第四章李雅普诺夫稳定性理论
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第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
1
xT Px xT
2
0
n
i x i2 i1
0
x
n
（4-18）
称式（4-18）为二次型函数的标准形。它只包含变量的平方项，其中λi（i＝1 ，2，…，n）为对称矩阵P的互异特征值，且均为实数。则V（x）正定的充要条件 是对称阵P的所以特征值均λi大于零。
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矩阵P的符号性质定义如下。 设P为n×n实对称方阵，V（x）＝
为渐进稳定平衡状态的球域s（δ）一般不大的，常称这种平衡状态为小范围渐进
稳定。
第7页，此课件共31页哦
4 不稳定
如果对于某个实数ε>0和任一实数δ<0，不管δ这个实数多么小，由s（δ）内出发的状态轨迹，
至少有一个轨迹越过s（ε），则称这种；平衡状态
xe
不稳定。
从上述定义看出，球域s（δ）限制着初始状态x0的取值，球域s（ε）规定了系统自由响应x
一 线性系统的稳定判据 线性定常系统∑＝（A，b，c）
x Ax bu
y cx
（4-10）
平衡状态 x e 0 渐进稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部。
以上讨论的都是指系统的状态稳定性，或称内部稳定性。但从工程意义上看，往往更重视系统的输出 稳定性。
第9页，此课件共31页哦
如果系统对于有界输入u所引起的输出y是有界的，则称系统为输出稳定。
稳定性与李雅普诺夫
p
Δ1 p11 ， Δ2
11
p
21
p
12
p
，… ， Δn P
22
矩阵 P（或 V(x)）定号性的充要条件是：
1）若 Δi 0, i (1,2, , n) ，则 P（或 V(x)）为正定；
2）若
Δi
0, i为偶数 0, i为奇数
，则
P（或
V(x)）为负定；
3）若
Δi
0, 0,
i i
(1,2,, n
足下列条件：
（1）若V ( x) 为半负定，那么平衡状态 xe 在李雅普诺夫意义
下稳定。――稳定判据
（2）若V ( x) 为负定，或者虽然V ( x) 半负定，但对任意初始
状态 x(t0) ≠ 0 来说，除去 x = 0 外，x ≠ 0 时，V ( x) 不恒为零。
那么平衡状态时渐进稳定的。――渐进稳定判据 进一步，如果当||x||→∞时，V(x) →∞，则系统是大范围渐
V(x)= -(x1 +x2)2； 5）V(x) ＞ 0或者V(x) ＜ 0，则称V(x)为不定的。例如
V(x)=x1 +x2；
2．二次型标量函数
设x1，x2，… ，xn为n个变量，定义二次型标量函数为
V ( x) xT Px x1 x2
p11 p12
xn
p21
04第四章李雅普诺夫稳定性理论汇总
04第四章李雅普诺夫稳定性理论汇总
李雅普诺夫稳定性理论是数学中一项重要的稳定性理论，对于研究动
力系统的稳定性具有重要的指导意义。该理论由俄罗斯数学家李雅普诺夫
于19世纪末和20世纪初提出，后经实践证明，被广泛应用于不同领域的
研究中。
李雅普诺夫稳定性理论的核心思想是通过构造李雅普诺夫函数来分析
系统的稳定性。李雅普诺夫函数是一个满足一定条件的实数函数，它能够
度量系统中各个状态的变化情况，并通过数学分析得出系统状态的稳定性。
在李雅普诺夫稳定性理论中，一般使用正定函数来构造李雅普诺夫函数。对于一个动力系统，假设其状态空间为n维实数向量，系统的演化过
程可以表示为一个关于状态变量的微分方程。为了判断系统在其中一状态
的稳定性，需要构造一个函数V(x)，其中x表示状态变量。如果函数V(x)满足以下两个条件：
1.V(x)是正定函数，即对于所有的x，都有V(x)>0，且只有在x=0时，V(x)=0成立。
2.对于系统中任意两个状态x1和x2，如果V(x2)>V(x1)，则在系统
演化的过程中，x2的状态比x1更不稳定。
那么，可以推导出系统在状态x=0附近的稳定性。如果对于所有的状
态x，有V(x)>V(x=0)，那么系统就是在x=0处的稳定点。如果只有在
x=0附近，存在一个圆盘区域，使得对于所有的状态x，有V(x)>V(x=0)，那么系统就是局部稳定的。
通过构造李雅普诺夫函数，可以得出系统的稳定性信息。对于局部稳
定性，可以通过计算雅普诺夫函数的导数来得到更详细的信息。如果导数
小于零，则系统是渐进稳定的；如果导数等于零，则系统是边界稳定的；
第4章 李雅普诺夫稳定性分析
实数δ与ε有关，通常也与t0有关。
如果δ与t0无关，则称平衡状态是一致稳定的。 要注意到，按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡 运动时，将在平面描绘出一条封闭曲线，但只要不超出S(ε)，则认为是稳定 的，这与经典控制理论中线性定常系统稳定性的定义是有差异的。
3 渐近稳定性
若系统的平衡状态xe不仅具有李雅普诺夫意义下的稳定性，且有 4 388 lim xt ; x0 , t0 xe 0
这表明， 当且仅当‖eAt‖≤ k ＜∞ 时，对任给的一个实数ε > 0，都对应存在和初始时 刻无关的一个实数 δ(ε)= ε /k，使得由满足不等式 ||x0 — xe|| ≤ δ(ε) (4-391) 的任一初态x0出发的受扰运动都满足不等式 xt; x0 ,0 xe e At x0 xe k , t 0 (4 392)
t e
i
i t j i t
ˆ ) A , i ji i ( A i
(4 394)
2）结论2）证明
由式(4-390)可知，当且仅当‖eAt‖ 对一切 t≥0为有界，且当t→0时 ‖eAt‖ →0，零平衡状态 xe= 0 为渐近稳定。如上所证，当且仅当 A 的所有特征 值均具有负或零实部时，‖eÂt‖有界。又根据式(4-393)和式(4-394)可知 当且 t j t 0 t→0时‖eAt‖→0，这就等价于A的特征值均具 仅当t→∞时 t e ，可保证 有负实部。结论2）证毕。
第四章稳定性与李雅普诺夫方法
第四章稳定性与李雅普诺夫方法
稳定性与李雅普诺夫方法是控制理论中的两个重要概念。稳定性是控制系统分析中的基本问题之一，它描述了系统在受到干扰后能否回到平衡状态的能力。李雅普诺夫方法是一种常用的稳定性分析方法，通过构造李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性。
稳定性是控制系统设计中最基本的要求之一、一个稳定的系统能够在受到干扰后迅速恢复到平衡状态，而不会发生不可控制的震荡或不稳定的行为。稳定性可以分为两种类型：渐近稳定性和有界稳定性。渐近稳定性要求系统的状态能够收敛到一个稳定的平衡点，而有界稳定性要求系统的状态能够保持在一个有限范围内。
李雅普诺夫方法是一种通过构造李雅普诺夫函数来判断系统稳定性的方法。李雅普诺夫函数是一个标量函数，它满足以下条件：1)对于任意非零的向量，李雅普诺夫函数的导数都是负的或零；2)当且仅当系统达到稳定时，李雅普诺夫函数的导数为零。通过构造李雅普诺夫函数并分析其导数的符号，可以判断系统的稳定性。
在实际应用中，人们通常使用李雅普诺夫直接法、李雅普诺夫间接法和李雅普诺夫-克拉洛夫稳定性定理等方法来进行稳定性分析。其中，李雅普诺夫直接法是最常用的方法之一，它通过选择一个合适的李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性。如果可以找到一个李雅普诺夫函数，使得该函数的导数对于所有非零的初始条件都是负的，则系统是渐近稳定的。
李雅普诺夫间接法是通过构造一个李雅普诺夫方程来判断系统的稳定性。李雅普诺夫方程是一个微分方程，其中包含系统的状态向量和一个非
负标量函数，满足一定的条件。如果可以找到一个满足李雅普诺夫方程的解，并且该解是有界的，则系统是有界稳定的。
现代控制理论第四章-李雅普诺夫稳定性
9
现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
3、李亚普诺夫第二法
李亚普诺夫第二法建立在这样一个直观的物理事实上：
如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即
im
t
X
X，e 那么随着系统的运动，其储存的能量将随时间
的增长而衰减，直至趋于平衡状态而能量趋于极小值。
对于系统 X f (X ,t建) 立一个能量函数 V (X，)即
V ( X ) V (x1, x2, , xn )
对于任意 X X e时，V ( X ) ，0 而 V( X ) ，0 且仅当 X 时X e，才 有 V ( X ) V( X )， 则0 系统 X f是(X稳,t)定的。
2020/3/22
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现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
4.1 引言
稳定性是控制系统能否正常工作的前提条件。控制系 统的稳定性通常有两种定义方式：
★ 外部稳定性 是指系统在零初始条件下通过其外部状态，即由系统
的输入和输出两者关系所定义的外部稳定性，即有界输入 有界输出稳定。外部稳定性只适用于线性系统。
★ 内部稳定性
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现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
如果系统对于有界输入u所引起的输出y是有界的，则 称系统为输出稳定。
4 稳定性与李雅普诺夫分析
4.3 李雅普诺夫第二法
一、基本思想
李雅普诺夫第二法又称为直接法。
它是在用能量观点分析稳定性的基础上建立起来的。 若系统平衡态渐近稳定,则系统经激励后,其储存的能量将随着 时间推移而衰减。当趋于平衡态时,其能量达到最小值。 反之,若平衡态不稳定,则系统将不断地从外界吸收能量,其储 存的能量将越来越大。 基于这样的观点,只要能找出一个能合理描述动态系统的n维 状态的某种形式的能量正性函数,通过考察该函数随时间推移是
即可能有多个平衡状态。如：
1 x1 x 3 x x x x 2 1 2 2
解：
x1 0 3 x x x 2 2 0 1
因此该系统有三个平衡状态
0 xe1 0 0 xe2 1 0 xe3 1
4.1
李雅普诺夫稳定性定义
二、 范数的概念
在n维状态空间中，向量x的长度称为向量x的范数，
用‖x‖表示，则：
2 2 x x12 x2 xn
( x T x)
1 2
向量（x xe）范数可写成：
x xe ( x1 xe1 )2 ( xn xen )2
表示矢量x与平衡状态xe的距离
若与t0无关，则称平衡状态xe是一致稳定的。
x2
S ( ) x
S( )
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
③ 若 V( x ) 为正定，那么平衡状态是不稳定的
关于李雅普诺夫判据的说明
李雅普诺夫第二法分析稳定性的判据是充分条件， 非必要条件。
如果能找到满足判据条件的李雅普诺夫函数则能对 系统的稳定性做出肯定的结论。
如果找不到相应的李雅普诺夫函数，则不能做出否 定的结论。
对李雅普诺夫函数的讨论
1）V(x)是正定的标量函数，且对x应具有连续的一阶 偏导数。
V(x) xT Px xTTT PTx xT (T1PT)x
1
xT
Px
xT
2
0
0
x
n
称为二次型函数的标准型。
V(x)正定的充要条件是对称阵P的所有特征值均大于0.
矩阵P的符号性质定义
设P为nn的实对称方阵，V(x)xTPx为由P所决定的 二次型函数。
1） 若V(x)为正定，则称P为正定，记做P>0. 2） 若V(x)为负定，则称P为负定，记做P<0. 3） 若V(x)为半正定，则称P为半正定，记做P≥0 4） 若V(x)为半负定，则称P为半负定，记做P≤0. P的符号性质和V(x)的符号性质完全一致。
s1 1 (s1)(s1) s1
传递函数的极点位于s平面的左半平面，所以 系统的输出稳定。
状态稳定和输出稳定
1）状态不稳定，输出不一定不稳定 2）只有当系统的传递函数不出现零极对消现象，并
关于李雅普诺夫判据的说明
李雅普诺夫第二法分析稳定性的判据是充分条件， 非必要条件。
如果能找到满足判据条件的李雅普诺夫函数则能对 系统的稳定性做出肯定的结论。
如果找不到相应的李雅普诺夫函数，则不能做出否 定的结论。
对李雅普诺夫函数的讨论
1）V(x)是正定的标量函数，且对x应具有连续的一阶 偏导数。
V(x) xT Px xTTT PTx xT (T1PT)x
1
xT
Px
xT
2
0
0
x
n
称为二次型函数的标准型。
V(x)正定的充要条件是对称阵P的所有特征值均大于0.
矩阵P的符号性质定义
设P为nn的实对称方阵，V(x)xTPx为由P所决定的 二次型函数。
1） 若V(x)为正定，则称P为正定，记做P>0. 2） 若V(x)为负定，则称P为负定，记做P<0. 3） 若V(x)为半正定，则称P为半正定，记做P≥0 4） 若V(x)为半负定，则称P为半负定，记做P≤0. P的符号性质和V(x)的符号性质完全一致。
s1 1 (s1)(s1) s1
传递函数的极点位于s平面的左半平面，所以 系统的输出稳定。
状态稳定和输出稳定
1）状态不稳定，输出不一定不稳定 2）只有当系统的传递函数不出现零极对消现象，并
第四章李雅普诺夫稳定性理论
(6) 只有V(x)可判稳定性时，才称其为李氏函数。
例： 解：
判稳定性 。
显然是正定的,且 有连续一阶偏导
例：
判稳定性。
状态与平衡 点的距离
始终位于圆上
例：
判稳定性。
(*)
解：
(1) (2)
代入方程(*)中
(3)
由上例可以看出：关键是寻找合适的李氏函数。
例：
判稳定性。
解：
说明：系统的稳定域在单位圆内。
对概念的几点说明：
(5)线性系统渐近稳定等价于大范围渐近稳定。对非线 性系统,一般只考虑吸引区为有限定范围的渐近稳定。
第二节 李雅普诺夫间接法
思想：李氏间接法利用系统矩阵A的特征值 或者说系统极点来判断系统稳定性。
一、线性定常系统的稳定性
线性定常系统的稳定性判别定理：
(1)李氏稳定 A的约当标准形J中，实部为0的特征 值所对应的约当块的维数是一维的，其余特征值均 有负实部。 (2)渐近稳定 A的特征值均具有负实部。
例：
二、二次型
例：
V(x)的定号性完全由P来确定。
希尔维斯 特判据
P的正负判定：通过P的主子式的正负来判断。
P的顺序主子式：
例：
∵P的顺序主子式都大于0 ∴P是正定的 ∴V(x)正定
例： 例：
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第4章稳定性与李雅普诺夫方法
第4章稳定性与李雅普诺夫方法
稳定性是评估一个系统的重要性能指标，它描述了系统在一定初始条
件下是否能够保持其平衡状态。稳定性分为两种类型，即渐近稳定性和有
界稳定性。渐近稳定性指的是系统随着时间的推移趋向于其中一平衡状态，而有界稳定性指的是系统在任意时刻的状态都保持在其中一有界范围内。
为了评估系统的稳定性，我们可以利用李雅普诺夫方法。李雅普诺夫
方法是一种通过构造李雅普诺夫函数来判断系统稳定性的方法。李雅普诺
夫函数是一个满足特定条件的函数，它的导数反映了系统状态变化的趋势。通过对李雅普诺夫函数的导数进行分析，我们可以判断系统在任意时刻的
状态是否会向着平衡状态演进。
在利用李雅普诺夫方法进行稳定性分析时，通常需要满足以下条件：
1.李雅普诺夫函数必须是正定函数，并且在系统的平衡点上取得最小值。
2.李雅普诺夫函数的导数必须是负定函数，即在系统的平衡点附近的
任意一点，李雅普诺夫函数的导数都小于等于零。
如果满足以上条件，那么系统就是渐近稳定的。反之，如果李雅普诺
夫函数的导数是正定函数，那么系统就是不稳定的。
除了判断系统的稳定性外，李雅普诺夫方法还可以用于定量的稳定性
分析。通过分析李雅普诺夫函数的导数的大小，我们可以得到系统状态变
化的速度。如果李雅普诺夫函数的导数越小，那么系统的稳定性就越好。
反之，如果李雅普诺夫函数的导数越大，那么系统的稳定性就越差。
在实际应用中，李雅普诺夫方法广泛应用于控制系统、电路系统和机械系统等领域。通过利用李雅普诺夫方法进行稳定性分析，我们可以评估系统的稳定性，并对系统进行控制，以保持系统的稳定状态。
现代控制理论第四章稳定性理论及Lyapunov方法
1 2
x1 x2
x14
x12
2
x22
2
x1
x2
0
V(x) 4x13x1 2x1 x1 4x2 x2 2x1 x2 2x1 x2 2(x14 x22) 0
因此系统在坐标原点是渐近稳定的，并且 x ,V (x) ,
试确定其平衡状态的稳定性。
【解】 系统平衡状态为： xe 0 0 T
构造李雅普诺夫函数 V (x) x12 x22 V (x) 2a(1 x22 )x22 0 系统在平衡状态稳定，因为对于 x 0,V (x) 不恒为零， 并且 x ,V (x) , 是大范围渐近稳定。
现代控制理论习题课四
第四章 稳定性理论及Lyapunov方法
§4-1 引言 主要知识点: 1、本章讲授内容，系统稳定的重要性，经典控制理 论中判断稳定性的方法及局限性。
2、现代控制理论中关于稳定性的概念，包括内部稳定（状
态稳定性）和外部稳定（输出稳定性或BIBO稳定性）。
§4-2 BIBO (有界输入有界输出)稳定
构造李雅普诺夫函数 V (x) x12 x22
V (x) (2x12 2x22 ) 0
系统在平衡状态渐近稳定，并且 x ,V (x) ,是
现代控制理论 第四章 李雅普诺夫稳定性理论
经典控制理论稳定性判别方法：代数判据， 奈魁斯特判据，对数判据，根轨迹判据 非线性系统：相平面法(适用于一，二阶非线 性系统)
4
1892年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳 定性定理采用了状态向量来描述，适用 于单变量，线性，非线性，定常，时变， 多变量等系统。 应用：自适应控制，最优控制，非线性 控制等。
28
3. V ( x) 为负定： 除 V (0) 0 外， 所有非零 x 都使V ( x) 0 。 例 V ( x) ( x12 x22 3x32 xn2 ) 或 ： V ( x ) 是正 定，则 V ( x) 是负定的。
4. V ( x) 负半定 (若 V ( x ) 是半正定，则 V ( x) 负半 定 )V ( x) 0 ，且 V (0) 0 。
1 x1 x 2 x1 x2 x x
3 2
令
1 0 x
xe 1 0
2 0 x
0 xe2 1
0 xe3 1
8
0
4. 孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分 小的邻域内不存在别的平衡状态。 对于孤立的平衡状态，总可以经过适当的 坐标变换，把它变换到状态空间的原点。
x(t ; x0 , t0 ) xe 0 2）lim t
与t0无关 一致渐近稳定
3.大范围内渐近稳定性
第四章 李雅普诺夫稳定性PPT课件
李雅普诺夫函数。而且满足 limV(x,t)根据定 x
理5-1，系统在平衡点处为大范围渐近稳定。
13
李雅普诺夫稳定性定理
定理5-2（渐近稳定性判定定理2）
•
系统的状态方程 x f ( x, t) ，且其平衡状态
x e 0 ，即有 f(0,t)0 。如果存在一个具有连续
4
范数
n维状态空间中，向量x的长度（即x到原点的距离）称为向 量x的范数，并用 x 表示。即 x x12x22… xn2
向量 ( x xe ) 的长度为 x x e(x 1 x e )2 (x 2 x e )2 … (x n x e )2
n维状态空间中，若用点集 S ( ) 表示以 x e 为中心， 为半径
是渐进稳定的。若 和t 0 无关，则称这种平衡状态 是一致渐进稳定的。
7
李雅普诺夫稳定性定义
3.大范围渐进稳定 若将初始条件扩展到整个空间，即 ,S() ，
且平衡状态 x e 均具有渐近稳定性，则称此平衡状 态是大范围渐进稳定的。若 x e 是大范围渐进稳定
的，当t 时，由状态空间中任一初始状态出
系统的平衡状态是一致渐近稳定的。
10
李雅普诺夫稳定性定理
定理5-1（李雅普诺夫稳定性的基本定理） 并称 V ( x , t ) 是系统的一个李雅普诺夫函数。 进一步，若 V ( x , t ) 还满足： (3) limV(x,t) ,则系统的平衡状态是大
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
x描述了系统在n维状态空间中从初始条件(t0,x0)出发的一条状态 运动的轨线，称系统的运动或状态轨线
19.06.2020
15
平衡状态
若系统存在状态向量xe，对所有t，都使： f(xe,t)0
成立，则称xe为系统的平衡状态。 对于一个任意系统，不一定都存在平衡状态，有时即使存在也 未必是唯一的。
x f(x,t)Ax
上述方法都是以分析系统特征方程在根平面上根的分布为基础 的。但对于非线性和时变系统，这些判据不适用了。
早在1892年，俄国数学家李雅普诺夫就提出将判定系统稳定性 的问题归纳为两种方法：李雅普诺夫第一法和李雅普诺夫第二 法。
前者是通过求解系统微分方程，然后根据解的性质来判定系统 的稳定性。它的基本思想和分析方法与经典理论是一致的。
结论3：如果线性定常系统为能控和能观的，则其内部稳定性与 外部稳定性必是等价的。
19.06.2020
10
举例
x
1
0
0 1 1x 1u
y 1 0x
分析系统的外部稳定性与内部稳定性
W ( s ) c ( sI A ) 1 b
传递函数的极点s=－1位于s的 左半平面，故系统外部稳定。
1
0
s
0
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一、系统状态的运动及平衡状态
设所研究的齐次状态方程为：
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平衡状态
若系统存在状态向量xe，对所有t，都使： f(xe,t)0
成立，则称xe为系统的平衡状态。 对于一个任意系统，不一定都存在平衡状态，有时即使存在也 未必是唯一的。
x f(x,t)Ax
上述方法都是以分析系统特征方程在根平面上根的分布为基础 的。但对于非线性和时变系统，这些判据不适用了。
早在1892年，俄国数学家李雅普诺夫就提出将判定系统稳定性 的问题归纳为两种方法：李雅普诺夫第一法和李雅普诺夫第二 法。
前者是通过求解系统微分方程，然后根据解的性质来判定系统 的稳定性。它的基本思想和分析方法与经典理论是一致的。
结论3：如果线性定常系统为能控和能观的，则其内部稳定性与 外部稳定性必是等价的。
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举例
x
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0
0 1 1x 1u
y 1 0x
分析系统的外部稳定性与内部稳定性
W ( s ) c ( sI A ) 1 b
传递函数的极点s=－1位于s的 左半平面，故系统外部稳定。
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0
s
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一、系统状态的运动及平衡状态
设所研究的齐次状态方程为：
(完整版)第四章稳定性与李雅普诺夫方法
在 xe2处线性化，得
x1 (1 x2 )x1 x1x2 x2
x2 x2x1 (1 x1)x2 x1
状态矩阵为
A
0 1
01
特征值为±j1，实部为0，不能由线性化方
程得出原系统在 xe2 处稳定性的结论。
李雅普诺夫第二法（直接法）
基本思路：从能量的观点分析，借助于一个李雅普诺 夫函数来直接对系统平衡状态的稳定性作出判断。
x Φ(t; x0 , t0 )
上式描述了从初始条件(t0,x0)出发的一条状态运 动的轨迹，称为系统的运动或状态轨迹。
如果存在状态矢量xe，对所有的t，都使式
f (xe,t) 0
成立，则称xe为系统的平衡状态。
系统的平衡状态
平衡状态的各分量不再随时间变化；若已知
状态方程，令 x 0 所求得的解 x , 便是
平衡状态。
对任意一个系统，不一定都存在平衡点，即使有， 也不一定是唯一的；
由于任意一个已知的平衡状态，都可以通过坐标变 换将其移到坐标原点，以后就只讨论系统在坐标原 点处的稳定性。
稳定定义
李雅普诺夫意义下稳定
如果系统对任意选定的实数 0，都对应存在另 一个实数 ( ,t0 ) 0 ，使当
x0 xe ( ,t0 )
稳定性定义的平面几何表示
设系统初始状态 x0 位于以平衡状态 xe 为球心、半径 为δ的闭球域内，如果系统稳定，则状态方程的解， 都位于以 xe 为球心，半径为ε的闭球域内。
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一致渐进稳定。 定理2
例3：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。
.
x. 1 kx2 (k 0)
x2
.
.
x1
解：由于 x1 x2 0
x1 x2 0
则原点是平衡状态
设 V (x) x12 kx22
V&(x) 正（负）半定
则
.
V (x) 2kx1x2 2kx1x2
0
故系统是李雅普诺夫意义下的稳定。
定性分析方法 重点内容： •李雅普诺夫第一、第二法的主要定义与定理，李 雅普诺夫函数的构造 •线性定常系统与非线性系统稳定性定理与判别 •李雅普诺夫方程，渐近稳定性的分析与判别
❖ 研究的目的和意义:稳定性是自动控制系统 正常工作的必要条件，是一个重要特征。
❖ 要求：在受到外界扰动后，虽然其原平衡 状态被打破，但在扰动消失后，仍然能恢 复到原来的平衡状态，或者趋于另一平衡 状态继续工作。
p12
p12 p22
2 1
2
1
2
p11
3 2
0
3
p11 p12
p12 p22
2 1
2
1 2 0 1
P正定
V xT
Px
xe是12 大(3x范12 围 2一x1致x2渐进2x稳22 )定
0
.
V (x12 x22 )
2. 线性定常离散系统渐进稳定性判别
设系统状态方程：x(k 1) x(k)
x x xe
A
f xT
x xe
则线性化系统方程为： x& Ax
结论： 1) 若 Re(i ) 0 i 1,2, , n ，则非线
性系统在 xe 处是渐进稳定的，与 g(x)
无关。
2) 若 Re(i ) 0 Re( j ) 0 i j 1, , n
则不稳定。
3) 若 Re(i ) 0，稳定性与 g(x)有关，
定理3
例4：试. 判断下列.线性系统平衡状态的稳定性。
解:
.
x1
.
x2
x2 x1 x2
x1 x2 0
x1
x2
0
.
即 Baidu Nhomakorabeae 0
设 V (x) x12
可见V.
(x)
与
.
x1
x22
则 V (x) 2x22
无关，故非零状态(如 x1
0
x2
.
0 )有 V
(x)
0，而对其余任意状态
有V (x) 0
➢ 原点不稳定 线性系统不稳定 非线性系统不一定
.
❖推论. 1：当 V (x,t) 正定，V (x,t) 正半定， 且 原点V [不x(稳t;定x0。, t), t] 在非零状态不恒为零时,则
.
❖推论2：V (x,t) 正定，V (x,t) 正半定，若 . x 0 ，V (x,t) 0 ，则原点是李雅普诺夫 意义下稳定(同定理3)。
x2 0
即原点是平衡状态。 .
设 V (x) x12 x22 V (x) 2x22
则：
.
x1
0 , x2
其它
0
V (x) 0 .
.
V
V (x) 0
( x)负半定
.
令 V (x) 0
x1 0 只有全零解 x2 0
.
x 0 非零状态时V (x) 0
原点 xe 0 是渐进稳定，且是大范围
令 x1 0 x2 0
0
x e1 0
0 xe3 1
0 xe2 1
4. 孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分 小的领域内不存在别的平衡状态。
对于孤立的平衡状态，总可以经过适当的 坐标变换，把它变换到状态空间的原点。
4.2 李雅普诺夫意义下的稳定
1.李氏意义下的稳定
如果对每个实数 0 都对应存在另 一个实数 ( ,t0 ) 0 满足
x0 xe (,t0)
的任意初始态 x0 出发的运动轨迹
x(t; x0,t0 )，在t 都满足：
x(t; x0,t0) xe , t t0
则称xe是李雅普诺夫意义下稳定的。
时变： 与t0 有关 定常系统： 与t0无关，xe是一致稳定的。
注意： －向量范数(表示空间距离)
欧几里得范数。
g(x) 0 则是李雅普诺夫意义下的稳定性。
4.4 李雅普诺夫第二法(直接法)
❖ 稳定性定理：
设系统状态方程：x f (x,t)
其平衡状态满足 f (0,t) 0 ，假定 状态空间原点作为平衡状态( xe 0)，并设 在原点领域存在V (x,t)对 x 的连续的一阶
偏导数。
定理1：若(1) V (x,t) 正定；
3.平衡状态：
xe f (xe , t) 0 xe 系统的平衡状态 a.线性系统 x Ax x Rn
A非奇异： Axe 0 xe 0
A奇异：
Axe 0 有无穷多个 xe
b.非线性系统
x f (xe ,t) 0 可能有多个 xe
eg. x1 x1
x2 x1 x2 x23
❖ 稳定性：系统在受到小的外界扰动后，系 统状态方程解的收敛性，而与输入作用无 关。
❖ 经典控制理论稳定性判别方法：代数判据， 奈魁斯特判据，对数判据，根轨迹判据
❖ 非线性系统：相平面法(适用于一，二阶非 线性系统)
❖ 俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性定理采 用了状态向量来描述，适用于单变量，线 性，非线性，定常，时变，多变量等系统。
件为:
给定一正交实对称矩阵Q，存在唯一 的正定实对称矩阵P使 AT P PA Q 成立，
则xT Px V (x)为系统的一个李氏函数。
方法1：给定P Q V(x)选取不定 Q不定。
给定正定Q P xT Px V (x)
Q单位阵 p的定号性
方法2：Q取正半定(定理2)允许单位矩阵主对
.
角线上部分元素为零 V (x)负半定。
2.渐近稳定
1）是李氏意义下的稳定
2）lim t
x(t; x0,t0 ) xe
0
与t0无关 一致渐进稳定
3.大范围内渐进稳定性
对 x0 s( )
都有lim t
x(t; x0,t0 ) xe
0
初始条件扩展到整个空间，且是渐进稳定性。
s( ) , x xe大范围稳定
❖线性系统(严格)：如果它是渐进稳定的，必 是大范围渐进稳定性(线性系统稳定性与初 始条件的大小无关)。
V (x) xT Px 将 x Ax 代入：
则：
.
.
V (x) xT Px xT P x xT (AT P PA)x
.
令 AT P PA Q
V (x) xTQx .
由渐进稳定性定理1，只要Q正定(即 V (x) 负
定)，则系统是大范围一致渐进稳定。
.
定理：系统 x Ax大范围渐进稳定的充要条
非线性系统的平衡状态不稳定 只说明存在局部发散的轨迹。
若存在极限环，则系统仍是李雅普诺夫意义下 的稳定性。
4.3 李雅普诺夫第一法（间接法） 利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。
1. 线性定常系统稳定性的特征值判据：
x Ax x(0) x0 t 0
1）李氏稳定的充要条件：
Re(i ) 0 i 1,2, n
❖非线性系统：只能在小范围一致稳定，由状 态空间出发的轨迹都收敛 xe 或其附近。
❖ 当 与t0 无关 大范围一致渐进稳定。
❖ 必要条件：在整个状态空间中只有一个平 衡状态xe
4. 不稳定性：不管 ， 有多小，只要s( )
内由 x0 出发的轨迹超出 s( )以外，则称此
平衡状态是不稳定的。
线性系统的平衡状态不稳定 表征系统不稳定。
在恒为零；则原点是李雅普诺夫意义下稳
定的。
.
➢说明：x 0 V (x,t) 0 系统维持等
能量水平运动，使 x(t; x0 , t0 ) 维持在非零
状态而不运行至原点。
❖定理4：若(1)V. (x,t) 正定； (2) V (x,t) 正定
则原点是不稳定的。
.
➢说明：V (x,t) 正定 能量函数随时间增 大，x(t; x0 , t0 ) 在xe处发散。
.
(2) V (x,t)
负定；
则原点是渐进稳定的。
.
说明：V (x,t) 负定 能量随时间连续单调
衰减。
▪ 定理2：若(1) V. (x,t) 正定；
(2) V. (x,t) 负半定；
(3)V[x(t; x0 ,t),t] 在非零状态不
恒为零，则原点是渐进稳定的。
❖ 定理3：若(1) V (x,t)正定； . (2)V. (x,t) 负半定； (3)V[x(t; x0 ,t),t] 在非零状态存
几点说明：
1) V (x,t)选取不唯一，. 但没有通用办法，V (x,t) 选取不当，会导致 V (x,t) 不定的结果。
2)
这仅仅是充分条件。
.
V (x,t)--单调衰减(实际上是衰减振荡)
李氏第二法的步骤：
1) 构造一个 V (x,t) 二次型； .
2) 求 V (.x,t) ，并代入状态方程； 3) 判断V (x,t) 的定号性；
.
例1：x
0 1
1 1 x
xe 0
解：选取 V (x) xT Px AT P PA Q
0 1
1 0
1 p11
1
p12
0 1
p12 p22
p11 p12
p12 0 1
p22
1
1
2 p12 1 p11 p12 p22 0
2 p12 2 p22 1
3 1
p11
.
故 V. (x) 正半定。 令 V (x) 0 .x2 0, x1 0 即非零状态时，V (x)不恒为零，则原点不稳
定即系统不稳定。
推论1
4.5 线性定常系统渐进稳定性判别法
1. 设系统状态方程为：
.
x Ax
A--非奇异矩阵
xe 0为唯一平衡状态。
设选取如下的正定二次型. 函数V (x)为李氏函数
第4章
李雅普诺夫稳定性理论
4.1 稳定性基本概念
4.2 李雅普诺夫意义下的稳定性
4.3 李雅普诺夫第一法
4.4 李雅普诺夫第二法 4.5 线性定常系统渐进稳定性判别法 4.6 非线性系统李氏函数的求法
教学要求：
1.正确理解稳定性基本概念和李雅普洛夫意义稳定 性概念
2.熟练掌握李氏第一法,李氏第二法 3.掌握线性系统渐近稳定性分析和离散系统渐近稳
试用李雅普诺夫第二法判断其稳定性。
解：
.
令
x1 0
.
x2 0
x1 0 x2 0
原点是唯一平衡点
则设VV. ((xx))2xx121
.
x22
x1 2x2
.
x2
.
V (x) 2(.x12 x22 )2
定理1
x0
V .
(
x)
0
.
V
(
x)
负定
x 0 V (x) 0
1)原点是渐进稳定的；
2)只有一个平衡状态，该系统是大范围渐 进稳定；
.
4) 判断非零情况下，V[x(t; x0,t),t] 是否为零。
渐进稳定 李氏稳定 不稳定
.
令 V (x,t). 0 若x 0, V (x,t) 0 成立 李氏意义 下稳定
.
若仅x 0, V (x,t) 0 成立 渐进稳定
例1：已知非线性系统的状态方程为：
.
x. 1 x2 x1(x12 x22 ) x2 x1 x2 (x12 x22 )
3)由于V(x)与t无关，又是大范围一致渐进稳 定。
几何意义：
c1
V (x) x12 x22
c12 (c22 )
等能量轨迹(整个平面)
x2
c(2x10, x20)
x1
例2：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。
.
.x1 x2
x2 x1 x2
解：1) 令
.
x. 1 0
x1 0
x2 0
其中-非奇异阵，xe 0 是平衡状态。
设 V[x(k)] xT (k)Px(k)
V[x(k)] V[x(k 1)] V[x(k)] xT (k 1)Px(k 1) xT (k)Px(k) [x(k)]T P[x(k)] xT (k)Px(k) xT (k)[T P P]x(k)
令 T P P Q 李氏代数方程 V[x(k)] xT (k)Qx(k)
❖ 应用：自适应，最优控制，非线性控制等。
主要内容： 李氏第一法（间接法）：求解特征方程
的特征值
李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧 来构造李氏函数
4.1 稳定性基本概念
1.自治系统：输入为0的系统 x=Ax+Bu(u=0)
2.初态 x=f(x,t)的解为 x(t; x0,t0 )
x(t0 , x0 , t0 ) x0 初态
即系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半 部。
2. 非线性系统的稳定性分析：
假定非线性系统在平衡状态附近可展 开成台劳级数，可用线性化系统的特征值 判据判断非线性系统的平衡状态处的稳定 性。
设非线性系统状态方程：
x f (x) f (x) --非线性函数
在平衡状态 xe 0附近存在各阶偏导
数，于是：
x&
f f (xe ) xT
(x xe ) g(x)
x xe
其中：
g(x) --级数展开式中二阶以上各项之和)
f1
f xT
x1
fn
f1
x2 fn
f1 xfnn
x1 x2
xn
上式为向量函数的雅可比矩阵。
f f1 f2 fn T
x x1 x2 xn T
令 x& x& f (xe )
例3：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。
.
x. 1 kx2 (k 0)
x2
.
.
x1
解：由于 x1 x2 0
x1 x2 0
则原点是平衡状态
设 V (x) x12 kx22
V&(x) 正（负）半定
则
.
V (x) 2kx1x2 2kx1x2
0
故系统是李雅普诺夫意义下的稳定。
定性分析方法 重点内容： •李雅普诺夫第一、第二法的主要定义与定理，李 雅普诺夫函数的构造 •线性定常系统与非线性系统稳定性定理与判别 •李雅普诺夫方程，渐近稳定性的分析与判别
❖ 研究的目的和意义:稳定性是自动控制系统 正常工作的必要条件，是一个重要特征。
❖ 要求：在受到外界扰动后，虽然其原平衡 状态被打破，但在扰动消失后，仍然能恢 复到原来的平衡状态，或者趋于另一平衡 状态继续工作。
p12
p12 p22
2 1
2
1
2
p11
3 2
0
3
p11 p12
p12 p22
2 1
2
1 2 0 1
P正定
V xT
Px
xe是12 大(3x范12 围 2一x1致x2渐进2x稳22 )定
0
.
V (x12 x22 )
2. 线性定常离散系统渐进稳定性判别
设系统状态方程：x(k 1) x(k)
x x xe
A
f xT
x xe
则线性化系统方程为： x& Ax
结论： 1) 若 Re(i ) 0 i 1,2, , n ，则非线
性系统在 xe 处是渐进稳定的，与 g(x)
无关。
2) 若 Re(i ) 0 Re( j ) 0 i j 1, , n
则不稳定。
3) 若 Re(i ) 0，稳定性与 g(x)有关，
定理3
例4：试. 判断下列.线性系统平衡状态的稳定性。
解:
.
x1
.
x2
x2 x1 x2
x1 x2 0
x1
x2
0
.
即 Baidu Nhomakorabeae 0
设 V (x) x12
可见V.
(x)
与
.
x1
x22
则 V (x) 2x22
无关，故非零状态(如 x1
0
x2
.
0 )有 V
(x)
0，而对其余任意状态
有V (x) 0
➢ 原点不稳定 线性系统不稳定 非线性系统不一定
.
❖推论. 1：当 V (x,t) 正定，V (x,t) 正半定， 且 原点V [不x(稳t;定x0。, t), t] 在非零状态不恒为零时,则
.
❖推论2：V (x,t) 正定，V (x,t) 正半定，若 . x 0 ，V (x,t) 0 ，则原点是李雅普诺夫 意义下稳定(同定理3)。
x2 0
即原点是平衡状态。 .
设 V (x) x12 x22 V (x) 2x22
则：
.
x1
0 , x2
其它
0
V (x) 0 .
.
V
V (x) 0
( x)负半定
.
令 V (x) 0
x1 0 只有全零解 x2 0
.
x 0 非零状态时V (x) 0
原点 xe 0 是渐进稳定，且是大范围
令 x1 0 x2 0
0
x e1 0
0 xe3 1
0 xe2 1
4. 孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分 小的领域内不存在别的平衡状态。
对于孤立的平衡状态，总可以经过适当的 坐标变换，把它变换到状态空间的原点。
4.2 李雅普诺夫意义下的稳定
1.李氏意义下的稳定
如果对每个实数 0 都对应存在另 一个实数 ( ,t0 ) 0 满足
x0 xe (,t0)
的任意初始态 x0 出发的运动轨迹
x(t; x0,t0 )，在t 都满足：
x(t; x0,t0) xe , t t0
则称xe是李雅普诺夫意义下稳定的。
时变： 与t0 有关 定常系统： 与t0无关，xe是一致稳定的。
注意： －向量范数(表示空间距离)
欧几里得范数。
g(x) 0 则是李雅普诺夫意义下的稳定性。
4.4 李雅普诺夫第二法(直接法)
❖ 稳定性定理：
设系统状态方程：x f (x,t)
其平衡状态满足 f (0,t) 0 ，假定 状态空间原点作为平衡状态( xe 0)，并设 在原点领域存在V (x,t)对 x 的连续的一阶
偏导数。
定理1：若(1) V (x,t) 正定；
3.平衡状态：
xe f (xe , t) 0 xe 系统的平衡状态 a.线性系统 x Ax x Rn
A非奇异： Axe 0 xe 0
A奇异：
Axe 0 有无穷多个 xe
b.非线性系统
x f (xe ,t) 0 可能有多个 xe
eg. x1 x1
x2 x1 x2 x23
❖ 稳定性：系统在受到小的外界扰动后，系 统状态方程解的收敛性，而与输入作用无 关。
❖ 经典控制理论稳定性判别方法：代数判据， 奈魁斯特判据，对数判据，根轨迹判据
❖ 非线性系统：相平面法(适用于一，二阶非 线性系统)
❖ 俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性定理采 用了状态向量来描述，适用于单变量，线 性，非线性，定常，时变，多变量等系统。
件为:
给定一正交实对称矩阵Q，存在唯一 的正定实对称矩阵P使 AT P PA Q 成立，
则xT Px V (x)为系统的一个李氏函数。
方法1：给定P Q V(x)选取不定 Q不定。
给定正定Q P xT Px V (x)
Q单位阵 p的定号性
方法2：Q取正半定(定理2)允许单位矩阵主对
.
角线上部分元素为零 V (x)负半定。
2.渐近稳定
1）是李氏意义下的稳定
2）lim t
x(t; x0,t0 ) xe
0
与t0无关 一致渐进稳定
3.大范围内渐进稳定性
对 x0 s( )
都有lim t
x(t; x0,t0 ) xe
0
初始条件扩展到整个空间，且是渐进稳定性。
s( ) , x xe大范围稳定
❖线性系统(严格)：如果它是渐进稳定的，必 是大范围渐进稳定性(线性系统稳定性与初 始条件的大小无关)。
V (x) xT Px 将 x Ax 代入：
则：
.
.
V (x) xT Px xT P x xT (AT P PA)x
.
令 AT P PA Q
V (x) xTQx .
由渐进稳定性定理1，只要Q正定(即 V (x) 负
定)，则系统是大范围一致渐进稳定。
.
定理：系统 x Ax大范围渐进稳定的充要条
非线性系统的平衡状态不稳定 只说明存在局部发散的轨迹。
若存在极限环，则系统仍是李雅普诺夫意义下 的稳定性。
4.3 李雅普诺夫第一法（间接法） 利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。
1. 线性定常系统稳定性的特征值判据：
x Ax x(0) x0 t 0
1）李氏稳定的充要条件：
Re(i ) 0 i 1,2, n
❖非线性系统：只能在小范围一致稳定，由状 态空间出发的轨迹都收敛 xe 或其附近。
❖ 当 与t0 无关 大范围一致渐进稳定。
❖ 必要条件：在整个状态空间中只有一个平 衡状态xe
4. 不稳定性：不管 ， 有多小，只要s( )
内由 x0 出发的轨迹超出 s( )以外，则称此
平衡状态是不稳定的。
线性系统的平衡状态不稳定 表征系统不稳定。
在恒为零；则原点是李雅普诺夫意义下稳
定的。
.
➢说明：x 0 V (x,t) 0 系统维持等
能量水平运动，使 x(t; x0 , t0 ) 维持在非零
状态而不运行至原点。
❖定理4：若(1)V. (x,t) 正定； (2) V (x,t) 正定
则原点是不稳定的。
.
➢说明：V (x,t) 正定 能量函数随时间增 大，x(t; x0 , t0 ) 在xe处发散。
.
(2) V (x,t)
负定；
则原点是渐进稳定的。
.
说明：V (x,t) 负定 能量随时间连续单调
衰减。
▪ 定理2：若(1) V. (x,t) 正定；
(2) V. (x,t) 负半定；
(3)V[x(t; x0 ,t),t] 在非零状态不
恒为零，则原点是渐进稳定的。
❖ 定理3：若(1) V (x,t)正定； . (2)V. (x,t) 负半定； (3)V[x(t; x0 ,t),t] 在非零状态存
几点说明：
1) V (x,t)选取不唯一，. 但没有通用办法，V (x,t) 选取不当，会导致 V (x,t) 不定的结果。
2)
这仅仅是充分条件。
.
V (x,t)--单调衰减(实际上是衰减振荡)
李氏第二法的步骤：
1) 构造一个 V (x,t) 二次型； .
2) 求 V (.x,t) ，并代入状态方程； 3) 判断V (x,t) 的定号性；
.
例1：x
0 1
1 1 x
xe 0
解：选取 V (x) xT Px AT P PA Q
0 1
1 0
1 p11
1
p12
0 1
p12 p22
p11 p12
p12 0 1
p22
1
1
2 p12 1 p11 p12 p22 0
2 p12 2 p22 1
3 1
p11
.
故 V. (x) 正半定。 令 V (x) 0 .x2 0, x1 0 即非零状态时，V (x)不恒为零，则原点不稳
定即系统不稳定。
推论1
4.5 线性定常系统渐进稳定性判别法
1. 设系统状态方程为：
.
x Ax
A--非奇异矩阵
xe 0为唯一平衡状态。
设选取如下的正定二次型. 函数V (x)为李氏函数
第4章
李雅普诺夫稳定性理论
4.1 稳定性基本概念
4.2 李雅普诺夫意义下的稳定性
4.3 李雅普诺夫第一法
4.4 李雅普诺夫第二法 4.5 线性定常系统渐进稳定性判别法 4.6 非线性系统李氏函数的求法
教学要求：
1.正确理解稳定性基本概念和李雅普洛夫意义稳定 性概念
2.熟练掌握李氏第一法,李氏第二法 3.掌握线性系统渐近稳定性分析和离散系统渐近稳
试用李雅普诺夫第二法判断其稳定性。
解：
.
令
x1 0
.
x2 0
x1 0 x2 0
原点是唯一平衡点
则设VV. ((xx))2xx121
.
x22
x1 2x2
.
x2
.
V (x) 2(.x12 x22 )2
定理1
x0
V .
(
x)
0
.
V
(
x)
负定
x 0 V (x) 0
1)原点是渐进稳定的；
2)只有一个平衡状态，该系统是大范围渐 进稳定；
.
4) 判断非零情况下，V[x(t; x0,t),t] 是否为零。
渐进稳定 李氏稳定 不稳定
.
令 V (x,t). 0 若x 0, V (x,t) 0 成立 李氏意义 下稳定
.
若仅x 0, V (x,t) 0 成立 渐进稳定
例1：已知非线性系统的状态方程为：
.
x. 1 x2 x1(x12 x22 ) x2 x1 x2 (x12 x22 )
3)由于V(x)与t无关，又是大范围一致渐进稳 定。
几何意义：
c1
V (x) x12 x22
c12 (c22 )
等能量轨迹(整个平面)
x2
c(2x10, x20)
x1
例2：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。
.
.x1 x2
x2 x1 x2
解：1) 令
.
x. 1 0
x1 0
x2 0
其中-非奇异阵，xe 0 是平衡状态。
设 V[x(k)] xT (k)Px(k)
V[x(k)] V[x(k 1)] V[x(k)] xT (k 1)Px(k 1) xT (k)Px(k) [x(k)]T P[x(k)] xT (k)Px(k) xT (k)[T P P]x(k)
令 T P P Q 李氏代数方程 V[x(k)] xT (k)Qx(k)
❖ 应用：自适应，最优控制，非线性控制等。
主要内容： 李氏第一法（间接法）：求解特征方程
的特征值
李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧 来构造李氏函数
4.1 稳定性基本概念
1.自治系统：输入为0的系统 x=Ax+Bu(u=0)
2.初态 x=f(x,t)的解为 x(t; x0,t0 )
x(t0 , x0 , t0 ) x0 初态
即系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半 部。
2. 非线性系统的稳定性分析：
假定非线性系统在平衡状态附近可展 开成台劳级数，可用线性化系统的特征值 判据判断非线性系统的平衡状态处的稳定 性。
设非线性系统状态方程：
x f (x) f (x) --非线性函数
在平衡状态 xe 0附近存在各阶偏导
数，于是：
x&
f f (xe ) xT
(x xe ) g(x)
x xe
其中：
g(x) --级数展开式中二阶以上各项之和)
f1
f xT
x1
fn
f1
x2 fn
f1 xfnn
x1 x2
xn
上式为向量函数的雅可比矩阵。
f f1 f2 fn T
x x1 x2 xn T
令 x& x& f (xe )