浙江省文澜中学数学分式解答题(培优篇)(Word版 含解析)

一、八年级数学分式解答题压轴题（难）

1．某市2018年平均每天的垃圾处理量为40万吨/天，2019年平均每天的垃圾排放量比2018年平均每天的垃圾排放量多100万吨；2019年平均每天的垃圾处理量是2018年平均每天的垃圾处理量的2. 5倍. 若2019年平均每天的垃圾处理率是2018年平均每天的垃圾处理率的1. 25倍. （注：=

垃圾处理量

垃圾处理率垃圾排放量

）

（1）求该市2018年平均每天的垃圾排放量；

（2）预计该市2020年平均每天的垃圾排放量比2019年平均每天的垃圾排放量增加10%. 如果按照创卫要求“城市平均每天的垃圾处理率不低于90%”，那么该市2020年平均每天的垃圾处理量在2019年平均每天的垃圾处理量的基础上，至少还需要増加多少万吨才能使该市2020年平均每天的垃圾处理率符合创卫的要求？ 【答案】（1）100；（2）98. 【解析】 【分析】

（1）设2018年平均每天的垃圾排放量为x 万吨，根据题意列方程求出x 的值即可； （2）设设2020年垃圾的排放量还需要増加m 万吨，根据题意列出不等式，解得m 的取值范围即可得到答案. 【详解】

（1）设2018年平均每天的垃圾排放量为x 万吨，

40 2.540

1.25100x x ⨯=⨯+，

解得：x=100，

经检验，x=100是原分式方程的解， 答：2018年平均每天的垃圾排放量为100万吨. （2）由（1）得2019年垃圾的排放量为200万吨， 设2020年垃圾的排放量还需要増加m 万吨，

40 2.5200(110%)

m

⨯+⨯+≥90%，

m ≥98，

∴至少还需要増加98万吨才能使该市2020年平均每天的垃圾处理率符合创卫的要求. 【点睛】

此题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意，找到各量之间的关系是解题的关键.

2．已知分式A=2344

(1)11

a a a a a -++-÷

--. (1) 化简这个分式；

(2) 当a ＞2时，把分式A 化简结果的分子与分母同时．．加上3后得到分式B ，问：分式B 的值较原来分式A 的值是变大了还是变小了？试说明理由.

(3) 若A 的值是整数，且a 也为整数，求出符合条件的所有a 值的和. 【答案】（1）2

2

a A a +=-；（2）变小了，理由见解析；（3）符合条件的所有a 值的和为11. 【解析】

分析：（1）分解因式，再通分化简.(2)用作差法比较二者大小关系.(3)先分离常数，再尝试让分子能被分母整除. 详解：

（1）A =2344111a a a a a -+⎛

⎫+-÷

⎪--⎝⎭=()()()2113211

a a a a a -+--÷--=22a a +-. （2）变小了，理由如下：

()()()()()()()()

21522512

212121a a a a a a A B a a a a a a ++-+-++-=-==-+-+-+ .

∵a ＞2 ∴a -2＞0，a+1＞0，∴()()12

21A B a a -=-+＞0，即

A ＞B

(3) 24

122

a A a a +=

=+-- 根据题意，21,2,4a -=±±± 则a =1、0、-2、3、4、6， 又1a ≠ ∴0+（-2）+3+4+6=11 , 即：符合条件的所有a 值的和为11. 点睛：比较大小的方法：

（1）作差比较法：0a b a b ->>;0a b a b -<⇒<(a b ，可以是数，也可以是一个式子)

（2）作商比较法：若a ＞0，b ＞0，且1a b >，则a ＞b ；若a ＜0，b ＜0，且1a

b

>，则a ＜b ．

3．阅读后解决问题：

在“15.3分式方程”一课的学习中，老师提出这样的一个问题：如果关于x 的分式方程

3

111a x x

+=--的解为正数，那么a 的取值范围是什么？ 经过交流后，形成下面两种不同的答案：

小明说：解这个关于x 的分式方程，得到方程的解为x=a ﹣2． 因为解是正数，可得a ﹣2＞0，所以a ＞2．

小强说：本题还要必须a≠3，所以a 取值范围是a ＞2且a≠3． （1）小明与小强谁说的对，为什么？ （2）关于x 的方程

11

222mx x x

-+=--有整数解，求整数m 的值．

【答案】（1）小强的说法对，理由见解析；（2）m=3，4，0．

【解析】

【分析】

(1)先根据解分式方程的步骤和解法解分式方程可得x=a﹣2,根据分式方程有解和解是正数可得:x＞0且x≠1, 即a﹣2＞0, a﹣2≠1,即可求解,

(2) 先根据解分式方程的步骤和解法解分式方程可得（m﹣2）x=﹣2, 当m≠2时,

解得:x=﹣

2

2

m-

,根据分式方程有整数解可得: m﹣2=±1,m﹣2=±2,继而求m的值.

【详解】

解:（1）小强的说法对,理由如下:

解这个关于x的分式方程,得到方程的解为x=a﹣2,因为解是正数,可得a﹣2＞0,即a＞2,

同时a﹣2≠1,即a≠3,

则a的范围是a＞2且a≠3,

（2）去分母得：mx﹣1﹣1=2x﹣4,

整理得:（m﹣2）x=﹣2,

当m≠2时,解得: x=﹣

2

2 m-

,

由方程有整数解,得到m﹣2=±1,m﹣2=±2,

解得:m=3,4,0.

【点睛】

本题主要考查分式方程解是正数和解是整数问题,解决本题的关键是要熟练掌握解分式方程的解法.

4．某快递公司有甲、乙、丙三个机器人分配快件，甲单独完成需要x小时，乙单独完成需要y小时，丙单独完成需要z小时．

（1）求甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的几倍？

（2）若甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的a倍，乙单独完成的时间是甲丙合作完成

时间的b倍，丙单独完成的时间是甲乙合作完成时间的c倍，求

111

111 a b c

++

+++

的

值．

【答案】（1）甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的xy xz

yz

+

倍；（2）1

【解析】

分析：（1）先求出乙丙合作完成时间，再用甲单独完成的时间除以乙丙合作完成时间即可求解；