABC DFC SAS ∴≅△△，BAC CDF ∴∠=∠，90ECH ∠=︒，90ACE ACH ∴∠+∠=︒，90ACD ∠=︒，90DCH ACH ∴∠+∠=︒，ACE DCH ∴∠=∠．在ACE 和DCH 中，BAC CDF AC DCACE DCH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ACE DCH ASA ∴≅△△，AE DH ∴=，CE CH =，2EH CE ∴=．2DE EH DH CE AE =+=+；（3）OP 的最大值是22+解：如图3，连接OE ，将OE 绕点E 顺时针旋转90︒得到EQ ，连接OQ ，PQ ，则2OQ OE =．由（2）知，90AED ABC CDF ABC BAC ∠=∠+∠=∠+∠=︒，在Rt AED △中，点O 是斜边AD 的中点，122222OE OD AD AC ∴===== 2222OQ OE ∴===，在OED 和QEP △中，OE QE OED QEP DE PE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()OED QEP SAS ∴≅△△，2PQ OD ∴==22OP OQ PQ +=+O 、P 、Q 三点共线时，取“=”号，OP ∴的最大值是22+【点睛】此题是几何变换综合题，主要等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．4．如图1所示，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，AB AC =，2BC =，以BC 所在直线为x 轴，边BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，将ABC 绕P 点0,1顺时针旋转．（1）填空：当点B 旋转到y 轴正半轴时，则旋转后点A 坐标为______；（2）如图2所示，若边AB 与y 轴交点为E ，边AC 与直线1y x =-的交点为F ，求证：AEF 的周长为定值；（3）在（2）的条件下，求AEF 内切圆半径的最大值．解析：（1）2,21；（2）见解析；（3）324【分析】 （1）作出图形，'''A B C 是ABC 绕 P 点0,1顺时针旋转，点B 旋转到y 轴正半轴时得到的图形，连接 BP ，CP ，根据2BC =，y 轴垂直平分BC ， AB AC =，()0,1P -可证得四边形ABPC 是正方形，则有 '''2BP B PAB A B ，'0'21B B P PO ，可得点 A 坐标； （2）作BPQ CPF ∠=∠，交AB 延长线于Q 点，根据四边形ABPC 是正方形，得到90QBP FCP ∠=∠=︒，BP CP =，可证BPQ CPF ASA ≌△△，得BQ CF =，QP FP =，利用ASA 再可证得QPE FPE ≌△△，得QE FE =则AEF 的周长22AB AC =+=（3）设EF m =，AE n =，Rt AEF 的内切圆半径为r ，由（2）可得22AF m n =-则2AE AF EF r +-=222n m n m +--=2m =，当m 最小时，r 最大．得到22222n m n m 整理得：2224220nm n m ，关于n 的一元二次方程有解，即22244220m m 化简得24280m m +-≥，利用二次函数图像可得422m ≥-422m ≤--（不合题意，舍去）可得m 的最小值为42-r 2422324，则有AEF 内切圆半径的最大值为324．【详解】解：（1）如图示，'''A B C 是ABC 绕 P 点0,1顺时针旋转，点B 旋转到y 轴正半轴时得到的图形，连接 BP ，CP ，∵2BC =，y 轴垂直平分BC∴1BO CO ==又∵Rt ABC △中，AB AC =∴1AO =，2AB AC ==∵()0,1P -∴1PO =∴AO BO CO PO ===∴四边形ABPC 是正方形 ∴'''2BPB P AB A B ∴'0'21B B P PO ∴点A 坐标为2,21（2）如图2所示，作BPQ CPF ∠=∠，交AB 延长线于Q 点 ∵四边形ABPC 是正方形∴90QBP FCP ∠=∠=︒， BP CP = ∴BPQ CPF ASA ≌△△∴ BQ CF =，QP FP = ∵点F 在直线1y x =-∴45FPE ∠=︒∴ 45BPE FPC ∠+∠=︒ ∴45BPE BPQ ∠+∠=︒∴45QPE FPE ∠=∠=︒ ∵EP EP =∴QPE FPE ASA ≌△△∴ QE FE = ∴AEF 的周长AE EF AF AE QE AF =++=++ AE BE BQ AF AE BE FC AF =+++=+++22AB AC =+=（3）设EF m =，AE n =，Rt AEF 的内切圆半径为 r ，由（2）可得22AF m n =--则2AE AF EF r +-= 222n m n m +---= 2m =-∴当m 最小时，r 最大．∵在Rt AEF 中，222AE AF EF +=∴22222n m n m 整理得： 2224220n m nm ∵关于n 的一元二次方程有解∴22244220m m∴24280m m +-≥ 利用二次函数图像可得422m ≥-或422m ≤--（不合题意，舍去）∴m 的最小值为422-∴r 的最大值为2422324即AEF 内切圆半径的最大值为324-．【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用以及根的判别式、全等三角形的判定与性质、旋转、三角形内切圆等知识，能熟练应用相关性质是解题关键．5．如图１，在△ABC 和△ADE 中，∠DAE=∠BAC ，AD=AE ，AB=AC ．（1）求证：△ABD ≌△ACE ；（2）如图2，在△ABC 和△ADE 中，∠DAE=∠BAC ，AD=AE ，AB=AC ，∠ADB=90°，点E 在△ABC 内，延长DE 交BC 于点F ，求证：点F 是BC 中点；（3）△ABC 为等腰三角形，∠BAC=120°，AB=AC ，点P 为△ABC 所在平面内一点，∠APB=120°，AP=2，BP=4，请直接写出 CP 的长．答案：D解析：（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）27或213．【分析】（1）因为∠DAE=∠BAC ，可以得到∠DAB=∠EAC ，因为AD=AE ，AB=AC ，即可得到△ABD ≌△ACE ；（2）连接CE ，延长EF 至点H ，取CF=CH ，连接CH ，由（1）可得△ABD ≌△ACE ，所以∠AEC=90°和CE=BD ，可以推出∠BDF=∠CEF ，再证明△DBF ≌△ECH ，所以BF=CH ，等量代换即可得到BF=FC ，即可解决；（3）点P 在△ABC 内部，将△ABP 逆时针旋转120°，得到ACP ∆'，连接PP '和PC ，可以得到△PP C '是直角三角形，利用勾股定理即可求出PC 的值；当点P 在△ABC 外部，将△APB 绕点A 逆时针旋转120︒得到PDC ∆，连接PP '和PC ，过点P 作PD ⊥'CP 于点D ，连接PD 可以得到△PP D '，△PP D '是直角三角形和，利用勾股定理即可求出'DP 及PC 的值．【详解】解：（1）证明：∵∠DAE=∠BAC∴∠DAB=∠EAC∵AD=AE ，AB=AC∴△ABD ≌△ACE（2）证明：连接CE ，延长EF 至点H ，取CF=CH ，连接CH ，如图所示：∵△ADB ≌△AEC∴BD=EC ，∠ADB=∠AEC=90°∵AD=AE∴∠ADE=∠AED∵∠ADE+∠EDB=∠AED+∠CEH=90°∴∠EDB=∠CEH∵CF=CH∴∠CFH=∠CHF∴∠DFB=∠H∵CE=BD∴△DBF ≌△ECH∴BF=CH∴BF=CF∴点F 是BC 的中点（3）当点P 在△ABC 内部，如图所示，将△ABP 逆时针旋转120°，得到ACP ∆'，连接PP '和PC∵将△ABP 旋转120°得到ACP ∆'∴∠PAP '=120°，AP='AP =2，BP=CP '=4∴PP '=23，∵∠AP C '=120°，∠AP P '=30°，∴∠PP C '=90°，∴PC=()2223427+=．当点P 在△ABC 外部，如图所示，将△APB 绕点A 逆时针旋转120︒到△'AP C ，过点P 作PD ⊥'CP 于点D ，连接PD ， ∵将△ABP 旋转120°得到ACP ∆'∴∠PAP '=120°，AP='AP =2，BP=CP '=4，∴PP '3∵∠AP C '=120°,∠AP P '=30°，∴∠PP C '=150°，∴∠PP D '=30°，在Rt 'PDP 中，1'32PD PP ==， 22''3DP PP PD ∴=-=，''347DC DP P C ∴=+=+=，()222237213PC PD DC ∴=+=+=． 综上所述，27213PC =或【点睛】本题主要考查了全等三角形以及旋转，合理的作出辅助线以及熟练旋转的性质是解决本题的关键．6．如图，直线y＝﹣x+c与x轴交于点B（3，0），与y轴交于点C，过点B，C的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为A．（1）求抛物线的解析式和点A的坐标；（2）P是直线BC上方抛物线上一动点，PA交BC于D．设t＝PDAD，请求出t的最大值和此时点P的坐标；（3）M是x轴上一动点，连接MC，将MC绕点M逆时针旋转90°得线段ME，若点E恰好落在抛物线上，请直接写出此时点M的坐标．答案：A解析：（1）y＝﹣x2+2x+3，A（﹣1，0）；（2）t的最大值为916，此时P（32，154）；（3）M 933-，0933+0）．【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可；（2）连接AC，PC，PB，过点A作AE⊥BC于E，过等P作PF⊥BC于F．设P（m，﹣m2+2m+3）．利用相似三角形的性质构建二次函数解决问题即可；（3）过点E作EH⊥x轴于H．设M（m，0），利用全等三角形的性质求出点E的坐标（用m表示），再利用待定系数法解决问题即可．【详解】解：（1）∵直线y＝﹣x+c与x轴交于点B（3，0），与y轴交于点C，∴0＝﹣3+c，解得c＝3，∴C（0，3），∵抛物线经过B，C，∴9303b cc-++=⎧⎨=⎩，解得23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，得到﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0）；（2）如图，连接AC，PC，PB，过点A作AE⊥BC于E，过点P作PF⊥BC于F．设P（m，﹣m2+2m+3）．∵AE∥PF，∴△PFD∽△AED，∴PDAD ＝PFAE，∵S△PBC＝12•BC•PF，S△ACB＝12•BC•AE，∴PDAD ＝PBCABCSS∆∆，∵S△ABC＝12•AB•OC＝12×4×3＝6，∴t＝PDAD ＝6PBCS∆＝211133(23)332226m m m⨯⨯+⨯⨯-++-⨯⨯＝﹣14m2+34m＝﹣14（m﹣32）2+916，∵﹣14＜0，∴m＝32时，t有最大值，最大值为916，此时P（32，154）；（3）如图，过点E作EH⊥x轴于H，∵∠COM ＝∠EHM ＝∠CME ＝90°，∴∠EMH +∠CMH ＝90°，∠EMH +∠MEH ＝90°，∴∠MEH ＝∠CMO ，∵MC ＝ME ，∴△COM ≌△MHE （AAS ），∴OC ＝MH ＝3，OM ＝EH ，设M （m ，0），则E （m ﹣3，﹣m ），把E （m ﹣3，﹣m ）代入y ＝﹣x 2+2x +3，可得﹣（m ﹣3）2+2（m ﹣3）+3＝﹣m ， 整理得，m 2﹣9m +12＝0，解得m ＝9332-或9332+， ∴M （9332-，0）或（9332+，0）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，解题的关键是利用数形结合的思想，在二次函数图象上构造全等三角形或相似三角形，利用几何的性质进行点坐标的求解．7．如图，BC ⊥CA ，BC ＝CA ，DC ⊥CE ，DC ＝CE ，直线BD 与AE 交于点F ，交AC 于点G ，连接CF ．（1）求证：△ACE ≌△BCD ；（2）求证：BF ⊥AE ；（3）请判断∠CFE 与∠CAB 的大小关系并说明理由．答案：C解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）∠CFE ＝∠CAB ，见解析【分析】（1）根据垂直的定义得到∠ACB ＝∠DCE ＝90°，由角的和差得到∠BCD ＝∠ACE ，即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠CBD ＝∠CAE ，根据对顶角的性质得到∠BGC ＝∠AGE ，由三角形的内角和即可得到结论；（3）过C 作CH ⊥AE 于H ，CI ⊥BF 于I ，根据全等三角形的性质得到AE ＝BD ，S △ACE ＝S △BCD ，根据三角形的面积公式得到CH ＝CI ，于是得到CF 平分∠BFH ，推出△ABC 是等腰直角三角形，即可得到结论．【详解】（1）证明：∵BC ⊥CA ，DC ⊥CE ，∴∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴∠BCD ＝∠ACE ，在△BCD 与△ACE 中，BC CA ACD ACE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△BCD ；（2）∵△BCD ≌△ACE ，∴∠CBD ＝∠CAE ，∵∠BGC ＝∠AGE ，∴∠AFB ＝∠ACB ＝90°，∴BF ⊥AE ；（3）∠CFE ＝∠CAB ，过C 作CH ⊥AE 于H ，CI ⊥BF 于I ，∵△BCD ≌△ACE ，∴ACE BCD AE BD,S S ∆∆==，∴CH ＝CI ，∴CF 平分∠BFH ，∵BF ⊥AE ，∴∠BFH ＝90°，∠CFE ＝45°，∵BC ⊥CA ，BC ＝CA ，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠CAB ＝45°，∴∠CFE ＝∠CAB ．【点睛】角的和差、对顶角的性质这些知识点在证明全等和垂直过程中经常会遇到，需要掌握。
全等模型-手拉手模型--常见几何模型归纳(学生版)
全等模型-手拉手模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型(手拉手(旋转)模型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.手拉手模型(三角形)【模型解读】将两个三角形绕着公共顶点(即头)旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。
公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。
对应操作：左手拉左手(即连结BD)，右手拉右手(即连结CE)，得△ABD≅△ACE。
【常见模型及证法】(等边)(等腰直角)(等腰)1(2022·北京东城·九年级期末)如图，在等边三角形ABC中，点P为△ABC内一点，连接AP，BP，CP，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到AP ，连接PP ，BP ．(1)用等式表示BP 与CP的数量关系，并证明；(2)当∠BPC=120°时， ①直接写出∠P BP的度数为；②若M为BC的中点，连接PM，请用等式表示PM与AP的数量关系，并证明．2(2022·黑龙江·中考真题)△ABC和△ADE都是等边三角形．(1)将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P(点P与点A重合)，有PA+ PB=PC(或PA+PC=PB)成立；请证明．(2)将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将△ADE绕点A 旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．3(2023·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则∠C′BA的度数为()A.15°B.20°C.30°D.45°4(2022·青海·中考真题)两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.(1)问题发现：如图1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：BD= CE；(2)解决问题：如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.图1 图25(2022秋·江苏·八年级期中)点D为△ABC外一点，∠ACB=90°，AC=BC．(1)如图1，∠DCE=90°，CD=CE，求证：∠ADC=∠BEC；(2)如图2，若∠CDB=45°，AE∥BD，CE⊥CD，求证：AE=BD；模型2.手拉手模型(正多边形型)【模型解读】将两个多边形绕着公共顶点(即头)旋转某一角度后能完全重合，则这两个多边形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。
初二数学全等三角形旋转模型知识点总结附解析
初二数学全等三角形旋转模型知识点总结附解析一、全等三角形旋转模型1．已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；（2）如图2，若∠AOB=120º，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．答案：C解析：（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析【分析】(1)结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断．(2)结论：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，证明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性质即可解决问题．【详解】解：（1）结论：CF=CG；证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；（2）CF=CG.理由如下：如图，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120º，∴CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），∴∠AOC=∠BOC=60º（角平分线的性质），∵∠DCE=∠AOC，∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60º，∴∠MCO=90º-60º =30º，∠NCO=90º-60º =30º，∴∠MCN=30º+30º=60º，∴∠MCN=∠DCE ，∵∠MCF=∠MCN-∠DCN ，∠NCG=∠DCE-∠DCN ，∴∠MCF=∠NCG ，在△MCF 和△NCG 中，CMF CNG CM CNMCF NCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MCF ≌△NCG （ASA ），∴CF=CG （全等三角形对应边相等）；【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等 ．2．（1）如图1，在OAB 和OCD 中，OA=OB ，OC=OD ，∠AOB=∠COD=40°，连接AC ，BD 交于点M ．求：①AC BD 的值； ②∠AMB 的度数．（2）如图2，在OAB 和OCD 中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC 交BD 的延长线于点M ．请判断AC BD的值及∠AMB 的度数，并说明理由； （3）在（2）的条件下，将OCD 点O 在平面内旋转，AC ，BD 所在直线交于点M ，若OD=2，OB=23，请直接写出当点C 与点M 重合时AC 的长．答案：A解析：（1）①1，②40°；（2）AC BD3∠AMB=90°，见解析；（3）33【分析】（1）①根据已知条件证明△COA ≌△DOB ，即可证明AC=BD ；②根据△COA ≌△DOB 可得∠CAO=∠DBO ，根据已知条件可得∠OAB+∠ABO=140°，然后在△AMB 中，根据等角的转换即可得到答案；（2）根据已知条件证明△AOC ∽△BOD ，可得∠CAO=∠DBO ，进而可得∠MAB=∠OAB+∠DBO ，最后可得∠AMB=180°-（∠OAB+∠ABM+∠DBO ）=90°；（3）分两种情况讨论，根据题（2），同理可得OAC OBD △△，90AMB ∠=︒，3AC BD=，设BD=x ，则3AC x = 用x 表示出AM 、BM 的长，在Rt AMB 中，根据勾股定理222AM BM AB +=列出方程，求解即可． 【详解】 解：（1）①如图1，∵∠AOB=∠COD=40°，∴∠COA=∠DOB ，∵OC=OD ，OA=OB ，∴△COA ≌△DOB （SAS ），∴AC=BD ，∴AC BD=1， ②∵△COA ≌△DOB ，∴∠CAO=∠DBO ，∵∠AOB=40°，∴∠OAB+∠ABO=140°，在△AMB 中，∠AMB=180°﹣（∠CAO+∠OAB+∠ABD ）=180°﹣（∠DBO+∠OAB+∠ABD ）=180°﹣140°=40°，（2）如图2，AC BD3∠AMB=90°，理由是：在Rt △COD 中，∠DCO=30°，∠DOC=90°， ∴3tan 303OD OC =︒=， 同理得：3tan 303OB OA =︒=， ∴OD OB OC OA=， ∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=∠BOD ，∴△AOC ∽△BOD ，∴AC OC BD OD==3，∠CAO=∠DBO ， 在△AMB 中，∠AMB=180°﹣（∠MAB+∠ABM ）=180°﹣（∠OAB+∠ABM+∠DBO ）=90°；（3）AC 的长为23或43．①如图，点C 与点M 重合，同理可得：OAC OBD △△，90AMB ∴∠=︒，3AC BD =设BD=x ，则3AC x =，在Rt ODC 中，30OCD ∠=︒，OD=2，4CD ∴=，在Rt AOB 中，30OAB ∠=︒，OB=23，43AB ∴=，在Rt AMB 中，222AM BM AB +=， 即222(3)(4)(43)x x ++=，解得：x=2或-4(舍)， AC=323x =；②如图，点C 与点M 重合，同理可得：90AMB ∠=︒，3AC BD =设BD=x ，则3x ，在Rt COD 中， 90OCD ∠=︒，OD=2，4CD ∴=，4BC x =-， 在Rt AOB 中，30OAB ∠=︒，3OB = 243AB OB ∴==，在Rt AMB 中，222AM BM AB +=，即222(3)(4)(43)x x +-=，解得：x=4或-2（舍），343x =综上所述，AC 的长为2343【点睛】本题主要考查三角形的综合运用，涉及全等三角形与相似三角形的性质和判定、勾股定理、解一元一次方程、图形旋转证明、特殊角的三角函数值等知识点，难度较大，第（1）题证明△COA ≌△DOB 是关键，第（2）题证明△AOC ∽△BOD 是关键，第（3）题要特别注意分情况讨论．3．问题提出：（1）如图1，在ABC 中，AB AC BC =≠，点D 和点A 在直线BC 的同侧，BD BC =，90BAC ∠=︒，30DBC ∠=︒，连接AD ，将ABD △绕点A 逆时针旋转90︒得到ACD '，连接BD '（如图2），可求出ADB ∠的度数为______．问题探究：（2）如图3，在（1）的条件下，若BAC α∠=，DBC β∠=，且120αβ+=︒，DBC ABC ∠<∠ ，①求ADB ∠的度数．②过点A 作直线AE BD ⊥，交直线BD 于点E ，7,2BC AD ==．请求出线段BE 的长．答案：A解析：（1）30°；（2）①30︒；②73-【分析】（1）由旋转的性质，得△ABD ≌ACD '∆，则ADB AD C '∠=∠，然后证明BCD '∆是等边三角形，即可得到30ADB AD C '∠=∠=︒；（2）①将ABD △绕点A 逆时针旋转，使点B 与点C 重合，得到'ACD △，连接'BD ．与（1）同理证明D BC '∆为等边三角形，然后利用全等三角形的判定和性质，即可得到答案；②由解直角三角形求出3DE =【详解】解：（1）根据题意，∵AB AC BC =≠，90BAC ∠=︒，∴ABC ∆是等腰直角三角形，∴45ABC ACB ∠=∠=︒，∵30DBC ∠=︒，∴15ABD ∠=︒，由旋转的性质，则△ABD ≌ACD '∆，∴ADB AD C '∠=∠，15ABD ACD '∠=∠=︒，BC CD '=，∴60BCD '∠=︒，∴BCD '∆是等边三角形，∴60BD C '∠=︒，BD CD ''=∵AB AC =，AD AD ''=，∴ABD '∆≌ACD '∆，∴30AD B AD C ''∠=∠=︒，∴30ADB AD C '∠=∠=︒；（2）①DBC ABC ∠<∠，60120α︒︒∴<<．如图1，将ABD △绕点A 逆时针旋转，使点B 与点C 重合，得到'ACD △，连接'BD ．AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠，BAC α∠=， ()111809022ABC αα︒︒∴∠=-=-， 1902ABD ABC DBC αβ︒∴∠=∠-∠=--， 119090180()22D CB ACD ACB αβααβ''︒︒︒∴∠=∠+∠=--+-=-+． 120,αβ︒+=60D CB '︒∴∠=．,BD BC BD CD '==，,BC CD '∴=D BC '∴为等边三角形，D B D C ''∴=，AD B AD C ''∴≌，AD B AD C ''∴∠=∠，1302AD B BD C ''︒∴∠=∠=， 30ADB ︒∴∠=．②如图2，由①知，30ADB ︒∠=，在Rt ADE △中，30,2ADB AD ︒∠==， 3DE ∴=．BCD '是等边三角形，7BD BC '∴==，7BD BD'∴==，73BE BD DE∴=-=-．【点睛】本题考查了解直角三角形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确利用旋转模型进行解题．4．△CDE和△AOB是两个等腰直角三角形，∠CDE＝∠AOB＝90°，DC＝DE＝1，OA＝OB＝a（a＞1）．（1）将△CDE的顶点D与点O重合，连接AE，BC，取线段BC的中点M，连接OM．①如图1，若CD，DE分别与OA，OB边重合，则线段OM与AE有怎样的数量关系？请直接写出你的结果；②如图2，若CD在△AOB内部，请你在图2中画出完整图形，判断OM与AE之间的数量关系是否有变化？写出你的猜想，并加以证明；③将△CDE绕点O任意转动，写出OM的取值范围（用含a式子表示）；（2）是否存在边长最大的△AOB，使△CDE的三个顶点分别在△AOB的三条边上（都不与顶点重合）？如果存在，请你画出此时的图形，并求出边长a的值；如果不存在，请说明理由．答案：A解析：（1）①OM＝12AE；②OM＝12AE，证明详见解析；③12a-≤OM≤12a+；（2）5【分析】（1）①利用△CDE≌△AOB得出BC＝AE，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解．②作辅助线，利用△COF≌△EOA及三角形中位线得出OM＝12 AE．③分两种情况，当OC与OB重合时OM最大，当OC在BO的延长线上时OM最小，据此求出OM的取值范围．（2）分两种情况：当顶点D在斜边AB上时，设点C，点E分别在OB，OA上．由DM +OM ≥OF 求出直角边a 的最大值；当顶点D 在直角边AO 上时，点C ，点E 分别在OB ，AB 上时，利用△EHD ≌△DOC ，得出OD ＝EH ，在Rt △DHE 中，运用勾股定理ED 2＝DH 2+EH 2，得出方程，由△判定出a 的最大值．【详解】解：（1）①∵△CDE 和△AOB 是两个等腰直角三角形，∴CD ＝ED ，AO ＝B 0，∠CDE ＝∠AOB ，在△CDE 和△AOB 中，CD ED CDE AOB AO BO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CDE ≌△AOB （SAS ），∴BC ＝AE∵M 为BC 中点，∴OM ＝12BC ， ∴OM ＝12AE ． ②猜想：OM ＝12AE ． 证明：如图2，延长BO 到F ，使OF ＝OB ，连接CF ，∵M 为BC 中点，∴OM ＝12CF ， ∵△CDE 和△AOB 是两个等腰直角三角形，∴CD ＝ED ，AO ＝BO ＝OF ，∠CDE ＝∠AOB ，∵∠AOC +∠COB ＝∠BOE +∠COB ＝90°，∴∠AOC ＝∠BOE ，∠FOC ＝∠AOE ，在△COF 和△EOA 中，CD ED FOC AOE OF AO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△COF ≌△EOA ，∴CF ＝AE ，∴OM ＝12AE ． ③Ⅰ、如图3，当OC 与OB 重合时，OM 最大，OM ＝11122a a -++= Ⅱ、如图4，当OC 在BO 的延长线上时，OM 最小，OM ＝12a +﹣1＝12a -， 所以12a -≤OM ≤12a +， （2）解：根据△CDE 的对称性，只需分两种情况： ①如图5，当顶点D在斜边AB上时，设点C，点E分别在OB，OA上．作OF⊥AB于点F，取CE的中点M，连接OD，MD，OM．∵△AOB和△CDE是等腰直角三角形，∠AOB＝∠CDE＝90°，OA＝OB＝a（a＞1），DC＝DE＝1，∴AB＝2a，OF＝12AB＝22a，∴CE＝2，DM＝12CE＝22，在RT△COE中，OM＝12CE＝22，在RT△DOM中，DM+OM≥OD，又∵OD≥OF，∵DM+OM≥OF，即22+22≥22a，∴a≤2，∴直角边a的最大值为2．②如图6，当顶点D在直角边AO上时，点C，点E分别在OB，AB上，作EH⊥AO于点H．∵∠AOB＝∠CDE＝∠DHE＝90°，∵∠HED+∠EDH＝∠CDO+∠EDH＝90°，∴∠HED＝∠CDO，∵DC＝DE，在△EHD和△DOC中，EHD COD HED CDO DE DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EHD ≌△DOC （AAS ）设OD ＝x ，∴OD ＝EH ＝AH ＝x ，DH ＝a ﹣2x ，在Rt △DHE 中，ED 2＝DH 2+EH 2，∴1＝x 2+（a ﹣2x ）2，整理得，5x 2﹣4ax +a 2﹣1＝0，∵x 是实数，∴△＝（4a ）2﹣4×5×（a 2﹣1）＝20﹣4a 2≥0，∴a 2≤5，∴a 2的最大值为5，∴a 的最大值为5．综上所述，a 的最大值为5．【点睛】本题主要考查了几何变换综合题及三角形全等的判定和性质，解题的关键是在取最大值时，对三角形的位置进行讨论分别求值．5．如图，点B ，C ，D 在同一条直线上，△BCF 和△ACD 都是等腰直角三角形，连接AB ，DF ，延长DF 交AB 于点E ．（1）如图1，若AD ＝BD ，DE 是∠ADB 的平分线，BC ＝1，求CD 的长度；（2）如图2，连接CE ，求证：DE ＝2CE ＋AE ；（3）如图3，改变△BCF 的大小，始终保持点在线段AC 上（点F 与点A ，C 不重合）．将ED 绕点E 顺时针旋转90°得到EP ，取AD 的中点O ，连接OP ．当AC ＝2时，直接写出OP 长度的最大值．解析：（1）21CD =；（2）证明见解析；（3）22+【分析】 （1）根据等腰直角三角形的性质，求出1FC BC ==，再判断出FA FB =，即可得出结论；（2）先判断出ABC DFC ≅△△，得出BAC CDF ∠=∠，进而判断出ACE DCH ≅△△，得出AE DH =，CE CH =，即可得出结论；（3）先判断出2OE OQ ==，再判断出OED QEP ≅△△，进而求出2PQ OD ==．即可得出结论． 【详解】（1）解：BCF 和ACD △都是等腰直角三角形，AC CD ∴=，1FC BC ==，2FB =，AD BD =，DE 是ABD ∆的平分线，DE ∴垂直平分AB ，2FA FB ∴==，21AC FA FC ∴=+=+，21CD ∴=+；（2）证明：如图2，过点C 作CH CE ⊥交ED 于点H ，BCF 和ACD △都是等腰直角三角形，AC DC ∴=，FC BC =，90ACB DCF ∠=∠=︒；()ABC DFC SAS ∴≅△△，BAC CDF ∴∠=∠，90ECH ∠=︒，90ACE ACH ∴∠+∠=︒，90ACD ∠=︒，90DCH ACH ∴∠+∠=︒，ACE DCH ∴∠=∠．在ACE 和DCH 中，BAC CDF AC DCACE DCH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ACE DCH ASA ∴≅△△，AE DH ∴=，CE CH =，2EH CE ∴=．2DE EH DH CE AE =+=+；（3）OP 的最大值是22+．解：如图3，连接OE ，将OE 绕点E 顺时针旋转90︒得到EQ ，连接OQ ，PQ ，则2OQ OE =．由（2）知，90AED ABC CDF ABC BAC ∠=∠+∠=∠+∠=︒，在Rt AED △中，点O 是斜边AD 的中点，122222OE OD AD AC ∴===== 2222OQ OE ∴===，在OED 和QEP △中，OE QE OED QEP DE PE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()OED QEP SAS ∴≅△△，2PQ OD ∴==22OP OQ PQ +=+O 、P 、Q 三点共线时，取“=”号，OP ∴的最大值是22+【点睛】此题是几何变换综合题，主要等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．6．如图1所示，矩形ABCD 中，点E ，F 分别为边AB ，AD 的中点，将△AEF 绕点A 逆时针旋转α（0°＜α≤360°），直线BE 、DF 相交于点P ．（1）若AB＝AD，将△AEF绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置，则线段BE与DF的数量关系是．（2）若AD＝nAB（n≠1），将△AEF绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图3所示的情况加以证明，若不成立，请写出正确结论，并说明理由．（3）若AB＝8，BC＝12，将△AEF旋转至AE⊥BE，请算出DP的长．答案：B解析：（1）BE＝DF；（2）不成立，结论：DF＝nBE；理由见解析（3）634或634【分析】（1）如图2中，结论：BE＝DF，BE⊥DF．证明△ABE≌△ADF（SAS），利用全等三角形的性质可得结论；（2）结论：DF＝nBE，BE⊥DF，证明△ABE∽△ADF（SAS），利用相似三角形的性质可得结论；（3）分两种情形画出图形，利用相似三角形的性质以及勾股定理求解即可．【详解】解：（1）结论：BE=DF，BE⊥DF，理由：∵四边形ABCD是矩形，AB=AD，∴四边形ABCD是正方形，AE=12AB，AF=12AD，∴AE=AF，∵∠DAB=∠EAF=90°，∴∠BAE=∠DAF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴BE=DF，故答案为：BE=DF；（2）结论不成立，结论：DF=nBE，∵AE=12AB，AF=12AD，AD=nAB，∴AF=nAE，∴AF∶AE=AD∶AB，∴AF∶AE=AD∶AB，∵∠DAB=∠EAF=90°，∴∠BAE=∠DAF，∴△BAE∽△DAF，∴DF∶BE=AF∶AE=n，∠ABE=∠ADF，∴DF=nBE；（3）如图4-1中，当点P在BE的延长线上时，在Rt△AEB中，∵∠AEB=90°，AB=8，AE=12AB=4，∴BE=22AB AE-=43，∵△ABE∽△ADF，∴ABAD =BE DF，∴812=43DF，∴DF=63，∵四边形AEPF是矩形，∴AE=PF=4，∴PD=DF-PF=634-；如图4-2中，当点P在线段BE上时，同法可得DF=63PF=AE=4，∴PD=DF＋PF=634，综上所述，满足条件的PD的值为634-或634．【点睛】此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，注意应用分类思想解决问题，是一道较难的几何综合题．7．在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B在x轴负半轴上，BP平分∠ABO．（1）如图1，点T在BA延长线上，若AP平分∠TAO，求∠P的度数；（2）如图2，点C为x轴正半轴上一点，∠ABC＝2∠ACB，且P在AC的垂直平分线上．①求证：AP//BC；②D是AB上一点，E是x轴正半轴上一点，连接AE交DP于H．当∠DHE与∠ABE满足什么数量关系时，DP＝AE．给出结论并说明理由．答案：D解析：（1）45°；（2）①见解析；②∠DHE+∠ABE＝180°，理由见解析【分析】（1）由三角形的外角性质和角平分线的性质可得∠AOB＝2∠P＝90°，可求解；（2）①过点P作PE⊥AB交BA延长线于E，过点P作PF⊥BC于F，连接PC，由角平分线的性质可得PE＝PF，由垂直平分线的性质可得PA＝PC，由“HL”可证Rt△APE≌Rt△CPF，可得∠EPA＝∠CPF，由四边形内角和定理可得∠EBF+∠EPF＝180°，由角的数量关系可证∠ACB＝∠PAC，由平行线的判定可证AP∥BC；②如图3，在OE上截取ON＝OB，连接AN，通过证明△ADP≌△NEA，可得DP＝AE．【详解】解：（1）∵BP平分∠ABO，AP平分∠TAO，∴∠PBT＝12∠ABO，∠TAP＝12∠TAO，∵∠TAO＝∠ABO+∠AOB，∠TAP＝∠P+∠ABP，∴∠AOB＝2∠P＝90°，∴∠P＝45°；（2）①如图2，过点P作PE⊥AB交BA延长线于E，过点P作PF⊥BC于F，连接PC，又∵PB 平分∠ABC ，∴PE ＝PF ，∵P 在AC 的垂直平分线上，∴PA ＝PC ，∴∠PAC ＝∠PCA ，在Rt △APE 和Rt △CPF 中，AP PC PE PF =⎧⎨=⎩， ∴Rt △APE ≌Rt △CPF （HL ），∴∠EPA ＝∠CPF ，∴∠EPF ＝∠APC ，在四边形BEPF 中，∠EBF+∠BEP+∠EPF+∠PFB ＝180°，∴∠EBF+∠EPF ＝180°，∴∠ABC+∠APC ＝180°，∵∠APC+∠PAC+∠PCA ＝180°，∴∠ABC ＝∠PAC+∠PCA ＝2∠PAC ，∵∠ABC ＝2∠ACB ，∴∠ACB ＝∠PAC ，∴AP ∥BC ；②当∠DHE+∠ABE ＝180°时，DP ＝AE ，理由如下：如图3，在OE 上截取ON ＝OB ，连接AN ，∵OB ＝ON ，AO ⊥BE ，∴AB ＝AN ，∴∠ABN ＝∠ANB ，∵AP ∥BE ，BP 平分∠ABE ，∴∠APB ＝∠PBE ＝∠ABP ，∠ABN+∠BAP ＝180°，∴AP ＝AB ，∴AP ＝AN ，∵∠ANB+∠ANE ＝180°，∴∠BAP ＝∠ANE ，∵∠DHE+∠ABE ＝180°，∠DHE+∠ABE+∠BDH+∠BEH ＝360°，∴∠BDH+∠BEH ＝180°，∵∠ADP+∠BDP ＝180°，∴∠ADP ＝∠AEN ，在△ADP 和△NEA 中，DAP ANE ADP AEN AP AN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADP ≌△NEA （AAS ），∴DP ＝AE ．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，四边形内角和定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 8．（1）ABC 和CDE △是两个等腰直角三角形，如图1，其中90ACB DCE ∠=∠=︒，连接AD 、BE ，求证：ACD △≌BCE ．（2）ABC 和CDE △是两个含30°的直角三角形，中90ACB DCE ∠=∠=︒，∠=CAB CDE ∠30=︒，CD AC <，CDE △从边CD 与AC 重合开始绕点C 逆时针旋转一定角度()0180αα︒<<︒．①如图2，DE 与BC 交于点F ，交AB 于G ，连接AD ，若四边形ADEC 为平行四边形，求BG AG的值． ②若12AB =，当点D 落在AB 上时，求BE 的长．答案：A解析：（1）见解析；（2）①13BG AG =；②2212312cos 4sin 1ααα+- 【分析】（1）利用SAS 证明即可；（2）①连接CG ，根据平行四边形的性质推出//AD CE ，求出120ADE ∠=︒，得到90ADC ADE CDE ∠=∠-∠=︒，根据30CAB CDE ∠=∠=︒证得A 、D 、G 、C 四点共圆，从而得到90AGC ADC ∠=∠=︒，利用直角三角形中30度角的性质求出3AG CG =， 3CG BG =，即可求出答案；②先证明ACD △∽BCE ，由此推出∠DBE=90°，得到DBE 为直角三角形，设BE a =，则3AD a =，123BD a =-，过D 点作DH AC ⊥于H ，利用30A ∠=︒得到3sin 302DH AD a =︒=，由ACD α∠=，得到3sin 2sin HD a CD αα==，由此求出cos30sin CD a DE α==︒，由勾股定理得222DE BE BD =+，即()2222221231443243sin a a a a a a α=+-=++-，解方程求出a.【详解】 （1）∵ABC 和CDE △是两个等腰直角三角形，∴AC BC =，CD CE =，ACB DCE ∠=∠， ∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB ，∴ACD BCE ∠=∠， 在ACD △和BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ACD △≌BCE （SAS ）．（2）①连接CG ，如图所示，∵四边形ADEC 为平行四边形，∴//AD CE ，∴180ADE CED ∠+∠=︒，∵90903060CED CDE ∠=︒-∠=︒-︒=︒， ∴120ADE ∠=︒，∴90ADC ADE CDE ∠=∠-∠=︒，∵30CAB CDE ∠=∠=︒，∴A 、D 、G 、C 四点共圆，∴90AGC ADC ∠=∠=︒，∵30CAB ∠=︒，∴12CG AC =，3AG CG =，30BCG ∠=︒， ∴3CG BG =，即33BG CG =， ∴13BG AG =；②∵90ACB DCE ∠=∠=︒，∴ACB DCB DCE DCB ∠-∠=∠-∠，∴ACD BCE ∠=∠，∵30CAB CDE ∠=∠=︒，∴3AC DC BC CE ==， ∴ACD △∽BCE ，∴CAD CBE ∠=∠，∴90DBE DBC CBE DBC CAD ∠=∠+∠=∠+∠=︒，∴DBE 为直角三角形，设BE a =，∴3AD a =，∴123BD a =-，过D 点作DH AC ⊥于H ，30A ∠=︒， 则3sin 302DH AD a =︒=， 又∵ACD α∠=，∴3sin 2sin HD a CD αα==， 又在Rt CDE △中，30∠=︒CDE ，∴cos30sin CD a DE α==︒， ∴在Rt BDE △中，由勾股定理得222DE BE BD =+，即()2222221231443243sin a a a a a a α=+-=++-，∴22142431440sin a a α⎛⎫--+= ⎪⎝⎭， 解得22576243576sin 28sin a αα±-=-， 即222243sin 241sin 8sin 2a ααα+-=- 2222243sin 24cos 123sin 12cos 8sin 24sin 1αααααα++==--， 故BE 的长为22123sin 12cos 4sin 1ααα+-.【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质，旋转的性质，平行四边形的性质，四点共圆，含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，是一道较难的几何综合题.9．问题：如图（1），点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠MAN＝45°，试判断BM、MN、ND之间的数量关系．（1）研究发现如图1，小聪把△ADN绕点A顺时针旋转90°至△ABG，从而发现BM、MN、DN之间的数量关系为（直接写出结果，不用证明）（2）类比引申如图2，在（1）的条件下，AM、AN分别交正方形ABCD的对角线BD于点E、F．已知EF ＝5，DF＝4．求BE的长．（3）拓展提升如图3，在（2）的条件下，AM、AN分别交正方形ABCD的两个外角平分线于Q、P，连接PQ．请直接写出以BQ、PQ、DP为边构成的三角形的面积．答案：B解析：（1）BM+DN＝MN，理由见解析；（2）BE＝3；（3）以BQ、PQ、DP为边构成的三角形的面积为36．【分析】（1）结论是：BM+DN＝MN，如图1，利用三角形AND旋转90º得三角形ABG，∠DAN=∠BAG，可证∠GAM=∠GAB+∠BAM=∠MAN，利用SAS证△AMN≌△AMG即可；（2）如图2，按同样方法△AFD顺时针旋转90º，使AD与AB重合，得△ABF′，连结EF′，△BEF′是直角三角形，用勾股定理求EF′=5，再证△AEF≌△AEF即可；（3）如图3，由（2）可得BD=12，可求正方形边长，构建△P′AQ，P′B=DP，将△ADP顺时针转90º，AD与AB重合，得△BQP′，连OP′，可证△BQP′是直角三角形，可证PQ=P′Q，再证△ABQ∽△PDA，将△P′BQ面积=12BQ•BP′=12BQ•DP=12AD•AB可求．【详解】（1）如图1，BM+DN＝MN，理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠D ＝∠ABC ＝∠BAD ＝90°，小聪把△ADN 绕点A 顺时针旋转90°至△ABG ，由旋转可得：BG ＝DN ，AN ＝AG ，∠1＝∠2，∠ABG ＝∠D ＝90°，∴∠ABG +∠ABM ＝90°+90°＝180°，因此，点G ，B ，M 在同一条直线上，∵∠MAN ＝45°，∴∠2+∠3＝∠BAD ﹣∠MAN ＝90°﹣45°＝45°，∵∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝45°，∴∠GAM ＝∠MAN ，∵AM ＝AM ，∴△AMN ≌△AMG （SAS ），∴MN ＝GM ，∵GM ＝BM +BG ＝BM +DN ，∴BM +DN ＝MN ；故答案为：BM +DN ＝MN ；（2）如图2，把△ADF 绕点A 顺时针旋转90°至△ABF '，连接EF '，∴AF ′ ＝AF ，∠DAF ＝∠BAF '，∠ABF ′ ＝∠ADF ＝45°，BF ′ ＝DF ＝4，∵∠ABE ＝45°，∴∠EBF ′ ＝45°+45°＝90°，∵AE ＝AE ，同理得△EAF ≌△EAF '（SAS ），∴EF '＝EF ＝5，在Rt △EBF '中，由勾股定理得：BE ()()2222EF +BF 5-4=3''＝3；（3）由（2）知：BE＝3，EF＝5，DF＝4，∴BD＝3+4+5＝12，由勾股定理得：AB2+AD2＝BD2，∵AB＝AD，∴AB2＝72，如图3，把△ADP绕点A顺时针旋转90°至△ABP '，连接BP ′，则∠ABP′＝∠ADP，PD＝P ′B，AP＝AP ′，∵AM、AN分别交正方形ABCD的两个外角平分线于Q、P，∴∠ADP＝∠ABQ＝135°，∴∠DAP+∠APD＝45°，∵∠DAP+∠BAQ＝45°，∴∠BAQ＝∠APD，∴△ADP∽△QBA，∴AD PD=BQ AB，∴BQ•PD＝AD•AB＝72，∵∠ABP'＝∠ABQ＝135°，∴∠QBP'＝360°﹣135°﹣135°＝90°，∴S△BP'Q＝12BQ•BP′＝12BQ•DP＝12×72＝36，∵AP＝AP'，∠PAQ＝∠P'AQ，AQ＝AQ，∴△QAP≌△QAP'（SAS），∴PQ＝P'Q，∴以BQ、PQ、DP为边构成的三角形的面积为36．【点睛】本题是感知，探究，创新新题型，主要考查了学生对正方形的性质，旋转变换，勾股定理及全等三角形与相似三角形的判定方法的综合运用．关键是灵活掌握所学知识，同时会从感知中学到方法，结合下一图形，找到解决问题的方法，以及突破口，在创新中，注意把给出的问题进行转化，利用转化思想来解决．10．如图，抛物线y ＝24x 2+2x ﹣62交x 轴于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于C 点，D 点是该抛物线的顶点，连接AC 、AD 、CD ．（1）求△ACD 的面积；（2）如图，点P 是线段AD 下方的抛物线上的一点，过P 作PE ∥y 轴分别交AC 于点E ，交AD 于点F ，过P 作PG ⊥AD 于点G ，求EF+52FG 的最大值，以及此时P 点的坐标； （3）如图，在对称轴左侧抛物线上有一动点M ，在y 轴上有一动点N ，是否存在以BN 为直角边的等腰Rt △BMN ？若存在，求出点M 的横坐标，若不存在，请说明理由．答案：A解析：（1）24；（2）最大值为22，点P （﹣2，﹣1522）；（3）存在，点M 的2262﹣6．【分析】（1）先求出抛物线与坐标轴的交点坐标和顶点坐标，再用待定系数法求得AC 的解析式，进而求出点N 、D 的坐标，再根据三角形的面积公式求出结果；（2）证明5FG 即为EP 的长度，即可求解； （3）分∠BNM 为直角、∠MBN 为直角，利用三角形全等即可求解．【详解】解：（1）令x ＝0，得202062624y =⨯+⨯-=-， ∴C （0，﹣2），令y ＝0，得222620y x x =+-=， 解得162x =-22x =∴A （62-，0），点B （220），设直线AC 的解析式为：y ＝kx+b （k ≠0），则62062k b b ⎧-+=⎪⎨=-⎪⎩， ∴162k b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∴直线AC 的解析式为：62y x =--， ∵()2222262228244y x x x =+-=+-，∴D （22-，82-），过D 作DM ⊥x 轴于点M ，交AC 于点N ，如图，令22x =-，()226242y =---=-，则N （22-，42-），∴42DN =，∴1142622422ACD S DN AO =⋅=⨯⨯=； （2）如图，过点D 作x 轴的平行线交FP 的延长线于点H ，由点A 、D 的坐标得，直线AD 的表达式为：2122y x =--∴tan ∠FDH ＝2，则sin ∠FDH 2555=， ∵∠HDF+∠HFD ＝90°，∠FPG+∠PFG ＝90°，∴∠FDH ＝∠FPG ，在Rt △PGF 中，PF ＝FG sin G FP ∠＝ FG sin FDH ∠255FG =＝52FG ， 则EF+52FG ＝EF+PF ＝EP ， 设点P （x ，222624x x +-），则点E （x ，62x --）， 则EF+52FG ＝EF+PF ＝EP ＝222262262344x x x x x ⎛⎫---+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭， ∵﹣24＜0，故EP 有最大值，此时x ＝﹣2b a ＝﹣32，最大值为922； 当x ＝32-时，2215226242y x x =+-=-， 故点P （32-，1522-）； （3）存在，理由： 设点M 的坐标为（m ，n ），则222624n m m =+-，点N （0，s ）， ①当∠MNB 为直角时，如图，过点N 作x 轴的平行线交过点B 与y 轴的平行线于点H ，交过点M 与y 轴的平行线于点G ，∵∠MNG+∠BNH ＝90°，∠MNG+∠GMN ＝90°，∴∠GMN ＝∠BNH ，∵∠NGM ＝∠BHN ＝90°，MN ＝BN ，∴△NGM ≌△BHN （AAS ），∴GN ＝BH ，MG ＝NH ，即22n s -=m s -=-，联立并解得：226m =故226m =M （226226②当∠NBM 为直角时，如图，过点B 作y 轴的平行线交过点N 与x 轴的平行线于点G ，交过点M 与x 轴的平行线于点H ，同理可证：△MHB ≌△BGN （AAS ），则BH ＝NG ，即22n =-， 当22n =-时，22262224m m +-=-，解得：2226m =±（舍去正值）， 故2226m =-，则点M （2226-，22-）；综上，点M 的横坐标为226--或2226-．【点睛】本题考查二次函数的综合题，涉及三角形面积的求解，用胡不归原理求最值，等腰直角三角形的存在性问题，解题的关键是需要掌握这些特定题型的特定解法，熟练运用数形结合的思想去解决问题．11．回答下列问题：（1）（发现）如图1，点A 为线段BC 外一动点，且4BC =，2AB =．填空：线段AC 的最大值为 ．图1（2）（应用）点A 为线段BC 外一动点，且3BC =，2AB =，如图2所示，分别以AB ，AC 为边，作等腰直角ABD △和等腰直角ACE ，连接CD ，BE ．图2①证明：BE DC =．②求线段BE 的最大值．（3）（拓展）如图3，在平面直角坐标系中，直线l ；4y x =+与坐标轴交于点A 、B 两点，点C 为线段AB 外一动点，且2CB =，以AC 为边作等边ACD △，连接BD ，求线段BD 长的最大值并直接写出此时点C 的横坐标．图3答案：A解析：（1）6（2）①证明见解析． ②322+（3）42226-26+ 【分析】(1)根据点A 位于CB 的延长线上时，线段AC 的长取得最大值，即可得到结论；(2) ①由“SAS” 可证△DAC ≌△BAE ，可得BE=DC ；②由于线段长BE 的最大值=线段DC 的最大值，根据(1)中的结论即可得到结果，(3)以BC 为边作等边三角形BCE ，可以证明△ACE ≌△DCB(SAS) ，从而得到BD=AE ，BE=BC ，由AE≤AB+BE ，当且仅当A 、B 、E 三点共线时，AE 取得最大值，即BD 取得最大值，当BD 取得最大值时，①当C 在直线AB 的上方时，过C 作CH ⊥y 轴于H ，作BC 的垂直平分线交BH 于N ，求出CH 的长度，即可求出点C 的横坐标，②当C 在直线AB 的下方时，按同①的方法也可以求出点C 的横坐标．【详解】（1）当A 在选段BC 的延长线上时， max 6AC AB BC =+=．（2）①∵等腰直角AEC 与等腰直角三角形ABD ，∴AD AB =，AE AC =，90DAB EAC ∠=∠=︒，∴DAB BAC EAC BAC ∠+∠=∠+∠，∴DAC EAB ∠=∠，在DAC △和BAE 中，DA BA DAC BAE AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS DAC BAE ≌△△， ∴BE CD =．②由①可知，BE DC =，∵线段BE 的最大值即线段DC 的最大值． 在等腰直角ABD △中，222BD AB ==，∵CD BC BD ≤+，∴当点D 在CB 的延长线上时， CD 取得最大值为322+．∴线段BE 的最大值为322+．（3）如图，以BC 为边作等边三角形BCE ，则BC CE =，60BCE ∠=︒．∵60ACD ∠=︒，∴ACD ECD BCE ECD ∠-∠=∠-∠， ∴ACE DCB ∠=∠．在ACE 与DCB 中，AC DC ACE DCB CE CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ACE DCB ≌△△， ∴BD AE =．对于一次函数4y x =+，令0x =，则4y =， ∴()0,4B ，令0y =，则4x =-，∴()4,0A -．∴224442AB =+=又∵2BE BC ==，∴AE AB BE ≤+，∴当且仅当A 、B 、E 三点共线时，AE 取得最大值，即BD 取得最大值为422+；当BD 取得最大值时，①当C 在直线AB 的上方时过C 作CH y ⊥轴于H ，∵45ABO HBE ∠=∠=︒，60CBE ∠=︒，∴15CBH CBE HBE ∠=∠-∠=︒，作BC 的垂直平分线交BH 于N ，∴CN BN =，15NCB NBC ∠=∠=︒，∴30CNB ∠=︒，在Rt CHN △中，设CH x =．则3HN x =，2CN x =，∴2BN x =，∴)32BH HN BN x =+=， 在Rt BHC △中，22222HC BH BC +==，∴)222322x x ⎡⎤+=⎣⎦， 整理得(227434x x ++=， 223x =，)12312x =，)22312x =-（舍）， ∴62CH -=2②当C 在直线AB 的下方时，过C 作CL ⊥y 轴于L ，∵∠ABO=45°，∠CBE=60°，∴∠CBL=180°-∠CBE−∠ABO=75°，∴∠BCL=15°，作BC 的垂直平分线交BL 于M ，∴CM=BM ，∠MCB=∠MBC=15°，∴∠LMB=30°，在Rt △CLB 中，设BL=y ．则3，BM=2y ，∴CM=2y ，∴3+2)y ，在Rt △BLC 中，BL 2+CL 2=BC 2=22，∴)222322y y ⎡⎤+=⎣⎦， 整理得(227434y y ++=， 223y = )1231y =，)2231y =（舍去）， 622BL =∴CL=)32BL 26+2综合以上可得点C 的横坐标为：262-或 262+ 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判.定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性质正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.12．如图，在等边三角形ABC 中，点D 是射线CB 上一动点，连接DA ，将线段DA 绕点D 逆时针旋转60°得到线段DE ，过点E 作EF ∥BC 交直线AB 于点F ，连接CF ．（1）如图1，若点D 为线段BC 的中点，则四边形EDCF 是 ；（2）如图2，若点D 为线段CB 延长线上任意一点，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）若点D 为射线CB 上任意一点，当∠DAB ＝15°，△ABC 的边长为2时，请直接写出线段BD 的长．答案：A解析：（1）平行四边形；（2）成立，见解析；（3）423-或31-．【分析】（1）证明△ADB ≌△DEO （AAS ）和四边形EOBF 为平行四边形，进而求解；（2）证明△OED ≌△DAC （SAS ），则∠EOD ＝∠ACD ＝60°＝∠ABC ，故OE ∥AB ，进而求解；（3）分点D 在线段BC 上、点D （D ′）在BC 的延长线上两种情况，利用勾股定理和等腰直角三角形的性质分别求解即可．【详解】解：（1）过点E 作DE 的垂线交CB 的延长线于点O ，设BA 交ED 于点R ，∵点D为线段BC的中点，则AD⊥BC且∠BAD＝30°，∵∠ADE＝60°，∴∠EDB＝∠ADB﹣ADE＝90°﹣60°＝30°，∵EF∥BC，∴∠EFD＝∠ABC＝60°，∠FED＝∠EDO＝30°，∴∠ERF＝90°，∴DE⊥AB，∵AD＝ED，∠BAD＝∠EDO＝30°，∠ADB＝∠DEO＝90°，∴△ADB≌△DEO（AAS），∴OE＝BD＝12BC＝12AB，则OB＝OD﹣BD＝AB﹣12AB＝12AB，∴OB＝BD＝CD，∵OE⊥DE，DE⊥AB，∴OE∥AB，∵EF∥BC，∴四边形EOBF为平行四边形，∴EF＝OB＝CD，而EF∥CD，∴四边形EFCD为平行四边形，故答案为：平行四边形；（2）如图2，在CD的延长线上截取DO＝AC，连接OE，设∠ADC的度数为α，∵∠EDO＝180°﹣∠EDA﹣∠ADC＝180°﹣60°﹣α＝120°﹣α，∠DAC＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝120°﹣α＝∠EDO，而AC＝OD，DE＝AD，∴△OED≌△DAC（SAS），∴∠EOD＝∠ACD＝60°＝∠ABC，∴OE∥AB，而EF∥BC，∴四边形EFCD为平行四边形；（3）①当点D在线段BC时，过点A 作AH ⊥BC ，则∠BAH ＝30°，而∠DAB ＝15°，BH ＝12BC ＝1， 即BD 是∠BAH 的角平分线，过点D 作DG ⊥AB 于点G ，设DH ＝x ，则DG ＝DH ＝x ，BD ＝BH ﹣DH ＝1﹣x ，在△BDG 中，∠BDG ＝30°，则BG ＝12BD ＝12x - 由勾股定理得：()21x -＝212x -⎛⎫ ⎪⎝⎭+2x ，解得：x ＝233-， ∴BD ＝1﹣x ＝423-，②当点D （D ′）在BC 的延长线上时，∵∠BAD ′＝15°，∴∠D ′AH ＝30°+15°＝45°，则D ′H ＝AH ＝2213-=，∴BD ′＝D ′H ﹣BH ＝31-；综上，BD 的长度为423-或31-．【点评】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形性质、三角形全等、等边三角形性质等知识点，综合性强，难度较大．13．阅读下面材料：小炎遇到这样一个问题：如图1，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，∠EAF=45°，连结EF ，则EF=BE+DF ，试说明理由．小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB，AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°．若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足_ 关系时，仍有EF=BE+DF；（2）如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1， EC=2，求DE的长．答案：B解析：（1）∠B+∠D=180°（或互补）；（2）∴5DE【解析】试题分析：(1)如图，△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，利用全等的知识可知，要使EF=BE+DF，即EF=DG+DF，即要F、D、G三点共线，即∠ADG+∠ADF=180°，即∠B+∠D=180°．(2) 把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合，通过证明△AEG≌△AED 得到DE=EG，由勾股定理即可求得DE的长．(1)∠B+∠D=180°（或互补）．(2)∵ AB=AC，∴把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合．则∠B=∠ACG，BD=CG，AD=AG．∵在△ABC中，∠BAC=90°，∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°于，即∠ECG=90°．∴ EC 2+CG 2=EG 2．在△AEG 与△AED 中,∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°-∠EAD=45°=∠EAD ．又∵AD=AG ，AE=AE ，∴△AEG ≌△AED ．∴DE=EG ．又∵CG=BD,∴ BD 2+EC 2=DE 2． ∴5DE =．考点：1．面动旋转问题；2．全等三角形的判定和性质；3．勾股定理．14．如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．解析：（1）PM ＝PN ，PM ⊥PN ；（2）△PMN 是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S △PMN 最大＝492． 【分析】（1）由已知易得BD CE =，利用三角形的中位线得出12PM CE =，12PN BD =，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出//PM CE 得出DPM DCA ∠=∠，最后用互余即可得出位置关系；（2）先判断出ABD ACE ∆≅∆，得出BD CE =，同（1）的方法得出12PM BD =，12PN BD =，即可得出PM PN =，同（1）的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠，即可得出结论；（3）方法1：先判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN 最大AM AN =+，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD 最大时，PMN ∆的面积最大，而BD 最大是14AB AD +=，即可得出结论．【详解】解：（1）点P ，N 是BC ，CD 的中点，//PN BD ∴，12PN BD =， 点P ，M 是CD ，DE 的中点， //PM CE ∴，12PM CE =， AB AC =，AD AE =，BD CE ∴=，PM PN ∴=，//PN BD ，DPN ADC ∴∠=∠，//PM CE ，DPM DCA ∴∠=∠，90BAC ∠=︒，90ADC ACD ∴∠+∠=︒，90MPN DPM DPN DCA ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，PM PN ∴⊥，故答案为：PM PN =，PM PN ⊥；（2）PMN ∆是等腰直角三角形．由旋转知，BAD CAE ∠=∠，AB AC =，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，ABD ACE ∴∠=∠，BD CE =， 利用三角形的中位线得，12PN BD =，12PM CE =， PM PN ∴=，PMN ∴∆是等腰三角形，同（1）的方法得，//PM CE ，DPM DCE ∴∠=∠，同（1）的方法得，//PN BD ，PNC DBC ∴∠=∠，DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠，MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠，90BAC ∠=︒，90ACB ABC ∴∠+∠=︒，90MPN ∴∠=︒，PMN ∴∆是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，PMN ∆是等腰直角三角形，MN ∴最大时，PMN ∆的面积最大，//DE BC ∴且DE 在顶点A 上面，MN ∴最大AM AN =+，连接AM ，AN ，在ADE ∆中，4AD AE ==，90DAE ∠=︒，22AM ∴=在Rt ABC ∆中，10AB AC ==，52AN =22522MN ∴=最大，222111149(72)22242PMN S PM MN ∆∴==⨯=⨯=最大． 方法2：由（2）知，PMN ∆是等腰直角三角形，12PM PN BD ==， PM ∴最大时，PMN ∆面积最大，∴点D 在BA 的延长线上，14BD AB AD ∴=+=，7PM ∴=，2211497222PMN S PM ∆∴==⨯=最大． 【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出12PM CE =，12PN BD =，解（2）的关键是判断出ABD ACE ∆≅∆，解（3）的关键是判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大．。
微专题 全等三角形的常见模型
全等三角形的常见模型
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全等三角形的常见模型
F B
DA
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C Em
全等三角形的常见模型
A E
B
D
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C
全等三角形的常见模型
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全等三角形的常见模型
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模型四 半角模型
等边三角 形含半角 (∠BDC=120°)
等腰直角三 角形含半角
正方形 含半角
全等三角形的常见模型
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典例5 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D,E在边AB 上,且∠DCE=45°.试说明:AD2+BE2=DE2.
全等三角形的常见模型
全等三角形的常见模型
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模型六 手拉手模型（二）
两个等腰直角三角形：
全等三角形的常见模型
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模型六 手拉手模型（三）
两个等边三角形：
全等三角形的常见模型
模 型 归 纳
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动画
全等三角形的常见模型
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例题 7
全等三角形的常见模型
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例题8
全等三角形的常见模型
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例题 9
典例3 如图,点A,F,C,D在一条直线上,AB∥DE, AB=DE,AF=DC.求证:BC∥EF.
全等三角形的常见模型
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类型2 共顶点的旋转模型 典例4 如图,在四边形ABCD中,AB=AD,AC=5, ∠DAB=∠DCB=-8-
无论哪种类型,图中两个全等三角形满足其中一个可以通过 另一个旋转得到.其常见图形有:
全等三角形的常见模型
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模型二 对称模型
典例2 (2020·湖南怀化)如图,在△ABC和△ADC中,AB=AD,
专题01 旋转中的三种全等模型(手拉手、半角、对角互补模型)(原卷版)
专题01 旋转中的三种全等模型（手拉手、半角、对角互补模型）本专题重点分析旋转中的三类全等模型（手拉手、半角、对角互补模型），结合各类模型展示旋转中的变与不变，并结合经典例题和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高数学的综合解题能力。
模型1.手拉手模型【模型解读】将两个三角形（或多边形）绕着公共顶点旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等。
其中：公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。
手拉模型解题思路：SAS型全等（核心在于导角，即等角加（减）公共角）。
1）双等边三角形型条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。
2）双等腰直角三角形型条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。
3）双等腰三角形型条件：△ABC 和△DCE 均为等腰三角形，C 为公共点；连接BE ，AD 交于点F 。
结论：①△ACD ≌△BCE ；②BE =AD ；③∠ACM =∠BFM ；④CF 平分∠AFD 。
4）双正方形形型条件：△ABCFD 和△CEFG 都是正方形，C 为公共点；连接BG ，ED 交于点N 。
结论：①△△BCG ≌△DCE ；②BG =DE ；③∠BCM =∠DNM=90°；④CN 平分∠BNE 。
例1．（2022·黑龙江·中考真题）ABC V 和ADE V 都是等边三角形．(1)将ADE V 绕点A 旋转到图①的位置时，连接BD ，CE 并延长相交于点P （点P 与点A 重合），有PA PB PC +=（或PA PC PB +=）成立；请证明．(2)将ADE V 绕点A 旋转到图②的位置时，连接BD ，CE 相交于点P ，连接PA ，猜想线段PA 、PB 、PC 之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将ADE V 绕点A 旋转到图③的位置时，连接BD ，CE 相交于点P ，连接PA ，猜想线段PA 、PB 、PC 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．例2．（2023·湖南·长沙市八年级阶段练习）如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，点D，E分别为边AB，BC上的中点，且BD＝BE．(1)如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转任意角度α，连接AD，EC，则线段EC与AD的关系是 ；(2)如图3，DE∥BC，连接AE，判断△EAC的形状，并求出EC的长；(3)继续旋转△BDE，当∠AEC＝90°时，请直接写出EC的长．例3．（2023·黑龙江·虎林市九年级期末）已知Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB＝90°，F为AB边的中点，且DF=EF，∠DFE＝90°，D是BC上一个动点．如图1，当D与C重合时，易证：CD2＋DB2＝2DF2；（1）当D不与C、B重合时，如图2，CD、DB、DF有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．（2）当D在BC的延长线上时，如图3，CD、DB、DF有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明．例4．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.(1)问题发现：如图1，若ABC V 和ADE V 是顶角相等的等腰三角形，BC ，DE 分别是底边.求证：BD CE =；(2)解决问题：如图2，若ACB △和DCE V 均为等腰直角三角形，90ACB DCE Ð=Ð=°，点A ，D ，E 在同一条直线上，CM 为DCE V 中DE 边上的高，连接BE ，请判断∠AEB 的度数及线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系并说明理由.图1 图2模型2.半角模型【模型解读】半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半思想方法：通过旋转构造全等三角形，实现线段的转化1）正方形半角模型条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④∆AEF的周长=2AB；⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。
三角形旋转全等常见模型
1、绕点型（手拉手模型）（1）自旋转：自旋转构造放方法：①遇60°旋60°，构造等边三角形；②遇90°旋90°，构造等腰直角三角形；③遇等腰旋转顶角，构造旋转全等；④遇中点180°，构造中心对称。
（2）共旋转（典型的手拉手模型）例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC（3） AE 与DC 的夹角为60。
（4） △AGB ≌△DFB （5） △EGB ≌△CFB （6） BH 平分∠AHC （7） GF ∥AC变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC（2） AE=DC（3） AE 与DC 的夹角为60。
（4） AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC变式练习2、如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：Array(1)△ABE≌△DBC(2)AE=DC(3)AE与DC的夹角为60。
（4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC（1）如图1，点C是线段AB上一点，分别以AC，BC为边在AB的同侧作等边△ACM和△CBN，连接AN，BM．分别取BM，AN的中点E，F，连接CE，CF，EF．观察并猜想△CEF的形状，并说明理由．（2）若将（1）中的“以AC，BC为边作等边△ACM和△CBN”改为“以AC，BC为腰在AB的同侧作等腰△ACM和△CBN，”如图2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．例4、例题讲解：1. 已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B,C重合），以AD为边作菱形ADEF(按A,D,E,F逆时针排列），使∠DAF=60°,连接CF.(1) 如图1，当点D在边BC上时，求证：① BD=CF ‚②AC=CF+CD.(2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；(3)如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系。
(完整版)初中数学九大几何模型
初中数学九大几何模型一、手拉手模型----旋转型全等（1）等边三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AEDOABC DE图 1OABC D E图 2OABCDE图 1OABCDE图 2OABC DEOABCD E图 1图 2二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90°将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； ③===OAOBOC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有2222CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21S △BCD ⨯=三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 21S S S =+= 证明提示：①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21S S =-OB CO ACDEOB CDEOA C DAO BCDE图 1A OBCDE M N 图 2A OBCDEF图 3A O BCDEMN 图 4（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43S S S =+=证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。
中考数学专题讲义-全等三角形解题模型一(含解析)
全等三角形解题模型一解题模型一平移模型1.如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，AB∥DE.求证：BC＝EF.【答案】证明：∵AB∥DE，∴∠A＝∠EDF，∵AC＝AD+DC，DF＝DC+CF，且AD＝CF∴AC＝DF在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴BC＝EF.【解析】【分析】由AB∥DE，可得∠A＝∠EDF，由AC＝AD+DC，DF＝DC+CF，且AD＝CF，可得AC=DF，根据SAS可证△ABC≌△DEF，从而可得BC=EF.2.如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE交于点G，求证：GE＝GF．【答案】证明：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，∴BF＝CE，在△ABF和△DCE中图示：∴△ABF≌△DCE（SAS），∴∠GEF＝∠GFE，∴EG＝FG．【解析】【分析】先利用BE＝CF求出BF＝CE，结合已知条件易证△ABF≌△DCE，然后利用全等三角形得性质得∠GEF＝∠GFE，进而利用等角对等边可得EG＝FG．3.如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于点G，求证：DE=AF．【答案】证明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，∴BF=CE，在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（SAS），∴ DE=AF【解析】【分析】由线段的和差和全等三角形的判定方法SAS，得到△ABF≌△DCE，得到对应边DE=AF.4.如图，点E，F在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，AF与DE交于点O．（1）求证：AB=DC；（2）试判断△OEF的形状，并说明理由．【答案】证明：（1）∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE．又∵∠A=∠D，∠B=∠C，∴△ABF≌△DCE（AAS），∴AB=DC．（2）解：△OEF为等腰三角形理由如下：∵△ABF≌△DCE，∴∠AFB=∠DEC，∴OE=OF，∴△OEF为等腰三角形．【解析】【分析】（1）根据BE=CF得到BF=CE，又∠A=∠D，∠B=∠C，所以△ABF≌△DCE，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）根据三角形全等得∠AFB=∠DEC，所以是等腰三角形．5.如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．求证：OB=OC．【答案】证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），∴∠OBC=∠OCB，∴BO=CO．【解析】【分析】直接利用HL判断出Rt△ABC≌Rt△DCB，根据全等三角形对应角相等得出∠OBC=∠OCB，根据等角对等边得出BO=CO．解题模型二对称模型1.如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．求证：∠C=∠E．【答案】解：∵∠BAE=∠DAC，∴∠BAE﹣∠CAE=∠DAC﹣∠CAE，即∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，∵∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠C=∠E．【解析】【分析】由∠BAE=∠DAC可得到∠BAC=∠DAE，再根据“SAS”可判断△ABC≌△ADE，根据全等的性质即可得到∠C=∠E．图示：2.已知：在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，∠C＝∠E，∠BAE＝∠DAC.求证：AC＝AE.【答案】证明：∵∠BAE＝∠DAC∴∠BAE＋∠CAE＝∠DAC＋∠CAE∴∠BAC＝∠DAE在△BAC和△DAE中∴△BAC≌△DAE∴AC＝AE【解析】【分析】根据角的和差证出：∠BAC＝∠DAE，然后利用AAS证明△BAC≌△DAE，即可得AC＝AE.3.如图，AB与CD相交于点E，AE=CE，DE=BE．求证：∠A=∠C。
初中数学全等三角形旋转模型练习题附解析(1)
初中数学全等三角形旋转模型练习题附解析(1)一、全等三角形旋转模型1．问题背景如图（1），在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，∠BAD＝α，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交BC，CD于点E，F，且∠EAF12=α，连接EF，试探究：线段BE，DF，EF之间的数量关系．（1）特殊情景在上述条件下，小明增加条件“当∠BAD＝∠B＝∠D＝90°时”如图（2），小明很快写出了：BE，DF，EF之间的数量关系为______．（2）类比猜想类比特殊情景，小明猜想：在如图（1）的条件下线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你帮助小明完成证明；若不成立，请说明理由．（3）解决问题如图（3），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD2=DE的长．答案：B解析：（1）BE+DF＝EF；（2）成立；（3）DE23 =【分析】（1）将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，由旋转的性质可得AE＝AG，BE＝DG，∠BAE＝∠DAG，根据∠EAF=12∠BAD可得∠BAE+∠DAF＝45°，即可得出∠∠EAF＝∠FAG，利用SAS可证明△AFE≌△AFG，可得EF=FG，进而可得EF=BE+FD；（2）将△ABE 绕点A逆时针旋转α得到△ADH，由旋转的性质可得∠ABE＝∠ADH，∠BAE＝∠DAH，AE＝AH，BE＝DH，根据∠BAD＝α，∠EAF12=α可得∠BAE+∠FAD12=α，进而可证明∠FAH＝∠EAF，利用SAS可证明△AEF≌△AHF，可得EF=FH=BE+FD；（3）将△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△AE′B，连接DE′，由旋转的性质可得BE′＝EC，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝2，即可求出∠E′BD＝90°，利用SAS可证明△AEF≌△AHF，可得DE＝DE′，利用勾股定理求出DE的长即可的答案.【详解】（1）BE+DF＝EF，如图1，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，∵∠ADC＝∠B＝∠ADG＝90°，∴∠FDG＝180°，即点F，D，G共线．由旋转可得AE＝AG，BE＝DG，∠BAE＝∠DAG．∠BAD=90°-45°＝45°，∵∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣12∴∠DAG+∠DAF＝45°，即∠FAG=45°，∴∠EAF＝∠FAG，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF＝FG．又∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴BE+DF＝EF，故答案为BE+DF＝EF．（2）成立．如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转α得到△ADH，可得∠ABE＝∠ADH，∠BAE＝∠DAH，AE＝AH，BE＝DH．∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADH+∠ADC＝180°，∴点C，D，H在同一直线上．∵∠BAD＝α，∠EAF1=α，2∴∠BAE+∠FAD1=α，2∴∠DAH+∠FAD1=α，2∴∠FAH＝∠EAF，又∵AF＝AF，∴△AEF≌△AHF（SAS），∴EF＝FH＝DF+DH＝DF+BE；（3）DE523 =，如图3，将△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△AE′B，连接DE′．可得BE′＝EC，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，在Rt△ABC中，∵AB＝AC＝4，∠BAC=90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝2，∴2，∴∠ABC+∠ABE′＝90°，即∠E′BD＝90°，∴E′B2+BD2＝E′D2．易证△AE′D≌△AED，∴DE＝DE′，∴DE2＝BD2+EC2，即DE2222)(32)DE=+，解得23DE=．【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，旋转后不改变图形的大小和形状，并且对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角等于旋转角，熟练掌握旋转的性质及全等三角形的判定定理是解题关键.2．（1）如图1，在OAB和OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．求：①ACBD的值；②∠AMB的度数．（2）如图2，在OAB和OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD 的延长线于点M ．请判断AC BD的值及∠AMB 的度数，并说明理由； （3）在（2）的条件下，将OCD 点O 在平面内旋转，AC ，BD 所在直线交于点M ，若OD=2，OB=23，请直接写出当点C 与点M 重合时AC 的长．答案：A解析：（1）①1，②40°；（2）AC BD 3∠AMB=90°，见解析；（3）33【分析】（1）①根据已知条件证明△COA ≌△DOB ，即可证明AC=BD ；②根据△COA ≌△DOB 可得∠CAO=∠DBO ，根据已知条件可得∠OAB+∠ABO=140°，然后在△AMB 中，根据等角的转换即可得到答案； （2）根据已知条件证明△AOC ∽△BOD ，可得∠CAO=∠DBO ，进而可得∠MAB=∠OAB+∠DBO ，最后可得∠AMB=180°-（∠OAB+∠ABM+∠DBO ）=90°；（3）分两种情况讨论，根据题（2），同理可得OAC OBD △△，90AMB ∠=︒，3AC BD=，设BD=x ，则3AC x = 用x 表示出AM 、BM 的长，在Rt AMB 中，根据勾股定理222AM BM AB +=列出方程，求解即可．【详解】 解：（1）①如图1，∵∠AOB=∠COD=40°，∴∠COA=∠DOB ，∵OC=OD ，OA=OB ，∴△COA ≌△DOB （SAS ），∴AC=BD ， ∴AC BD =1， ②∵△COA ≌△DOB ，∴∠CAO=∠DBO ，∵∠AOB=40°，∴∠OAB+∠ABO=140°，在△AMB 中，∠AMB=180°﹣（∠CAO+∠OAB+∠ABD ）=180°﹣（∠DBO+∠OAB+∠ABD ）=180°﹣140°=40°，（2）如图2，AC BD=3，∠AMB=90°，理由是：在Rt △COD 中，∠DCO=30°，∠DOC=90°，∴3tan 303OD OC =︒=，同理得：3tan 303OB OA =︒=， ∴OD OB OC OA=， ∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=∠BOD ，∴△AOC ∽△BOD ，∴AC OC BD OD==3，∠CAO=∠DBO ， 在△AMB 中，∠AMB=180°﹣（∠MAB+∠ABM ）=180°﹣（∠OAB+∠ABM+∠DBO ）=90°；（3）AC 的长为23或43．①如图，点C 与点M 重合，同理可得：OAC OBD △△，90AMB ∴∠=︒，3AC BD =设BD=x ，则3AC x =，在Rt ODC 中，30OCD ∠=︒，OD=2，4CD ∴=，在Rt AOB 中，30OAB ∠=︒，33AB ∴=，在Rt AMB 中，222AM BM AB +=，即222(3)(4)(43)x x ++=，解得：x=2或-4(舍)，323x =②如图，点C 与点M 重合，同理可得：90AMB ∠=︒，3AC BD =， 设BD=x ，则AC=3x ，在Rt COD 中， 90OCD ∠=︒，OD=2，4CD ∴=，4BC x =-，在Rt AOB 中，30OAB ∠=︒，23OB =，243AB OB ∴==，在Rt AMB 中，222AM BM AB +=，即222(3)(4)(43)x x +-=，解得：x=4或-2（舍），AC=343x =，综上所述，AC 的长为23或43．【点睛】本题主要考查三角形的综合运用，涉及全等三角形与相似三角形的性质和判定、勾股定理、解一元一次方程、图形旋转证明、特殊角的三角函数值等知识点，难度较大，第（1）题证明△COA ≌△DOB 是关键，第（2）题证明△AOC ∽△BOD 是关键，第（3）题要特别注意分情况讨论．3．如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．解析：（1）PM ＝PN ，PM ⊥PN ；（2）△PMN 是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S △PMN 最大＝492． 【分析】（1）由已知易得BD CE =，利用三角形的中位线得出12PM CE =，12PN BD =，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出//PM CE 得出DPM DCA ∠=∠，最后用互余即可得出位置关系；（2）先判断出ABD ACE ∆≅∆，得出BD CE =，同（1）的方法得出12PM BD =，12PN BD =，即可得出PM PN =，同（1）的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠，即可得出结论；（3）方法1：先判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN 最大AM AN =+，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD 最大时，PMN ∆的面积最大，而BD 最大是14AB AD +=，即可得出结论．【详解】解：（1）点P ，N 是BC ，CD 的中点，//PN BD ∴，12PN BD =， 点P ，M 是CD ，DE 的中点，//PM CE ∴，12PM CE =， AB AC =，AD AE =，BD CE ∴=，PM PN ∴=，//PN BD ，DPN ADC ∴∠=∠，//PM CE ，DPM DCA ∴∠=∠，90BAC ∠=︒，90ADC ACD ∴∠+∠=︒，90MPN DPM DPN DCA ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，PM PN ∴⊥，故答案为：PM PN =，PM PN ⊥；（2）PMN ∆是等腰直角三角形．由旋转知，BAD CAE ∠=∠，AB AC =，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，ABD ACE ∴∠=∠，BD CE =， 利用三角形的中位线得，12PN BD =，12PM CE =， PM PN ∴=，PMN ∴∆是等腰三角形，同（1）的方法得，//PM CE ，DPM DCE ∴∠=∠，同（1）的方法得，//PN BD ，PNC DBC ∴∠=∠，DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠，MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠， 90BAC ∠=︒， 90ACB ABC ∴∠+∠=︒，90MPN ∴∠=︒，PMN ∴∆是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，PMN ∆是等腰直角三角形，MN ∴最大时，PMN ∆的面积最大，//DE BC ∴且DE 在顶点A 上面，MN ∴最大AM AN =+，连接AM ，AN ，在ADE ∆中，4AD AE ==，90DAE ∠=︒，22AM ∴=在Rt ABC ∆中，10AB AC ==，52AN =22522MN ∴=最大，222111149(72)22242PMN S PM MN ∆∴==⨯=⨯=最大． 方法2：由（2）知，PMN ∆是等腰直角三角形，12PM PN BD ==，PM ∴最大时，PMN ∆面积最大，∴点D 在BA 的延长线上，14BD AB AD ∴=+=，7PM ∴=，2211497222PMN S PM ∆∴==⨯=最大． 【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出12PM CE =，12PN BD =，解（2）的关键是判断出ABD ACE ∆≅∆，解（3）的关键是判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大．4．发现规律：（1）如图①，ABC 与ADE 都是等边三角形，直线,BD CE 交于点F ．直线BD ，AC 交于点H ．求BFC ∠的度数（2）已知：ABC 与ADE 的位置如图②所示，直线,BD CE 交于点F ．直线BD ，AC 交于点H ．若ABC ADE α∠=∠=，ACB AED β∠=∠=，求BFC ∠的度数 应用结论：（3）如图③，在平面直角坐标系中，点O 的坐标为(0,0)，点M 的坐标为(3,0)，N 为y 轴上一动点，连接MN ．将线段MN 绕点M 逆时针旋转60得到线段MK ，连接NK ，OK ，求线段OK 长度的最小值答案：A解析：（1）BFC ∠的度数为60︒；（2）BFC ∠的度数为180αβ︒--；（3）线段OK 长度的最小值为32 【分析】（1）通过证明BAD CAE ≅△△可得ABD ACE ∠=∠，再由三角形内角和定理进行求解即可；（2）通过证明ABC ADE 可得BAC DAE ∠=∠，AB AC AD AE=，可证ABD ACE ，可得ABD ACE ∠=∠，由外角性质可得BFC BAC ∠=∠，再有三角形内角和定理进行求解即可；（3）由旋转的性质可得MNK △是等边三角形，可得MK MN NK ==，60NMK NKM KNM ∠=∠=∠=︒，如图③将MOK 绕点M 顺时针旋转60︒，得到MQN △，连接OQ ，可得60OMQ ∠=︒，OK =NQ ，MO =MQ ，则当NQ 为最小值时，OK 有最小值，由垂线段最短可得当QN y ⊥轴时，NQ 有最小值，由直角三角形的性质即可求解．【详解】 （1）∵ABC 与ADE 是等边三角形∴AB=AC ，AD=AE ，60BAC DAE ABC ACB ∠=∠=∠=∠=︒∴BAD CAE ∠=∠∴()BAD CAE SAS ≅ ∴ABD ACE ∠=∠∵60ABD DBC ABC ∠+∠=∠=︒∴60ACE DBC ∠+∠=︒∴18060BFC DBC ACE ACB ∠=︒-∠-∠-∠=︒；（2）∵ABC ADE α∠=∠=，ACB AED β∠=∠=∴ABC ADE∴BAC DAE ∠=∠，AB AC AD AE= ∴BAD CAE ∠=∠，AB AD AC AE = ∴ABD ACE ∴ABD ACE ∠=∠ ∵BHC ABD BAC BFC ACE ∠=∠+∠=∠+∠ ∴BFC BAC ∠=∠ ∵180BAC ABC ACB ∠+∠+∠=︒ ∴180BFC αβ∠++=︒∴180BFC αβ∠=︒--；（3）∵将线段MN 绕点M 逆时针旋转60︒得到线段MK∴MN MK =，60NMK ∠=︒∴MNK △是等边三角形∴MK MN NK ==，60NMK NKM KNM ∠=∠=∠=︒如下图，将MOK 绕点M 顺时针旋转60︒，得到MQN △，连接OQ∴MOK MQN ≅，60OMQ ∠=︒∴OK =NQ ，MO =MQ∴MOQ △是等边三角形∴60QOM ∠=︒∴30NOQ ∠=︒∵OK =NQ∴当NQ 为最小值时，OK 有最小值，由垂线段最短可得当QN y ⊥轴时，NQ 有最小值 ∵点M 的坐标为(3,0)∴3OM OQ ==∵QN y ⊥轴，30NOQ ∠=︒∴1322NQ OQ == ∴线段OK 长度的最小值为32． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形内角和定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是解决本题的关键．5．如图，已知ABC 和ADE 均为等腰三角形，AC ＝BC ，DE ＝AE ，将这两个三角形放置在一起．（1）问题发现： 如图①，当60ACB AED ∠∠︒＝＝时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，则CEB ∠＝ °，线段BD 、CE 之间的数量关系是 ；（2）拓展探究：如图②，当90ACB AED ∠∠︒＝＝时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，请判断CEB ∠的度数及线段BD 、CE 之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题： 如图③，90ACB AED ∠∠︒＝＝，25AC ＝，AE ＝2，连接CE 、BD ，在AED 绕点A 旋转的过程中，当DE BD ⊥时，请直接写出EC 的长．答案：C解析：（1）60BD CE ，＝；（2）452CEB BD CE ∠︒＝，＝，理由见解析；（3）CE 的长为2或2【分析】（1）证明ACE ABD ≌，得出CE ＝BD ，AEC ADB ∠=∠，即可得出结论； （2）证明ACE ABD ∽，得出AEC ADB ∠=∠，2BD CE =，即可得出结论； （3）先判断出2BD CE =，再求出210AB =：①当点E 在点D 上方时，先判断出四边形APDE 是矩形，求出AP ＝DP ＝AE ＝2，再根据勾股定理求出，BP ＝6，得出BD ＝4；②当点E 在点D 下方时，同①的方法得，AP ＝DP ＝AE ＝1，BP ＝6，进而得出BD ＝BP +DP ＝8，即可得出结论．【详解】解：（1）ABC 为等腰三角形，60AC BC ACB ∠︒＝，＝，∴ABC 是等边三角形，同理可得ADE 是等边三角形6018012060BAD DAC DAC CAE BAD CAE AD AE AB ACEAC DAB ACE ABD SAS BD CEAEC ADB ADE AEC AED CEBCEB ∠+∠=∠+∠=︒∴∠=∠=⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩∴∴=∠=∠=︒-∠=︒∠=∠+∠∴∠=︒＝≌（）故答案为：60CEB BD CE ∠=︒=；．（2）45CEB BD ∠︒＝，，理由如下：在等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ，90ACB ∠︒＝，45AB CAB ∴∠︒，＝ ，同理，45AD ADE DAE ∠∠︒，＝＝， ∴AE AC AD AB =，DAE CAB ∠∠＝， EAC DAB ∴∠∠＝，ACE ABD ∴∽ ，∴BD AD CE AE==∴AEC ADB BD ∠∠＝，，点B 、D 、E 在同一条直线上:180135ADB ADE ∴∠︒-∠︒＝＝135AEC ∴∠︒＝45CEB AEC AED ∴∠∠-∠︒＝＝；（3）由（2）知，ACE ABD ∽，BD ∴，在Rt ABC中，AC ＝AB ∴＝，①当点E 在点D 上方时，如图③，过点A 作AP BD ⊥交BD 的延长线于P ，DE BD ⊥，PDE AED APD ∴∠∠∠＝＝，∴四边形APDE 是矩形，AE DE ＝ ，∴矩形APDE 是正方形，2AP DP AE ∴＝＝＝，在Rt APB △中，根据勾股定理得，226BP AB AP -＝＝，4BD BP AP ∴-＝＝，1222CE BD ∴＝＝； ②当点E 在点D 下方时，如图④同①的方法得，AP ＝DP ＝AE ＝2，BP ＝6，∴BD ＝BP +DP ＝8，122CE BD ∴＝＝4， 综上CE 的长为22或42．【点睛】本题是几何变换的综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质，判断出三角形ACE 和三角形ABD 相似是关键．6．探究：（1）如图①，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，若∠B ＝28°，则∠ACD 的度数是 ．拓展：（2）如图②，∠MCN ＝90°，射线CP 在∠MCN 的内部，点A 、B 分别存CM 、CN 上，分别过点A 、B 作AD ⊥CP 、BE ⊥CP 于点D 、E ，若AC ＝CB ，则AD 、DE 、BE 三者间的数量关系为 ．请说明理由；应用：（3）如图③，点A 、B 分别在∠MCN 的边CM 、CN 上，射线CP 在∠MCN 的内部，点D 、E 在射线CP 上，连结AD 、BE 、AE ，且使∠MCN ＝∠ADP ＝∠BEP ．当AC ＝BC 时，△ ≌△ ；此时如果CD ＝2DE ，且S △CBE ＝6，则△ACE 的面积是 ．答案：D解析：（1）28° （2）DE ＝AD ﹣BE ；理由见解析 （3）ACD ；CBE ；9【分析】（1）利用直角三角形的两锐角互余，即可得出结论；（2）利用同角的余角相等判断出∠CAD ＝∠BCE ，进而判断出△ACD ≌△CBE ，即可得出结论；（3）利用等式的性质判断出∠ADC ＝∠CEB ，进而判断出△ACD ≌△CBE ，得出S △ACD ＝S △CBE ，再求出S △ADE ＝3，即可得出结论．【详解】解：探究：∵CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝90°，∵∠B ＝28°，∴∠BCD ＝90°﹣∠B ＝68°，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＝90°﹣∠BCD ＝28°，故答案为：28°；拓展：(2)∵∠MCN ＝90°，∴∠ACD+∠BCE ＝90°，∵AD ⊥CP ，BE ⊥CP ，∴∠ADC ＝∠BEC ＝90°，∴∠ACD+∠CAD ＝90°，∴∠CAD ＝∠BCE ，在△ACD 和△CBE 中，ADC CEB CAD BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴CD ＝BE ，AD ＝CE ，∴DE ＝CE ﹣CD ＝AD ﹣BE ，故答案为：DE ＝AD ﹣BE ；应用：(3)∵∠MCN ＝∠ACD+∠BCD ，∠MCN ＝∠ADP ，∴∠ADP ＝∠ACD+∠BCD ，∵∠ADP ＝∠ACD+∠CAD ，∴∠CAD ＝∠BCE ，∵∠ADP ＝∠BEP ，∴∠ADC ＝∠CEB ，在△ACD 和△CBE 中，ADC CEB CAD BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴S △ACD ＝S △CBE ，∵S △CBE ＝6，∴S △ACD ＝6，∵CD ＝2DE ，∴S △ACD ＝2S △ADE ，∴S △ADE ＝12S △ACD ＝3， ∴S △ACE ＝S △ACD +S △ADE ＝9，故答案为：ACD ，CBE ，9．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质，同角的余角相等，等式的性质，全等三角形的判定和性质，判断出△ACD ≌△CBE 是解本题的关键．7．在ABC 中，AB AC =，点P 在平面内，连接AP ，并将线段AP 绕A 顺时针方向旋转与BAC ∠相等的角度，得到线段AQ ，连接BQ ．（1）如图，如果点P 是BC 边上任意一点．则线段BQ 和线段PC 的数量关系是__________．（2）如图，如果点P 为平面内任意一点．前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图所示的位置关系加以证明（或说明）；（3）如图，在DEF 中，8DE =，60EDF ∠=︒，75DEF ∠=︒，P 是线段EF 上的任意一点，连接DP ，将线段DP 绕点D 顺时针方向旋转60°，得到线段DQ ，连接EQ ．请直接写出线段EQ 长度的最小值．答案：B解析：（1）相等；（2）成立，证明见解析；（3）2622【分析】（1）先判断出∠BAQ=∠CAP ，进而用SAS 判断出△BAQ ≌△CAP ，即可得出结论； （2）结论BQ=PC 仍然成立，理由同（1）的方法；（3）先构造出△DEQ ≌△DHP ，得出EQ=HP ，进而判断出要使EQ 最小，当HP ⊥EF （点P 和点M 重合）时，EQ 最小，最后用解直角三角形即可得出结论．【详解】解：（1）由旋转知：AQ=AP ，∵PAQ BAC ∠=∠，∴PAQ BAP BAC BAP ∠-∠=∠-∠，∴BAQ CAP ∠=∠，∵AB AC =，∴()BAQ CAP SAS ∆≅∆，∴BQ CP =故答案为：相等．（2）BQ PC =仍成立，理由如下：证明：由旋转知：AQ=AP ，∵PAQ BAC ∠=∠，∴PAQ BAP BAC BAP ∠-∠=∠-∠，∴BAQ CAP ∠=∠，∵AB AC =，∴()BAQ CAP SAS ∆≅∆，∴BQ C =Ｐ（3）如图：在DF 上取一点H ，使8DH DE ==，连接ＰＨ，过点Ｈ作HM EF ⊥于Ｍ，由旋转知，DQ DP =，60PDQ ∠=︒，∵60EDF ∠=︒，∴PDQ EDF ∠=∠，∴EDQ HDP ∠=∠，∴()DEQ DHP SAS ∆≅∆，∴EQ HP =，要使EQ 最小，则有HP 最小，而点H 是定点，点P 是EF 上的动点，∴当HM EF ⊥（点P 和点M 重合）时，HP 最小，即：点P 与点M 重合，EQ 最小，最小值为HM ，过点E 作EG DF ⊥于G ，在Rt DEG ∆中，8DE =，60EDF ∠=︒，∴30DEG ∠=︒， ∴142DG DE ==， ∴343EG DG ==在Rt EGF ∆中，753045FEG DEF DEG ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴9045F FEG FEG ∠=︒-∠=︒=∠，43FG EG == ∴443DF DG FG =+=+ ∴4438434FH DF DH =-=+=，在Rt HMF ∆中，45F ∠=︒， ∴)22434262222HM FH === 即：EQ 的最小值为2622．【点睛】本题考查旋转的性质、最值问题，属于几何变换综合题，掌握全等三角形的证明方法，点到直线的距离等知识为解题关键．8．如图，△ABC 和△CEF 中，∠BAC ＝∠CEF ＝90°，AB ＝AC ，EC ＝EF ，点E 在AC 边上． （1）如图1，连接BE ，若AE ＝3，BE 58FC 的长度；（2）如图2，将△CEF 绕点C 逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），旋转过程中，直线EF 分别与直线AC ，BC 交于点M ，N ，当△CMN 是等腰三角形时，求旋转角α的度数；（3）如图3，将△CEF 绕点C 顺时针旋转，使得点B ，E ，F 在同一条直线上，点P 为BF 的中点，连接AE ，猜想AE ，CF 和BP 之间的数量关系并说明理由．答案：C解析：（1）42；（2）22.5°或45°或112.5°；（3）CF ＋AE ＝2BP ，见解析【分析】 （1）利用勾股定理求出AB ＝AC ＝7，求出EC ＝EF ＝4即可解决问题；（2）分三种情形分别画出图形，利用等腰三角形的性质求解即可；（3）结论：CF ＋AE ＝2BP ．如图3中，过点A 作AD ⊥AE ，利用全等三角形的性质以及等腰直角三角形的性质求解即可．【详解】解：（1）如图1中，在Rt △ABE 中，AB ()2222583497-=-==BF AE ，∴AC ＝AB ＝7，∴EF ＝EC ＝AC ﹣AE ＝7﹣3＝4，∵∠CEF ＝90°，EC ＝EF ＝3， ∴CF 22224442+=+=EF CE（2）①如图2﹣1中，当CM ＝CN 时，α＝∠MCE ＝∠ECN ＝12∠ACB ＝22.5°．如图2﹣2中，当NM＝NC时，α＝∠MCN＝45°．如图2﹣3中，当CN＝CM时，∠BCM＝67.5°，α＝∠ACE＝45°＋67.5°＝112.5°．∠NCE＝12综上所述，满足条件的α的值为22.5°或45°或112.5°．（3）结论：CF＋AE＝2BP．理由：如图3中，过点A作AD⊥AE，∴∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵∠BAC＝∠BEC＝90°，∴∠ABP＝∠ACE，∵AB＝AC，∴△ABD≌△ACE（ASA），∴BD＝EC＝EF，AD＝AE，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝2AE，∵P是BF的中点，∴BP＝12BF，∵BP＝12BF＝12（2EF＋DE），CF＝2EF，DE＝2AE，∴BP＝12（2CF＋2AE），∴CF＋AE＝2BP．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．9．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG＝CG；（2）将图①中BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将图①中BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．答案：E解析：（1）见解析；（2）依然成立，见解析；（3）依然成立，EG⊥CG【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG＝EG；（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG＝CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG＝NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG＝EG；最后证出CG＝EG；（3）结论依然成立，证明方法类似（2）．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCF＝90°，在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴CG＝12FD，同理，在Rt△DEF中，EG＝12 FD，∴CG＝EG．（2）解：（1）中结论仍然成立，即EG＝CG．证法：如图，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点，在△DAG与△DCG中，∵AD＝CD，∠ADG＝∠CDG，DG＝DG，∴△DAG≌△DCG（SAS），∴AG＝CG；在△DMG与△FNG中，∵∠DGM＝∠FGN，FG＝DG，∠MDG＝∠NFG，∴△DMG≌△FNG（ASA），∴MG＝NG；∵∠EAM＝∠AEN＝∠AMN＝90°，∴四边形AENM是矩形，在矩形AENM中，AM＝EN，在△AMG与△ENG中，∵AM＝EN，∠AMG＝∠ENG，MG＝NG，∴△AMG≌△ENG（SAS），∴AG＝EG，∴EG＝CG．（3）解：（1）中的结论仍然成立．理由如下：如图，过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN垂直于AB于N，∵G 为FD 中点，∴FG =GD ，∵MF ∥CD ，∴∠FMG =∠DCG ，∠GDC =∠GFM ，∴△CDG ≌△MFG ，∴CD ＝FM ，∵NF ∥BC ，∴∠NFH +∠NHF =∠EHB +∠EBH ，又∵∠NHF =∠EBH ，∴∠NFH =∠EBH ，∴∠EFM ＝∠EBC ，又∵BE =EF ，则△EFM ≌△EBC ，∠FEM ＝∠BEC ，EM ＝EC∵∠FEC +∠BEC ＝90°，∴∠FEC +∠FEM ＝90°，即∠MEC ＝90°，∴△MEC 是等腰直角三角形，∵G 为CM 中点，∴EG ＝CG ，EG ⊥CG ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、矩形的判定与性质，正方形的性质，旋转的性质，解题的关键是掌握相关性质．10．如图1，在正方形ABCD 中，点,E F 分别在边,AB AD 上，且AE AF =，延长FD 到点G ，使得DG DF =，连接,,EF GE CE ．（特例感知）（1）图1中GE 与CE 的数量关系是______________．（结论探索）（2）图2，将图1中的AEF 绕着点A 逆时针旋转()090αα︒<<︒，连接FD 并延长到点G ，使得DC DF =，连接,,GE CE BE ，此时GE 与CE 还存在（1）中的数量关系吗？判断并说明理由．（拓展应用）（3）在（2）的条件下，若5,32AB AE ==EFG 是以EF 为直角边的直角三角形时，请直接写出GE 的长．答案：G解析：(1) GE 2CE ，(2)存在，证明见解析，（3）25810或16或4．【分析】(1)连接GC ，证△CDG ≌△CBE ，得出△GCE 为等腰直角三角形即可；(2)类似（1）的方法，先证△AFD ≌△AEB ，再证△CDG ≌△CBE ，得出△GCE 为等腰直角三角形即可；(3)根据E 、F 是直角顶点分类讨论，结合（2）中结论，利用勾股定理求解即可．【详解】解：(1)连接GC ，∵AE =AF ，AD =AB ，∴DF =BE ，∵DG DF =，∴DG = BE ，∵∠GDC =∠B =90°，DC =BC ，∴△CDG ≌△CBE ，∴CE =CG ，∠GCD =∠ECB ，∵∠ECB +∠DCE =90°，∴∠GCE =∠GCD +∠DCE =90°，∴GE 2CE ；故答案为：GE 2CE ；(2) 存在，连接GC，∵AE=AF，AD=AB，∠FAE=∠DAB=90°，∴∠FAD=∠EAB，∴△FAD≌△EAB，∴FD=EB=GD，∠FDA=∠EBA，∵∠GDC+∠FDA=90°，∠EBC+∠EBA=90°，∴∠GDC=∠EBC，∵DC=BD，∴△CDG≌△CBE，与（1）同理，GE=2CE；(3)当∠FEG=90°时，如图1，因为∠FEA=∠GEC=45°，所以，A、E、C在一条直线上，∵AB =5，∴AC =52, CE =52-32=22,GE =2EC =4；如图2，E 在CA 延长线上，同理可得，EC =82，GE =2EC =16；当∠EFG =90°时，如图3，∠AFD =∠EFG +∠AFE =135°，由（2）得，∠AFD =∠AEB =135°，DF =BE ，所以，B 、E 、F 在一条直线上，作AM ⊥EF ，垂足为M ，∵5,32AB AE ==∴EF =6，AM =ME =MF =3，224BM AB AM =-=，BE =DF =1,FG =2， 22210GE FG EF =+=；如图4，同图3，BE =DF =7，FG =14，EF =6，22258GE FG EF =+=，综上，GE 的长为258210或16或4．【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理和等腰直角三角形的性质，解题关键是恰当的连接辅助线，构造全等三角形；会分类讨论，结合题目前后联系，解决问题．11．问题发现：（1）如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，点O 为AB 的中点，点M 为AC 上一点，将射线OM 顺时针旋转90︒交BC 于点N ，则OM 与ON 的数量关系为____；问题探究：（2）如图2，在等腰三角形ABC 中，120C ∠=︒，点O 为AB 的中点，点M 为AC 上一点，将射线OM 顺时针旋转60︒交BC 于点N ，则OM 与ON 的数量关系是否改变，请说明理由；问题解决：（3）如图3，点O 为正方形ABCD 对角线的交点，点P 为DO 的中点，点M为直线BC上一点，将射线OM顺时针旋转90︒交直线AB于点N，若4AB=，当PMN面积为252时，直接写出线段BN的长．答案：B解析：（1）OM=ON；（2）不改变；证明见解析；（3）线段BN的长为172-或172+【分析】（1）连接，OC，证明△AOM≌△CON（ASA）可得结论．（2）数量关系不变．如图2中，过点O作OK⊥AC于K，OJ⊥BC于J，连接OC．证明△OKM≌△OJN（AAS）可得结论．（3）如图3中，过点P作PG⊥AB于G，PH⊥BC于H．证明△MOC≌△NOB（SAS），推出CM=BN，设CM=BN=m，根据S△PMN=252=S△PBM+S△BMN-S△PBN，构建方程求解即可．当点M在CB的延长线上时，同法可求．【详解】解：（1）如图1中，结论：OM=ON．理由：连接OC．∵CA=CB，∠ACB=90°，AO=OB，CO=OA=OB，OC⊥AB，∠A=∠B=45°，∠BCO=∠ACO=45°∴∠AOC=∠MON=90°，∴∠AOM=∠CON，∵∠A=∠CON，∴△AOM≌△CON（ASA），∴OM=ON．故答案为：OM=ON．（2）理由：如图2中，过点O作OK⊥AC于K，OJ⊥BC于J，连接OC．∵∠ACB=120°，∠OKC=∠OJC=90°，∠KOJ=60°=∠MON，∴∠MKO=∠NOJ，∵CA=CB，OA=OB，∴OC平分∠ACB，∵OK⊥CA，OJ⊥CB，∴OK=OJ，∵∠OKM=∠OJN=90°，∴△OKM≌△OJN（AAS），∴OM=ON．（3）如图3中，过点P作PG⊥AB于G，PH⊥BC于H．∵四边形ABCD是正方形，AB=AD=4，∠BAD=90°，∴22，∴2，2，∴3，∵四边形PGBH是正方形，∴PG=PH=3，∵∠MON=∠COB=90°，∴∠MOC=∠NOB，∵OM=ON，OC=OB，∴△MOC≌△NOB（SAS），∴CM=BN ，设CM=BN=m ，∵S △PMN =252=S △PBM +S △BMN -S △PBN ， ∴12•（4+m ）•3+12•m•（4+m ）12-•m•3=252， ∴整理得：m 2+4m-13=0，解得m=172-或172--（舍去），∴BN=172-．当点M 在CB 的延长线上时，同法可得BN=172+．综上所述，满足条件的BN 的值为172-或172+．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．12．阅读下面材料：小炎遇到这样一个问题：如图1，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，∠EAF=45°，连结EF ，则EF=BE+DF ，试说明理由．小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB ，AD 是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE 绕着点A 逆时针旋转90°得到△ADG ，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=90°点E ，F 分别在边BC ，CD 上，∠EAF=45°．若∠B ，∠D 都不是直角，则当∠B 与∠D 满足_ 关系时，仍有EF=BE+DF ； （2）如图4，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 、E 均在边BC 上，且∠DAE=45°，若BD=1， EC=2，求DE 的长．答案：B解析：（1）∠B+∠D=180°（或互补）；（2）∴5DE【解析】试题分析：(1)如图，△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，利用全等的知识可知，要使EF=BE+DF，即EF=DG+DF，即要F、D、G三点共线，即∠ADG+∠ADF=180°，即∠B+∠D=180°．(2) 把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合，通过证明△AEG≌△AED 得到DE=EG，由勾股定理即可求得DE的长．(1)∠B+∠D=180°（或互补）．(2)∵ AB=AC，∴把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合．则∠B=∠ACG，BD=CG，AD=AG．∵在△ABC中，∠BAC=90°，∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°于，即∠ECG=90°．∴ EC2+CG2=EG2．在△AEG与△AED中,∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°-∠EAD=45°=∠EAD．又∵AD=AG，AE=AE，∴△AEG≌△AED ．∴DE=EG．又∵CG=BD,∴ BD2+EC2=DE2．∴5DE=．考点：1．面动旋转问题；2．全等三角形的判定和性质；3．勾股定理．13．如图，△ABC中，O是△ABC内一点，AO平分∠BAC，连OB，OC．（1）如图1，若∠ACB＝2∠ABC，BO平分∠ABC，AC＝5，OC＝3，则AB＝；（2）如图2，若∠CBO+∠ACO＝∠BAC＝60°，求证：BO平分∠ABC；（3）如图3，在（2）的条件下，若BC＝3B绕点O逆时针旋转60°得点D，直接写出CD的最小值为．答案：A解析：（1）8；（2）见解析；（3）33【分析】（1）先补充证明角平分线的性质定理：如图，△ABC中，AD是角平分线，则：BD DC＝AB AC ．如图1中，延长CO交AB于E，由OA平分∠EAC，推出AEAC＝OEOC，推出AEEO＝AC OC ＝53，设AE＝5k，OE＝3k，利用相似三角形的性质构建方程求出k即可解决问题．（2）如图2中，过点O作EF⊥OA交AB于E，交AC于F，作CG∥EF交AB于G，连接OG．证明△AGO≌△ACO（SAS），推出OG＝OC，推出∠OGC＝∠OCG，证明O，G，B，C 四点共圆，可得结论．（3）如图3中，以BC为边向上作等边△BCH，连接OH，作HM⊥BC于M．证明△HBO≌△CBD（SAS），推出OH＝CD，由（2）可知∠BOC＝120°，推出当点O落在HM 上时，OH的值最小．【详解】解：（1）先补充证明角平分线的性质定理：如图，△ABC中，AD是角平分线，则：BD DC＝AB AC．理由：过C作CE∥DA，交BA的延长线于E，∵CE∥DA，∴∠1＝∠E，∠2＝∠3，∠1＝∠2，∴∠E＝∠3，∴AE＝AC，∵BDDC ＝BAAE，∴BDDC ＝ABAC．如图1中，延长CO交AB于E，∵OA平分∠EAC，∴AEAC＝OEOC，∴AEEO ＝ACOC＝53，设AE＝5k，OE＝3k，∵OB平分∠ABC，∴OC平分∠ACB，∵∠ACB＝2∠ABC，∴∠BCE＝12∠ACB＝∠EBC，∴EB＝EC＝3k+3，∵∠ACE＝∠ABC，∠CAE＝∠BAC，∴ACAB ＝AEAC，∴5533k k ＝55k，解得k＝58或﹣1（舍弃），∴AB＝8k+3＝8．故答案为：8．（2）如图2中，过点O作EF⊥OA交AB于E，交AC于F，作CG∥EF交AB于G，连接OG．∵AO平分∠AEF，∴∠OAE＝∠OAF，∵AO＝AO，∠AOE＝∠AOF＝90°，∴△AOE≌△AOF（ASA），∴AE＝AF，∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF＝∠AFE＝60°＝∠FOC+∠FCO，∵∠OBC+∠FCO＝60°，∴∠FOC＝∠OBC，∵EF∥CG，∴∠AGC＝∠AEF＝60°，∠ACG＝∠AFE＝60°，∴∠AGC＝∠ACG，∴AG＝AC，∵∠GAO＝∠CAO，AO＝AO，∴△AGO≌△ACO（SAS），∴OG＝OC，∴∠OGC＝∠OCG，∵∠FOC＝∠OCG，∴∠OBC＝∠OGC，∴O，G，B，C四点共圆，∴∠ABO＝∠OBC，∴OB平分ABC．（3）如图3中，以BC为边向上作等边△BCH，连接OH，作HM⊥BC于M．∵△OBD，△BCH都是等边三角形，∴∠HBC＝∠OBD＝60°，BH＝BC，BO＝BD，∴∠HBO＝∠CBD，∴△HBO≌△CBD（SAS），∴OH＝CD，由（2）可知∠BOC＝120°，∴当点O落在HM上时，OH的值最小，此时OH＝HM﹣OM＝3﹣3，∴CD的最小值为3﹣3．故答案为：3﹣3．【点睛】本题主要考查角平分线、三角形相似的判定和性质、三角形全等的判定和性质、等边三角形等相关知识点，解题关键在于作出辅助线构造相应图形．14．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，把∠EDF绕点D旋转，使∠EDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F．（1）当DF⊥AC时，求证：BE=CF；（2）在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由答案：D解析：（1）证明见解析；（2）是，2.【解析】【分析】（1）根据四边形内角和为360°，可求∠DEA=90°，根据“AAS”可判定△BDE≌△CDF，即可证BE=CF；（2）过点D 作DM ⊥AB 于M ，作DN ⊥AC 于N ，如图2，易证△MBD ≌△NCD ，则有BM=CN ，DM=DN ，进而可证到△EMD ≌△FND ，则有EM=FN ，就可得到BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60°=BD=12BC=2. 【详解】（1）∵△ABC 是边长为4的等边三角形，点D 是线段BC 的中点，∴∠B=∠C=60°，BD=CD ，∵DF ⊥AC ，∴∠DFA=90°，∵∠A+∠EDF+∠AFD+∠AED=180°，∴∠AED=90°，∴∠DEB=∠DFC ，且∠B=∠C=60°，BD=DC ，∴△BDE ≌△CDF （AAS ）（2）过点D 作DM ⊥AB 于M ，作DN ⊥AC 于N ，则有∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90°．∵∠A=60°，∴∠MDN=360°-60°-90°-90°=120°．∵∠EDF=120°，∴∠MDE=∠NDF ．在△MBD 和△NCD 中，BMD CND B CBD CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△MBD ≌△NCD （AAS ）BM=CN ，DM=DN ．在△EMD 和△FND 中，EMD FND DM DNMDE NDF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△EMD ≌△FND （ASA ）∴EM=FN ，∴BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60°=BD=12BC=2. 【点睛】 本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值等知识，通过证明三角形全等得到BM=CN ，DM=DN ，EM=FN 是解决本题的关键． 15．如图1，四边形ABCD 中，BD ⊥AD ，E 为BD 上一点，AE ＝BC ，CE ⊥BD ，CE ＝ED（1）已知AB ＝10，AD ＝6，求CD ；（2）如图2，F 为AD 上一点，AF ＝DE ，连接BF ，交BF 交AE 于G ，过G 作GH ⊥AB 于H ，∠BGH ＝75°．求证：BF ＝22EG ．答案：B解析：（1）2；（2）证明见解析【分析】（1）由勾股定理得出BD 22-AB AD 8，由HL 证得Rt △ADE ≌Rt △BEC ，得出BE ＝AD ，则CE ＝ED ＝BD ﹣BE ＝BD ﹣AD ＝2，由等腰直角三角形的性质即可得出结果； （2）连接CF ，易证AF ＝CE ，AD ∥CE ，得出四边形AECF 是平行四边形，则AE ＝CF ，AE ∥CF ，得出∠CFD ＝∠EAD ，∠CFB ＝∠AGF ，由Rt △ADE ≌Rt △BEC ，得出∠CBE ＝∠EAD ，推出∠CBE ＝∠CFD ，证得△BCF 是等腰直角三角形，则BF 2BC 2CF ＝2AE ，∠FBC ＝∠BFC ＝45°，推出∠AGF ＝45°，∠AGH ＝60°，∠GAH ＝30°，则AG ＝2GH ，得出BF 2AE 2（AG+EG ），即可得出结论．【详解】（1）解：∵BD ⊥AD ，∴BD 22-AB AD 22106-＝8，∵CE ⊥BD ，∴∠CEB ＝∠EDA ＝90°，在Rt △ADE 和Rt △BEC 中，AE BC ED CE =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ADE ≌Rt △BEC （HL ），∴BE ＝AD ，∴CE ＝ED ＝BD ﹣BE ＝BD ﹣AD ＝8﹣6＝2，∴2＝CE ＝2；（2）解：连接CF，如图2所示：∵AF＝DE，DE＝CE，∴AF＝CE，∵BD⊥AD，CE⊥BD，∴AD∥CE，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE＝CF，AE∥CF，∴∠CFD＝∠EAD，∠CFB＝∠AGF，由（1）得：Rt△ADE≌Rt△BEC，∴∠CBE＝∠EAD，∴∠CBE＝∠CFD，∵∠FBD+∠BFC+∠CFD＝90°，∴∠FBD+∠BFC+∠CBE＝90°，∴∠BCF＝90°，∵AE＝BC，∴BC＝CF，∴△BCF是等腰直角三角形，∴BF2BC2CF2AE，∠FBC＝∠BFC＝45°，∴∠AGF＝45°，∵∠BGH＝75°，∴∠AGH＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∵GH⊥AB，∴∠GAH＝30°，∴AG＝2GH，∴BF2AE2（AG+EG），∴BF＝22EG．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、含30°角直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质、作辅助线构建平行四边形是解题的关键．。
全等三角形模型总结
全等三角形模型总结⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎩⎩⎨平移全等模型对称（翻折）全等模型旋转全等模型半角全等模型三垂直全等模型全等三角形中的重要模型一线三等角全等模型等腰（直角）三角形中的手拉手全等模型手拉手全等模型等边三角形中的手拉手全等模型一般手拉手全等模型 模型1、平移全等模型，如下图：模型2. 对称（翻折）全等模型，如下图：模型3. 旋转全等模型，如下图：模型4、半角全等模型【解题技巧】过等腰三角形顶点两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。
常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转（或者补短）到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。
半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转（或者补短）——证全等——得到相关结论.模型5、三垂直全等模型如图：模型6、一线三等角全等模型如图：模型7、手拉手全等模型1).等边三角形中的手拉手全等模型如图，△ABC与△CDE均为等边三角形，连接AE、BD，则△BCD≌△ACE.图1 图2图3 图42).等腰（直角）三角形中的手拉手全等模型1.如图，△ABC与△ADE均为等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，连接BD、CE，则△ABD≌△ACE.2.两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有：①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE3).一般手拉手全等模型如图1，在任意△ABC中，分别以AB、AC为边作等边△ADB、△ACE，连接DC、BE，则△ADC≌△ACE.如图2，在任意△ABC中，分别以AB、AC为边作正方形ABDE、ACFG，连接EC、BG，则△AEC≌△ABG.。
全等三角形的经典模型(一)
全等三角形的经典模型(一)全等三角形的经典模型（一）在研究三角形的时候，全等三角形是一个非常重要的概念。
这里介绍一些经典的模型，帮助大家更好地理解和应用全等三角形。
三角形7级：倍长中线与截长补短倍长中线与截长补短是一个非常经典的全等三角形模型。
当三角形的中线等于另一条边的一半时，可以证明三角形全等。
此外，如果一条边被截成两段，其中一段的长度等于另一条边的长度减去另一段的长度，那么这两个三角形也是全等的。
三角形8级：全等三角形的经典模型（一）这是一个非常基础的全等三角形模型，利用的是三边对应相等的原理。
如果两个三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形是全等的。
三角形9级：全等三角形的经典模型（二）这个模型利用的是两边一角相等的原理。
如果两个三角形的两条边和夹角分别相等，那么这两个三角形是全等的。
题型一：等腰直角三角形模型等腰直角三角形是一个非常特殊的三角形，可以利用其特殊的性质来解决问题。
常见的辅助线包括作高和补全为正方形等。
思路导航如果要解决一个等腰直角三角形的问题，可以尝试以下思路：1.利用特殊边特殊角证题，如AC=BC或90°，45，45。
2.常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题。
3.补全为正方形。
等腰直角三角形数学模型思路：⑴利用特殊边特殊角证题（AC=BC或90°，45，45）.如图1；⑵常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题.如图2；⑶补全为正方形.如图3，4.典题精练例1】已知：如图所示，Rt△ABC中，AB=AC，BAC90°，O为BC的中点。
B⑴写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系（不要求证明）⑵如果点M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持AN=CM.试判断△XXX的形状，并证明你的结论.⑶如果点M、N分别在线段CA、AB的延长线上移动，且在移动中保持AN=CM，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明．解析】⑴OA=OB=OC⑴连接OA。
数学全等三角形旋转模型知识点总结及答案
数学全等三角形旋转模型知识点总结及答案一、全等三角形旋转模型1．已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；（2）如图2，若∠AOB=120º，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．答案：C解析：（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析【分析】(1)结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断．(2)结论：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，证明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性质即可解决问题．【详解】解：（1）结论：CF=CG；证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；（2）CF=CG.理由如下：如图，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120º，∴CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），∴∠AOC=∠BOC=60º（角平分线的性质），∵∠DCE=∠AOC，∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60º，∴∠MCO=90º-60º =30º，∠NCO=90º-60º =30º，∴∠MCN=30º+30º=60º，∴∠MCN=∠DCE ，∵∠MCF=∠MCN-∠DCN ，∠NCG=∠DCE-∠DCN ，∴∠MCF=∠NCG ，在△MCF 和△NCG 中，CMF CNG CM CNMCF NCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MCF ≌△NCG （ASA ），∴CF=CG （全等三角形对应边相等）；【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等 ．2．问题背景如图（1），在四边形ABCD 中，∠B+∠D ＝180°，AB ＝AD ，∠BAD ＝α，以点A 为顶点作一个角，角的两边分别交BC ，CD 于点E ，F ，且∠EAF 12=α，连接EF ，试探究：线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系．（1）特殊情景在上述条件下，小明增加条件“当∠BAD ＝∠B ＝∠D ＝90°时”如图（2），小明很快写出了：BE ，DF ，EF 之间的数量关系为______．（2）类比猜想类比特殊情景，小明猜想：在如图（1）的条件下线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你帮助小明完成证明；若不成立，请说明理由．（3）解决问题如图（3），在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝4，点D ，E 均在边BC 上，且∠DAE ＝45°，若BD 2=DE 的长．答案：B 解析：（1）BE +DF ＝EF ；（2）成立；（3）DE 23=【分析】（1）将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，由旋转的性质可得AE＝AG，BE＝DG，∠BAE＝∠DAG，根据∠EAF=12∠BAD可得∠BAE+∠DAF＝45°，即可得出∠∠EAF＝∠FAG，利用SAS可证明△AFE≌△AFG，可得EF=FG，进而可得EF=BE+FD；（2）将△ABE 绕点A逆时针旋转α得到△ADH，由旋转的性质可得∠ABE＝∠ADH，∠BAE＝∠DAH，AE＝AH，BE＝DH，根据∠BAD＝α，∠EAF12=α可得∠BAE+∠FAD12=α，进而可证明∠FAH＝∠EAF，利用SAS可证明△AEF≌△AHF，可得EF=FH=BE+FD；（3）将△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△AE′B，连接DE′，由旋转的性质可得BE′＝EC，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝42，即可求出∠E′BD＝90°，利用SAS可证明△AEF≌△AHF，可得DE＝DE′，利用勾股定理求出DE的长即可的答案.【详解】（1）BE+DF＝EF，如图1，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，∵∠ADC＝∠B＝∠ADG＝90°，∴∠FDG＝180°，即点F，D，G共线．由旋转可得AE＝AG，BE＝DG，∠BAE＝∠DAG．∵∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣12∠BAD=90°-45°＝45°，∴∠DAG+∠DAF＝45°，即∠FAG=45°，∴∠EAF＝∠FAG，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF＝FG．又∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴BE+DF＝EF，故答案为BE+DF＝EF．（2）成立．如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转α得到△ADH，可得∠ABE＝∠ADH，∠BAE＝∠DAH，AE＝AH，BE＝DH．∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADH+∠ADC＝180°，∴点C，D，H在同一直线上．∵∠BAD＝α，∠EAF12=α，∴∠BAE+∠FAD12=α，∴∠DAH+∠FAD12=α，∴∠FAH＝∠EAF，又∵AF＝AF，∴△AEF≌△AHF（SAS），∴EF＝FH＝DF+DH＝DF+BE；（3）DE523 =，如图3，将△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△AE′B，连接DE′．可得BE′＝EC，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，在Rt△ABC中，∵AB＝AC＝4，∠BAC=90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝2，∴2，∴∠ABC+∠ABE′＝90°，即∠E′BD＝90°，∴E′B2+BD2＝E′D2．易证△AE′D≌△AED，∴DE＝DE′，∴DE2＝BD2+EC2，即DE2222)(32)DE=+，解得23DE=．本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，旋转后不改变图形的大小和形状，并且对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角等于旋转角，熟练掌握旋转的性质及全等三角形的判定定理是解题关键.3．发现规律：（1）如图①，ABC 与ADE 都是等边三角形，直线,BD CE 交于点F ．直线BD ，AC 交于点H ．求BFC ∠的度数（2）已知：ABC 与ADE 的位置如图②所示，直线,BD CE 交于点F ．直线BD ，AC 交于点H ．若ABC ADE α∠=∠=，ACB AED β∠=∠=，求BFC ∠的度数 应用结论：（3）如图③，在平面直角坐标系中，点O 的坐标为(0,0)，点M 的坐标为(3,0)，N 为y 轴上一动点，连接MN ．将线段MN 绕点M 逆时针旋转60得到线段MK ，连接NK ，OK ，求线段OK 长度的最小值答案：A解析：（1）BFC ∠的度数为60︒；（2）BFC ∠的度数为180αβ︒--；（3）线段OK 长度的最小值为32（1）通过证明BAD CAE ≅△△可得ABD ACE ∠=∠，再由三角形内角和定理进行求解即可；（2）通过证明ABC ADE 可得BAC DAE ∠=∠，AB AC AD AE=，可证ABD ACE ，可得ABD ACE ∠=∠，由外角性质可得BFC BAC ∠=∠，再有三角形内角和定理进行求解即可；（3）由旋转的性质可得MNK △是等边三角形，可得MK MN NK ==，60NMK NKM KNM ∠=∠=∠=︒，如图③将MOK 绕点M 顺时针旋转60︒，得到MQN △，连接OQ ，可得60OMQ ∠=︒，OK =NQ ，MO =MQ ，则当NQ 为最小值时，OK 有最小值，由垂线段最短可得当QN y ⊥轴时，NQ 有最小值，由直角三角形的性质即可求解．【详解】 （1）∵ABC 与ADE 是等边三角形∴AB=AC ，AD=AE ，60BAC DAE ABC ACB ∠=∠=∠=∠=︒∴BAD CAE ∠=∠∴()BAD CAE SAS ≅ ∴ABD ACE ∠=∠∵60ABD DBC ABC ∠+∠=∠=︒∴60ACE DBC ∠+∠=︒∴18060BFC DBC ACE ACB ∠=︒-∠-∠-∠=︒；（2）∵ABC ADE α∠=∠=，ACB AED β∠=∠=∴ABC ADE∴BAC DAE ∠=∠，AB AC AD AE= ∴BAD CAE ∠=∠，AB AD AC AE = ∴ABD ACE ∴ABD ACE ∠=∠ ∵BHC ABD BAC BFC ACE ∠=∠+∠=∠+∠ ∴BFC BAC ∠=∠ ∵180BAC ABC ACB ∠+∠+∠=︒ ∴180BFC αβ∠++=︒∴180BFC αβ∠=︒--；（3）∵将线段MN 绕点M 逆时针旋转60︒得到线段MK∴MN MK =，60NMK ∠=︒∴MNK △是等边三角形∴MK MN NK ==，60NMK NKM KNM ∠=∠=∠=︒如下图，将MOK 绕点M 顺时针旋转60︒，得到MQN △，连接OQ∴MOK MQN ≅，60OMQ ∠=︒∴OK =NQ ，MO =MQ∴MOQ △是等边三角形∴60QOM ∠=︒∴30NOQ ∠=︒∵OK =NQ∴当NQ 为最小值时，OK 有最小值，由垂线段最短可得当QN y ⊥轴时，NQ 有最小值 ∵点M 的坐标为(3,0)∴3OM OQ ==∵QN y ⊥轴，30NOQ ∠=︒ ∴1322NQ OQ == ∴线段OK 长度的最小值为32． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形内角和定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是解决本题的关键．4．问题提出：（1）如图1，在ABC 中，AB AC BC =≠，点D 和点A 在直线BC 的同侧，BD BC =，90BAC ∠=︒，30DBC ∠=︒，连接AD ，将ABD △绕点A 逆时针旋转90︒得到ACD '，连接BD '（如图2），可求出ADB ∠的度数为______．问题探究：（2）如图3，在（1）的条件下，若BAC α∠=，DBC β∠=，且120αβ+=︒，DBC ABC ∠<∠ ，①求ADB ∠的度数．②过点A 作直线AE BD ⊥，交直线BD 于点E ，7,2BC AD ==．请求出线段BE 的长．答案：A解析：（1）30°；（2）①30︒；②73-【分析】（1）由旋转的性质，得△ABD ≌ACD '∆，则ADB AD C '∠=∠，然后证明BCD '∆是等边三角形，即可得到30ADB AD C '∠=∠=︒；（2）①将ABD △绕点A 逆时针旋转，使点B 与点C 重合，得到'ACD △，连接'BD ．与（1）同理证明D BC '∆为等边三角形，然后利用全等三角形的判定和性质，即可得到答案；②由解直角三角形求出3DE =【详解】解：（1）根据题意，∵AB AC BC =≠，90BAC ∠=︒，∴ABC ∆是等腰直角三角形，∴45ABC ACB ∠=∠=︒，∵30DBC ∠=︒，∴15ABD ∠=︒，由旋转的性质，则△ABD ≌ACD '∆，∴ADB AD C '∠=∠，15ABD ACD '∠=∠=︒，BC CD '=，∴60BCD '∠=︒，∴BCD '∆是等边三角形，∴60BD C '∠=︒，BD CD ''=∵AB AC =，AD AD ''=，∴ABD '∆≌ACD '∆，∴30AD B AD C ''∠=∠=︒，∴30ADB AD C '∠=∠=︒；（2）①DBC ABC ∠<∠，60120α︒︒∴<<．如图1，将ABD △绕点A 逆时针旋转，使点B 与点C 重合，得到'ACD △，连接'BD ．AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠，BAC α∠=， ()111809022ABC αα︒︒∴∠=-=-， 1902ABD ABC DBC αβ︒∴∠=∠-∠=--， 119090180()22D CB ACD ACB αβααβ''︒︒︒∴∠=∠+∠=--+-=-+． 120,αβ︒+=60D CB '︒∴∠=．,BD BC BD CD '==，,BC CD '∴=D BC '∴为等边三角形，D B D C ''∴=，AD B AD C ''∴≌，AD B AD C ''∴∠=∠，1302AD B BD C ''︒∴∠=∠=， 30ADB ︒∴∠=．②如图2，由①知，30ADB ︒∠=，在Rt ADE △中，30,2ADB AD ︒∠==， 3DE ∴=．BCD '是等边三角形，7BD BC '∴==，7BD BD '∴==，73BE BD DE ∴=-=-．【点睛】本题考查了解直角三角形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确利用旋转模型进行解题．5．已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B、C重合)．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．（1）如图1，当点D在线段BC上时，请直接写出线段BD与CF的数量关系：；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，若AC=2，CD=1，则CF= ；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系：；②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．答案：B解析：（1）BD=CF；（2）221；（3）①CD=CF+BC，②等腰三角形，见解析【分析】（1）△ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明△BAD≌△CAF；（2）同（1）相同，利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD=CF，即可得到CF=CD+BC，然后求出答案；（3）中的①与（1）相同，可证明BD=CF，又点D、B、C共线，故：CD=BC+CF；②由（1）猜想并证明BD⊥CF，从而可知△FCD为直角三角形，再由正方形的对角线的性质判定△AOC三边的特点，再进一步判定其形状．【详解】解：（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△BAD和△CAF中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD ≌△CAF （SAS ），∴BD=CF ，（2）与（1）同理，证△BAD ≌△CAF ；∴BD=CF ，∴CF=BC+CD ，∵AC=AB=2，CD=1，∴BC ==∴CF=1；（3）①BC 、CD 与CF 的关系：CD=BC+CF理由：与（1）同法可证△BAD ≌△CAF ，从而可得：BD=CF ，即：CD=BC+CF②△AOC 是等腰三角形理由：与（1）同法可证△BAD ≌△CAF ，可得：∠DBA=∠FCA ，又∵∠BAC=90°，AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB=45°，则∠ABD=180°-45°=135°，∴∠ABD=∠FCA=135°∴∠DCF=135°-45°=90°∴△FCD 为直角三角形．又∵四边形ADEF 是正方形，对角线AE 与DF 相交于点O ，∴OC=12DF ， ∴OC=OA ∴△AOC 是等腰三角形．【点睛】本题考查了等腰三角形、正方形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，一般情况下，要证明两条线段相等，就得证明这两条线段所在的两个三角形全等，关键是掌握图形特点挖掘题目所隐含的条件．6．如图，已知ABC 和ADE 均为等腰三角形，AC ＝BC ，DE ＝AE ，将这两个三角形放置在一起．（1）问题发现：如图①，当60ACB AED ∠∠︒＝＝时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，则CEB ∠＝ °，线段BD 、CE 之间的数量关系是 ；（2）拓展探究：如图②，当90ACB AED ∠∠︒＝＝时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，请判断CEB ∠的度数及线段BD 、CE 之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图③，90ACB AED ∠∠︒＝＝，25AC ＝，AE ＝2，连接CE 、BD ，在AED 绕点A 旋转的过程中，当DE BD ⊥时，请直接写出EC 的长．答案：C解析：（1）60BD CE ，＝；（2）452CEB BD CE ∠︒＝，＝，理由见解析；（3）CE 的长为2或2【分析】（1）证明ACE ABD ≌，得出CE ＝BD ，AEC ADB ∠=∠，即可得出结论； （2）证明ACE ABD ∽，得出AEC ADB ∠=∠，2BD CE =，即可得出结论； （3）先判断出2BD CE =，再求出210AB =：①当点E 在点D 上方时，先判断出四边形APDE 是矩形，求出AP ＝DP ＝AE ＝2，再根据勾股定理求出，BP ＝6，得出BD ＝4；②当点E 在点D 下方时，同①的方法得，AP ＝DP ＝AE ＝1，BP ＝6，进而得出BD ＝BP +DP ＝8，即可得出结论．【详解】解：（1）ABC 为等腰三角形，60AC BC ACB ∠︒＝，＝，∴ABC 是等边三角形，同理可得ADE 是等边三角形6018012060BAD DAC DAC CAE BAD CAE AD AE AB ACEAC DAB ACE ABD SAS BD CEAEC ADB ADE AEC AED CEBCEB ∠+∠=∠+∠=︒∴∠=∠=⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩∴∴=∠=∠=︒-∠=︒∠=∠+∠∴∠=︒＝≌（）故答案为：60CEB BD CE ∠=︒=；．（2）45CEB BD ∠︒＝，，理由如下：在等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ，90ACB ∠︒＝，45AB CAB ∴∠︒，＝ ，同理，45AD ADE DAE ∠∠︒，＝＝， ∴AE AC AD AB =，DAE CAB ∠∠＝， EAC DAB ∴∠∠＝，ACE ABD ∴∽ ，∴BD AD CE AE== ∴AEC ADB BD ∠∠＝，，点B 、D 、E 在同一条直线上:180135ADB ADE ∴∠︒-∠︒＝＝135AEC ∴∠︒＝45CEB AEC AED ∴∠∠-∠︒＝＝；（3）由（2）知，ACE ABD ∽，BD ∴，在Rt ABC 中，AC ＝AB ∴＝，①当点E 在点D 上方时，如图③，过点A 作AP BD ⊥交BD 的延长线于P ，DE BD ⊥，PDE AED APD ∴∠∠∠＝＝，∴四边形APDE 是矩形，AE DE ＝ ，∴矩形APDE 是正方形，2AP DP AE ∴＝＝＝，在Rt APB △中，根据勾股定理得，6BP ，4BD BP AP ∴-＝＝，CE BD ∴＝ ②当点E 在点D 下方时，如图④同①的方法得，AP ＝DP ＝AE ＝2，BP ＝6，∴BD ＝BP +DP ＝8，CE ∴＝综上CE 的长为或．【点睛】本题是几何变换的综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质，判断出三角形ACE和三角形ABD相似是关键．7．在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B在x轴负半轴上，BP平分∠ABO．（1）如图1，点T在BA延长线上，若AP平分∠TAO，求∠P的度数；（2）如图2，点C为x轴正半轴上一点，∠ABC＝2∠ACB，且P在AC的垂直平分线上．①求证：AP//BC；②D是AB上一点，E是x轴正半轴上一点，连接AE交DP于H．当∠DHE与∠ABE满足什么数量关系时，DP＝AE．给出结论并说明理由．答案：D解析：（1）45°；（2）①见解析；②∠DHE+∠ABE＝180°，理由见解析【分析】（1）由三角形的外角性质和角平分线的性质可得∠AOB＝2∠P＝90°，可求解；（2）①过点P作PE⊥AB交BA延长线于E，过点P作PF⊥BC于F，连接PC，由角平分线的性质可得PE＝PF，由垂直平分线的性质可得PA＝PC，由“HL”可证Rt△APE≌Rt△CPF，可得∠EPA＝∠CPF，由四边形内角和定理可得∠EBF+∠EPF＝180°，由角的数量关系可证∠ACB＝∠PAC，由平行线的判定可证AP∥BC；②如图3，在OE上截取ON＝OB，连接AN，通过证明△ADP≌△NEA，可得DP＝AE．【详解】解：（1）∵BP平分∠ABO，AP平分∠TAO，∴∠PBT ＝12∠ABO ，∠TAP ＝12∠TAO ， ∵∠TAO ＝∠ABO+∠AOB ，∠TAP ＝∠P+∠ABP ，∴∠AOB ＝2∠P ＝90°，∴∠P ＝45°；（2）①如图2，过点P 作PE ⊥AB 交BA 延长线于E ，过点P 作PF ⊥BC 于F ，连接PC ，又∵PB 平分∠ABC ，∴PE ＝PF ，∵P 在AC 的垂直平分线上，∴PA ＝PC ，∴∠PAC ＝∠PCA ，在Rt △APE 和Rt △CPF 中，AP PC PE PF =⎧⎨=⎩， ∴Rt △APE ≌Rt △CPF （HL ），∴∠EPA ＝∠CPF ，∴∠EPF ＝∠APC ，在四边形BEPF 中，∠EBF+∠BEP+∠EPF+∠PFB ＝180°，∴∠EBF+∠EPF ＝180°，∴∠ABC+∠APC ＝180°，∵∠APC+∠PAC+∠PCA ＝180°，∴∠ABC ＝∠PAC+∠PCA ＝2∠PAC ，∵∠ABC ＝2∠ACB ，∴∠ACB ＝∠PAC ，∴AP ∥BC ；②当∠DHE+∠ABE ＝180°时，DP ＝AE ，理由如下：如图3，在OE 上截取ON ＝OB ，连接AN ，∵OB ＝ON ，AO ⊥BE ，∴AB ＝AN ，∴∠ABN ＝∠ANB ，∵AP ∥BE ，BP 平分∠ABE ，∴∠APB ＝∠PBE ＝∠ABP ，∠ABN+∠BAP ＝180°，∴AP ＝AB ，∴AP ＝AN ，∵∠ANB+∠ANE ＝180°，∴∠BAP ＝∠ANE ，∵∠DHE+∠ABE ＝180°，∠DHE+∠ABE+∠BDH+∠BEH ＝360°，∴∠BDH+∠BEH ＝180°，∵∠ADP+∠BDP ＝180°，∴∠ADP ＝∠AEN ，在△ADP 和△NEA 中，DAP ANE ADP AEN AP AN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADP ≌△NEA （AAS ），∴DP ＝AE ．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，四边形内角和定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 8．已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”．请利用上面信息解决以下问题：已知Rt ABC 中，AC BC =，90C ∠=︒，D 为AB 边的中点，90EDF ∠=︒，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．（1）当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图①），求证：12DEF CEF ABC S S S +=△△△； （2）当EDF ∠绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，DEF S △、CEF S △、ABC S又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明．答案：D解析：（1）见解析；（2）图2成立，图3不成立：12DEF CEF ABC S S S -=△△△ 【分析】（1）根据等腰直角三角形和正方形的性质得到AED 、DFB △、EDF 、ECF △为全等的等腰直角三角形，据此即可证明；（2）对于图2：过点D 作DM AC ⊥，DN BC ⊥，根据中位线的性质和等量代换证得MD ND =和MDE NDF ∠=∠，结合90DME DNF ∠=∠=︒，证得DME DNF ∆≅∆，根据全等三角形的性质即可求证；对于图3：根据ASA 证明DME DNF ∆≅∆，根据全等三角形的性质即可求证．【详解】（1）证明：连接CD∵D 为AB 边的中点，AC BC =∴AD=CD=BD∴45DAC DCA DCB DBC ∠=∠=∠=∠=︒又∵DE AC ⊥，90EDF ∠=︒，90C ∠=︒，∴四边形ECFD 为矩形∴∠CFD=90°又∵∠DCF=45°∴CF=DF∴四边形ECFD 是正方形∴DE=DF∴DEF CEF DEC DFC S S S S +=+△△△△又∵12DCF DBF ABC S S S +=△△△，且DCF DBF S S =△△ ∴12DEF CEF ABC S S S +=△△△ （2）图2成立，图3不成立对于图2：过点D 作DM AC ⊥，DN BC ⊥，如图2，则90DME DNF MDN ∠=∠=∠=︒又∵90C ∠=︒∴DM BC ，DN AC∵D 为AB 边的中点 ∴根据中位线定理得到：12DN AC =，12MD BC = ∵AC=BC∴MD=ND∵90EDF ∠=︒∴90MDE EDN ∠+∠=︒，90NDF EDN ∠+∠=︒∴MDE NDF ∠=∠在DME ∆与DNF ∆中DME DNF MD NDMDE NDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴DME DNF ∆≅∆∴DME DNF S S ∆∆=∴DEF CEF DMCN DECF S S S S ∆∆==+四边形四边形∴12DMCN ABC S S =△ ∴12DEF CEF ABC S S S +=△△△ 对于图3：连接DC ，在DEC ∆与DBF ∆中135DCE DBF DC DBCDE BDF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴DEC DBF ∆≅∆ ∴12DEF CFE DBC CFE ABC DBFEC S S S S S S ∆∆∆∆∆==+=+五边形 ∴12DEF CEF ABC S S S ∆∆∆-=． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，中位线的性质，等腰直角三角形的性质，题目较为综合，利用作出的辅助线将不规则的三角形转化为直角三角形进行解决．9．问题解决一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图①，点P 是等边ABC 内的一点，6PA =，8PB = ，10PC =．你能求出APB ∠的度数和等边ABC 的面积吗？ 小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：如图①将BPC △绕点B 逆时针旋转60°，得到BPA △，连接PP '，可得BPP '是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得AP P '是直角三角形，从而使问题得到解决．（1）结合小明的思路完成填空：PP '=_____________，APP '∠=_______________，APB ∠=_____________ ，ABC S = ______________．（2）类比探究Ⅰ如图②，若点P 是正方形ABCD 内一点，1PA = ，2PB =，3PC =，求APB ∠的度数和正方形的面积．Ⅱ如图③，若点P 是正方形ABCD 外一点，3PA = ，1PB =， 11PC =APB ∠的度数和正方形的面积．答案：B解析：（1）8，90˚，150˚，25336+；（2）Ⅰ135APB ∠=︒，722ABCD S =+正方形；Ⅱ45APB ∠=︒， 1032ABCD S =-正方形【分析】（1）根据小明的思路，然后利用等腰三角形和直角三角形性质计算即可；（2）Ⅰ将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，求出∠APB 的度数；先利用旋转求出∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，利用勾股定理求出PP'，进而判断出△APP'是直角三角形，得出∠APP'=90°，即可得出结论；过B 作BE ⊥AP 于点E ，然后利用勾股定理求出AB 的长度即可求出正方形面积；Ⅱ将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，求出∠APB 的度数；先利用旋转求出∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，利用勾股定理求出PP'，进而判断出△APP'是直角三角形，得出∠APP'=90°，即可得出结论；过B 作BF ⊥AP 于点F ，然后利用勾股定理求出AB 的长度即可求出正方形面积；【详解】解:（1）由题易有P BP '∆是等边三角形，AP P '∆是直角三角形∴PP '=BP=8，90?APP '=∠，60?P PB '=∠，∴APB ∠=APP '∠+=P PB '∠150˚，如图1，过B 作BD ⊥AP 于点D∵APB ∠=150°∴30?BPD =∠在Rt △BPD 中，30?BPD =∠，BP=8∴BD=4，PD=43 ∴AD=6+43∴AB 2=AD 2+BD 2=100+483∴ABC S =234AB =25336+ （2）Ⅰ．如图2，将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，∴△ABP'≌△CBP ，∴∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，在Rt △PBP'中，BP=BP'=2，∴∠BPP'=45°，根据勾股定理得，PP'=2BP=22，∵AP=1，∴AP 2+PP'2=1+8=9，∵AP'2=32=9，∴AP 2+PP'2=AP'2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°，∴∠APB=∠APP'+∠BPP'=90°+45°=135°；过B 作BE ⊥AP 于点E ，∵∠APB=135°∴∠BPE=45°∴△BPE 是等腰直角三角形∴BE=BP=22BP 2 ∴2∴AB 2=AE 2+BE 22∴2722ABCD S AB ==+正方形Ⅱ．如图3，将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，∴△ABP'≌△CBP ，∴∠PBP'=90°，BP'=BP=1，11在Rt △PBP'中，BP=BP'=1，∴∠BPP'=45°，根据勾股定理得，PP'=2BP=2， ∵AP=3，∴AP 2+PP'2=9+2=11，∵AP'2=（11）2=11，∴AP 2+PP'2=AP'2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°，∴∠APB=∠APP'-∠BPP'=90°-45°=45°．过B 作BF ⊥AP 于点F∵∠APB=45°∴△BPF 为等腰直角三角形∴PF=BF=22BP =22 ∴AF=AP-PF=3-22 ∴AB 2=AF 2+BF 2=1032-∴21032ABCD S AB ==-正方形【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．10．（1）ABC 和CDE △是两个等腰直角三角形，如图1，其中90ACB DCE ∠=∠=︒，连接AD 、BE ，求证：ACD △≌BCE ．（2）ABC 和CDE △是两个含30°的直角三角形，中90ACB DCE ∠=∠=︒，∠=CAB CDE ∠30=︒，CD AC <，CDE △从边CD 与AC 重合开始绕点C 逆时针旋转一定角度()0180αα︒<<︒．①如图2，DE 与BC 交于点F ，交AB 于G ，连接AD ，若四边形ADEC 为平行四边形，求BG AG的值． ②若12AB =，当点D 落在AB 上时，求BE 的长．答案：A解析：（1）见解析；（2）①13BG AG =；【分析】（1）利用SAS 证明即可；（2）①连接CG ，根据平行四边形的性质推出//AD CE ，求出120ADE ∠=︒，得到90ADC ADE CDE ∠=∠-∠=︒，根据30CAB CDE ∠=∠=︒证得A 、D 、G 、C 四点共圆，从而得到90AGC ADC ∠=∠=︒，利用直角三角形中30度角的性质求出AG =，CG =，即可求出答案；②先证明ACD △∽BCE ，由此推出∠DBE=90°，得到DBE 为直角三角形，设BE a =，则AD =，12BD =-，过D 点作DH AC ⊥于H ，利用30A ∠=︒得到sin 302DH AD a =︒=，由ACD α∠=，得到sin 2sin HD CD αα==，由此求出cos30sin CD a DE α==︒，由勾股定理得222DE BE BD =+，即()222222121443sin a a a a α=+-=++-，解方程求出a.【详解】 （1）∵ABC 和CDE △是两个等腰直角三角形，∴AC BC =，CD CE =，ACB DCE ∠=∠，∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB ，∴ACD BCE ∠=∠， 在ACD △和BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ACD △≌BCE （SAS ）．（2）①连接CG ，如图所示，∵四边形ADEC 为平行四边形，∴//AD CE ，∴180ADE CED ∠+∠=︒，∵90903060CED CDE ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴120ADE ∠=︒，∴90ADC ADE CDE ∠=∠-∠=︒，∵30CAB CDE ∠=∠=︒，∴A 、D 、G 、C 四点共圆，∴90AGC ADC ∠=∠=︒，∵30CAB ∠=︒， ∴12CG AC =，3AG CG =，30BCG ∠=︒， ∴3CG BG =，即33BG CG =， ∴13BG AG =；②∵90ACB DCE ∠=∠=︒，∴ACB DCB DCE DCB ∠-∠=∠-∠，∴ACD BCE ∠=∠，∵30CAB CDE ∠=∠=︒，∴3AC DC BC CE ==， ∴ACD △∽BCE ，∴CAD CBE ∠=∠，∴90DBE DBC CBE DBC CAD ∠=∠+∠=∠+∠=︒， ∴DBE 为直角三角形，设BE a =，∴3AD a =，∴123BD a =，过D 点作DH AC ⊥于H ，30A ∠=︒， 则3sin 302DH AD a =︒=， 又∵ACD α∠=，∴3sin 2sin HD a CD αα==， 又在Rt CDE △中，30∠=︒CDE ，∴cos30sin CD a DE α==︒， ∴在Rt BDE △中，由勾股定理得222DE BE BD =+，即()2222221231443243sin a a a a a a α=+=++-，∴22142431440sin a a α⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，解得22576243576sin 28sin a αα±-=-， 即222243sin 241sin 8sin 2a ααα+-=- 2222243sin 24cos 123sin 12cos 8sin 24sin 1αααααα++==--， 故BE 的长为22123sin 12cos 4sin 1ααα+-.【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质，旋转的性质，平行四边形的性质，四点共圆，含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，是一道较难的几何综合题.11．在等腰Rt ABC △中，AB AC =、90BAC ∠=︒．（1）如图1，D ，E 是等腰Rt ABC △斜边BC 上两动点，且45DAE ∠=︒，将ABE △绕点A 逆时针旋转90后，得到AFC △，连接DF ．①求证：AED AFD ≌．②当3BE =，9CE =时，求DE 的长．（2）如图2，点D 是等腰Rt ABC △斜边BC 所在直线上的一动点，连接AD ，以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △（E 点在直线BC 的上方），当3BD =，9BC =时，求DE 的长．答案：D解析：（1）①证明见解析；②5；（2）35或317【分析】（1）①证明∠DAE=∠DAF=45°即可利用SAS 证明全等；②由①中全等可得DE=DF ，再在Rt △FDC 中利用勾股定理计算即可；（2）连接BE ，根据共顶点等腰直角三角形证明全等，再利用勾股定理计算即可。
全等三角形旋转模型复习题及答案(1)
全等三角形旋转模型复习题及答案(1)一、全等三角形旋转模型1．问题背景如图（1），在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，∠BAD＝α，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交BC，CD于点E，F，且∠EAF12=α，连接EF，试探究：线段BE，DF，EF之间的数量关系．（1）特殊情景在上述条件下，小明增加条件“当∠BAD＝∠B＝∠D＝90°时”如图（2），小明很快写出了：BE，DF，EF之间的数量关系为______．（2）类比猜想类比特殊情景，小明猜想：在如图（1）的条件下线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你帮助小明完成证明；若不成立，请说明理由．（3）解决问题如图（3），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD2=DE的长．答案：B解析：（1）BE+DF＝EF；（2）成立；（3）DE23 =【分析】（1）将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，由旋转的性质可得AE＝AG，BE＝DG，∠BAE＝∠DAG，根据∠EAF=12∠BAD可得∠BAE+∠DAF＝45°，即可得出∠∠EAF＝∠FAG，利用SAS可证明△AFE≌△AFG，可得EF=FG，进而可得EF=BE+FD；（2）将△ABE 绕点A逆时针旋转α得到△ADH，由旋转的性质可得∠ABE＝∠ADH，∠BAE＝∠DAH，AE＝AH，BE＝DH，根据∠BAD＝α，∠EAF12=α可得∠BAE+∠FAD12=α，进而可证明∠FAH＝∠EAF，利用SAS可证明△AEF≌△AHF，可得EF=FH=BE+FD；（3）将△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△AE′B，连接DE′，由旋转的性质可得BE′＝EC，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝2，即可求出∠E′BD＝90°，利用SAS可证明△AEF≌△AHF，可得DE＝DE′，利用勾股定理求出DE的长即可的答案.【详解】（1）BE+DF＝EF，如图1，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，∵∠ADC＝∠B＝∠ADG＝90°，∴∠FDG＝180°，即点F，D，G共线．由旋转可得AE＝AG，BE＝DG，∠BAE＝∠DAG．∠BAD=90°-45°＝45°，∵∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣12∴∠DAG+∠DAF＝45°，即∠FAG=45°，∴∠EAF＝∠FAG，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF＝FG．又∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴BE+DF＝EF，故答案为BE+DF＝EF．（2）成立．如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转α得到△ADH，可得∠ABE＝∠ADH，∠BAE＝∠DAH，AE＝AH，BE＝DH．∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADH+∠ADC＝180°，∴点C，D，H在同一直线上．∵∠BAD＝α，∠EAF1=α，2∴∠BAE+∠FAD1=α，2∴∠DAH+∠FAD1=α，2∴∠FAH＝∠EAF，又∵AF＝AF，∴△AEF≌△AHF（SAS），∴EF＝FH＝DF+DH＝DF+BE；（3）DE523 =，如图3，将△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△AE′B，连接DE′．可得BE′＝EC，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，在Rt△ABC中，∵AB＝AC＝4，∠BAC=90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝2，∴2，∴∠ABC+∠ABE′＝90°，即∠E′BD＝90°，∴E′B2+BD2＝E′D2．易证△AE′D≌△AED，∴DE＝DE′，∴DE2＝BD2+EC2，即DE2222)(32)DE=+，解得23DE=．【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，旋转后不改变图形的大小和形状，并且对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角等于旋转角，熟练掌握旋转的性质及全等三角形的判定定理是解题关键.2．（1）如图1，在OAB和OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．求：①ACBD的值；②∠AMB的度数．（2）如图2，在OAB和OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD 的延长线于点M ．请判断AC BD的值及∠AMB 的度数，并说明理由； （3）在（2）的条件下，将OCD 点O 在平面内旋转，AC ，BD 所在直线交于点M ，若OD=2，OB=23，请直接写出当点C 与点M 重合时AC 的长．答案：A解析：（1）①1，②40°；（2）AC BD 3∠AMB=90°，见解析；（3）33【分析】（1）①根据已知条件证明△COA ≌△DOB ，即可证明AC=BD ；②根据△COA ≌△DOB 可得∠CAO=∠DBO ，根据已知条件可得∠OAB+∠ABO=140°，然后在△AMB 中，根据等角的转换即可得到答案； （2）根据已知条件证明△AOC ∽△BOD ，可得∠CAO=∠DBO ，进而可得∠MAB=∠OAB+∠DBO ，最后可得∠AMB=180°-（∠OAB+∠ABM+∠DBO ）=90°；（3）分两种情况讨论，根据题（2），同理可得OAC OBD △△，90AMB ∠=︒，3AC BD=，设BD=x ，则3AC x = 用x 表示出AM 、BM 的长，在Rt AMB 中，根据勾股定理222AM BM AB +=列出方程，求解即可．【详解】 解：（1）①如图1，∵∠AOB=∠COD=40°，∴∠COA=∠DOB ，∵OC=OD ，OA=OB ，∴△COA ≌△DOB （SAS ），∴AC=BD ， ∴AC BD =1， ②∵△COA ≌△DOB ，∴∠CAO=∠DBO ，∵∠AOB=40°，∴∠OAB+∠ABO=140°，在△AMB 中，∠AMB=180°﹣（∠CAO+∠OAB+∠ABD ）=180°﹣（∠DBO+∠OAB+∠ABD ）=180°﹣140°=40°，（2）如图2，AC BD=3，∠AMB=90°，理由是：在Rt △COD 中，∠DCO=30°，∠DOC=90°，∴3tan 303OD OC =︒=，同理得：3tan 303OB OA =︒=， ∴OD OB OC OA=， ∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=∠BOD ，∴△AOC ∽△BOD ，∴AC OC BD OD==3，∠CAO=∠DBO ， 在△AMB 中，∠AMB=180°﹣（∠MAB+∠ABM ）=180°﹣（∠OAB+∠ABM+∠DBO ）=90°；（3）AC 的长为23或43．①如图，点C 与点M 重合，同理可得：OAC OBD △△，90AMB ∴∠=︒，3AC BD =设BD=x ，则3AC x =，在Rt ODC 中，30OCD ∠=︒，OD=2，4CD ∴=，在Rt AOB 中，30OAB ∠=︒，33AB ∴=，在Rt AMB 中，222AM BM AB +=，即222(3)(4)(43)x x ++=，解得：x=2或-4(舍)，323x =②如图，点C 与点M 重合，同理可得：90AMB ∠=︒，3AC BD =设BD=x ，则3x ，在Rt COD 中， 90OCD ∠=︒，OD=2，4CD ∴=，4BC x =-，在Rt AOB 中，30OAB ∠=︒，3OB =243AB OB ∴==，在Rt AMB 中，222AM BM AB +=， 即222(3)(4)(43)x x +-=，解得：x=4或-2（舍）， 343x =综上所述，AC 的长为2343【点睛】本题主要考查三角形的综合运用，涉及全等三角形与相似三角形的性质和判定、勾股定理、解一元一次方程、图形旋转证明、特殊角的三角函数值等知识点，难度较大，第（1）题证明△COA ≌△DOB 是关键，第（2）题证明△AOC ∽△BOD 是关键，第（3）题要特别注意分情况讨论．3．问题提出：（1）如图1，在ABC 中，AB AC BC =≠，点D 和点A 在直线BC 的同侧，BD BC =，90BAC ∠=︒，30DBC ∠=︒，连接AD ，将ABD △绕点A 逆时针旋转90︒得到ACD '，连接BD '（如图2），可求出ADB ∠的度数为______．问题探究：（2）如图3，在（1）的条件下，若BAC α∠=，DBC β∠=，且120αβ+=︒，DBC ABC ∠<∠ ，①求ADB ∠的度数．②过点A 作直线AE BD ⊥，交直线BD 于点E ，7,2BC AD ==．请求出线段BE 的长．答案：A解析：（1）30°；（2）①30︒；②73- 【分析】（1）由旋转的性质，得△ABD ≌ACD '∆，则ADB AD C '∠=∠，然后证明BCD '∆是等边三角形，即可得到30ADB AD C '∠=∠=︒；（2）①将ABD △绕点A 逆时针旋转，使点B 与点C 重合，得到'ACD △，连接'BD ．与（1）同理证明D BC '∆为等边三角形，然后利用全等三角形的判定和性质，即可得到答案；②由解直角三角形求出3DE =，再由等边三角形的性质，即可求出答案． 【详解】解：（1）根据题意，∵AB AC BC =≠，90BAC ∠=︒，∴ABC ∆是等腰直角三角形，∴45ABC ACB ∠=∠=︒，∵30DBC ∠=︒，∴15ABD ∠=︒，由旋转的性质，则△ABD ≌ACD '∆，∴ADB AD C '∠=∠，15ABD ACD '∠=∠=︒，BC CD '=，∴60BCD '∠=︒，∴BCD '∆是等边三角形，∴60BD C '∠=︒，BD CD ''=∵AB AC =，AD AD ''=，∴ABD '∆≌ACD '∆，∴30AD B AD C ''∠=∠=︒，∴30ADB AD C '∠=∠=︒；（2）①DBC ABC ∠<∠，60120α︒︒∴<<．如图1，将ABD △绕点A 逆时针旋转，使点B 与点C 重合，得到'ACD △，连接'BD ．AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠，BAC α∠=， ()111809022ABC αα︒︒∴∠=-=-， 1902ABD ABC DBC αβ︒∴∠=∠-∠=--， 119090180()22D CB ACD ACB αβααβ''︒︒︒∴∠=∠+∠=--+-=-+． 120,αβ︒+=60D CB '︒∴∠=．,BD BC BD CD '==，,BC CD '∴=D BC '∴为等边三角形，D B D C ''∴=，AD B AD C ''∴≌，AD B AD C ''∴∠=∠，1302AD B BD C ''︒∴∠=∠=， 30ADB ︒∴∠=．②如图2，由①知，30ADB ︒∠=，在Rt ADE △中，30,2ADB AD ︒∠==， 3DE ∴=．BCD '是等边三角形，7BD BC '∴==，7BD BD '∴==，73BE BD DE ∴=-=-．【点睛】本题考查了解直角三角形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确利用旋转模型进行解题．4．△CDE和△AOB是两个等腰直角三角形，∠CDE＝∠AOB＝90°，DC＝DE＝1，OA＝OB＝a（a＞1）．（1）将△CDE的顶点D与点O重合，连接AE，BC，取线段BC的中点M，连接OM．①如图1，若CD，DE分别与OA，OB边重合，则线段OM与AE有怎样的数量关系？请直接写出你的结果；②如图2，若CD在△AOB内部，请你在图2中画出完整图形，判断OM与AE之间的数量关系是否有变化？写出你的猜想，并加以证明；③将△CDE绕点O任意转动，写出OM的取值范围（用含a式子表示）；（2）是否存在边长最大的△AOB，使△CDE的三个顶点分别在△AOB的三条边上（都不与顶点重合）？如果存在，请你画出此时的图形，并求出边长a的值；如果不存在，请说明理由．答案：A解析：（1）①OM＝12AE；②OM＝12AE，证明详见解析；③12a-≤OM≤12a+；（2）5【分析】（1）①利用△CDE≌△AOB得出BC＝AE，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解．②作辅助线，利用△COF≌△EOA及三角形中位线得出OM＝12 AE．③分两种情况，当OC与OB重合时OM最大，当OC在BO的延长线上时OM最小，据此求出OM的取值范围．（2）分两种情况：当顶点D在斜边AB上时，设点C，点E分别在OB，OA上．由DM+OM≥OF求出直角边a的最大值；当顶点D在直角边AO上时，点C，点E分别在OB，AB上时，利用△EHD≌△DOC，得出OD＝EH，在Rt△DHE中，运用勾股定理ED2＝DH2+EH2，得出方程，由△判定出a的最大值．【详解】解：（1）①∵△CDE和△AOB是两个等腰直角三角形，∴CD＝ED，AO＝B0，∠CDE＝∠AOB，在△CDE 和△AOB 中，CD ED CDE AOB AO BO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CDE ≌△AOB （SAS ），∴BC ＝AE∵M 为BC 中点，∴OM ＝12BC ， ∴OM ＝12AE ． ②猜想：OM ＝12AE ． 证明：如图2，延长BO 到F ，使OF ＝OB ，连接CF ，∵M 为BC 中点，∴OM ＝12CF ， ∵△CDE 和△AOB 是两个等腰直角三角形，∴CD ＝ED ，AO ＝BO ＝OF ，∠CDE ＝∠AOB ，∵∠AOC +∠COB ＝∠BOE +∠COB ＝90°，∴∠AOC ＝∠BOE ，∠FOC ＝∠AOE ，在△COF 和△EOA 中，CD ED FOC AOE OF AO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△COF ≌△EOA ，∴CF ＝AE ，∴OM＝12AE．③Ⅰ、如图3，当OC与OB重合时，OM最大，OM＝11122 a a-++=Ⅱ、如图4，当OC在BO的延长线上时，OM最小，OM＝12a+﹣1＝12a-，所以12a-≤OM≤12a+，（2）解：根据△CDE的对称性，只需分两种情况：①如图5，当顶点D在斜边AB上时，设点C，点E分别在OB，OA上．作OF⊥AB于点F，取CE的中点M，连接OD，MD，OM．∵△AOB 和△CDE 是等腰直角三角形，∠AOB ＝∠CDE ＝90°，OA ＝OB ＝a （a ＞1），DC ＝DE ＝1，∴AB ＝2a ，OF ＝12AB ＝22a ， ∴CE ＝2，DM ＝12CE ＝22， 在RT △COE 中，OM ＝12CE ＝22， 在RT △DOM 中，DM +OM ≥OD ，又∵OD ≥OF ， ∵DM +OM ≥OF ，即22+22≥22a ， ∴a ≤2，∴直角边a 的最大值为2．②如图6，当顶点D 在直角边AO 上时，点C ，点E 分别在OB ，AB 上，作EH ⊥AO 于点H ． ∵∠AOB ＝∠CDE ＝∠DHE ＝90°，∵∠HED +∠EDH ＝∠CDO +∠EDH ＝90°，∴∠HED ＝∠CDO ，∵DC ＝DE ，在△EHD 和△DOC 中，EHD COD HED CDO DE DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EHD ≌△DOC （AAS ）设OD ＝x ，∴OD ＝EH ＝AH ＝x ，DH ＝a ﹣2x ，在Rt △DHE 中，ED 2＝DH 2+EH 2，∴1＝x 2+（a ﹣2x ）2，整理得，5x 2﹣4ax +a 2﹣1＝0，∵x 是实数，∴△＝（4a ）2﹣4×5×（a 2﹣1）＝20﹣4a 2≥0，∴a 2≤5，∴a 2的最大值为5，∴a 的最大值为5．综上所述，a 的最大值为5．【点睛】 本题主要考查了几何变换综合题及三角形全等的判定和性质，解题的关键是在取最大值时，对三角形的位置进行讨论分别求值．5．如图，在ABC 中，,AB AC BAC α=∠=，过A 作AD BC ⊥于点D ，点E 为直线AD 上一动点，把线段CE 绕点E 顺时针旋转α，得到线段EF ，连接FC 、FB ，直线AD 与BF 相交于点G ．（1）（发现）如图1，当60α=︒时，填空：①AE BF的值为___________； ②AGB ∠的度数为___________； （2）（探究）如图2，当120α=︒时，请写出AE BF的值及AGB ∠的度数，并就图2的情形给出证明； （3）（应用）如图3，当90α=︒时，若23,15AB ACE =∠=︒，请直接写出DFG 的面积． 答案：G解析：（1）1；60°；（2）3AE BF =∠G =30°，理由见解析；（3）333 【分析】（1）①根据已知条件可以证明三角形ABC 和三角形EFC 都是等边三角形，然后根据等边三角形的性质证明△AEC ≌△BFC ，即BF =AE 从而得出答案；②根据①中的证明∠ABG =90°，∠BAG =30°，从而计算出∠AGB 的度数；（2）根据题目已知条件可以计算出3BC =，同理可以证得3CF CE =，再证ECA FCB ∠=∠即△ACE ∽△BCF ，从而得到比值和角的度数；（3）根据第（2）问的计算结论分E 在AD 上和E 在DA 的延长线上分类讨论求解即可．【详解】解：（1）①∵AB =AC ，CE =EF ，∠BAC =∠FEC =60°∴△ABC 和△EFC 都是等边三角形∴∠ACB =∠ECF =60°，AC =CB ，CE =CF∴∠ACE =∠BCF∴△ACE ≌△BCF∴A E =BF ，即1AE BF= ②∵△ACE ≌△BCF∴∠EAC =∠CBF 由①可知△ABC 是等边三角形∴AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD∴∠CAE =∠CBF =30°∴∠AGB =∠180°-∠CBF -∠BDG =60°（2）AE BF = ∵AB =AC ，∠BAC =120°，AD ⊥BC∴∠ABD =30°=∠ACB∴22BD AB AC CD === ∴BC =同理∵∠FEC =120°，EF =EC ∴CF =∴BC CF AC CE=，∠ACB =∠ECF =30° ∴△ACE ∽△BCF∴∠CAE =∠CBF∴AE AC BF BC ==∵AD ⊥BC ，∠BAC =120°，∴∠CAE =∠CBF =60°又∵∠BDG =90°∴∠G =30°（3）第一种情况，如图所示，当E 在AD 上时 ∵AB AC ==∠BAC =90°，AD ⊥BC ∴sin 4562BC AD BD CD AB =====∠DAC =45°∵∠ACE =15°∴∠CED =∠CAD +∠ACE =60° ∴2tan 60DC DE == ∴62AE AD DE =-=- 2BC CF AC CE==，∠ACB =∠ECF =45° 又∵AD ⊥BC ，∠BAC =90°，∴∠CAE =∠CBF =45°∴△ACE ∽△BCF∴2BF BC AE AC== ∴()262232BF =-=- ∵∠ADC =∠BDG∴∠G =∠ACB =45°∴223BG BD ==∴2FG BG BF =-=过点D 作DM ⊥BG 交BG 于M ，∵∠G =∠ACB =45°，∠BDG =90°∴=6DG BD CD ==∴232DM DG == ∴132DFG S FG DM ==△第二种情况：当E 在DA 的延长线上时过点D 作DM ⊥BG 交BG 于M ，同上可证2BF BC AE AC==，6BG BD ==，3DM =∵∠ACE =15°，∠DAC =45°∴∠DEC =30°∵AD ⊥CD ，6CD = ∴32tan 30DC DE == ∴=6DG BD CD == 326AE DE AD =-=- ∴2623FB AE ==-∴6FG BF BG =+=1332DFG S FG DM ==△ 故答案为：3或33．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，旋转的性质，三角函数等知识点，解题的关键在于能够熟练的掌握相关知识点．6．如图，ABD △和ACE △都是等边三角形．（1）连接CD 、BE 交于点P ，求∠BPD ；（2）连接PA ，判断线段PA 、PB 、PD 之间的数量关系并证明；（3）如图，等腰ABC 中AB ＝AC ，∠BAC ＝α（0＜α＜90），在ABC 内有一点M ，连接MA 、MB 、MC ．当MA ＋MB ＋MC 最小时，∠ABM ＝ （用含α的式子表示）答案：D解析：（1）60BPD ∠=︒（2）PD PB PA =+，证明见详解（3）1602α︒-【分析】（1）证明()DAC BAE SAS ≅，得ADC ABE ∠=∠，就可以证明60BPD DAB ∠=∠=︒；（2）在DP 上截取PF=PB ，连接BF ，证明()DBF ABP SAS ≅，得DF PA =，即可证明PD PB PA =+；（3）分别以AB 和AC 为边，向两边作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接BE 和CD ，交于点M ，连接AM ，此时MA MB MC ++最小，然后利用等腰三角形ADC ，求出ADC ∠的度数，即可得到ABM ∠的度数．【详解】解：（1）∵ABD △和ACE △是等边三角形，∴AD AB =，AC AE =，60DAB CAE ∠=∠=︒，∵DAB BAC CAE BAC ∠+∠=∠+∠，∴DAC BAE ∠=∠，在DAC △和BAE △中，AD AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()DAC BAE SAS ≅，∴ADC ABE ∠=∠，∵ADC DAB ABE BPD ∠+∠=∠+∠，∴60BPD DAB ∠=∠=︒；（2）如图，在DP 上截取PF=PB ，连接BF ，∵60BPD ∠=︒，PF PB =，∴PFB △是等边三角形，∴BF BP =，60FBP ∠=︒，∴DBA FBP ∠=∠，∵DBA FBA FBP FBA ∠-∠=∠-∠，∴DBF ABP ∠=∠，在DBF 和ABP △中，DB AB DBF ABP BF BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()DBF ABP SAS ≅，∴DF PA =，∵PD PF FD =+，∴PD PB PA =+；（3）如图，分别以AB 和AC 为边，作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接BE 和CD ，交于点M ，连接AM ，此时MA MB MC ++最小，由（2）中的结论可得MD MA MB =+，则当D 、M 、C 三点共线时MA MB MC ++最小，即CD 的长，由（1）得ADC ABM ∠=∠，∵AD AB AC ==，60DAC α∠=︒+，∴()1806016022ADC αα︒-︒+∠==︒-， ∴1602ABM α∠=︒-， 故答案是：1602α︒-．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，解题的关键是做辅助线构造全等三角形来进行证明求解．7．如图，BC ⊥CA ，BC ＝CA ，DC ⊥CE ，DC ＝CE ，直线BD 与AE 交于点F ，交AC 于点G ，连接CF ．（1）求证：△ACE ≌△BCD ；（2）求证：BF ⊥AE ；（3）请判断∠CFE 与∠CAB 的大小关系并说明理由．答案：C解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）∠CFE ＝∠CAB ，见解析【分析】（1）根据垂直的定义得到∠ACB ＝∠DCE ＝90°，由角的和差得到∠BCD ＝∠ACE ，即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠CBD ＝∠CAE ，根据对顶角的性质得到∠BGC ＝∠AGE ，由三角形的内角和即可得到结论；（3）过C 作CH ⊥AE 于H ，CI ⊥BF 于I ，根据全等三角形的性质得到AE ＝BD ，S △ACE ＝S △BCD ，根据三角形的面积公式得到CH ＝CI ，于是得到CF 平分∠BFH ，推出△ABC 是等腰直角三角形，即可得到结论．【详解】（1）证明：∵BC ⊥CA ，DC ⊥CE ，∴∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴∠BCD ＝∠ACE ，在△BCD 与△ACE 中，BC CA ACD ACE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△BCD ；（2）∵△BCD ≌△ACE ，∴∠CBD ＝∠CAE ，∵∠BGC ＝∠AGE ，∴∠AFB ＝∠ACB ＝90°，∴BF ⊥AE ；（3）∠CFE ＝∠CAB ，过C 作CH ⊥AE 于H ，CI ⊥BF 于I ，∵△BCD ≌△ACE ，∴ACE BCD AE BD,S S ∆∆==， ∴CH ＝CI ，∴CF 平分∠BFH ，∵BF ⊥AE ，∴∠BFH ＝90°，∠CFE ＝45°，∵BC ⊥CA ，BC ＝CA ，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠CAB ＝45°，∴∠CFE ＝∠CAB ．【点睛】角的和差、对顶角的性质这些知识点在证明全等和垂直过程中经常会遇到，需要掌握。
三角形旋转全等常见模型
1•绕点型（手拉手模型）（1 ）自旋转:自旋转构造放方法：①遇60°旋60°,构造等边三角形;②遇90°旋90°，构造等腰直角三角形;③遇等腰旋转顶角，构造旋转全等;④遇中点180°，构造中心对称。
（2）共旋转（典型的手拉手模型）例1、在直线ABC的同一侧作两个等边三角形4ABD和aBCE,连接AE与CD,证明：(1)A ABE^A DBC(2)) AE=DC(3)AE与DC的夹角为60。
(4)A AGB^A DFB(5)A EGB^A CFB(6)BH 平分N AHC(7)GFllAC变式练习1、如果两个等边三角形4ABD和aBCE,连接AE与CD,证明：(1) A ABE^A DBC(2 ) AE=DC(3)AE与DC的夹角为60。
(4)AE与DC的交点设为H,BH平分N AHC变式练习2、如果两个等边三角形MBD和aBCE,连接AE与CD,证明：⑴MBE空4DBC(2)AE=DC(3)AE与DC的夹角为60。
(4)AE与DC的交点设为H,BH平分N AHC(1)如图1,点C是线段AB上一点，分别以AC, BC为边在AB的同侧作等边MCM和4BN，连接AN,BM .分别取BM , AN的中点E,F,连接CE,CF,EF .观察并猜想^CEF的形状，并说明理由.（2）若将（1）中的“以AC, BC为边作等边MCM和482 改为“以AC, BC为腰在AB的同侧作等腰4ACM和4BN，〃如图2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由.例4、例题讲解：1.已知^ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B,C重合），以AD为边作菱形ADEF（按A,D,E,F逆时针排列），使NDAF=60°,连接CF.⑴如图1,当点D在边BC上时，求证：①BD=CF ,②AC=CF+CD.（2）如图2,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系。
(完整版)全等三角形的经典模型(一)
.3全等三角形的经典模型（一）满分晋级三角形 7级倍长中线与截长补短三角形 8级秋天班第二讲全等三角形的经典模型（一）三角形 9级全等三角形的经典模型（二）秋天班第三讲秋天班第四讲漫画释义舞弊？知识互联网题型一：等腰直角三角形模型思路导航等腰直角三角形数学模型思路：⑴利用特别边特别角证题（ AC=BC 或 90°，45 ，45 ） . 如图 1； ⑵常有协助线为作高，利用三线合一的性质解决问题 .如图 2；⑶补全为正方形 . 如图 3， 4.CC45° 45°BAABD图 1 图 2图3 图4典题精练【例 1】已知：以下图， Rt△ABC 中， AB=AC， BAC 90°， O 为 BC 的中点，⑴写出点 O 到△ ABC 的三个极点 A、 B、 C 的距离的关系（不要 B求证明）⑵假如点 M、 N 分别在线段 AC、 AB 上挪动，且在挪动中保持OAN=CM .试判断△ OMN 的形状，并证明你的结论 . N⑶假如点 M、 N 分别在线段 CA、 AB 的延伸线上挪动，且在挪动中保持 AN=CM，试判断⑵中结论能否依旧建立，假如是请给出证明．A CM【分析】⑴ OA=OB=OCB⑵连结 OA,∵OA=OCBAOC 45° AN=CMO ∴△ ANO ≌△ CMO∴ON=OM N∴NOA MOC∴NOA BONMOCBON 90 ∴NOM 90 A CM∴△ OMN 是等腰直角三角形⑶△ ONM 依旧为等腰直角三角形，证明：∵∠ BAC=90°， AB=AC，O 为 BC 中点∴∠ BAO=∠ OAC =∠ABC =∠ ACB=45°，∴AO=BO=OC，∵在△ANO 和△CMO 中，AN CMBAO C NBOAO COM AC ∴△ ANO≌△ CMO （ SAS）∴ON=OM，∠AON=∠COM ，又∵∠ COM∠ AOM =90°，∴△ OMN 为等腰直角三角形．M B 【例 2】两个全等的含 30o， 60o角的三角板ADE和三角板 ABC ，如 D图所示搁置， E, A,C 三点在一条直线上，连结BD ，取 BD的中点 M ，连结 ME ，MC．试判断△EMC的形状，并说明原因． ECA【分析】△ EMC 是等腰直角三角形．.证明：连结AM ．由题意，得DE AC , DAE BAC 90o , DAB90.oD ∴△DAB 为等腰直角三角形.∵DM MB，∴MA MB DM , MDA MAB 45o． E∴MDE MAC 105o，∴△EDM ≌ △CAM．∴EM MC, DME AMC ．又EMC EMA AMC EMA DME 90o．∴CM EM，∴△ EMC 是等腰直角三角形．【例 3】已知：如图，△ ABC 中，AB AC ，BAC ，D 是AC 的中90°点， AF BD于E，交BC于F，连结 DF．求证：ADB CDF ．【分析】证法一：如图，过点A作AN BC于 N，交BD于M．B ∵ AB AC ，BAC 90°，∴ 3 DAM 45°．∵ C ，∴ 3 C ．45°∵ AF BD，∴ 1 BAE 90°∵BAC ，∴．90°2BAE 90°∴ 1 2 ．在△ ABM 和△CAF 中，1B1 2AB AC3 C∴ △ ABM ≌△CAF ．∴ AM CF ．在△ ADM 和△CDF 中，AD CDDAM CAM CF∴△ADM ≌△CDF ．∴ADB CDF ．证法二：如图，作CM AC 交AF的延伸线于M．∵AF BD ，∴32 ，90°∵BAC ，90°∴ 1 2 90°，∴ 1 3 ．3 在△ ACM 和△BAD 中，BM BA CADEFCA3 2DMEN FCA21DEC.1 3AC ABACM BAD90°∴△ACM ≌△BAD ．∴ M ADB ，AD CM∵ AD DC ，∴ CM CD ．在△CMF 和△CDF 中，CF CFMCF DCF 45°CM CD∴ △CMF ≌△ CDF ．∴M CDF∴ADB CDF ．【例 4】如图，等腰直角△ ABC中，AC BC ， ACB 90°，P为△ ABC 内部一点，知足PB PC ，AP AC ，求证：BCP 15 ．AD AP PB CB C【分析】补全正方形ACBD ，连结 DP，易证△ ADP 是等边三角形，DAP 60 ，BAD 45 ，∴BAP 15 ，PAC 30 ，∴ACP 75 ，∴BCP 15 ．【研究对象】等腰直角三角形添加成正方形的几种常有题型在解相关等腰直角三角形中的一些问题，若碰到不易解决或解法比较复杂时，可将等腰直角三角形引协助线转变成正方形，再利用正方形的一些性质来解，经常能够起到化难为易的成效，进而顺利地求解。
中考数学全等三角形旋转模型知识归纳总结及解析
中考数学全等三角形旋转模型知识归纳总结及解析一、全等三角形旋转模型1．已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；（2）如图2，若∠AOB=120º，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．答案：C解析：（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析【分析】(1)结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断．(2)结论：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，证明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性质即可解决问题．【详解】解：（1）结论：CF=CG；证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；（2）CF=CG.理由如下：如图，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120º，∴CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），∴∠AOC=∠BOC=60º（角平分线的性质），∵∠DCE=∠AOC，∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60º，∴∠MCO=90º-60º =30º，∠NCO=90º-60º =30º，∴∠MCN=30º+30º=60º，∴∠MCN=∠DCE ，∵∠MCF=∠MCN-∠DCN ，∠NCG=∠DCE-∠DCN ，∴∠MCF=∠NCG ，在△MCF 和△NCG 中，CMF CNG CM CNMCF NCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MCF ≌△NCG （ASA ），∴CF=CG （全等三角形对应边相等）；【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等 ．2．（1）如图1，在OAB 和OCD 中，OA=OB ，OC=OD ，∠AOB=∠COD=40°，连接AC ，BD 交于点M ．求：①AC BD 的值； ②∠AMB 的度数．（2）如图2，在OAB 和OCD 中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC 交BD 的延长线于点M ．请判断AC BD的值及∠AMB 的度数，并说明理由； （3）在（2）的条件下，将OCD 点O 在平面内旋转，AC ，BD 所在直线交于点M ，若OD=2，OB=23，请直接写出当点C 与点M 重合时AC 的长．答案：A解析：（1）①1，②40°；（2）AC BD3∠AMB=90°，见解析；（3）33【分析】（1）①根据已知条件证明△COA ≌△DOB ，即可证明AC=BD ；②根据△COA ≌△DOB 可得∠CAO=∠DBO ，根据已知条件可得∠OAB+∠ABO=140°，然后在△AMB 中，根据等角的转换即可得到答案；（2）根据已知条件证明△AOC ∽△BOD ，可得∠CAO=∠DBO ，进而可得∠MAB=∠OAB+∠DBO ，最后可得∠AMB=180°-（∠OAB+∠ABM+∠DBO ）=90°；（3）分两种情况讨论，根据题（2），同理可得OAC OBD △△，90AMB ∠=︒，3AC BD=，设BD=x ，则3AC x = 用x 表示出AM 、BM 的长，在Rt AMB 中，根据勾股定理222AM BM AB +=列出方程，求解即可． 【详解】 解：（1）①如图1，∵∠AOB=∠COD=40°，∴∠COA=∠DOB ，∵OC=OD ，OA=OB ，∴△COA ≌△DOB （SAS ），∴AC=BD ，∴AC BD=1， ②∵△COA ≌△DOB ，∴∠CAO=∠DBO ，∵∠AOB=40°，∴∠OAB+∠ABO=140°，在△AMB 中，∠AMB=180°﹣（∠CAO+∠OAB+∠ABD ）=180°﹣（∠DBO+∠OAB+∠ABD ）=180°﹣140°=40°，（2）如图2，AC BD3∠AMB=90°，理由是：在Rt △COD 中，∠DCO=30°，∠DOC=90°， ∴3tan 303OD OC =︒=， 同理得：3tan 303OB OA =︒=， ∴OD OB OC OA=， ∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=∠BOD ，∴△AOC ∽△BOD ，∴AC OC BD OD==3，∠CAO=∠DBO ， 在△AMB 中，∠AMB=180°﹣（∠MAB+∠ABM ）=180°﹣（∠OAB+∠ABM+∠DBO ）=90°；（3）AC 的长为23或43．①如图，点C 与点M 重合，同理可得：OAC OBD △△，90AMB ∴∠=︒，3AC BD =设BD=x ，则3AC x =，在Rt ODC 中，30OCD ∠=︒，OD=2，4CD ∴=，在Rt AOB 中，30OAB ∠=︒，OB=23，43AB ∴=，在Rt AMB 中，222AM BM AB +=， 即222(3)(4)(43)x x ++=，解得：x=2或-4(舍)， AC=323x =；②如图，点C 与点M 重合，同理可得：90AMB ∠=︒，3AC BD =设BD=x ，则3x ，在Rt COD 中， 90OCD ∠=︒，OD=2，4CD ∴=，4BC x =-， 在Rt AOB 中，30OAB ∠=︒，3OB = 243AB OB ∴==，在Rt AMB 中，222AM BM AB +=，即222(3)(4)(43)x x +-=，解得：x=4或-2（舍），343x =综上所述，AC 的长为2343【点睛】本题主要考查三角形的综合运用，涉及全等三角形与相似三角形的性质和判定、勾股定理、解一元一次方程、图形旋转证明、特殊角的三角函数值等知识点，难度较大，第（1）题证明△COA ≌△DOB 是关键，第（2）题证明△AOC ∽△BOD 是关键，第（3）题要特别注意分情况讨论．3．如图1，在等腰Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝6，过点B 作BD ⊥AC 交AC 于点D ，点E 、F 分别是线段AB 、BC 上两点，且BE ＝BF ，连接AF 交BD 于点Q ，过点E 作EH ⊥AF 交AF 于点P ，交AC 于点H ．（1）若BF ＝4，求△ADQ 的面积；（2）求证：CH ＝2BQ ；（3）如图2，BE ＝3，连接EF ，将△EBF 绕点B 在平面内任意旋转，取EF 的中点M ，连接AM ，CM ，将线段AM 绕点A 逆时针旋转90°得线段AN ，连接MN 、CN ，过点N 作NR ⊥AC 交AC 于点R ．当线段NR 的长最小时，直接写出△CMN 的周长．答案：A解析：（1）1.8；（2）证明见解析；（3）3263351022+． 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质求出1322BD AD CD AC ====积相等和勾股定理分别求出AQ 和QD ，最后利用三角形面积公式即可求解；（2）如图，先作辅助线构造()AEH CFG ASA ∆∆≌，得到AH CG =，再通过转化得到2AH DQ =，最后利用AC ，得到一个相等关系，即()2AH HC BQ QD +=+，利用等式性质即可得到所求；（3）如图，通过做辅助线构造全等三角形确定出当HN ⊥AC ，且N 点位于H 、R 之间时，此时NR 的长最小，接着利用勾股定理和等腰直角三角形的性质，分别求出CM 、MN 、CN 的长，相加即可．【详解】解：6AB BC ==，°90ABC =∠，262AC ==∴又∵AC BD ⊥∴BD 平分AC ，且BD 是∠ABC 的角平分线 ∴1322BD AD CD AC ====Q 点到BA 和BC 边的距离相等； ∵4BF =， ∴6342ABQBFQ S S ∆∆==，∴32AQ FQ =，∵AF ===∴355AQ AF ==，∴5QD ===，∴1 1.825ADQ S ∆=⨯⨯=， ∴△ADQ 的面积为1.8．（2）如图，作CG ⊥AC ，垂足为C ，交AF 的延长线于点G ，∴°90ACG =∠∵°45ACB CAB ==∠∠，∴°45GCB CAB ==∠∠，∵EH ⊥AF ，∴°90EAP AEP +=∠∠,又∵°90EAP AFB +=∠∠∴AEP AFB =∠∠，∴AEP CFG =∠∠∵BE BF =，BA BC =∴AE CF =，在AEH ∆和CFG ∆中，AEH CFG AE CFEAH FCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()AEH CFG ASA ∆∆≌∴AH CG =；∵BD ⊥AC ，CG ⊥AC ，∴BD ∥CG ，∵D 点是AC 的中点，且BD ∥CG ，∴DQ 是ACG ∆的中位线，∴12DQ CG =， ∴2DQ CG AH ==； ∵AC =2BD ，∴()2AH HC BQ QD +=+，∵2AH DQ =，∴CH ＝2BQ ．（3）如图①，作AH ⊥AB ,且AH =AB ，∴∠NAH +∠HAM =∠HAM +∠BAM =90°，∴∠BAM =∠NAH ，∵AB =AH ，AM =AN ，∴()ABM AHN SAS ∆∆≌，∴HN =BM ，∵BE =BF =3，∠EBF =90°， ∴232EF BE ==∴由M 点是EF 的中点，可得1322BM EF == ∴32NH =， ∴N 点在以H 点为圆心，322为半径的圆上， 如图②，当HN ⊥AC ，且N 点位于H 、R 之间时，此时NR 的长最小， 为32NR HR HN HR =-=-∵∠BAC =45°，∴∠HAC =45°，∴∠AHN =45°，HR =AR ，∵222HR AR AH +=， ∴322HR AR ===， ∴323222NR HR =-=， ∵262AC AB ==∴32CR AC AR =-=， ∴()22333221022CN AN ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭， ∵∠MAN =90°，AM =AN ，∴235MN AN ==，∴∠ABM =45°，∴∠EBM =45°，∴F 点在BA 上，E 点在CB 延长线上，如图，作MP ⊥EC ，垂足为P ，∴1322BP MP EB ===， ∴315622PC PB BC =+=+=， ∴223262MC MP PC =+=， ∴3263351022MC MN CN ++=++， ∴△CMN 的周长为3263351022++．【点睛】本题综合考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、圆等知识，要求学生熟练掌握相关概念并能灵活应用它们，本题的综合性较强，难点在于作辅助线构造全等三角形以及线段之间的关系转化等，考查了学生综合分析和推理论证以及计算的能力，本题属于压轴题，蕴含了数形结合和转化的思想方法等．4．在平面直角坐标系中，点A 在y 轴正半轴上，点B 在x 轴负半轴上，BP 平分∠ABO ．（1）如图1，点T在BA延长线上，若AP平分∠TAO，求∠P的度数；（2）如图2，点C为x轴正半轴上一点，∠ABC＝2∠ACB，且P在AC的垂直平分线上．①求证：AP//BC；②D是AB上一点，E是x轴正半轴上一点，连接AE交DP于H．当∠DHE与∠ABE满足什么数量关系时，DP＝AE．给出结论并说明理由．答案：D解析：（1）45°；（2）①见解析；②∠DHE+∠ABE＝180°，理由见解析【分析】（1）由三角形的外角性质和角平分线的性质可得∠AOB＝2∠P＝90°，可求解；（2）①过点P作PE⊥AB交BA延长线于E，过点P作PF⊥BC于F，连接PC，由角平分线的性质可得PE＝PF，由垂直平分线的性质可得PA＝PC，由“HL”可证Rt△APE≌Rt△CPF，可得∠EPA＝∠CPF，由四边形内角和定理可得∠EBF+∠EPF＝180°，由角的数量关系可证∠ACB＝∠PAC，由平行线的判定可证AP∥BC；②如图3，在OE上截取ON＝OB，连接AN，通过证明△ADP≌△NEA，可得DP＝AE．【详解】解：（1）∵BP平分∠ABO，AP平分∠TAO，∴∠PBT＝12∠ABO，∠TAP＝12∠TAO，∵∠TAO＝∠ABO+∠AOB，∠TAP＝∠P+∠ABP，∴∠AOB＝2∠P＝90°，∴∠P＝45°；（2）①如图2，过点P作PE⊥AB交BA延长线于E，过点P作PF⊥BC于F，连接PC，又∵PB平分∠ABC，∴PE＝PF，∵P 在AC 的垂直平分线上， ∴PA ＝PC ， ∴∠PAC ＝∠PCA ， 在Rt △APE 和Rt △CPF 中，AP PCPE PF =⎧⎨=⎩， ∴Rt △APE ≌Rt △CPF （HL ）， ∴∠EPA ＝∠CPF ， ∴∠EPF ＝∠APC ，在四边形BEPF 中，∠EBF+∠BEP+∠EPF+∠PFB ＝180°， ∴∠EBF+∠EPF ＝180°， ∴∠ABC+∠APC ＝180°， ∵∠APC+∠PAC+∠PCA ＝180°， ∴∠ABC ＝∠PAC+∠PCA ＝2∠PAC ， ∵∠ABC ＝2∠ACB ， ∴∠ACB ＝∠PAC ， ∴AP ∥BC ；②当∠DHE+∠ABE ＝180°时，DP ＝AE ，理由如下：如图3，在OE 上截取ON ＝OB ，连接AN ，∵OB ＝ON ，AO ⊥BE ， ∴AB ＝AN ， ∴∠ABN ＝∠ANB ， ∵AP ∥BE ，BP 平分∠ABE ，∴∠APB ＝∠PBE ＝∠ABP ，∠ABN+∠BAP ＝180°， ∴AP ＝AB ， ∴AP ＝AN ，∵∠ANB+∠ANE ＝180°， ∴∠BAP ＝∠ANE ，∵∠DHE+∠ABE ＝180°，∠DHE+∠ABE+∠BDH+∠BEH ＝360°， ∴∠BDH+∠BEH ＝180°， ∵∠ADP+∠BDP ＝180°，∴∠ADP ＝∠AEN ， 在△ADP 和△NEA 中，DAP ANE ADP AEN AP AN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADP ≌△NEA （AAS ）， ∴DP ＝AE ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，四边形内角和定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 5．如图，直线y ＝﹣x +c 与x 轴交于点B （3，0），与y 轴交于点C ，过点B ，C 的抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴的另一个交点为A ．（1）求抛物线的解析式和点A 的坐标；（2）P 是直线BC 上方抛物线上一动点，PA 交BC 于 D ．设t ＝PDAD，请求出t 的最大值和此时点P 的坐标；（3）M 是x 轴上一动点，连接MC ，将MC 绕点M 逆时针旋转90°得线段ME ，若点E 恰好落在抛物线上，请直接写出此时点M 的坐标．答案：A解析：（1）y ＝﹣x 2+2x +3，A （﹣1，0）；（2）t 的最大值为916，此时P （32，154）；（3）M 933-，0933+0）． 【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可；（2）连接AC ，PC ，PB ，过点A 作AE ⊥BC 于E ，过等P 作PF ⊥BC 于F ．设P （m ，﹣m 2+2m +3）．利用相似三角形的性质构建二次函数解决问题即可；（3）过点E 作EH ⊥x 轴于H ．设M （m ，0），利用全等三角形的性质求出点E 的坐标（用m 表示），再利用待定系数法解决问题即可． 【详解】解：（1）∵直线y ＝﹣x +c 与x 轴交于点B （3，0），与y 轴交于点C ， ∴0＝﹣3+c ，解得c ＝3，∴C（0，3），∵抛物线经过B，C，∴9303b cc-++=⎧⎨=⎩，解得23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，得到﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0）；（2）如图，连接AC，PC，PB，过点A作AE⊥BC于E，过点P作PF⊥BC于F．设P（m，﹣m2+2m+3）．∵AE∥PF，∴△PFD∽△AED，∴PDAD ＝PFAE，∵S△PBC＝12•BC•PF，S△ACB＝12•BC•AE，∴PDAD ＝PBCABCSS∆∆，∵S△ABC＝12•AB•OC＝12×4×3＝6，∴t＝PDAD ＝6PBCS∆＝211133(23)332226m m m⨯⨯+⨯⨯-++-⨯⨯＝﹣14m2+34m＝﹣14（m﹣32）2+916，∵﹣14＜0，∴m＝32时，t有最大值，最大值为916，此时P（32，154）；（3）如图，过点E作EH⊥x轴于H，∵∠COM ＝∠EHM ＝∠CME ＝90°，∴∠EMH +∠CMH ＝90°，∠EMH +∠MEH ＝90°， ∴∠MEH ＝∠CMO ， ∵MC ＝ME ，∴△COM ≌△MHE （AAS ），∴OC ＝MH ＝3，OM ＝EH ，设M （m ，0），则E （m ﹣3，﹣m ），把E （m ﹣3，﹣m ）代入y ＝﹣x 2+2x +3，可得﹣（m ﹣3）2+2（m ﹣3）+3＝﹣m ， 整理得，m 2﹣9m +12＝0， 解得m ＝9332-或9332+， ∴M （9332-，0）或（9332+，0）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，解题的关键是利用数形结合的思想，在二次函数图象上构造全等三角形或相似三角形，利用几何的性质进行点坐标的求解．6．问题：如图（1），点M 、N 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，∠MAN ＝45°，试判断 BM 、MN 、ND 之间的数量关系． （1）研究发现如图1，小聪把△ADN 绕点A 顺时针旋转90°至△ABG ，从而发现BM 、MN 、DN 之间的数量关系为 （直接写出结果，不用证明） （2）类比引申如图2，在（1）的条件下，AM 、AN 分别交正方形ABCD 的对角线BD 于点E 、F ．已知EF＝5，DF＝4．求BE的长．（3）拓展提升如图3，在（2）的条件下，AM、AN分别交正方形ABCD的两个外角平分线于Q、P，连接PQ．请直接写出以BQ、PQ、DP为边构成的三角形的面积．答案：B解析：（1）BM+DN＝MN，理由见解析；（2）BE＝3；（3）以BQ、PQ、DP为边构成的三角形的面积为36．【分析】（1）结论是：BM+DN＝MN，如图1，利用三角形AND旋转90º得三角形ABG，∠DAN=∠BAG，可证∠GAM=∠GAB+∠BAM=∠MAN，利用SAS证△AMN≌△AMG即可；（2）如图2，按同样方法△AFD顺时针旋转90º，使AD与AB重合，得△ABF′，连结EF′，△BEF′是直角三角形，用勾股定理求EF′=5，再证△AEF≌△AEF即可；（3）如图3，由（2）可得BD=12，可求正方形边长，构建△P′AQ，P′B=DP，将△ADP顺时针转90º，AD与AB重合，得△BQP′，连OP′，可证△BQP′是直角三角形，可证PQ=P′Q，再证△ABQ∽△PDA，将△P′BQ面积=12BQ•BP′=12BQ•DP=12AD•AB可求．【详解】（1）如图1，BM+DN＝MN，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABC＝∠BAD＝90°，小聪把△ADN绕点A顺时针旋转90°至△ABG，由旋转可得：BG＝DN，AN＝AG，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴∠ABG+∠ABM＝90°+90°＝180°，因此，点G，B，M在同一条直线上，∵∠MAN＝45°，∴∠2+∠3＝∠BAD﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°，∵∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝45°，∴∠GAM＝∠MAN，∵AM＝AM，∴△AMN≌△AMG（SAS），∴MN＝GM，∵GM ＝BM +BG ＝BM +DN ， ∴BM +DN ＝MN ； 故答案为：BM +DN ＝MN ；（2）如图2，把△ADF 绕点A 顺时针旋转90°至△ABF '，连接EF '，∴AF ′ ＝AF ，∠DAF ＝∠BAF '，∠ABF ′ ＝∠ADF ＝45°，BF ′ ＝DF ＝4， ∵∠ABE ＝45°，∴∠EBF ′ ＝45°+45°＝90°， ∵AE ＝AE ，同理得△EAF ≌△EAF '（SAS ）， ∴EF '＝EF ＝5，在Rt △EBF '中，由勾股定理得：BE ＝()()2222EF +BF =5-4=3''＝3；（3）由（2）知：BE ＝3，EF ＝5，DF ＝4， ∴BD ＝3+4+5＝12，由勾股定理得：AB 2+AD 2＝BD 2， ∵AB ＝AD ， ∴AB 2＝72，如图3，把△ADP 绕点A 顺时针旋转90°至△ABP '，连接BP ′，则∠ABP′＝∠ADP ，PD ＝P ′B ，AP ＝AP ′，∵AM 、AN 分别交正方形ABCD 的两个外角平分线于Q 、P ， ∴∠ADP ＝∠ABQ ＝135°， ∴∠DAP +∠APD ＝45°， ∵∠DAP +∠BAQ ＝45°， ∴∠BAQ ＝∠APD ，∴△ADP ∽△QBA ，∴AD PD=BQ AB， ∴BQ •PD ＝AD •AB ＝72， ∵∠ABP '＝∠ABQ ＝135°， ∴∠QBP '＝360°﹣135°﹣135°＝90°， ∴S △BP 'Q ＝12BQ•BP′＝12BQ•DP ＝12×72＝36， ∵AP ＝AP '，∠PAQ ＝∠P 'AQ ，AQ ＝AQ ， ∴△QAP ≌△QAP '（SAS ）， ∴PQ ＝P 'Q ，∴以BQ 、PQ 、DP 为边构成的三角形的面积为36． 【点睛】本题是感知，探究，创新新题型，主要考查了学生对正方形的性质，旋转变换，勾股定理及全等三角形与相似三角形的判定方法的综合运用．关键是灵活掌握所学知识，同时会从感知中学到方法，结合下一图形，找到解决问题的方法，以及突破口，在创新中，注意把给出的问题进行转化，利用转化思想来解决．7．如图，在四边形ABCD 中，AB AC =，AD 是对角线，60BAC ∠=︒，4B C ADB BAC ∠+∠+∠=∠，（1）求ADC ∠的度数；（2）若AD BD CD =+，求证：AD 平分BDC ∠；（3）在（2）的条件下，E 、F 分别在AC 、AB 上，连接BE 、CF ，交于点P ，使得BPC BDC ∠=∠，若7BD EF ==，15AD =，求EFP ∆的面积答案：A解析：（1）=60∠︒ADC ；（2）证明见详解；（3）4003129． 【分析】（1）先由四边形内角和得到++300B C BDC ∠∠∠=︒，再由4B C ADB BAC ∠+∠+∠=∠可得答案；（2）把ABD △绕点A 逆时针旋转60︒得到ACE △，由（1）及题意易得D 、C 、E 三点共线，从而得到ADE 是等边三角形，由等边三角形的性质及旋转的性质易得60ADB E ∠=∠=︒，故得证；（3）过点B 、点F 分别作BG ⊥CD ，FH ⊥AC ，分别交CD 的延长线于点G 、AC 于点H ，连接BC ，由（2）及题意易得DC=8，由BPC BDC ∠=∠易得EBC FCA ∠=∠，进而得到AFC CEB △≌△，设AF=CE=x ，根据勾股定理得到AF 、CE 、BC 的长，最后根据BFE BPC 、的面积比等于FP 与PC 的比，进而求解即可． 【详解】（1）解：=60BAC ∠︒，∴++36060300B C BDC ∠∠∠=︒-︒=︒， 又BDC ADB ADC ∠=∠+∠，4B C ADB BAC ∠+∠+∠=∠，∴30024060ADC ∠=︒-︒=︒； （2）证明：把ABD △绕点A 逆时针旋转60︒得到ACE △，由（1）得：∴AD=AE ，BD=CE ，=ADC=60DAE ∠∠︒AD BD CD =+，DE=DC+CE ，∴D 、C 、E 三点共线，∴ADE 是等边三角形，∴60ADB E ∠=∠=︒， ∴60ADB ADC ∠=∠=︒，∴AD 平分BDC ∠； （3）解：过点B 、点F 分别作BG ⊥CD ，FH ⊥AC ，分别交CD 的延长线于点G 、AC 于点H ，连接BC ，由题意及（2）可得：ABC 是等边三角形，120BDC ∠=︒,∴AB=AC=BC ，60BDG ∠=︒，7BD EF ==，15AD =，∴72DG =，BG =，DC=AD-BD=8， ∴723822GC GD DC =+=+=，在Rt BGC △中，13BC ===， 又=120BPC BDC ∠=∠︒，∴18012060PBC PCB ∠+∠=︒-︒=︒，60ECP PCB ∠+∠=︒，∴=ECP EBC ∠∠，=60,FAC BCA AC BC ∠∠=︒=，∴AFC CEB △≌△，∴CE=AF ，设13,131322CE AF x AE x AH x FH x EH x ==∴=-==∴=-，，，，∴在Rt FHE 中，222FH EH EF +=即22231372x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭⎝⎭，解得125,8x x ==，①当CE=AF=5时，则AE=8，∴11132224BECAFCSSAC FH ==⋅=⨯⨯=16944ABEABCBECSSS =-=-=∴BFE ABEAFESSS=-==设BFPEFPBPCEPCSa Sb Sc Sd ====，，，，则有：a cb d FP PC ==∶∶∶，,BFE BFPFEP BEC BPCEPC S SSSSS=+=+，∴BFEBECSSFP PC =∶∶，∴6465BFE BECSS FP PC =∶∶，又1152224FECSCE FH =⋅=⨯⨯=，∴64641291294129EFP FECSS ==⨯=； ②当CE=AF=8时，AE=5，则有：∴111322BEAAFCSSAC FH ==⋅=⨯=，1694CBEABCBECSSS =-==∴65325310344BFEABEAFESSS=-=-=由①可得：25325=3=4104BFEBECSS FP PC =∶∶∶26， 又1184316322FECSCE FH =⋅=⨯⨯= ∴25254003163129129129EFPFECSS ==⨯=； 综上所述：4003129EFPS =． 【点睛】本题主要考查三角形与四边形的综合问题，主要是利用全等三角形、等边三角形、三角形面积比的转换及勾股定理，熟练掌握各个知识点是解题的关键，尤其是第三问的面积转换问题是本题的难点． 8．如图，抛物线y ＝24x 2+2x ﹣62交x 轴于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于C 点，D 点是该抛物线的顶点，连接AC 、AD 、CD ． （1）求△ACD 的面积；（2）如图，点P 是线段AD 下方的抛物线上的一点，过P 作PE ∥y 轴分别交AC 于点E ，交AD 于点F ，过P 作PG ⊥AD 于点G ，求EF+52FG 的最大值，以及此时P 点的坐标； （3）如图，在对称轴左侧抛物线上有一动点M ，在y 轴上有一动点N ，是否存在以BN 为直角边的等腰Rt △BMN ？若存在，求出点M 的横坐标，若不存在，请说明理由．答案：A解析：（1）24；（2）最大值为22，点P （﹣2，﹣1522）；（3）存在，点M 的2262﹣6． 【分析】（1）先求出抛物线与坐标轴的交点坐标和顶点坐标，再用待定系数法求得AC 的解析式，进而求出点N 、D 的坐标，再根据三角形的面积公式求出结果；（2）证明EF+52FG 即为EP 的长度，即可求解； （3）分∠BNM 为直角、∠MBN 为直角，利用三角形全等即可求解． 【详解】 解：（1）令x ＝0，得202062624y =⨯+⨯-=-， ∴C （0，﹣62），令y ＝0，得2226204y x x =+-=， 解得162x =-，222x =，∴A （62-，0），点B （22，0），设直线AC 的解析式为：y ＝kx+b （k ≠0），则62062k b b ⎧-+=⎪⎨=-⎪⎩， ∴162k b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∴直线AC 的解析式为：62y x =--，∵()2222262228244y x x x =+-=+-，∴D （22-，82-），过D 作DM ⊥x 轴于点M ，交AC 于点N ，如图，令22x =-，(226242y =---=-N （22-，42-∴42DN =∴1142622422ACD S DN AO =⋅=⨯=； （2）如图，过点D 作x 轴的平行线交FP 的延长线于点H ，由点A 、D 的坐标得，直线AD 的表达式为：2122y x =--∴tan ∠FDH ＝2，则sin ∠FDH 2555=， ∵∠HDF+∠HFD ＝90°，∠FPG+∠PFG ＝90°，∴∠FDH ＝∠FPG ，在Rt △PGF 中，PF ＝FG sin G FP ∠＝ FG sin FDH ∠255=5FG ， 则5FG ＝EF+PF ＝EP ， 设点P （x ，22224x x +-E （x ，62x -- 则5FG ＝EF+PF ＝EP ＝222262262344x x x x x ⎛--+-=-- ⎝， ∵2＜0，故EP 有最大值，此时x ＝﹣2b a ＝﹣292 当x ＝32-2215226242y x x =+-=-， 故点P （32-1522-）； （3）存在，理由： 设点M 的坐标为（m ，n ），则222624n m m =+-，点N （0，s ）， ①当∠MNB 为直角时，如图，过点N 作x 轴的平行线交过点B 与y 轴的平行线于点H ，交过点M 与y 轴的平行线于点G ，∵∠MNG+∠BNH ＝90°，∠MNG+∠GMN ＝90°，∴∠GMN ＝∠BNH ，∵∠NGM ＝∠BHN ＝90°，MN ＝BN ，∴△NGM ≌△BHN （AAS ），∴GN ＝BH ，MG ＝NH ， 即22n s -=且m s -=-，联立并解得：226m =-±（舍去正值），故226m =--，则点M （226--，226-）； ②当∠NBM 为直角时，如图，过点B 作y 轴的平行线交过点N 与x 轴的平行线于点G ，交过点M 与x 轴的平行线于点H ，同理可证：△MHB ≌△BGN （AAS ）， 则BH ＝NG ，即22n =- 当22n =-时，2222224m m +-=-2226m = 故2226m =M （2226，22-）；综上，点M 的横坐标为226-2226．【点睛】本题考查二次函数的综合题，涉及三角形面积的求解，用胡不归原理求最值，等腰直角三角形的存在性问题，解题的关键是需要掌握这些特定题型的特定解法，熟练运用数形结合的思想去解决问题．9．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 与x 轴交于A ，B 两点，其中A （3，0），B （﹣1，0），与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，直线y ＝kx+b 1经过点A ，C ，连接CD ． （1）求抛物线和直线AC 的解析式：（2）若抛物线上存在一点P ，使△ACP 的面积是△ACD 面积的2倍，求点P 的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q ，使线段AQ 绕Q 点顺时针旋转90°得到线段QA 1，且A 1好落在抛物线上？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．答案：A解析：（1）2y x 2x 3=-++；3y x =-+ ；（2）（﹣1，0）或（4，﹣5）；（3）存在；（1，2）和（1，﹣3）【分析】（1）将点A ，B 坐标代入抛物线解析式中，求出b ，c 得出抛物线的解析式，进而求出点C 的坐标，再将点A ，C 坐标代入直线AC 的解析式中，即可得出结论；（2）利用抛物线的对称性得出BD ＝AD ，进而判断出△ABC 的面积和△ACP 的面积相等，即可得出结论；（3）分点Q 在x 轴上方和在x 轴下方，构造全等三角形即可得出结论．【详解】解：（1）把A （3，0），B （﹣1，0）代入y ＝﹣x 2+bc+c 中，得93010b c b c -++=⎧⎨--+=⎩， ∴23b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x+3，当x ＝0时，y ＝3，∴点C 的坐标是（0，3），把A （3，0）和C （0，3）代入y ＝kx+b 1中，得11303k b b +=⎧⎨=⎩， ∴113k b =-⎧⎨=⎩∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3；（2）如图，连接BC，∵点D是抛物线与x轴的交点，∴AD＝BD，∴S△ABC＝2S△ACD，∵S△ACP＝2S△ACD，∴S△ACP＝S△ABC，此时，点P与点B重合，即：P（﹣1，0），过B点作PB∥AC交抛物线于点P，则直线BP的解析式为y＝﹣x﹣1①，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3②，联立①②解得，1xy=-⎧⎨=⎩或45xy=⎧⎨=-⎩，∴P（4，﹣5），∴即点P的坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）；（3）如图，①当点Q在x轴上方时，设AC与对称轴交点为Q'，由（1）知，直线AC的解析式为y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝2，∴Q'坐标为（1，2），∵Q'D＝AD＝BD＝2，∴∠Q'AB＝∠Q'BA＝45°，∴∠AQ'B＝90°，∴点Q'为所求，②当点Q在x轴下方时，设点Q（1，m），过点A1'作A1'E⊥DQ于E，∴∠A1'EQ＝∠QDA＝90°，∴∠DAQ+∠AQD＝90°，由旋转知，AQ＝A1'Q，∠AQA1'＝90°，∴∠AQD+∠A1'QE＝90°，∴∠DAQ＝∠A1'QE，∴△ADQ ≌△QEA 1'（AAS ），∴AD ＝QE ＝2，DQ ＝A 1'E ＝﹣m ，∴点A 1'的坐标为（﹣m+1，m ﹣2），代入y ＝﹣x 2+2x+3中，解得，m ＝﹣3或m ＝2（舍），∴Q 的坐标为（1，﹣3），∴点Q 的坐标为（1，2）和（1，﹣3）．【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及解析式的求解，与三角形面积有关的问题，三角形“k”字型全等，解题的关键是利用数形结合的思想，设点坐标并结合几何图形的性质列式求解．10．回答下列问题：（1）（发现）如图1，点A 为线段BC 外一动点，且4BC =，2AB =．填空：线段AC 的最大值为 ．图1（2）（应用）点A 为线段BC 外一动点，且3BC =，2AB =，如图2所示，分别以AB ，AC 为边，作等腰直角ABD △和等腰直角ACE ，连接CD ，BE ．图2①证明：BE DC =．②求线段BE 的最大值．（3）（拓展）如图3，在平面直角坐标系中，直线l ；4y x =+与坐标轴交于点A 、B 两点，点C 为线段AB 外一动点，且2CB =，以AC 为边作等边ACD △，连接BD ，求线段BD 长的最大值并直接写出此时点C 的横坐标．图3答案：A解析：（1）6（2）①证明见解析． ②322+（3）42226-26+ 【分析】(1)根据点A 位于CB 的延长线上时，线段AC 的长取得最大值，即可得到结论；(2) ①由“SAS” 可证△DAC ≌△BAE ，可得BE=DC ；②由于线段长BE 的最大值=线段DC 的最大值，根据(1)中的结论即可得到结果，(3)以BC 为边作等边三角形BCE ，可以证明△ACE ≌△DCB(SAS) ，从而得到BD=AE ，BE=BC ，由AE≤AB+BE ，当且仅当A 、B 、E 三点共线时，AE 取得最大值，即BD 取得最大值，当BD 取得最大值时，①当C 在直线AB 的上方时，过C 作CH ⊥y 轴于H ，作BC 的垂直平分线交BH 于N ，求出CH 的长度，即可求出点C 的横坐标，②当C 在直线AB 的下方时，按同①的方法也可以求出点C 的横坐标．【详解】（1）当A 在选段BC 的延长线上时， max 6AC AB BC =+=．（2）①∵等腰直角AEC 与等腰直角三角形ABD ，∴AD AB =，AE AC =，90DAB EAC ∠=∠=︒，∴DAB BAC EAC BAC ∠+∠=∠+∠，∴DAC EAB ∠=∠，在DAC △和BAE 中，DA BA DAC BAE AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS DAC BAE ≌△△， ∴BE CD =．②由①可知，BE DC =，∵线段BE 的最大值即线段DC 的最大值． 在等腰直角ABD △中，222BD AB ==，∵CD BC BD ≤+，∴当点D 在CB 的延长线上时， CD 取得最大值为322+．∴线段BE 的最大值为322+．（3）如图，以BC 为边作等边三角形BCE ，则BC CE =，60BCE ∠=︒．∵60ACD ∠=︒，∴ACD ECD BCE ECD ∠-∠=∠-∠， ∴ACE DCB ∠=∠．在ACE 与DCB 中，AC DC ACE DCB CE CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ACE DCB ≌△△， ∴BD AE =．对于一次函数4y x =+，令0x =，则4y =， ∴()0,4B ，令0y =，则4x =-，∴()4,0A -．∴224442AB =+=又∵2BE BC ==，∴AE AB BE ≤+，∴当且仅当A 、B 、E 三点共线时， AE 取得最大值，即BD 取得最大值为422+；当BD 取得最大值时，①当C 在直线AB 的上方时过C 作CH y ⊥轴于H ，∵45ABO HBE ∠=∠=︒，60CBE ∠=︒， ∴15CBH CBE HBE ∠=∠-∠=︒， 作BC 的垂直平分线交BH 于N ，∴CN BN =，15NCB NBC ∠=∠=︒， ∴30CNB ∠=︒，在Rt CHN △中，设CH x =．则3HN x =， 2CN x =，∴2BN x =，∴)32BH HN BN x =+=， 在Rt BHC △中，22222HC BH BC +==， ∴)222322x x ⎡⎤+=⎣⎦， 整理得(227434x x ++=， 223x =，)12312x =，)22312x =-（舍）， ∴62CH -=∴点C 的横坐标为262-． ②当C 在直线AB 的下方时，过C 作CL ⊥y 轴于L ，∵∠ABO=45°，∠CBE=60°，∴∠CBL=180°-∠CBE−∠ABO=75°，∴∠BCL=15°，作BC 的垂直平分线交BL 于M ，∴CM=BM ，∠MCB=∠MBC=15°，∴∠LMB=30°，在Rt △CLB 中，设BL=y ．则3，BM=2y ， ∴CM=2y ，∴3+2)y ，在Rt △BLC 中，BL 2+CL 2=BC 2=22，∴)222322y y ⎡⎤+=⎣⎦， 整理得(227434y y ++=， 223y = )1231y =，)2231y =（舍去）， 622BL =∴CL=)32BL 26+所以点C 的横坐标为：262+ 综合以上可得点C 的横坐标为：262-或 262+ 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判.定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性质正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.11．如图，在等边三角形ABC 中，点D 是射线CB 上一动点，连接DA ，将线段DA 绕点D 逆时针旋转60°得到线段DE ，过点E 作EF ∥BC 交直线AB 于点F ，连接CF ．（1）如图1，若点D 为线段BC 的中点，则四边形EDCF 是 ；（2）如图2，若点D 为线段CB 延长线上任意一点，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）若点D 为射线CB 上任意一点，当∠DAB ＝15°，△ABC 的边长为2时，请直接写出线段BD 的长．答案：A解析：（1）平行四边形；（2）成立，见解析；（3）423-或31-．【分析】（1）证明△ADB ≌△DEO （AAS ）和四边形EOBF 为平行四边形，进而求解；（2）证明△OED ≌△DAC （SAS ），则∠EOD ＝∠ACD ＝60°＝∠ABC ，故OE ∥AB ，进而求解；（3）分点D 在线段BC 上、点D （D ′）在BC 的延长线上两种情况，利用勾股定理和等腰直角三角形的性质分别求解即可．【详解】解：（1）过点E 作DE 的垂线交CB 的延长线于点O ，设BA 交ED 于点R ，∵点D为线段BC的中点，则AD⊥BC且∠BAD＝30°，∵∠ADE＝60°，∴∠EDB＝∠ADB﹣ADE＝90°﹣60°＝30°，∵EF∥BC，∴∠EFD＝∠ABC＝60°，∠FED＝∠EDO＝30°，∴∠ERF＝90°，∴DE⊥AB，∵AD＝ED，∠BAD＝∠EDO＝30°，∠ADB＝∠DEO＝90°，∴△ADB≌△DEO（AAS），∴OE＝BD＝12BC＝12AB，则OB＝OD﹣BD＝AB﹣12AB＝12AB，∴OB＝BD＝CD，∵OE⊥DE，DE⊥AB，∴OE∥AB，∵EF∥BC，∴四边形EOBF为平行四边形，∴EF＝OB＝CD，而EF∥CD，∴四边形EFCD为平行四边形，故答案为：平行四边形；（2）如图2，在CD的延长线上截取DO＝AC，连接OE，设∠ADC的度数为α，∵∠EDO＝180°﹣∠EDA﹣∠ADC＝180°﹣60°﹣α＝120°﹣α，∠DAC＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝120°﹣α＝∠EDO，而AC＝OD，DE＝AD，∴△OED≌△DAC（SAS），∴∠EOD＝∠ACD＝60°＝∠ABC，∴OE∥AB，而EF∥BC，∴四边形EFCD为平行四边形；（3）①当点D在线段BC时，过点A 作AH ⊥BC ，则∠BAH ＝30°，而∠DAB ＝15°，BH ＝12BC ＝1， 即BD 是∠BAH 的角平分线，过点D 作DG ⊥AB 于点G ，设DH ＝x ，则DG ＝DH ＝x ，BD ＝BH ﹣DH ＝1﹣x ，在△BDG 中，∠BDG ＝30°，则BG ＝12BD ＝12x - 由勾股定理得：()21x -＝212x -⎛⎫ ⎪⎝⎭+2x ，解得：x ＝233-， ∴BD ＝1﹣x ＝423-，②当点D （D ′）在BC 的延长线上时，∵∠BAD ′＝15°，∴∠D ′AH ＝30°+15°＝45°，则D ′H ＝AH ＝2213-=，∴BD ′＝D ′H ﹣BH ＝31-；综上，BD 的长度为423-或31-．【点评】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形性质、三角形全等、等边三角形性质等知识点，综合性强，难度较大．12．如图，△ABC 中，O 是△ABC 内一点，AO 平分∠BAC ，连OB ，OC ．（1）如图1，若∠ACB ＝2∠ABC ，BO 平分∠ABC ，AC ＝5，OC ＝3，则AB ＝ ； （2）如图2，若∠CBO +∠ACO ＝∠BAC ＝60°，求证：BO 平分∠ABC ；（3）如图3，在（2）的条件下，若BC ＝3B 绕点O 逆时针旋转60°得点D ，直接写出CD 的最小值为 ．答案：A解析：（1）8；（2）见解析；（3）33【分析】（1）先补充证明角平分线的性质定理：如图，△ABC中，AD是角平分线，则：BD DC＝AB AC ．如图1中，延长CO交AB于E，由OA平分∠EAC，推出AEAC＝OEOC，推出AEEO＝AC OC ＝53，设AE＝5k，OE＝3k，利用相似三角形的性质构建方程求出k即可解决问题．（2）如图2中，过点O作EF⊥OA交AB于E，交AC于F，作CG∥EF交AB于G，连接OG．证明△AGO≌△ACO（SAS），推出OG＝OC，推出∠OGC＝∠OCG，证明O，G，B，C 四点共圆，可得结论．（3）如图3中，以BC为边向上作等边△BCH，连接OH，作HM⊥BC于M．证明△HBO≌△CBD（SAS），推出OH＝CD，由（2）可知∠BOC＝120°，推出当点O落在HM 上时，OH的值最小．【详解】解：（1）先补充证明角平分线的性质定理：如图，△ABC中，AD是角平分线，则：BD DC＝AB AC．理由：过C作CE∥DA，交BA的延长线于E，∵CE∥DA，∴∠1＝∠E，∠2＝∠3，∠1＝∠2，∴∠E＝∠3，∴AE＝AC，∵BDDC ＝BAAE，∴BDDC ＝ABAC．如图1中，延长CO交AB于E，∵OA平分∠EAC，∴AEAC＝OEOC，∴AEEO ＝ACOC＝53，设AE＝5k，OE＝3k，∵OB平分∠ABC，∴OC平分∠ACB，∵∠ACB＝2∠ABC，∴∠BCE＝12∠ACB＝∠EBC，∴EB＝EC＝3k+3，∵∠ACE＝∠ABC，∠CAE＝∠BAC，∴△ACE∽△ABC，∴ACAB ＝AEAC，∴5533k k ＝55k，解得k＝58或﹣1（舍弃），∴AB＝8k+3＝8．故答案为：8．（2）如图2中，过点O作EF⊥OA交AB于E，交AC于F，作CG∥EF交AB于G，连接OG．∵AO平分∠AEF，∴∠OAE＝∠OAF，∵AO＝AO，∠AOE＝∠AOF＝90°，∴△AOE≌△AOF（ASA），∴AE＝AF，∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF＝∠AFE＝60°＝∠FOC+∠FCO，∵∠OBC+∠FCO＝60°，∴∠FOC＝∠OBC，∵EF∥CG，∴∠AGC＝∠AEF＝60°，∠ACG＝∠AFE＝60°，∴∠AGC＝∠ACG，∴AG＝AC，∵∠GAO＝∠CAO，AO＝AO，∴△AGO≌△ACO（SAS），∴OG＝OC，∴∠OGC＝∠OCG，∵∠FOC＝∠OCG，∴∠OBC＝∠OGC，∴O，G，B，C四点共圆，∴∠ABO＝∠OCG，∴∠ABO＝∠OBC，∴OB平分ABC．（3）如图3中，以BC为边向上作等边△BCH，连接OH，作HM⊥BC于M．∵△OBD，△BCH都是等边三角形，∴∠HBC＝∠OBD＝60°，BH＝BC，BO＝BD，∴∠HBO＝∠CBD，∴△HBO≌△CBD（SAS），∴OH＝CD，由（2）可知∠BOC＝120°，∴当点O落在HM上时，OH的值最小，此时OH＝HM﹣OM＝33∴CD的最小值为33．故答案为：33【点睛】本题主要考查角平分线、三角形相似的判定和性质、三角形全等的判定和性质、等边三角形等相关知识点，解题关键在于作出辅助线构造相应图形．13．如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．解析：（1）PM ＝PN ，PM ⊥PN ；（2）△PMN 是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S △PMN 最大＝492． 【分析】（1）由已知易得BD CE =，利用三角形的中位线得出12PM CE =，12PN BD =，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出//PM CE 得出DPM DCA ∠=∠，最后用互余即可得出位置关系；（2）先判断出ABD ACE ∆≅∆，得出BD CE =，同（1）的方法得出12PM BD =，12PN BD =，即可得出PM PN =，同（1）的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠，即可得出结论；（3）方法1：先判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN 最大AM AN =+，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD 最大时，PMN ∆的面积最大，而BD 最大是14AB AD +=，即可得出结论．【详解】解：（1）点P ，N 是BC ，CD 的中点，//PN BD ∴，12PN BD =， 点P ，M 是CD ，DE 的中点， //PM CE ∴，12PM CE =，AB AC =，AD AE =，BD CE ∴=，PM PN ∴=，//PN BD ，DPN ADC ∴∠=∠，//PM CE ，DPM DCA ∴∠=∠，90BAC ∠=︒，90ADC ACD ∴∠+∠=︒，90MPN DPM DPN DCA ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，PM PN ∴⊥，故答案为：PM PN =，PM PN ⊥；（2）PMN ∆是等腰直角三角形．由旋转知，BAD CAE ∠=∠，AB AC =，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，ABD ACE ∴∠=∠，BD CE =， 利用三角形的中位线得，12PN BD =，12PM CE =， PM PN ∴=，PMN ∴∆是等腰三角形，同（1）的方法得，//PM CE ，DPM DCE ∴∠=∠，同（1）的方法得，//PN BD ，PNC DBC ∴∠=∠，DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠，MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠，90BAC ∠=︒，90ACB ABC ∴∠+∠=︒，90MPN ∴∠=︒，PMN ∴∆是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，PMN ∆是等腰直角三角形，MN ∴最大时，PMN ∆的面积最大，//DE BC ∴且DE 在顶点A 上面，MN ∴最大AM AN =+，连接AM ，AN ，在ADE ∆中，4AD AE ==，90DAE ∠=︒，22AM ∴=在Rt ABC ∆中，10AB AC ==，52AN =22522MN ∴=最大，222111149(72)22242PMN S PM MN ∆∴==⨯=⨯=最大． 方法2：由（2）知，PMN ∆是等腰直角三角形，12PM PN BD ==， PM ∴最大时，PMN ∆面积最大，∴点D 在BA 的延长线上，14BD AB AD ∴=+=，7PM ∴=，2211497222PMN S PM ∆∴==⨯=最大． 【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出12PM CE =，12PN BD =，解（2）的关键是判断出ABD ACE ∆≅∆，解（3）的关键是判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大．14．如图所示，ABC ∆中，1AB BC ==，90ABC ∠=︒，把一块含30角的直角三角板DEF 的直角顶点D 放在AC 的中点上（直角三角板的短直角边为DF ，长直角边为DE ），将三角板DEF 绕D 点按逆时针方向旋转.。
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1、绕点型（手拉手模型）
（1）自旋转：⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧，造中心对称遇中点旋
全等遇等腰旋顶角，造旋转
，造等腰直角
旋遇，造等边三角形旋遇自旋转构造方法00
00018090906060
（2）共旋转（典型的手拉手模型）
例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明：
（1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC
（3） AE 与DC 的夹角为60。
（4） △AGB ≌△DFB （5） △EGB ≌△CFB （6） BH 平分∠AHC （7） GF ∥AC
变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明：
（1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC
（3） AE 与DC 的夹角为60。
（4） AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC
变式练习2、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明：
(1)△ABE ≌△DBC
(2)AE=DC
(3)AE 与DC 的夹角为60。
（4）AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC
（1）如图1，点C 是线段AB 上一点，分别以AC ，BC 为边在AB 的同侧作等边△ACM 和△CBN ，连接AN ，BM ．分别取BM ，AN 的中点E ，F ，连接CE ，CF ，EF ．观察并猜想△CEF 的形状，并说明理由．
（2）若将（1）中的“以AC ，BC 为边作等边△ACM 和△CBN”改为“以AC ，BC 为腰在AB 的同侧作等腰△ACM 和△C BN ，”如图2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．
例4、例题讲解：
1. 已知△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上的一动点（点D 不与B,C 重合），以AD 为边作菱形ADEF(按A,D,E,F 逆时针排列），使∠DAF=60°,连接CF.
(1)如图1，当点D 在边BC 上时，求证：①BD=CF ②AC=CF+CD.
(2)如图2，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD 是否成立？若不成立，请写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系。
2、半角模型
说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
例1、如图，正方形ABCD 的边长为1，AB,AD 上各存在一点P 、Q ，若△APQ 的周长为2，求PCQ ∠的度数。
例2、在正方形ABCD 中，若M 、N 分别在边BC 、CD 上移动，且满足MN=BM +DN ，求证：①∠MAN=45°；② △CMN 的周长=2AB ；③AM 、AN 分别平分∠BMN 和∠DNM 。
例3、在正方形ABCD 中，已知∠MAN=45°，若M 、N 分别在边CB 、DC 的延长线上移动：①试探究线段MN 、BM 、DN 之间的数量关系；②求证：AB=AH.
例4、在四边形ABCD 中，∠B+∠D=180°，AB=AD ，若E 、F 分别在边BC 、CD 且上，满足EF=BE+DF.求证：BAD EAF ∠=
∠2
1。