弦截法非线性方程求解2
求解非线性方程与二次曲线性质
求解非线性方程与二次曲线性质在数学中，我们经常会遇到非线性方程与二次曲线。
这些问题在高中数学中就已经开始学习，而在大学中，这些知识被更深入地学习和应用。
在本文中，我们将讨论如何求解非线性方程以及二次曲线的一些基本性质。
求解非线性方程非线性方程指的是在未知量的一次以上的项中，至少有一项不是常数。
例如，$ax^2+bx+c=0$ 就是一个非线性方程，其中 $a$，$b$，$c$ 都是常数，$x$ 是未知量。
解非线性方程的方法有很多种，下面我们讨论常用方法。
1. 二分法二分法是解非线性方程的一种简单方法。
假设我们需要求方程$f(x)=0$ 的根，那么我们可以先找到一个区间 $[a,b]$，使得$f(a)$ 和 $f(b)$ 的符号不同。
然后我们从区间的中点 $c$ 开始，计算 $f(c)$ 的符号。
如果 $f(c)$ 的符号与 $f(a)$ 相同，那么我们可以将 $a$ 替换为 $c$，否则将 $b$ 替换为 $c$。
接着我们再计算$c$ 的中点，用同样的方法来判断符号。
不断重复这个过程，直到求得一个满足误差限的根。
2. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种基于泰勒级数的求根方法，具有快速收敛的特点，但需要计算函数的导数。
假设我们要求解方程 $f(x)=0$ 的根，我们可以选择一个初值 $x_0$，然后按照下面的公式迭代求解：$$x_{i+1}=x_i-\frac{f(x_i)}{f'(x_i)}$$其中，$f'(x_i)$ 是 $f(x)$ 在 $x_i$ 处的导数。
不断重复迭代，直到满足误差限。
二次曲线的性质二次曲线是用一般式表示的形如$ax^2+by^2+2hxy+2gx+2fy+c=0$ 的方程。
在本节中，我们将讨论二次曲线的一些基本性质。
1. 对称轴对称轴是指将二次曲线对称的轴。
以一般式表示的二次曲线的对称轴方程是：$$y=-\frac{b}{2a}x-\frac{h}{a}y-\frac{g}{a}$$其中，$a$，$b$，$h$，$g$ 表示二次曲线的系数。
非线性方程求根的方法简介与例题
非线性方程求根的方法简介与例题第一篇：非线性方程求根的方法简介与例题非线性方程f(x)=0求根主要可以采用下面三种方法，下面简单介绍下，并附例题，让解法更一目了然。
1)二分法简介：计算步骤如下：例题：2)不动点迭代，也叫简单迭代。
隐式化为显式，迭代法是一种逐次逼近法；其中f(x)'<1才能满足上述迭代格式。
继续迭代。
3)牛顿迭代法，实际上也叫切线法，是通过下面的方式推导出来的。
上述题目很简单，用牛顿法迭代就可以达到目的。
我们先设f(x)=x-cosx=0由公式得x=x0-x-cosx1+sinx0我们用二分法的原理，我们取x得x1=π，=x0-x0-cosx01+sinx0x1-cosx11+sinx1x2-cosx21+sinx2=π-π+11=1 x2=x1-=1-1-cos11+sin1=0.9998x3=x2-=1-1-cos0.99981+sin0.9998=0.9998x3=x2，并具有四位有效数字，所以只需迭代两次就可以达到题目所需的精度要求第二篇：非线性方程迭代上机作业总体要求：1． 2．开发语言可用任一种高级语言作业包括1)一份实验报告2)电子版作业的全套（压缩后提交在Webcc上），包括：⌝程序源代码；⌝可执行程序；⌝电子版实验报告（内容包括：一、实验目的二、模型建立三、模型求解 3.1 开发环境3.2 程序设计说明（要求设计为通用的）3.3 源代码 3.4 程序使用说明 3.5 模型的解四、小结（可含个人心得体会））第六章逐次逼近法§ 3 非线性方程的迭代解法上机实验题求 x5-3x3+x-1= 0 在区间[-8,8〕上的全部实根.试分别用:(1)二分法;(2)Newton法;(3)弦截法(割线法);(4)Newton下山法；求方程的根.准确到6位有效数字.要求:讨论求解的全过程,对所用算法的局部收敛性,优缺点等作分析及比较.以实验报告的形式提交.完成时间:5月18日第三篇：非线性方程的数值解法《计算方法》期末论文论文题目非线性方程的数值解法学院专业班级姓名学号指导教师日期目录摘要第1 章绪论1.1 问题的提出和研究目的和意义 1.2 国内外相关研究综述 1.3 论文的结构与研究方法第2 章非线性方程的数值解法2.1 二分法 2.2 迭代法2.3 迭代法的局部收敛性及收敛的阶 2.4 牛顿迭代法 2.5 牛顿法的改进 2.6 插值摘要数值计算方法，是一种研究解决数学问题的数值近似解方法，它的计算对象是那些。
非线性方程的解法2-1
第二章 非线性方程(组)的解法非线性方程(组)：高次代数方程、包含指数或 三角函数的超越方程。
例如：550e xe u uxx--==tan§2.1 求实根的区间分半法如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，并且在 x a =和x b =处的函数值()f a 和()f b 满足 ()()f a f b ⋅<0那么在区间[,]a b 上至少存在一个x *值，使得()f x *=0，该x *值就是方程()f x =0的一个根。
如图2-1所示。
图2-1 ()f x 在区间[,]a b 上有根的判断据此，可以采用每次将区间减少一半的作法 逐渐逼近方程的根。
首先取区间中点()c a b =+2，计算()f c ： 若()()f a f c ⋅<0，则实根在子区间[,]a c 上，再取 区间[,]a c 的中点重复以上步骤。
若()()f c f b ⋅<0，方法类似。
计算结果的确定：设定误差限ε>0，当子 区间中点值满足()f x ≤ε时，则该中点值即为解。
[例题2-1] 在区间[0, 1]上求解如下超越方程 ()f x e x x =-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-s i n π20 解：()()()()f f f f 0110632121010=≈-⋅<,.,，函数连续，在区间[]01,上至少存在一个根。
计算()f 050100576..≈-，可知，()()f f 0050⋅<.，说明根在子区间[]005,.上，以下类推，直到满足()0.005fx ε≤=（设定值）为止，结果见表2-1。
§2.2 线性插值法（弦线法）线性插值法也称弦线法，是用弦线近似曲线弧 构造迭代格式的计算方法。
如图2-2。
图2-2 线性插值法已知方程()f x =0在区间[,]x x 12上有一实根， 简记：()f f x 11=、()f f x 22=。
过点()x f 11,和点()x f 22,作直线方程()y F x =：y f f f x x x x --=--121121令y =0，可得直线()F x 与x 轴的交点x 3： x x x x f f f 3121211=---⋅(2-1)计算()f f x 33=，检验下式是否成立()f x 3≤ε(给定误差限) (2-2) 若成立，则x 3即为方程()f x =0在区间[,]x x 12的 数值近似解。
非线性方程求解算法比较
非线性方程求解算法比较在数学和计算机科学领域中，非线性方程是一种无法简单地通过代数方法求解的方程。
因此，研究和开发高效的非线性方程求解算法是至关重要的。
本文将比较几种常见的非线性方程求解算法，包括牛顿迭代法、割线法和二分法。
通过对比它们的优缺点和适用范围，可以帮助人们选择最适合的算法来解决特定的非线性方程问题。
一、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种常用的非线性方程求解算法。
它基于泰勒级数展开，使用函数的导数信息来逼近方程的根。
具体步骤如下：1. 选择初始近似值$x_0$。
2. 计算函数$f(x_0)$和导数$f'(x_0)$。
3. 根据牛顿迭代公式$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$，计算下一个近似解$x_{n+1}$。
4. 重复步骤2和步骤3，直到达到预设的收敛条件。
牛顿迭代法的收敛速度很快，通常二次收敛。
然而，它对于初始值的选择非常敏感，可能会陷入局部极值点，导致找到错误的根。
因此，在使用牛顿迭代法时，需要根据具体问题选择合适的初始近似值。
二、割线法割线法是另一种常见的非线性方程求解算法。
它是对牛顿迭代法的改进，使用两个近似解来逼近方程的根。
具体步骤如下：1. 选择初始近似值$x_0$和$x_1$。
2. 计算函数$f(x_0)$和$f(x_1)$。
3. 根据割线公式$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$，计算下一个近似解$x_{n+1}$。
4. 重复步骤2和步骤3，直到达到预设的收敛条件。
与牛顿迭代法相比，割线法不需要计算导数，因此更加灵活。
然而，割线法的收敛速度比牛顿迭代法慢，通常是超线性收敛。
与牛顿迭代法一样，割线法也对初始近似值的选择敏感。
三、二分法二分法是一种简单直观的非线性方程求解算法。
它利用函数在根附近的特性，通过不断缩小区间范围来逼近方程的根。
具体步骤如下：1. 选择初始区间$[a,b]$，其中$f(a)$和$f(b)$异号。
各类非线性方程的解法
各类非线性方程的解法非线性方程是一类数学方程，其中包含了一个或多个非线性项。
求解非线性方程是数学研究中的重要问题之一，它在科学、工程和经济等领域具有广泛的应用。
本文将介绍几种常见的非线性方程的解法。
1. 试-and-错误法试-and-错误法是求解非线性方程的最简单方法之一。
它基于逐步尝试的思路，通过不断试验不同的数值来逼近方程的解。
这种方法的缺点在于需要反复试验，效率较低，但对于简单的方程或近似解的求解是有效的。
2. 迭代法迭代法是一种常用的数值计算方法，可以用来求解非线性方程的近似解。
它的基本思想是通过迭代计算逐步逼近方程的解。
不同的迭代方法包括牛顿迭代法、弦截法和割线法等。
这些方法都是基于线性近似的原理，通过不断迭代计算来逼近解。
迭代法的优点是可以得到较为精确的解，适用于多种类型的非线性方程。
3. 数值优化方法数值优化方法是一种求解非线性方程的高级方法，它将问题转化为优化问题，并通过优化算法来寻找方程的最优解。
常用的数值优化方法包括梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。
这些方法通过不断迭代调整变量的取值，以最小化目标函数，从而求解非线性方程。
数值优化方法的优点是可以处理复杂的非线性方程，并且具有较高的求解精度。
4. 特殊非线性方程的解法对于特殊的非线性方程，还可以使用特定的解法进行求解。
例如，对于二次方程可以使用公式法直接求解，对于三次方程可以使用卡尔达诺法等。
这些特殊解法适用于特定类型的非线性方程，并且具有快速和精确的求解能力。
综上所述，非线性方程的解法有试-and-错误法、迭代法、数值优化方法和特殊非线性方程的解法等。
根据具体的方程类型和求解要求，选择合适的方法进行求解，可以得到满意的结果。
数学方法解决非线性方程组
数学方法解决非线性方程组非线性方程组在科学、工程和数学领域中具有重要的应用价值。
解决非线性方程组是一个复杂的任务，而数学方法为我们提供了一种有效的途径。
本文将介绍一些常用的数学方法，以解决非线性方程组的问题。
1. 牛顿法牛顿法是一种常用的数值解法，用于求解非线性方程组。
它基于泰勒级数的思想，通过迭代逼近方程组的根。
具体步骤如下：首先，选择一个初始点作为近似解。
然后，根据函数的导数来计算方程组在该点的切线，找到切线与坐标轴的交点。
将该交点作为新的近似解，继续迭代，直到满足收敛条件。
牛顿法具有快速收敛的特点，但在某些情况下可能会陷入局部极小值点。
2. 雅可比迭代法雅可比迭代法也是一种常见的数值解法。
它将非线性方程组转化为线性方程组的形式，然后通过迭代来逼近解。
具体步骤如下：首先，将非线性方程组表示为矩阵形式，其中包含未知数的系数矩阵和常数向量。
然后，将方程组进行变换，使得未知数的系数矩阵变为对角矩阵。
接下来，选择一个初始解向量，并通过迭代计算新的解向量，直到满足收敛条件。
雅可比迭代法适用于大规模的非线性方程组求解，但收敛速度较慢。
3. 高斯-赛德尔迭代法高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进版本。
它在每次迭代中使用新的解向量来更新未知数的值，从而加快收敛速度。
具体步骤如下：首先，选择一个初始解向量。
然后，通过迭代计算新的解向量，直到满足收敛条件。
高斯-赛德尔迭代法相对于雅可比迭代法而言，可以更快地收敛到解。
它在求解非线性方程组时具有较好的效果。
4. 弦截法弦截法是一种近似求解非线性方程组的方法。
它通过线段的截断来逼近方程组的根。
具体步骤如下：首先，选择一个初始的线段，其中包含方程组的两个近似解。
然后，通过截取线段上的新点，构造新的线段。
重复这个过程，直到满足收敛条件。
弦截法是一种迭代方法，它可以在不需要计算导数的情况下逼近方程组的根。
但是，它的收敛速度比牛顿法和雅可比迭代法要慢。
总结：数学方法提供了一种有效的途径来解决非线性方程组的问题。
非线性方程的数值求法牛顿迭代法和弦截法PPT课件
26
Newton下山法
原理：若由 xk 得到的 xk+1 不能使 | f | 减小，则在 xk 和 xk+1 之 间找一个更好的点 xk1，使得 f ( xk1) f ( xk ) 。
xk
xk+1
xk1 (1 )xk , [0, 1]
xk 1
[xk
)g( xn
)
n1
n
mng(xn ) mg( xn ) n g(
xn
)
n2 g( xn )
mg( xn ) n g( xn )
n1
2 n
g( xn )
mg( xn ) n g( xn )
若 xn 收敛，即
n 0 (n ),
没有具体的描述，而且若x0 的值没有取好，有可 能得不到收敛的结果。
以下定理，给出了 f x 满足一定的条件时，要使得牛顿
迭代法收敛，x0 应满足什么条件。
又 f ( ) 0
( ) 0 1,
牛顿迭代法局部收敛于
又 ( ) 0
即有：牛顿迭代法具有二阶（平方）收敛速度。
注. 定理要求 x0 充分接近 (局部收敛)，充分的程度
没有具体的描述，而且若x0 的值没有取好，有可 能得不到收敛的结果。
以下定理，给出了 f x 满足一定的条件时，要使得牛顿
迭代法收敛，x0 应满足什么条件。
定理 设 f x 在区间 a,b 上的二阶导数存在，且满足： ① f (a) f (b) 0; （保证 a, b中至少存在一个根）
若 xn 收敛，即 n 0 (n )
lim n1 lim[1
弦截法求非线性方程的根
for(int k=2; ; k++)
{
x2 = x2 - temp*(x2-x1)/(temp-y);
temp = f(x2);
cout<<'\t'<<k<<'\t'<<x2<<'\t'<<temp<<'\n';
if(fabs(t附近的根，根的准确值为
，精确到4位有效数字。
解：运行程序
(1) 显示出 输入原始值：输入为2， 回车。
(2) 显示出 输入初始值：输入为1.9，回车。
(3) 显示出 输入精度 ：输入为0.001，回车。
(4)显示结果为： 1.8794。
例2.利用弦截法计算在 = 的根初始值为 。
2012-2013（1）专业课程实践论文
弦截法求非线性方程的根
姓名：秦基超，0818180121，R数学08-1班
一、算法理论
弦截法是在牛顿法的基础上得出的求解非线性方程的一种十分重要的插值方法。用牛顿方法求解非线性方程的根时，每一步都要计算导数值，如果函数f(x)比较复杂时，计算f(x)的导数往往比较困难。而弦截法使用差商代替牛顿法中的导数值进行迭代，避免了计算函数的导数值，并且收敛速度很快。
{
cout<<"结果为:"<<x2<<'\n';
非线性方程数值解法及其应用
非线性方程数值解法及其应用摘要:数值计算方法主要研究如何运用计算机去获得数学问题的数值解的理论和算法。
本文主要介绍非线性方程的数值解法以及它在各个领域的应用。
是直接从方程出发，逐步缩小根的存在区间，或逐步将根的近似值精确化，直到满足问题对精度的要求。
我将从二分法、Steffensen 加速收敛法、Newton 迭代法、弦截法来分析非线性方程的解法及应用。
关键字：非线性方程;二分法；Steffensen 加速收敛法；代数Newton 法；弦截法一、前言随着科技技术的飞速发展，科学计算越来越显示出其重要性。
科学计算的应用之广已遍及各行各业，例如气象资料的分析图像，飞机、汽车及轮船的外形设计，高科技研究等都离不开科学计算。
因此经常需要求非线性方程 f(x) = O 的根。
方程f(x) = O 的根叫做函数f(x)的零点。
由连续函数的特性知：若f(x)在闭区间[a ，b]上连续，且f(a)·f(b)<O ，则f(x) = O 在开区间(a,b)内至少有一个实根。
这时称[a,b]为方程f(x) = O 的根的存在区间。
本文主要是对522)(23-+=x x x f 在区间[1.2]的根的数值解法进行分析，介绍了非线性方程数值解法的四种方法，从而得到在实际问题中遇到非线性方程根的求解问题的解决方法。
二、非线性方程的数值解法1、二分法二分法的基本思想是将方程根的区间平分为两个小区间，把有根的小区间再平分为两个更小的区间，进一步考察根在哪个更小的区间内。
如此继续下去，直到求出满足精度要求的近似值。
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<O ，则[a,b]是方程f(x)=O 的根的存在区间，设其内有一实根，记为*x 。
取区间[a,b]的中点)(21b a x k +=，并计算)(1x f ，则必有下列三种情况之一成立： (1))(1x f = O,1x 就是方程的根*x ；(2)f(a)·f(1x )<O ，方程的根*x 位于区间[a,1x ]之中，此时令a a =1，11x b =； (3)f(1x )·f(b)<O ，方程的根*x 位于区间[1x ,b]之中，此时令0111,b b x a ==。
非线性方程(组)的数值解法——牛顿法、弦切法
(3) 用 Newton 法解 (x) = 0
x ( x 2 2) 3 ( x) x x2 2
ex76.m
14
弦截法与抛物线法
弦截法与抛物线法
目的：避免计算 Newton 法中的导数，且具有较 高的收敛性（超线性收敛） 弦截法（割线法）：用差商代替微商 抛物线法：用二次多项式近似 f(x)
2
x
k
C
2
2
xk 1 C xk C xk 1 C xk C 2k xk C x0 C xk C x0 C k q2 xk C 2 C 2k 1 q
q
2k
对任意 x0>0， 总有 |q|<1， 即牛顿法收敛
8
牛顿法
牛顿的优点
至少二阶局部收敛，收敛速度较快，特别是当迭代点 充分靠近精确解时。
牛顿法是目前求解非线性方程 (组) 的主要方法 牛顿的缺点
对重根收敛Βιβλιοθήκη 度较慢（线性收敛） 对初值的选取很敏感，要求初值相当接近真解 先用其它算法获取一个近似解，然后使用牛顿法
需要求导数！
9
简化的Newton法
f ( xk ) f '( xk ) 迭代格式： xk 1 xk [ f '( xk )]2 f ( xk ) f ''( xk )
13
举例
例：求 x4 - 4x2 ＋ 4=0 的二重根 x* 2 (1) 普通 Newton 法
x2 2 1 ( x ) x 4x
(2) 改进的 Newton 法 x2 2 2 ( x) x
简化的 Newton 法
非线性方程的求解方法
非线性方程的求解方法非线性方程是数学中的基本概念，对于许多科学领域而言，非线性方程的求解具有重要的意义。
然而，与线性方程相比，非线性方程的求解方法较为复杂，因此需要掌握一些有效的解法。
本文将介绍几种非线性方程的求解方法。
一、牛顿迭代法牛顿迭代法也叫牛顿-拉夫逊迭代法，是一种求解非线性方程的有效方法。
该方法的基本思路是，选择一个初始值，通过迭代计算不断逼近非线性方程的根。
牛顿迭代法的公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$其中，$f(x)$表示非线性方程，$f'(x)$表示$ f(x) $的一阶导数。
牛顿迭代法的优点在于速度快，迭代次数少，但其局限性在于收敛性受初始点选取的影响较大。
二、割线法割线法（Secant method）也是一种求解非线性方程的有效方法。
与牛顿迭代法不同，割线法使用的是两个初始值，并根据两点间的连线与$ x $轴的交点来作为新的近似根。
割线法的公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$$割线法的优势是不需要求解导数，但其缺点在于需要两次迭代才能得到下一个近似根，因此计算量较大。
三、二分法二分法（Bisection method）是求解非线性方程的另一种有效方法。
该方法的基本思路是找到非线性方程的一个区间，使函数值在该区间内的符号相反，然后通过逐步缩小区间，在区间内不断逼近非线性方程的根。
二分法的公式为：$$x_{n+1}=\frac{x_n+x_{n-1}}{2}$$其中，$x_n$和$x_{n-1}$是区间的端点。
二分法的优点在于收敛性稳定，但其缺点在于迭代次数较多，因此计算量也较大。
四、弦截法弦截法（Regula Falsi method）也是一种求解非线性方程的有效方法。
它和二分法类似，都是通过缩小根所在的区间来逼近根。
不同之处在于，弦截法不是以区间中点为迭代点，而是以区间两个端点之间的连线与$ x $轴的交点为迭代点。
第二章 非线性方程(组)的近似解法2
Computational Method
计算方法
§2.2 根的隔离
5 4 3 2
例2.5 求 f ( x) x 2x 5x 8x 7 x 3 0 的正根上界。 解：f ( x) 5x4 8x3 15x2 16x 7
3 2 f ( x) 20x 24x 30x 16
f ( x) 的负根上界和下界。 注：掌握正根上界的求法，正根下界、负根上界和下界
也能求得。用定理1求得的上界和下界往往太大和太小。
Computational Method 计算方法
§2.2 根的隔离
n n1 f ( x ) a x a x 定理2.2 设 0 1
an , a0 0 ，若
f ( x) ， 当 x 0 时，f ( x) 1 ，当 x 时， 因此方程必有根。因为
1 0 x 0, e f ( x) ln x 1 0 x 1 , e
1 在区间 0, 上函数是单调递减的，方程无根。在区间 e
Computational Method
计算方法
§2.2 根的隔离
所以，f ( x) 的实根不能大于 1 k B / a0 。即 1 k B / a0
是 f ( x) 的正根上界。
Computational Method
计算方法
§2.2 根的隔离
解：a0 1 0, k 2, B 7，1 k B / a0 1 7 3.645 8
作图法。 画出 y f ( x) 的简图，观察曲线 y f ( x) 与 x 轴交点的大致位置，从而确定隔根区间。
Computational Method
非线性方程的数值解法
xk
x* ) p
根据已知条件得
(xk ) (x*)
1
p!
(
p
)
(
)(
xk
x*) p
由迭代公式 xk1 (xk ) 及 x* (x* ) 有
x k 1
x*
( p) ( )
p! (xk
x*) p
lim ek1 ( p) (x* ) 0
取一个初值 x0 , 代入式 x (x) 的右端, 得到
x1 (x0 )
再将 x1 代入式 x (x) 的右端, 得到 x2 (x1) , 依此类推, 得到一个数列 x3 (x2 ) …， 其一般表示
xk1 (xk ) (k 0,1,2,) (2.4)
2.3.1 迭代法的基本思想
为求解非线性方程f(x)=0的根，先将其写成便
于迭代的等价方程
x (x)
其中 (x) 为x的连续函数
(2.3)
例4 用迭代法求方程 x3 x 1 0
在x=1.5附近的一个根 解 将方程改写成如下两种等价形式
x 1 (x ) 3 x 1 x 2 (x ) x3 1
x6、x7重合，所以迭代公式（1）是收敛的，x*≈0.3758。 用迭代公式（2） xk1 10xk 2 , x0=1, 算得
x1=10-2=8, x2=108-2≈108, x3=10108-2≈ 10108，…… 迭代公式（2）发散。
}
2.3.3 迭代法收敛的条件 对方程f(x)=0可以构造不同的迭代公式, 但
证:由于 (x*) 1 ,存在充分小邻域△: x x* ,使成 立 (x* ) L 1 这里L为某个定数,根据微分中值定 理 (x) (x* ) ( )( x x* ) 由于 (x* ) x*,又当 x 时 ,故有 (x) x* L x x* x x* 由定理2.1知 xk1 (xk ) 对于任意的 x0 都收敛
非线性方程的解法二次方程和高次方程
非线性方程的解法二次方程和高次方程非线性方程的解法：二次方程和高次方程非线性方程是指未知数的幂次大于等于2的方程。
求解非线性方程是数学中的基础问题之一，其中常见的非线性方程类型包括二次方程和高次方程。
本文将分别介绍二次方程和高次方程的解法。
一、二次方程的解法二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
解二次方程的常用方法有公式法和配方法。
1. 公式法对于一般的二次方程ax^2 + bx + c = 0，可使用求根公式x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)求解。
其中，当判别式Δ = b^2 - 4ac大于0时，方程有两个不相等的实根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实根；当Δ小于0时，方程没有实根，但有两个共轭复根。
2. 配方法对于无法直接使用求根公式解的二次方程，可使用配方法进行转化。
具体步骤如下：（1）若方程中二次项系数a不为1，则可将方程两边同除以a，化为标准形式。
（2）将方程两边移项，得到形如x^2 + px + q = 0的方程。
（3）根据p = b/a和q = c/a，求出p和q的值。
（4）根据方程的左边是一个完全平方形式(x+p/2)^2，将方程化为(x+p/2)^2 = q - (p/2)^2的形式。
（5）进行求根运算，得到方程的解。
二、高次方程的解法高次方程是指次数大于二的方程，其中最常见的高次方程类型包括三次方程和四次方程。
由于高次方程不存在通用的求根公式，因此求解方法相对复杂，通常需要利用特殊性质或特定方法进行求解。
1. 三次方程的解法对于一般的三次方程ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，常用的解法有牛顿迭代法和三次方程标准形式转化法。
（1）牛顿迭代法：通过迭代逼近的方式求解近似解，具体步骤较为复杂，这里不详细展开。
（2）三次方程标准形式转化法：对于一般的三次方程，可通过变量代换，将其转化为形如y^3 + py = q的标准形式。
求解非线性方程的二重弦截法
ｆ（ 估） ＾ ＝ ｌ 一 Ｐ 预 ： ＋ ＝ 二 ￡ ！ １ ｚ
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ｆ（ 一 ｆ（ １ ｘ） ｘ ）
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并且通 过数值试 验说 明 ： 牛顿 法 Ｐ Ｃ 格式 （ ）无论是 收敛 速度 ， ．． １ 还是实 用性 都超 过 了弦截 法 和牛顿 法． 但文
一
…
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从 而 对 二 重 弦 截 法 （ ） 就 有 ２，
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…
由 于
中 图 分 类 号 ： ２１７ Ｏ ４．
文献标 志码 ： Ａ
非 线性方 程求根 的解法 和理论 是 当今 数值分 析研究 的重要课题 之一 ， 牛顿法 、 而 弦截法 、 抛物线 法 （ 亦称
Ｍｕｌ 法 ） 非线性 方程求 根 的重 要经典 方法 ． ｌｒ 是 ｅ 近年来 ， 有不 少 工作对 这 ３种方 法 的改进 进行 了较 深 入 的研 究． 如文 献［ ， ］ １ ２ 分别从 简化计 算和 提高收敛 速度 方面对 抛物线 法进 行 了改 进． 文献Ｅ － ３ 主要是 考虑在 牛顿法 ］ 中为避免 导数计算 ， 出 了牛顿 法 Ｐ ｃ 格式 ： 提 ．．
』 估抖 一ｋ ｘ是 Ｐ ）ｌ （ ： （ ： （ｘ ｋ 预 ； ｘ， ） ） ｆ －
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２， ． …
２
ｌ ～一 ｃ ｃ 校
收 稿 日期 ：０ ９ ０ — ８ ２ ０ — ６ １
弦截法非线性方程求解
《MATLAB 程序设计实践》课程考核一、,编程实现以下科学计算算法，并举一例应用之。
（参考书籍《精通MATLAB 科学计算》，王正林等著，电子工业出版社，2009年） “弦截法非线性方程求解” 1、算法说明:弦截法的算法过程如下：（1） 过两点(a,f(a)),(b,f(b))作一直线，它与x 轴有一个交点，记为x1.. （2） 如果f(a)f(x1)<0,过两点(a,f(a)),(x1,f(x1))作一直线，它与x 轴的交点记为 x2，否则过两点 (b,f(b)),(x1,f(x1))作一直线，它与x 轴的交点记为x2 ；（3） 如此下去，直到|xn-xn-1|<ε，就可以认为xn 为f(x)=0在区间[a,b]上的一个根。
（4） Xk 的递推公式为：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>---=<---=------0)()(),()()(0)()(),()()(111111k k k k k k k k x f a f b f b f x f bx b x x f a f a f a f x f a x a x 且)()()(1a f a f b f ab a x ---=在MATLAB 中编程实现的弦截法的函数为：Secant. 功能：用弦截法求函数在某个区间的一个零点。
调用格式：root=Secant(f,a,b,eps). 其中，f 为函数名；a 为区间左端点；b 为区间右端点； eps 为根的精度； root 为求出的函数零点。
2、流程图:3、M文件:function root=Secant(f,a,b,eps)%弦截法求函数f在区间[a,b]上的一个零点%函数名：f%区间左端点：a%区间右端点：b%根的精度：eps%求出的函数零点：rootif(nargin==3)eps=1.0e-4;endf1=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a);f2=subs(sym(f),findsym(sym(f)),b);if(f1==0)root=a;endif(f2==0)root=b;endif(f1*f2>0)disp('两端点函数值大于0!');return;elsetol=1;fa=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a);fb=subs(sym(f),findsym(sym(f)),b);root=a-(b-a)*fa./(fb-fa); %迭代初始值while (tol>eps)r1=root;fx=subs(sym(f),findsym(sym(f)),r1);s=fx*fa;if(s==0)root=r1;elseif(s>0)root=b-(r1-b)*fb/(fx-fb); %用递推公式2elseroot=a-(r1-a)*fa/(fx-fa); %用递推公式1 endendtol=abs(root-r1)endend4、程序应用举例:采用弦截法求方程lgx+x＝2在区间[1，4]上的一个根。
非线性抛物线法的特点
非线性抛物线法的特点牛顿迭代法虽然具有收敛速度快的优点，但每迭代一次都要计算函数导数，而有些函数的导数计算十分麻烦。
弦截法和抛物线法便是为了避免上述不便而提出的方法.一、弦截法：牛顿迭代公式： x k + 1 = x k − f ( x k ) f ′ ( x k ) 牛顿迭代公式：\\ x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f^{'}(x_k)}\\ 牛顿迭代公式：xk+1=xk−f′(xk)f(xk)替换牛顿公式中的f’(x),便得到迭代公式： x k + 1 = x k − f ( x k ) ( x k − x k − 1 ) f ( x k ) − f ( x k − 1 ) 这就是弦截迭代公式 . x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)(x_k-x_{k-1})}{f(x_k)-f(x_{k-1})}\\ 这就是弦截迭代公式. xk+1=xk−f(xk)−f(xk−1)f(xk)(xk−xk−1)这就是弦截迭代公式.算法流程：注意，弦截迭代发要用到前两步的结果：x k 和 x k − 1 . x_{k}和x_{k-1}. xk和xk−1.二、抛物线法根据牛顿多项式插值公式： N n ( x ) = a 0 + a 1 ( x −x 0 ) + a 2 ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) + . . . + a n( x − x 0 ) ( x − x 1 ) ⋯ ( x − x n − 1 )N_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)(x-x_1)+...+a_n(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_{n-1}) Nn(x)=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)(x−x1)+...+an(x−x0)(x−x1)⋯(x−xn−1)取三次牛顿插值公式得： N 2 ( x ) = f ( x k ) + f [ x k , x k − 1 ] ( x − x k ) + f [ x k , x k − 1 , x k − 2 ] ( x − x k ) ( x − x k − 1 )N_2(x)=f(x_k)+f[x_k,x_{k-1}](x-x_k)+f[x_k,x_{k-1},x_{k-2}](x-x_k)(x-x_{k-1}) N2(x)=f(xk)+f[xk,xk−1](x−xk)+f[xk,xk−1,xk−2](x−xk)(x−xk−1)令上式等于0，得到： x k + 1 = x k − 2 f ( x k ) ω ± ω − 4 f ( x k ) f [ x k , x k − 1 , x k − 2 ] 式中：x_{k+1}=x_k-\frac{2f(x_k)}{\omega±\sqrt{\omega-4f(x_k)f[x_k,x_{k-1},x_{k-2}]}}\\ 式中：\\ xk+1=xk−ω±ω−4f(xk)f[xk,xk−1,xk−2]2f(xk)式中：{ f [ x k , x k − 1 ] = f ( x k ) − f ( x k − 1 ) x k − x k − 1 f [ x k , x k − 1 , x k − 2 ] ( x k −x k − 1 ) = f [ x k , x k − 1 ] − f [ x k − 2 , x k − 2 ] x k − x k − 2 ω = f [ x k , x k − 1 ] + f [ x k , x k − 1 , x k − 2 ] ( x k − x k − 1 )\begin{cases} f[x_k,x_{k-1}]=\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}} \\ \\ f[x_k,x_{k-1},x_{k-2}](x_k-x_{k-1})= \frac{f[x_k,x_{k-1}]-f[x_{k-2},x_{k-2}]}{x_k-x_{k-2}}\\ \\ \omega=f[x_k,x_{k-1}]+f[x_k,x_{k-1},x_{k-2}](x_k-x_{k-1})\\ \end{cases} ⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩f[xk,xk−1]=xk−xk−1f(xk)−f(xk−1)f[xk,xk−1,xk−2](xk−xk−1)=xk−xk−2f[xk,xk−1]−f[xk−2,xk−2]ω=f[xk,xk−1]+f[xk,xk−1 ,xk−2](xk−xk−1)上式计算可以得到两个值，选择解得时候应该选择离xk更接近的解.弦截法和抛物线法只是对迭代公式进行了更改，并不影响算法的流程，可以参考链接中的代码进行算法仿真.链接非线性方程求解：二分迭代法和牛顿迭代法。
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根据微分方程建立Simulink模型：设仿真时间t=10s其中，利用To Workspace把模拟的数据输出到工作空间中，然后调用函数进行绘图和比较。
（1）欠阻尼情况：即阻尼比 时
取c=4，k=8，m=2时：此时 0.5
模型：
结果：
（2）临界阻尼情况：即阻尼比 时
取c=4，k=2，m=2时：此时 1
%x(4)=dy/dt
mu=1/82.45;
lambda=1-mu;
r1=sqrt((x(1)+mu)^2+x(3)^2);
r2=sqrt((x(1)+lambda)^2+x(3)^2);
dx=[x(2);
2*x(4)+x(1)-lambda*(x(1)+mu)/r1^3-mu*(x(1)-lambda)/r2^3;
模拟图形：
虽然此时曲线平滑，但是与实际的轨道不符，查阅相关资料发现原来题目中有条件出错。
应改为
此时，把子模块r2改为：
进行模拟后得到结果
此时与实际条件相符，此为正确结果。
《MATLAB程序设计实践》课程考核
1、编程实现以下科学计算方法，并举一例应用之（参考书籍《精通MATLAB科学计算》，王正林著，电子工业出版社，2009年）“弦截法非线性方程求解”
算法说明：
（1）过两点 , 作一直线，它与 轴有一个交点，记为 ；
（2）如果f(a)f(x1)<0,过两点 ， 作一直线，它与 轴的交点记为 ，否则过两点 ， 作一直线，它与 轴的交点记为 ；
模型：
结果：
（3）弱阻尼情况：即阻尼比 时
取c=4，k=0.5，m=2时：此时 2
模型：
结果：
三条图形的比较：
运行vibrationrun.m
得到结果：
其中：绿色为阻尼比等于一的情况，红色为阻尼比小于一的情况，蓝色为阻尼比大于一的情况。
流程图：
3、已知Apollo卫星的运动轨迹 满足下面方程：
其中， 试在初值 下求解，并绘制Apollo卫星轨迹图。
显然这条轨道不稳定，如果取1e-6就可以得到一条稳定的轨道，所以应该取1e-6
方法二：建立如下Simulink模型
其中子模块r1：
子模块r2：
子模块sub1：
子模块sub2：
子模块sub3：
子模块sub4：
设定相关参数：采用ODE45
当相对误差为1e-3时模拟得到图形：
发现精度太低 提高精度 把相对误差改成1e-6
root=b-(r1-b)*fb/(fx-fb);%用递推公式2
else
root=a-(r1-a)*fa/(fx-fa);%用递推公式1
end
end
tol=abs(root-r1);
end
end
例:弦截法求解非线性方程应用实例。采用弦截法求方程 在区间 上的一个根。
解：在MATLAB命令窗口中输入：
f2=subs(sym(f),findsym(sym(f)),b);
if(f1==0)
root=a;
end
if(f2==0)
root=b;
end
if(f1*f2>0)
disp('两端点函数值乘积大于0！');
return;
else
tol=1;
fa=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a);
方法一：
算法说明：
根据该微分方程组可编写m文件，命名为apolloeq.m。在m文件编写中，由于出现了高阶微分方程，因此把这个高阶微分方程化为一阶微分方程组。然后调用ode45函数求解即可。
编写函数m文件：
functiondx=apolloeq(t,x)
%x(1)=x
%x(2)=dx/dt
%x(3)=y
root为求出的函数零点。
流程图：
源代码：
functionroot=Secant(f,a,b,eps)
%弦截法求函数点：a
%区间右端点：b
%根的精度：eps
%求出函数的函数零点：root
if(nargin==3)
eps=1.0e-4;
end
f1=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a);
x(4);
-2*x(2)+x(3)-lambda*x(3)/r1^3-mu*x(3)/r2^3];
运行：apollorun.m
流程图：
结果：
但是此结果与实际的阿波罗卫星轨道不符，查找相关资料，发现题目出错
应改为
更正后结果：
与实际情况符合较好
关于为什么相对误差要取1e-6的原因：
如果相对误差设置为1e-3，即默认值，发现图形为：
>> r=Secant('sqrt(x)+log(x)-2',1,4)
输出计算结果为：
r =
1.8773
有计算结果可知， 在区间 上的一个根为： 。
2、分析单自由度阻尼系统的阻尼系数对其固有振动模态的影响。
算法分析：
单自由度阻尼系统振动方程：
其中k和c分别为弹簧的阻尼系数和黏性阻尼系数
弹簧阻力：
黏性阻力：
fb=subs(sym(f),findsym(sym(f)),b);
root=a-(b-a)*fa/(fb-fa);%迭代初始值
while(tol>eps)
r1=root;
fx=subs(sym(f),findsym(sym(f)),r1);
s=fx*fa;
if(s==0)
root=r1;
else
if(s>0)
（3）如此下去，直到 就可以认为 为 在区间 上的一个根。
（4） 的递推公式为：
且 。
在MATLAB中编程实现的弦截法的函数为：Secant.
功能：用弦截法求函数在某个区间的一个零点。
调用格式：root=Secant(f,a,b,eps).
其中，f为函数名；
a为区间左端点；
b为区间左端点；
eps为根的精度；