【优秀教案】高中数学第二册上 第八章 圆锥曲线方程： 8.4双曲线的简单几何性质
【优秀教案】高中数学第二册上第八章圆锥曲线方程8.doc
一、 教学目标 （一）知识教学点通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的儿何性质，能正确地価出椭鬪的图形， 并了解椭圆的一些实际应用.（―）能力训练点通过对椭圆的儿何性质的教学，培养学牛分析问题和解决实际问题的能力. （三）学科渗透点使学生掌握利用方程研究曲线性质的基木方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关 系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等.二、 教材分析1. 重点：椭圆的几何性质及初步运用.（解决办法：引导学生利用方程研究曲线的性质，最后进行归纳小结.）2. 难点：椭圆离心率的概念的理解.（解决办法：先介绍椭圆离心率的定义，再分析离心率的大小对椭圆形状的 影响，）3. 疑点：椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关， 即不随坐标系的改变而改变.（解决办法：利用方程分析椭I 员I 性质2而就先给学生说明•） 三、 活动设计提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结. 四、 教学过程 （一） 复习提问1. 椭圆的定义是什么？2. 椭圆的标准方程是什么？3. 椭圆中a, b, c 的关系是？学生口述，教师板书.（二） 几何性质根据曲线的方程研究曲线的儿何性质，并正确地価出它的图形，是删和朋曲IC 冋题之一・本节棚艇的标Q 程壬4卜1（6>0）來研究椭圆的几何性质.说明：椭圆自身固冇几何量所具冇的性质是与坐标系选择 无关，即不随坐标系的改变而改变.1・范围即|x|Wa, |y|Wb,这说明椭圆在直线x=±a 和直线y=±b 所围成的矩形里 （图2-18）.注意结合图形讲解，并指岀描点慚图时，就不能取范围以外的点.2.对称性先请人家阅读课本椭圆的几何性质2.§8.2桶圆的简单几何性质削导学生从标椎方程m 嗒 “得出不等式设问：为什么“把x换成-x,或把y换成-y?,或把x、y同时换成-x、-y时, 方程都不变，所以图形关于y轴、x轴或原点对称的”呢？事实上，在曲线的方程里，如果把x换成-x而方程不变，那么当点P(x, y)在曲线上时，点P关于y轴的对称点Q(-x, y)也在曲线上，所以曲线关于y轴对称•类似可以证明其他两个命题.同时向学生指出：如果1111线具有关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称中的任意两种，那么它一定具有另一种对称•如：如果曲线关于x轴和原点对称，那么它一定关于y轴对称.事实上，设P(x, y)在曲线上，因为曲线关于x轴对称，所以点Pl(x, -y)必在曲线上•又因为曲线关于原点对称，所以P1关于原点对称点P2(-x, y)必在曲线上.因P(x, y)、P2(-x, y)都在曲线上，所以曲线关于y轴对称.最后指出：x轴、y轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称屮心即椭圆屮心•3.顶点弓与*・勵沁只须令x=0,得y二土b,点B1(O, -b)、B2(0, b)是椭圆和y轴的两个交点; 令y二0,得x 二土a,点Al (-a, 0)、A2(a, 0)是椭圆和x轴的两个交点.强调指出：椭圆有四个顶点Al (-a, 0)、A2 (a, 0)、Bl(0, -b)、B2(0, b).教师还需指出:⑴线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的 <轴和短轴，它们的t分别等于2a和2b；(2)a^ b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长；这时，教师可以小结以下：由椭圆的范围、对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形.根据前面所学有关知识画出下列图形7 9 7 9(1)二 + 厂=1 (2)二 + 厂=125 16 25 44.离心率教师直接给出椭圆的离心率的定义：a.等到介绍椭圆的第二定义时，再讲清离心率c的几何意义. 先分析椭圆的离心率e的取值范围：Va>c>0, /. 0<e<l.再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响：(2)当e接近0时，c越接近0,从而b越接近a,因此椭圆接近圆；⑶当e二0吋，c二0,沪13两焦点重合，椭圆的标准方程成为x2+y2二32,图形就是圆了.标准方程 2 2—y + — 1(。
【优秀教案】高中数学第二册上_第八章节_圆锥曲线方程：_8.4双曲线的简单几何性质
课 题：2．4双曲线的简单几何性质教学目的：1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质2．掌握标准方程中c b a ,,的几何意义3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题教学重点：双曲线的渐近线及其得出过程教学难点：渐近线几何意义的证明授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程： 一、复习引入：二、讲解新课：1．范围、对称性由标准方程12222=-by a x 可得22a x ≥，当a x ≥时，y 才有实数值；对于y 的任何值，x 都有实数值 这说明从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心2．顶点顶点：()0,),0,(21a A a A - 特殊点：()b B b B -,0),,0(21实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长讲述：结合图形，讲解顶点和轴的概念，在双曲线方程12222=-b y a x 中，令y=0得a x ±=，故它与x 轴有两个交点()0,),0,(21a A a A -，且x 轴为双曲线12222=-by a x 的对称轴，所以()0,),0,(21a A a A -与其对称轴的交点，称为双曲线的顶点(一般而言，曲线的顶点均指与其对称轴的交点)，而对称轴上位于两顶点间的线段21A A 叫做双曲线12222=-by a x 的实轴长，它的长是2a.在方程12222=-by a x 中令x=0得22b y -=，这个方程没有实数根，说明双曲线和Y 轴没有交点。
但Y 轴上的两个特殊点()b B b B -,0),,0(21，这两个点在双曲线中也有非常重要的作用 把线段21B B 叫做双曲线的虚轴，它的长是2b 要特别注意不要把虚轴与椭圆的短轴混淆双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异3．渐近线过双曲线12222=-by a x 的两顶点21,A A ，作Y 轴的平行线a x ±=，经过21,B B 作X 轴的平行线b y ±=，四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是x a b y ±=（0=±bya x ）， 这两条直线就是双曲线的渐近线 分析：要证明直线x ab y ±=（0=±bya x ） 是双曲线12222=-by a x 的渐近线，即要证明随着X 的增大，直线和曲线越来越靠拢也即要证曲线上的点到直线的距离｜MQ ｜ 越来越短，因此把问题转化为计算｜MQ ｜但因｜MQ ｜不好直接求得，因此又把问题 转化为求｜MN ｜ 最后强调，对圆锥曲线而言，渐近线是双曲线具有的性质22||||a x a bx a b MN MQ --=< ＝)(22a x x ab -- 22ax x ab -+=（||MQ 0−−→−∞→x ） 4．等轴双曲线a=b 即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线结合图形说明：a=b 时，双曲线方程变成222a y x =-(或)2b ，它的实轴和都等于2a(2b)，这时直线围成正方形，渐近线方程为y ±= 它们互相垂直且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角5．共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为x a b y ±=)0(>±=k x kakb，那么此双曲线方程就一定是：)0(1)()(2222>±=-k kb y ka x 或写成λ=-2222b y a x 6．双曲线的草图利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线焦点在y 轴的情况同学们自己研究 7．离心率概念：双曲线的焦距与实轴长的比aca c e ==22，叫做双曲线的离心率 范围：1>e双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e ac a a c a b k ， 因此e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。
【精品】高二数学上 第八章 圆锥曲线方程： 8.4双曲线的简单几何性质教案
8．4双曲线的简单几何性质教学目的：1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质2．掌握标准方程中cb,的几何意义a,3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题教学重点：双曲线的渐近线及其得出过程教学难点：渐近线几何意义的证明授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节知识是讲完了双曲线及其标准方程之后，反过来它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点用坐标法研究几何问题，是数学中一个很大的课题，它包含了圆锥曲线知识的众多方面，这里对双曲线的几何性质的讨论以及利用性质来解题即是其中的一个重要部分坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章，是学 运动变化和对立统一的思想观点在第8章知识中得到了突出体现，我们必须充分利用好这部分教材进行教学利用图形启发引导学生理解渐近线的几何意义、弄通证明的关键；渐近线的位置、渐近线与双曲线张口之间的关系是学生学习离心率的概念、搞懂离心率与双曲线形状之间的关系的关键；要突破第二定义得出过程这个难点本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中也可以与其类比讲解，主要应指出它们的联系与区别 对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，为说明这一点，教学时可以适当补充一些例题和习题 讲解完双曲线的渐近线后，要注意说明：反过来以1=±by a x 为渐近线的双曲线方程则是λ=-2222b y a x 对双曲线离心率进行教学时要指明它的大小反映的是双曲线的张口大小，而椭圆离心率的大小反映的是椭圆的扁平程度 同椭圆一样，双曲线有两种定义，教材上以例3的教学来引出它，我们讲课时要充分注意到此例题与后面的定义在教学上的逻辑关系，突出考虑学生认知心理的变化规律本节分三个课时：第一课时主要讲解双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质，并补充一道变式例题；第二课时主要内容为离心率、教材中的例1、例2及一道变式例题；第三课时主要讲解教材中的例3、双曲线另一个定义、准线概念教学过程：一、复习引入：二、讲解新课：1．范围、对称性由标准方程12222=-by a x 可得22a x ≥，当a x ≥时，y 才有实数值；对于y 的任何值，x 都有实数值 这说明从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心2．顶点顶点：()0,),0,(21a A a A - 特殊点：()b B b B -,0),,0(21 实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长 讲述：结合图形，讲解顶点和轴的概念，在双曲线方程12222=-b y a x 中，令y=0得a x ±=，故它与x 轴有两个交点()0,),0,(21a A a A -，且x 轴为双曲线12222=-by a x 的对称轴，0,),0,(21a A a A -称为双曲线的顶点(一般而言，曲线的顶点均指与其对称轴的交点)，而对称轴上位于两顶点间的线段21A A 叫做双曲线12222=-by a x 的实轴长，它的长是2a. 在方程12222=-by a x 中令x=0得22b y -=，这个方程没有实数根，说明双曲线和Y 轴没有交点。
高中数学教案——圆锥曲线方程教材分析
第八章圆锥曲线方程教材分析本章是在学生学习了直线和圆的方程的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。
这一章主要学习椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程、简单几何性质以及它们的简单应用全章共分6个小节，教学时间约为18课时，各小节的教学时间分配如下：8．1椭圆及其标准方程 3课时8．2椭圆的简单几何性质 4课时8．3双曲线及其标准方程 2课时8．4双曲线的简单几何性质 3课时8．5抛物线及其标准方程 2课时8．6抛物线的简单几何性质 2课时小结与复习 2课时一、内容与要求(一)本章的教学内容圆锥曲线这一章研究的对象是图形，包括三种曲线：椭圆、双曲线、抛物线，使用的方法是代数方法，它的基础是第七章学过的曲线和方程的概念我们知道，曲线可以看成是符合某种条件的点的轨迹，在解析几何里用坐标法研究曲线的一般程序是：建立适当的坐标系；求出曲线的方程；利用方程讨论曲线的几何性质；说明这些性质在实际中的应用在第七草里学生已经初步学习了这种方法，不过，“圆锥曲线”这一章中，这种研究曲线的方法和过程以及它的优势体现得最突出所以，“圆锥曲线”一直是解析几何的重点内容，特别是在对学生掌握坐标法的训练方面有着不可替代的作用本章研究的椭圆、双曲线、抛物线的方程，主要是它们在直角坐标系中的标准方程，所谓标准方程就是曲线在标准位置时的方程，即曲线的中心或顶点在坐标原点，对称轴在坐标轴上时的方程，通过对这种方程的讨论得到的曲线的性质，可以利用平移图形推广到曲线的其他位置上去，所以，曲线的标准方程及它们在标准位置上的性质是本章的重点(二)教学要求本章的教学要求归纳起来有以下几点：1．掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和几何性质；2．能够根据条件利用工具画圆锥曲线的图形，并了解圆锥曲线的初步应用；3．进一步掌握坐标方法；4．结合本章内容的教学，使学生进一步领会运动变化、对立统一的观点解析几何是用代数的方法解决几何问题，体现了形数结合的思想，因而这一部分的题目的综合性比较强，它要求学生既能分析图形，又能灵活地进行各坐标方法是要求学生掌握的，但是，作为普通高中的必修课的教学要求不能过高，只能以绝大多数学生所能达到的程度为标准二、本章的主要特点(一)突出重点1．突出重点内容本章所研究的三种圆锥曲线，都是重要的曲线因为对这几种曲线研究的问题基本一致，方法相同，所以教材对这三种曲线没有平均使用时间和力量，而是把重点放在椭圆上通过求椭圆的标准方程，使学生掌握列这一类轨迹方程的一般规律，化简的常用办法这样，在求双曲线、抛物线方程的时候，学在讨论椭圆的几何性质时，教材以椭圆为例详细地说明了在解析几何中讨论曲线几何性质的一般程序，以及怎样利用方程研究曲线的范围、对称性，怎样确定曲线上的点的位置等，这样，学生在学习双曲线和抛物线时，就可以练习使用这些方法，从而在掌握解析几何基本方法上得到锻炼和提高在讨论曲线的几何性质时，不求全，有选择地介绍主要性质以便学生集中精力掌握圆锥曲线的最基本的性质2．突出坐标方法要重视数学思想方法的教学，结合教学内容，把反映出来的数学思想方法的教学，作为高中数学教学的一项重要任务来完成根据圆锥曲线这部分内容的特点，在这一章里把训练学生掌握坐标法作为这一章数学方法教学的重点例如教材在第8.6节中选择了一个求正三角形边长的例题，解这个题目时，首先要证明正三角形的对称轴就是抛物线的对称轴，这是用方程证明图形性质的问题，并且是比较典型的(二)注意内容的整体性和训练的阶段性高中数学教材是一个整体，各部分知识和技能之间是有机联系着的，特别是教材采用了“混编”的形式，将代数、立体几何、解析几何合成统一的高中数学，这就更需要加强各章之间的联系，互相配合，发挥整体的效益(三)注意调动学生学习的主动性教材是为教学服务的，归根结底是为学生服务的学生是学习的主人，只有他们有主动性，才能达到学会学好的目的目前，高中学生被动学习的现象比较突出，在调动学生学习的主动性方面，注意交代知识的来龙去脉，教给学生解决问题的思路例如，在讲椭圆的几何性质时，由于这是第一次出现，所以教材增加了一些说明性的文字，首先说明解析几何里讨论曲线性质时，通常要讨论哪些性质，然后说明用方程讨论这些性质时的一般方法，这就使学生知道为什么学习，怎样去学习，学习就会变得主动又如，学生学习中遇到的另一个问题是不会分析问题，遇到问题不知从什么地方入手，只好被动地听讲教材注意提高例题的质量，在一些例题中给出了分析或小结(例题解后的注)，通过对一些典型例题的分析，使学生学会分析解题思路,找出问题的关键，减少解题的盲目性；通过小结，指出解决问题的一般规律，提高学生解决问题的能力，提高学习效率三、教学中应注意的问题(一)注意准确地把握教学要求准确地把握教学要求包括两个方面，第一是把握好大纲的精神，第二是学生的实际 根据大纲的精神，圆锥曲线部分是属于控制教学要求的内容，但目 如何控制教学要求是个难点 高中的教学时间有限，作为全体学生都必须掌握的必修课程，应以最基础的知识和最基本的技能、能力为主，要使学生切实把基础打好不要过分重视技巧性很强的难题从学生的学习规律来说，训练不能一次完成，要循序渐进，打好基础才能有较大的发展余地，急于求成是不可取的；学生的基础、兴趣、志向都是不同的，要根据学生的实际提出恰当的教学要求，这样学生才有学习的积极性，才能使学生达到预定的教学要求(二)注意形数结合的教学解析几何的特点就是形数结合，而形数结合的思想是一种重要的数学思想，是教学大纲中要求学生学习的内容之一，所以在这一章的教学过程中，要时刻注意这种数学思想的教学，并注意以下几点：1．注意训练学生将几何图形的特征，用数或式表达出来，反过来，要使他们能根据点的坐标或曲线的方程，确定点的位置或曲线的性质，使学生能比较顺利地将形的问题转化为数或式的问题，将数或式的问题转化为形的问题。
高中双曲线数学教案
高中双曲线数学教案
一、教学内容：双曲线
二、教学目标：
1. 了解双曲线的定义及性质；
2. 掌握双曲线的标准方程及相关参数；
3. 能够应用双曲线解决实际问题。
三、教学重点：
1. 双曲线的定义；
2. 双曲线的标准方程及参数；
3. 双曲线的性质。
四、教学难点：
1. 掌握双曲线参数对图像的影响；
2. 能够熟练应用双曲线解决实际问题。
五、教学过程：
1. 先介绍双曲线的定义及基本形态，让学生了解双曲线的特点；
2. 讲解双曲线的标准方程及参数，让学生掌握双曲线的基本表达形式；
3. 通过实例分析，让学生掌握双曲线参数对图像的影响；
4. 给出一些实际问题，让学生应用双曲线解决问题；
5. 总结本节课内容，做一些习题巩固学生的学习成果。
六、教学资源：
1. 教科书
2. 教学PPT
3. 习题集
七、教学评价：
1. 课堂问答
2. 作业检查
3. 实际问题解决能力测试
八、教学反馈：
1. 收集学生对本节课的反馈意见；
2. 根据学生反馈，及时调整教学方法和内容。
以上是本次双曲线数学教案，希望对您的教学有所帮助。
2.3.2双曲线的简单几何性质教学设计(优秀教案)
双曲线的简单几何性质教案一、学习目标知识目标: 了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线、离心率。
能力目标: 通过观察、类比、转化、概括等探究，提高学生运用方程研究双曲线的性质的能力. 情感目标: 使学生在合作探究活动中体验成功, 激发学习热情，感受事物之间处处存在联系.二、学习重点、难点1. 教学重点：双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质；2. 教学难点：双曲线的渐近线.三、学习过程：（一）复习式导入：在椭圆部分，我们曾经从图形和标准方程两个角度来研究椭圆的几何性质。
那么，你认为应该研究双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的哪些性质呢？范围、对称性、顶点、离心率等.这就是我们今天要共同学习的内容：双曲线的简单几何性质 （二）新课：我们先来研究一下焦点坐标在x 轴上的双曲线的简单几何性质。
1双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的简单几何性质（1）范围从图形看，x 的取值范围是什么？ 师生： 从标准方程能否得出这个结论呢？ y 的范围呢？R y ∈（2）对称性从图形看，双曲线关于什么对称性？ 生：关于x 轴、y 轴和原点都是对称的那么，类比椭圆几何性质的推导，从标准方程如何得出这个结论呢？提示：用y -代替原方程中的y ，若方程不变，则该曲线……关于x 轴对称。
同理，若用x -代替原方程中的x ，若方程不变，则该曲线关于y 轴对称。
若用y x --,分别代替原方程中的y x ,，若方程不变，则该曲线关于原点对称。
所以，双曲线是关于x 轴、y 轴和原点都是对称的。
x 轴、y 轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。
（3）顶点椭圆的顶点有几个？（4个）它是如何定义的？（椭圆与对称轴的交点）类比椭圆顶点的定义，我们把双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点。
由图形可以看到，双曲a x a x -≤≥或012222≥-=ax b y 2222,1a x ax≥≥∴即ax a x -≤≥∴或线22221(0,0)x y a b a b-=>>的顶点有几个？顶点坐标是？(,0)a ± 虽然对比椭圆，双曲线只有两个顶点，但我们仍然把(0,)b ±标在图形上。
高二数学上 8.4 双曲线的几何性质(二) 教案 旧人教版
8.4 双曲线的几何性质（二）教学要求：更进一步掌握双曲线的几何性质，掌握用待定系数法求双曲线的标准方程，理解共轭双曲线的概念。
教学重点：掌握用待定系数法求双曲线的标准方程。
教学难点：理解共轭双曲线的定义和方程关系。
教学过程：一、复习准备：1.求双曲线的实轴长、虚轴长、顶点和焦点坐标、离心率、渐近线方程。
y 2－8x 2＝32 x 2－9y 2＝812.叙述双曲线22a x －22b y ＝1的几何性质。
二、讲授新课：1.教学例题：①出示例：如图，双曲线自然通风塔的剖面，求此双曲线的方程。
②分析：方程是哪种形式？已知数据12可得出什么结论？如何求b ？ ③师生共求：设所求方程为2212x －22b y ＝1设点B(13,y 1)，点C(25,y 2)，→ 代入所设方程 →求出y 1、y 2→列式|y 1|＋|y 2|＝55求得b （24.5）④定义共轭双曲线：以双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线。
⑤练习：写出22a x －22b y ＝1的共轭双曲线方程。
⑥出示例：求证双曲线和它的共轭双曲线：有共同的渐近线；四个焦点在同圆上。
⑦分析→试证→图形帮助理解。
2.练习：25m C 下口①等轴双曲线的一个焦点是(-6,0)，求它的共轭双曲线的标准方程和渐近线方程。
②求与椭圆492x ＋242y ＝1有公共焦点，且离心率e ＝45的双曲线方程。
三、巩固练习：1.动圆C 与定圆C 1：（x ＋3）2＋y 2＝9、C 2：(x －3)2＋y 2＝1都外切，求动圆圆心的轨迹方程。
2.课堂作业：书P114 3 4、7题。
《双曲线的简单几何性质》说课稿(张勇)
《双曲线的简单几何性质》说课稿西北师大附中数学组张勇各位老师，大家好！今天我说课的课题是《双曲线的简单几何性质》,我将从以下几个方面进行阐述:一、教材分析本节内容是人教社出版的全日制普通高级中学教科书（必修）《数学》第二册（上）第八章第四节第一课时，属于解析几何领域的知识.由曲线方程研究曲线的几何性质，是高中阶段解析几何所研究的主要问题之一.二次曲线:圆、椭圆、双曲线和抛物线是解析几何的主要研究对象，这四种曲线可以通过用不同的方式截圆锥得到，统称为圆锥曲线.在学习时,要注意挖掘它们之间的内在联系和区别，注意圆锥曲线之间的共同点与特殊性.本节课在学习了椭圆的简单几何性质基础上，通过类比椭圆的简单几何性质，探究、归纳出双曲线类似于椭圆的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率）；并且进一步探究出双曲线独有的几何性质（实轴、虚轴、渐近线）;也为后续研究抛物线的几何性质打下了基础。
因此这节课在教材中起承上启下的作用，是培养学生利用曲线方程讨论曲线性质（即由数到形）的思想方法以及概括、归纳能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力都有重要的意义。
二、学情分析与学生水平分析1。
学情分析：在此之前，学生已经学习了椭圆的标准方程和它的几何性质，并且类比、推导、归纳出了双曲线的标准方程，这节课将进一步研究、归纳出类似于椭圆几何性质的双曲线的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）和双曲线独有的几何性质（实轴、虚轴、渐近线）。
通过对双曲线性质的探究学习，可使学生在已有的知识结构的基础上，拓展延伸，构建新的知识体系;同时对由方程讨论曲线性质（即由数到形）的思想方法有更深刻的认识。
2。
学生水平分析:我校学生是从全省各地招来的最优秀的学生，数学基础扎实,自主学习能力较高。
在本节课的学习中，可以发挥学生的主观能动性,教师加以引导，完成本节课的教学。
三、教学目标根据上面对教材的分析，并结合学生的认知水平和思维特点，确定本节课的教学目标：1。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课题：8．4双曲线的简单几何性质教学目的：1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质2．掌握标准方程中cb,的几何意义a,3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题教学重点：双曲线的渐近线及其得出过程教学难点：渐近线几何意义的证明授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节知识是讲完了双曲线及其标准方程之后，反过来利它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点用坐标法研究几何问题，是数学中一个很大的课题，它包含了圆锥曲线知识的众多方面，这里对双曲线的几何性质的讨论以及利用性质来解题即是其中的一个重要部分坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章，是学 运动变化和对立统一的思想观点在第8章知识中得到了突出体现，我们必须充分利用好这部分教材进行教学利用图形启发引导学生理解渐近线的几何意义、弄通证明的关键；渐近线的位置、渐近线与双曲线张口之间的关系是学生学习离心率的概念、搞懂离心率与双曲线形状之间的关系的关键；要突破第二定义得出过程这个难点本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中也可以与其类比讲解，主要应指出它们的联系与区别 对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，为说明这一点，教学时可以适当补充一些例题和习题 讲解完双曲线的渐近线后，要注意说明：反过来以1=±b y a x 为渐近线的双曲线方程则是λ=-2222by a x 对双曲线离心率进行教学时要指明它的大小反映的是双曲线的张口大小，而椭圆离心率的大小反映的是椭圆的扁平程度 同椭圆一样，双曲线有两种定义，教材上以例3的教学来引出它，我们讲课时要充分注意到此例题与后面的定义在教学上的逻辑关系，突出考虑学生认知心理的变化规律本节分三个课时：第一课时主要讲解双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质，并补充一道变式例题；第二课时主要内容为离心率、教材中的例1、例2及一道变式例题；第三课时主要讲解教材中的例3、双曲线另一个定义、准线概念教学过程：一、复习引入：二、讲解新课： 1．范围、对称性由标准方程12222=-by a x 可得22a x ≥，当a x ≥时，y 才有实数值；对于y 的任何值，x 都有实数值 这说明从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心2．顶点顶点：()0,),0,(21a A a A - 特殊点：()b B b B -,0),,0(21 实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长讲述：结合图形，讲解顶点和轴的概念，在双曲线方程12222=-b y a x 中，令y=0得a x ±=，故它与x 轴有两个交点()0,),0,(21a A a A -，且x轴为双曲线12222=-by a x 的对称轴，0,),0,(21a A a A -称为双曲线的顶点(一般而言，曲线的顶点均指与其对称轴的交点)，而对称轴上位于两顶点间的线段21A A 叫做双曲线12222=-by a x 的实轴长，它的长是2a. 在方程12222=-by a x 中令x=0得22b y -=，这个方程没有实数根，说明双曲线和Y 轴没有交点。
但Y 轴上的两个特殊点()b B b B -,0),,0(21，这两个点在双曲线中也有非常重要的作用把线段21B B 叫做双曲线的虚轴，它的长是2b 要特别注意不要把虚轴与椭圆的短轴混淆双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异3．渐近线过双曲线12222=-by a x 的两顶点21,A A ，作Y 轴的平行线a x ±=，经过21,B B 作X 轴的平行线b y ±=，四条直线围 成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是x a by ±=（0=±bya x ）， 这两条直线就是双曲线的渐近线 分析：要证明直线x ab y ±=（0=±byax ） 是双曲线12222=-by a x 的渐近线，即要证明随着X 的增大，直线和曲线越来越靠拢也即要证曲线上的点到直线的距离｜MQ ｜ 越来越短，因此把问题转化为计算｜MQ ｜但因｜MQ ｜不好直接求得，因此又把问题 转化为求｜MN ｜ 最后强调，对圆锥曲线而言，渐近线是双曲线具有的性质22||||a x ab x a b MN MQ --=< ＝)(22a x x ab-- 22ax x ab -+=（||MQ 0−−→−∞→x ） 4．等轴双曲线a=b 即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线结合图形说明：a=b 时，双曲线方程变成222a y x =-(或)2b ，它的实轴和都等于2a(2b)，这时直线围成正方形，渐近线方程为x y ±= 它们互相垂直且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角5．共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为x a b y ±=)0(>±=k x kakb，那么此双曲线方程就一定是：)0(1)()(2222>±=-k kb y ka x 或写成λ=-2222b y a x 6．双曲线的草图利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线焦点在y 轴的情况同学们自己研究 7．离心率概念：双曲线的焦距与实轴长的比aca c e ==22，叫做双曲线的离心率范围：1>e双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e ac a a c a b k ， 因此e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。
由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔(1)双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化； (2)渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约利用计算机动画先演示出“e 的大小”与“开口的阔窄”的关系，能让学生对此变化规律先形成直观理解；然后再用代数方法边板书边推导，这样就可化难为易，使学生对此规律有更深刻清晰的理解 这样做将有助于实在本节的这个难点8．离心率相同的双曲线(1)计算双曲线19422=-y x 的离心率0e ；(2)离心离为0e 的双曲线一定是19422=-y x如果存在很多的话，它们能否用一个特有的形式表示呢？ (3)离心率为213的双曲线有多少条？ 分析：2222)(1)(1kakba b a b a a c e +=+=+==的关系式，并从中发现只要实现半轴和虚半轴各与a=2,b=3有相同的比k ：1(k>0)的双曲线，其离心率e 2139．共轭双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 如191622=-y x 与116922=-x y 注意的区别：三量a,b,c 中a,b 不同（互换）c 相同通过分析曲线发现二者其具有相同的渐近线 此即为共轭之意1） 性质：共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上2） 确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-13）共用同一对渐近线kx y ±=的双曲线的方程具有什么样的特征：可设为)0(1222≠=-λλky x ，当0>λ时交点在x轴，当0<λ时焦点在y 轴上三、讲解范例：例1. 求双曲线14416922=-x y 的实半轴长和虚半轴长,焦点坐标,离心率.解: 把方程化为标准方程得,可得:实半轴长: a=4 虚半轴长: b=3半焦距: 焦点坐标: (0,-5),(0,5) 离心率:例二．求下列双曲线的范围、焦点、顶点、离心率1342222=-x y 53422=+=c 4==ac e（1）32822=-y x （2）422-=-y x（3）1254922-=-y x例2.已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴,它的一个焦点F （5，0）,且离心率e 可以使方程041)1(22=+--x e x 有相等的实根，求满足条件的双曲线方程例3.已知双曲线虚轴的一个端点为M, 两焦点分别 F 1 , F 2 , 且 12021=∠MF F , 则双曲线的离心率 为(B ) A ．3B ．26C ．36D ．33（参考例题）例1 求双曲线1422=-y x 的顶点坐标、焦点坐标，实半轴长、虚半轴长和渐近线方程，并作出草图分析：只要紧扣有关概念和方法，就易解答解：把方程化为标准方程1212222=-y x由此可知，实半轴长a ＝1，虚半轴长b ＝2． 顶点坐标是（－1，0），（1，0）5212222=+=+=b a c 焦点的坐标是(－5，0)，(5，0)．渐近线方程为021=±yx，即x y 2±= 例2 求与双曲线191622=-y x 共渐近线且过)3,33(-A 的双曲线的方程分析：因所求的双曲线与已知双曲线共渐近线，故可先设出双曲线系，再把已知点代入，求得K 的值即可解：设与1342222=-y x 共渐近线且过)3,33(-A 的双曲线的方程为λ=-222234y x则 λ=--22223)3(4)33( ，从而有16=λ所求双曲线的方程为99161122=-y x 例3求双曲线14416922=-x y 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程． 解：把方程化为标准方程1342222=-x y 由此可知，实半轴长a ＝4，虚半轴长b ＝3．5342222=+=+=b a c焦点的坐标是(0，－5)，(0，5)． 离心率45==a c e 渐近线方程为y x 43±=，即x y 34±=例4 双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m ，上口半径为13 m ，下口半径为25 m ，高55m ．选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1m)．分析：本题建立合适的坐标系是关键。
注意到通风塔有三个特殊的截口圆：上口、下口、最小的一个截口。
显然，最小截口圆的圆心是双曲线的中心，直径是双曲线的实轴，所以以最小截口直径所在直线为X 轴，圆心为原点建立坐标系，则双曲线的方程具有最简单的形式。
解：如图所示，建立直角坐标系xOy ，使小圆的直径AA′在x 轴上，圆心与原点重合．这时，上、下口的直径CC′、BB′平行于x 轴，且|CC′|=13×2(m)，|BB′|=25×2(m)．设双曲线的方程为12222=-by a x )0,0(>>b a令点C 的坐标为(13，y)，则点B 的坐标为(25，y －55)．因为点B 、C 在双曲线上，所以1)55(12252222=--by ① 且112132222=-b y ② 解方程组，得125by =（负值舍去）代入方程①，得1)55125(12252222=--bb化简得19b 2＋275b －18150＝0 ③ 解方程③(使用计算器计算)，得 b≈25(m)．所以所求双曲线方程为162514422=-y x 点评： 这是一个有实际意义的题目．解这类题目时，首先要解决以下两个问题：(1)选择适当的坐标系；(2)将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表达出来． 四、课堂练习：1．下列方程中，以x±2y=0为渐近线的双曲线方程是12)(12)(1164)(1416)(22222222=-=-=-=-y x D y x C y x B y x A 答案：A2 .过点(3,0)的直线l 与双曲线4x 2-9y 2=36只有一个公共点,则直线l 共有(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条 答案：C3 .若方程ak 4y a k 3x 22-++=1表示双曲线，其中a 为负常数，则k 的取值范围是( )(A)(3a ,-4a ) (B)(4a ,-3a ) (C)(-3a ,4a ) (D)(-∞,4a )∪(-3a,+∞)答案：B4 .中心在原点，一个焦点为(3，0)，一条渐近线方程2x-3y=0的双曲线方程是(A)138********x y -= (B)13361381122x y -= (C)536554122x y -= (D)554536122x y -= 答案：A5 .与双曲线x y 22916-=λ有共同的渐近线，且一顶点为(0，9)的双曲线的方程是（ ）(A)x y 22144811-= (B)--=x y 22144811 (C)x y 221691-= (D)-+=x y 22274811(/)答案：D6 .一双曲线焦点的坐标、离心率分别为(±5，0)、32，则它的共轭双曲线的焦点坐标、离心率分别是 （ ） (A)(0，±5)，35(B)(0，±532)， (C)(0，±532)， (D)(0，±535)，答案：A7 .双曲线2kx 2-ky 2=1的一焦点是F(0，4)，则k 等于 ( )(A)-3/32 (B)3/32 (C)-3/16 (D)3/16答案：A1 .方程mx 2＋ny 2＋mn=0(m<n<0)所表示的曲线的焦点坐标是 B(A)(0,±-m n ) (B)(0,±-n m ) (C)(±-m n ,0) (D)(±-n m ,0)2 .下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是 D(A)x 23-y 2=1和y 29-x 23=1 (B)x 23-y 2=1和y 2-x23=1(C)y 2-x 23=1和x 2-y 23=1 (D)x 23-y 2=1和92x -32y =13 .与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线，且经过点A }32,3(-的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是 (C ) （A ）8 （B ）4 （C ）2 （D ）14 .以x y 3±=为渐近线，一个焦点是F （0，2）的双曲线方程为 ( A )（A ）1322=-y x （B ）1322=-y x （C ）13222-=-y x （D ）13222=-y x5 .双曲线kx 2+4y 2=4k 的离心率小于2，则k 的取值范围是 ( C )（A ）（-∞,0） （B ）(-3,0) （C ）(-12,0) （D ）(-12,1)6 .已知平面内有一固定线段AB,其长度为4，动点P 满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为 D(A)1.5 (B)3 (C)0.5 (D)3.57 .已知双曲线b 2x 2－a 2y 2 = a 2b 2的两渐近线的夹角为2α，则离心率e 为(C )(A)arcsin α (B)αcos ba(C)αsec (D)tg2α8 .一条直线与双曲线两支交点个数最多为 ( B )(A)1 (B)2 (C)3 (D)49 .双曲线顶点为（2，－1），（2，5），一渐近线方程为3x－4y ＋c = 0，则准线方程为 ( D ) (A)5162±=x (B)5162±=y (C)592±=x (D)592±=y10 .与双曲线x m y n22+=1(mn<0)共轭的双曲线方程是 ( D ) (A)-+=x m y n221 (B)x m y n221-= (C)x m y n221-=- (D)x m y n221+=-五、小结 ：双曲线的范围、对称性、中心、顶点、实轴和虚轴、实轴长、虚轴长、渐近线方程、等轴双曲线；双曲线草图的画法；双曲线12222=-by a x 的渐近线是x a b y ±=，但反过来此渐近线对应的双曲线则是)0(1)()(2222>±=-k kb y ka x 或写成λ=-2222b y a x六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：。